2014年人教版九年级数学上册22.2同步导学ppt课件
ax2+bx+c=0(a≠0)的根的关系:
b2-4ac>0 b2Hale Waihona Puke 4ac=0 b2-4ac<0
抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0) 与x轴的公共点的个数 有两个 _______
有一个 _______ 没有公共点
一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的根的情况 两个不相等 的实数根 有___________ 两个相等 的实数根 有_________
知识点二
利用二次函数图象求一元二次方程的根
【示范题2】利用二次函数的图象求一元二次方程x2+2x-2=0的 近似根(精确到0.1). 【思路点拨】先根据所求解的方程确定二次函数,再配方,画出 函数的图象,根据图象与x轴的交点,直接观察出方程的根或应 用取平均值的方法逐步逼近方程的近似根 .
【自主解答】∵y=x2+2x-2=(x+1)2-3, ∴顶点坐标为(-1,-3),对称轴为直线x=-1.
∴k的取值范围为k> .
【微点拨】利用二次函数图象求一元二次方程近似根的三步骤 1.先画出函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象. 2.通过图象观察一元二次方程的根的取值范围 . 3.通过取平均数的方法不断缩小根所在的范围 ,求得一元二次 方程的近似根.
【方法一点通】 根据抛物线与x轴交点的范围判定字母的范围 1.a>0时,抛物线与x轴两交点横坐标一个大于x0,另一个小于x0, 当x=x0时,函数值为负. 2.a<0时,抛物线与x轴两交点横坐标一个大于x0,另一个小于x0, 当x=x0时,函数值为正.
知识点一
二次函数与一元二次方程的关系
【示范题1】已知抛物线的解析式为y=x2-(2m-1)x+m2-m. (1)求证:此抛物线与x轴必有两个不同的交点. (2)若此抛物线与直线y=x-3m+4的一个交点在y轴上,求m的值.
【解题探究】(1)一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的情况取 决于b2-4ac,要说明二次函数的图象与x轴有两个不同的交点, 需要说明什么? 提示:要说明二次函数的图象与x轴有两个不同的交点,需要说
明b2-4ac>0.
(2)如何确定m的值?
提示:由交点在y轴上,得出交点的横坐标为0,即x=0时,m2-m=
-3m+4,解得m1=-1+ 5 ,m2=-1- 5 .
【尝试解答】(1)∵a=1,b=-(2m-1),c=m2-m, ∴b2-4ac=[-(2m-1)]2-4×1×(m2-m)=4m2-4m+1-4m2+4m=1>0,
∴方程x2-(2m-1)x+m2-m=0有两个不相等的实数根.
∴抛物线y=x2-(2m-1)x+m2-m与x轴必有两个不同的交点.
(2)令x=0,则m2-m=-3m+4,解得m1=-1+ 5 ,m2=-1- 5 .
【想一想】 若要求抛物线y=3x2-2x+1与直线y=x+1的交点的横坐标,那么需 求哪个方程的解?并求出结果. 提示:若求抛物线与直线的交点的横坐标,即求方程3x2-2x+1 =x+1的解,即为交点的横坐标.解得x1=0,x2=1.所以抛物线 y=3x2-2x+1与直线y=x+1的两交点的横坐标为0和1.
【想一想】
已知抛物线y=2x2-kx-1与x轴两交点的横坐标,一个大于2,另一
个小于2,试求k的取值范围. 提示:∵抛物线y=2x2-kx-1与x轴两交点 横坐标一个大于2,另一个小于2, ∴此函数的图象大致位置如图所示. 由图象知:当x=2时,y<0. 即2×22-2k-1<0,∴k>
7 2 7 . 2
没有 实数根 _____
【思维诊断】(打“√”或“×”) 1.抛物线y=x2-6x+9与x轴有一个公共点.( √ ) 2.二次函数图象如果经过原点,则此图象与x轴有两个交点.( × ) 3.如果二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴相交,则一元二次方程 ax2+bx+c=0有实数根.( √ ) 4.利用二次函数的图象求得一元二次方程的根一般是近似 的.( √ )
22.2 二次函数与一元二次方程
通过二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象可知, (1)如果抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴有公共点,公共点的横 0 因此x=__ x0 就是方程 坐标是x0,那么当x=x0时,函数的值为__, ax2+bx+c=0的一个根.
(2)抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴的位置关系与一元二次方程
列表:
x y -3 -2 -1 1 0 1 1
-2 -3 -2
描点、连线.
方法一:由图象知方程x2+2x-2=0的根近似为-2.7与0.7.
