构造特殊三角形解题
坐标轴构造45度角等腰直角三角形解题
在此指定的主题下，我将从简单到复杂地探讨坐标轴构造45度角等腰直角三角形解题的方法和技巧。
在这篇文章中，我将向您解释如何利用坐标轴和几何知识来解决这类问题，并建议您在实际问题中运用这些解题技巧。
通过我的文章，您将能够全面地理解这一主题，并且对解题方法有更深入的了解。
让我们来简单了解一下坐标轴和45度角等腰直角三角形的相关概念。
坐标轴是平面上用来定位点的数学工具，通常分为横坐标轴和纵坐标轴。
而45度角等腰直角三角形则是一种特殊的直角三角形，其中一个角为45度，而另外两个角则为45度。
这种三角形具有一些特殊的性质，而在解题中经常会涉及到。
当我们要构造45度角等腰直角三角形时，我们可以利用坐标轴来辅助解题。
通过绘制坐标轴并标出特定的点，我们可以更清晰地理解并解决问题。
这种方法不仅可以帮助我们理解几何形状，还可以让我们更直观地看到解题的过程。
接下来，让我们深入探讨如何使用坐标轴构造45度角等腰直角三角形。
在这一部分，我将向您详细介绍如何根据题目要求，确定特定点的坐标并构造出45度角等腰直角三角形。
通过实际的例子和详细的步骤，我将帮助您更好地理解这一解题方法，并能够在实际问题中灵活运用。
在文章的后半部分，我将对这一主题做一个总结和回顾，帮助您全面地、深刻地理解坐标轴构造45度角等腰直角三角形解题的方法和技巧。
我还会共享一些个人观点和理解，希望能够给您更多启发和思考。
在整篇文章中，我将以知识的文章格式进行撰写，并且会使用序号标注，多次提及指定的主题文字。
文章的总字数将大于3000字，以确保您能够获得深度和广度兼具的内容。
通过我的文章，相信您将对坐标轴构造45度角等腰直角三角形解题有更全面、深刻和灵活的理解。
希望我的文章能够为您带来帮助，如果您有任何疑问或需要进一步的解释，请随时与我联系。
在接下来的部分中，让我们深入了解如何利用坐标轴构造45度角等腰直角三角形。
我们需要了解如何确定特定点的坐标。
对于一个平面上的点，我们可以使用横纵坐标来确定其位置。
构造等腰三角形解题的五种途径
构造等腰三⾓形解题的五种途径2019-09-19等腰三⾓形是⼀类特殊的三⾓形，它的性质和判定在⼏何证明和计算中有着⼴泛的应⽤.有些⼏何图形中不存在等腰三⾓形，可根据已知条件和图形特征，通过添加适当的辅助线，巧妙构造等腰三⾓形，然后利⽤等腰三⾓形的性质使问题获解.⼀、利⽤⾓平分线+平⾏线，构造等腰三⾓形当⼀个三⾓形中出现⾓平分线，我们可以通过作平⾏线构造等腰三⾓形.如图1，AD是ABC的⾓平分线.①如图2，过点D作DE∥AC交AB于点E，则ADE是等腰三⾓形；②如图3，过点B作BE∥AC交AD的延长线于点E，则ABE是等腰三⾓形；③如图5，点E是AB边上⼀点，过点E作EF∥AC分别交AD、BC于点F、G，则AEF是等腰三⾓形；④如图4，点E是AB边上⼀点，过点E作EF∥AC，交AD的延长线于点F，交BC于点G，则AEF是等腰三⾓形；⑤如图6，过点C作CE∥AD交AB的反向延长线于点E，则ACE是等腰三⾓形；⑥如图7，点E是AC边上⼀点，过点E作EF∥AD，交AB的反向延长线于点F，交BC于点G，则AEF是等腰三⾓形.我们知道，等腰三⾓形的顶⾓平分线、底边上的中线和底边上的⾼互相重合，简称“三线合⼀”.现在的问题是：如果三⾓形⼀边上的中线与它的对⾓的⾓平分线重合，那么这个三⾓形是否是等腰三⾓形呢？答案是肯定的，现在就来证明这个定理.例1 如图8，ABC中，中线AD平分∠BAC.求证：AB=AC.分析：AD既是AC的中线，同时⼜是ABC的⾓平分线.联想到与⾓平分线和中线有关的辅助线，可过点B（或点C）作AC（或AB）的平⾏线.证明：如图9，延长AD⾄点E，使DE=AD.BD=CD，∠BDE=∠ADC，DE=AD，BDE≌CDA.BE=AC，∠E=∠CAD.⼜∠BAD=∠CAD，∠BAD=∠E.AB=BE.AB=AC.说明：本例也可过点D作DEAB，DFAC，垂⾜分别为E、F，如图10所⽰，从⾯积⼊⼿证明.⼆、利⽤⾓平分线+垂线，构造等腰三⾓形当⼀个三⾓形中出现⾓平分线时，我们也可以通过作垂线的⽅法构造等腰三⾓形.如图11，点E是∠ABC的⾓平分线AD上的⼀点，过点E作AD的垂线分别交AB、AC于点M、N，则AMN是等腰三⾓形.例2 如图12，在ABC中，∠A=90°，AB=AC，∠ABC的平分线BD交AC于D， CEBD，交BD的延长线于点E.求证：CE=BD.分析：由⾓平分线和垂线可以构造以BC为腰、∠ABC为顶⾓的等腰三⾓形.证明：如图12，延长CE交AB的反向延长线于点F.BD平分∠ABC，CEBD，由⾓平分线的对称性知CE=EF=CF.∠1+∠F =90°，∠2+∠F =90°，∠1=∠2.⼜AB=AC，∠BAD=∠CAF=90°，BAD≌CAF.BD=CF.CE=BD.三、利⽤中垂线，构造等腰三⾓形当⼀个三⾓形中出现⾼时，可以在⾼所在的边（或其延长线）上取⼀点，使⾼是该点与该边上三⾓形的⼀顶点组成的线段的中垂线，从⽽构造等腰三⾓形.如图13，AD是ABC的⾼.①如图14，在线段BC上取⼀点E使ED=DE，连结AE，则AEC是等腰三⾓形；②如图15，在线段BC的延长线上取⼀点E，使BD=DE连结AE，则ABE是等腰三⾓形.例3 如图16，在ABC中，ADBC于点D，∠B=2∠C.求证：AB+BD=CD.分析：由待证结论AB+BD=CD并结合已知条件“ADBC”，可构造以AB为腰、AD为底边上的⾼的等腰三⾓形.证明：在BC上取⼀点E，使BD=DE，连结AE，则ABE是等腰三⾓形.AB=AE，∠B=∠AED.⽽∠AED=∠C+∠CAE，且∠B=2∠C，∠C+∠CAE=2∠C.∠CAE=∠C.AE=CE.AB=CE.AB+BD=CE+DE=CD.四、利⽤平⾏线，构造等腰三⾓形过等腰三⾓形⼀腰上的点作底边或另⼀腰的平⾏线，都可以得到等腰三⾓形. 如图17，在ABC中，AB=AC.过线段AB上⼀点D 作DE∥BC，DF∥AC，分别交AC、BC于点E、F，则ADE和BDF都是等腰三⾓形.例4 如图18，ABC中，AB=AC，D是AB上⼀点，E是AC延长线上⼀点，且BD=CE，DE交BC于点F.求证：DF=EF.分析：由待证结论知点F是线段DE的中点，再结合已知条件“AB=AC”，可过点D作DM∥AC构造等腰三⾓形.证明：过点D作DM∥AC交BC于点M，则∠DMB=∠ACB，∠FDM=∠E.AB=AC，∠B=∠ACB.∠B=∠DMB.BD=DM.⼜BD=CE，DM=CE.在DMF和ECF中，DM=CE，∠FDM=∠E，∠DFM=∠EFC，DMF≌ECF.DF=EF.说明：本例也可过点E作EN∥AB交BC的延长线于点N，证明过程留给同学们完成.五、转化倍⾓，构造等腰三⾓形当⼀个三⾓形中出现⼀个⾓是另⼀个⾓的2倍时，我们就可以通过转化倍⾓寻找到等腰三⾓形.如图19，ABC中，∠B=2∠C.①如图20，作BD平分∠ABC，则DBC是等腰三⾓形；②如图21，延长CB到点D，使BD=BA，连结AD，则ADC是等腰三⾓形；③如图22，以C为⾓的顶点，CA为⼀边，在形外作∠ACD=∠ACB，交BA的延长线于点D，则DBC是等腰三⾓形.例5 如图23，在ABC中，∠ABC=2∠C，BC=2AB.求证：∠A=90°.分析：结合已知条件“∠ABC=2∠DBA”和“BC=2AB”，可作∠ABC的平分线BD交AC于点D，并取BC的中点E，连结DE，借助等腰三⾓形的“三线合⼀”和三⾓形全等证明.证明：作∠ABC的平分线BD交AC于点D，则∠DBE=∠C.BD=CD.取BC的中点E，连结DE，则BE=AB，且DEBC.在ABD和EBD中，BE=AB，∠DBE=∠DBA，BD=BD，ABD≌EBD.∠BED=∠A=90°.（作者单位：湖北省襄阳市襄州区黄集镇初级中学）注：本⽂为⽹友上传，不代表本站观点，与本站⽴场⽆关。
八年级数学下册-第06讲 解题技巧专题：构造等腰三角形的解题技巧(3类热点题型讲练)(解析版)
第06讲解题技巧专题：构造等腰三角形的解题技巧(3类热点题型讲练)目录【考点一利用平行线+角平分线构造等腰三角形】 (1)【考点二过腰或底作平行线构造等腰(边)三角形】 (6)【考点三利用倍角关系构造新等腰三角形】 (18)【考点一利用平行线+角平分线构造等腰三角形】例题：（2024上·北京西城·八年级校考期中）如图，在ABC 中，BD 平分ABC ∠，DE CB ∥，F 是BD 的中点．(1)求证：BDE 是等腰三角形(2)若50ABC ∠=︒，求DEF ∠的度数．【答案】(1)见解析(2)65︒【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，熟记相关定理内容是解题关键．（1）由角平分线的定义得EBD CBD ∠=∠，由DE CB ∥得EDB CBD ∠=∠即可求证；（2）先求出EDB ∠，根据“三线合一”得EF BD ⊥，即可求解．【详解】（1）证明：∵BD 平分ABC ∠，∴EBD CBD ∠=∠，∵DE CB ∥，∴EDB CBD ∠=∠，∴EBD EDB ∠=∠，∴EB ED=是等腰三角形；(1)如图1，求证：CDE∠交AC于E，(2)如图2，若DE平分ADC的长．【答案】(1)见解析(2)4【分析】本题考查角平分线、平行线的性质以及直角三角形的边角关系，掌握角平分线的定义，平行线的性质是解决问题的关键．∠=∠（1）根据角平分线的定义得出BCD(1)当53BE CF ==，，则EF =___________；(2)当BE CF >时，若CO 是ACB ∠的外角平分线，如图2，它仍然和∠作EF BC ∥，交AB 于E ，交AC 于F ，试判断EF BE ，，CF 之间的关系，并说明理由．【答案】(1)8(2)EF BE CF =-，见解析∴∠EBO =∠EOB ,∠FCO =∠FOC ，∴53BE OE OF CF ====，，∴8EF EO FO =+=，故答案为：8；（2）EF BE CF =-，理由如下：∵BO 平分ABC ∠，∴ABO OBC ∠=∠，∵EO BC ∥，∴EOB OBC ∠=∠，∴ABO EOB ∠=∠，∴BE EO =，同理可得FO CF =，∴EF EO FO BE CF =-=-．3．（2023上·吉林松原·八年级校考期末）【问题背景】在学习了等腰三角形等有关知识后，数学活动小组发现：当角平分线遇上平行线时一般可得等腰三角形．如图1，P 为AOB ∠的角平分线OC 上一点，常过点P 作PD OB ∥交OA 于点D ，易得POD 为等腰三角形．(1)【基本运用】如图2，把长方形纸片ABCD 沿对角线AC 折叠，使点B 落在点B '处，则重合部分ACE △的形状是_______．(2)【类比探究】如图3，ABC 中，内角ABC ∠与外角ACG ∠的角平分线交于点O ，过点O 作DE BC ∥分别交AB AC 、于点D E 、，试探究线段BD DE CE 、、之间的数量关系并说明理由；(3)【拓展提升】如图4，四边形ABCD 中，,AD BC E ∥为CD 边的中点，AE 平分BAD ∠，连接BE ，求证：AE BE ⊥．【答案】(1)ACE 是等腰三角形(2)BD DE CE =+，理由见解析(3)见解析【分析】本题考查等腰三角形的性质，平行线的性质，直角三角形的性质，掌握等腰三角形的性质，平行线的性质是解题的关键．（1）根据材料提示，平行线的性质，等腰三角形的性质即可求证；（2）根据（1）的结论可知，BDO △为等腰三角形，则BD OD =，且OCG ECO EOC ∠=∠=∠，可证CE OE =，由此即可求解；（3）如图所示，过点E 作EF AD ∥，E 为CD 边的中点，可知点F 是AB 的中点，得出BEF △为等腰三角关系，证明BE 平分ABC ∠，再根据两直线平行同旁内角互补，即可证明2590∠+∠=︒，即直角三角形AEB ，由此即可求证．【详解】（1）ACE △是等腰三角形；理由：在长方形ABCD 中， DC AB ∥，∴∠=∠ACD BAC ，由折叠性质可得BAC B AC '∠=∠，∴ACD B AC '∠=∠，AE CE ∴=，ACE ∴ 是等腰三角形；故答案为：等腰三角形；（2）解：BD DE CE =+，理由如下，∵BO 平分ABC ∠，OD BC ，∴ABC CBO DOB ∠=∠=∠，∴BDO △为等腰三角形，则BD OD =，CO 平分ACG ∠，DO ∥BC ，OCG ECO EOC ∴∠=∠=∠，COE ∴ 为等腰三角形，即CE OE =，BD DO DE EC ==+ ，BD DE CE ∴=+．（3）证明：如图所示，过点E 作EF AD ，AD 交AB 于点F ，E 为CD 边的中点，∴点F 是AB 的中点，即AF BF =，AD ∥BC ，AE 平分BAD ∠，123∴∠=∠=∠，AEF ∴ 是等腰三角形，即AF EF =，EF BF ∴=，∴∠=∠，45∥，EF AD∴∠=∠，46∴∠=∠，56∥BC，AD∠+∠=︒，1256180∴∠+∠+∠+∠=︒，即2225180∴∠+∠=︒，2590()∴∠=︒-∠+∠=︒-︒=︒，180251809090AEB∴⊥．AE BE【考点二过腰或底作平行线构造等腰(边)三角形】是等边三角形，点D在AC上，点E在BC的延长例题：（2023上·吉林通化·八年级统考期末）如图，ABC=．线上，且BD DE(1)若点D是AC的中点，如图1，则线段AD与CE的数量关系是__________；(2)若点D不是AC的中点，如图2，试判断AD与CE的数量关系，并证明你的结论；(提示：过点D作DF BC∥，交AB于点F)(3)若点D在线段AC的延长线上，（2）中的结论是否仍成立？如果成立，请给予证明；如果不成立，请说明理由．=，理由见解析【答案】(1)AD CE=，理由见解析(2)AD CE(3)成立，理由见解析【分析】本题考查全等三角形判定与性质，平行线性质，等腰三角形性质，等边三角形性质与判定．