点动构造直角三角形问题
函数中因动点产生的直角三角形问题
专题6：函数中因动点产生的直角三角形问题构造直角三角形的方法： 1．要分别考虑以三点为直角顶点的情况 2．再利用相似、勾股定理或者锐角三角函数的相关知识计算，从而求出对应的点坐标．例题、已知：如图一次函数y ＝12x ＋1的图象与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ；二次函数y ＝12x 2＋bx ＋c 的图象与一次函数y ＝12x ＋1的图象交于B 、C 两点，与x 轴交于D 、E 两点且D 点坐标为(1，0)(1)求二次函数的解析式；(2)求四边形BDEC 的面积S ；(3)在x 轴上是否存在点P ，使得△PBC 是以P 为直角顶点的直角三角形？若存在，求出所有的点P ，若不存在，请说明理由．解：(1)将B (0，1)，D (1，0)的坐标代入y ＝12x 2＋bx ＋c 得 1,10.2c b c =⎧⎪⎨++=⎪⎩得解析式y ＝12x 2－32x ＋1………………3分 (2)设C (x 0，y 0)，则有00200011,13 1.22y x y x x ⎧=+⎪⎨⎪=-+⎩解得004,3.x y =⎧⎨=⎩∴C (4，3)．………6分 由图可知：S ＝S △ACE －S △ABD ．又由对称轴为x ＝32可知E (2，0)． ∴S ＝12AE ·y 0－12AD ×OB ＝12×4×3－12×3×1＝92………………………8分 当P 为直角顶点时，如图：过C 作CF ⊥x 轴于F ．∵Rt△BOP ∽Rt△PFC ，∴BO OP PF CF =．即143a a =-． 整理得a 2－4a ＋3＝0．解得a ＝1或a ＝3∴所求的点P 的坐标为(1，0)或(3，0)综上所述：满足条件的点P 共有二个………………12分(3)设符合条件的点P 存在，令P (a ，0)：当P 为直角顶点时，如图：过C 作CF ⊥x 轴于F ，∵Rt △BOP ∽Rt △PFC ，∴CF OP PF BO =,即341a a =-， 整理得a 2-4a+3=0，解得a=1或a=3，∴所求的点P 的坐标为（1，0）或（3，0）， 综上所述：满足条件的点P 共有二个。
动点生成直角三角形问题
二次函数的动点生成直角三角形的问题1．综合与探究：如图,抛物线213y x x 442=--与x 轴交于A,B 两点(点B 在点A 的右侧)与y 轴交于点C,连接BC,以BC 为一边,点O 为对称中心作菱形BDEC,点P 是x 轴上的一个动点,设点P 的坐标为（m ，0），过点P 作x 轴的垂线l 交抛物线于点Q 。
（1）求点A,B,C 的坐标。
（2）当点P 在线段OB 上运动时，直线l 分别交BD ，BC 于点M,N 。
试探究m 为何值时，四边形CQMD 是平行四边形，此时，请判断四边形CQBM 的形状，并说明理由。
（3）当点P 在线段EB 上运动时，是否存在点 Q ，使△BDQ 为直角三角形，若存在，请直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由。
2．如图，抛物线2y ax bx 4=++的对称轴是直线x=32，与x 轴交于点A 、B 两点，与y 轴交于点C ，并且点A 的坐标为（—1，0）.（1）求抛物线的解析式；（2）过点C 作CD//x 轴交抛物线于点D ，连接AD 交y 轴于点E ，连接AC ，设△AEC 的面积为S 1, △DEC 的面积为S 2，求S 1：S 2的值；（3）点F 坐标为（6，0），连接D ，在（2）的条件下，点P 从点E 出发，以每秒3个单位长的速度沿E→C→D→F 匀速运动；点Q 从点F 出发，以每秒2个单位长的速度沿F→A 匀速运动，当其中一点到达终点时，另外一点也随之停止运动.若点P 、Q 同时出发，设运动时间为t 秒，当t 为何值时，以D 、P 、Q 为顶点的三角形是直角三角形?请直接写出所有符合条件的t 值..3．如图1，已知直线y=x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y=﹣x2+bx+c经过A、B两点，与x轴交于另一个点C，对称轴与直线AB交于点E，抛物线顶点为D．