方法二:由图象知x2+2x-2=0的一个根在-3与-2之间, 当x=-2.5时,y=-0.75;当x=-2.75时,y=0.0625; 当x=-2.625时,y≈-0.3594;当x=-2.6875时,y≈-0.1523; ∵|2.75-2.6875|=0.0625<0.1, ∴方程x2+2x-2=0的一个近似根为-2.6875,x1≈-2.7; 类似地可以得到x2+2x-2=0的另一个在0与1之间的近似根 x2≈0.7.
【微点拨】利用一元二次方程的根求抛物线与直线交点坐标 当抛物线y=ax2+bx+c与直线y=mx+n的函数值相等时,可列出一
元二次方程ax2+bx+c=mx+n,求得的解即为两图象交点的横坐标,
再求出相应的纵坐标,即得交点坐标.
【方法一点通】 二次函数与一元二次方程关系的“两方面” 1.“数”的方面:当二次函数y=ax2+bx+c的函数值等于0时,相 应的自变量的值为一元二次方程ax2+bx+c=0的解. 2.“形”的方面:二次函数y=ax2+bx+c与x轴交点的横坐标为一 元二次方程ax2+bx+c=0的解.
b2-4ac>0 b2Hale Waihona Puke 4ac=0 b2-4ac<0
抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0) 与x轴的公共点的个数 有两个 _______
有一个 _______ 没有公共点
一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的根的情况 两个不相等 的实数根 有___________ 两个相等 的实数根 有_________
知识点二
利用二次函数图象求一元二次方程的根
【示范题2】利用二次函数的图象求一元二次方程x2+2x-2=0的 近似根(精确到0.1). 【思路点拨】先根据所求解的方程确定二次函数,再配方,画出 函数的图象,根据图象与x轴的交点,直接观察出方程的根或应 用取平均值的方法逐步逼近方程的近似根 .
【自主解答】∵y=x2+2x-2=(x+1)2-3, ∴顶点坐标为(-1,-3),对称轴为直线x=-1.
∴k的取值范围为k> .
【微点拨】利用二次函数图象求一元二次方程近似根的三步骤 1.先画出函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象. 2.通过图象观察一元二次方程的根的取值范围 . 3.通过取平均数的方法不断缩小根所在的范围 ,求得一元二次 方程的近似根.
【方法一点通】 根据抛物线与x轴交点的范围判定字母的范围 1.a>0时,抛物线与x轴两交点横坐标一个大于x0,另一个小于x0, 当x=x0时,函数值为负. 2.a<0时,抛物线与x轴两交点横坐标一个大于x0,另一个小于x0, 当x=x0时,函数值为正.
知识点一
二次函数与一元二次方程的关系
【示范题1】已知抛物线的解析式为y=x2-(2m-1)x+m2-m. (1)求证:此抛物线与x轴必有两个不同的交点. (2)若此抛物线与直线y=x-3m+4的一个交点在y轴上,求m的值.
【解题探究】(1)一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的情况取 决于b2-4ac,要说明二次函数的图象与x轴有两个不同的交点, 需要说明什么? 提示:要说明二次函数的图象与x轴有两个不同的交点,需要说
明b2-4ac>0.
(2)如何确定m的值?
提示:由交点在y轴上,得出交点的横坐标为0,即x=0时,m2-m=
-3m+4,解得m1=-1+ 5 ,m2=-1- 5 .
【尝试解答】(1)∵a=1,b=-(2m-1),c=m2-m, ∴b2-4ac=[-(2m-1)]2-4×1×(m2-m)=4m2-4m+1-4m2+4m=1>0,
∴方程x2-(2m-1)x+m2-m=0有两个不相等的实数根.
∴抛物线y=x2-(2m-1)x+m2-m与x轴必有两个不同的交点.
(2)令x=0,则m2-m=-3m+4,解得m1=-1+ 5 ,m2=-1- 5 .
【想一想】 若要求抛物线y=3x2-2x+1与直线y=x+1的交点的横坐标,那么需 求哪个方程的解?并求出结果. 提示:若求抛物线与直线的交点的横坐标,即求方程3x2-2x+1 =x+1的解,即为交点的横坐标.解得x1=0,x2=1.所以抛物线 y=3x2-2x+1与直线y=x+1的两交点的横坐标为0和1.