（1）求出E CDE ∠=∠，推出CD CE =，根据等腰三角形性质求出AD DC =，即可得出答案；（2）过D 作DF BC ∥，交AB 于F ，证明BFD DCE ≌，推出DF CE =，证ADF △是等边三角形，推出AD DF =，即可得出答案；（3）过点D 作DP BC ∥，交AB 的延长线于点P ，证明BPD DCE ≌，得到PD CE =，即可得到AD CE =．【详解】（1）解：AD CE =，理由如下：ABC 是等边三角形，60,ABC ACB AB AC BC ∴∠=∠=== ．∵点D 为AC 中点，30,DBC AD DC ∴∠== ，BD DE = ，30E DBC ∴∠=∠= ，ACB E CDE ∠=∠+∠ ，30CDE E ∴∠=∠= ，CD CE ∴=，又AD DC = ，AD CE ∴=．故答案为：AD CE =；（2）解：AD CE =，理由如下：如图，过点D 作DF BC ∥，交AB 于点F ，则60ADF ACB ∠=∠= ，60A ∠= ，AFD ∴ 是等边三角形，,60AD DF AF AFD ∴==∠= ，18060120BFD DCE ∴∠=∠=-= ，D F B C ∥ ，FDB DBE E ∴∠=∠=∠，在BFD △和DCE △中，FDB E BFD DCE BD DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，BFD DCE ∴ ≌()AAS ，DF CE ∴=，又AD DF = ，AD CE ∴=；（3）解：结论仍成立，理由如下：如图，过点D 作DP BC ∥，交AB 的延长线于点P ，则60,60ABC APD ACB ADP ∠=∠=∠=∠= ，60A ∠= ，APD ∴ 是等边三角形，AP PD AD ∴==，ACB DCE ∠=∠ ，DCE ACB P ∴∠=∠=∠，DP BC ∥ ，PDB CBD ∴∠=∠，DB DE = ，DBC DEC ∴∠=∠，PDB DEC ∴∠=∠，在BPD △和DCE △中，PDB CED P DCE BD DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，BPD DCE ∴ ≌()AAS ，PD CE ∴=，又AD PD = ，AD CE ∴=．【变式训练】(1)如图1，当点E运动到线段AB的中点，点D在线段(2)如图2，当点E在线段AB上运动，点D在线段说明理由．【答案】(1)1 2过点E 作EF BC ∥交AC 于点F ，如图，∵EF BC ∥，∴60AFE ACB ∠=∠=︒，120,EFC AFE A ∴∠=︒∠=∠，EF EA∴=∵60ABC ∠=︒，120EBD ∴∠=︒，EFC EBD ∴∠=∠，CE DE = ，∴EDB ECB ∠=∠，60EDB DEB ECB ECF ∠+∠=∠+∠=︒ ，DEB ECF ∴∠=∠，在EDB △和CEF △中，∵,,DEB ECF EBD EFC DE CE ∠=∠∠=∠=，∴()AAS EDB CEF ≌，BD EF ∴=，∵EF EA =，BD AE ∴=．2．（2023上·吉林长春·八年级校考期末）已知在等边三角形ABC 中，点E 在AB 上，点D 在CB 的延长线上，且ED EC =．(1)【感知】如图1，当点E 为AB 的中点时，则线段AE 与DB 的数量关系是______；(2)【类比】如图2，当点E 为AB 边上任意一点时，则线段AE 与DB 的数量关系是______，请说明理由；（提示如下：过点E 作EF BC ∥，交AC 于点F ．）(3)【拓展】在等边三角形ABC 中，点E 在直线AB 上，点D 在直线BC 上，且ED EC =，若ABC 的边长为2，3AE =，则CD 的长是______．∵ABC 是等边三角形，∴AB AC A =∠=∠，∴60120AEF AFE A DBE ∠=∠=∠=︒∠=︒，，∴AEF △为等边三角形，120EFC ∠=︒，∴AE EF =，∵ED EC =，∴D ECD ∠=∠，∴D FEC ∠=∠，在DBE 和EFC 中，DBE EFC D FEC ED EC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()AAS DBE EFC ≌，∴DB EF =，∴AE DB =；（3）过点E 作EF BC ∥，交AC 于点F ，如图3所示：同（2）得：AEF △是等边三角形，()AAS DBE EFC ≌，∴33AE EF DB EF ====，，∵2BC =，∴235CD BC DB =+=+=．故答案为：5．【点睛】本题是三角形综合题目，考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、平行线的性质等知识，熟练掌握等边三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．3．（2024上·广东中山·八年级统考期末）如图，ABC 中，AB AC =，10BC =，点P 从点B 出发沿线段BA 移动到点A 停止，同时点Q 从点C 出发沿AC 的延长线移动，并与点P 同时停止．已知点P ，Q 移动的速度相同，连接PQ 与线段BC 相交于点D (不考虑点P 与点A ，B 重合时的情况)．(1)求证:2AP AQ AB +=(2)求证:PD DQ =；(3)如图，过点P 作PE ⊥出这个长度；如果变化，请说明理由．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)ED 为定值5，理由见解析【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，线段的和差，准确作出辅助线找出全等三角形是解题关键．（1）利用P 、Q 的移动速度相同，得到（2）如图，过点P 作PF AC ∥，交BC 于点F ，PF AC ∥，,PFB ACB DPF DQC ∴∠=∠∠=∠，AB AC = ，B ACB ∴∠=∠，B PFB ∴∠=∠，BP PF ∴=，由（1）得BP CQ =，PF CQ ∴=，在PFD 与QCD 中，PDF QDC DPF DQC PF CQ ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()AAS PFD QCD ∴ ≌，PD DQ ∴=；（3）解：ED 为定值5，理由如下：如图，过点P 作PF AC ∥，交BC 于点F ，由（2）得：PB PF =，PBF ∴△为等腰三角形，PE BC ⊥ ，BE EF ∴=，【观察猜想】如图①：D 为线段AB 上一点，DE BC ∥，交AC 于点E ．可知ADE V 【实践发现】如图②：D 为线段AB 外一点，连接AD ，以AD 为一边作等边三角形想BD 与CE 数量关系为______，直线BD 与CE 相交所产生的交角中的锐角为______【深入探究】：D 为线段AB 上一点，F 为线段CB 延长线上一点，且DF DC =．（1）特殊感知：当点D 为AB 的中点时，如图③，猜想线段AD 与BF 的数量关系为ADE ∴V 是等边三角形．实践发现BD CE =，60︒理由：ABC ADE Q V V 、都是等边三角形，60,,BAC DAE AB AC AD AE ∴∠=∠=︒==，BAD CAE ∴∠=∠，()SAS BAD CAE ∴ ≌，,BD CE ABD ACE ∴=∠=∠，延长BD 交CE 于F ，BCF 中，180BCF CBF BFC ∠+∠+∠=︒，180ACB ACE CBF BFC ∴∠+∠+∠+∠=︒，即6060180BFC ︒+︒+∠=︒，60BFC ∴∠=︒，深入探究（1）特殊感知∶AD BF=理由：当点D 为AB 的中点时，AD BD =，ABC 是等边三角形，30ACD BCD ∴∠=∠=︒，DF DC =，30F BCD ∴∠=∠=︒，30BDF ABC F ∴∠=∠-∠=︒，30F BDF ∴∠=∠=︒，BD BF ∴=，AD BF ∴=．（2）特例启发：猜想AD BF =，证明：过点D 作DE BC ∥，交AC 于点E ．DE BC ∥，60ADE ABC ∴∠=∠=︒，60AED ACB ∠=∠=︒．ADE ∴V 是等边三角形，AD DE AE ∴==．.BD CE ∴=DF DC =，.DCF F ∴∠=∠又6060FDB DBC F F DCE DCF ︒︒∠=∠-∠=-∠∠=-∠ ，，.FDB DCE ∴∠∠=在BFD △和EDC 中，BD CE FDB DCE DF DC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，(SAS)BFD EDC ∴ ≌，.BF DE AD ∴==.AD BF ∴=（3）①如图：②如图，当点D 在BA 的延长线上时，作DE AC ⊥，交直线BC 90,DEB ∴∠=︒60B ∠=︒ ，30BDE ∴∠=︒，12BE BD ∴=，ABC 的边长为2，AD 【考点三利用倍角关系构造新等腰三角形】例题：（2023上·河南信阳·八年级统考期中）阅读材料：截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短是通过在一条短边上延长一条线段与另一长边相等，解答下列问题：如图1，在ABC 中，交BC 于点D ，AD 平分BAC ∠，且2B C ∠=∠．(1)为了证明结论“AB BD AC +=”，小亮在AC 上截取AE ，使得AE AB =，解答了这个问题，请按照小亮的思路写证明过程；(2)如图2，在四边形ABCD 中，已知58BAD ∠=︒，109D ∠=︒，42ACD ∠=︒，80ACB ∠=︒，10AD =，CE AB ⊥3EB =，求AB 的长．【答案】(1)见解析(2)16【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定及性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．（1）在AC 上截取AE ，使得AE AB =，连接DE ，根据角平分线的定义可得BAD DAC ∠=∠，再利用SAS 证明ABD AED ≌，从而可得B AED ∠=∠，BD DE =，进而可得2AED C ∠=∠，然后利用三角形的外角性质可得AED C EDC ∠=∠+∠，从而可得C EDC ∠=∠，进而可得DE CE =，再根据等量代换可得BD EC =，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答；（2）在AE 上截取AF AD =，连接CD ，先利用三角形内角和定理可得29DAC ∠=︒，从而可得29DAC FAC ∠=∠=︒，再利用SAS 证明DAC FAC ≌，从而可得109AFC D ∠=∠=︒，进而可得71CFE ∠=︒，然后利用三角形内角和定理可得71B CFE ∠=∠=︒，从而可得CF BC =，再利用等腰三角形的三线合一性质可得26BF BE ==，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答．【详解】（1）解：证明：在AC 上截取AE ，使得AE AB =，∵AD 平分BAC ∠，∴BAD DAC ∠=∠，∵AD AD =，∴()SAS ABD AED ≌，∴B AED ∠=∠，BD DE =，∵2B C ∠=∠，∴2AED C ∠=∠，∵AED ∠是DEC 的一个外角，∴AED C EDC ∠=∠+∠，∴C EDC ∠=∠，∴DE CE =，∴BD EC =，∵AE EC AC +=，∴AB BD AC +=；（2）在AE 上截取AF AD =，连接CF ，∵109D ∠=︒，42ACD ∠=︒，∴18029DAC D ACD ∠=︒-∠-∠=︒，∵58BAD ∠=︒，∴29FAC BAD DAC ∠=∠-∠=︒，∴29DAC FAC ∠=∠=︒，∵AC AC =，∴()SAS DAC FAC ≌，∴109AFC D ∠=∠=︒，∴18071CFE AFC ∠=︒-∠=︒，∵80ACB ∠=︒，29FAC ∠=︒，∴18071B ACB FAC ∠=︒-∠-∠=︒，∴B CFE ∠=∠，∴CF BC =，∵CE AB ⊥，∴26BF BE ==，∴10616AB AF BF =+=+=，∴AB 的长为16．【变式训练】1．在Rt ABC 中，90BAC ∠=︒，点D 在边BC 上，AB AD =，点E 在线段BD 上，3BAE EAD ∠=∠．(1)如图1，若点D 与点C 重合，则AEB ∠=______︒；(2)如图2，若点D 与点C 不重合，试说明C ∠与EAD ∠的数量关系；(3)在（1）的情况下，试判断BE ，CD 与AC 的数量关系，并说明你的理由．【答案】(1)67.5(2)2C EAD∠=∠(3)BE CD AC +=，理由见解析【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质得到45D ∠=︒，根据题意求出EAD ∠，根据三角形的外角性质计算，得到答案；（2）根据直角三角形的两锐角互余得到90B C ∠=︒-∠，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理得到2BAD C ∠=∠，进而证明结论；（3）在BD 上截取BF DE =，连接AF ，证明ABF △≌ADE V ，根据求等三角形的性质得到BAF DAE ∠=∠，根据三角形的外角性质得到CAF CFA ∠=∠，得到AC CF =，进而得出结论．【详解】（1）解：在Rt BAD 中，90BAD ∠=︒，AB AD =，则45D ∠=︒，90BAD ∠=︒Q ，3BAE EAD ∠=∠，22.5EAD ∴∠=︒，67.5AEB EAD D ∴∠=∠+∠=︒，故答案为：67.5；（2）解：2C EAD ∠=∠，理由如下：90BAC ∠=︒ ，90B C ∴∠=︒-∠，AB AD = ，则BE BF EF DE EF DF =+=+=，BE CD DF CD CF ∴+=+=，在ABF △和ADE V 中，AB AD B ADE BF DE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()(1)写出图1中与BAC ∠相等的角，BAC ∠=______(2)如图1，若GFC FGE ∠=∠，在图中找出与AG (3)如图2，若2,3HC CE ==，求BC 的长度．【答案】(1)AGF∠(2)AG CE =，证明见解析(3)72MGN AGF BAC∠=∠=∠，∠=∠，则N BAC∴∠=∠，N MGNMG MN∴=，∠=∠=∠+∠FGE BEG BEG2∴∠=∠，BEG GME∴=，MG GE，=AC GE∴=，MN AC。
