构造直角三角形来解题
构造直角三角形解题
构造直角三角形解题
本文将重点介绍用来构造直角三角形的基本方法：
一、三角形属性
1、任何三角形都有三条边和三个内角；
2、三条边和三个内角皆可用来构造直角三角形；
3、直角三角形必须有一个直角，也就是其中一个内角是90度；
4、直角三角形的边长必须符合勾股定理：a² + b² = c²。
其中a和b是直角三角形的两条相较较短的边，c是直角三角形的斜边。
二、构造直角三角形的基本方法
1、依据勾股定理构造直角三角形：根据斜边c的长度来计算出a和b 两边的长度，即a² + b² = c²，然后画出三边，再将内角调节至90度即可构造出一个直角三角形。
2、拉伸和缩短给定的边：将给定的边进行拉伸和缩短，确保它们仍符合勾股定理即a² + b² = c²，然后根据调整后的边构建三角形，最后将内角调整至90度即可构造出一个直角三角形。
3、给定三角形的两边和一内角：可用勾股定理来计算另一边的长度，即a² + b² = c²，然后绘制出三条边，把最后一个内角调整至90度即可构造出一个直角三角形。
综上所述，用来构造直角三角形的基本方法有三：依据勾股定理构造直角三角形，拉伸和缩短给定的边，给定三角形的两边和一内角。
熟练掌握这些技巧，就可以有效构建直角三角形。
模型33 两垂一圆构造直角三角形(原卷版)-2023年中考数学重难点解题大招复习讲义-几何模型篇
模型介绍【模型】平面内有两点A，B，再找一点C，使得ΔABC为直角三角形．【结论】分类讨论：若∠A＝90°，则点C在过点A且垂直于AB的直线上(除点A外)；若∠B＝90°，则点C在过点B且垂直于AB的直线上(除点B外)；若∠C＝90°，则点C在以AB为直径的圆上(除点A，B外)．以上简称“两垂一圆”．“两垂一圆”上的点能构成直角三角形，但要除去A，B两点.例题精讲【例1】．在平面直角坐标系中，有两点A（3，0），B（9，0）及一条直线，若点C在已知直线上，且使△ABC为直角三角形，则点C的坐标是．【变式1-1】.在平面直角坐标系中，点A的坐标是（﹣8，﹣8），点B在坐标轴上，且△OAB 是等腰直角三角形，则点B的坐标不可能是（）A．（0，﹣8）B．（﹣8，0）C．（﹣16，0）D．（0，8）【变式1-2】．在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（0，4），直线l经过（﹣1，0）并且与x轴垂直于点D，请你在直线l上找一点C，使△ABC为直角三角形，并求出点C的坐标．【例2】．如图，在平面直角坐标系中，已知A（4，0），B（0，3），以AB为一边在△AOB 外部作等腰直角△ABC．则点C的坐标为．【变式2-1】．如图，在5×4的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A、B均在格点上．在格点上确定点C，使△ABC为直角三角形，且面积为4，则这样的点C的共有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【变式2-2】．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B的坐标分别为A（0，2），B（8，8），点C（m，0）为x轴正半轴上一个动点．（1）当m＝4时，写出线段AC＝，BC＝．（2）求△ABC的面积．（用含m的代数式表示）（3）当点C在运动时，是否存在点C使△ABC为直角三角形，如果存在，请求出这个三角形的面积；如果不存在，请说明理由．1．在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（﹣3，0）、（3，0），点P在反比例函数y ＝的图象上．若△PAB为直角三角形，则满足条件的点P的个数为（）A．2个B．4个C．5个D．6个2．如图，已知A（2，6）、B（8，﹣2），C为坐标轴上一点，且△ABC是直角三角形，则满足条件的C点有（）个．A．6B．7C．8D．93．如图，已知点A（﹣1，0）和点B（1，2），在y轴正半轴上确定点P，使得△ABP为直角三角形，则满足条件的点P的坐标为．4．如图，请在所给网格中按下列要求操作：（1）请在网格中建立平面直角坐标系，使A点坐标为（0，2），B点坐标为（﹣2，0）；（2）在y轴上画点C，使△ABC为直角三角形，请画出所有符合条件的点C，并直接写出相应的C点坐标．5．如图，在平面直角坐标系中，点A坐标为（6，0），点B坐标为（2，﹣2），直线AB与y轴交于点C．