（1）求抛物线的解析式；（2）在第三象限内，F为抛物线上一点，以A、E、F为顶点的三角形面积为3，求点F 的坐标；（3）点P从点D出发，沿对称轴向下以每秒1个单位长度的速度匀速运动，设运动的时间为t秒，当t为何值时，以P、B、C为顶点的三角形是直角三角形？直接写出所有符合条件的t值．4．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=60cm，∠A=60°，点D从点C出发沿CA方向以4cm/秒的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/秒的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒（0＜t≤15）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF．（1）求证：AE=DF；（2）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值，如果不能，说明理由；（3）当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由．5．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴的一个交点A的坐标为（﹣1，0），对称轴为直线x=﹣2．（1）求抛物线与x 轴的另一个交点B 的坐标；（2）点D 是抛物线与y 轴的交点，点C 是抛物线上的另一点．已知以AB 为一底边的梯形ABCD 的面积为9．求此抛物线的解析式，并指出顶点E 的坐标；（3）点P 是（2）中抛物线对称轴上一动点，且以1个单位/秒的速度从此抛物线的顶点E 向上运动．设点P 运动的时间为t 秒．①当t 为 秒时，△PAD 的周长最小？当t 为 秒时，△PAD 是以AD 为腰的等腰三角形？（结果保留根号）②点P 在运动过程中，是否存在一点P ，使△PAD 是以AD 为斜边的直角三角形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．6．（2013年四川攀枝花12分）如图，抛物线y=ax 2+bx+c 经过点A （﹣3，0），B （1.0），C （0，﹣3）．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P 为第三象限内抛物线上的一点，设△PAC 的面积为S ，求S 的最大值并求出此时点P 的坐标；（3）设抛物线的顶点为D ，DE ⊥x 轴于点E ，在y 轴上是否存在点M ，使得△ADM 是直角三角形？若存在，请直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．7．如图，已知一次函数y 0.5x 2=+的图象与x 轴交于点A ，与二次函数2y ax bx c =++的图象交于y 轴上的一点B ，二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴只有唯一的交点C ，且OC=2．（1）求二次函数2y ax bx c =++的解析式；（2）设一次函数y 0.5x 2=+的图象与二次函数2y ax bx c =++的图象的另一交点为D ，已知P 为x 轴上的一个动点，且△PBD 为直角三角形，求点P 的坐标．8．如图，在平面直角坐标系xOy 中，A 、B 为x 轴上两点，C 、D 为y 轴上的两点，经 过点A 、C 、B 的抛物线的一部分C 1与经过点A 、D 、B 的抛物线的一部分C 2组合成一条封闭曲线，我们把这条封闭曲线称为“蛋线”．已知点C 的坐标为（0，23-），点M 是抛物线C 2：2y mx 2mx 3m =--（m ＜0）的顶点．（1）求A 、B 两点的坐标；（2）“蛋线”在第四象限上是否存在一点P ，使得△PBC 的面积最大？若存在，求出△PBC 面积的最大值；若不存在，请说明理由；（3）当△BDM 为直角三角形时，求m 的值．