新人教版八年级数学下册 二次根式培优专题(一)
人教版八年级数学下二次根式专题培优
二次根式（一）基础训练题1.下列各式中：）A.1个B.2个C. 3个2.下列式子中一定是二次根式的是（）A. B. C. D.3.在实数0，，－1中，最小的数是（）A.－1B.C.0D.4.（2014 x的取值范围是（）A.x＞0 ≤1 C.x＞1 ≥15.（2014 在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）A.x＞0B.x＞3 ≥3 ≤36.在下列二次根式中，x的取值范围为x≥2的是（）D.12 x-7.(2014 绵阳)有意义，则x的取值范围是（）A.x＜13≤13C.x＞13≥138.（2013 x的取值范围是.a= .10.当x为何值时，下列各式在实数范围内有意义？（1（2（3（4中档题训练11. (20l4 ·巴中)要使式子11--m m 有意义,则 m 的取值范围是( ） ≧-1且m≠112.如果 a 是任意实数,下列式子一定成立的是( ） A.a B.21aC.2aD.2a - 13.一个正方形的面积为 7,估计其边长的范围为( )C.大于3小于4D.大于4小于5 14.如果 m=7-1,那么 m 的取值范围是( )A.0<:m<1B. 1<m<2C. 2<m<3D. 3<m<4xxy 21-+有意义,那么点 A(x ,y )的位置可能在( )x x -+-75有意义,则 .r 的取值范围是 . .17. (20l3 ·攀枝花)已知实数 x ,y ,m, 满足032=++++m y x x ,且 y 为负数,求 m 的取值范围.18. 已知 a ,b 为一等腰三角形的两边之长,且满足等式423632-=-+-b a a ,求此等腰三角形的周长.综合题训练19.已知 543++=x y ,当 x 取何值时,.y 有最小值?并求出最小值.2.二次根式(二)基础题训练1.4的算术平方根是( ). a C.±22)3(-的值是( ).A. -33.16的算术平方根是( ). C.士24.︒)2(的值为( ).A.2 C.22 2)2(±的值是( ).2a =a ,则 a 的取值范围是( ).A. ,a >0B. a ≠0C.a <0D.a ≧0 7.下列各式中不正确的是( ). A.2)2(-=2 B. 2)2(-=--2 2)2(-=-2 D.±2)2(-=±28.点 A(-2,2-1)在平面直角坐标系中的( ) 四象限9. (20l4 ·黔南州)实数 a 在数轴上的位置如图,化简a a +-2)1(=10.计算:(1)2)7(; (2)2)7(- (3)2)7((-(4) 2)7((±-; (5)4)2((2-- (6)2)23((-(7)2)3(π- (8))1(122≥+-x x x (9)1224++a a中档题训练2)12(-a = 1-2a ,则( ).A.a <21 B.a ≤21 C.a >21 D. a ≧2112.当 a ≤21时,化简124412-++-a a a ( )aa D. 013. ( 20l4 ·泉州)已知 m,n 为两个连续的整数,且 m<11 <n,则 m 十n= . .0421=++++-b a b a ,则2015b)-(a = .n 12是整数,则满足条件的正整数 n 最小为 .16.已知 a ,b ,c 在数轴上的位置如图所示,化简b a c a c b a +--+++222)()(=(1)32-x ; (2)2222++x x .综合题训练18.已知三角形的两边长分别为2和4,第三边长为x ,化简:93414422+--+-x x x x3．二次根式的乘除（一）基础题训练1．使等式b a ab •=成立的条件是（ ）．A ．a ＞0，b ＞0B ．a ＜0，b ＜0C ．a ≥0，b ≥0D ．ab ≥0 2．(2014·上海)计算32•的结果是（ ）．A ．5B ．6C ．32D ．23 3．下列各式成立的是（ ）．A ．585254=⨯B ．5202435=⨯C ．572334=⨯D ． 6202435=⨯ 4．化简二次根式()622⨯-的结果是（ ）． A ．62 B ．62- C ．6 D ．12 5．化简545⨯的结果是（ ）． A ．52B ．2C ．2D ．526．下列各式计算正确的是（ ）．A ．525±=B ．12733=-C ．9218=⨯D ．62324=⨯7．在下列各数中，与3的积为有理数的是（ ） A ．2 B ．13+ C ．3- D ．68．（2014·河北）计算：218+＝ ． 9．化简：1832⨯＝ ；()()2715-⨯-＝ ．10．计算下列各式：（1）82⨯； （2）123⨯； （3）2162⨯； （4）12149⨯； （5）y 4； （6）3216c ab ； （7）10253⨯； （8）15106⨯⨯； （9）54332⨯⨯．中档题训练11．若等式()()3333-•+=-+x x x x 成立，则x 的取值范围是 ．12．计算()()322323-⨯+的结果是（ ）． A ．－1 B ．1 C ．23- D ．23+13．将aa1根号外的部分移到根号内，正确的是（ ）． A ． a B ．a - C ．a - D ．a --14．设矩形的长和宽分别为a ，b ，根据下列条件求面积S ． （1）12=a ，8=b ； （2）243=a ，4821=b ．15．比较下列各组中两个数的大小．（1）72和24； （2）32-和23-．16．计算： （1）3122y x xy •； （2）nm m n m 223233•．17．先化简，再求值：121132--÷⎪⎭⎫ ⎝⎛--+x x x x x x，其中23=x ．综合题训练18．已知101=+a a ，求aa 1-的值． 4．二次根式的乘除（二）基础题训练1．下列二次根式中：2，21，12，2-x ，12+x ，最简二次根式的个数为（ ）． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个2．（2014·威海）下列式子中，属于最简二次根式的是（ ）． A ．9 B ．7 C ．20 D ．313．下列根式中属于最简二次根式的是（ ）． A ．a 4 B ．4aC ．4aD ．4a4．（2014·徐州）下列运算中错误的是（ ）．A ．2222=⨯B ．632=⨯C ．228=÷D ．()332=-5．下列计算错误的是（ ）． A ．6319632== B ．xxx x x ==21 C ．a ab aab ab 339332== D ．x x xx x6396322==6．327的相反数是 ； 5的倒数是 ．7．计算：=⨯÷3333 ； =÷xx 1． 8．计算：（1）818÷； （2）8121÷； （3）32241÷； （4）648； （5）2723-； （6）xyy x 322；（7）x y xy ÷； （8）1003； （9）2775；（10）65027÷⨯； （11）531322311⨯÷； （12）43215021122⨯÷．中档题训练9．使等式725725--=--x x x x成立的条件是（ ）．A ．527≤<x B ．527≤≤x C ．27>x D ．5≤x 10．若2381=⨯a ，则a 的值为（ ）． A ．12 B ．32 C ．163D ．4311．化简：（1）x y xy 32÷； （2）227818÷÷； （3）22b a ab a b ⨯÷．12．（2014·苏州）先化简，再求值：⎪⎭⎫⎝⎛--+÷--13112x x x x ，其中23-=x ．13．某建筑施工图纸上有一直角三角形的面积为1410cm 2，一条直角边长为74cm ，求另一直角边的长．综合题训练14．已知a ＋b ＝－3，ab ＝2，求代数式baa b +的值． 专题 二次根式的性质一、二次根式有意义的条件1．要使1213-+-x x 有意义，则x 应满足（ ）．A ．321≤≤x B ．3≤x 且21≠x C ．321<<x D ．321≤<x2．（2013·广西）下列四个式子中，x 的取值范围是2≥x 的是（ ）． A ．22--x x B ．21-x C ．2-x D ．x -2 3．化简：=-+-11x x ．4．当x 为何值时，下列各式在实数范围内有意义？ （1）13-x ； （2）12+x ； （3）21+x ； （4）xx 3+； （5）x x -+1； （6）122-+-x x ．二、利用a 的双重非负性解题5．当a 取何值时，式子112++a 的值最小？并求出这个最小值．6．已知32552--+-=x x y ，求2xy 的值．三、2a 的化简7．若()12212-=-a a ，则a 的取值范围是（ ）． A ． 21<a B ．21≤a C ．21>a D ．21≥a 8．化简下列各式：（1）16 （2）()23-； （3）221⎪⎭⎫⎝⎛-- ； （4）23-；（5）2x ； （6）()23-π； （7）()221--； （8）1224++x x ．专题 二次根式的乘除运算一、二次根式乘除运算1．计算：（1）33× 3 （2）0.5×24（3）45×3223 （4）－12xy ×(－4y )（5）－4318÷28×1354 （6）－2xy ÷(－32x x 2y ×3x )2．先化简：2x •x y•(y x÷1y)，其中实数x 、y 满足y ＝x －3＋6－2x ＋2．3．先化简，再求值：a 2－2ab ＋b 2a 2－b 2÷(1a －1b )，其中a ＝2＋1，b ＝2－1．二、二次根式乘除公式的逆运用4．已知1－a a 2＝1－a a，则a 的取值范围是（ ） A ．a ≤0 B ．a ＜0 C ．0＜a ≤1 D ．a ＞0 5．将(a －1)11－a根号外的部分移到根号内，正确的是（ ） A ．－1 B ．1－a C ．－1－a D ．－a －15． 二次根式的加减（一）基础题训练1．（2014·孝感）下列二次根式中，不能与2合并的是（ ）A ．21B ．8C ．12D ．18 2．下列各组根式中，两式可以合并的是（ ）A ．2和12B ．2和0.5C ．4ab 和ab 2D ．a －1和a －1 3．计算12＋3的结果为（ ）A ．2 3B ．3 3C ．15D ．3 2 4．下列四个二次根式：①y x 2；②22xy ；③2xy；④23xy ，化为最简二次根式后，被开方数相同的是（ ）A ．①和②B ．②和③C ．①和③D ．②和④ 5．下列各式计算正确的是（ ）A ．2－22＝－2B ．28a ＝4a (a ＞0)C ．6÷3＝3D ．(－4)×(－9)＝－4×－9 6．（2014·聊城）下列各式计算正确的是（ ）A ．23×33＝63B ．2＋3＝5C ．55―22＝33D ．2÷3＝36 7．（2014·云南）计算：8－2的结果是___________． 7．矩形的长和宽分别为125和20，则其周长为__________．9．若最简二次根式x ＋1与2x 能合并为一个二次根式，则x ＝___________． 10．计算：（1）12＋27 （2）18＋72－32（3）4x －9x （4）27－12＋43（5）212－613＋348 （6）8－32＋29中档题训练11．计算212－613＋8的结果是（ ） A ．32－23 B ．5－2 C ．5－ 3 D ．2 2 12．一个等腰三角形的两边长分别为23，32，则这个三角形的周长为（ ） A ．32＋4 3 B ．62＋2 3C ．62＋4 3D ．32＋43或62＋2 313．