全等三角形特殊题型
在几何解题中，常常需要添加辅助线构造全等三角形，以沟通题设与结论之间的联系。
现分类加以说明。
一、延长中线构造全等三角形例1. 如图1，AD是△ABC的中线，求证：AB＋AC＞2AD。
证明：延长AD至E，使AD＝DE，连接CE。
如图2。
∵AD是△ABC的中线，∴BD＝CD。
又∵∠1＝∠2，AD＝DE，∴△ABD≌△ECD（SAS）。
AB＝CE。
∵在△ACE中，CE＋AC＞AE，∴AB＋AC＞2AD。
二、沿角平分线翻折构造全等三角形例2. 如图3，在△ABC中，∠1＝∠2，∠ABC＝2∠C。
求证：AB＋BD＝AC。
证明：将△ABD沿AD翻折，点B落在AC上的E点处，即：在AC上截取AE＝AB，连接ED。
如图4。
∵∠1＝∠2，AD＝AD，AB＝AE，∴△ABD≌△AED（SAS）。
∴BD＝ED，∠ABC＝∠AED＝2∠C。
而∠AED＝∠C＋∠EDC，∴∠C＝∠EDC。
所以EC＝ED＝BD。
∵AC＝AE＋EC，∴AB＋BD＝AC。
三、作平行线构造全等三角形例3. 如图5，△ABC中，AB＝AC。
E是AB上异于A、B的任意一点，延长AC到D，使CD＝BE，连接DE交BC于F。
求证：EF＝FD。
证明：过E作EM∥AC交BC于M，如图6。
则∠EMB＝∠ACB，∠MEF＝∠CDF。
∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB。
∴∠B＝∠EMB。
故EM＝BE。
∵BE＝CD，∴EM＝CD。
又∵∠EFM＝∠DFC，∠MEF＝∠CDF，∴△EFM≌△DFC（AAS）。
EF＝FD。
四、作垂线构造全等三角形例4. 如图7，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC。
M是AC边的中点。
AD⊥BM交BC于D，交BM于E。
求证：∠AMB＝∠DMC。
证明：作CF⊥AC交AD的延长线于F。
如图8。
∵∠BAC＝90°，AD⊥BM，∴∠FAC＝∠ABM＝90°－∠BAE。
∵AB＝AC，∠BAM＝∠ACF＝90°，∴△ABM≌△CAF（ASA）。
构造含30角的直角三角形解题
1构造含30°角的直角三角形解题山东 李树臣30︒的角是一个特殊的角，它具有一个特殊的性质，即“在直角三角形中，如果一个锐角等于30︒，那么它所对的直角边等于斜边的一半．”这一性质在各类考试中经常出现，利用它的关键是设法构造出含有30︒角的直角三角形．本文列举几例，以说明怎样通过添加辅助线构造出含30︒角的直角三角形．例1 如图1，在A B C △中，30B AC ∠=︒=，，等腰直角三角形A C D 的斜边A D 在A B 边上，求B C 的长．分析：本题含有30︒角的条件，因为只有在直角三角形中的30︒角才有上述的特殊性质，所以需作辅助垂线，构造出一个含有30︒角的直角三角形来，这是解决本体的关键所在．解：过点C 作C E A B ⊥，垂足为E ．因为90A C C D A C D =∠=︒，，所以2AD ==，因为C E A B ⊥，AC D △是等腰直角三角形，所以112A E A D C E ===。
在B C E Rt △中，∠例2 在A B C △中，120A B A C A =∠=︒，，A B 的垂直平分线交B C 于点D ，交A B 于点E ．如果1D E =，求B C 的长．分析：根据题意，容易发现2B D =，如果连接A D ，则有2A D B D ==，而24C D AD ==，所以B C 可求．解：连接A D ，D E 垂直平分A B ，AD BD =∴，90D E B ∠=︒．A B A C = ，120B A C ∠=︒，30B C ∠=∠=︒∴． 在BD E Rt △中13022B D E B D B D ∠=︒==，∴，∴．AD BD = ，1203090BAD B D AC BAC BAD ∠=∠∠=∠-∠=︒-︒=︒∴，∴，而30C ∠=︒， 12A D C D =∴，224C D A D B D ===，故有：426B C C D B D =+=+=．例3 如图3，60D AB C D AD C B AB ∠=︒⊥⊥，，，且21AB C D ==，，求A D 和B C 的长．分析：注意到条件6090D A B B ∠=︒∠=︒，，联想到含30︒角的直角三角形的性质，延长A D 和B C ，就可以构造出两个含30︒角的直角三角形来．解：延长A D ，B C 交于点E ．∵6090D A B B ∠=︒∠=︒，，30E ∠=︒∴，又C D A D ⊥，9022CDE CE CD ∠===∴，∴，图3ADE CB图22DE ==∴又3090E B ∠=︒∠=︒，， 24AE AB ==∴，BE ==∴，42AD AE D E BC BE C E =-=-=-=∴．例4 如图4，在△ABC 中，BD ＝DC ，若AD ⊥AC ，∠BAD ＝30°．求证：AC ＝12AB ．分析：由结论12A C AB =和条件30BAD =∠，就想到能否找到或构造直角三角形，而显然图中没有含30°角的直角三角形，所以过B 作BE AD ⊥交A D 的延长线于点E ，这样就得到了直角三角形A B E ，这是解决本题的关键．证明：过B 作BE AD ⊥交A D 的延长线于E ，则90A E B ∠=︒．1302B A D B E A B ∠=︒=，∴．90AD AC D AC ⊥∠=︒ ，∴， A E B D A C ∠=∠∴．又B D C D B D E C D A =∠=∠，，B E DC AD ∴△≌△， 12BE C A A C A B ==∴，∴．ABCED 图4。
用60°角构造等边三角形解题
用60°角构造等边三角形解题60°角形是等边三角形的特殊形式，它可以用来解决许多有关三角函数和形状的问题。
60°角可以帮助我们理解有关角度、面积和其他数学关系的概念，并找到解决问题的方法。
为了构造60°角等边三角形，首先，我们需要在一个空的平面上画出一个点，然后以此点为起点，用一支水平尺量出120°，记下这个顶点的坐标，另外两个顶点的坐标由此求出。
随后，我们就可以开始构造60°角等边三角形了。
首先，以第一个顶点为起点，用一支水平尺量出60°，连接到第二个顶点，再以第二个顶点为起点，继续量出60°，连接到第三个顶点，此时三角形就构造完毕了。
60°角等边三角形的边长均与原点的距离相等，这可以从它的图像中得到进一步的说明。
每个顶点均与原点的距离都是一样的，就像它们在同一个圆周上，任一点到圆心的距离都是相等的。
所以，我们可以得出结论，60°角等边三角形的边长是相等的。
此外，60°角等边三角形的外接圆的半径也是等于它的边长的。
从来构造60°角等边三角形的过程中，我们可以看到，任一顶点到其他两个顶点的连线的距离都是一样的，而这就是外接圆的半径，所以三角形的外接圆的半径也是等于它的边长的。
60°角等边三角形还可以用来求解三角函数的问题。
一个常见的问题便是根据一个等边三角形求出相应的角度。
由于60°角等边三角形的每个角都是60°，我们可以根据这一条件直接求出确定的角度，从而轻松地解决三角函数的问题。
60°角的等边三角形可以用来解决许多关于三角函数、面积和数学图形关系的问题，它为我们提供了一种快捷的方法，可以节约很多宝贵的时间。
此外，60°角等边三角形的图像也可以提供一种有趣的学习形状的方法，让我们有机会学习到更多数学知识。
模型构建专题：全等三角形中的常见解题模型(解析版)八年级数学上册重难点专题提优训练(人教版)
专题06模型构建专题：全等三角形中的常见解题模型模型构建一四边形中构造全等三角形解题模型构建二一线三等角模型模型构建三三垂直模型模型构建四倍长中线模型模型构建一四边形中构造全等三角形解题例题：（2021·天津·耀华中学八年级期中）如图，在四边形ABCD中，AB＝CB，AD＝CD．求证∠C＝∠A．【答案】见解析【解析】【分析】先连接BD，由AB＝CB、AD＝CD、BD=BD可证∠ABD∠∠CBD，即可证得结论．【详解】证明：如图：连接BD，∠在∠ABD和∠CBD中，AB BCAD CDBD BD=⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠ABD∠∠CBD，∠∠C＝∠A．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线、灵活运用SSS 证明三角形全等是解答本题的关键．【变式训练】1．（2022·山东济宁·八年级期末）如图，在四边形ABCD 中，CB AB ⊥于点B ，CD AD ⊥于点D ，点E ，F 分别在AB ，AD 上，AE AF =，CE CF =．(1)若8AE =，6CD =，求四边形AECF 的面积；(2)猜想∠DAB ，∠ECF ，∠DFC 三者之间的数量关系，并证明你的猜想．【答案】(1)48(2)∠DAB ＋∠ECF ＝2∠DFC ，证明见解析【解析】【分析】（1）连接AC ，证明∠ACE ∠∠ACF ，则S △ACE ＝S △ACF ，根据三角形面积公式求得S △ACF 与S △ACE ，根据S 四边形AECF ＝S △ACF ＋S △ACE 求解即可；（2）由∠ACE ∠∠ACF 可得∠FCA ＝∠ECA ，∠F AC ＝∠EAC ，∠AFC ＝∠AEC ，根据垂直关系，以及三角形的外角性质可得∠DFC ＋∠BEC ＝∠FCA ＋∠F AC ＋∠ECA ＋∠EAC ＝∠DAB ＋∠ECF ．可得∠DAB ＋∠ECF ＝2∠DFC(1)解：连接AC ，如图，在∠ACE和∠ACF中AE AF CE CF AC AC=⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠ACE ∠∠ACF（SSS）．∠S△ACE＝S△ACF，∠F AC＝∠EAC．∠CB∠AB，CD∠AD，∠CD＝CB＝6．∠S△ACF＝S△ACE＝12AE·CB＝12×8×6＝24．∠S四边形AECF＝S△ACF＋S△ACE＝24＋24＝48．(2)∠DAB＋∠ECF＝2∠DFC证明：∠∠ACE ∠∠ACF，∠∠FCA＝∠ECA，∠F AC＝∠EAC，∠AFC＝∠AEC．∠∠DFC与∠AFC互补，∠BEC与∠AEC互补，∠∠DFC＝∠BEC．∠∠DFC＝∠FCA＋∠F AC，∠BEC＝∠ECA＋∠EAC，∠∠DFC＋∠BEC＝∠FCA＋∠F AC＋∠ECA＋∠EAC＝∠DAB＋∠ECF．∠∠DAB＋∠ECF＝2∠DFC【点睛】本题考查了三角形全等的性质与判定，三角形的外角的性质，掌握三角形全等的性质与判定是解题的关键．2．（2022·福建·漳州实验中学七年级阶段练习）在四边形ABDC中，AC=AB，DC=DB，∠CAB=60°，∠CDB=120°，E是AC上一点，F是AB延长线上一点，且CE=BF．(1)试说明：DE=DF：(2)在图中，若G在AB上且∠EDG=60°，试猜想CE，EG，BG之间的数量关系并证明所归纳结论．(3)若题中条件“∠CAB=60°，∠CDB=120°改为∠CAB=α，∠CDB=180°﹣α，G在AB上，∠EDG满足什么条件时，（2）中结论仍然成立？【答案】(1)见解析；(2)CE+BG=EG，理由见解析；(3)当∠EDG =90°-12α时，（2）中结论仍然成立．【解析】【分析】（1）首先判断出C DBF ∠=∠，然后根据全等三角形判定的方法，判断出ΔΔCDE BDF ≅，即可判断出DE DF =．（2）猜想CE 、EG 、BG 之间的数量关系为：CE BG EG +=．首先根据全等三角形判定的方法，判断出ABD ACD ∆≅∆，即可判断出60BDA CDA ∠=∠=︒；然后根据60EDG ∠=︒，可得CDE ADG ∠=∠，ADE BDG ∠=∠，再根据CDE BDF ∠=∠，判断出EDG FDG ∠=∠，据此推得ΔΔDEG DFG ≅，所以EG FG =，最后根据CE BF =，判断出CE BG EG +=即可．（3）根据（2）的证明过程，要使CE BG EG +=仍然成立，则12EDG BDA CDA CDB ∠=∠=∠=∠，即11(180)9022EDG αα∠=︒-=︒-，据此解答即可． (1)证明：360CAB C CDB ABD ∠+∠+∠+∠=︒，60CAB ∠=︒，120CDB ∠=︒，36060120180C ABD ∴∠+∠=︒-︒-︒=︒，又180DBF ABD ∠+∠=︒，C DBF ∴∠=∠，在CDE ∆和BDF ∆中，CD BD C DBF CE BF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩ΔΔ()CDE BDF SAS ∴≅，DE DF ∴=．