巧构直角三角形解题
专题14 巧用解直角三角形解决实际问题（含答案）
专题14 巧用解直角三角形解决实际问题知识解读在直角三角形中，由已知元素（至少有一条是边）求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形。
角之间的关系：两锐角互余；边的关系：两直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）；边与角的关系：锐角三角函数。
解直角三角形的应用包括：①求三角形的边长及角度；②解决某些实际问题。
培优学案典例示范例1.如图3-14-1是某通道的侧面示意图，已知AB /CD //EF ，AM /BC /DE ，AB =CD =EF ，∠AMF =90°，∠BAM =30°，AB =6m .（1）求FM 的长；（2）连接AF ，若sin ∠F AM =13，求AM 的长.【提示】（1）延长BC ，DE 交FM 于点G ，H ，过B ，D 作BJ ⊥AM ，DK ⊥CG ，构造直角三角形可利用三角函数求解；（2）有sin ∠F AM =13可以求AF ，再求AM .图3-14-1AB CDEFM跟踪训练如图3-14-2，在同一平面内，两条平行的高速公路1l 和2l 间有一条“Z ”型道路连通，其中AB 段与高速路1l 成30°角，长为20km ；BC 与AB ，CD 段都垂直，长为10km ；CD 段长为30km .求两条高速公路间的距离（结果保留根号）.【提示】解决本题的关键是将题干中的条件转化到直角三角形中，根据直角三角形中的边角关系解决问题.【解答】DCB30°A图3-14-1l 1l 2例2.黔东南州某校九年级某班开展数学活动，小明和小军合作用一副三角板测量学校的旗杆，如图已知小明和小军相距（BD）6米，小明的身高（AB）1.5米，小军的身高（CD）1.75米，求旗杆的高EF 的长（结果精确到0.12 1.41≈3 1.73≈）【提示】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是读懂题意，看懂图形构建合适的方程模型.【解答】ACDBFE图3-14-3跟踪训练一数学兴趣小组为测量河对岸树AB的高，在河岸边选择一点C，从C处测得树梢A的仰角为45°，沿BC方向后退10米到点D，再次测得点A的仰角为30°（如图3-14-4），求树高（结果精确到0.1米，参考数据：2 1.41≈,3 1.73≈）【解答】图3-14-4A BCD30°45°例3.如图3-14-5，海中有两个灯塔A，B，其中B位于A的正东方向上，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在点C处测得灯塔A在西北方向上，灯塔B在北偏东30°方向上，渔船不改变航向继续向东航行30海里到达点D，这时测得灯塔A在北偏西60°方向上，求灯塔A，B间的距离.（计算结果用根号表示，不取【提示】本题考查了解直角三角形的应用一一方位角问题，解题的关键是添加辅助线构造直角三角形。
直角三角形的存在性问题解题策略
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CATALOGUE
直角三角形的存在性问题分类
直角在三角形内部
总结词
当直角位于三角形内部时，可以通过构建直角三角形并利用勾股定理解决。
详细描述
首先，根据题目条件，确定直角的位置和已知条件。然后，利用勾股定理计算直 角三角形的斜边长度。接着，根据三角形的性质和已知条件，判断是否能够构成 三角形。如果可以，则存在满足条件的直角三角形；否则，不存在。
在题目中，有时候会隐含一些关于三角形或 角度的条件，需要仔细审题并挖掘。
举例说明
在求解三角形边长的问题时，需要注意隐含 的等腰或等边条件，这些条件可能会影响三 角形的形状和存在性。
掌握常见题型和解题方法
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常见题型