【想一想】
已知抛物线y=2x2-kx-1与x轴两交点的横坐标,一个大于2,另一
个小于2,试求k的取值范围. 提示:∵抛物线y=2x2-kx-1与x轴两交点 横坐标一个大于2,另一个小于2, ∴此函数的图象大致位置如图所示. 由图象知:当x=2时,y<0. 即2×22-2k-1<0,∴k>
7 2 7 . 2
没有 实数根 _____
【思维诊断】(打“√”或“×”) 1.抛物线y=x2-6x+9与x轴有一个公共点.( √ ) 2.二次函数图象如果经过原点,则此图象与x轴有两个交点.( × ) 3.如果二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴相交,则一元二次方程 ax2+bx+c=0有实数根.( √ ) 4.利用二次函数的图象求得一元二次方程的根一般是近似 的.( √ )
22.2 二次函数与一元二次方程
通过二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象可知, (1)如果抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴有公共点,公共点的横 0 因此x=__ x0 就是方程 坐标是x0,那么当x=x0时,函数的值为__, ax2+bx+c=0的一个根.
(2)抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴的位置关系与一元二次方程
列表:
x y -3 -2 -1 1 0 1 1
-2 -3 -2
描点、连线.
方法一:由图象知方程x2+2x-2=0的根近似为-2.7与0.7.
方法二:由图象知x2+2x-2=0的一个根在-3与-2之间, 当x=-2.5时,y=-0.75;当x=-2.75时,y=0.0625; 当x=-2.625时,y≈-0.3594;当x=-2.6875时,y≈-0.1523; ∵|2.75-2.6875|=0.0625<0.1, ∴方程x2+2x-2=0的一个近似根为-2.6875,x1≈-2.7; 类似地可以得到x2+2x-2=0的另一个在0与1之间的近似根 x2≈0.7.
【微点拨】利用一元二次方程的根求抛物线与直线交点坐标 当抛物线y=ax2+bx+c与直线y=mx+n的函数值相等时,可列出一
元二次方程ax2+bx+c=mx+n,求得的解即为两图象交点的横坐标,
再求出相应的纵坐标,即得交点坐标.
【方法一点通】 二次函数与一元二次方程关系的“两方面” 1.“数”的方面:当二次函数y=ax2+bx+c的函数值等于0时,相 应的自变量的值为一元二次方程ax2+bx+c=0的解. 2.“形”的方面:二次函数y=ax2+bx+c与x轴交点的横坐标为一 元二次方程ax2+bx+c=0的解.
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新人教版九年级上册数学22.2.2利用函数的图象解一元二次方程优质课件
第十六页，共二十一页。
解：∵y＝－x2＋4x＋5＝－(x2－4x)＋5
知2－练
＝－(x2－4x＋4)＋9＝－(x－2)2＋9.
∴抛物线的顶点坐标为(2，9)，对称轴为直线x＝2.
令－x2＋4x＋5＝0，即x2－4x－5＝0，
∴x1＝5，x2＝－1，
∴抛物线与x轴的两个交点为(－1，0)，(5，0)．
第七页，共二十一页。
思考：利用二次函数的图象解一元二次方程的基
本步骤有哪些？
知1－讲
第八页，共二十一页。
总结
知1－讲
利用二次函数y=ax2+bx+c 的图象与x 轴的公共点求一元二 次方程ax2+bx+c=0 的解
（1）作出二次函数y=ax2+bx+c 的图象，确定图象与x 轴公 共点的个数，公共点的个数就是方程ax2+bx+c=0 的解的个 数.
第九页，共二十一页。
总结
知1－讲
（2）观察图象，函数图象与x 轴的交点的横坐标就是一元二 次方程ax2+bx+c=0 的解，当函数图象与x 轴有两个交点，且交
点的横坐标不是整数时，可通过不断缩小解所在的范围估计一元
二次方程的解.
（3）交点横坐标即为一元二次方程ax2+bx+c=0 的解.
第十页，共二十一页。
由图象可知，当x=3 时，y>0；当x=4 时，y<0，
取3 和4 的平均数3.5，当x=3.5 时，y=-0.25，与x=3 时的函数值异号，所以方
程的这个解在3 和3.5 之间.取3 和3.5 的平均数3.25，当x=3.25 时，y=0.937 5，
与x=3.5 时的函数值异号，所以方程的这个解在3.25 和3.5 之间.
人教版九年级上册数学同步教学课件-第22章-二次函数复习课件
四边形的面积；再根据抛物数线学课关堂教于学课原件点设计对称规律可得出y3=(x+1)2-2.
专题复习
知识点复习 抛物线y=a(x-h)2+k的平移规律：左右平移，括号 内左加右减；上下平移，括号外上加下减.
练习4： 要得到抛物线y=2(x-4)2-1,可以将抛物线y=2x2 ( B ) A.向左平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度 B.向左平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度 C.向右平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度 D.向右平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度
②写出不等式ax2+bx+c>0的解集；
③写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围； y
④若方程ax2+bx+c=k有两个不相等的实数根，4 求k的取值范围. 解析 本题结合图象从中发现信息进行解题.