(2)解：如图，连接AD ，猜想CE 、EG 、BG 之间的数量关系为：CE BG EG +=．证明：在ABD ∆和ACD ∆中，AB AC BD CD AD AD =⎧⎪=⎨⎪=⎩，ΔΔ()ABD ACD SSS ∴≅，111206022BDA CDA CDB ∴∠=∠=∠=⨯︒=︒， 又60EDG ∠=︒，CDE ADG ∴∠=∠，ADE BDG ∠=∠，由（1），可得ΔΔCDE BDF ≅，CDE BDF ∴∠=∠，60BDG BDF ∴∠+∠=︒，即60FDG ∠=︒，EDG FDG ∴∠=∠，在DEG ∆和DFG ∆中，DE DF EDG FDG DG DG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩ΔΔ()DEG DFG SAS ∴≅，EG FG ∴=，又CE BF =，FG BF BG =+，CE BG EG ∴+=；(3)解：要使CE BG EG +=仍然成立， 则12EDG BDA CDA CDB ∠=∠=∠=∠， 即11(180)9022EDG αα∠=︒-=︒-， ∴当1902EDG α∠=︒-时，CE BG EG +=仍然成立． 【点睛】本题综合考查了全等三角形的性质和判定，此题是一道综合性比较强的题目，有一定的难度，能根据题意推出规律是解此题的关键．模型构建二 一线三等角模型例题：（2022·全国·八年级专题练习）如图，在ABC 中，240AB AC B ==∠=︒，，点D 在线段BC 上运动（D 不与B 、C 重合），连接AD ，作40ADE ∠=︒，DE 交线段AC 于E ．(1)点D 从B 向C 运动时，BDA ∠逐渐变__________（填“大”或“小”），但BDA ∠与EDC ∠的度数和始终是__________度．(2)当DC 的长度是多少时，ABD DCE △△≌，并说明理由．【答案】(1)小；140(2)当DC =2时，∠ABD ∠∠DCE ，理由见解析【解析】【分析】（1）利用三角形的内角和即可得出结论；（2）当DC =2时，利用∠DEC +∠EDC =140°，∠ADB +∠EDC =140°，求出∠ADB =∠DEC ，再利用AB =DC =2，即可得出∠ABD ∠∠DCE ．(1)在∠ABD 中，∠B +∠BAD +∠ADB =180°，设∠BAD =x °，∠BDA =y °，∠40°+x +y =180°，∠y =140-x （0＜x ＜100），当点D 从点B 向C 运动时，x 增大，∠y 减小，BDA ∠+EDC ∠=180°-140ADE ∠=︒故答案为：小，140；(2)当DC =2时，∠ABD ∠∠DCE ，理由：∠∠C =40°，∠∠DEC +∠EDC =140°，又∠∠ADE =40°，∠∠ADB +∠EDC =140°，∠∠ADB =∠DEC ，又∠AB =DC =2，在∠ABD 和∠DCE 中===ADB DEC B CAB DC ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩， ∠∠ABD ∠∠DCE （AAS ）；【点睛】此题主要考查学生对等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质等知识点的理解和掌握，三角形的内角和公式，解本题的关键是分类讨论．【变式训练】1．（2022·全国·八年级）如图，在∠ABC 中，点D 是边BC 上一点，CD ＝AB ，点E 在边AC 上，且AD ＝DE ，∠BAD ＝∠CDE ．(1)如图1，求证：BD ＝CE ；(2)如图2，若DE 平分∠ADC ，在不添加辅助线的情况下，请直接写出图中所有与∠ADE 相等的角（∠ADE 除外）．【答案】(1)见解析(2)∠EDC ，∠BAD ，∠B ，∠C【解析】【分析】（1）由“SAS ”可证△ABD ∠∠DCE ，可得BD =CE ；（2）由全等三角形的性质可得∠B =∠C ，由三角形的外角性质和角平分线的性质可求解．(1)证明：在∠ABD 和∠DCE 中，AB CD BAD CDE AD DE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∠∠ABD ∠∠DCE （SAS ），∠BD ＝CE．(2)解：∠∠ABD ∠∠DCE ，∠∠B ＝∠C ，∠DE 平分∠ADC ，∠∠ADE ＝∠CDE ＝∠BAD ，∠∠ADC ＝∠B +∠BAD ＝∠ADE +∠CDE ，∠∠B ＝∠ADE ＝∠BAD ＝∠EDC ＝∠C ，∠与∠ADE 相等的角有∠EDC ，∠BAD ，∠B ，∠C ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的外角性质，角平分线的定义，掌握全等三角形的判定，明确角度的数量关系是解题的关键．2．（2021·全国·八年级专题练习）如图1，ABC 中，A ABC CB =∠∠．点D 、E 、F 分别是AB 、BC 、AC 边上的点，BE CF =．（1）若DEF ABC ∠=∠，求证：DE EF =；（2）若2180A DEF ∠+∠=︒，9BC =，2EC BE =，求BD 的长：（3）把（1）中的条件和结论反过来，即：若DE EF =，则DEF ABC ∠=∠；这个命题是否成立?若成立，请证明：若不成立，请说明理由．【答案】（1）见解析；（2）6BD =；（3）成立，见解析【解析】【分析】(1)证明DBE ECF ≌即可；(2)求出6EC =，由已知2180A DEF ∠+∠=︒及三角形内角和定理2180A ABC ∠+∠=︒得到DEF ABC ACB ∠=∠=∠，进而证明DBE ECF ≌，即可得到6BD CE ==；(3)过点E 、F 分别作EM AB ⊥于点M ，FN BC ⊥于点N ，证明MBE NCF △≌△，得到ME FN =，再结合条件DE EF =可以证明Rt Rt DME ENF △≌△，进而得到MDE NEF ∠=∠即可求解．【详解】解：(1)如图1所示：由三角形的外角定理可知：DEC ABC BDE ∠=∠+∠，且DEC DEF CEF ∠=∠+∠，DEF ABC ∠=∠，BDE CEF ∴∠=∠，在DBE ∆和ECF ∆中，DBC ECF BDE CEF BE CF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()DBE ECF AAS ≌∴∆∆，DE EF ∴=；(2)9BC =，2EC BE =，6EC ∴=，在ABC ∆中，由三角形内角和定理可知：180A ABC ACB ∠+∠+∠=︒，且A ABC CB =∠∠．2180A ABC ∴∠+∠=︒又2180A DEF ∠+∠=︒，DEF ABC ACB ∴∠=∠=∠，同(1)可知：DBE ECF ≌，6BD CE ∴==；(3)成立，理由如下：过点E 、F 分别作EM AB ⊥于点M ，FN BC ⊥于点N ，如图2所示：EM AB ⊥，FN BC ⊥，90BME CNF ∴∠=∠=︒，又ABC ACB ∠=∠，在MBE △和NCF △中，MBE CNF BMB CNF BE CF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()MBE NCF AAS ∴△≌△．ME FN ∴=，又DE EF =，Rt Rt (HL)DME ENF ∴△≌△，MDE NEF ∴∠=∠，又DEC DEF CEF ∠=∠+∠，DEC MDE ABC ∠=∠+∠．DEF ABC ∴∠=∠．即若DE EF =，则DEF ABC ∠=∠此命题成立．【点睛】本题是三角形综合题，考查了角的和差，全等三角形的判定与性质，三角形的外角与不相邻两个内角的关系，重点掌握全等三角形的判定与性质，难点作辅助线构建全等三角形．3．（2022·全国·八年级）（1）如图①，点B 、C 在∠MAN 的边AM 、AN 上，点E ，F 在∠MAN 内部的射线AD 上，∠1、∠2分别是∠ABE 、∠CAF 的外角．已知AB ＝AC ，∠1＝∠2＝∠BAC ．求证：∠ABE ∠∠CAF ．（2）应用：如图②，在∠ABC 中，AB ＝AC ，AB ＞BC ，点D 在边BC 上，且CD ＝2BD ，点E ，F 在线段AD 上．∠1＝∠2＝∠BAC ，若∠ABC 的面积为15，求∠ABE 与∠CDF 的面积之和．【答案】（1）见解析；（2）10【解析】【分析】（1）利用外角的性质和已知角的关系证明∠BAE ＝∠FCA ，∠ABE ＝∠F AC ，利用ASA 即可证明∠ABE ∠∠CAF ； （2）同（1）证明∠ABE ∠∠CAF ，推出S △ABE ＝S △CAF ，S △ABE +S △CDF ＝S △CAF +S △CDF ＝S △ACD ，根据CD ＝2BD 可知23ACD ABC SS =，计算求解即可． 【详解】解：（1）证明如下：∠∠1＝∠2＝∠BAC ，且∠1＝∠BAE +∠ABE ，∠2＝∠F AC +∠FCA ，∠BAC ＝∠BAE +∠F AC ，∠∠BAE ＝∠FCA ，∠ABE ＝∠F AC ，又∠AB ＝AC ，∠∠ABE ∠∠CAF （ASA ）；（2）∠∠1＝∠2＝∠BAC ，且∠1＝∠BAE +∠ABE ，∠2＝∠F AC +∠FCA ，∠BAC ＝∠BAE +∠F AC ，∠∠BAE ＝∠FCA ，∠ABE ＝∠F AC ，又∠AB ＝AC ，∠∠ABE ∠∠CAF （ASA ）∠S △ABE ＝S △CAF ，∠S △ABE +S △CDF ＝S △CAF +S △CDF ＝S △ACD ，∠CD ＝2BD ，∠ABC 的面积为15，∠S △ACD ＝DC BD DC⋅+S △ACD ＝23S △ABC ＝215103⨯=， ∠S △ABE +S △CDF ＝10．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，证明∠ABE ∠∠CAF 并掌握“等高三角形面积比等于底边边长之比”是解题的关键．4．（2022·河南郑州·七年级期末）在直线m 上依次取互不重合的三个点,,D A E ，在直线m 上方有AB AC =，且满足BDA AEC BAC α∠=∠=∠=．(1)如图1，当90α=︒时，猜想线段,,DE BD CE 之间的数量关系是____________；(2)如图2，当0180α<<︒时，问题（1）中结论是否仍然成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由；(3)应用：如图3，在ABC 中，BAC ∠是钝角，AB AC =，,BAD CAE BDA AEC BAC ∠<∠∠=∠=∠，直线m 与CB 的延长线交于点F ，若3BC FB =，ABC 的面积是12，求FBD 与ACE 的面积之和．【答案】(1)DE ＝BD +CE(2)DE ＝BD +CE 仍然成立，理由见解析(3)△FBD 与△ACE 的面积之和为4【解析】【分析】（1）由∠BDA ＝∠BAC ＝∠AEC ＝90°得到∠BAD +∠EAC ＝∠BAD +∠DBA ＝90°，进而得到∠DBA ＝∠EAC ，然后结合AB ＝AC 得证△DBA ≌△EAC ，最后得到DE ＝BD +CE ；（2）由∠BDA ＝∠BAC ＝∠AEC ＝α得到∠BAD +∠EAC ＝∠BAD +∠DBA ＝180°﹣α，进而得到∠DBA ＝∠EAC ，然后结合AB ＝AC 得证△DBA ≌△EAC ，最后得到DE ＝BD +CE ；（3）由∠BAD ＞∠CAE ，∠BDA ＝∠AEC ＝∠BAC ，得出∠CAE ＝∠ABD ，由AAS 证得△ADB ≌△CAE ，得出S △ABD ＝S △CEA ，再由不同底等高的两个三角形的面积之比等于底的比，得出S △ABF 即可得出结果．(1)解：DE ＝BD +CE ，理由如下，∵∠BDA ＝∠BAC ＝∠AEC ＝90°，∴∠BAD +∠EAC ＝∠BAD +∠DBA ＝90°，∴∠DBA ＝∠EAC ，∵AB ＝AC ，∴△DBA ≌△EAC （AAS ），∴AD ＝CE ，BD ＝AE ，∴DE ＝AD +AE ＝BD +CE ，故答案为：DE ＝BD +CE ．(2)DE ＝BD +CE 仍然成立，理由如下，∵∠BDA ＝∠BAC ＝∠AEC ＝α，∴∠BAD +∠EAC ＝∠BAD +∠DBA ＝180°﹣α，∴∠DBA ＝∠EAC ，∵AB ＝AC ，∴△DBA ≌△EAC （AAS ），∴BD ＝AE ，AD ＝CE ，∴DE ＝AD +AE ＝BD +CE ；(3)解：∵∠BAD ＜∠CAE ，∠BDA ＝∠AEC ＝∠BAC ，∴∠CAE ＝∠ABD ，在△ABD 和△CAE 中，ABD CAE BDA CEA AB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABD ≌△CAE （AAS ），∴S △ABD ＝S △CAE ，设△ABC的底边BC上的高为h，则△ABF的底边BF上的高为h，∴S△ABC＝12BC•h＝12，S△ABF＝12BF•h，∵BC＝3BF，∴S△ABF＝4，∵S△ABF＝S△BDF+S△ABD＝S△FBD+S△ACE＝4，∴△FBD与△ACE的面积之和为4．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质，三角形的面积，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质．