直角三角形存在性问题的 常见题型包括角度问题、 边长问题、高的长度问题 等。
直角在三角形外部
总结词
当直角位于三角形外部时，可以通过构建直角三角形并利用勾股定理解决。
详细描述
首先，根据题目条件，确定直角的位置和已知条件。然后，利用勾股定理计算直角三角形的斜边长度。接着，根 据三角形的性质和已知条件，判断是否能够构成三角形。如果可以，则存在满足条件的直角三角形；否则，不存 在。
建立方程
根据题目条件，可以建立关于未知数 （如角度、边长等）的方程，然后求 解该方程。
解方程
解方程的方法有很多种，如代数法、 三角函数法等，选择合适的方法求解 方程。
利用数形结合思想
数形结合
将题目中的条件和图形结合起来，通过 观察图形和计算数据，找到解决问题的 线索。
VS
综合分析
综合运用数学知识和图形分析，逐步推导 和验证，最终得出结论。
解题方法
针对不同的问题类型，需 要掌握相应的解题方法， 如利用三角函数、勾股定 理、相似三角形等。
构造直角三角形解题
构造直角三角形解题
本文将重点介绍用来构造直角三角形的基本方法：
一、三角形属性
1、任何三角形都有三条边和三个内角；
2、三条边和三个内角皆可用来构造直角三角形；
3、直角三角形必须有一个直角，也就是其中一个内角是90度；
4、直角三角形的边长必须符合勾股定理：a² + b² = c²。
其中a和b是直角三角形的两条相较较短的边，c是直角三角形的斜边。
二、构造直角三角形的基本方法
1、依据勾股定理构造直角三角形：根据斜边c的长度来计算出a和b 两边的长度，即a² + b² = c²，然后画出三边，再将内角调节至90度即可构造出一个直角三角形。
2、拉伸和缩短给定的边：将给定的边进行拉伸和缩短，确保它们仍符合勾股定理即a² + b² = c²，然后根据调整后的边构建三角形，最后将内角调整至90度即可构造出一个直角三角形。
3、给定三角形的两边和一内角：可用勾股定理来计算另一边的长度，即a² + b² = c²，然后绘制出三条边，把最后一个内角调整至90度即可构造出一个直角三角形。
综上所述，用来构造直角三角形的基本方法有三：依据勾股定理构造直角三角形，拉伸和缩短给定的边，给定三角形的两边和一内角。
熟练掌握这些技巧，就可以有效构建直角三角形。
2017-2018学年八年级数学上册 第十三章 轴对称 微专题 巧构30°的直角三角形同步精练 (新版)新人教版
微专题 巧构30°的直角三角形【方法技巧】 遇到30°角常用的辅助线就是作垂线，构造直角三角形，将角度关系转化为边的关系来解决问题．基本图形：如图，△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于D ，若∠A ＝30°，则BD ＝12BC ，CD ＝12AC ，BC ＝12AB .一、连接两点构造1．如图，△ABC 中，AB ＝AC ，∠C ＝30°，AB 的垂直平分线交AB 于D ，交BC 于E ，试探究BE 与CE 之间的数量关系．(导学号：58024208)【解题过程】解：连接AE ，证BE ＝AE ，∠EAC ＝90°，∴CE ＝2AE ＝2BE .2．如图，以等腰直角△ABC 的直角边AC 为边作等边△ACD ，CE ⊥AD 于E ，BD ，CE 交于点F .(导学号：58024209)(1)求∠DFE 的度数；(2)求证：AB ＝2DF .【解题过程】解：(1)易求∠BDC ＝15°，∠DCF ＝30°，∴∠DFE ＝45°.(2)证明：连接AF ，易证∠AFD ＝90°，AF ＝DF ，易求∠ABD ＝30°，∴AB ＝2AF ＝2DF .二、作垂线构造3．如图，四边形ABCD 中，∠B ＝90°，DC ∥AB ，AC 平分∠BAD ，∠BAD ＝30°，求证：AD ＝2BC .(导学号：58024210)【解题过程】证明：过C作CE⊥AD于E，证∠CDE＝30°，∴CD＝2CE，CE＝CB，∴CD＝2BC.