（1）求直线AB的函数表达式及线段AC的长；（2）点B关于y轴的对称点为点D．①请直接写出点D的坐标为；②在直线BD上找点E，使△ACE是直角三角形，请直接写出点E的横坐标为．6．图1、图2是两张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸的每个小正方形的边长均为1，点A，B在小正方形的顶点上．（1）在图1中画出△ABC（点C在小正方形的顶点上），使△ABC为直角三角形，并且面积为4；（画一个即可）（2）在图1中画出△ABC（点C在小正方形的顶点上），使△ABC为钝角三角形，并且面积为4．（画一个即可）7．如图，在平面直角坐标系中，△ABO为等腰直角三角形，∠AOB＝90°，AO＝BO，点A的坐标为（3，1）．（1）求点B的坐标；（2）在x轴上找一点P，使得PA+PB的值最小，求出点P的坐标；（3）在第四象限是否存在一点M，使得以点O，A，M为顶点的三角形是等腰直角三角形，若存在，请直接写出所有满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．8．已知：直线y＝+6与x轴、y轴分别相交于点A和点B，点C在线段AO上．将△ABO 沿BC折叠后，点O恰好落在AB边上点D处．（1）直接写出A、B两点的坐标：A：，B：；（2）求出OC的长；（3）如图，点E、F是直线BC上的两点，若△AEF是以EF为斜边的等腰直角三角形，求点F的坐标；（4）取AB的中点M，若点P在y轴上，点Q在直线AB上，是否存在以C、M、P、Q 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出所有满足条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由．9．如图，已知抛物线y＝x2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（3，0）两点，且与y轴相交于点C，直线l是抛物线的对称轴．（1）求抛物线的函数关系式；（2）设点P是直线l上的一个动点，当点P到点A、点C的距离之和最短时，求点P的坐标；（3）点M也是直线l上的动点，且△MAC为直角三角形，请直接写出所有符合条件的点M的坐标．10．如图1，抛物线y＝ax2+bx+6与x轴交于点A（﹣2，0），B（6，0），与y轴交于点C，顶点为D，直线AD交y轴于点E．（1）求抛物线的解析式．（2）如图2，将△AOE沿直线AD平移得到△NMP．①当点M落在抛物线上时，求点M的坐标．②在△NMP移动过程中，存在点M使△MBD为直角三角形，请直接写出所有符合条件的点M的坐标．11．如图，顶点为A（﹣4，4）的二次函数图象经过原点（0，0），点P在该图象上，OP 交其对称轴l于点M，点M、N关于点A对称，连接PN，ON．（1）求该二次函数的表达式；（2）若点P的坐标是（﹣6，3），求△OPN的面积；（3）当点P在对称轴l左侧的二次函数图象上运动时，请解答下面问题：①求证：∠PNM＝∠ONM；②若△OPN为直角三角形，请直接写出所有符合条件的点P的坐标．12．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx+c的对称轴为经过点（1，0）的直线，其图象与x轴交于点A、B，且过点C（0，﹣3），其顶点为D．（1）求这个二次函数的解析式及顶点坐标；（2）在y轴上找一点P（点P与点C不重合），使得∠APD＝90°，求点P的坐标；（3）在（2）的条件下，将△APD沿直线AD翻折得到△AQD，求点Q的坐标．13．如图，一次函数y＝x+1的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，二次函数y＝x2+bx+c的图象与一次函数y＝x+1的图象交于B、C两点，与x轴交于D、E两点，且D点坐标为（1，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）在x轴上找一点P，使|PB﹣PC|最大，求出点P的坐标；（3）在x轴上是否存在点P，使得△PBC是以点P为直角顶点的直角三角形？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．14．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（2，0）、B（﹣4，0）两点，交y轴于点C．