已知a ，b 分别是6－13的整数部分和小数部分，那么2a －b 的值是（ ）A ．3－13B ．4－13C ．13D ．2＋13 14．若最简二次根式5a 2＋1与57a 2－1能进行合并，则结果是__________．15．（2014·凉山州）已知x 1＝3＋2，x 2＝3－2，则x 12＋x 22＝____________． 16．计算下列各式： （1）5－6－20＋23＋95（2）12－0.5－213－18＋18（3）27a －a 3a＋3a 3＋12a 75a 3 （4）23x 9x ＋6x yx＋y x y－x 21x17．已知x ＝1＋2，求代数式x 2＋2x ＋1x 2－1－xx －1的值．综合训练18．已知2525x ＋9x9－2x 2•1x 3＝18，求x 的值．6． 二次根式的加减（二）基础题训练1．下列运算错误的是（ ）A ．2＋3＝ 5B ． 2 •3＝6C ．6÷2＝ 3D ．(－2)2＝2 2．估计24×12＋3的运算结果应在（ ） A ．2 3 B ．3 3 C ．15 D ．6 3．12 (75＋313－48)结果是（ ）A ．12B ．4 3C ．23＋6D ．6 4．若x ＝m －n ,y ＝m ＋n ，则xy 的值是（ ）A ．2mB ．2nC ．m ＋nD ．m －n 5．下列式子运算正确的是（ ）A ．3－2＝1B ．8＝42C ．13＝3D ．12＋3＋12－3＝46．(2013·哈尔滨)计算：27－32＝_____________． 7．若矩形的长为（12＋3）cm ，宽为3cm ，则此矩形的面积为__________． 8．若(548＋12－627)÷a ＝4，则a 的值是_________． 9．计算：（1）3×6－2×6 （2）2(2＋3)－3(2－27）（3）(12＋58) 3 （4）(3＋1)(3－2)（5）(23＋32)(23－32) （6） (a ＋b )(a －b )（7）(3＋5)2 （8）(25－2)2中档题训练10．（2014·安徽）设n 为正整数，且n ＜65＜n ＋1，则n 的值为（ ）A ．5B ．6C ．7D ．8 11．若(3＋2)2＝a ＋b 6，且a 、b 为整数，则a ＋b 的值为（ ）A ．3B ．5C ．6D ．712．已知x ＋1x＝a ，则x ＋1x 的值为（ ）A ．a 2－2B ．a 2C ．a 2－4D ．不确定 13．（2014·青岛）计算：5540 ＝_________．14．二次根式5－(16－3m )2有最大值，则m ＝___________．15．计算：（1）2 3 (12―375＋13108) （2）(2＋1)÷2×(2―1)―(12―1)0（3）(3―22)2014(3＋22)2015 （4）(1＋2＋3)(1＋2―3)16．（2014·襄阳）已知x ＝1－2，y ＝1＋2，求x 2＋y 2－xy －2x ＋2y 的值．17．先化简，再求值：239x ＋6x 4－2x 1x，代入一个合适的x 的值求值．综合题训练17．已知a ＝2－12＋1，b ＝2＋12－1，求b a ＋ab 的值．专题 与根式相关的规律问题1．观察下列各数：2 ，…，则第8个数是 ．2． …，请你将发现的规律用含n （n ≥1，且为整数）的等式表示出来： ．3．观察下列各式：＝…，请你根据以上式子中的规律写出第6个式子为： ．4．，…，根据以…＝ ．5． 555555＝5555，…，2333344n n 个个…＋…＝ ．6． 10，9999⨯＋1001000，…，根据以9999999999999199999n n n ⨯⨯个个个………＝ ．72225＋＝3， 4＝5，…，根据以上 式子中的规律写出第10个式子为： ．81＋112⨯ ＝1＋123⨯＝1＋134⨯，…，根据上面三个等式提供的信息，请写出第n 个式子： ．9 按下面规律排列，若规定（m ，n ）表示第m 排从左至右的第n 个数，则表示（10，9）的数是 ；表示（6，5）和（8，7）的数的积为第一排第二排第三排第四排… …专题 根式及其运算一、使二次根式有意义的条件1．下列函数中自变量的取值范围是x ≥2的是（ ）．A．y2B．y＝22x－C．yD．y＝x－22．若x为任意实数，下列函数一定有意义的是（）．A．yB．y＝211x－C．yD．y＝21x3．在函数yx的取值范围是（）．A．x≤13B．x≥13C．x＜13D．y＝x－2二、二次根式的化简、计算4．下列各式计算正确的是（）．ABCD－35．下列各式计算正确的是（）．A±2BC 25=10D6．设a＞0，b＞0，则下列运算错误的是（）．Aa b BC．2＝a D=7计算：（1）－＋（2）)21－112⎛⎫⎪⎝⎭－＋(01（3；（48．先化简，再求值．（12x＝4；（2，其中x＝6．9．一个三角形的三边长分别为，54（1）求它的周长（要求结果化简）；（2）请你给一个适当的x值，使它的周长为整数，并求出此时三角形周长的值．。
八年级下期数学培优思维训练(二次根式)
八年级下期数学培优思维训练
一、二次根式
（一）知识梳理：
（二）方法归纳：
（三）范例精讲：
1.（1）已知，求的值.
（2）若，求的值.
2.（1）化简.
（2）计算. （3）化简.
3. 已知，求证：.
4. 化简：（1）（2）（3）
5.（1）若，化简.
（2）化简.
6. 设，，求的值.
7. 化简.
8. 化简.
9. 设，求的值.
（四）思维训练：
1.若式子化简的结果为，则的取值范围为（）
A. B. C. D.
2.若，则的取值范围是（）
A. B. C. D.或
3.将二次根式的根号外面的因式移到根号内是___________.
4.把根号外面的因式移到根号内为_____________.
5.实数的算术平方根等于___________.
6.已知，求的值.
7.已知的整数部分为，小数部分为，求的值.
8.化简.
9.先化简，再求值：，其中.
10.先化简，再求值，其中.
11.已知，求代数式的值.
12.已知，求的值.
13.已知，求的值.
14.已知，，求的值.
15.已知，为实数，且．求的值.
16.已知，，求的值.
17.已知，求的值.
18.已知，求的值.
19.化简：.
20.若，化简.
21.已知，，求的值.
22.化简：.。
新人教版初中数学八年级数学下册第一单元《二次根式》测试(答案解析)(1)
一、选择题1．下列是最简二次根式的是（ ）A B CD2．x 的取值范围为( ) A ．x 2≥ B ．x 2≠C ．x 2>D ．x 2<3．已知y 10，那么252x y x y+-的值等于（ ） A ．1B ．78C ．54-D ．45- 4．若x=，则2x 2x -=( )A B ．1 C ．2D 1 5．下列二次根式中是最简二次根式的是（ ）A BC D6．（a ﹣4）2＝0 ）A B ． C D ．7．n 为（ ）.A ．2B ．3C ．4D ．58．下列根式是最简二次根式的是（ ）A B C D 9．下列各式正确的是（ ）．A ．2=10BC ．D 210．已知y 3，则x y的值为（ ）． A ．43 B ．43-C ．34D ．34- 11．下列运算正确的是（ ）A +=B 132= CD ．(21)(21)1+-= 12．下列计算正确的是（ ） A ．3236362⨯==B ．164=±C ．()()15242⎛⎫-÷-⨯-=± ⎪⎝⎭D ．()25235410-⨯+⨯++= 二、填空题13．若53x =-，则()234x +-的值为__________．14．已知223y x x =-+-+，则xy 的值为__________．15．如果最简二次根式123b a ++和3a b +是同类二次根式，则ab =____________． 16．计算：812753⨯⨯=______； 17．()()200520062323-+=________．18．已知实数a 、b 在数轴上的位置如图所示，化简2()a b a b -++=_____________19．3124=________． 20．2121=-+3232=+4343=+，请从上述等式找出规律，并利用规律计算(20082)32435420082007++⋅⋅⋅++=++++_________． 三、解答题21．计算：（1341-216(5)25- （2）（x ﹣2y+3）（x+2y+3）．22．先化简，再求值：2221111x x x x -+⎛⎫÷- ⎪-⎝⎭，其中x 21． 23．计算（1）122055 （2）2132)4882-24．先化简，再求值：221141⎛⎫++-÷- ⎪⎝⎭x x x x x ，其中12=x ． 25．计算题：（1-（2 26．计算：（1（2）+【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．A解析：A【分析】根据最简二次根式的定义逐项分析即可.【详解】，是最简二次根式；＝2，故不是最简二次根式，不符合题意；5=，故不是最简二次根式，不符合题意；D.=，故不是最简二次根式，不符合题意； 故选A.【点睛】本题考查了最简二次根式的识别，如果二次根式的被开方式中都不含分母，并且也都不含有能开的尽方的因式，像这样的二次根式叫做最简二次根式.2．A解析：A【分析】因为二次根式的被开方数是非负数，所以x 20-≥，据此可以求得x 的取值范围．【详解】则x 20-≥，解得：x 2≥．故选：A【点睛】（a 0≥）叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．3．D解析：D【分析】先根据二次根式的性质求出x 、y 的值，再代入代数式计算即可．【详解】解：因为y+10，可知1010x x -≥⎧⎨-≥⎩， 即11x x ≥⎧⎨≤⎩，解得x ＝1，所以y ＝10； 所以，252x y x y +-＝210520+-＝﹣1215＝﹣45． 故选：D ．【点睛】本题考查了二次根式的意义．解决此题的关键是要先根据二次根式意义求出x ，y 的值再代入所求的代数式中求值．4．B解析：B【分析】直接将已知分母有理化，进而代入求出答案．【详解】解：∵ x==1=， ∴ ()2x 2x x x 2-=- )112=- 21=-1=．【点评】此题主要考查了分母有理化，正确化简二次根式是解题关键．5．A解析：A【分析】利用最简二次根式定义判断即可．【详解】2=，故本选项不合题意；==，故本选项不合题意.故选：A．【点睛】此题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式定义是解本题的关键．6．A解析：A【分析】先根据算术平方根的非负性、偶次方的非负性求出a、b的值，再代入化简二次根式即可得．【详解】由算术平方根的非负性、偶次方的非负性得：4030ab-=⎧⎨-=⎩，解得43ab=⎧⎨=⎩，===，故选：A．【点睛】本题考查了算术平方根的非负性、偶次方的非负性、化简二次根式，熟练掌握算术平方根和偶次方的非负性是解题关键．7．B解析：B【分析】27n一定是一个完全平方数，把27分解因数即可确定．【详解】27n一定是一个完全平方数，把27分解因数即可确定．∵2=⨯，2733∴n的最小值是3．故选B．【点睛】主要考查了乘除法法则和二次根式有意义的条件．二次根式有意义的条件是被开方数是非=．解题关键=是分解成一个完全平方数和一个代数式的积的形式．8．B解析：B【分析】利用最简二次根式定义判断即可．【详解】A=BC=，不是最简二次根式，该选项不符合题意；2D=，不是最简二次根式，该选项不符合题意；故选：B．【点睛】本题考查了最简二次根式．