-1 O
3x
数学课堂教学课件设计
专题复习
解：（1）由图象可知，函数y=ax2+bx+c的图象与x轴相交于 （-1,0），（3,0）两点.∴方程的根为x1=-1，x2=3； （2）由图象可知当-1<x<3时，函数的图象位于x轴的上方， 所以不等式的解集为-1<x<3； （3）由图象可知，在x轴的右侧，y随着x的增大而减小， ∴y随着x的增大而减小的x的取值范围为x>1; (4)要使得有ax2+bx+c=k两个不相等的实数根，即直线x=k与 二次函数图象有两个交点，∴k的取值范围为k<5.
抛物线与x轴交点的 二次函数与一元二次方程的关系 横 坐 标 就 是 其 对 应
二次函数的应用 数学课堂教学课件设计
一元二次方程的根
专题复习
九年级数学上册 22.2 用函数观点看一元二次方程课件 (新版)新人教版
有 1 个交点，即有两个相等的实数根；
（3）当△＜0时 抛物线 yax2 bxc与X轴
有 0 个交点，即没有实数根. 2、学习反思：_______________________
yax2 bxc
五、强化训练
利用函数图象求方程 x22x20 的
实数根（结果保留小数点后一位）.
解：作 yx22x2 的图象，它与x轴的公
识 点 一
三、研读课文
用图象法解一元二次方程
思考 下列二次函数的图象与X轴有公共点吗？如果
知 识
有，公共点的横坐标是多少？当X取公共点的横坐标 时，函数的值是多少？由此，你能得出相应的一元 二次方程的根吗？
点 （1）yx2 x2 ；（2） yx2 6x9；
二 （3）y x2 x1 .
三、研读课文
用图象法解一元二次方程
解：这三个二次函数的图象如下图，观察图象：
知
y x2 x1
识
点
yx2 x2
yx2 6x9
二
三、研读课文
用图象法解一元二次方程
可以看出：
（1）二次函数 yx2 x2的图象与x轴有__2_个交点
知 ，即当函数值为0时，它们的横坐标是 -2， 1.则
识
一元二次方程的根的判别式△＝__12 -4x_1_x_(-＞2)0，所
识 温馨提示：二次函数与一元二次方程关系，例如，
点 一
已知二次函数y x2 4x 的函数值为3，求自变量
的值，可以看作解一元二次方程_x_2___4_x____3___
.
反x之2，4解x一元3二次方程
又可以看作已知y二次函x2数4x___ ____ 的函数值为3
时自变量的值.
三、研读课文
（3）当△＜0时 抛物线 yax2 bxc与X轴
有 0 个交点，即没有实数根. 2、学习反思：_______________________
yax2 bxc
五、强化训练
利用函数图象求方程 x22x20 的
实数根（结果保留小数点后一位）.
解：作 yx22x2 的图象，它与x轴的公
识 点 一
三、研读课文
用图象法解一元二次方程
思考 下列二次函数的图象与X轴有公共点吗？如果
知 识
有，公共点的横坐标是多少？当X取公共点的横坐标 时，函数的值是多少？由此，你能得出相应的一元 二次方程的根吗？
点 （1）yx2 x2 ；（2） yx2 6x9；
二 （3）y x2 x1 .
三、研读课文
用图象法解一元二次方程
解：这三个二次函数的图象如下图，观察图象：
知
y x2 x1
识
点
yx2 x2
yx2 6x9
二
三、研读课文
用图象法解一元二次方程
可以看出：
（1）二次函数 yx2 x2的图象与x轴有__2_个交点
知 ，即当函数值为0时，它们的横坐标是 -2， 1.则
识
一元二次方程的根的判别式△＝__12 -4x_1_x_(-＞2)0，所
识 温馨提示：二次函数与一元二次方程关系，例如，
点 一
已知二次函数y x2 4x 的函数值为3，求自变量
的值，可以看作解一元二次方程_x_2___4_x____3___
.
反x之2，4解x一元3二次方程
又可以看作已知y二次函x2数4x___ ____ 的函数值为3
时自变量的值.
三、研读课文
人教版九年级数学 上册 第二十二章 数学活动 课件(共25张PPT)
M
O
x
l2
l1
• 解：对于曲线L上任意一点P，连接PM、PA， • 则线段PA与线段PM的关系为：PA=PM, • 设点P的坐标为(x,y), • 则PA2=x2+(y-2)2，PM=|y|， • 由PA与PM的关系列等式x2+(y-2)2=y2， • 化简得y=x2/4+1. • 由此，点P在函数y=x2/4+1的图象上. • 即曲线L的形状是抛物线.
