构造直角三角形
构造直角三角形解题
构造直角三角形解题
本文将重点介绍用来构造直角三角形的基本方法：
一、三角形属性
1、任何三角形都有三条边和三个内角；
2、三条边和三个内角皆可用来构造直角三角形；
3、直角三角形必须有一个直角，也就是其中一个内角是90度；
4、直角三角形的边长必须符合勾股定理：a² + b² = c²。
其中a和b是直角三角形的两条相较较短的边，c是直角三角形的斜边。
二、构造直角三角形的基本方法
1、依据勾股定理构造直角三角形：根据斜边c的长度来计算出a和b 两边的长度，即a² + b² = c²，然后画出三边，再将内角调节至90度即可构造出一个直角三角形。
2、拉伸和缩短给定的边：将给定的边进行拉伸和缩短，确保它们仍符合勾股定理即a² + b² = c²，然后根据调整后的边构建三角形，最后将内角调整至90度即可构造出一个直角三角形。
3、给定三角形的两边和一内角：可用勾股定理来计算另一边的长度，即a² + b² = c²，然后绘制出三条边，把最后一个内角调整至90度即可构造出一个直角三角形。
综上所述，用来构造直角三角形的基本方法有三：依据勾股定理构造直角三角形，拉伸和缩短给定的边，给定三角形的两边和一内角。
熟练掌握这些技巧，就可以有效构建直角三角形。
用特殊角构造含30°角的直角三角形的四种技巧优质课件
5．如图，在四边形ABCD中，AD＝4，BC＝1，∠A
＝30°，∠B＝90°，∠ADC＝120°.求CD的长．
返回
解：延长AD，BC交于点E.
∵∠A＝30°，∠B＝90°，∴∠E＝60°，AE＝2BE. 又∵∠ADC＝120°， ∴∠EDC＝180°－120°＝60°. ∴△DCE是等边三角形． 设CD＝CE＝DE＝a， 则有2(1＋a)＝4＋a，解得a＝2.∴CD的长为2.
第13章 轴对称
13.3 等腰三角形
第5课时
用特殊角构造含30°角的直角三角形的四种 Nhomakorabea巧1
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技巧
1 直接运用含30°角的直角三角形的性质
1．(中考· 青岛)如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B ＝30°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂 足为E，DE＝1，则BC＝( C ) A.
又∵BD＝CD，∠BDE＝∠CDA，
∴△BED≌△CAD(AAS)．
返回
∴BE＝CA.∴AC＝12AB.
返回
技巧
4 作垂线段构造含30°角的直角三角形
6．如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，DC∥AB，
AC平分∠BAD，∠DAB＝30°.求证AD＝2BC. 证明：过点C作CE⊥AD，交AD的延长线于E. ∵DC∥AB，∠DAB＝30°， ∴∠DCA＝∠BAC，∠CDE＝30°.
在Rt△CDE中，∠CDE＝30°， ∴CD＝2CE.
证明：如图，连接AE.
∵AB＝AC，∠BAC＝120°，∴∠B＝∠C＝30°. ∵DE垂直平分AB，∴BE＝AE. ∴∠BAE＝∠B＝30°. ∴∠EAC＝120°－30°＝90°. ∵∠C＝30°，∴CE＝2AE. 又∵BE＝AE，∴CE＝2BE.