（1）求该抛物线的解析式；（2）在第二象限的抛物线上，是否存在点P，使得△PBC的面积最大？若存在，求出点P的坐标及△PBC面积的最大值；若不存在，请说明理由；（3）在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC为直角三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．15．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，），点B的坐标（﹣2，0），点O 为原点．（1）求过点A，O，B的抛物线解析式；（2）在x轴上找一点C，使△ABC为直角三角形，请直接写出满足条件的点C的坐标；（3）将原点O绕点B逆时针旋转120°后得点O′，判断点O′是否在抛物线上，请说明理由；（4）在x轴下方的抛物线上是否存在一点P，过点P作x轴的垂线，交直线AB于点E，线段OE把△AOB分成两个三角形，使其中一个三角形面积与四边形BPOE面积比为2：3，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．。
联想出妙解——构造直角三角形解题一例
2020年第4期中学数学月刊・63・EFGH I构造直角三角形解题一例侯明辉（辽宁省岫岩满族自治县教师进修学校114300）问题已知正数％%#b）与锐角a%!#%）满足%人・!92"——1）+b=b・tan a—%%—b'sin"%/=槡%2+b2，求a+%的大小.分析题中给岀关于正数％%与锐角a%的三角函 间比较的等量关系%特点,直接求a十％的度数，往往使人感策，所以直接有一定的难度由槡%2+b2，可以很自然地联想到勾股定理，因此通过构造直角三角形%将其转化为，然后利用几何、三角函数和代数的一些相关知识，可使此题得到妙解.解如图1作△ABC,使6ACB=90°,BC=%AC=b%矿一则AB=槡%2+b2•”"■图—长AB到点M,使BM、=%；延长BA到点N,使AN=b.过点A作AE丄AB AE交MC的延长线于点E；过点B作BF丄BABF交NC的延长线于点F所以6ACE= 90o—Z BCM=90°—Z M=Z E,MW AE=AC= b.类似地,BF=BC=%.%—,・(^2一1)十b=槡％2+b2,得%—b sn%'sin2a%2一%b+b2+(%—b)・槡％2十b2=2—，即sin%%sin2a_%2+b2+(一b)・—%2十b2一%b sin2%=%2+b2—b2(—%2+b2+%)・(—%2+b2一b)(—%2+b2+b)・(—%2+b2一b)—%2+b2+%—%2+b2+b，sin a sin6E所以i%=i z F-因a%,6E,6F都是锐角，故T③”sin6F由b・tan a一%=—%2+b2,得tan a=—%2+b2+%b AE=tn6E，即"=6E%由③④可知％=6F.易知6M=—6ABC,6N=—Z BAC,故sin2Z EAM2ME2(槡％2十b2+%)2所以6M+6N=—(6ABC+6BAC)= (槡％2十b2+%)2+b2(!%2十b2+%)22!2+b2)+2%・槡％2十b2(!%2+b2+%)2槡%2+b+%=①2槡%2+b2・((%2+b2+%)2槡%2+b类似地sin26F =槡%2十b2十b②2槡％2十b2—X90。
专训2 “化斜为直”构造直角三角形的方法
方法
2
有直角、无直角的图形延长某些边
2．如图，在四边形ABCD中，AB＝2，CD＝1，∠A＝ 60°，∠D＝∠B＝90°，求四边形ABCD的面积． 解： 如图，延长BC，AD交于点E.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
∵∠A＝60°，∠B＝90°，∴∠E＝30°. AB 2 = = 2 3， 在Rt△ABE中，BE＝ o tan E tan 30
习题课 阶段方法技巧训练（二）
专训2
“化斜为直”构造
直角三角形的方法
锐角三角函数是在直角三角形中定义的，解直 角三角形的前提是在直角三角形中进行，对于非直 角三角形问题，要注意观察图形特点，恰当作辅助
线，将其转化为直角三角形来解．
方法
1
无直角、无等角的三角形作高
1．如图，在△ABC中，已知BC＝1＋ 3 ，∠B＝ 60°，∠C＝45°，求AB的长． 解： 如图，过点A作AD⊥BC，垂足为点D.
