线性代数第三章第二节n维向量组的线性相关性
线性代数第三章向量组的线性相关性与矩阵的秩
第三章向量组的线性相关性与矩阵的秩何建军§3 • 1 概念与性质3.1.1向量的概念和运算1、n维向量：n个数构成的一个有序数组（a i，a2,…，a n），称为一个n维向量，记为〉=佝，a2 ,…，a n ），并称为n维行向量，a i称为〉的第i个分量，〉的转置T T（a1,a2, a n）称为n维向量。
2、相等：若a =@182,…,a n），p =（D,b2,…,b n），当且仅当a i =b i（i =1,2,…，n）时，：，：。
3、加法：」-a b!,a2 b2^ ,a n b n4、数乘：k ka1,ka2,…,ka n ，（k 为常数）5、內积:匕0 】=aQ +a?b2 + …+a“b n3.1.2向量组的线性相关性1、线性组合：给定向量组A : 对于任何一组实数匕出,…，k m，向量k V1 k^ 2肚m称为向量组A的一个线性组合，匕*?,…，k m称为这个线性组合的组合系数2、线性表示：给定向量组A : 〉1「2,i「m和向量：，如果存在一组数n n « n'1, '2, ，‘ m ,使得■- = ‘1〉1 ‘2〉2 •…-'rn'm则向量-能有向量组A线性表示，向量-是向量组A的线性组合。
3、线性相关：给定向量组A : ‘1厂2,厂m,如果存在一组不全为零的数k1 , k2 , , k m，使得kr 1 k2〉2 k m〉m=o则称向量组A是线性相关的。
4、线性无关：向量组A ：r,〉2,…，〉m,不线性相关，称向量组A线性无关，即不存在不全为零的数k1,k2, , k m使得1• k2「2•■ k m m=0成立，即只有当k1二Q二=k m=0时，才有k^ 1 k2「2 ' k^' m=0成立。
（如果存在一组数k-k2，,k m 使得k V 1 k^ ■k m「m=0，则必有k1= k2 = = k m=0，称向量组A 线性无关）注：含有零向量的向量组一定线性相关。
高等代数PPT (49)
第三章n维向量空间3.2 向量组的线性相关性3.2.2 向量组之间的线性表出二、向量组之间的线性表出向量组I: 1, 2,…, r; II: 1, 2,…, s;若组I 中每一向量都可由组II 线性表出, 称组I 可由组II 线性表出.若组I 与组II 可以相互线性表出, 则称组I 与组II 等价.线性表出的性质:反身性: 每一向量组都可由其自身线性表出;传递性：I 可由II 线性表出, II可由III 线性表出, 则I可由III 线性表出.向量组等价的性质:反身性对称性传递性设向量组II: b 1, …,b s 可由I: a 1, …,a r 线性表出, 则:2. 向量组线性表出的矩阵形式:11121121r r b k a k a k a 21222122r rb k a k a k a1122s s s rs ra ab k k k a 12,,,s b b b12,,,r a a a11211r k k k 12222r k k k12s s rs k k k r sK线性表出的系数矩阵3. 矩阵乘积导出的线性表出2121,,,,,,r s c a c a c a11211r b b b 11121121r r a a c b b b a 12222r b b b21222122r r c b a b a b a 12s s rs b b b 1122s s s rs ra a cb b b a 因此,乘积 C 的列组可由 A 的列组线性表出.对称的,乘积 C 的行组可由 B 的行组线性表出., 写成分块矩阵形式:设m r r s m s A B C。
[理学]线代教案第3章向量组的线性相关性
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第3章向量组的线性相关性（共6学时）一、教学目标与基本要求1．掌握向量组的线性相关与无关的概念及其简单性质2．掌握向量组的相关性的判定定理3．掌握向量组的秩和矩阵的秩的关系4．了解正交向量组的概念，掌握施密特正交化过程5．了解向量空间、坐标变换等的概念二、教学内容与学时分配1．n维向量2．向量组的线性相关与线性无关（2学时）3．向量组的最大线性无关组与秩（2学时）4．正交向量组5．向量空间（2学时）三、教学内容的重点难点重点：线性相关性的判断，向量组（矩阵）秩、最大无关组的求法。