模型构建三三垂直模型例题：（2021·福建·武夷山市第二中学八年级期中）如图，在∠ABC中，∠ACB = 90°，AC = BC，BE ∠CE于点E，AD ∠CE于点D．（1）求证：△BCE ∠∠CAD；（2）若AD =12，BE =5，求ED的长．【答案】（1）见解析；（2）ED的长为7．【解析】【分析】（1）根据AAS证明三角形全等即可；（2）根据全等三角形的性质得到AD=CE=12，CD=BE=5，从而求得ED的长．【详解】解：（1）证明：∠BE ∠CE于点E，AD ∠CE于点D，∠∠CEB=∠ADC=90°，∠∠ACD+∠CAD=90°，∠∠ACB = 90°，∠∠ACD+∠BCE=90°，∠∠CAD=∠BCE，又∠AC = BC，∠BCE∠CAD；（2）由（1）知，BCE∠CAD，∠BE=CD，CE=AD，∠AD =12，BE =5，∠CE=12，CD=5，∠ED=CE－CD=12－5=7．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握判定及性质定理是解题的关键．【变式训练】1．（2021·天津·八年级期中）在∠BAC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，AE是过A的一条直线，BD∠AE于点D，CE∠AE于E．(1)如图（1）所示，若B，C在AE的异侧，易得BD与DE，CE的关系是DE＝；(2)若直线AE绕点A旋转到图（2）位置时，（BD＜CE），其余条件不变，问BD与DE，CE的关系如何？请予以证明；(3)若直线AE绕点A旋转，（BD＞CE），问BD与DE，CE的关系如何？请直接写出结果，不需证明．【答案】(1)BD﹣EC(2)BD＝DE﹣CE．见解析(3)当B，C在AE的同侧时，BD＝DE﹣CE；当B，C在AE的异侧时，BD＝DE+CE．【解析】【分析】（1）通过互余关系可得∠ABD ＝∠CAE ，进而证明∠ABD ∠∠ACE （AAS ），即可求得BD ＝AE ，AD ＝EC ，进而即可求得关系式；（2）方法同（1）证明∠ABD ∠∠CAE （AAS ），进而得出结论；（3）综合（1）（2）结论，分当B ，C 在AE 的同侧或异侧时，写出结论即可．(1)结论：DE ＝BD ﹣EC ．理由：如图1中，∠BD ∠AE ，CE ∠AE ，∠∠ADB ＝∠CEA ＝90°，∠∠ABD +∠BAD ＝90°，又∠∠BAC ＝90°，∠∠EAC +∠BAD ＝90°，∠∠ABD ＝∠CAE ，在∠ABD 与∠ACE 中，ADB CEA ABD CAE AB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∠∠BAD ∠∠ACE （AAS ），∠BD ＝AE ，AD ＝EC ，∠BD ＝DE +CE ，即DE ＝BD ﹣EC ．故答案为：BD ﹣EC ；(2)结论：BD ＝DE ﹣CE ．理由：如图2中，∠BD ∠AE ，CE ∠AE ，∠∠ADB ＝∠CEA ＝90°，∠∠ABD +∠BAD ＝90°，又∠∠BAC ＝90°，∠∠EAC +∠BAD ＝90°，∠∠ABD ＝∠CAE ，在∠ABD 与∠CAE 中，ADB CEA ABD CAE AB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∠∠ABD∠∠CAE（AAS），∠BD＝AE，AD＝EC，∠BD＝DE﹣CE；(3)归纳：由（1）（2）可知：当B，C在AE的同侧时，BD＝DE﹣CE；当B，C在AE的异侧时，BD＝DE+CE．【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．2．（2022·广东佛山·七年级阶段练习）在△ABC中，△BAC=90°，AC=AB，直线MN经过点A，且CD∠MN于D，BE∠MN于E．∠+∠=度；(1)当直线MN绕点A旋转到图1的位置时，EAB DAC(2)求证：DE=CD+BE；(3)当直线MN绕点A旋转到图2的位置时，试问DE、CD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明．【答案】(1)90°(2)见解析(3)CD= BE + DE，证明见解析【解析】【分析】∠+∠=90°；（1）由△BAC=90°可直接得到EAB DAC（2）由CD∠MN，BE∠MN，得∠ADC=∠BEA=∠BAC=90°，根据等角的余角相等得到∠DCA=∠EAB，根据AAS 可证△DCA∠∠EAB，所以AD=CE，DC=BE，即可得到DE = EA+AD = DC+BE．（3）同（2）易证△DCA∠∠EAB，得到AD=CE，DC=BE，由图可知AE = AD +DE，所以CD= BE + DE．(1)∠△BAC=90°∠ ∠EAB+∠DAC=180°-∠BAC=180°-90°=90°故答案为：90°．(2)证明：∠ CD∠MN于D，BE∠MN于E∠ ∠ADC=∠BEA=∠BAC=90°∠∠DAC+∠DCA=90°且∠DAC+∠EAB=90°∠ ∠DCA=∠EAB∠在△DCA和△EAB中90 ADC BEA DCA EABAC AB ︒⎧∠=∠=⎪∠=∠⎨⎪=⎩∠△DCA∠∠EAB (AAS)∠ AD=BE且EA=DC由图可知：DE = EA+AD = DC+BE．(3)∠ CD∠MN于D，BE∠MN于E∠ ∠ADC=∠BEA=∠BAC=90°∠ ∠DAC+∠DCA=90°且∠DAC+∠EAB=90°∠ ∠DCA=∠EAB∠在△DCA和△EAB中90 ADC BEA DCA EABAC AB ︒⎧∠=∠=⎪∠=∠⎨⎪=⎩∠△DCA∠∠EAB (AAS)∠ AD=BE且AE=CD由图可知：AE = AD +DE∠ CD= BE + DE．【点睛】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的连线段所夹的角等于旋转角，也考查了三角形全等的判定与性质．3．（2021·北京·东北师范大学附属中学朝阳学校八年级期中）如图，在∠ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线l经过顶点C，过A、B两点分别作l的垂线AE、BF，E、F为垂足．（1）当直线l不与底边AB相交时，①求证：∠EAC＝∠BCF．②猜想EF、AE、BF的数量关系并证明．（2）将直线l 绕点C 顺时针旋转，使l 与底边AB 交于点D （D 不与AB 点重合），请你探究直线l ，EF 、AE 、BF 之间的关系．（直接写出）【答案】（1）①证明见解析，②EF ＝AE +BF ；证明见解析；（2）AE ＝BF +EF 或BF ＝AE +EF ．【解析】【分析】（1）①根据∠AEC ＝∠BFC ＝90°，利用同角的余角相等证明∠EAC ＝∠FCB 即可；②根据AAS 证△EAC ≌△FCB ，推出CE ＝BF ，AE ＝CF 即可；（2）类比（1）证得对应的两个三角形全等，求出线段之间的关系即可．【详解】（1）证明：①∵AE ⊥EF ，BF ⊥EF ，∠ACB ＝90°，∴∠AEC ＝∠BFC ＝∠ACB ＝90°，∴∠EAC +∠ECA ＝90°，∠ECA +∠FCB ＝90°，∴∠EAC ＝∠FCB ，②EF ＝AE +BF ；证明：在△EAC 和△FCB 中，AEC CFB EAC FCB AC BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△EAC ≌△FCB （AAS ），∴CE ＝BF ，AE ＝CF ，∴EF ＝CE +CF ＝AE +BF ，即EF ＝AE +BF ；（2）①当AD ＞BD 时，如图①，∵∠ACB ＝90°，AE ⊥l 直线，同理可证∠BCF ＝∠CAE （同为∠ACD 的余角），又∵AC ＝BC ，BF ⊥l 直线即∠BFC ＝∠AEC ＝90°，∴△ACE ≌△CBF （AAS ），∴CF＝AE，CE＝BF，∵CF＝CE+EF＝BF+EF，∴AE＝BF+EF；②当AD＜BD时，如图②，∵∠ACB＝90°，BF⊥l直线，同理可证∠CBF＝∠ACE（同为∠BCD的余角），又∵AC＝BC，BE⊥l直线，即∠AEC＝∠BFC＝90°．∴△ACE≌△CBF（AAS），∴CF＝AE，BF＝CE，∵CE＝CF+EF＝AE+EF，∴BF＝AE+EF．【点睛】本题考查了三角形综合题，主要涉及到了全等三角形的判定与性质，解题关键是证明△ACE≌△CBF（AAS），利用全等三角形的性质得出线段之间的关系．模型构建四倍长中线模型例题：（2022·全国·八年级课时练习）在△ABC中，AB=5，BC边上的中线AD=4，则AC的长m的取值范围是_______．【答案】3＜m＜13【解析】【分析】延长AD至E，使DE=AD=4，连接CE，利用SAS证明∠ABD∠∠ECD，可得CE=AB，再根据三角形的三边的关系即可解决问题．【详解】解：如图，延长AD至E，使DE=AD=4，连接CE，∠AD 是BC 边上的中线，∠BD =CD ，在∠ADB 和∠CDE 中，AD ED ADB EDC BD CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∠∠ABD ∠∠ECD （SAS ），∠CE =AB ，在∠ACE 中，AE -CE ＜AC ＜AE +CE ，∠CE =AB =5，AE =8，∠8-5＜AC ＜8+5，∠3＜AC ＜13，∠3＜m ＜13．故答案为：3＜m ＜13．【点睛】此题考查了全等三角形的性质与判定，三角形的三边的关系，解题的关键是利用已知条件构造全等三角形，然后利用三角形的三边的关系解决问题．【变式训练】1．（2021·江苏·徐州市第二十六中学八年级阶段练习）如图，AD 是∠ABC 中BC 边上的中线，若AB ＝6，AC ＝8，则AD 的取值范围是________________．【答案】1＜AD ＜7【解析】【分析】延长AD 到E ，使DE =AD ，然后利用“边角边”证明∠ABD 和∠ECD 全等，根据全等三角形对应边相等可得CE =AB ，然后根据三角形任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求出AE 的取值范围，然后即可得解．【详解】解：如图，延长AD 到E ，使DE =AD ，∠AD 是BC 边上的中线，∠BD =CD ，在∠ABD 和∠ECD 中,BD CD ADB EDC AD ED =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∠∠ABD ∠∠ECD (SAS )，∠CE =AB ，∠AB =6，AC =8，∠8-6<AE <8+6，即2<2AD <14，∠1<AD <7，故答案为：1<AD <7．【点睛】本题考查了三角形的三边关系，全等三角形的判定与性质，遇中点加倍延，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．2．（2022·全国·八年级课时练习）已知：多项式x 2+4x +5可以写成（x ﹣1）2+a （x ﹣1）+b 的形式．(1)求a ，b 的值；(2)△ABC 的两边BC ，AC 的长分别是a ，b ，求第三边AB 上的中线CD 的取值范围．【答案】(1)6a =，10b =(2)2<CD <8【解析】【分析】（1）把()()211x a x b -+-+展开，然后根据多项式x 2+4x +5可以写成（x ﹣1）2+a （x ﹣1）+b 的形式，可得2415a a b -=⎧⎨-+=⎩，即可求解； （2）延长CD 至点H ，使CD =DH ，连接AH ，可得∠CDB ∠∠HAD ，从而得到BC =AH =a =6，再根据三角形的三边关系，即可求解．(1)解：∠()()211x a x b -+-+ 221x x ax a b =-++-+()221x a x a b =+-+-+，根据题意得：x 2+4x +5=（x ﹣1）2+a （x ﹣1）+b∠2415a ab -=⎧⎨-+=⎩，解得：610a b =⎧⎨=⎩； (2)解：如图，延长CD 至点H ，使CD =DH ，连接AH ，∠CD 是AB 边上的中线，∠BD =AD ，在∠CDB 和∠HDA 中，∠CD =DH ，∠CDB =∠ADH ，BD =DA ，∠∠CDB ∠∠HDA （SAS ），∠BC =AH =a =6，在∠ACH 中，AC -AH <CH <AC +AH ，∠10-6<2CD <10+6，∠2<CD <8．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，整式乘法和二元一次方程组的应用，三角形的三边关系，熟练掌握全等三角形的判定和性质，整式乘法法则，三角形的三边关系是解题的关键．3．（2022·全国·八年级课时练习）某数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图，在ABC 中，AB ＝6，AC ＝8，D 是BC 的中点，求BC 边上的中线AD 的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD 到E ，使DE ＝AD ，请补充完整证明“∠ABD ∠∠ECD ”的推理过程．(1)求证：∠ABD ∠∠ECD证明：延长AD 到点E ，使DE ＝AD在∠ABD 和∠ECD 中∠AD ＝ED （已作）∠ADB ＝∠EDC （ ）CD ＝ （中点定义）∠∠ABD ∠∠ECD （ ）(2)由（1）的结论，根据AD 与AE 之间的关系，探究得出AD 的取值范围是 ；(3)【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”等字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．