构造直角三角形解竞赛题
构造直角三角形解竞赛题是一种在数学竞赛中常见的题目类型。
这类题目通常要求考生利用所学知识和技能，通过各种方法构造出一个直角三角形，并且还要求考生能够解决一些关于直角三角形的问题。
在解决这类题目时，考生需要掌握一些基本的数学知识和技能。
首先，考生需要掌握如何构造直角三角形的方法。
常见的构造方法包括利用勾股定理、利用相似三角形等。
其次，考生还需要掌握如何解决关于直角三角形的问题。
这些问题可能包括求直角三角形的周长、面积、对边、对角线等。
在教学过程中，我们可以通过一些方法来帮助学生学习构造直角三角形解竞赛题。
首先，我们可以通过讲解基本知识和技能的方式来帮助学生掌握构造直角三角形和解决关于直角三角形的问题的方法。
其次，我们可以通过练习题的方式来帮助学生掌握构造直角三角形和解决关于直角三角形的问题的方法。
在练习过程中，我们可以设计一些模拟竞赛题，让学生通过练习来提高自己的能力。
此外，我们还可以利用一些数学软件或在线工具，帮助学生进行更加系统的学习。
在教学过程中，我们还应该注意培养学生的独立思考能力和创新能力。
我们应该教会学生如何独立思考、如何探究、如何推理，并且应该鼓励学生尝试新的方法和思路。
只有通过这样的培养，才能让学生在解决构造直角三角形解竞赛题时具有较强的独立思考能力和创新能力。
总之，构造直角三角形解竞赛题是一种具有较高难度的数学题目，要求考生掌握一些基本的数学知识和技能，并具有较强的独立思考能力和创新能力。
在教学过程中，我们应该通过讲解基本知识和技能、利用练习题和数学软件等方式帮助学生学习构造直角三角形解竞赛题，并且应该注重培养学生的独立思考能力和创新能力。
构造含30角的直角三角形解题
1构造含30°角的直角三角形解题山东 李树臣30︒的角是一个特殊的角，它具有一个特殊的性质，即“在直角三角形中，如果一个锐角等于30︒，那么它所对的直角边等于斜边的一半．”这一性质在各类考试中经常出现，利用它的关键是设法构造出含有30︒角的直角三角形．本文列举几例，以说明怎样通过添加辅助线构造出含30︒角的直角三角形．例1 如图1，在A B C △中，30B AC ∠=︒=，，等腰直角三角形A C D 的斜边A D 在A B 边上，求B C 的长．分析：本题含有30︒角的条件，因为只有在直角三角形中的30︒角才有上述的特殊性质，所以需作辅助垂线，构造出一个含有30︒角的直角三角形来，这是解决本体的关键所在．解：过点C 作C E A B ⊥，垂足为E ．因为90A C C D A C D =∠=︒，，所以2AD ==，因为C E A B ⊥，AC D △是等腰直角三角形，所以112A E A D C E ===。
在B C E Rt △中，∠例2 在A B C △中，120A B A C A =∠=︒，，A B 的垂直平分线交B C 于点D ，交A B 于点E ．如果1D E =，求B C 的长．分析：根据题意，容易发现2B D =，如果连接A D ，则有2A D B D ==，而24C D AD ==，所以B C 可求．解：连接A D ，D E 垂直平分A B ，AD BD =∴，90D E B ∠=︒．A B A C = ，120B A C ∠=︒，30B C ∠=∠=︒∴． 在BD E Rt △中13022B D E B D B D ∠=︒==，∴，∴．AD BD = ，1203090BAD B D AC BAC BAD ∠=∠∠=∠-∠=︒-︒=︒∴，∴，而30C ∠=︒， 12A D C D =∴，224C D A D B D ===，故有：426B C C D B D =+=+=．例3 如图3，60D AB C D AD C B AB ∠=︒⊥⊥，，，且21AB C D ==，，求A D 和B C 的长．分析：注意到条件6090D A B B ∠=︒∠=︒，，联想到含30︒角的直角三角形的性质，延长A D 和B C ，就可以构造出两个含30︒角的直角三角形来．解：延长A D ，B C 交于点E ．∵6090D A B B ∠=︒∠=︒，，30E ∠=︒∴，又C D A D ⊥，9022CDE CE CD ∠===∴，∴，图3ADE CB图22DE ==∴又3090E B ∠=︒∠=︒，， 24AE AB ==∴，BE ==∴，42AD AE D E BC BE C E =-=-=-=∴．例4 如图4，在△ABC 中，BD ＝DC ，若AD ⊥AC ，∠BAD ＝30°．求证：AC ＝12AB ．分析：由结论12A C AB =和条件30BAD =∠，就想到能否找到或构造直角三角形，而显然图中没有含30°角的直角三角形，所以过B 作BE AD ⊥交A D 的延长线于点E ，这样就得到了直角三角形A B E ，这是解决本题的关键．证明：过B 作BE AD ⊥交A D 的延长线于E ，则90A E B ∠=︒．1302B A D B E A B ∠=︒=，∴．90AD AC D AC ⊥∠=︒ ，∴， A E B D A C ∠=∠∴．又B D C D B D E C D A =∠=∠，，B E DC AD ∴△≌△， 12BE C A A C A B ==∴，∴．ABCED 图4。
北师大版八年级数学上册微专题1 如何构造直角三角形
即学校征收这块地需要 234000 元．
类型三 利用补形法构造直角三角形 3. 如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，点 D 是 AB 的中点，点 E，F 分别为 AC，BC 的中点，DE⊥DF.试说 明：AE2＋BF2＝EF2.