难点：有关向量组的线性相关性的证明题，矩阵运算后秩的变化。
四、教学内容的深化和拓宽矩阵运算后秩的变化（详情见讲稿），从而强化教材中概念的理解及应用。
五、思考题与习题思考题：见讲稿习题：3，5，（2），6，8，10，（2），12，13，16，19，（1），24六、教学方式与手段以课堂讲授为主，提问、互动为辅。
本章内容抽象，定理、结论较多，注意强化概念、定理内容。
讲稿内容在上一章我们介绍的矩阵的概念及其运算，为了进一步了解矩阵及矩阵的行、列之间关系，本章介绍向量的概念及性质。
3.1 n 维向量3.1.1 维向量的概念及运算 n从解析几何中我们已看到，刻画数轴上的点，只须一个数却可； 要刻画平面上的点的位置，须用两个有序数来确定，也即是平面上点的坐标；要刻画空间中某点的位置，要用三个数所组成的数组来确定，反过来，给定的有序数组，也能确定平面、空间点的位置。
),(y x ),,(z y x 要刻画椭球体的位置，需用6个数所组成的数组来确定，椭球体的中心需三个数，长、中、短半轴需用三个数，我们可写成有序数组，反过来我们给定了有序数组，并说明表示椭球的中心，表椭球的长、中、短半轴，则椭球的位置及形状也确定了，事实上其方程可写为),,,,,(000c b a z y x ),,,,,(000c b a z y x ),,(000z y x ),,(c b a 1)()()(220220220=−+−+−c z z b y y a x x 。
06高数—— 向量组的线性相关性知识点速记
向量组的线性相关性1、n 维向量由n 个数组成的有序数组()12,,,n a a a 称作一个n 维向量，记作()12,,,n a a a α= ，其中i a 称作α的第i 个坐标。
设()12,,,n a a a α= ，()12,,,n b b b β= ，当()1,2,,i i a i n b == 时，称α与β相等，记作αβ=。
称()12,,,n a a a α= 为n 维列向量，αT 为n 维行向量。
分量全为0的向量称为零向量。
向量()12,,,n a a a α= 的各分量的相反数所组成的向量，称为α的负向量，记作α-，即()12,,n a a a α=---- 。
向量加法定义：()1122,,,n n a b a b a b αβ+=+++ ；向量减法定义：()()1122,,,n n a b a b a b αβαβ-=+-=--- 。
向量α与数乘积定义；k 为任意实数，则()12,,,n k k k k αααα= n 维向量的加法和数乘运算满足下面性质（设α、β、γ表示n 维向量，k 、l 表示数量）。
（1）αββα+=+；（2）()()αβγαβγ++=++；（3）0αα+=；（4）()0αα+-=；（5）()k k k αβαβ+=+；（6）()k l k l ααα+=+。
2、向量的线性表示设12,,,s ααα ，β均为n 维向量，若存在一组数12,,,s k k k ，使得1122k k αβα=+++ s s k α，则称向量β是向量组12,,,s ααα 的一个线性组合，也称向量β可由向量组12,,,s ααα 线性表示。
3、向量组的线性相关性对于m 个n 维向量12,,,m ααα ，若存在不全为零的数12,,,m k k k ，使得11220m m k k k ααα+++= ，则称这m 个向量线性相关；否则，称它们线性无关。
通过线性相关和线性无关的定义可推出：（1）单独一个0向量，线性相关；高 数向量组的线性相关性知识点速记（2）含有0向量的向量组，线性相关；（3）单独一个非0向量，线性无关；（4）由n 个标准单位向量()11,0,0,,0=ε ，()20,1,0,,0=ε ，…，()0,,0,1n =ε 组成的向量组，线性无关。
n维向量,线性相关性
分量全部为零的向量称为零向量，记为 o 。 向量可视为特殊的矩阵, 因此, 向量的相等、加减法、 数乘等概念完全与矩阵相同.
设 (a1 , a2 ,, an )， (b1 , b2 ,, bn ),
则 (a1 b1 , a2 b2 ,, an bn )，
k (ka1 , ka2 ,, kan ) .