【问题解决】如下图，ABC 中，90B ∠=︒，2AB =，AD 是ABC 的中线，CE BC ⊥，4CE =，且90ADE ∠=︒，求AE 的长．【答案】(1)对顶角相等；BD ；SAS(2)17AD <<(3)6【解析】【分析】（1）延长AD 到点E ，使DE =AD ，根据SAS 定理证明∠ABD ∠∠ECD ；（2）根据全等三角形的性质、三角形的三边关系计算；（3）延长AD 交EC 的延长线于F ，证明△ABD ∠∠FCD ，∠ADE ∠∠FDE ，根据全等三角形的性质解答．(1)延长AD 到点E ，使DE ＝AD在∠ABD 和∠ECD 中∠AD ＝ED （已作）∠ADB ＝∠EDC （对顶角相等）CD ＝BD （中点定义）∠∠ABD ∠∠ECD （SAS ）故答案为：对顶角相等；BD ；SAS(2)∠∠ABD ∠∠ECD ，AB ＝6，AC ＝8，6CE AB ∴==，8686AE -<<+，1AD 7∴<<，故答案为1AD 7<<；(3)延长AD 交EC 的延长线于F ，AB BC ⊥，EF BC ⊥，ABD FCD ∴∠=∠，在ABD △和FCD 中，ABD FCD BD CDADB FDC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ABD ∴∠FCD ，2CF AB ∴==，AD DF =，又∠∠FDE ＝∠ADE ＝90°ED ＝ED∠∠ADE ∠∠FDEAE EF ∴=，426EF CE CF CE AB =+=+=+=，6AE ∴=．【点睛】本题考查了三角形的三边关系定理和全等三角形的性质和判定，解题关键是熟记全等三角形的判定条件． 4．（2022·辽宁沈阳·七年级期中）【问题情境】如图1，A ，B 两点分别位于一个池塘的两端，小明想用绳子测量A ，B 间的距离，但绳子不够长，一个叔叔帮他出了这样一个主意：先在地上取一个可以直接到达A 点和B 点的点C ，连接AC 并延长到D ，使CD CA =；连接BC 并延长到E ，使CE CB =，连接DE 并测量出它的长度，如果100DE =米，那么AB 间的距离为___________米．【探索应用】如图2，在ABC 中，若5,3AB AC ==，求BC 边上的中线AD 的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长AD 到点E 使DE AD =，再连接BE （或将ACD △绕着点D 逆时针旋转180︒得到EBD △），把,2AB AC AD 、集中在ABE △中，利用三角形三边的关系即可判断，中线AD 的取值范围是___________；【拓展提升】如图3，在ABC 中，90,,,90,∠=︒===︒∠=∠ACB AB AD AC AE BAD CAE CA 的延长线交DE 于点F ，求证：DF EF =．【答案】（1）100米；（2）1＜AD ＜4；（3）见详解【解析】【分析】（1）证明∠ABC ∠∠DEC ，由全等三角形的性质即可得AB ＝DE ；（2）延长AD 到点E 使DE AD =，再连接BE ，由“SAS ”可证∠ADC ∠∠EDB ，可得AC ＝BE ＝3，由三角形三边关系可得1＜AD ＜4；（3）在BC 上截取BG ＝AF ，易证△ABG ≌△ADF ，可得DF ＝AG 和∠DF A ＝∠BGA ，即可求证△ACG ≌△EAF ，可得GE ＝AF ，即可解题．【详解】（1）解：在∠ABC 和∠DEC 中，ACB DCE BC EC ⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∠∠ABC ∠∠DEC （SAS ），∠DE ＝AB=100米；故答案为：100米（2）延长AD 到点E 使DE AD =，再连接BE如图所示∠AD ＝DE ，CD ＝BD ，∠ADC ＝∠BDE ，∠∠ADC ∠∠EDB （SAS ）∠AC ＝BE ＝3，∠在∠ABE 中，AB ﹣BE ＜AE ＜AB +BE∠2＜2AD ＜8，∠1＜AD ＜4，故答案为：1＜AD ＜4；（3）证明：在BC 上截取BG ＝AF ，∵∠BAD ＝∠CAE ＝∠ACB ＝90°∴∠BAC +∠ABC ＝∠BAC +∠DAF ＝90°∴∠CBA ＝∠DAF ，在△ABG 和△ADF 中，CBA DAF AF BG ⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABG ≌△ADF ，（SAS ）∴DF ＝AG ，∠DF A ＝∠BGA ，∴∠EF A ＝∠CGA ，∵在△ACG 和△EAF 中，EFA CGA BCA EAF AC AE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACG ≌△EAF （AAS ）∴EE ＝AG ＝FD ．∠DF EF =【点睛】考查了全等三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．。
解题技巧专题：利用等腰三角形的'三线合一'作辅助线与构造等腰三角形的解题技巧(6类热点题型讲练)解析
第05讲解题技巧专题：利用等腰三角形的'三线合一'作辅助线与构造等腰三角形的解题技巧(6类热点题型讲练)目录【考点一等腰三角形中底边有中点时，连中线】 (1)【考点二等腰三角形中底边无中点时，作高】 (6)【考点三利用平行线+角平分线构造等腰三角形】 (12)【考点四过腰或底作平行线构造等腰(边)三角形】 (15)【考点五巧用“角平分线+垂线合一”构造等腰三角形】 (24)【考点六利用倍角关系构造新等腰三角形】 (28)【考点一等腰三角形中底边有中点时，连中线】例题：（2023上·浙江宁波·八年级统考期末）如图，在ABC 中，120BAC ∠=︒，AB AC =，D 为BC 的中点，DE AC ⊥于E ．(1)求EDC ∠的度数；(2)若2AE =，求CE 的长．【答案】(1)60︒(2)6【分析】本题考查了等腰三角形的“三线合一”，含30︒角的直角三角形的性质等知识，（1）连接AD ，根据等腰三角形的“三线合一”即可作答；（2）根据含30︒角的直角三角形的性质即可作答．【详解】（1）连接AD ，∵AB AC =，120BAC ∠=︒，∴AD BC ⊥，AD 平分BAC ∠，∴1602∠=∠=︒DAC BAC ，ADC ∠1．（2023上·北京·八年级期末）如图，在ABC 中，AB AC =，D 是BC 的中点，过A 作EF BC ∥，且AE AF =．求证：(1)DE DF =；(2)BG CH =．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）连接AD ，利用等腰三角形“三线合一"的性质得AD BC ⊥，再利用平行线的性质得90DAF ADB ∠=∠=︒，从而说明AD 垂直平分EF ，则有DE DF =；（2）利用等角的余角相等EDB FDC ∠=∠，再利用ASA 证明BDG CDH ≌，从而证明结论．【详解】（1）证明：连接AD ，ABAC =，点D 为BC 的中点，∴AD BC ⊥，∴90ADB ∠=︒，EF BC ∥，∴90DAF ADB ∠=∠=︒，∴AD EF ⊥，AE AF =，∴AD 垂直平分EF ，∴DE DF =；（2）,,DE DF DA EF =⊥ ,EAD FAD ∴∠=∠,ADB ADC ∠=∠ ,EDB FDC ∴∠=∠,AB AC =,B C ∴∠=∠在BDG 和CDH △中，,B C BD CD BDG CDH ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩(ASA),BDG CDH ∴△≌△.BG CH ∴=【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，余角的性质，熟练掌握等腰三角形“三线合一"的性质是解题的关键．2．（2023上·辽宁葫芦岛·八年级统考期末）如图，在ABC 中，AB 的垂直平分线EF 交BC 于点E ，交AB 于点F ，D 为线段CE 的中点，且BE AC =．(1)求证：AD BC ⊥．(2)若90BAC ∠=︒，2DC =，求BD 的长．【答案】(1)见解析(2)6【分析】（1）连接AE ，根据线段垂直平分线的性质得到BE AE =，证明AE AC =，根据等腰三角形的三线合一证明结论；（2）证明AEC △为等边三角形，根据等边三角形的性质解答即可．【详解】（1）证明：连接AE ，EF 是AB 的垂直平分线，BE AE ∴=，BE AC = ，AE AC ∴=，AEC ∴ 是等腰三角形，D 为线段CE 的中点，AD BC ∴⊥；（2）解：BE AE = ，EAB B ∴∠=∠，2AEC EAB B B ∴∠=∠+∠=∠，AE AC = ，AEC C ∴∠=∠，2C B ∴∠=∠，90BAC ∠=︒ ，60C ∴∠=︒，AEC ∴ 为等边三角形，2DC ED ==，24AE EC BE DC ∴====，426BD BE ED ∴=+=+=．【点睛】本题考查的是线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、等边三角形的判定和性质，掌握等腰三角形的三线合一是解题的关键．3．（2023上·全国·八年级专题练习）如图，已知ABC 中，AB AC =，90BAC ∠=︒，点D 为BC 的中点，点E 、F 分别在直线AB AC 、上运动，且始终保持AE CF =．(1)如图①，若点E F 、分别在线段AB AC 、上，DE 与DF 相等且DE 与DF 垂直吗？请说明理由；(2)如图②，若点E F 、分别在线段AB CA 、的延长线上，（1）中的结论是否依然成立？说明理由．【答案】(1)DE DF =且DE DF ⊥，见解析(2)成立，见解析【分析】（1）先利用等腰直角三角形的性质得到45BAD DAC B C ∠=∠=∠=∠=︒和AD BD DC ==，再证明AED CFD SAS ≌（），利用全等三角形的性质即可求解；（2）利用等腰直角三角形的性质得到45BAD DAC B C ∠=∠=∠=∠=︒和AD BD DC ==，再证明AED CFD SAS ≌（），利用全等三角形的性质即可求解．【详解】（1）DE DF =且DE DF ⊥，理由是：如图①，连接AD ，∵90BAC ∠=︒，AB AC =，D 为BC 中点，∴45BAD DAC B C ∠=∠=∠=∠=︒，∴AD BD DC ==，在AED △和CFD △中，AE CF EAD DAC AD DC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴AED CFD SAS ≌（），∴DE DF =，ADE CDF ∠=∠，又∵90CDF ADF ∠+∠=︒，∴90ADE ADF ∠+∠=︒，∴90EDF ∠=︒，∴DE DF ⊥．（2）若点E F 、分别在线段AB ，CA 的延长线上，（1）中的结论依然成立，如图②，连接AD ，理由如下：∵AB AC =，90BAC ∠=︒，点D 为BC 的中点，∴45BAD DAC B C ∠=∠=∠=∠=︒，∴AD BD DC ==，在AED △和CFD △中，AE CF EAD DAC AD DC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴AED CFD SAS ≌（）；∴DE DF ADE CDF =∠=∠，，又∵90CDF ADF ∠-∠=︒，∴90ADE ADF ∠-∠=︒，∴90EDF ∠=︒，∴DE DF ⊥．【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质和全等三角形的判定与性质，解题关键是正确作出辅助线构造全等三角形．【考点二等腰三角形中底边无中点时，作高】例题：（2023上·福建厦门·八年级厦门一中校考期中）如图，已知60AOB ∠=︒，点P 在边OA 上，12OP =，点M N 、在边OB 上，PM PN =，若5OM =，求MN 的长．【答案】2【分析】本题考查了等腰三角形的性质、含角形的性质可得CM 练掌握等腰三角形的三线合一以及直角三角形中PM PN = ，PC ⊥CM CN ∴=，在OPC 中，PCO ∠162OC OP ∴==，5OM = ，1．（2023上·河南省直辖县级单位·八年级校联考期末）在ABC 中，点,D E 是边BC 上的两点．(1)如图1，若AB AC =，AD AE =．求证：BD CE =；(2)如图2，若90BAC ∠=︒，BA BD =，设B x ∠=︒，CAD y ∠=︒．（2）①猜想：2x y =，理由是：∵BA BD =，B x ∠=︒，∴(11802BAD BDA ∠=∠=︒-∠∵90BAC ∠=︒，CAD y ∠=︒，∴90BAD CAD ∠+∠=︒，即90整理得：2x y =；(1)如图1，当点E 与点C 重合时，AD 与CB '的位置关系是表示）(2)如图2，当点E 与点C 不重合时，连接DE ．①用等式表示BAC ∠与DAE ∠之间的数量关系，并证明；②用等式表示线段BE ，CD ，DE 之间的数量关系，并证明．则90AMC ADC ∠∠=︒=∵AB AC =，∴1122CM BM BC ===在ACD 与ACM △中，∵AB AC =，∴B ACB ∠=∠，∵ACB ACB '∠=∠，∴B ACB ACD '∠=∠=∠【考点三利用平行线+角平分线构造等腰三角形】例题：（2024上·北京西城·八年级校考期中）如图，在ABC 中，BD 平分ABC ∠，DE CB ∥，F 是BD 的中点．