解：它们在同一函数图象上. y
设函数解析式为y=an2+bn+c, 14
图象经过点(1,1),(2,3),(3,6). 12
1 a b c, 则3 4a 2b
6 9a 3b
c, c,
a
1 2
,
解
得
b
1 2
,
c
0.
10 8 6 4
∴y=x(400-x)=-x2+400x.
又
b 2a
400
2 1
200.
当x=200时，y有最大值.猜想正确.
综合应用
3.九(1)班数学兴趣小组在社会实践活动中，进行了如下 的课题研究：用一定长度的铝合金材料，将它设计成外 观为长方形的三种框架，使长方形框架面积最大.小组讨 论后，同学们做了以下三种试验:
l
如果铝合金材料总长度为l m, 设AB为x m，当AB= 8 m时， 长方形框架ABCD的面积S最大.
(3)经过这三种情形的试验，他们发现对于图案④这样的情
形也存在着一定的规律．
探究: 如图案④，如果铝合金材料总长度为l m共有n条竖档
人教版九年级上册数学第二十二章二次函数课件PPT(1)
1．探究二次函数 y 1 x2 6x 21 的图象和性质
2
问题1 如何研究二次函数
y
1
x2
6x
21
的图象和性质？
2
1．探究二次函数 y 1 x2 6x 21 的图象和性质
2
如何将 y 1 x2 6x 21 转化成 y =a（x - h）2 +k 的形
式？
2
y 1 x2 6x 21 2
4．小结
（1）本节课学了哪些主要内容？ （2）本节课是如何研究二次函数 y = ax2 的图象和 性质的？
5．布置作业
教科书习题 22.1 第 3，4 题．
九年级 上册
22.1 二次函数的图象和性质 （第3课时）
课件说明
• 本课是在学生已经学习了二次函数 y = ax2 的基础上， 继续进行二次函数的学习，这是对二次函数图象和性 质研究的延续．
3．练习、巩固二次函数的定义
练习2 填空： （1）一个圆柱的高等于底面半径，则它的表面积 S 与底面半径 r 之间的关系式是__S_=__4_π_r_2_； （2） n 支球队参加比赛，每两队之间进行两场比 赛，则比赛场次数 m 与球队数 n 之间的关系式是 ___m_=__n（__n_-_1__）____．
课件说明
• 本节课是在讨论了二次函数 y =a（x - h）2 +k 的图象和 性质的基础上对二次函数 y=ax2+bx+c 的图象和性质 进行研究．主要的研究方法是通过配方将 y=ax2+bx+c 向 y =a（x - h）2 +k 转化，体会知识之间内在联系．在 具体探究过程中，从特殊的例子出发，分别研究 a＞0 和 a＜0 的情况，再从特殊到一般，得出 y=ax2+bx+c 的图象和性质．
人教版数学九年级上册课件全套：22-2-用函数观点看一元二次方程
问题：如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30° 角的方向击出时，球的飞行路线将是一条抛物线， 如果不考虑空气的阻力，球的飞行高度h（单位：m） 与飞行时间t（单位：s）之间具有关系：h=20t-5t2， 考虑以下问题：
（1）球的飞行高度能否达到15m？如果能，需要多少飞
行时间？
h
15
O1
3
t1=t2=2 当球飞行2秒时，它的高度为20米
（3）球的飞行高度能否达到20.5m？如果h
（3）解方程 20.5=20t+5t2
O
t
t2−4t+4.1=0 因为(−4)2−4×4.1<0,所以方程无解。 球的飞行高度达不到20.5米
你能结合图形指 出为什么球不能 达到20.5m的高 度?
x
…
0
1
2
3
4
…
y
…
4
1
0
1
4
…
【解析】选B.可画出图象，由表和图象可知二次函数图象 的对称轴是x=2由图象知y1<y2.
通过本课时的学习，需要我们掌握： 1.由一元二次方程ax2+bx+c=0根的情况可确定二次函数 y=ax2+bx+c与x轴交点的个数情况； 2.用图象法求一元二次方程的近似根.
-0.02
0.03
0.09
判断方程ax2+bx+c=0 (a≠0,a,b,c为常数)一个解
x的范围是( C )
A.3<X<3.23
B.3.23<X<3.24
C.3.24<X<3.25
D.3.25<X<3.26
2.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则一元二 次方程ax2+bx+c=0的解是 x1=0，x2=5 .
人教版版九年级上册数学 22.2用函数的观点看一元二次方程(1) 教学课件
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
（2）抛物线y=mx2-3x+3m+m2经过原点， 则其顶点坐标为___(___1__, _3_)______.