3
向量的线性运算满足以下八条运算律：
(1) +=+ (2) +(+)=(+)+ (3) +0= (4) +(-)= 0 (5) (k+l)=k+l (6) k(+)=k+k (7) (kl)=k(l) (8) 1=
练习：
7
一、线性组合、线性表示
定义3.3 给定 n 维向量 1 ,, s 和 , 若存在 s 个数
k1 ,, ks ，使 k11 ks s ，则称 是向量 组 1 ,, s 的一个线性组合，或称 能被向量组 1 ,, s 线性表示(线性表出)。
12
1 1 2 2 例1 设 1 0 , 2 2 , 3 1 , 5 , 1 1 0 4
能否由1 , 2 , 3 线性表示?
(3' ) 向量方程 x 有唯一解x - . 移项规则
例1 设 3(1 - ) 2( 2 ) 5( 3 ) ， 其中 1 (2,5,1) , 2 (10,1,5) , 3 (4,1,-1) , 求 .
解 31 - 3 2 2 2 5 3 5 ,
则上式可写成: B AK （K叫该线性表示的系数矩阵）
线性代数第三章(一二节向量与线性相关性)
证明
必要性 设向量组 A: a1 , a2 , ... , am 线
性相关, 则有 m 个不全为零的实数 k1 , k2 , ... , km 使 k1a1 + k2a2 + ... + kmam = 0 . 因 k1 , k2 , ... , km 不全为 0 , 不妨设 k1 0 , 于是便 有
（9） 若a1 , a2 , ... , an是n维向量组，则 a1 , a2 , ... , an线性相关的充要条件是其 构造的行列式值为0. 若a1 , a2 , ... , an是n维向量组，则
a1 , a2 , ... , an线性无关的充要条件是其
构造的行列式值非0. （10） 若a1 , a2 , ... , am是n维向量组，且 m>n,则 a1 , a2 , ... , am线性相关。 特别地，n+1个n维向量必线性相关。
第 三 章 向量组的线性相关性与n 维向量空间
第一节
1. 向量的定义 定义1 n 个有次序的数 a1 , a2 , ... , an 所组成的
数组称为 n 维向量,其中第 i 个数 ai 称为第i 个分量，n称为向量的维数.
n维向量
n 维向量可写成一行, 也可写成一列. 分别
称为行向量和列向量, 也就是行矩阵和列矩阵。
引例1：非齐次线性方程组（Ⅰ）有解<=>
存在一组数x1, x2, ... , xn, 满足
x1a1 + x2a2 + ... + xnan = b。 引例2：齐次线性方程组（Ⅱ）有非零解<=> 存在一组不全为零的数x1, x2, ... , xn, 满足 x1a1 + x2a2 + ... + xnan = 0。 从这两个引例中我们可以提炼出向量组两个
3.2 n维向量及其线性相关
证 设向量组 a1 , a2 ,, an中有某一部分组线性 相关.不妨设 a1 , a2 ,, a s ( s < m )线性相关,则存在 线性相关, 相关. s个不全为零的数 k1 , k2 ,, k s , 使得
于是得
k1a1 + k2a2 + + k s a s = θ
k1a1 + k2a2 + + k s a s + 0a s +1 + + 0am = θ
第i个数a i 称为第 i个分量 .
分量全为实数的向量称为实向量, 分量全为实数的向量称为实向量, 实向量 分量全为复数的向量称为复向量. 分量全为复数的向量称为复向量. 复向量
例如
(1,2,3,, n)
n维实向量 维实向量 n维复向量 维复向量
(1 + 2i ,2 + 3i ,, n + ( n + 1)i )
第2个分量 个分量 第1个分量 个分量
第n个分量 个分量
二,n维向量的表示方法
n 维向量写成一行,称为行向量,也就是行 维向量写成一行,称为行向量 行向量, 矩阵, 等表示, 矩阵,通常用 aT , bT ,αT , βT 等表示,如:
a T = ( a 1 , a 2 , , a n )
n 维向量写成一列,称为列向量,也就是列 维向量写成一列,称为列向量 列向量, 矩阵, 等表示, 矩阵,通常用 a,b,α, β 等表示,如: a1 a2 a= a n
不全为零, 因为k1,k2, ,k s , 0,,0不全为零, 线性相关. 故由定义知 a1 , a2 ,, am 线性相关.