在Rt△CDE中，EC＝2CD＝2， 3 ∴DE＝EC· cos 30°＝2× ＝ 3. 2
∴S四边形ABCD＝SRt△ABE－SRt△ECD
1 1 ＝ AB· BE－ CD· ED 2 2 1 1 3 3 ＝ ×2×2 3 － ×1× 3 ＝ . 2 2 2
本题看似是四边形问题，但注意到∠B＝90°， ∠A＝60°，不难想到延长BC，AD交于点E，
关系是解题的关键．
方法
4
求非直角三角形中角的三角函数值时构造直角三角形24
4．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8.若∠BPC＝ 1 ∠BAC，求tan ∠BPC的值． 2 如图，过点A作AE⊥BC于点E，∵AB＝AC＝5， 解： 1 1 1 ∴BE＝ BC＝ ×8＝4，∠BAE＝ ∠BAC. 2 2 2 1 ∵∠BPC＝ ∠BAC，∴∠BPC＝∠BAE. 2 在Rt△BAE中，由勾股定理得AE＝
构造含30角的直角三角形解题
1构造含30°角的直角三角形解题山东 李树臣30︒的角是一个特殊的角，它具有一个特殊的性质，即“在直角三角形中，如果一个锐角等于30︒，那么它所对的直角边等于斜边的一半．”这一性质在各类考试中经常出现，利用它的关键是设法构造出含有30︒角的直角三角形．本文列举几例，以说明怎样通过添加辅助线构造出含30︒角的直角三角形．例1 如图1，在A B C △中，30B AC ∠=︒=，，等腰直角三角形A C D 的斜边A D 在A B 边上，求B C 的长．分析：本题含有30︒角的条件，因为只有在直角三角形中的30︒角才有上述的特殊性质，所以需作辅助垂线，构造出一个含有30︒角的直角三角形来，这是解决本体的关键所在．解：过点C 作C E A B ⊥，垂足为E ．因为90A C C D A C D =∠=︒，，所以2AD ==，因为C E A B ⊥，AC D △是等腰直角三角形，所以112A E A D C E ===。
在B C E Rt △中，∠例2 在A B C △中，120A B A C A =∠=︒，，A B 的垂直平分线交B C 于点D ，交A B 于点E ．如果1D E =，求B C 的长．分析：根据题意，容易发现2B D =，如果连接A D ，则有2A D B D ==，而24C D AD ==，所以B C 可求．解：连接A D ，D E 垂直平分A B ，AD BD =∴，90D E B ∠=︒．A B A C = ，120B A C ∠=︒，30B C ∠=∠=︒∴． 在BD E Rt △中13022B D E B D B D ∠=︒==，∴，∴．AD BD = ，1203090BAD B D AC BAC BAD ∠=∠∠=∠-∠=︒-︒=︒∴，∴，而30C ∠=︒， 12A D C D =∴，224C D A D B D ===，故有：426B C C D B D =+=+=．例3 如图3，60D AB C D AD C B AB ∠=︒⊥⊥，，，且21AB C D ==，，求A D 和B C 的长．分析：注意到条件6090D A B B ∠=︒∠=︒，，联想到含30︒角的直角三角形的性质，延长A D 和B C ，就可以构造出两个含30︒角的直角三角形来．