24
(3)关于x的一元二次方程x2-x-n=0没有实数根，则抛物线 y=x2-x-n的顶点在（A） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
第22章：二次函数
22.2 二次函数与一元一次方程 人教版·九年级上册
学习目标：
1.了解二次函数与一元二次方程之间的关系。
2.理解一元二次方程根的几何意义，会灵活运用一元二次方程根的 判别式处理二次函数图象与x轴的交点问题。
问题1：如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成300角的 方向击出时，球的飞行路线将是一条抛物线，如果不考虑空 气的阻力，球的飞行h（单位：m）与飞行时间t（单位：s） 之间具有关系：h=20t-5t2，考虑以下问题： （1）球的飞行高度能否达到15m？如果能，需要多少飞行 时间？
解：（2）设y=0得x2-6x+9=0 (x-3)2=0 X1=x2=3 所以抛物线y=x2-6x+9与X轴有两个公共点， 公共点的横坐标是3， 当x取公共点的横坐标时，函数的值为0
解：（2）设y=0得x2-x+1=0 因为b2-4ac=(-1)2-4×1×1=-3＜0 方程x2-x+1=0没有实数根 所以抛物线y=x2-6x+9与x轴没有公共点。
二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的横坐标与一元二次 方程ax2+bx+c=0的根有什么关系?
解：（1）设y=0得x2+2-2=0 (x-1)(x+2)=0 X1=1,x2=-2 所以抛物线y=x2+x-2与X轴有两个公共点， 公共点的横坐标分别是1和-2， 当x取公共点的横坐标时，函数的值为0
（2）抛物线y=mx2-3x+3m+m2经过原点， 则其顶点坐标为___(___1__, _3_)______.
24
(3)关于x的一元二次方程x2-x-n=0没有实数根，则抛物线 y=x2-x-n的顶点在（A） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
第22章：二次函数
22.2 二次函数与一元一次方程 人教版·九年级上册
学习目标：
1.了解二次函数与一元二次方程之间的关系。
2.理解一元二次方程根的几何意义，会灵活运用一元二次方程根的 判别式处理二次函数图象与x轴的交点问题。
问题1：如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成300角的 方向击出时，球的飞行路线将是一条抛物线，如果不考虑空 气的阻力，球的飞行h（单位：m）与飞行时间t（单位：s） 之间具有关系：h=20t-5t2，考虑以下问题： （1）球的飞行高度能否达到15m？如果能，需要多少飞行 时间？
解：（2）设y=0得x2-6x+9=0 (x-3)2=0 X1=x2=3 所以抛物线y=x2-6x+9与X轴有两个公共点， 公共点的横坐标是3， 当x取公共点的横坐标时，函数的值为0
解：（2）设y=0得x2-x+1=0 因为b2-4ac=(-1)2-4×1×1=-3＜0 方程x2-x+1=0没有实数根 所以抛物线y=x2-6x+9与x轴没有公共点。
二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的横坐标与一元二次 方程ax2+bx+c=0的根有什么关系?
解：（1）设y=0得x2+2-2=0 (x-1)(x+2)=0 X1=1,x2=-2 所以抛物线y=x2+x-2与X轴有两个公共点， 公共点的横坐标分别是1和-2， 当x取公共点的横坐标时，函数的值为0
人教版九年级上册数学同步教学课件-第22章-22.1.2 二次函数y=ax2的图象和性质
抛物线的顶点.
-4 -3 -2 -1 O 1 2 3 4 x
-2
数学课堂教学课件设计
观察思考
新课讲解
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
y=x2 … 9 4 1 0 1 4 9 …
问题1 从二次函数y=x2的图象你发现了什么性质？
在对称轴左侧，抛物线从左
y
9
往右下降；在对称称轴的右侧，
抛物线从左往右上升.
数学课堂教学课件设计
随堂即练
5.若抛物线y=ax2 （a ≠ 0），过点（-1，2）.
（1）则a的值是 2 （2）对称轴是 y轴 （3）顶点坐标是 （0,0）
；
，开口 向上
;
，顶点是抛物线上的最 小 值 .