定理 向量组 α 1 ,α 2 ,...,α m线性相关的充分必 要条件是: 要条件是:至少存在一个 α i (1 ≤ i ≤ m ) 可有其余 线性表出. 向量 α 1 ,α 2 ,...,α i 1 ,α i +1 ,...,α m 线性表出. 证明 充分性 中有一个向量( 设 a1 , a 2 , , a m 中有一个向量(比如 能由其余向量线性表示. 能由其余向量线性表示 即有
线性代数向量的线性相关性
k1, k2 ,L , km 使得 k11 k22 kmm 0 (*)
则称向量组M是线性相关的，否则称M是线性无关的
注：(1) 对任意向量组 M 1,2,L ,m , 肯定存在一组数
k1, k2 ,L , km 使得 k11 k22 kmm 0 (*) 例 k1 0, k2 0,L , km 0 ; 所不同的是：
k3 0
故向量组线性无关
k1am1 k2am2 L kmamm 0 km 0
L L k1an1 k2an2 L kmanm 0
注 若向量组中的向量作成矩阵的行或列所得矩阵A为
阶梯形矩阵,且 aii 均不为零, 则称向量组为阶梯形向量组
例4结论为“阶梯形向量组线性无关
特别地 Rn 中标准基 e1,e2,L ,en 线性无关
1
2
3
k2
0
1 5 6 k0
10 1
因为 1 2 3 0 由克莱姆法则知道方程有非零解。
15 6
故向量组线性相关
例2* 讨论向量组 1 1 2 0 , 2 0 2 1 , 3 0 0 1
的线性相关性 解：设有数 k1, k2 , k3 使 k11 k22 k33 0 即方程
0
0
M
m
0
amm
M
anm
, m ，m n 证明向量组线性无关
证明：设有数 k1, k2 ,L , km 使 k11 k22 L kmm 0
L L L L k1a11 0
k1a21 k2a22 0
即 k1a31 k2a32 k3a33 0
k1 0 k2 0
M 1,2,L ,m 线性无关当且仅当
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c1 c2 cm0时,才 有
c11c22cmm0成 立 .
2.对于任一向 ,不量 是组 性 线无关就是线. 性
称 n 维向量组
1 1，0， ，0 2 0,1 ， ，0
n 0，0， ，1
为 n 维单位向量组
例 1 试 证: （ 1）n维 单 位 向 量 组 线 性 无 关
一 个 含 有 有 限 个 向向 量量 组的 ， 总 可 以 是 由 一 个 矩 阵 的 向全 量体 所行 构 成 。
mn矩阵 A有m个n维行向量，n同 个时 m维列向量
a1j
j
a2 j
amj
j 1,2, ,n
从而A可记为
1
A
2 m
或 A1,2, ,n
总之，一个含有有向限量个的向量组可构个成 矩阵。反之，一个可矩以阵看成是有限个量行所向 构成所构成的向量也组可，以看成是有限向个量列 所构成所构成的向。量矩组阵与向量组在上形能式 够相互转,因 化此可用矩阵讨论组向的量有关问题。
向量组与矩阵
n 维 行 i a 向 i1 ,a i2 , 量 ,a in ， (i 组 1 ,2 , ,m )可 ,
构成一个矩阵
a a a a
11
12
1j
1n
1
a a a a A
21
a a a a m1
22
m2
2j
mj
m 2nn m 2
A称 为 n维 由行 向 1,量 2,组 ,m所 构 成 的, 矩 i称阵 为A 矩 的阵 i第 个 行 向 量
第二节 向量组的线性相关性
向量组的线性相 一关 个性 最是 难掌握 内容，需下苦功 。夫学好
一、n维向量组的线性相关性
m个具有相同维数的 称向 为量 向量组。
定义2.1 给定向A量 :1,组 2,,m,如果存在
全 为 零c1的 ,c2,数 ,cm使
c11c22cmm0
则称向量组A是线性相关的，否则称它线性无关． 当向量组线性无关时，也称该向量组为线性无关 （向量）组，简称无关组
1 k k 1 2 2 k k 1 3 3 k k m 1 m .