最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式．9．D解析：D【分析】根据二次根式的加法法则，乘法计算法则计算后依次判断.【详解】AB不是同类二次根式，不能计算，故该项错误；C、=≠D2=，故该项正确；故选：D.【点睛】此题考查二次根式的计算，掌握二次根式的加法计算法则，二次根式的乘法计算法则，二次根式的化简是解题的关键.10．A解析：A【分析】由二次根式有意义的条件可得出x 的值，即可得出y 的值，计算出x y 的值即可． 【详解】因为3y =，4040x x -≥⎧∴⎨-≥⎩， ∴x =4，∴y =3， ∴43x y =． 故选：A ．【点睛】本题主要考查二次根式有意义的条件，熟记二次根式有意义的条件是解题关键． 11．D解析：D【分析】根据二次根式运算求解即可.【详解】A. 原式不能合并，不符合题意；B. 原式2==，不符合题意；C. 原式=D. 原式=2−1=1，符合题意，故选：D.【点睛】此题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键.12．D解析：D【分析】根据乘方运算，算术平方根的定义，有理数的乘除运算以及二次根式的加减的混合运算进行判断．【详解】A 、32322754⨯=⨯=，故A 错误；B 4=，故B 错误；C 、()()()11155252224⎛⎫⎛⎫⎛⎫-÷-⨯-=-⨯-⨯-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故C 错误；D 、(22346410-⨯+=-+=，故D 正确．故选：D ．【点睛】本题考查了有理数的乘方，算术平方根的定义，有理数的乘除运算以及二次根式的加减的混合运算，熟记运算法则是解题的关键． 二、填空题13．1【分析】直接将x 值代入计算可得【详解】当时==故答案为：1【点睛】本题主要考查了二次根式的性质与化简解题的关键是熟练掌握完全平方公式和二次根式的性质解析：1【分析】直接将x 值代入计算可得．【详解】当3x =时，故答案为：1【点睛】本题主要考查了二次根式的性质与化简，解题的关键是熟练掌握完全平方公式和二次根式的性质．14．6【分析】根据二次根式有意义的条件可得关于x 的不等式组进而可求出xy 然后把xy 的值代入所求式子计算即可【详解】由题意得：所以x=2当x=2时y=3所以故答案为：6【点睛】本题考查了二次根式有意义的条解析：6【分析】根据二次根式有意义的条件可得关于x 的不等式组，进而可求出x 、y ，然后把x 、y 的值代入所求式子计算即可．【详解】由题意得：2020x x -≥⎧⎨-≥⎩，所以x=2，当x=2时，y=3，所以236xy=⨯=．故答案为：6．【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件、代数式求值和一元一次不等式组，属于基础题目，熟练掌握基本知识是解题的关键．15．0【分析】根据最简二次根式及同类二次根式的定义得求出ab的值代入计算即可【详解】由题意得解得∴ab=0故答案为：0【点睛】此题考查最简二次根式及同类二次根式的定义解二元一次方程组熟记定义是解题的关键解析：0【分析】根据最简二次根式及同类二次根式的定义得12233ba a b+=⎧⎨+=+⎩，求出a、b的值代入计算即可．【详解】由题意得12233ba a b+=⎧⎨+=+⎩，解得10 ba=⎧⎨=⎩，∴ab=0，故答案为：0．【点睛】此题考查最简二次根式及同类二次根式的定义，解二元一次方程组，熟记定义是解题的关键．16．【分析】根据二次根式的乘法运算法则计算即可【详解】故答案为：【点睛】本题主要考查了二次根式的乘法运算熟练掌握二次根式的乘法运算法则是解题的关键【分析】根据二次根式的乘法运算法则计算即可．【详解】==．． 【点睛】本题主要考查了二次根式的乘法运算，熟练掌握二次根式的乘法运算法则是解题的关键． 17．【分析】逆用积的乘方法则和平方差公式计算即可【详解】解：原式＝故答案为：【点睛】本题考查了二次根式的混合运算熟练掌握二次根式的运算法则是解答本题的关键整式的乘法的运算公式及运算法则对二次根式的运算同解析：【分析】逆用积的乘方法则和平方差公式计算即可．【详解】解：原式＝20052005⋅⋅ 2005⎡⎤=⋅⋅⎣⎦=-=故答案为：-【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解答本题的关键，整式的乘法的运算公式及运算法则对二次根式的运算同样适应．18．【分析】先根据数轴的定义可得从而可得再化简绝对值和二次根式然后计算整式的加减即可得【详解】由数轴的定义得：则因此故答案为：【点睛】本题考查了数轴绝对值二次根式整式的加减熟练掌握数轴的定义是解题关键 解析：2a -【分析】先根据数轴的定义可得0a b <<，从而可得0,0a b a b -<+<，再化简绝对值和二次根式，然后计算整式的加减即可得．【详解】由数轴的定义得：0a b <<，则0,0a b a b -<+<，因此()a b b a a b -=-+--，b a a b =---，2a =-，故答案为：2a -．【点睛】本题考查了数轴、绝对值、二次根式、整式的加减，熟练掌握数轴的定义是解题关键．19．【分析】先根据二次根式的性质化简再合并即可【详解】解：故答案为：【点睛】本题考查了二次根式的性质和二次根式的加减运算属于基础题目熟练掌握基本知识是解题关键【分析】先根据二次根式的性质化简，再合并即可．【详解】==，22．故答案为：2【点睛】本题考查了二次根式的性质和二次根式的加减运算，属于基础题目，熟练掌握基本知识是解题关键．20．2006【分析】所求代数式第一个括号内可由已知的信息化简为：然后利用平方差公式计算【详解】解：原式故答案为：2006【点睛】本题考查了数字型规律二次根式的混合运算解答此类题目的关键是认真观察题中式子解析：2006【分析】所求代数式第一个括号内可由已知的信息化简为：，然后利用平方差公式计算．【详解】===⋯解：1∴原式==20082=-=．2006故答案为：2006．【点睛】本题考查了数字型规律，二次根式的混合运算，解答此类题目的关键是认真观察题中式子的特点，找出其中的抵消规律．三、解答题21．（1）345；（2）x 2+6x+9﹣4y 2 【分析】 (1)首先计算开方，然后从左向右依次计算；求出算式的值是多少即可．(2)将各多项式分组，利用平方差公式和完全平方公式计算即可．【详解】解：（1）原式＝2+（﹣1）+45+5 ＝6+45 ＝345； （2）原式＝（x+3﹣2y ）（x+3+2y ）＝（x+3）2﹣4y 2＝x 2+6x+9﹣4y 2．【点睛】本题主要考查实数的运算，平方差公式和完全平方公式，解决此类问题，要熟练掌握运算顺序和运算方法．22．+1x x ． 【分析】先根据平方差公式，完全平方公式和分式的运算法则对原式进行化简，然后将x 1代入即可．【详解】 解：2221111x x x x -+⎛⎫÷- ⎪-⎝⎭=()()()21111x x x x x--÷+- =()()()21111x x x x x -+--× =+1x x当x 1时，原式=22-． 【点睛】 本题考查了分式的化简求值，掌握平方差公式，完全平方公式和分式的运算法则是解题关键．23．（12）9． 【分析】 （1）先将二次根式化简，再合并计算即可；（2）先利用完全平方公式，二次根式的性质化简，再合并计算即可．【详解】解：（1）＝（2）22)-＝3434432＝9．【点睛】 本题考查二次根式的混合运算，完全平方公式，熟练运用二次根式的运算法则是解题的关键．24．121x -；4【分析】 根据分式的混合运算法则把原式化简，代入计算即可．【详解】解：221141⎛⎫++-÷- ⎪⎝⎭x x x x x ()21421-+-+=÷x x x x x x22141+-=÷x x x x()()212121+=⋅-+x x x x x121=-x ，当12=x 时，原式11212=⎫-⎪⎭=4=． 【点睛】本题考查了分式的混合运算以及二次根式的运算，熟练掌握分式和二次根式的运算法则是解决本题的关键．25．（1；（2）1【分析】（1）先把二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；（2）先把二次根式化为最简二次根式，然后利用二次根式的乘除法则运算．【详解】解：（1=3-+= （2==1【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的化简及相关运算的运算法则．26．（1）2【分析】（1）把每个二次根式化成最简后再把被开方数相同的项合并；（2）按照乘法分配律去括号，按照除法法则计算二次根式的商，再把所得结果各项化简后合并同类二次根式即可得到最终答案．【详解】解：（1）原式=+-=(241=（2）原式=3-+=(121．【点睛】本题考查二次根式的运算，熟练掌握二次根式的运算法则和化简方法是解题关键．。
《二次根式》培优试题及答案
《二次根式》提高测试（一）判断题：（每小题1分，共5分）1．ab 2)2(-＝－2ab ．…………………（）【提示】2)2(-＝|－2|＝2．【答案】×．2．3－2的倒数是3＋2．（ ）【提示】231-＝4323-+＝－（3＋2）．【答案】×．3．2)1(-x ＝2)1(-x ．…（）【提示】2)1(-x ＝|x －1|，2)1(-x ＝x －1（x ≥1）．两式相等，必须x ≥1．但等式左边x 可取任何数．【答案】×． 4．ab 、31b a 3、bax 2-是同类二次根式．…（ ）【提示】31b a 3、ba x 2-化成最简二次根式后再判断．【答案】√． 5．x 8，31，29x +都不是最简二次根式．（ ）29x +是最简二次根式．【答案】×．（二）填空题：（每小题2分，共20分）6．当x __________时，式子31-x 有意义．【提示】x 何时有意义？x ≥0．分式何时有意义？分母不等于零．【答案】x ≥0且x ≠9． 7．化简－81527102÷31225a ＝_．【答案】－2aa ．【点评】注意除法法则和积的算术平方根性质的运用． 8．a －12-a 的有理化因式是____________．【提示】（a －12-a ）（________）＝a 2－22)1(-a ．a ＋12-a ．【答案】a ＋12-a ． 9．当1＜x ＜4时，|x －4|＋122+-x x ＝________________．【提示】x 2－2x ＋1＝（ ）2，x －1．当1＜x ＜4时，x －4，x －1是正数还是负数？ x －4是负数，x －1是正数．【答案】3．10．方程2（x －1）＝x ＋1的解是____________．【提示】把方程整理成ax ＝b 的形式后，a 、b 分别是多少？12-，12+．【答案】x ＝3＋22．11．已知a 、b 、c 为正数，d 为负数，化简2222d c ab d c ab +-＝______．【提示】22d c ＝|cd |＝－cd ．【答案】ab ＋cd ．【点评】∵ ab ＝2)(ab （ab ＞0），∴ ab －c 2d 2＝（cd ab +）（cd ab -）．12．比较大小：－721_________－341．【提示】27＝28，43＝48．【答案】＜．【点评】先比较28，48的大小，再比较281，481的大小，最后比较－281与－481的大小．13．化简：(7－52)2000·(－7－52)2001＝______________． 【提示】(－7－52)2001＝(－7－52)2000·（_________）[－7－52．] （7－52）·（－7－52）＝？