∵CD＝AD，∴AD＝2BC.4．如图，CD是△ABC的中线，CD⊥CB，∠ACD＝30°，求证：AC＝2BC.(导学号：58024211)【解题过程】证明：过A作AE⊥CD于E，∴AC＝2AE，证△ADE≌△BDC，∴AE＝BC，∴AC＝2BC.三、延长两边构造5．如图，四边形ABCD中，∠C＝30°，∠B＝90°，∠ADC＝120°，若AB＝2，CD＝8，求AD的长．(导学号：58024212)【解题过程】解：延长CD，BA交于M，构造30°的直角△CBM，证△ADM是等边三角形，设AD＝AM ＝DM＝x，∴8＋x＝2(x＋2)，x＝4，∴AD＝4.。
联想出妙解——构造直角三角形解题一例
2020年第4期中学数学月刊・63・EFGH I构造直角三角形解题一例侯明辉（辽宁省岫岩满族自治县教师进修学校114300）问题已知正数％%#b）与锐角a%!#%）满足%人・!92"——1）+b=b・tan a—%%—b'sin"%/=槡%2+b2，求a+%的大小.分析题中给岀关于正数％%与锐角a%的三角函 间比较的等量关系%特点,直接求a十％的度数，往往使人感策，所以直接有一定的难度由槡%2+b2，可以很自然地联想到勾股定理，因此通过构造直角三角形%将其转化为，然后利用几何、三角函数和代数的一些相关知识，可使此题得到妙解.解如图1作△ABC,使6ACB=90°,BC=%AC=b%矿一则AB=槡%2+b2•”"■图—长AB到点M,使BM、=%；延长BA到点N,使AN=b.过点A作AE丄AB AE交MC的延长线于点E；过点B作BF丄BABF交NC的延长线于点F所以6ACE= 90o—Z BCM=90°—Z M=Z E,MW AE=AC= b.类似地,BF=BC=%.%—,・(^2一1)十b=槡％2+b2,得%—b sn%'sin2a%2一%b+b2+(%—b)・槡％2十b2=2—，即sin%%sin2a_%2+b2+(一b)・—%2十b2一%b sin2%=%2+b2—b2(—%2+b2+%)・(—%2+b2一b)(—%2+b2+b)・(—%2+b2一b)—%2+b2+%—%2+b2+b，sin a sin6E所以i%=i z F-因a%,6E,6F都是锐角，故T③”sin6F由b・tan a一%=—%2+b2,得tan a=—%2+b2+%b AE=tn6E，即"=6E%由③④可知％=6F.易知6M=—6ABC,6N=—Z BAC,故sin2Z EAM2ME2(槡％2十b2+%)2所以6M+6N=—(6ABC+6BAC)= (槡％2十b2+%)2+b2(!%2十b2+%)22!2+b2)+2%・槡％2十b2(!%2+b2+%)2槡%2+b+%=①2槡%2+b2・((%2+b2+%)2槡%2+b类似地sin26F =槡%2十b2十b②2槡％2十b2—X90。
构造含30角的直角三角形解题
1构造含30°角的直角三角形解题山东 李树臣30︒的角是一个特殊的角，它具有一个特殊的性质，即“在直角三角形中，如果一个锐角等于30︒，那么它所对的直角边等于斜边的一半．”这一性质在各类考试中经常出现，利用它的关键是设法构造出含有30︒角的直角三角形．本文列举几例，以说明怎样通过添加辅助线构造出含30︒角的直角三角形．例1 如图1，在A B C △中，30B AC ∠=︒=，，等腰直角三角形A C D 的斜边A D 在A B 边上，求B C 的长．分析：本题含有30︒角的条件，因为只有在直角三角形中的30︒角才有上述的特殊性质，所以需作辅助垂线，构造出一个含有30︒角的直角三角形来，这是解决本体的关键所在．解：过点C 作C E A B ⊥，垂足为E ．因为90A C C D A C D =∠=︒，，所以2AD ==，因为C E A B ⊥，AC D △是等腰直角三角形，所以112A E A D C E ===。