9．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax 2+6x+c 的图象经过点A （4，0）、B （﹣1，0），与y 轴交于点C ，点D 在线段OC 上，OD=t ，点E 在第二象限，∠ADE=90°，tan ∠DAE=，EF ⊥OD ，垂足为F ．（1）求这个二次函数的解析式；（2）求线段EF 、OF 的长（用含t 的代数式表示）；（3）当△ECA 为直角三角形时，求t 的值．参考答案1．解：（1）当y=0时，213x x 4042--=，解得，12x 2x 8=-=，，∵点B 在点A 的右侧，∴点A ，B 的坐标分别为：（－2，0），（8，0）。
动点直角三角形问题的解法
“动点直角三角形问题”的三种解法李永红中考数学压轴题中常会出现“动点直角三角形问题”，如2013年山西、成都、攀枝花、长春、济宁、绵阳、襄阳等省市中考数学试卷中均出现了“动点直角三角形问题”，对于这类问题的解决，即使是数学尖子生也感到很棘手.其实，解决“动点直角三角形问题”有“法”可循，并不算“难”.一、例题分析例1 在直角坐标系中，已知点)0,1(A ，)2,0(-B ，将线段AB 绕点A 按逆时针方向旋转090至AC ，如图1.（1）求点C 的坐标；（2）若抛物线2212++-=ax x y 经过点C .①求抛物线的解析式；②在抛物线上是否存在点P （点C 除外）使ABP ∆是以AB 为直角边的直角三角形？若存在，求出所有点P 的坐标；若不存在，请说明理由.分析（1）构造三垂图可求得点C 的坐标为)1,3(-C .（2）①将点C 的坐标代入2212++-=ax x y 可求得抛物线的解析式为221212++-=x x y . ②法1（利用数形结合）：如图2，易求得直线AC 的解析式为2121+-=x y . 由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++-=+-=2212121212x x y x y 解得⎩⎨⎧=-=11y x 或⎩⎨⎧-==13y x （舍去）.此时点P 的坐标为)1,1(-.设过点B 且与直线AC 平行的直线的解析式为b x y +-=21，将点)2,0(-B 代入，得2-=b ，所以过点B 且与直线AC 平行的直线的解析式为221--=x y .由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++-=--=221212212x x y x y 解得⎩⎨⎧-=-=12y x 或⎩⎨⎧-==44y x .此时点P 的坐标为)1,2(--或)4,4(-.综上，存在符合条件的点P ，其坐标为)1,1(-或)1,2(--或)4,4(-. 法2（构造三垂图）：如图3，延长CA 交抛物线于点),(1n m P ，过点1P 作x D P ⊥1轴于点D ，易证DA P 1∆∽AOB ∆，∴OBAD OA D P =1.∵1=OA ，2=OB ，m AD -=1，n D P =1，∴211m n -=，即m n 2121-=.∵点),(1n m P 在抛物线上，∴221212++-=m m n .由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++-=-=2212121212m m n m n 解得⎩⎨⎧=-=11n m 或⎩⎨⎧-==13n m （舍去）.此时点P 的坐标为)1,1(-.过点B 作直线AC 的平行线，交抛物线于点2P ，3P .过点2P 作y E P ⊥2轴于点E ，易证2BEP ∆∽AOB ∆，可求得点2P 的坐标为)1,2(--；过点3P 作y F P ⊥3轴于点F ，易证3BFP ∆∽AOB ∆，可求得点3P 的坐标为)4,4(-；综上，存在符合条件的点P ，其坐标为)1,1(-或)1,2(--或)4,4(-. 法3（利用勾股定理）： 设抛物线上存在点)22121,(2++-m m m P ，使ABP ∆是以AB 为直角边的直角三角形.分别利用勾股定理可得52=AB ，,)22121()1(2222++-+-=m m m AP 2222)42121(++-+=m m m BP . 