(1)求证：BDE 是等腰三角形(2)若50ABC ∠=︒，求DEF ∠的度数．【答案】(1)见解析(2)65︒【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，熟记相关定理内容是解题关键．（1）由角平分线的定义得EBD CBD ∠=∠，由DE CB ∥得EDB CBD ∠=∠即可求证；（2）先求出EDB ∠，根据“三线合一”得EF BD ⊥，即可求解．【详解】（1）证明：∵BD 平分ABC ∠，∴EBD CBD ∠=∠，∵DE CB ∥，是等腰三角形；(1)如图1，求证：CDE∠交AC于E，(2)如图2，若DE平分ADC的长．【答案】(1)见解析(2)4【分析】本题考查角平分线、平行线的性质以及直角三角形的边角关系，掌握角平分线的定义，平行线的性质是解决问题的关键．∠=∠（1）根据角平分线的定义得出BCD(1)当53BE CF ==，，则EF =___________；(2)当BE CF >时，若CO 是ACB ∠的外角平分线，如图2，它仍然和∠作EF BC ∥，交AB 于E ，交AC 于F ，试判断EF BE ，，CF 之间的关系，并说明理由．【答案】(1)8(2)EF BE CF =-，见解析∴∠EOB =∠OBC ,∠FOC =∠OCB ，∵ABC ∠和ACB ∠的平分线交于点O ，∴∠EBO =∠OBC ,∠FCO =∠BCO ，∴∠EBO =∠EOB ,∠FCO =∠FOC ，∴53BE OE OF CF ====，，∴8EF EO FO =+=，故答案为：8；（2）EF BE CF =-，理由如下：∵BO 平分ABC ∠，∴ABO OBC ∠=∠，∵EO BC ∥，∴EOB OBC ∠=∠，∴ABO EOB ∠=∠，∴BE EO =，同理可得FO CF =，∴EF EO FO BE CF =-=-．【考点四过腰或底作平行线构造等腰(边)三角形】例题：（2023上·吉林通化·八年级统考期末）如图，ABC 是等边三角形，点D 在AC 上，点E 在BC 的延长线上，且BD DE =．(1)若点D 是AC 的中点，如图1，则线段AD 与CE 的数量关系是__________；(2)若点D 不是AC 的中点，如图2，试判断AD 与CE 的数量关系，并证明你的结论；(提示：过点D 作DF BC ∥，交AB 于点F )(3)若点D 在线段AC 的延长线上，（2）中的结论是否仍成立？如果成立，请给予证明；如果不成立，请说明理由．【答案】(1)AD CE =，理由见解析(2)AD CE =，理由见解析(3)成立，理由见解析【分析】本题考查全等三角形判定与性质，平行线性质，等腰三角形性质，等边三角形性质与判定．（1）求出E CDE ∠=∠，推出CD CE =，根据等腰三角形性质求出AD DC =，即可得出答案；（2）过D 作DF BC ∥，交AB 于F ，证明BFD DCE ≌，推出DF CE =，证ADF △是等边三角形，推出AD DF =，即可得出答案；（3）过点D 作DP BC ∥，交AB 的延长线于点P ，证明BPD DCE ≌，得到PD CE =，即可得到AD CE =．【详解】（1）解：AD CE =，理由如下：ABC 是等边三角形，60,ABC ACB AB AC BC ∴∠=∠=== ．∵点D 为AC 中点，30,DBC AD DC ∴∠== ，BD DE = ，30E DBC ∴∠=∠= ，ACB E CDE ∠=∠+∠ ，30CDE E ∴∠=∠= ，CD CE ∴=，又AD DC = ，AD CE ∴=．故答案为：AD CE =；（2）解：AD CE =，理由如下：如图，过点D 作DF BC ∥，交AB 于点F ，则60ADF ACB ∠=∠= ，60A ∠= ，AFD ∴ 是等边三角形，,60AD DF AF AFD ∴==∠= ，18060120BFD DCE ∴∠=∠=-= ，D F B C ∥ ，FDB DBE E ∴∠=∠=∠，在BFD △和DCE △中，FDB E BFD DCE BD DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，BFD DCE ∴ ≌()AAS ，DF CE ∴=，又AD DF = ，AD CE ∴=；（3）解：结论仍成立，理由如下：如图，过点D 作DP BC ∥，交AB 的延长线于点P ，则60,60ABC APD ACB ADP ∠=∠=∠=∠= ，60A ∠= ，APD ∴ 是等边三角形，AP PD AD ∴==，ACB DCE ∠=∠ ，DCE ACB P ∴∠=∠=∠，DP BC ∥ ，PDB CBD ∴∠=∠，DB DE = ，DBC DEC ∴∠=∠，PDB DEC ∴∠=∠，在BPD △和DCE △中，PDB CED P DCE BD DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，BPD DCE ∴ ≌()AAS ，PD CE ∴=，又AD PD = ，AD CE ∴=．【变式训练】(1)如图1，当点E 运动到线段AB 的中点，点D 在线段(2)如图2，当点E 在线段AB 上运动，点D 在线段说明理由．【答案】(1)12∵EF BC ∥，∴60AFE ACB ∠=∠=︒120,EFC AFE ∴∠=︒∠EF EA∴=∵60ABC ∠=︒，(1)【感知】如图1，当点E为AB的中点时，则线段(2)【类比】如图2，当点E为AB边上任意一点时，∥，交AC于点F．示如下：过点E作EF BC(3)【拓展】在等边三角形ABC中，点E在直线（2）AE DB =，理由如下：过点E 作EF BC ∥，交AC 于点F ，则AEF ABC AFE ACB ∠=∠∠=∠，，FEC ECD ∠=∠，∵ABC 是等边三角形，∴60AB AC A ABC ACB =∠=∠=∠=︒，，∴60120AEF AFE A DBE ∠=∠=∠=︒∠=︒，，∴AEF △为等边三角形，120EFC ∠=︒，∴AE EF =，∵ED EC =，∴D ECD ∠=∠，∴D FEC ∠=∠，在DBE 和EFC 中，DBE EFC D FEC ED EC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()AAS DBE EFC ≌，∴DB EF =，∴AE DB =；（3）过点E 作EF BC ∥，交AC 于点F ，如图3所示：同（2）得：AEF △是等边三角形，()AAS DBE EFC ≌，∴33AE EF DB EF ====，，∵2BC =，∴235CD BC DB =+=+=．故答案为：5．【点睛】本题是三角形综合题目，考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、平行线的性质等知识，熟练掌握等边三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．(1)求证:2AP AQ AB +=(2)求证:PD DQ =；(3)如图，过点P 作PE ⊥出这个长度；如果变化，请说明理由．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)ED 为定值5，理由见解析【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，线段的和差，准确作出辅助线找出全等三角形是解题关键．（1）利用P 、Q 的移动速度相同，得到CQ PB ∴=，AB AC = ，2AP AQ AB PB AC CQ AB ∴+=-++=；（2）如图，过点P 作PF AC ∥，交BC 于点F ，PF AC ∥，,PFB ACB DPF DQC ∴∠=∠∠=∠，AB AC = ，B ACB ∴∠=∠，B PFB ∴∠=∠，BP PF ∴=，由（1）得BP CQ =，PF CQ ∴=，在PFD 与QCD 中，PDF QDC DPF DQC PF CQ ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()AAS PFD QCD ∴ ≌，PD DQ ∴=；（3）解：ED 为定值5，理由如下：如图，过点P 作PF AC ∥，交BC 于点F ，由（2）得：PB PF =，【考点五巧用“角平分线+垂线合一”构造等腰三角形】例题：如图，在ABC 中，AD 平分BAC ∠，E 是BC 的中点，过点E 作FG AD ⊥交AD 的延长线于H ，交AB 于F ，交AC 的延长线于G ．求证：(1)AF AG =；(2)BF CG =．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）根据ASA 证明AHF AHG ≌ ，即可得出AF AG =；（2）过点C 作CM AB ∥交FG 于点M ，由AHF AHG ≌ 可得AFH G ∠=∠，根据平行线的性质得出CMG AFH ∠=∠，可得CMG G ∠=∠，进而得出CM CG =，再根据据ASA 证明BEF CEM ≌ ，得出BF CM =，等量代换即可得到BF CG =．【详解】（1）证明：∵AD 平分BAC ∠，∴FAH GAH ∠=∠，∵FG AH ⊥，∴90AHF AHG ∠=∠=︒，在AHF △和AHG 中，FAH GAH AH AH AHF AHG ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴()ASA AHF AHG ≌ ，∴AF AG =；（2）证明：过点C 作CM AB ∥交FG 于点M ，∵AHF AHG ≌ ，∴AFH G ∠=∠，∵CM AB ∥，∴CMG AFH ∠=∠，∴CMG G ∠=∠，∴CM CG =，∵E 是BC 的中点，∴BE CE =，∵CM AB ∥，∴B ECM ∠=∠，在BEF △和CEM 中，B ECM BE CE BEF CEM ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴()ASA BEF CEM ≌ ，∴BF CM =，∴BF CG =．【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，等角对等边，平行线的性质，熟记全等三角形的判定定理、性质定理及作出合适的辅助线是解此题的关键．【变式训练】1.如图：(1)【问题情境】利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图1，OP 平分MON ∠．点A 为OM 上一点，过点AC OP ⊥，垂足为C ，延长AC 交ON 于点B ，可根据证明AOC BOC ≌△△，则AO 点C 为AB 的中点）．(2)【类比解答】如图2，在ABC 中，CD 平分ACB ∠，AE CD ⊥于E ，若63EAC ∠=︒，37B ∠=︒，通过上述构造全等的办法，可求得DAE ∠=．(3)【拓展延伸】如图3，ABC 中，AB AC =，90BAC ∠=︒，CD 平分ACB ∠，BE CD ⊥，垂足E 在CD 究BE 和CD 的数量关系，并证明你的结论．(4)【实际应用】如图4是一块肥沃的三角形土地，其中AC 边与灌渠相邻，李伯伯想在这块地中划出一块直角三角形土地进行水稻试验，故进行如下操作：①用量角器取ACB ∠的角平分线CD ；②过点A 作AD 13BC =，10AC =，ABC 面积为20，则划出的ACD 的面积是多少？请直接写出答案．【答案】(1)ASA(2)26︒(3)12BE CD =，证明见解析100【考点六利用倍角关系构造新等腰三角形】例题：（2023上·河南信阳·八年级统考期中）阅读材料：截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短是通过在一条短边上延长一条线段与另一长边相等，解答下列问题：如图1，在ABC 中，交BC 于点D ，AD 平分BAC ∠，且2B C ∠=∠．(1)为了证明结论“AB BD AC +=”，小亮在AC 上截取AE ，使得AE AB =，解答了这个问题，请按照小亮的思路写证明过程；(2)如图2，在四边形ABCD 中，已知58BAD ∠=︒，109D ∠=︒，42ACD ∠=︒，80ACB ∠=︒，10AD =，CE AB ⊥3EB =，求AB 的长．【答案】(1)见解析(2)16【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定及性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．（1）在AC 上截取AE ，使得AE AB =，连接DE ，根据角平分线的定义可得BAD DAC ∠=∠，再利用SAS 证明ABD AED ≌，从而可得B AED ∠=∠，BD DE =，进而可得2AED C ∠=∠，然后利用三角形的外角性质可得AED C EDC ∠=∠+∠，从而可得C EDC ∠=∠，进而可得DE CE =，再根据等量代换可得BD EC =，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答；（2）在AE 上截取AF AD =，连接CD ，先利用三角形内角和定理可得29DAC ∠=︒，从而可得29DAC FAC ∠=∠=︒，再利用SAS 证明DAC FAC ≌，从而可得109AFC D ∠=∠=︒，进而可得71CFE ∠=︒，然后利用三角形内角和定理可得71B CFE ∠=∠=︒，从而可得CF BC =，再利用等腰三角形的三线合一性质可得26BF BE ==，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答．