在B C E Rt △中，∠例2 在A B C △中，120A B A C A =∠=︒，，A B 的垂直平分线交B C 于点D ，交A B 于点E ．如果1D E =，求B C 的长．分析：根据题意，容易发现2B D =，如果连接A D ，则有2A D B D ==，而24C D AD ==，所以B C 可求．解：连接A D ，D E 垂直平分A B ，AD BD =∴，90D E B ∠=︒．A B A C = ，120B A C ∠=︒，30B C ∠=∠=︒∴． 在BD E Rt △中13022B D E B D B D ∠=︒==，∴，∴．AD BD = ，1203090BAD B D AC BAC BAD ∠=∠∠=∠-∠=︒-︒=︒∴，∴，而30C ∠=︒， 12A D C D =∴，224C D A D B D ===，故有：426B C C D B D =+=+=．例3 如图3，60D AB C D AD C B AB ∠=︒⊥⊥，，，且21AB C D ==，，求A D 和B C 的长．分析：注意到条件6090D A B B ∠=︒∠=︒，，联想到含30︒角的直角三角形的性质，延长A D 和B C ，就可以构造出两个含30︒角的直角三角形来．解：延长A D ，B C 交于点E ．∵6090D A B B ∠=︒∠=︒，，30E ∠=︒∴，又C D A D ⊥，9022CDE CE CD ∠===∴，∴，图3ADE CB图22DE ==∴又3090E B ∠=︒∠=︒，， 24AE AB ==∴，BE ==∴，42AD AE D E BC BE C E =-=-=-=∴．例4 如图4，在△ABC 中，BD ＝DC ，若AD ⊥AC ，∠BAD ＝30°．求证：AC ＝12AB ．分析：由结论12A C AB =和条件30BAD =∠，就想到能否找到或构造直角三角形，而显然图中没有含30°角的直角三角形，所以过B 作BE AD ⊥交A D 的延长线于点E ，这样就得到了直角三角形A B E ，这是解决本题的关键．证明：过B 作BE AD ⊥交A D 的延长线于E ，则90A E B ∠=︒．1302B A D B E A B ∠=︒=，∴．90AD AC D AC ⊥∠=︒ ，∴， A E B D A C ∠=∠∴．又B D C D B D E C D A =∠=∠，，B E DC AD ∴△≌△， 12BE C A A C A B ==∴，∴．ABCED 图4。
「初中数学」利用含30°角的直角三角形解题的几种技巧.doc
「初中数学」利用含30°角的直角三角形解题的几种技巧在初中数学中有这样一个定理:在直角三角形中，若一个锐角为30°，则它所对的边是斜边的一半.它通过角的关系揭示出了边的关系，从角的类别跨出到了边的类别，建立了不同类别之间的联系，所以非常重要，那么在证明线段之间的倍分关系时，我们就要注意提醒自己，题中是否含有30°、60°或120°的特殊角，或者通过某种方法构造含30°的直角三角形.这一定理运用比较广泛，下面结合八年级的习题分别说明。
一.直接运用含30°角的直角三角形的性质1.如图，在等边三角形ABC中，AE=CD，AD，BE相交于点P，BQ⊥AD于点Q.求证:BP=2PQ.【分析】由等边三角形ABC知，AB=AC=BC，∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°且AE=CD，显然△ACD≌△BAE.结论要证BP=2PQ，想到在直角三角形BQP中，找30°角或60°，而∠BPQ=∠ABP+∠BAP，由△ACD≌△BAE，可知∠ABP=∠CAD，所以∠BPQ=∠BAP+∠CAD=∠BAC=60°则达到目的.证明:∵△ABC为等边三角形，∴AC=AB，∠C=∠BAC=60°，又AE=CD，∴△ACD≌△BAE，∴∠CAD=∠ABE，∵∠CAD+∠BAP=∠BAC=60°，∴∠ABE+∠BAP=∠BPQ=60°，∵BQ⊥AD，∴∠BQP=90°，∴∠PBQ=90°一∠BPQ=30°，∴BP=2PQ.2.如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，BD=AB，∠ABD=30°.