当点A 、B 分别为直角顶点时，分别由+2AB =2AP 2BP 、+2AB 2BP 2AP =得到关于m 的一元四次方程，用已学知识难以求解.例2 已知抛物线32++=bx ax y 与x 轴交于点)0,3(-A ，)0,1(B ，与y 轴交于点C ，如图4. （1）求抛物线的解析式及顶点的坐标；（2）在抛物线的对称轴l 上存在点Q ，使ACQ ∆为直角三角形，请求出点Q 的坐标.分析（1）易求得抛物线的解析式为322+--=x x y ，顶点坐标为)4,1(-.（2）法1（利用数形结合）：由于不易求直线AQ 或CQ 的解析式，所以本题不适合利用数形结合来解决. 法2（构造三垂图）：如图5，在对称轴l 上存在四个符合条件的点Q ，分别构造三垂图并利用三角形相似可求得)4,1(1-Q ，)2,1(2--Q ，)2173,1(3+-Q ，)2173,1(4--Q . 法3（利用勾股定理）：设点Q 的坐标为),1(n -，分别利用勾股定理可得182=AC ，,422n AQ +=22)3(1-+=n CQ .当090=∠ACQ 时，由+2AC =2CQ 2AQ 得224)3(118n n +=-++，解得4=n ，所以)4,1(1-Q .当090=∠CAQ 时，由+2AC =2AQ 2CQ 得22)3(1418-+=++n n ，解得2-=n ，所以)2,1(2--Q .当090=∠AQC 时，由+2AQ =2CQ 2AC 得18)3(1422=-+++n n ，解得2173±=n ，所以)2173,1(3+-Q ，)2173,1(4--Q . 综上，符合条件的点Q 有四个，分别为)4,1(1-Q ，)2,1(2--Q ，)2173,1(3+-Q ，)2173,1(4--Q . 二、方法比较利用数形结合：该方法并不是对每一个题都适用，当相应的直线方程能较容易求出时，可以使用该方法，而且解法比较简捷.构造三垂图：该方法对每一个题都适用，但解法较繁，当考虑情况不周时容易漏解.利用勾股定理：当动点在曲线上时，利用勾股定理得到的方程是一元四次方程，用已学知识难以求解，该方法不适用；当动点在直线上时，利用勾股定理得到的三个方程是一元一次方程或一元二次方程，容易求解而且不易漏解.通过上述分析和比较可以看到，解“动点直角三角形问题”通常有三种解法，解题时应根据题设条件选择恰当的解法，才能使问题快速地得以解决.。
二次函数压轴之直角三角形的存在性问题,方法集锦
②
AF BG
BF CG
得
3 m
3
3 (m2 3m)
解得m1 2 7(舍去), m 2 7
C2 (2 7,5 7)
方法一:一线三角构相似
① ②合并
第一种情况
E
设C(m, m2 3m)如图可得AOB : BEC
C
AO BO 得
3
3
BE EC |m2 3m 3| |m|
①
解得m1 2 7, m 2 7
C=900, AC2 CB2 AB2 (m 3)2 (m2 3m)2 m2 (m2 3m 3)2 18
m1
0,
m2
3 2
17
,
m3
3 2
17
C(0, 0),C(3 17 , 2)C(3 17 , 2)
2
2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
方法三:利用勾股定理
设C(m,m2 -3m)A(3,0)B(0,3) AB2 18, AC 2 (m 3)2 (m2 3m)2 BC 2 m2 (m2 3m 3)2
如图,抛物线y x2 3x,与x轴交于O、A，直线y=-x+3与y轴交于点B, 与抛物线交于A、D, 问:抛物线上是否存在点P使ABC为直角三角形,并求出P点的坐标
如图,抛物线y x2 3x,与x轴交于O、A，直线y=-x+3与y轴交于点B, 与抛物线交于A、D, 问:抛物线上是否存在点P使ABC为直角三角形,并求出P点的坐标
如图,抛物线y x2 3x,与x轴交于O、A，直线y=-x+3与y轴交于点B, 与抛物线交于A、D, 问:抛物线上是否存在点P使ABC为直角三角形,并求出P点的坐标