[1．]【答案】－7－52． 【点评】注意在化简过程中运用幂的运算法则和平方差公式． 14．若1+x ＋3-y ＝0，则(x －1)2＋(y ＋3)2＝____________．【答案】40． 【点评】1+x ≥0，3-y ≥0．当1+x ＋3-y ＝0时，x ＋1＝0，y －3＝0．15．x ，y 分别为8－11的整数部分和小数部分，则2xy －y 2＝____________．【提示】∵ 3＜11＜4，∴_______＜8－11＜__________．[4，5]．由于8－11介于4与5之间，则其整数部分x ＝？小数部分y ＝？[x ＝4，y ＝4－11]【答案】5．【点评】求二次根式的整数部分和小数部分时，先要对无理数进行估算．在明确了二次根式的取值范围后，其整数部分和小数部分就不难确定了． （三）选择题：（每小题3分，共15分）16．已知233x x +＝－x 3+x ，则………………（ ）（A ）x ≤0 （B ）x ≤－3 （C ）x ≥－3 （D ）－3≤x ≤0【答案】D ． 【点评】本题考查积的算术平方根性质成立的条件，（A ）、（C ）不正确是因为只考虑了其中一个算术平方根的意义． 17．若x ＜y ＜0，则222y xy x +-＋222y xy x ++＝………………………（ ）（A ）2x （B ）2y （C ）－2x （D ）－2y 【提示】∵ x ＜y ＜0，∴ x －y ＜0，x ＋y ＜0．∴222y xy x +-＝2)(y x -＝|x －y |＝y －x ．222y xy x ++＝2)(y x +＝|x ＋y |＝－x －y ．【答案】C ． 【点评】本题考查二次根式的性质2a ＝|a |．18．若0＜x ＜1，则4)1(2+-x x －4)1(2-+xx 等于………………………（）（A ）x 2 （B ）－x 2（C ）－2x （D ）2x【提示】(x －x 1)2＋4＝(x ＋x 1)2，(x ＋x 1)2－4＝(x －x 1)2．又∵ 0＜x ＜1，∴ x ＋x 1＞0，x －x1＜0．【答案】D ．【点评】本题考查完全平方公式和二次根式的性质．（A ）不正确是因为用性质时没有注意当0＜x ＜1时，x －x1＜0．19．化简aa 3-(a ＜0)得………………………………………………………………（ ）（A ）a - （B ）－a （C ）－a - （D ）a【提示】3a -＝2a a ⋅-＝a -·2a ＝|a |a -＝－a a -．【答案】C ． 20．当a ＜0，b ＜0时，－a ＋2ab －b 可变形为………………………………………（ ）（A ）2)(b a + （B ）－2)(b a - （C ）2)(b a -+- （D ）2)(b a ---【提示】∵ a ＜0，b ＜0，∴ －a ＞0，－b ＞0．并且－a ＝2)(a -，－b ＝2)(b -，ab ＝))((b a --．【答案】C ．【点评】本题考查逆向运用公式2)(a ＝a （a ≥0）和完全平方公式．注意（A ）、（B ）不正确是因为a ＜0，b ＜0时，a 、b 都没有意义．（四）在实数范围内因式分解：（每小题3分，共6分）21．9x 2－5y 2；【提示】用平方差公式分解，并注意到5y 2＝2)5(y ．【答案】（3x ＋5y ）（3x －5y ）． 22．4x 4－4x 2＋1．【提示】先用完全平方公式，再用平方差公式分解．【答案】(2x ＋1)2(2x －1)2．（五）计算题：（每小题6分，共24分）23．（235+-）（235--）； 【提示】将35-看成一个整体，先用平方差公式，再用完全平方公式．【解】原式＝(35-)2－2)2(＝5－215＋3－2＝6－215．24．1145-－7114-－732+；【提示】先分别分母有理化，再合并同类二次根式．【解】原式＝1116)114(5-+－711)711(4-+－79)73(2--＝4＋11－11－7－3＋7＝1．25．（a 2m n －m ab mn ＋m n n m ）÷a 2b 2mn； 【提示】先将除法转化为乘法，再用乘法分配律展开，最后合并同类二次根式． 【解】原式＝（a 2m n－mab mn ＋mn n m ）·221b a nm＝21b n m m n ⋅－mab 1n m m n ⋅＋22b ma n n m n m ⋅ ＝21b －ab 1＋221b a ＝2221ba ab a +-． 26．（a ＋ba abb +-）÷（b ab a +＋a ab b -－ab b a +）（a ≠b ）． 【提示】本题应先将两个括号内的分式分别通分，然后分解因式并约分． 【解】原式＝b a ab b ab a +-++÷))(())(()()(b a b a ab b a b a b a b b b a a a -+-+-+--＝b a b a ++÷))((2222b a b a ab b a b ab b ab a a -++----＝ba b a ++·)())((b a ab b a b a ab +-+-＝－b a +．【点评】本题如果先分母有理化，那么计算较烦琐． （六）求值：（每小题7分，共14分）27．已知x ＝2323-+，y ＝2323+-，求32234232y x y x y x xy x ++-的值． 【提示】先将已知条件化简，再将分式化简最后将已知条件代入求值． 【解】∵ x ＝2323-+＝2)23(+＝5＋26，y ＝2323+-＝2)23(-＝5－26．∴x ＋y ＝10，x －y ＝46，xy ＝52－(26)2＝1．32234232y x y x y x xy x ++-＝22)())((y x y x y x y x x +-+＝)(y x xy y x +-＝10164⨯＝652． 【点评】本题将x 、y 化简后，根据解题的需要，先分别求出“x ＋y ”、“x －y ”、“xy ”．从而使求值的过程更简捷． 28．当x ＝1－2时，求2222ax x a x x+-+＋222222ax x x a x x +-+-＋221ax +的值．【提示】注意：x 2＋a 2＝222)(a x +，∴ x 2＋a 2－x22a x +＝22a x +（22a x +－x ），x 2－x22a x +＝－x （22a x +－x ）．【解】原式＝)(2222x a x a x x-++－)(22222x a x x a x x -++-＋221ax +＝)()()2(22222222222x a x a x x x a x x a x x a x x -++-+++-+-＝)()(22222222222222x a x a x x x a x x a x a x x x -++-+++++-=)()(222222222x a x a x x a x x a x -+++-+＝)()(22222222x a x a x x x a x a x -++-++＝x1．当x ＝1－2时，原式＝211-＝－1－2．【点评】本题如果将前两个“分式”分拆成两个“分式”之差，那么化简会更简便．即原式＝)(2222x a x a x x-++－)(22222x a x x a x x -++-＋221ax +＝)11(2222a x x a x +--+－)11(22x x a x --+＋221a x +＝x1． 七、解答题：（每小题8分，共16分）29．计算（25＋1）（211+＋321+＋431+＋…＋100991+）．【提示】先将每个部分分母有理化后，再计算． 【解】原式＝（25＋1）（1212--＋2323--＋3434--＋…＋9910099100--）＝（25＋1）[（12-）＋（23-）＋（34-）＋…＋（99100-）] ＝（25＋1）（1100-） ＝9（25＋1）．【点评】本题第二个括号内有99个不同分母，不可能通分．这里采用的是先分母有理化，将分母化为整数，从而使每一项转化成两数之差，然后逐项相消．这种方法也叫做裂项相消法． 30．若x ，y 为实数，且y ＝x 41-＋14-x ＋21．求xy y x ++2－xyy x +-2的值．【提示】要使y 有意义，必须满足什么条件？].014041[⎩⎨⎧≥-≥-x x 你能求出x ，y 的值吗？].2141[⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==y x 【解】要使y 有意义，必须⎩⎨⎧≥-≥-014041[x x ，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤.4141x x ∴ x ＝41．当x ＝41时，y ＝21．又∵x y y x ++2－xyy x +-2＝2)(x y y x +－2)(xy y x -＝|xy y x +|－|xy y x -|∵ x ＝41，y ＝21，∴ y x ＜x y ．∴ 原式＝x y y x+－y x xy+＝2yx 当x ＝41，y ＝21时，原式＝22141＝2．【点评】解本题的关键是利用二次根式的意义求出x 的值，进而求出y 的值．。
(家教培优专用)人教版数学八年级下册--二次根式全章复习与巩固(基础)知识讲解
《二次根式》全章复习与巩固--知识讲解（基础）【学习目标】1、理解并掌握二次根式、最简二次根式、同类二次根式的定义和性质.2、熟练掌握二次根式的加、减、乘、除运算，会用它们进行有关实数的四则运算.3、了解代数式的概念，进一步体会代数式在表示数量关系方面的作用. 【知识网络】【要点梳理】要点一、二次根式的相关概念和性质 1. 二次根式形如(0)a a ≥的式子叫做二次根式，如13,,0.02,02等式子，都叫做二次根式. 要点诠释：二次根式a 有意义的条件是0a ≥，即只有被开方数0a ≥时，式子a 才是二次根式，a 才有意义. 2.二次根式的性质 （1）； （2）；（3）.要点诠释：（1） 一个非负数a 可以写成它的算术平方根的平方的形式，即a 2a =（0a ≥），如2221122););)33x x ===（0x ≥）.（2）a 的取值范围可以是任意实数，即不论a .（3a ，再根据绝对值的意义来进行化简.（42的异同a 可以取任何实数，而2中的a 必须取非负数；a ，2=a （0a ≥）.相同点：被开方数都是非负数，当a 2.3. 最简二次根式（1）被开方数是整数或整式；（2)被开方数中不含能开方的因数或因式.满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.次根式.要点诠释：最简二次根式有两个要求：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中每个因式的指数都小于根指数2. 4.同类二次根式几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同，这几个二次根式就叫同类二次根式. 要点诠释：判断是否是同类二次根式，一定要化简到最简二次根式后，看被开方数是否相同，再判断.显然是同类二次根式. 要点二、二次根式的运算 1. 乘除法（1）乘除法法则： 类型 法则逆用法则二次根式的乘法0,0)a b =≥≥积的算术平方根化简公式：0,0)a b =≥≥二次根式的除法0,0)a b≥>商的算术平方根化简公式：0,0)a b=≥>要点诠释：（1）当二次根式的前面有系数时，可类比单项式与单项式相乘（或相除）的法则，如=（2）被开方数a 、b 一定是非负数（在分母上时只能为正数）.