求证:AD=DC.【分析】欲证，AD=CD，想到什么:等腰三角形三线合一;想到证底角相等？不管你想到哪个定理和性质，还得联系其他条件，条件有，等腰直角三角形BAC，有∠ABD=30°，这些条件又与结论怎样联系呢？那我们就要画辅助线试着分析一下，因为∠ABD=30°，AB=BD，可得，∠BAD=∠BDA=75°，过点A作AE⊥BD于E，E为垂足，使30°的角处于直角三角形中，则有∠EAD=15°，AE=AB/2，又分析出∠CAD=15°，则AD是∠CAE的角平分线，而DE⊥AE，于是想到过点D作DF⊥AC于F，则可证△EAD≌△FAD，得AF=AE=AB/2=AC/2，∴F是AC的中点，∴DF垂直平分AC，∴AD=DC，得证.如图证明:过点A作AE⊥BD于E，过点D作DF⊥AC于F，∴∠AEB=∠AED=∠AFD90°则在Rt△AEB中，∵∠ABD=30°，∴AE=AB/2，又∵AB=AC，则AE=AC/2，在△ABD 中，∵AB=BD，∠ABD=30°，∴∠BAD=1/2(180°一30°)=75°，∵∠BAC=90°，∴∠DAC=15°，而在Rt△AED中，可知∠BAE=60°，∴∠EAD=15°，所以根据∠DAC=∠EAD=15°，∠AED=∠AFD=90°，AD=AD，可得△EAD≌△FAD，∴AF=AE=AC/2，即F是AC的中点，∴DF垂直平分AC，∴AD=DC.那么依据∠DAC=∠DCA是否也可证AD=DC呢？只要同学们善于分析，还是可以的，下面给出一种作辅助线的方法，希望同学们仔细体会.以BC为边在△ABC的同侧作等边三角形BEC，连接AE，如图，由于正三角形，等腰直角三角形的对称性可知，EA平分∠BEC，所以∠BEA=30°，由于∠ABC=60°，∠ABC=45°，∠ABD=30°，所以∠EBA=∠CBD=15°，而AB=BD，BE=BC，∴△EBA≌△CBD，∴∠BCD=∠BEA=30°，则∠ACD=15°，由上边证得知∠DAC=15°，∴∠DAC=∠DCA，∴AD=DC，此法关键是作出一个等边三角形，有同学要问，你怎么就知道作等边三角形呢？显然我也是学来的，多总结，多归纳，多记忆，多体会，你也会知道这种辅助线。
第7讲、构造直角三角形
第七讲 构造直角三角形知识梳理1．勾股定理的逆定理: 如果三角形的三边长a ，b ，c 满足a 2+b 2=c 2，那么这个三角形是直角三角形(1) 勾股定理是直角三角形的性质定理，而勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理。
即：在△ABC 中，若222c b a =+，则△ABC 为Rt △。
(2) 满足a 2+b 2=c 2的三个正整数，称为勾股数。
常用的勾股数组：如: 3、4、5； 6、8、10； 5、12、13等；若a ，b ，c 为一组勾股数，那么ka ，kb ，kc （k ≠0,k 为常数）也是勾股数。
2．判定一个三角形是否为直角三角形的步骤与方法◆步骤：① 首先确定最大边；② 计算最大边的平方及其余两边的平方和； ③ 比较最大边的平方与其余两边的平方和。
◆方法：假设三角形的三边分别为a ，b ，c ，且c 为最大边：（1）若222c b a =+，则三角形是直角三角形； （2）若222c b a >+，则三角形是锐角三角形； （3）若222c b a <+，则三角形是钝角三角形。
例题精讲例1：已知△ABC 的三边为a 、b 、c ，有下列各组条件，判定△ABC 的形状。
（1）a ＝6，b ＝8，c ＝10； （2）a ＝41，b ＝40，c ＝9；（3））（，，0n m mn 2c n m b n m a 2222>>=+=-=。
例2：如图，在四边形ABCD 中，∠C 是直角，AB ＝13，BC ＝4，CD ＝3，AD ＝12，求证：AD ⊥BD 。