如图,抛物线y x2 3x,与x轴交于O、A，直线y=-x+3与y轴交于点B, 与抛物线交于A、D, 问:抛物线上是否存在点P使ABC为直角三角形,并求出P点的坐标
初中数学解题：动点形成直角三角形问题
学校集体备课纸 课 题 8.动点形成直角三角形问题 学期第（ ）课时 课时目标 1. 在动态背景下的直角三角形存在性问题，解题关键是以直角顶点分类，画出各种状态图，转化为方程解决;2. 列方程的方法常常用到勾股定理、三角形相似等．教学重难点1．重点：分类讨论思想.2．难点：方程思想解决直角三角形存在性问题. 教学过程二度备课（手写稿） 一、知识探究【探究1】双动点与一定点构成直角三角形如图，AB 是⊙O 的直径，弦BC ＝2 cm ，∠ABC ＝60°.(1)求⊙O 的直径；(2)若D 是AB 延长线上一点，连接CD ，当BD 长为多少时，CD 与⊙O 相切；(3)若动点E 以2 cm /s 的速度从A 点出发沿着AB 方向运动，同时动点F 以1 cm /s 的速度从B 点出发沿BC 方向运动，设运动时间为t ，连接EF ，当t 为何值时，△BEF 为直角三角形．【探究2】单动点与两定点构成直角三角形(2015·广东从化一模)如图，在平面直角坐标系中，△ABC 是直角三角形，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，OA ＝1，OC ＝4，抛物线y＝x 2＋bx ＋c 经过A ，B 两点．(1)求点N 的坐标(用含x 的代数式表示)；(2)在两个动点运动过程中，是否存在某一时刻若存在，求出x 的值；若不存在，请说明理由．(1)求抛物线的解析式；(2)点E是直角△ABC斜边AB上一动点(点A，B除外)，过点E 作x轴的垂线交抛物线于点F，当线段EF的长度最大时，求点E，F的坐标；(3)在(2)的条件下：在抛物线上是否存在一点P，使△EFP是以EF为直角边的直角三角形？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，说明理由．(2015·益阳改编)已知抛物线E1∶y＝x2经过点A(1，m)，以原点为顶点的抛物线E2经过点B(2，2)，点A，B关于y轴的对称点分别为点A′，B′.(1)求m的值及抛物线E2所表示的二次函数的表达式；(2)如图，在第一象限内，抛物线E1上是否存在点Q，使得以点Q，B，B′为顶点的三角形为直角三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．(三)思考(2015·无锡改编)已知：平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点分别为O(0，0)，A(5，0)，B(m，2)，C(m－5，2)．若BC上总存在点P，使∠OPA＝90°，此时m的范围是____________________二、感悟提升。
函数图像上由动点产生的直角三角形解题策略
（ｍ，一吉ｍ＋４），Ｑ（ｍ， ｍ２一兰ｍ一４）． 所以 Ｑ＝（一 １ ｍ＋４）一‘ １ ｍ 一吾ｍ一４）
（３）设 点 Ｑ的坐 标 为 （ ， １（ ＋２）（ 一８））
①如图 ４，＠ＡＤＢＱ＝９０。时 ， ＱＧ ： ：
一
ＧＢ ＨＤ ２‘
所以 ＝圭．
解得 ＝６．此时 Ｑ（６，一４）
Ｊ
义
八
～
ｃ ＼
图 ４
一 ｒｎ ＋ｍ＋ｓ．
② 如 Ｎ ５，￣￣ＢＤＱ＝９０。
＝ ＝２．
当ＭＱ＝ＤＣ＝８时 ．四边 形 ＣＱＭＤ是平 行 边 形 ．
Ｊ
义 ‘ ／一
ｆ
ｃ
０
２
解方 程一｛ｇ４ ｍ ＋ｍ＋８－８，得 ｍ＝４或 ｍ＝０（舍
ｃ
ｐ 图 ３
图 ６
Ｉ ４３
’
．
轴 交 于 ／ｌ、Ｂ两 点 （点 Ｂ在 点 Ａ的 右 侧 ），与 Ｙ轴
交 于 点 Ｃ，连 接 ＢＣ，以 ＢＣ为一 边 ，点 ０为 对 称
中心作 菱形 ＢＤＥＣ，点 Ｐ是 轴上 的一 个动点 ，
设 点 ，）的 坐标 为 （，ｎ，０），过 点 Ｊ【）作 轴一
Ｆ
一
ｃ
Ｑ 图 １
【思路点拨 】 １．笫 （２）题 先用 龠 Ⅲ的式子 丧乐线 段 ＭＱ 的 ， 根据 ＭＱ＝ＤＣ洲 ．
４２ Ｉ 策 略 方 法
初 数 学 －策 略 方 法