类型四 利用勾股定理的逆定理构造直角三角形求 面积
4. 已知：如图，在四边形 ABCD 中，AD∥BC，AB ＝4，BC＝6，CD＝5，AD＝3.求四边形 ABCD 的面积．
解：如图，作 DE∥AB 交 BC 于点 E，连接 BD，则 可以证明△ABD≌△EDB(ASA)，所以 DE＝AB＝4，
BE＝AD＝3. 因为 BC＝6，所以 EC＝3.所以 EC＝EB. 因为 DE2＋CE2＝42＋32＝25＝CD2， 所以△DEC 为直角三角形．所以∠DEC＝90°. 四边形ABCD＝12(AD＋BC)×AB＝12×(3＋6)×4＝18.
类型二 利用分割法构造直角三角形 2. 学校要征收一块土地，形状如 图所示，已知∠B＝∠D＝90°，AB＝ 20 m，BC＝15 m，CD＝7 m，土地价 格为 1000 元/m2，请你计算学校征收这 块地需要多少钱？
解：如图，连接 AC，在△ABC 中，AC2＝AB2＋BC2 ＝202＋152＝625，
解：如图，延长 ED 至点 G，使 DG＝ED，连接 BG， FG.
在△ADE 和△BDG 中，因为 AD＝DB，∠1＝∠2， ED＝DG，所以△ADE≌△BDG(SAS)．
所以 AE＝BG，∠3＝∠4. 又因为∠4＋∠5＝90°，所以∠3＋∠5＝90°. 又因为 DF⊥EG，DE＝DG，易证△EDF≌△GDF， 所以 FG＝EF. 在 Rt△FBG 中，BG2＋BF2＝FG2，即 AE2＋BF2＝EF2.
第7讲、构造直角三角形
第七讲 构造直角三角形知识梳理1．勾股定理的逆定理: 如果三角形的三边长a ，b ，c 满足a 2+b 2=c 2，那么这个三角形是直角三角形(1) 勾股定理是直角三角形的性质定理，而勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理。
即：在△ABC 中，若222c b a =+，则△ABC 为Rt △。
(2) 满足a 2+b 2=c 2的三个正整数，称为勾股数。
常用的勾股数组：如: 3、4、5； 6、8、10； 5、12、13等；若a ，b ，c 为一组勾股数，那么ka ，kb ，kc （k ≠0,k 为常数）也是勾股数。
2．判定一个三角形是否为直角三角形的步骤与方法◆步骤：① 首先确定最大边；② 计算最大边的平方及其余两边的平方和； ③ 比较最大边的平方与其余两边的平方和。
◆方法：假设三角形的三边分别为a ，b ，c ，且c 为最大边：（1）若222c b a =+，则三角形是直角三角形； （2）若222c b a >+，则三角形是锐角三角形； （3）若222c b a <+，则三角形是钝角三角形。
例题精讲例1：已知△ABC 的三边为a 、b 、c ，有下列各组条件，判定△ABC 的形状。
（1）a ＝6，b ＝8，c ＝10； （2）a ＝41，b ＝40，c ＝9；（3））（，，0n m mn 2c n m b n m a 2222>>=+=-=。
例2：如图，在四边形ABCD 中，∠C 是直角，AB ＝13，BC ＝4，CD ＝3，AD ＝12，求证：AD ⊥BD 。
同步训练 A 组1．已知a 、b 、c 是△ABC 的三边，（1）a ＝0.3，b ＝0.4，c ＝0.5； （2）a ＝4，b ＝5，c ＝6； （3）a ＝7，b ＝24，c ＝25； （4）a ＝15，b ＝20，c ＝25． 上述四个三角形中，直角三角形有( )个。
2．下列命题中的假命题是( )A ．在△ABC 中，若∠A ＝∠C －∠B ，则△ABC 是直角三角形；B ．在△ABC 中，若222c b a =+，则△ABC 是直角三角形；C ．在△ABC 中，若∠A,∠B,∠C 的度数比是1：2：3，则△ABC 是直角三角形；D ．在△ABC 中，若三边长a ：b ：c ＝1：2：3，则△ABC 是直角三角形。
构造直角三角形在解题中的应用
所 ： ＝ 。 以Ｅ ， 号 Ａ
设 Ａ Ｅ＝４ ， Ｅ＝ ｋ 所 以 Ａ ｋＢ ３ ， Ｂ＝５ 。 ｋ
又 因为 Ａ ５米 ， 以 ：１则 Ａ Ｂ＝ 所 ， Ｅ＝４ 。 米 设整修后的斜坡 长为 Ａ 由整修 后坡度 为 ｌ Ｂ， ：