抛物线在x轴的 上 方（除顶点外）;
(4) 若A（x1,y1),B(x2,y2)在这条抛物线上，且x1<x2<0, 则y1 > y2.
a的绝对值越大，开口越小
关于y轴对称，对称轴方程是直线x＝0 顶点坐标是原点（0，0）
当x=0时，y最小值=0
当x=0时，y最大值=0
在对称轴左侧递减
在对称轴左侧递增
在对称轴右侧递增
在对称轴右侧递减
数学课堂教学课件设计
3 抛物线y=ax2与y=-ax2的关系
新课讲解
问题1 观察下列图象，抛物线y=ax2与y=-ax2（a>0)的关系是什么？
分析：(1)把两点的横坐标代入二次函数 表达式求出纵坐标，再比较大小即可得解；
(2) 根据点B的横坐标为2，代入表达式 可求出点C的纵坐标，再根据二次函数图 象关于y轴对称求出OA＝OB，即图象左 边部分与右边部分对称，两个阴影部分面 积相加等于右边第一象限内的矩形面积．
-4 -3 -2 -1 O 1 2 3 4 x
-2
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观察思考
新课讲解
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
y=x2 … 9 4 1 0 1 4 9 …
问题1 从二次函数y=x2的图象你发现了什么性质？
在对称轴左侧，抛物线从左
y
9
往右下降；在对称称轴的右侧，
抛物线从左往右上升.
数学课堂教学课件设计
随堂即练
5.若抛物线y=ax2 （a ≠ 0），过点（-1，2）.
（1）则a的值是 2 （2）对称轴是 y轴 （3）顶点坐标是 （0,0）
；
，开口 向上
;
，顶点是抛物线上的最 小 值 .
抛物线在x轴的 上 方（除顶点外）;
(4) 若A（x1,y1),B(x2,y2)在这条抛物线上，且x1<x2<0, 则y1 > y2.
a的绝对值越大，开口越小
关于y轴对称，对称轴方程是直线x＝0 顶点坐标是原点（0，0）
当x=0时，y最小值=0
当x=0时，y最大值=0
在对称轴左侧递减
在对称轴左侧递增
在对称轴右侧递增
在对称轴右侧递减
数学课堂教学课件设计
3 抛物线y=ax2与y=-ax2的关系
新课讲解
问题1 观察下列图象，抛物线y=ax2与y=-ax2（a>0)的关系是什么？
分析：(1)把两点的横坐标代入二次函数 表达式求出纵坐标，再比较大小即可得解；
(2) 根据点B的横坐标为2，代入表达式 可求出点C的纵坐标，再根据二次函数图 象关于y轴对称求出OA＝OB，即图象左 边部分与右边部分对称，两个阴影部分面 积相加等于右边第一象限内的矩形面积．
最新人教版初三九年级数学上册22公开课课件.2.2_用函数的观点看一元二次方程(2)课件
22.2 用函数观点 看一元二次方程(二)
想一想
一、复习巩固
二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的坐标与一 元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系?
二次函数y=ax2+bx+c的 图象和x轴交点
有两个交点 有一个交点 没有交点
一元二次方程 ax2+bx+c=0的根
有两个相异的实数根 有两个相等的实数根 没有实数根
2 x 4 x 3 0 解得x1 ____, 方程_______________, -1 x2 ____, -3
（-1,0） （-3,0） y x 4 x 3与x轴交点坐标为______________
2
开动脑筋
1.同步P13课堂精炼第6题
如图是二次函数y=x2 3x 4的图像，回答问题
(2)x取什么值时,函数值大于0; y
一元二次方程ax2+bx+c=0 根的判别式Δ=b2-4ac
b2-4ac > 0 b2-4ac = 0 b2-4ac < 0
想一想
一、复习巩固
y
当二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴有交点时, 交点的横坐标就是 当y=0时自变量x的值, A B 2 即一元二次方程ax +bx+c=0的根 0 . 1 2 x
抛物线y=x2-3x+2和x轴交于A(1,0)，B（2，0） 交点的横坐标就是x1=1,x2=2 当y=0时自变量的值x1=1,x2=2 , 一元二次方程x2-3x+2=0的根是x1=1,x2=2.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
探索问题
问题：抛物线y=ax2+bx+c与x轴的公共点是 （-7，0），（3，0），求这条抛物线的对 称轴。 归纳：若抛物线y=ax2+bx+c与x轴的公共点 是（ｘ1，0），（ｘ2，0），则对称轴是：
想一想
一、复习巩固
二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的坐标与一 元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系?