解：延长A D ，B C 交于点E ．∵6090D A B B ∠=︒∠=︒，，30E ∠=︒∴，又C D A D ⊥，9022CDE CE CD ∠===∴，∴，图3ADE CB图22DE ==∴又3090E B ∠=︒∠=︒，， 24AE AB ==∴，BE ==∴，42AD AE D E BC BE C E =-=-=-=∴．例4 如图4，在△ABC 中，BD ＝DC ，若AD ⊥AC ，∠BAD ＝30°．求证：AC ＝12AB ．分析：由结论12A C AB =和条件30BAD =∠，就想到能否找到或构造直角三角形，而显然图中没有含30°角的直角三角形，所以过B 作BE AD ⊥交A D 的延长线于点E ，这样就得到了直角三角形A B E ，这是解决本题的关键．证明：过B 作BE AD ⊥交A D 的延长线于E ，则90A E B ∠=︒．1302B A D B E A B ∠=︒=，∴．90AD AC D AC ⊥∠=︒ ，∴， A E B D A C ∠=∠∴．又B D C D B D E C D A =∠=∠，，B E DC AD ∴△≌△， 12BE C A A C A B ==∴，∴．ABCED 图4。
北师大版八年级数学上册微专题1 如何构造直角三角形
即学校征收这块地需要 234000 元．
类型三 利用补形法构造直角三角形 3. 如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，点 D 是 AB 的中点，点 E，F 分别为 AC，BC 的中点，DE⊥DF.试说 明：AE2＋BF2＝EF2.
类型四 利用勾股定理的逆定理构造直角三角形求 面积
4. 已知：如图，在四边形 ABCD 中，AD∥BC，AB ＝4，BC＝6，CD＝5，AD＝3.求四边形 ABCD 的面积．
解：如图，作 DE∥AB 交 BC 于点 E，连接 BD，则 可以证明△ABD≌△EDB(ASA)，所以 DE＝AB＝4，
BE＝AD＝3. 因为 BC＝6，所以 EC＝3.所以 EC＝EB. 因为 DE2＋CE2＝42＋32＝25＝CD2， 所以△DEC 为直角三角形．所以∠DEC＝90°. 四边形ABCD＝12(AD＋BC)×AB＝12×(3＋6)×4＝18.
类型二 利用分割法构造直角三角形 2. 学校要征收一块土地，形状如 图所示，已知∠B＝∠D＝90°，AB＝ 20 m，BC＝15 m，CD＝7 m，土地价 格为 1000 元/m2，请你计算学校征收这 块地需要多少钱？
解：如图，连接 AC，在△ABC 中，AC2＝AB2＋BC2 ＝202＋152＝625，
解：如图，延长 ED 至点 G，使 DG＝ED，连接 BG， FG.
在△ADE 和△BDG 中，因为 AD＝DB，∠1＝∠2， ED＝DG，所以△ADE≌△BDG(SAS)．
所以 AE＝BG，∠3＝∠4. 又因为∠4＋∠5＝90°，所以∠3＋∠5＝90°. 又因为 DF⊥EG，DE＝DG，易证△EDF≌△GDF， 所以 FG＝EF. 在 Rt△FBG 中，BG2＋BF2＝FG2，即 AE2＋BF2＝EF2.