当 Ｅ Ｎ＝４ ｏ ， Ｎ ：Ｅ ＝ ６ ０ 。 Ｂ ５时 Ｂ Ｎ ２． 米 Ａ Ｅ＝Ａ Ｄ＝Ｂ Ｎ—Ｂ ＝２ ． —１ ＝１ 米 。 Ｄ ６０ ５ １
思路方法
Ｓ
构 造 直 角 三 角 形 在 解 题 中 的应 用
■ 郭 才福
直 角三 角形 的边 角 关 系 ， 实 际 问题 中有 着 广 在 泛 的 应 用 。解 决 这 类 问题 的关 键 在 于 发 现 或 构造 出 直 角 三 角形 ， 以便 利 用 直 角 三 角 形 的边 角 关 系使 问 题 顺 利 获解 。
在 Ｒａ Ｂ Ｅ 中 ， ｎ ＝ ， ｔ Ｃ ｔ３ ａ ： ＋６。 ． ＝３（ ＋１ ８ ．６ 米 ） ０ ・ ． Ｏ ） １９ （ 。 答： （ 作者单位 ： 河南省林州市临淇镇 中心学校） 州市临淇
・
５＋ 一５３ ３４ ｋ 。 ５ ， ． （ｍ） 隧道开通后 ， 汽车从 地到 地 比原来少走 约
３． ｍ 。 ４ｋ
例 ３ ２０ （０７年 资 阳 市 ） 一 座 建 于 若 干 年 前 的 水 库 大 坝 的横 断 面 如 图 ４所 示 ， 其 中背 水 面 的 整 个 坡 面 是 长
１：
水 பைடு நூலகம்
的 少
分 析 ： 题 是 一 道 与 坡 度 有 关 的 实 际 计 算 及 方 本 案设计试题。解决 本题应对坡 度的意 义正确认 识 ， 并能根据坡度进行计算 。 解 ：１作 Ａ 上 Ｂ （） Ｅ Ｃ于 。 因 为 原 来 的坡 度是 １０７ ， ：．５ Ａ Ｄ＝Ａ ｓ Ａ Ｃ＝３ Ｂ・ｉ Ｂ ｎ ０×ｓ ６￣ ５ ３ ２ ．８ ｉ ０ ＝１√ ５ ９ ｎ ２ ．（ ） Ｄ ６ ０ 米 ， Ｂ＝１ 米 。 ５ 连 结 Ｂ 过 Ｅ作 Ｅ ｊ Ｂ Ｅ， Ｎ ＿ Ｃ于 Ⅳ。 Ａ ∥Ｂ ． Ｅ Ｃ 四边形 Ａ Ｎ Ｅ Ｄ是矩形 ， Ｎ Ｅ＝Ａ ２ Ｄ ６米 。 在 ＲＡ Ｅ Ｂ中 ， 【 Ｎ 由已 知 Ｅ Ｎ≤４ｏ Ｂ ５，
巧用特殊角构造30的直角三角形
教学重点
构造30°的直角三角形，利用“在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ于斜边的一半.”来解决与线段长有关的问题
教学过程
一、连接两点构造30°的直角三角形
1、如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AC的垂直平分线交BC于D，交AC于E，DE=2，求BC的长。
5、如图，点P是△ABC的边BC上一点，PC=2PB，∠ABC=45°，∠APC=60°，_求∠ACB的度数。
2、如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°,D为BC的中点，DE⊥AC于E，AE=2，求CE的长。
二、延长两边构造30°的直角三角形
3、如图，四边形ABCD中，AD=4，BC=1，∠A=30°，∠B=90°，∠ADC=120°，求CD的长。
三、作垂线构造30°的直角三角形
4、如图，△ABC中，BD是AC边上的中线，BD⊥BC于点B，∠ABD=30°，求证：AB=2BC
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构造直角三角形，解三角函数题
一、在方格中构造直角三角形
1、如图，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则sinA的值√5/5
2、如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点A、B、C、D都在格点上，AB与CD
相交于点P，则tan∠APD= 2
二、在圆中构造直角三角形
1、如图，直径为10的⊙A经过点C（0,5）、O（0,0），B是y轴右侧⊙A优弧上一点，
则cos∠OBC= √3/2
2、如图，在半径为5的⊙O中，弦AB=6，点C是优弧AB上一点（不与A、B重合）
则cosC= 0.8
三、在平面上造直角三角形
1、如图，AD是等腰△ABC底边BC上的高，tanB=4/3，AC上有点E，满足AE：EC=2:3，
则tan∠ADE= 0.5
2、在平面直角坐标系中，点A的坐标为（3，0），点B是y轴正半轴上的一点，点C
是第一项限内一点，AC=2，cos∠BOC=m,则m的取值范围是0﹤m≦2/3。