≠. 2.加减法将二次根式化为最简二次根式后，将同类二次根式的系数相加减，被开方数和根指数不变，即合并同类二次根式. 要点诠释：二次根式相加减时，要先将各个二次根式化成最简二次根式，再找出同类二次根式，最后合并同类二次根式.如23252(135)22+-=+-=-. 【典型例题】类型一、二次根式的概念与性质1． 当________时，二次根式3x -在实数范围内有意义. 【答案】x ≥3.【解析】根据二次根式的性质，必须3x -≥0才有意义.【总结升华】本例考查了二次根式成立的条件，要牢记，只有0a ≥时a 才是二次根式. 举一反三【高清课堂：二次根式 高清ID 号：388065 关联的位置名称：填空题5】 【变式】①242x x =-成立的条件是 . ②2233x x x x--=--成立的条件是 . 【答案】① x ≤0；(2422x x x x ==-∴Q≤0.)② 2≤3x <.(20,30,x x -->∴Q ≥2≤3x <)2．当0≤x <1时，化简21x x +-的结果是__________.【答案】 1.【解析】因为x ≥0，所以2x =x ；又因为x <1,即x -1<0,所以1(1)1x x x -=--=-，所以21x x +-=x +1-x =1.【总结升华】利用二次根式的性质化简二次根式，即2a =a ，同时联系绝对值的意义正确解答. 举一反三【变式】（2015春•大冶市期末）已知﹣=2，则+的值为_____________． 【答案】5. 解：∵﹣=2，∴=+2，两边平方得，25﹣x 2=4+15﹣x 2+4，∴2=3，两边平方得4（15﹣x 2）=9， 化简，得x 2=，∴+=+=5．故答案为：5．3.下列二次根式中属于最简二次根式的是（ ）.A. 14B. 48C. abD. 44a + 【答案】A.【解析】选项B ：48=43；选项C ：有分母；选项D ：44a +=21a +，所以选A. 【总结升华】本题考查了最简二次根式的定义.最简二次根式要满足：（1）被开方数是整数或是整式；（2）被开方数中不含能开方的因式或因数. 类型二、二次根式的运算4．（2015•武进区一模）下列运算正确的是（ ）A. B.C.a 6÷a 2=a 3D.【答案】B.【解析】解：A 、与不能合并，所以A 选项错误； B 、原式==，所以B 选项正确；C 、原式=a 4，所以C 选项错误； D 、原式=2，所以D 选项错误． 故选B ．【总结升华】本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．同时也考查了同底数幂的除法． 举一反三 【变式】计算：4854453)833【答案】243610-.5.化简20102011(32)(32)+⋅-. 【答案与解析】201020102010=(32)(32)(32)(32)(32)(32)1(32)3 2.+⋅-⋅-⎡⎤=+⋅-⋅-⎣⎦=⋅-=-原式【总结升华】本题的求解用到了积的乘方的性质，乘法运算律，平方差公式及根式的性质，是一道综合运算题型.6.已知2231,12x x x x=-+求.【答案与解析】2231,1=30,(1)133331=33x x x xx x x =∴->∴=--+==Q 原式当时，原式【总结升华】 化简求值时要注意x 的取值范围，如果未确定要注意分类讨论. 举一反三【高清课堂:二次根式 高清ID 号：388065关联的位置名称：计算技巧6-7】 【变式】已知a b +=-3, ab =1,求ab b a +的值. 【答案】∵a b +=-3,ab =1，∴<0a ,<0b11+==-(+)=-=3--ab ab a bb a b a ab∴+原式.。
专题01 ： 16。1二次根式 - 人教版数学八年级下册
专题01 ：2022年人教新版八年级（下册）16.1 二次根式-期末复习专题训练一、选择题（共10小题）1．在下列代数式中，不是二次根式的是（）A．B．C．D．2．若二次根式有意义，则x的取值范围是（）A．x＞B．x≥C．x≤D．x≤53．若二次根式有意义，则x的取值范围为（）A．x＜1B．x＞1C．x≤1D．x≥14．式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）A．x≠1B．x≥1C．x≤1D．x≥﹣15．若式子有意义，那么x的取值范围是（）A．x≥0B．x≠1C．x≥0或x≠1D．x≥0且x≠1 6．二次根式有意义，则x的取值范围是（）A．x≤﹣7B．x≥﹣7C．x＜﹣7D．x＞﹣77．若，则x的取值范围是（）A．﹣3≤x≤3B．x＞3C．x≤3D．﹣3＜x＜38．若x＝﹣3可以使一个二次根式有意义，这个二次根式可以是（）A．B．C．D．9．二次根式有意义时，x的取值范围是（）A．B．x＜C．x＞D．x≥10．若代数式有意义，那么x的取值范围是（）A．x＞2B．x≥1C．x≥1且x≠2D．x≠2二、填空题（共5小题）11．若a、b为实数，且b＝+4，则a+b＝．12．如果y＝，那么x+＝．13．若+在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是．14．中a的取值范围是．15．已知是正整数，则满足条件的n的最小值是．三、解答题（共5小题）16．若y＝2++，求的值．17．已知实数x、y为实数，是否存在实数m满足关系式＝如果存在，求出m的值；如果不存在，说明理由．18．已知y＝++2020，求x2+y﹣3的值．19．（1）已知2a﹣1的平方根是±3，3a+b﹣1的平方根是±4，求a+2b的平方根；（2）若x，y都是实数，且y＝+8，求x+3y的立方根．20．（1）已知x﹣4的平方根为±2，x+2y+7的立方根是3，求x+y的平方根．（2）已知b＝﹣1，求（a﹣b）3．专题01 ：2022年人教新版八年级（下册）16.1 二次根式-期末复习专题训练参考答案与试题解析一、选择题（共10小题）1．在下列代数式中，不是二次根式的是（）A．B．C．D．【解答】解：A、，是二次根式，故此选项不合题意；B、，是二次根式，故此选项不合题意；C、，是二次根式，故此选项不合题意；D、，不是二次根式，故此选项符合题意；故选：D．2．若二次根式有意义，则x的取值范围是（）A．x＞B．x≥C．x≤D．x≤5【解答】解：由题意得，5x﹣1≥0，解得，x≥，故选：B．3．若二次根式有意义，则x的取值范围为（）A．x＜1B．x＞1C．x≤1D．x≥1【解答】解：根据题意，得：1﹣x≥0，解得：x≤1．故选：C．4．式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）A．x≠1B．x≥1C．x≤1D．x≥﹣1【解答】解：由在实数范围内有意义，得1﹣x≥0．解得x≤1，故选：C．5．若式子有意义，那么x的取值范围是（）A．x≥0B．x≠1C．x≥0或x≠1D．x≥0且x≠1【解答】解：若式子有意义，则x≥0，且x﹣1≠0，解得：x≥0且x≠1．故选：D．6．二次根式有意义，则x的取值范围是（）A．x≤﹣7B．x≥﹣7C．x＜﹣7D．x＞﹣7【解答】解：由题意，得x+7≥0，解得x≥﹣7，故选：B．7．若，则x的取值范围是（）A．﹣3≤x≤3B．x＞3C．x≤3D．﹣3＜x＜3【解答】解：∵＝，又∵，∴，解得﹣3≤x≤3．故选：A．8．若x＝﹣3可以使一个二次根式有意义，这个二次根式可以是（）A．B．C．D．【解答】解：（A）1+x≥0，x≥﹣1，故x＝﹣3不能使该二次根式有意义；（B）2x+5≥0，x≥﹣，故x＝﹣3不能使该二次根式有意义；（C）3x﹣4≥0，x≥，故x＝﹣3不能使该二次根式有意义；（D）4﹣x≥0，x≤4，故x＝﹣3能使该二次根式有意义；故选：D．9．二次根式有意义时，x的取值范围是（）A．B．x＜C．x＞D．x≥【解答】解：根据二次根式的意义，被开方数3﹣2x≥0，解得x≤．故选：A．10．若代数式有意义，那么x的取值范围是（）A．x＞2B．x≥1C．x≥1且x≠2D．x≠2【解答】解：由题意得，x﹣1≥0且x﹣2≠0，解得x≥1且x≠1．所以x≥﹣2且x≠2，故选：C．二、填空题（共5小题）11．若a、b为实数，且b＝+4，则a+b＝5或3．【解答】解：由被开方数是非负数，得，解得a＝1，或a＝﹣1，b＝4，当a＝1时，a+b＝1+4＝5，当a＝﹣1时，a+b＝﹣1+4＝3，故答案为：5或3．12．如果y＝，那么x+＝5．【解答】解：由题意得：，解得：x＝3，则y＝，x+＝3+2＝5，故答案为：5．13．若+在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是x≥1且x≠3．【解答】解：由题意得：x﹣1≥0，且x﹣3≠0，解得：x≥1且x≠3，故答案为：x≥1且x≠3．14．中a的取值范围是a≥﹣1且a≠1．【解答】解：由题意，得a+1≥0且a﹣1≠0．解得a≥﹣1且a≠1．故答案是：a≥﹣1且a≠1．15．已知是正整数，则满足条件的n的最小值是2．【解答】解：是正整数，则2n是一个完全平方数，又2n＝2×2＝4，则2n是一个完全平方数，所以n的最小值是2．故答案为：2．三、解答题（共5小题）16．若y＝2++，求的值．【解答】解：∵，∴x＝2，∴y＝，∴＝+．17．已知实数x、y为实数，是否存在实数m满足关系式＝如果存在，求出m的值；如果不存在，说明理由．【解答】解：由题意得：，解得：x+y＝100，∴+＝0，∴，解得：m＝102，∴存在，m的值为102．18．已知y＝++2020，求x2+y﹣3的值．【解答】解：由题意得，x2﹣4≥0，4﹣x2≥0，则x2﹣4＝0，解得，x2＝4，∴y＝2020，则x2+y﹣3＝4+2020﹣3＝2021．19．（1）已知2a﹣1的平方根是±3，3a+b﹣1的平方根是±4，求a+2b的平方根；（2）若x，y都是实数，且y＝+8，求x+3y的立方根．【解答】解：（1）由题意可知：2a﹣1＝9，3a+b﹣1＝16，∴a＝5，b＝2，∴a+2b＝5+4＝9，∴9的平方根是±3，即a+2b的平方根为±3．（2）由题意可知：，∴x＝3，∴y＝8，∴x+3y＝3+24＝27，∴27的立方根是3，即x+3y的立方根是320．（1）已知x﹣4的平方根为±2，x+2y+7的立方根是3，求x+y的平方根．（2）已知b＝﹣1，求（a﹣b）3．【解答】解：（1）∵x﹣4的平方根为±2，∴x﹣4＝4，∴x＝8，∵x+2y+7的立方根是3，∴x+2y+7＝27，∴y＝6，∴x+y＝14的平方根为±；（2）由题意得：，解得：a2＝4，∴a＝±2，∵a﹣2≠0，∴a≠2，∴a＝﹣2，则b＝﹣1，∴（a﹣b）3＝（﹣2+1）3＝﹣1．。
《二次根式》培优试题及答案精编版