即 1 能由其余向量线性表示. 证毕.
定 理 2.1' 向 量组 1,2,,mm2线 性 无 关
的充要条件是这 组个 中向 的量 任何向量都 由其m 余1个向量线性表示。
定 理 2.2若n维 向 量 1,组 2,,mm2有 一 个
2显然存在不 a1,a2,全 ,an和 为 1使 零得 的 a 11 a 22 a nn ( 1 ) 0 因此 1,2,,n,线性相关。
例2 讨论下列向量 关组 性线性相
（ 1） 1 1， 2， 0，2 2,1,1 （ 2） 1 1， 1， 1，2 2,1,1,3 1,4, p
其 中 p为 实 数 。
相关性判定定理
定理 2.1 向量组 1,2,,mm2线性相关
的充要条件是这 组个 中向 至量 少有一个向 由其m 余1个向量线性表示。
证明 充分性
设 a1,a2,,am中有一个向量（比如 a m ）
能由其余向量线性表示. 即有
a m 1 1 22 m 1 m 1
故
因向量 1,组 2,3线性无关，故有
x1 x3 0
x1 x2 0
x2 x3 0
由于系数行列式
101 1 1 0 20 011
因此齐 * 只 次 有 x 1方 x 2 零 x 程 3 解 0 ,所 组以
向量 1 , 2 , 3 组 线性无关。
注意
1.如果 一个向 量 一组 个只 零， 包 向则 含 量该 向量组是线性相关。
分 组 (即 由 该 向 量 组 向的 量一 所部 组分 成 )线的 性 相 关 ， 则 该 线向 性量 相组 关也 。
定2理 .2'若 n维向量 1,2, 组 ,mm2线性
关，则其任 线意 性部 无分 关组 。也
定 理 2.3 若n维 向 量 1,组 2,,m线 性 无 关 而 向 量 1,组 2,,m,线 性 相 关 能 ，由 则 1,2,,m唯 一 地 线 性 表 示 。
注意 i是 ： 列 (i向 1,2,,量 n)!
例 3设 向量 1,2,组 3线 性 无 1关 1， 2,
223,331,试 证 向 1,量 2,3组
线性无关。
证设有 x1,x 数 2,x3使得
即
x 11x2 2x3 30
x 1 1 2 x 2 2 3 x 3 3 1 0
x 1 x 3 1 x 1 x 2 2 x 2 x 3 3 0
2.如果一个向量 一组 个只 非包 零 ，含 向 则 该向量组是线性无关。
3.如 果 一 个 向 量 个组 零包 向 ，含 量 则一 该 量组是线性相关。
4.对于含有两个向量的 组,它向线性相关的 充要条件是两向量的 对分 应成比例，几 义何 是两向量共线；三 量个 相向 关的几何意义 向是 量共面 .
1 1 2 2 m 1 m 1 1 a m 0
因 1 ,2 , ,m 1 , 1 这 m个数不全为0，
故 1,2,,m 线性相关.
必要性 设 1,2,,m线性相关，
则有不全为0的数 k1,k2,,km,使
k 11 k 22 k m m 0 .
因 k1,k2,,km中至少有一个不为0， 不妨设 k1 0,则有
（ 2） 对 任 意 的 n维 向 量 a1,a2,L,an， 向 量 组 1,2,L,n,线 性 相 关 。
证 1 设c 1 有 ,c 2 , ,c n 数 使得
c 11 c22 cnn 0
由向量的数乘与加法运算性质有
c 1 ,c 2 , ,c n 0 ,0 , ,0
于 是 c 1 c 2 L c n 0 , 因 此 1 ,2 , L ,n 线 性 无 关 。
线性方程组的向量表示
a x a x a x b a x a x a x b
11 1
12 2
1n n
1Байду номын сангаас
21 1
22 2
2n n
2
a x a x a x b m1
1
m2
2
mn n
m
1x 1 2x 2 nx n b
Axb
未知数
x 1 1x 22 x n nb 系数
方程组与增广矩阵的列向量组之间一一对应．