２．第 （２）题 要判 断 网边 形 ＣＱＢＭ 的形 状 ， 最 直接 的方法就 是根据 求得 的 ｍ的 值画一 个 准确 的示意 图 ，先得到结论．
初三数学平面直角坐标系内已知一边取点构造特殊三角形 华东师大版
初三数学平面直角坐标系内已知一边取点构造特殊三角形华东师大版一. 本周教学内容：平面直角坐标系内已知一边取点构造特殊三角形二. 教学过程：问题：在平面直角坐标系内已知一边（比如线段AB），按要求在坐标系内取一点（比如P），使△PAB为等腰三角形（直角三角形、等腰直角三角形）解题思路：按已知的边在特殊三角形中所“扮演”的角色进行分类讨论，具体如下：（1）当要构造的特殊三角形为等腰三角形时：①如果已知的边AB“扮演”底边，则要作AB的中垂线，点P一定在中垂线上。
②如果已知的边AB“扮演”腰，且A为要构造的等腰三角形的顶点，则要以A为圆心，AB长为半径画圆，点P一定在这个圆上。
③如果已知的边AB“扮演”腰，且B为要构造的等腰三角形的顶点，则要以B为圆心，AB长为半径画圆，点P一定在这个圆上。
（2）当要构造的特殊三角形为直角三角形时：①如果已知的边AB“扮演”斜边，则要以AB为直径画圆，点P一定在这个圆上。
②如果已知的边AB“扮演”直角边，且A为直角顶点，则要过A作AB的垂线，点P 一定在这条垂线上。
③如果已知的边AB“扮演”直角边，且B为直角顶点，则要过B作AB的垂线，点P 一定在这条垂线上。
例1. 如图所示，在直角坐标系中，点A（2，1），在坐标轴上求一点B，使△AOB是等腰三角形，并确定点B的坐标。
、，解：情形1：当OA为△AOB的底边时，作OA的中垂线，和x、y轴分别交于B B12如图（1）图（1）∵在Rt △AOC 中，OC AC ==21，∴AO =5∵B B 21是OA 的中垂线∴OE =52又∵∠∠OEB OCA 190==︒ ∠∠EOB COA 1=∴∆O ∆EB OCA 1~∴OE OC OB OA =1，即52251=OB∴∴（，）OB B 1154540=同理可得：B 2052（，）情形2：当OA 为腰且A 为顶点时，以A 为圆心，AO 长为半径画圆，如图（2）图（2）易得：B B 344002（，），（，）情形3：当OA 为腰且O 为顶点时，以O 为圆心，AO 长为半径画圆，如图（3）图（3）易得：B B 565005（，），（，）-B B 785005（，），（，）-例2. 已知：在直角坐标系中，点A （-10，）和点B （1，2），在坐标轴上确定点P ，使得△ABP 为直角三角形，那么满足这样条件的点P 有多少个？（ ） A. 8个 B. 6个 C. 4个 D. 2个 解：情形1：当AB 为斜边时，作以AB 为直径的圆 ∵（，），（，）A B -1012 ∴在Rt △ABC 中，AC ＝BC ＝2 ∴∠BAC ＝45° ∴OD ＝1∴AD AB ==212，即D 是AB 的中点∴即画以D 为圆心，AD 长为半径的圆，如图（1）图（1）易得：P P P 12301201210（，），（，），（，）+-情形2：当AB 为直角边，且A 为直角顶点时，过点A 作AB 的垂线，如图（2）：图（2）易得：P 401（，）-情形3：当AB 为直角边，且B 为直角顶点时，过点B 作AB 的垂线，如图（3）：图（3）易得：P P 563003（，），（，）∴满足这样条件的点P 有6个例3. 在数学活动课上，老师请同学们在一张长为18cm 、宽为14cm 的长方形纸板上剪下一个腰长为12cm 的等腰三角形（要求等腰三角形的一个顶点与长方形的一个顶点重合，其余两个顶点在长方形的边上）。
二次函数压轴题第五讲 因动点产生的直角三角形问题