「初中数学」利用含30°角的直角三角形解题的几种技巧.doc
「初中数学」利用含30°角的直角三角形解题的几种技巧在初中数学中有这样一个定理:在直角三角形中，若一个锐角为30°，则它所对的边是斜边的一半.它通过角的关系揭示出了边的关系，从角的类别跨出到了边的类别，建立了不同类别之间的联系，所以非常重要，那么在证明线段之间的倍分关系时，我们就要注意提醒自己，题中是否含有30°、60°或120°的特殊角，或者通过某种方法构造含30°的直角三角形.这一定理运用比较广泛，下面结合八年级的习题分别说明。
一.直接运用含30°角的直角三角形的性质1.如图，在等边三角形ABC中，AE=CD，AD，BE相交于点P，BQ⊥AD于点Q.求证:BP=2PQ.【分析】由等边三角形ABC知，AB=AC=BC，∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°且AE=CD，显然△ACD≌△BAE.结论要证BP=2PQ，想到在直角三角形BQP中，找30°角或60°，而∠BPQ=∠ABP+∠BAP，由△ACD≌△BAE，可知∠ABP=∠CAD，所以∠BPQ=∠BAP+∠CAD=∠BAC=60°则达到目的.证明:∵△ABC为等边三角形，∴AC=AB，∠C=∠BAC=60°，又AE=CD，∴△ACD≌△BAE，∴∠CAD=∠ABE，∵∠CAD+∠BAP=∠BAC=60°，∴∠ABE+∠BAP=∠BPQ=60°，∵BQ⊥AD，∴∠BQP=90°，∴∠PBQ=90°一∠BPQ=30°，∴BP=2PQ.2.如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，BD=AB，∠ABD=30°.求证:AD=DC.【分析】欲证，AD=CD，想到什么:等腰三角形三线合一;想到证底角相等？不管你想到哪个定理和性质，还得联系其他条件，条件有，等腰直角三角形BAC，有∠ABD=30°，这些条件又与结论怎样联系呢？那我们就要画辅助线试着分析一下，因为∠ABD=30°，AB=BD，可得，∠BAD=∠BDA=75°，过点A作AE⊥BD于E，E为垂足，使30°的角处于直角三角形中，则有∠EAD=15°，AE=AB/2，又分析出∠CAD=15°，则AD是∠CAE的角平分线，而DE⊥AE，于是想到过点D作DF⊥AC于F，则可证△EAD≌△FAD，得AF=AE=AB/2=AC/2，∴F是AC的中点，∴DF垂直平分AC，∴AD=DC，得证.如图证明:过点A作AE⊥BD于E，过点D作DF⊥AC于F，∴∠AEB=∠AED=∠AFD90°则在Rt△AEB中，∵∠ABD=30°，∴AE=AB/2，又∵AB=AC，则AE=AC/2，在△ABD 中，∵AB=BD，∠ABD=30°，∴∠BAD=1/2(180°一30°)=75°，∵∠BAC=90°，∴∠DAC=15°，而在Rt△AED中，可知∠BAE=60°，∴∠EAD=15°，所以根据∠DAC=∠EAD=15°，∠AED=∠AFD=90°，AD=AD，可得△EAD≌△FAD，∴AF=AE=AC/2，即F是AC的中点，∴DF垂直平分AC，∴AD=DC.那么依据∠DAC=∠DCA是否也可证AD=DC呢？只要同学们善于分析，还是可以的，下面给出一种作辅助线的方法，希望同学们仔细体会.以BC为边在△ABC的同侧作等边三角形BEC，连接AE，如图，由于正三角形，等腰直角三角形的对称性可知，EA平分∠BEC，所以∠BEA=30°，由于∠ABC=60°，∠ABC=45°，∠ABD=30°，所以∠EBA=∠CBD=15°，而AB=BD，BE=BC，∴△EBA≌△CBD，∴∠BCD=∠BEA=30°，则∠ACD=15°，由上边证得知∠DAC=15°，∴∠DAC=∠DCA，∴AD=DC，此法关键是作出一个等边三角形，有同学要问，你怎么就知道作等边三角形呢？显然我也是学来的，多总结，多归纳，多记忆，多体会，你也会知道这种辅助线。
专题. 构造直角三角形解题四大题型-九年级数学上册举一反三系列(华东师大版)