二次函数y=ax2+bx+c的 图象和x轴交点
有两个交点 有一个交点 没有交点
一元二次方程 ax2+bx+c=0的根
有两个相异的实数根 有两个相等的实数根 没有实数根
2 x 4 x 3 0 解得x1 ____, 方程_______________, -1 x2 ____, -3
（-1,0） （-3,0） y x 4 x 3与x轴交点坐标为______________
2
开动脑筋
1.同步P13课堂精炼第6题
如图是二次函数y=x2 3x 4的图像，回答问题
(2)x取什么值时,函数值大于0; y
一元二次方程ax2+bx+c=0 根的判别式Δ=b2-4ac
b2-4ac > 0 b2-4ac = 0 b2-4ac < 0
想一想
一、复习巩固
y
当二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴有交点时, 交点的横坐标就是 当y=0时自变量x的值, A B 2 即一元二次方程ax +bx+c=0的根 0 . 1 2 x
抛物线y=x2-3x+2和x轴交于A(1,0)，B（2，0） 交点的横坐标就是x1=1,x2=2 当y=0时自变量的值x1=1,x2=2 , 一元二次方程x2-3x+2=0的根是x1=1,x2=2.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
探索问题
问题：抛物线y=ax2+bx+c与x轴的公共点是 （-7，0），（3，0），求这条抛物线的对 称轴。 归纳：若抛物线y=ax2+bx+c与x轴的公共点 是（ｘ1，0），（ｘ2，0），则对称轴是：
2014年人教版九年级数学上册22.1.3.1同步导学ppt课件
下 在对称轴的左侧,y随x的增大 ②当a<0时,抛物线的开口向___. 增大 在对称轴的右侧,y随x的增大而_____. 减小 而_____,
2.二次函数y=a(x-h)2的图象和性质
(h,0) 对称轴是直线____. x=h (1)顶点及对称轴:顶点坐标为______;
(2)开口方向及增减性: 上 在对称轴的左侧,y随x的增大 ①当a>0时,抛物线的开口向___, 减小 在对称轴的右侧,y随x的增大而_____. 增大 而_____, 下 在对称轴的左侧,y随x的增大 ②当a<0时,抛物线的开口向___. 增大 在对称轴的右侧,y随x的增大而_____. 减小 而_____,
2.抛物线y=ax2+k与y=ax2的关系:形状、开口方向相同;对称轴 都是y轴;增减性相同.
3.对于同一个自变量的值,函数y=ax2与y=ax2+k的函数值的差
为-k.
【方法一点通】 抛物线y=ax2+k1与y=ax2+k2的关系 1.开口方向、开口大小相同. 2.对称轴都是y轴. 3.增减性相同. 4.抛物线y=ax2+k1可通过向上(下)平移得到抛物线y=ax2+k2.
【尝试解答】(1)由题意知,可设抛物线的解析式为y=a(x+2)2, 把(1,3)代入,得a(1+2)2=3,解得a= 1 ,所以抛物线的解析式为
3
y=
1 (x+2)2. 3
(2)因为a>0,所以抛物线开口向上,在对称轴x=-2的左侧,y随x
的增大而减小,即x<-2时,y随x的增大而减小.
【想一想】 抛物线y=ax2平移得到y=a(x-h)2时,顶点、对称轴发生了什么 变化? 提示:(1)顶点坐标由原来的(0,0)变为(h,0). (2)对称轴由原来的直线x=0变为直线x=h.
2.二次函数y=a(x-h)2的图象和性质
(h,0) 对称轴是直线____. x=h (1)顶点及对称轴:顶点坐标为______;
(2)开口方向及增减性: 上 在对称轴的左侧,y随x的增大 ①当a>0时,抛物线的开口向___, 减小 在对称轴的右侧,y随x的增大而_____. 增大 而_____, 下 在对称轴的左侧,y随x的增大 ②当a<0时,抛物线的开口向___. 增大 在对称轴的右侧,y随x的增大而_____. 减小 而_____,
2.抛物线y=ax2+k与y=ax2的关系:形状、开口方向相同;对称轴 都是y轴;增减性相同.
3.对于同一个自变量的值,函数y=ax2与y=ax2+k的函数值的差
为-k.
【方法一点通】 抛物线y=ax2+k1与y=ax2+k2的关系 1.开口方向、开口大小相同. 2.对称轴都是y轴. 3.增减性相同. 4.抛物线y=ax2+k1可通过向上(下)平移得到抛物线y=ax2+k2.
【尝试解答】(1)由题意知,可设抛物线的解析式为y=a(x+2)2, 把(1,3)代入,得a(1+2)2=3,解得a= 1 ,所以抛物线的解析式为
3
y=
1 (x+2)2. 3
(2)因为a>0,所以抛物线开口向上,在对称轴x=-2的左侧,y随x
的增大而减小,即x<-2时,y随x的增大而减小.
【想一想】 抛物线y=ax2平移得到y=a(x-h)2时,顶点、对称轴发生了什么 变化? 提示:(1)顶点坐标由原来的(0,0)变为(h,0). (2)对称轴由原来的直线x=0变为直线x=h.