《二次根式》提高测试（一）判断题：（每小题1分，共5分）1．ab 2)2(-＝－2ab ．…………………（）【提示】2)2(-＝|－2|＝2．【答案】×．2．3－2的倒数是3＋2．（）【提示】231-＝4323-+＝－（3＋2）．【答案】×．3．2)1(-x ＝2)1(-x ．…（）【提示】2)1(-x ＝|x －1|，2)1(-x ＝x －1（x ≥1）．两式相等，必须x ≥1．但等式左边x 可取任何数．【答案】×． 4．ab 、31b a 3、ba x 2-是同类二次根式．…（ ）【提示】31b a 3、ba x 2-化成最简二次根式后再判断．【答案】√． 5．x 8，31，29x +都不是最简二次根式．（ ）29x +是最简二次根式．【答案】×．（二）填空题：（每小题2分，共20分）6．当x __________时，式子31-x 有意义．【提示】x 何时有意义？x ≥0．分式何时有意义？分母不等于零．【答案】x ≥0且x ≠9． 7．化简－81527102÷31225a ＝_．【答案】－2aa ．【点评】注意除法法则和积的算术平方根性质的运用． 8．a －12-a 的有理化因式是____________．【提示】（a －12-a ）（________）＝a 2－22)1(-a ．a ＋12-a ．【答案】a ＋12-a ． 9．当1＜x ＜4时，|x －4|＋122+-x x ＝________________．【提示】x 2－2x ＋1＝（ ）2，x －1．当1＜x ＜4时，x －4，x －1是正数还是负数？ x －4是负数，x －1是正数．【答案】3．10．方程2（x －1）＝x ＋1的解是____________．【提示】把方程整理成ax ＝b 的形式后，a 、b 分别是多少？12-，12+．【答案】x ＝3＋22．11．已知a 、b 、c 为正数，d 为负数，化简2222d c ab d c ab +-＝______．【提示】22d c ＝|cd |＝－cd ．【答案】ab ＋cd ．【点评】∵ ab ＝2)(ab （ab ＞0），∴ ab －c 2d 2＝（cd ab +）（cd ab -）．12．比较大小：－721_________－341．【提示】27＝28，43＝48．【答案】＜．【点评】先比较28，48的大小，再比较281，481的大小，最后比较－281与－481的大小．13．化简：(7－52)2000·(－7－52)2001＝______________．【提示】(－7－52)2001＝(－7－52)2000·（_________）[－7－52．] （7－52）·（－7－52）＝？[1．]【答案】－7－52．【点评】注意在化简过程中运用幂的运算法则和平方差公式． 14．若1+x ＋3-y ＝0，则(x －1)2＋(y ＋3)2＝____________．【答案】40． 【点评】1+x ≥0，3-y ≥0．当1+x ＋3-y ＝0时，x ＋1＝0，y －3＝0．15．x ，y 分别为8－11的整数部分和小数部分，则2xy －y 2＝____________．【提示】∵ 3＜11＜4，∴_______＜8－11＜__________．[4，5]．由于8－11介于4与5之间，则其整数部分x ＝？小数部分y ＝？[x ＝4，y ＝4－11]【答案】5．【点评】求二次根式的整数部分和小数部分时，先要对无理数进行估算．在明确了二次根式的取值范围后，其整数部分和小数部分就不难确定了． （三）选择题：（每小题3分，共15分）16．已知233x x +＝－x 3+x ，则………………（ ）（A ）x ≤0 （B ）x ≤－3 （C ）x ≥－3 （D ）－3≤x ≤0【答案】D ． 【点评】本题考查积的算术平方根性质成立的条件，（A ）、（C ）不正确是因为只考虑了其中一个算术平方根的意义． 17．若x ＜y ＜0，则222y xy x +-＋222y xy x ++＝………………………（ ）（A ）2x （B ）2y （C ）－2x （D ）－2y 【提示】∵ x ＜y ＜0，∴ x －y ＜0，x ＋y ＜0．∴222y xy x +-＝2)(y x -＝|x －y |＝y －x ．222y xy x ++＝2)(y x +＝|x ＋y |＝－x －y ．【答案】C ． 【点评】本题考查二次根式的性质2a ＝|a |．18．若0＜x ＜1，则4)1(2+-x x －4)1(2-+xx 等于………………………（）（A ）x 2 （B ）－x 2（C ）－2x （D ）2x【提示】(x －x 1)2＋4＝(x ＋x 1)2，(x ＋x 1)2－4＝(x －x 1)2．又∵ 0＜x ＜1，∴ x ＋x 1＞0，x －x1＜0．【答案】D ．【点评】本题考查完全平方公式和二次根式的性质．（A ）不正确是因为用性质时没有注意当0＜x ＜1时，x －x1＜0． 19．化简aa 3-(a ＜0)得………………………………………………………………（）（A ）a - （B ）－a （C ）－a - （D ）a【提示】3a -＝2a a ⋅-＝a -·2a ＝|a |a -＝－a a -．【答案】C ． 20．当a ＜0，b ＜0时，－a ＋2ab －b 可变形为………………………………………（ ）（A ）2)(b a + （B ）－2)(b a - （C ）2)(b a -+- （D ）2)(b a ---【提示】∵ a ＜0，b ＜0，∴ －a ＞0，－b ＞0．并且－a ＝2)(a -，－b ＝2)(b -，ab ＝))((b a --．【答案】C ．【点评】本题考查逆向运用公式2)(a ＝a （a ≥0）和完全平方公式．注意（A ）、（B ）不正确是因为a ＜0，b ＜0时，a 、b 都没有意义． （四）在实数范围内因式分解：（每小题3分，共6分）21．9x 2－5y 2；【提示】用平方差公式分解，并注意到5y 2＝2)5(y ．【答案】（3x ＋5y ）（3x －5y ）．22．4x 4－4x 2＋1．【提示】先用完全平方公式，再用平方差公式分解．【答案】(2x ＋1)2(2x －1)2．（五）计算题：（每小题6分，共24分）23．（235+-）（235--）；【提示】将35-看成一个整体，先用平方差公式，再用完全平方公式．【解】原式＝(35-)2－2)2(＝5－215＋3－2＝6－215．24．1145-－7114-－732+；【提示】先分别分母有理化，再合并同类二次根式．【解】原式＝1116)114(5-+－711)711(4-+－79)73(2--＝4＋11－11－7－3＋7＝1．25．（a 2m n －m ab mn ＋m n nm）÷a 2b 2m n ；【提示】先将除法转化为乘法，再用乘法分配律展开，最后合并同类二次根式． 【解】原式＝（a 2mn－m ab mn ＋m n n m ）·221ba n m＝21bn m m n ⋅－mab 1n m mn ⋅＋22b ma n n m n m ⋅ ＝21b－ab 1＋221b a ＝2221b a ab a +-． 26．（a ＋ba abb +-）÷（b ab a +＋a ab b -－ab b a +）（a ≠b ）．【提示】本题应先将两个括号内的分式分别通分，然后分解因式并约分． 【解】原式＝ba ab b ab a +-++÷))(())(()()(b a b a ab b a b a b a b b b a a a -+-+-+--＝b a ba ++÷))((2222b a b a ab b a b ab b ab a a -++----＝ba b a ++·)())((b a ab b a b a ab +-+-＝－b a +．【点评】本题如果先分母有理化，那么计算较烦琐． （六）求值：（每小题7分，共14分）27．已知x ＝2323-+，y ＝2323+-，求32234232y x y x y x xy x ++-的值．【提示】先将已知条件化简，再将分式化简最后将已知条件代入求值． 【解】∵ x ＝2323-+＝2)23(+＝5＋26，y ＝2323+-＝2)23(-＝5－26．∴x ＋y ＝10，x －y ＝46，xy ＝52－(26)2＝1．32234232y x y x y x xy x ++-＝22)())((y x y x y x y x x +-+＝)(y x xy yx +-＝10164⨯＝652． 【点评】本题将x 、y 化简后，根据解题的需要，先分别求出“x ＋y ”、“x －y ”、“xy ”．从而使求值的过程更简捷． 28．当x ＝1－2时，求2222ax x a x x+-+＋222222ax x x a x x +-+-＋221ax +的值．【提示】注意：x 2＋a 2＝222)(a x +，∴ x 2＋a 2－x22a x +＝22a x +（22a x +－x ），x 2－x22a x +＝－x （22a x +－x ）．【解】原式＝)(2222x a x a x x-++－)(22222x a x x a x x -++-＋221ax +＝)()()2(22222222222x a x a x x x a x x a x x a x x -++-+++-+-＝)()(22222222222222x a x a x x x a x x a x a x x x -++-+++++-=)()(222222222x a x a x x a x x a x -+++-+＝)()(22222222x a x a x x x a x a x -++-++＝x 1．当x ＝1－2时，原式＝211-＝－1－2．【点评】本题如果将前两个“分式”分拆成两个“分式”之差，那么化简会更简便．即原式＝)(2222x a x a x x-++－)(22222x a x x a x x -++-＋221ax +＝)11(2222a x x a x +--+－)11(22x x a x --+＋221a x +＝x1．七、解答题：（每小题8分，共16分）29．计算（25＋1）（211+＋321+＋431+＋…＋100991+）．【提示】先将每个部分分母有理化后，再计算． 【解】原式＝（25＋1）（1212--＋2323--＋3434--＋…＋9910099100--）＝（25＋1）[（12-）＋（23-）＋（34-）＋…＋（99100-）]＝（25＋1）（1100-）＝9（25＋1）．【点评】本题第二个括号内有99个不同分母，不可能通分．这里采用的是先分母有理化，将分母化为整数，从而使每一项转化成两数之差，然后逐项相消．这种方法也叫做裂项相消法． 30．若x ，y 为实数，且y ＝x 41-＋14-x ＋21．求xy y x ++2－xyy x +-2的值．【提示】要使y 有意义，必须满足什么条件？].014041[⎩⎨⎧≥-≥-x x 你能求出x ，y 的值吗？].2141[⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==y x 【解】要使y 有意义，必须⎩⎨⎧≥-≥-014041[x x ，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤.4141x x ∴ x ＝41．当x ＝41时，y ＝21．又∵x y y x ++2－xyy x +-2＝2)(x y y x +－2)(xy y x - ＝|xy yx +|－|x y y x -|∵ x ＝41，y ＝21，∴yx＜xy ．∴ 原式＝x y y x +－y x xy+＝2yx 当x ＝41，y ＝21时，原式＝22141＝2．【点评】解本题的关键是利用二次根式的意义求出x 的值，进而求出y 的值．。
最新人教版八年级下册数学培优训练第十六章二次根式第一节第一课时 二次根式的定义
5．【教材P3练习T2变式】【2021·襄阳】若二次根式 在实数范围内有意义，则x的取值范围是( A ) A．x≥－3 B．x≥3 C．x≤－3 D．x＞－3
x＋3
新知基本功
6．【2021·绥化】若式子 xx＋0 1在实数范围内有意义，则x的 取值范围是( C )
A．x＞－1 B．x≥－1且x≠0
∴y＝2
024.∴xy＝22
024 023.
素质一练通 (1)若x，y为实数，且y> x－3＋ 3－x＋2，化简：|1y－－1y|；
解：由x3－ －3x≥ ≥00， ，得 x＝3， ∴y>2.∴|1y－－1y|＝yy－－11＝1.