专题--构造直角三角形解题四大题型A．223+B．33+（2023春·江苏·九年级专题练习）2．如图，直线y=34x+3交x轴于恰落在直线y=34x+3上，若N点在第二象限内，则11（2023·上海·九年级假期作业）5．如图，将平行四边形ABCD∠=∠+ ，且NCACM DCM10（2023春·重庆·九年级重庆实验外国语学校校考期末）6．如图，在三角形ABC中，∠△ADE沿DE折叠，使点A落在（2023·山东潍坊·校考一模）9．如图，在Rt ABC ∆中，90ABC ∠=交BC 于点E ，那么DE 的长为（2023春·江苏苏州·九年级苏州市景范中学校校考期末）10．如图，已知△ABC 是面积为A．5B2（2023秋·湖南永州·九年级校考期中）14．菱形ABCD中，AE⊥①BF为∠ABE的角平分线；（2023·河北邯郸·校考三模）17．如图，四边形ABCD菱形ABCD的周长为A．（3﹣3）cm B．（2023秋·上海·九年级上海市文来中学校考期中）25．在梯形ABCD 中，AB DC ，90B ∠＝交边AB 于点F ．将BEF △沿直线EF 翻折得到（2023·北京大兴·统考一模）(1)求坝底AD的长；(2)为了提高堤坝防洪抗洪能力，防汛指挥部决定在背水坡加固该堤坝，要求坝顶加宽α=︒．求加固总长5千米的堤坝共需多少土方？30(1)如图1，如果1AD =，且3CE DE =，求ABE ∠的正切值；(4)在（2）的条件下，设PQ 的长为cm x ，试确定S 与x 之间的关系式．（2023春·湖北宜昌·九年级校考期中）31．如图，在梯形ABCD 中，AB DC ，90BCD ∠=︒，且1,2AB BC ==，tan 2ADC ∠=．(1)求证：DC BC =；(2)E 是梯形内一点，F 是梯形外一点，且,EDC FBC DE BF ∠=∠=，当:1:2BE CE =，135BEC ∠=︒时，求sin BFE ∠的值．（2023·河北沧州·统考模拟预测）32．为了传承红色教育，某学校组织学生网上游览中央红军长征出发地纪念园，门口的主题雕塑平面示意图如图所示，底座上方四边形GDEF 的边DE 与底座四边形ABCD 的边AD 在同一条直线上，已知AB CD EF ∥∥，1.6AD BC ==米，FGC A ∠=∠，雕塑的高为7.5米，底座梯形下底边AB 长为8.6米，斜坡的坡度为3:1．(1)判断四边形DEFG 的形状；(2)求底座四边形ABCD 中CD 的长度；（2023秋·宁夏银川·九年级银川市第三中学校考期中）37．如图，在△ABC中，∠分别作AB、AC边的垂线，垂足分别为(1)若20∠∠=︒，则BCEABC∠(2)若BE BD=，则tan ABC（2023秋·四川内江·九年级校考期中）39．如图，在 ABC中，DCF的长．（2023秋·河南驻马店·九年级统考期末）中，40．已知：如图，在ABC(1)线段EF的长；∠的余弦值．(2)B谢谢观看。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
构造直角三角形巧解题
山东省博兴县锦秋街道清河学校 张海生 256500
有些几何题，若能仔细观察、把握特征、抓住本质、恰当地构造直角三角形进行转化，就会收到化难为易、事半功倍的效果.下面举例介绍构造直角三角形解题的若干常用方法，供同学们复习时参考.
一、利用已知直角构造直角三角形 例1：如图1，在四边形ABCD 中，∠A=060，∠B=∠D=090，AB=2，CD=1.则BC 和AD 的长分别为_______和_______.
解析:考虑到图中含有090和060的角，若延长AD 、BC 相交于E ，则可以构造出Rt △AEB 和Rt △CED ，易知∠E=030，从而可求出DE=3，AE=4，BE=23，故AD=4-3，BC=23-2.
二、利用勾股定理构造直角三角形
例2：如图2，在四边形ABCD 中，AB=AD=8，∠A=060，∠ADC=0150，已知四边形ABCD 的周长为32，求四边形ABCD 的面积.
解析:四边形ABCD 是一个不规则的四边形，要求其面积，可设法变成特殊的三角形求解.连接BD ，则△ABD 是等边三角形， △BDC 是直角三角形，由于AB=AD=BD=8，，求△ABD 的面积不难解决，关键是求△BDC 的面积.可运用周长和勾股定理联合求出DC ，从而求出△BDC 的面积.