同步训练 A 组1．已知a 、b 、c 是△ABC 的三边，（1）a ＝0.3，b ＝0.4，c ＝0.5； （2）a ＝4，b ＝5，c ＝6； （3）a ＝7，b ＝24，c ＝25； （4）a ＝15，b ＝20，c ＝25． 上述四个三角形中，直角三角形有( )个。
2．下列命题中的假命题是( )A ．在△ABC 中，若∠A ＝∠C －∠B ，则△ABC 是直角三角形；B ．在△ABC 中，若222c b a =+，则△ABC 是直角三角形；C ．在△ABC 中，若∠A,∠B,∠C 的度数比是1：2：3，则△ABC 是直角三角形；D ．在△ABC 中，若三边长a ：b ：c ＝1：2：3，则△ABC 是直角三角形。
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巧构直角三角形解题
在近几年的中考试题中，出现了一类关于解斜三角形和不规则四边形的问题，解这类问题的关键是运用“化斜为直”的数学思想方法，即将斜三角形或不规则四边形化归为直角三角形，从而应用解直角三角形的知识来解决．常用的化归方法有以下几种：
一、通过添作高线转化
例1． （兰州市中考题）如图1所示，在△A BC 中，∠B ＝45°，A C ＝5，BC ＝3，求sin A 和A B ．
解：作CD ⊥A B ，D 为垂足．
在Rt △BDC 中，∠B ＝45°，
∴BD ＝CD ＝cos45°·BC ＝2·3＝2
，
∴sin A ＝CD AC ＝10．A D ＝2
．
∴A B ＝BD ＋A D ． 注 作CD ⊥A B ，构造直角三角形，这是重要的化斜为直的思想、解题的关键一步！ 例2．（福州市中考题）某市在“旧城改造”中计划在市内一块如图2所示的三角形空地上种植某种草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米售价a 元，则购买这种草皮至少需要（ ）
（A ）450a 元 （B ）225a 元
（C ）150a 元 （D ）300a 元
解：作A B 边上的高CD ，在Rt △A DC 中，
DC ＝A C·sin ∠D A C ＝30×sin30°＝15，
．
因此购买该种草皮至少需要150a 元．故选（C ）．
注 给出了草皮每平方米售价a 元，欲求购买这种草皮至少需要多少元，求出三角形的面积是关键，由于给出三角形是非直角三角形，但给出两边长和150°角，因此作两条已知边上的高均能求解，切忌从150°角顶点向对边作垂线，这样会使解题出现僵局．
二、通过连结两点构造
例3．（新疆中考题）如图3，在四边形A BCD 中，A B 、BC 、CD 、D A 的长分别为2，2，
22，且A B ⊥BC ，则∠B A D ＝__________．
解：连结A C ，则A C ＝A CD 中，
A C 2＋A D 2＝8＋4＝12＝（2＝CD 2．
即∠D A C ＝90°．又∵∠B A C ＝45°．
∴∠B A D ＝135°．
三、延长两边构造
例4．(天津市中考题)某片绿地的形状如图4所示，其中∠A ＝60°，A B ⊥BC ，A D ⊥CD ，
A B ＝200m ，CD ＝100m ，求A D 、BC 的长（精确到1m ）．
分析 根据图形特点，把图形补充完整，使四边形转化为直角三角形．连结A C 是解这类问题常见的错误，它破坏了∠A ＝60°这一条件．
解：延长A D ，交BC 的延长线于点E ．在Rt △A BE 中，由A B ＝200m ，∠A ＝60°，得
BE ＝A B·t a n A ＝，
A E ＝cos 60AB
＝400m ． 在Rt △CDE 中，∵CD ＝100m ，∠CED ＝90°－∠A ＝30°，得CE ＝2CD ＝200m ，
DE ＝CD·cos ∠CED ＝
∴A D ＝A E －DE ＝400－，
BC ＝BE －CE ＝200≈146m ．
答：A D 的长约为227m ，BC 的长约为146m ．
注 添加辅助线，构造直角三角形，把残缺的图形补为完整的图形求解是解直角三角形中一类见的题型．。