第五讲因动点产生的直角三角形问题【知识要点】求直角三角形的存在性方法:（1）几何法：一个圆两条线；（2）代数法：盲解【典型例题】例1．如图，y=ax2+bx+c的图像与x轴交于A(－1，0)、B(3，0)两点，与y轴交于点C(0，－3)（1）求抛物线的解析式；（2）若点N是对称轴上一动点，且△NAC是直角三角形，求点N的坐标；例2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与y轴交与点C（0，3），与x轴交于A、B两点，点B坐标为（4，0），抛物线的对称轴方程为x=1．（1）求抛物线的解析式；（2）点M从A点出发，在线段AB上以每秒3个单位长度的速度向B点运动，同时点N从B点出发，在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向C点运动，其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动，设△MBN的面积为S，点M运动时间为t，试求S与t的函数关系，并求S的最大值；（3）在点M运动过程中，是否存在某一时刻t，使△MBN为直角三角形？若存在，求出t值；若不存在，请说明理由．例3．如图，直线33+-=x y 与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ．抛物线k x a y +-=2)2(经过A 、B ，并与x 轴交于另一点C ，其顶点为P ，（1）求a ，k 的值；（2）在图中求一点Q ，A 、B 、C 为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出相应的点Q 的坐标；（3）抛物线的对称轴上是否存在一点M ，使△ABM 的周长最小？若存在，求△ABM 的周长；若不存在，请说明理由；（4）抛物线的对称轴是上是否存在一点N ，使△ABN 是以AB 为斜边的直角三角形？若存在，求出N 点的坐标，若不存在，请说明理由．例4．如图，抛物线y=﹣x2+bx+c的图象与x轴交于A（﹣5，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴与x轴交于点D．（1）求抛物线的函数表达式；（2）如图1，点E（x，y）为抛物线上一点，且﹣5＜x＜﹣2，过点E作EF∥x轴，交抛物线的对称轴于点F，作EH⊥x轴于点H，得到矩形EHDF，求矩形EHDF周长的最大值；（3）如图2，点P为抛物线对称轴上一点，是否存在点P，使以点P，A，C为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由。
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中考数学压轴题系列讲座一：点动构造直角三角形专题
模型1：两定一动构造 直角三 角形
例题解析: 例1 如图1-1，在平面直角坐标 系xOy中，已知点A的坐标为 (3, 4)，点P是坐标轴上的一个动 点，如果△AOP是直角三角形， 求点P的坐标．
中考数学压轴题系列讲座一：点动构造直角三角形专题
例题 如图1，已知抛物线的顶点 为A（2，1），且经过原点O， 与x轴的另一个交点为B。 ⑴求抛物线的解析式；（用顶点 式求得抛物线的解析式为 ） 连接OA、AB，如图2，在x轴下 方的抛物线上是否存在点P，使 得△OBP与△OAB相似？若存 在，求出P点的坐标；若不存在， 说明理由。
中考数学压轴题系列讲座一：点动构造直角三角形专题
中考数学压轴题系列讲座一：点动构造直角三角形专题
总结： 两定一动构造直角三角形解题总思路为： 利用两线加一圆先确定动点的位置，再利用 代数法或几何法求出点的坐标。 其中，代数法易想但运算复杂，利用几 何法时常通过勾股定理、三角形相似或三角 函数等手段来解决。
中考数学压轴题系列讲座一：点动构造直角三角形专题
因动点产生的相似三角形问题
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例题解析: 例1 如图1-1，在平面直角坐标 系xOy中，已知点A的坐标为 (3, 4)，点P是坐标轴上的一个动 点，如果△AOP是直角三角形， 求点P题系列讲座一：点动构造直角三角形专题
例题解析: 例 如图1-1，在平面直角坐标系 xOy中，已知点A (3, 4)，B(5,6)， 点P是坐标轴上的一个动点，如果 △ABP是直角三角形，求点P的坐 标．
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