素质一练通 (2)已知x，y是等腰三角形的两条边长，且x，y满足y＝4＋
人教版 八年级下
第十六章 二次根式
16.1 二次根式 第1课时 二次根式的定义
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1 (1) 2C
(2)a≥0
3 见习题 算术平方根；非负
4 数；a≥0
5A
6C 7 见习题 8 算术；≥；≥ 9A 10 B
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10．【中考·宿迁】若实数m，n满足等式|m－2|＋ n－4 ＝ 0，且m，n恰好是等腰三角形ABC的两条边的长，则 △ABC的周长是( B )
A．12 B．10 C．8 D．6 【点拨】根据|m－2|＋ n－4 ＝0得m＝2，n＝4，再根 据三角形三边关系得：三角形三边长分别为4，4，2， 故周长为10.
新知基本功
2．下列各式中不·是·二次根式的是( C )
A. x2＋1
B. 0
C. －2
人教版初中数学培优系列八年级下册之第16章二次根式题目和详解(40题)
人教版初中数学培优系列八年级下册之第16章二次根式题目和详解（40题）重要说明：1、本资料系本人多年教学经验的总结，力求每一道题目代表一种题型或一种思维，力求穷尽本章所有相关知识的培优，内容主要立足于课程标准，少部分奥赛内容，掌握此培优系列内容则中考无忧，同时具备参加重点高中学校的自主招生考试的能力。
2、本资料仅供优生（百分制下得分80分以上学生）使用，其余学生不得使用，每道题目后面附有详细解答及点评，学生至少做两遍资料方能理解其中真谛和得到能力提升。
3、本资料主要根据人教版教材编写，其它版本的教材都是在国家同一个课程标准下编写的，只是编排顺序不同，因此该内容也适用于其它版本的教材的对应章节。
4、编者简介:杨小云，男，1998年任教至今。
初中一线数学和物理教师，同时一直担任班主任，有丰富的教学经验和教学资源。
编有《人教版初中数学培优系列》和《人教版初中物理培优系列》，值得你收藏并推荐给好友。
一．选择题（共15小题）1．实数a、b在数轴上的位置如图：则化简|a﹣b|+的结果是（）A．2a﹣b B．b C．﹣b D．﹣2a+b2．若ab＜0，则代数式可化简为（）A．a B．a C．﹣a D．﹣a3．若m＜0，n＞0，把代数式m中的m移进根号内结果是（）A．B．C．﹣D．||4．化简的正确结果是（）A．（m﹣5）B．（5﹣m）C．m﹣5D．5﹣m5．若m﹣=1，则m的取值范围是（）A．m＞1 B．m＜1 C．m≥1 D．m≤16．若0＜a＜1，，则代数式的值为（）A．±2 B．﹣2 C．±4 D．47．如图，数轴上A、B两点表示的数分别为1和，点B关于点A的对称点为点C，则点C所表示的数是（）A．﹣1 B．1﹣C．2﹣D．﹣28．已知，则=（）A．B．﹣y C．y D．﹣y9．如果一个三角形的三边长分别为1，k，3，则化简的结果是（）A．﹣5 B．1 C．13 D．19﹣4k10．若实数m满足|m﹣4|=|m﹣3|+1，那么下列四个式子中与（m﹣4）相等的是（）A．B．C．D．11．已知a为实数，则代数式的最小值为（）A．0 B．3 C．D．912．若0＜a＜1，则化简的结果是（）A．﹣2a B．2a C．﹣D．13．设等式在实数范围内成立，其中a、x、y是两两不同的实数，则的值是（）A．3 B．C．2 D．14．计算的值为（）A．B．C．D．15．++…+的整数部分是（）A．3 B．5 C．9 D．6二．解答题（共25小题）16．的小数部分为a，的整数部分为b，则（a+b）b2的值是多少.17．已知△ABC的三边a、b、c满足a2+b+=10a+2﹣22，求△ABC的形状．18．先化简，再求值：（+）÷，其中x=2+，y=2﹣．19．化简下列二次根式：（1）若a﹣b=5﹣1，ab=，求代数式（a+1）（b﹣1）的值．（2）已知实数a满足|1992﹣a|+=a，求a﹣19922的值．20．（1）已知a=2+，b=2﹣，求代数式a2b﹣ab2的值．（2）当a=﹣1时，求﹣的值．21．已知a是的小数部分，求的值．22．已知a，b，c为一个三角形的三边长，化简+﹣|b﹣c﹣a|+．23．化简．（1）m＜﹣3时，（2）﹣3≤m≤2时，（3）m＞2 时．24．根据如图所示的2个直角三角形，化简代数式：|m﹣n|﹣﹣|m﹣1|．25．先阅读下面的解题过程，再回答后面的问题：如果和在二次根式的加减运算中可以合并成一项，求m、n的值．解：因为与可以合并所以即解得问：（1）以上解是否正确？答．（2）若以上解法不正确，请给出正确解法．26．自习课上，张玉看见同桌刘敏在练习本上写的题目是“求二次根式中实数a的取值范围”，她告诉刘敏说：你把题目抄错了，不是“”，而是“”，刘敏说：哎呀，真抄错了，好在不影响结果，反正a和a﹣3都在根号内．试问：刘敏说得对吗？就是说，按照解题和按照解题的结果一样吗？27．阅读下列材料：====+====﹣根据上面的解题方法化简：①②．28．阅读下面的材料，并解答问题：===1，===﹣，===﹣，===﹣…（1）若n为正整数，用含n的等式表示你探索的规律；（2）利用你探索的规律计算：+++…+．29．如果记y==f（x），则f（）表示当x=时，y的值，即f（）==；f（）表示当x=时，y的值，即f（）==…求f（）+f（）+f（）+f（）+f（）+…+f（）+f（）的值．30．观察下列各式及其验证过程：①2=；②3=•；③4=；…第①、②的验证：2；3•（1）根据上面的结论和验证过程，猜想5的结果并写出验证过程；（2）根据对上述各式规律，直接写出第n个等式（不要验证）．31．在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：，，还可以用一下方法化简：=（四）以上这种化简的方法叫做分母有理化．（1）请化简=．（2）若a是的小数部分则=．（3）矩形的面积为3+1，一边长为﹣2，则它的周长为．（4）化简+++…+．32．若实数x，y满足（x﹣）（y﹣）=2016．（1）求x，y之间的数量关系；（2）求3x2﹣2y2+3x﹣3y﹣2017的值．33．计算：．34．阅读下面的解答过程，然后作答：有这样一类题目：将化简，若你能找到两个数m和n，使m2+n2=a 且mn=，则a+2可变为m2+n2+2mn，即变成（m+n）2，从而使得化简．例如：∵5+2=3+2+2=（）2+（）2+2=（+）2∴==+请你仿照上例将下列各式化简（1）（2）．35．开放创新：一只乌鸦想喝到瓶子里的水，可是瓶子很高，口又小，里面的水也不多，怎么办？它把旁边的小石子一个又一个地衔起来，放到瓶子里，水面慢慢升高了，乌鸦喝到了水．这个故事同学们一定都知道，但对我们解数学题的有益启示却未必知道．如果题目所提供的信息少，难以入手，或按常规方法来解比较繁难，这时我们不妨向乌鸦学习，借些“石子”来帮我们解题．请看下面的例题：化简：．解析：此题对我们来说难度很大，好象无能为力，其实化简此式，可借方程为“石子”，设=x．①因为＞0，将①两边平方，得，即x2=2．所以原式=．在平时的学习中你是否用到过此方法来解决数学中的问题呢？请举一例．36．小明在解决问题：已知a=，求2a2﹣8a+1的值，他是这样分析与解答的：∵a===2﹣，∴a﹣2=﹣，∴（a﹣2）2=3，a2﹣4a+4=3∴a2﹣4a=﹣1．∴2a2﹣8a+1=2（a2﹣4a）+1=2（﹣1）+1=﹣1．请你根据小明的分析过程，解决如下问题：若a=，求4a2﹣8a﹣3的值．37．观察下列各式：=1+﹣=1；=1+﹣=1；=1+﹣=1，…请你根据以上三个等式提供的信息解答下列问题①猜想：==；②归纳：根据你的观察，猜想，请写出一个用n（n为正整数）表示的等式：；③应用：计算．38．小明在解决问题：已知a=，求2a2﹣8a+1的值他是这样分析与解的：∵a===2﹣，∴a﹣2=﹣，∴（a﹣2）2=3，a2﹣4a+4=3∴a2﹣4a=﹣1，2a2﹣8a+1=2（a2﹣4a）+1=2×（﹣1）+1=﹣1．请你根据小明的分析过程，解决如下问题：（1）化简+++…+（2）若a=，求下面式的值①2a2﹣8a+1；②2a2﹣5a++2．39．阅读下列材料，然后解答问题：在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如：，，一样的式子．其实我们还可以将其进一步化简：==：（一）==：（二）===：（三）以上这种化简的步骤叫做分母有理化．还可以用以下方法化简：====．（四）请解答下列问题：（1）请用不同的方法化简．①参照（三）式得=；②参照（四）式得=；（2）化简：++；（保留过程）（3）猜想：+++…+的值．（直接写出结论）40．斐波那契（约1170﹣1250，意大利数学家）数列是按某种规律排列的一列数，他发现该数列中的每个正整数都可以用无理数的形式表示，如第n（n为正整数）个数a n可表示为[（）n﹣（）n]．（1）计算第一个数a1；（2）计算第二个数a2；（3）证明连续三个数之间a n﹣1，a n，a n+1存在以下关系：a n+1﹣a n=a n﹣1（n≥2）；（4）写出斐波那契数列中的前8个数．人教版初中数学培优系列八年级下册之第16章二次根式题目和详解（40题）参考答案与试题解析一．选择题（共15小题）1．【分析】根据图示，可得：b＜0＜a，据此求出化简|a﹣b|+的结果是多少即可．【解答】解：根据图示，可得：b＜0＜a，∴|a﹣b|+=a﹣b+a=2a﹣b故选：A．【点评】此题主要考查了在数轴上表示数的方法，绝对值、算术平方根的含义和求法，以及数轴的特征：一般来说，当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大，要熟练掌握．2．【分析】二次根式有意义，就隐含条件b＜0，由ab＜0，先判断出a、b的符号，再进行化简即可．【解答】解：若ab＜0，且代数式有意义；故由b＞0，a＜0；则代数式=|a|=﹣a．故选：C．【点评】本题主要考查二次根式的化简方法与运用：当a＞0时，=a；当a＜0时，=﹣a；当a=0时，=0．3．【分析】根据二次根式的性质解答．【解答】解：∵m＜0，∴m=﹣．故选：C．【点评】将根号外的a移到根号内，要注意自身的符号，只有正数平方后可以移到根号里面作因数，是负数的把负号留在根号外，同时注意根号内被开方数的符号．4．【分析】先求出m的取值范围．再把二次根式进行化简即可．