解答:连接BD.∵AB=AD ，∠A=060，∴△ABD 是等边三角形. ∴∠ADB=060，BD=AD=AB=8. 因为∠ADC=0150，∴∠BDC=090，
故△BDC 是直角三角形，
因为四边形ABCD 的周长为32， AB=AD=8，
∴BC+DC=32-16=16，BC=16-DC.
在Rt △BDC 中，222BC DC BD =+， 即()222168DC DC -=+.解得DC=6. ∴248621=⨯⨯=∆B DC S .用勾股定理求出等边△ABD 的高为3482
3=⨯. 3163482
1=⨯⨯=∆A B D S .∴24316+=+=∆∆B DC A B D A B CD S S S 四. 说明:⑴求不规则的图形面积应用割补法把图形分解为特殊的图形;⑴四边形中通过添加辅助线构造直角三角形;⑶边长为a 的等边三角形的高为a 23，面积为24
3a . 三、利用高构造直角三角形
例3：如图3，等腰△ABC 的底边长为8cm ，腰长为5cm ，一动点P 在底边上从B 向C 以0.25cm/s 的速度移动，请你探究：当P 运动几秒时，P 点与顶点A 的连线PA 与腰垂直.
解析：本题是一道探究性的动态问题，假设P 在某一时刻有PA ⊥AC ，此时P 点运动了几秒，这是解决问题的着手点.设BP=x ，PC=8-x ，在Rt △PAC 中，由于PA 不知道，无法建立关系式.考虑△ABC 是等腰三角形，如作底边上的高AD ，则可用x 的代数式表示AP ，用勾股定理便可求出x ，进而求出运动时间.当P
点运动到D 与C 之间时，也存在AP ⊥AB 的情况，故要分类
讨论.
解答：作底边BC 的高AD ，则AD ⊥BC ，垂足为D. 设BP=xcm ，PA ⊥AC. 图1
图2
图3
由等腰三角形的性质知BD=DC=2
1BC=4cm. 在Rt △ADB 中，222AB BD AD =+， 94522222=-=-=BD AB AD ，∴AD=3 (cm).
在Rt △PAC 中， 222PC AC AP =+，∴()()22228543x x -=+-+.
解得x=47，即BP=4
7(cm). P 点移动的时间为
47÷0.25=7(s). 当P 点移动到D 点与C 点之间时，作P 点关于D 点的对称点P '， 则47='C P (cm).4
25478=-='P B (cm). 此时P 点的运动时间为
2525.0425=÷(s). 答：当P 点移动7(s)或25(s)时，PA 与腰垂直.
说明：动态探究问题的解答关键是把它在某一瞬间看做不动，即动中求静，抓住运动中的不变量进行探究.本例中等腰三角形“三线合一”的性质与勾股定理是构成解决问题的纽带，由于点P 是运动的，故要分类讨论.
四、利用勾股定理的逆定理构造直角三角形
例4:如图4，在△ABC 中，AB=5，AC=13，BC 边上的中线AD=6，求BC 的长.
解析:注意到5，12，13恰为一组勾股数，因此加倍延长中线AD 到E ，连接CE ，将AB ，AC ，2AD 集中到同一△ACE 中，构成直角三角形，运用勾股定理求BC 的长. 解答:延长AD 到E ，使DE=AD ，连接CE.
∵AD 是BC 边上的中线， ∴BD=CD.
又AD=ED ， ∠ADB=∠EDC ， ∴△ADB ≌△EDC(SAS)， ∴CE=BA=5. 又AC=13，AE=2AD=12， ∴22213169125==+，即222AC AE CE =+， ∴△AEC 是直角三角形且∠E=090.
在Rt △DEC 中，222CE DE CD +=， ∴CD=，61
5622=+BC=2CD=2，61 ∴BC 边的长为261.
说明:遇到中线问题往往加倍延长，同时对勾股数应有灵敏的感觉，只要已知三角形三边的长，就应该用勾股定理的逆定理来判断三角形的形状.。