【详解】（1）解：证明：在AC 上截取AE ，使得AE AB =，∵AD 平分BAC ∠，∴BAD DAC ∠=∠，∵AD AD =，∴()SAS ABD AED ≌，∴B AED ∠=∠，BD DE =，∵2B C ∠=∠，∴2AED C ∠=∠，∵AED ∠是DEC 的一个外角，∴AED C EDC ∠=∠+∠，∴C EDC ∠=∠，∴DE CE =，∴BD EC =，∵AE EC AC +=，∴AB BD AC +=；（2）在AE 上截取AF AD =，连接CF ，∵109D ∠=︒，42ACD ∠=︒，∴18029DAC D ACD ∠=︒-∠-∠=︒，∵58BAD ∠=︒，∴29FAC BAD DAC ∠=∠-∠=︒，∴29DAC FAC ∠=∠=︒，∵AC AC =，∴()SAS DAC FAC ≌，∴109AFC D ∠=∠=︒，∴18071CFE AFC ∠=︒-∠=︒，∵80ACB ∠=︒，29FAC ∠=︒，∴18071B ACB FAC ∠=︒-∠-∠=︒，∴B CFE ∠=∠，∴CF BC =，∵CE AB ⊥，∴26BF BE ==，∴10616AB AF BF =+=+=，∴AB 的长为16．【变式训练】1．在Rt ABC 中，90BAC ∠=︒，点D 在边BC 上，AB AD =，点E 在线段BD 上，3BAE EAD ∠=∠．(1)如图1，若点D 与点C 重合，则AEB ∠=______︒；(2)如图2，若点D 与点C 不重合，试说明C ∠与EAD ∠的数量关系；(3)在（1）的情况下，试判断BE ，CD 与AC 的数量关系，并说明你的理由．【答案】(1)67.5(2)2C EAD∠=∠(3)BE CD AC +=，理由见解析【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质得到45D ∠=︒，根据题意求出EAD ∠，根据三角形的外角性质计算，得到答案；（2）根据直角三角形的两锐角互余得到90B C ∠=︒-∠，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理得到2BAD C ∠=∠，进而证明结论；（3）在BD 上截取BF DE =，连接AF ，证明ABF △≌ADE V ，根据求等三角形的性质得到BAF DAE ∠=∠，根据三角形的外角性质得到CAF CFA ∠=∠，得到AC CF =，进而得出结论．【详解】（1）解：在Rt BAD 中，90BAD ∠=︒，AB AD =，则45D ∠=︒，90BAD ∠=︒Q ，3BAE EAD ∠=∠，22.5EAD ∴∠=︒，67.5AEB EAD D ∴∠=∠+∠=︒，故答案为：67.5；（2）解：2C EAD ∠=∠，理由如下：90BAC ∠=︒ ，90B C ∴∠=︒-∠，AB AD = ，则BE BF EF DE EF DF =+=+=，BE CD DF CD CF ∴+=+=，在ABF △和ADE V 中，AB AD B ADE BF DE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()SAS ADE △(1)写出图1中与BAC ∠相等的角，BAC ∠=______(2)如图1，若GFC FGE ∠=∠，在图中找出与AG (3)如图2，若2,3HC CE ==，求BC 的长度．【答案】(1)AGF∠(2)AG CE =，证明见解析(3)72MGN AGF BAC∠=∠=∠，∠=∠，则N BAC∴∠=∠，N MGNMG MN∴=，∠=∠=∠+∠FGE BEG BEG2∴∠=∠，BEG GME∴=，MG GE，=AC GE∴=，MN AC。
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构造特殊三角形求解1、如图，在等腰直角⊿ABC 中，∠A =900,P 是⊿ABC 内一点，P A =1,PB =3,PC =7,则∠CP A 的大小是 。
2．已知：如图，P 为等边⊿ABC 内一点，且P A =3,PB =4,PC =5，则∠APB 的度数为 ． 3、如图，四边形ABCD 中，AC ，BD 是对角线，△ABC 是等边三角形．∠ADC =30°，，AD = 3，BD = 5，则CD 的长为（ ）．（A ）32 （B ）4 （C ）25 （D ）4.54、如图，四边形ABCD 中，AB=AC=AD ，如果∠DAC =56°，∠CAB =20°，那么∠BCD = ．5、如图，设P 到等边ABC ∆两顶点A 、B 的距离分别为2、3，则PC 所能达到的最大值为（ ）:5A :13B :5C :6D6、如图，在ABC ∆中，3,2AB AC ==,以BC 为边的PBC ∆是等边三角形，则AP 的最大值为 ，最小值为 。
7、在正ABC ∆中，P 是ABC ∆内的一点，已知0130,117APC APB ∠=∠=，则以P A 、PB 、PC 为边的三角形的每个内角的度数为 。
8、如图，P 是等边⊿ABC 中的一个点，P A =2,PB =23,PC =4,则⊿ABC 的边长是 。
9、如图：已知△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝900，直角∠EPF 的顶点P 是BC 中点，两边PE 、PF 分别交AB 、AC 于点E 、F ，给出以下四个结论：①AE ＝CF ;②△EPF 是等腰直角三角形;③AEPF S 四边形＝ABC S ∆21;④EF ＝AP ;当∠EPF 在△ABC 内绕顶点P 旋转时（点E 不与A 、B 重合），上述结论中始终正确的有（ ） A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个ABC P DABPDC10、如图所示，P 是矩形ABCD 内一点，3,4,5PA PD PC ===,则PB = 。
11、如图，P 为正方形ABCD 内一点，若123PA PB PC ::=::，则APB ∠的度数是（ ）A 、120°B 、135°C 、145°D 、150°12.（2010•永州）探究问题：（1）阅读理解：①如图（A ），在已知△ABC 所在平面上存在一点P ，使它到三角形顶点的距离之和最小，则称点P 为△ABC 的费马点，此时PA +PB +PC 的值为△ABC 的费马距离；②如图（B ），若四边形ABCD 的四个顶点在同一圆上，则有AB •CD +BC •DA =AC •BD ．此为托勒密定理；（2）知识迁移：①请你利用托勒密定理，解决如下问题：如图（C ），已知点P 为等边△ABC 外接圆的BC 上任意一点．求证：PB +PC =PA ；②根据（2）①的结论，我们有如下探寻△ABC （其中∠A 、∠B 、∠C 均小于120°）的费马点和费马距离的方法：第一步：如图（D ），在△ABC 的外部以BC 为边长作等边△BCD 及其外接圆；第二步：在BC 上任取一点P ′，连接P ′A 、P ′B 、P ′C 、P ′D ．易知P ′A +P ′B +P ′C =P ′A +（P ′B +P ′C ）=P ′A + ；第三步：请你根据（1）①中定义，在图（D ）中找出△ABC 的费马点P ，并请指出线段 的长度即为△ABC 的费马距离． （3）知识应用：2010年4月，我国西南地区出现了罕见的持续干旱现象，许多村庄出现了人、畜饮水困难，为解决老百姓的饮水问题，解放军某部来到云南某地打井取水．已知三村庄A 、B 、C 构成了如图（E ）所示的△ABC （其中∠A 、∠B 、∠C 均小于120°），现选取一点P 打水井，使从水井P 到三村庄A 、B 、C 所铺设的输水管总长度最小，求输水管总长度的最小值．（2）①证明：由托勒密定理可知PB •AC+PC •AB=PA •BC ∵△ABC 是等边三角形∴AB=AC=BC ，∴PB+PC=PA ，②P ′D 、AD ，（3）解：如图，以BC 为边长在△ABC 的外部作等边△BCD ，连接AD ，则知线段AD 的长即为△ABC 的费马距离．∵△BCD 为等边三角形，BC=4，∴∠CBD=60°，BD=BC=4，∵∠ABC=30°，∴∠ABD=90°， 在Rt △ABD 中，∵AB=3，BD=4，∴22AB BD +=5（km ），∴从水井P （即图中的D 点）到三村庄A 、B 、C 所铺设的输水管总长度的最小值为5km ．（2）知识迁移①问，只需按照题意套用托勒密定理，再利用等边三角形三边相等，将所得等式两边都除以等边三角形的边长，即可获证． ②问，借用①问结论，及线段的性质“两点之间线段最短”数学容易获解．13.如图，在⊿ABC 中，∠ACB =900，BC =2,P 是⊿ABC 内一点， 使得P A +PB +PC 的值最小为27ABC 的度数。
解：即P 点是费马点，根据费马点的结论，以BC 边向外作等边△BCD ，AD 长即为PA+PB+PC 的最小值即，AD=273,故∠B = 60° 14、如图，设P 是边长为1的正ABC ∆内的一点，m PA PB PC =++， 32m <。
15、如图，正方形ABCD 内一点E ，E 到A 、B 、C 26的边长．解：以A 为旋转中心，将△ABE 旋转60°得到△AMN ，连NE ，MB ，过M 作MP ⊥BC 交BC 的延长线于P 点，如图，∴MN=BE ，AN=AE ，∠NAE =60°，∴△ANE 为等边三角形， ∴AE=NE ，∴AE +EB +EC =MN +NE +EC ，当AE +EB +EC 取最小值时， 折线MNEC 成为线段，则MC 26AB=AM ，∠BAM =60°， ∴△ABM 为等边三角形，∴∠MBC =150°，则∠PBM =30°， 在Rt △PMC 中，设BC=x ，PM=2x，32PB x =所以2223(26)()()22x x x +=++所以x =2，∴BC =2，即正方形的边长为2． 16．如图9所示，在等腰⊿ABC 中，AB=AC , ∠BAC =1000,延长AB 到D ，使AD=BC ,连接DC ,则∠BCD 的度数是 .17、如图：在⊿ABC 中，∠C =900，∠CAD =300,AC=BC=AD ,则∠CBD = 。
18．如图12所示，在⊿ABC 中，AC=BC , ∠ACB =800,在⊿ABC 内取一点M ，使得∠MBA =300,∠MAB =100 那么∠AMC 的度数是19、如图，在⊿ABC 中，∠ABC =46°，D 是BC 边上一点，DC=AB ，∠DAB =21°，求∠CAD 的度数。
20、如图，在⊿ABC 中，∠ACB =40°，D 是BC 边上一点，BD=AC ，∠DAC =30°，求∠ADB 的度数。
21.已知：如图，在等腰直角⊿ABC 中，∠ACB =90°，AC=BC ，点D 是△ABC 内的一点，且AD=AC ，若∠DAC =30°，试探究BD 与CD 的数量关系并加以证明． 解：BD=CD ．证明：作BE ⊥BC ，AE ⊥AC ，两线相交于点E ，∵△ABC 是等腰直角三角形，即AC=BC ，∴四边形AEBC 是正方形， ∵∠DAC=30°，∴∠DAE=60°，∵AD=AC ，∴AD=AE ， ∴△AED 是等边三角形，∴∠AED=60°，∴∠DEB=30°， 在△ADC 和△EDB 中，AD ＝ED ，∠DAC ＝∠DEB ＝30°，AC ＝BE ∴△ADC ≌△EDB （SAS ），∴BD=CD ．22、如图，在等腰⊿ABC 中，延长边AB 到D ，延长边CA 到E ，连接DE ，恰有AD=BC=CE=DE 。
求证：∠BAC =100°。
证明：过C 作AD 的平行线，与过D 所作的BC 的平行线交于点F ，连结EF ，可知BCFD 为平行四边形 ∴DB ＝CF BC ＝DF ∴∠EAD ＝∠ECF 在ΔADE 与ΔCEF 中 AD ＝CE AE ＝DB ＝CF ∠EAD ＝∠ECF ∴ED ＝EF 但ED ＝BC ＝DF ∴ΔDEF 为等边三角形 ∠DEF ＝60° 设∠BAC ＝α，则 ∠ADF ＝∠ABC ＝12∠DAE ＝12（180°－α ） ∠ADE ＝180°－2∠DAE ＝180°－2（180°－α）＝2α－180°由∠ADF ＋∠ADE ＝∠EDF ＝60°可知 解之得α＝100° 即∠BAC ＝100°23.如图，在△ABC 中，∠ABC ＝∠BAC ＝70°，P 为形内一点，∠P AB ＝40°，∠PBA ＝20°，求证：P A ＋PB ＝PC ．截长法证明：过P 作AB 的平行线PD ，再以B 为圆心，AP 为半径画弧，与PD 交于D ，连接BD,CD,过C 作C E ⊥PD 于E ，延长BP 与AC 交于F ，因为P D ∥AB 且AP=BD,则四边形ABDP 为等腰梯形， ∠BAP=∠ABD=40°,∠ABP=20°,∠DBP=∠BPD=20°,AP=BD=PD,又因为AC=BC, ∠CAP=∠CBP=30°.AP=BD,所以⊿AC P ≌⊿BCD,则CP=CD,∠ACP=∠BCP.又因为C E ⊥PD,所以PE=DE=12PD, ∠PCE=∠DCE,延长BP 与AC 交于F ，因为∠BAP=40°,∠ABP=20°,∠FAP=30°,所以∠AFP=90°,PF=12AP,则∠CFP=∠CEP=90°,PE=PF=12PD,CP=CP,所以⊿CF P ≌⊿CEP,∠FCP=∠ECP, ∠FCP=∠PCE=∠ECD=∠DCB=10°,在CP 上截取PG=AP ，则∠CAG=∠GCA=10°,所以CG=AG ,则⊿AP G ≌⊿BPD,所以AG=BP,所以CP=CG+GP=BP+AP,结论得证。
补短法证明：因为∠ABC=∠BAC=70°，所以AC=BC,∠ACB=40°。