【解答】解：∵有意义，∴5﹣m≥0，即m≤5，∴原式=（5﹣m）．故选：B．【点评】本题考查的是二次根式的性质与化简，熟知二次根式具有非负性是解答此题的关键．5．【分析】把式子化为=m﹣1，再根据二次根式的性质得出m﹣1≥0，求出即可．【解答】解：∵m﹣=1，∴=m﹣1，∴m﹣1≥0，∴m≥1，故选：C．【点评】本题考查了二次根式的性质的应用，注意：当a≥0时，=a，当a＜0时，=﹣a．6．【分析】根据a+=6，0＜a＜1，判断出﹣＜0，再把要求的式子进行配方，即可求出答案．【解答】解：∵a+=6，0＜a＜1，∴﹣＜0，则（﹣）2=a﹣2=6﹣2=4，∴﹣=﹣2；故选：B．【点评】此题考查了二次根式的化简求值，关键是根据已知条件判断出﹣＜0，从而得出正确答案．7．【分析】首先根据已知条件可以确定线段AB的长度，然后根据点B、点C关于点A对称即可确定点C所表示的数．【解答】解：设点C所表示的数为x，∵数轴上A、B两点表示的数分别为1和，∴AB=1+，根据题意，得x+=2×1，解得x=2﹣．故选：C．【点评】本题主要考查实数与数轴的对应关系和对称的性质，熟练掌握对称性质是解本题的关键．8．【分析】因为，所以x＜0；可得中，y＜0，根据二次根式的定义解答即可．【解答】解：∵，∴x＜0，又成立，则y＜0，则=﹣y．故选：B．【点评】此题根据二次根式的性质，确定x、y的符号是解题的关键．9．【分析】首先根据三角形的三边关系确定k的取值范围，由此即可求出二次根式的值与绝对值的值，再计算即可解答．【解答】解：∵一个三角形的三边长分别为1，k，3，∴2＜k＜4，又∵4k2﹣36k+81=（2k﹣9）2，∴2k﹣9＜0，2k﹣3＞0，∴原式=7﹣（9﹣2k）﹣（2k﹣3）=1．故选：B．【点评】本题主要考查二次根式的化简、绝对值的化简，熟练掌握化简的方法是解答本题的关键．10．【分析】根据等式可确定m的取值：m≤3，则m﹣4＜0，m﹣3≤0，可知m﹣4是负数，化简时，负号留下，所以结果为负数．【解答】解：由|m﹣4|=|m﹣3|+1得，m≤3，∴m﹣4＜0，m﹣3≤0，∴（m﹣4）=﹣=﹣．故选：D．【点评】考查了二次根式的性质与化简，关键是由等式可确定m的取值m≤3．11．【分析】把被开方数用配方法整理，根据非负数的意义求二次根式的最小值．【解答】解：∵原式===∴当（a﹣3）2=0，即a=3时代数式的值最小，为即3故选：B．【点评】用配方法对多项式变形，根据非负数的意义解题，是常用的方法，需要灵活掌握．12．【分析】首先将两个根式的被开方数化为完全平方式，再根据a的取值范围，判断出底数的符号，然后根据二次根式的意义化简．【解答】解：∵（a﹣）2+4=a2+2+=（a+）2，（a+）2﹣4=a2﹣2+=（a﹣）2，∴原式=+；∵0＜a＜1，∴a+＞0，a﹣=＜0；∴原式=+=a+﹣（a﹣）=，故选D．【点评】能够熟练运用完全平方公式对被开方数进行变形，是解答此题的关键．13．【分析】根据根号下的数要是非负数，得到a（x﹣a）≥0，a（y﹣a）≥0，x﹣a≥0，a ﹣y≥0，推出a≥0，a≤0，得到a=0，代入即可求出y=﹣x，把y=﹣x代入原式即可求出答案．【解答】解：由于根号下的数要是非负数，∴a（x﹣a）≥0，a（y﹣a）≥0，x﹣a≥0，a﹣y≥0，a（x﹣a）≥0和x﹣a≥0可以得到a≥0，a（y﹣a）≥0和a﹣y≥0可以得到a≤0，所以a只能等于0，代入等式得﹣=0，所以有x=﹣y，即：y=﹣x，由于x，y，a是两两不同的实数，∴x＞0，y＜0．将x=﹣y代入原式得：原式==．故选：B．【点评】本题主要考查对二次根式的化简，算术平方根的非负性，分式的加减、乘除等知识点的理解和掌握，根据算术平方根的非负性求出a、x、y的值和代入求分式的值是解此题的关键．14．【分析】需将被开方数变形为完全平方式，完成化简后再进行计算．【解答】解：原式=+=2=3．故选A．【点评】主要考查了二次根式的化简．将被开方数变形为完全平方式，是解题的关键．15．【分析】这是一比较繁琐的有关于二次根式的加减法，针对这样的题型，可以先分母有理化，再寻找抵消规律．【解答】解：原式=+…+=++…+=++…+=++…+=﹣1=﹣1+10=9．故选C．【点评】关于分母中有二次根式的加减法，在解答时，要先分母有理化后，再找抵消规律，这样可以降低难度．二．解答题（共25小题）16．【分析】先利用“夹逼法”求出与的范围，得出a=﹣1，b=2，再代入（a+b）b2，计算求出即可．【解答】解：∵1＜＜2，2＜＜3，∴a=﹣1，b=2，∴（a+b）b2=（﹣1+2）×22=（+1）×4=4+4．故答案为：4+4．【点评】本题考查了估算无理数的大小和实数的运算，解此题的关键是求出a、b的值，题目具有一定的代表性，难度也适中．17．【分析】由于a2+b+|﹣2|=10a+2，等式可以变形为a2﹣10a+25+b﹣4﹣2+1+|﹣2|=0，然后根据非负数的和是0，这几个非负数就都是0，就可以求解．【解答】解：∵a2+b+|﹣2|=10a+2，∴a2﹣10a+25+b﹣4﹣2+1+|﹣2|=0，即（a﹣5）2+（﹣1）2+|﹣2|=0，根据几个非负数的和为0，则这几个非负数同时为0，得a=5，b=5，c=5．故该三角形是等边三角形．故答案为：等边三角形．【点评】本题主要考查了非负数的性质，难度适中，解题时利用了：几个非负数的和为0，则这几个非负数同时为0．注意此题中的变形要充分运用完全平方公式．18．【分析】先利用完全平方公式、分母有理化和把除法运算化为乘法运算得到原式=[+]•，约分后通分得到原式=（+）••，再进行约分得到原式=，接着分别计算出x﹣y=2，xy=1，然后利用整体代入的方法计算．【解答】解：原式=[+]•=（++）•=（+）••=，∵x=2+，y=2﹣，∴x﹣y=2，xy=1，∴原式==．【点评】本题考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．二次根式运算的最后，注意结果要化到最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分，避免互相干扰．19．【分析】（1）先利用多项式乘法把（a+1）（b﹣1）展开，整理得到ab﹣（a﹣b）﹣1，然后利用整体代入的方法计算；（2）先根据二次根式有意义的条件得到a≥1993，再把已知条件去绝对值得到a﹣1992+=a，则=1992，然后两边平方即可得到•a﹣19922的值．【解答】解：（1）（a+1）（b﹣1）=ab﹣a+b﹣1=ab﹣（a﹣b）﹣1，∵a﹣b=5﹣1，ab=，∴原式=﹣（5﹣1）﹣1=﹣5+1﹣1=﹣4；（2）∵a﹣1993≥0，即a≥1993，∴a﹣1992+=a，∴=1992，∴a﹣1993=19922，∴a﹣19922=1993．【点评】本题考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．二次根式运算的最后，注意结果要化到最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分，避免互相干扰．20．【分析】（1）先对所求的代数式进行因式分解，然后代入求值；（2）先化简二次根式，然后代入求值．【解答】解：（1）a2b﹣ab2=ab（a﹣b）=（2+）（2﹣）（2+﹣2+）=[22﹣（）2]×2=（4﹣3）×2=2；（2）﹣=|a﹣1|﹣|1+2a|=|﹣1﹣1|﹣|1+2﹣2|=2﹣﹣2+1=3﹣3．【点评】本题考查了二次根式的化简求值．二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．21．【分析】应用二次根式的化简，注意被开方数的范围，再进行加减运算，得出结果．【解答】解：∵的整数部分是1，∴a=﹣1，则=|a﹣|∵a=﹣1，∴a﹣＜0∴原式=﹣a=﹣（﹣1）=2．【点评】本题主要考查二次根式的化简方法与运用：a＞0时，=a；a＜0时，=﹣a；a=0时，=0．22．【分析】根据三角形的三边关系定理得到a+b＞c，a+c＞b，b+c＞a，根据二次根式的性质和绝对值的性质化简、合并同类项即可．【解答】解：∵a，b，c为一个三角形的三边长，∴a+b＞c，a+c＞b，b+c＞a，∴+﹣|b﹣c﹣a|+=a+b+c+a+b﹣c﹣a﹣c+b+b+c﹣a=4b．【点评】本题考查的是二次根式的化简，掌握二次根式的性质=|a|、三角形的三边关系定理是解题的关键．23．【分析】可先利用二次根式的性质把所给代数式化为|m﹣2|+|m+3|，再分别根据所给的m的取值范围去掉绝对值号进行合并即可．【解答】解：∵=+=|m﹣2|+|m+3|，（1）当m＜﹣3时，则m﹣2＜0，m+3＜0，∴原式=﹣（m﹣2）﹣（m+3）=﹣m+2﹣m﹣3=﹣2m﹣1；（2）当﹣3≤m≤2时，则m﹣2≤0，m+3≥0，∴原式=﹣（m﹣2）+（m+3）=﹣m+2+m+3=5；（3）当m＞2时，则m﹣2＞0，m+3＞0，∴原式=m﹣2+m+3=2m+1．【点评】本题主要考查二次函数的性质与化简，掌握二次根式的性质是解题的关键，即=|a|．24．【分析】根据直角三角形的斜边比直角边大得出m＞3，n＜2，再根据绝对值和二次根式的性质得出m﹣n﹣（2﹣n）﹣（m﹣1），去掉括号合并即可．【解答】解：根据两个直角三角形可知：m＞3，n＜2，则m＞n，所以|m﹣n|﹣﹣|m﹣1|=m﹣n﹣（2﹣n）﹣（m﹣1）=m﹣n﹣2+n﹣m+1=﹣1．【点评】本题考查了绝对值，直角三角形的性质，二次根式的性质的应用，解此题的关键是能推出原式=m﹣n﹣（2﹣n）﹣（m﹣1），难度不是很大．25．【分析】（1）要知道，同类二次根式是化简后被开方数相同，故要分两种情况讨论．（2）分两种情况讨论：被开方数相同和化简后被开方数相同．【解答】解：（1）不正确；（2）∵与可以合并，∴或，解得或．故答案为：不正确．【点评】本题考查同类二次根式的概念，同类二次根式是化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式称为同类二次根式．26．【分析】本题需注意的是，被开方数为非负数，按计算，则a和a﹣3可为同号的两个数，即同为正，或同为负；而按计算，只有同为正的情况．【解答】解：刘敏说得不对，结果不一样．按计算，则a≥0，a﹣3＞0或a≤0，a﹣3＜0解之得，a＞3或a≤0；而按计算，则只有a≥0，a﹣3＞0解之得，a＞3．【点评】二次根式的被开方数是非负数，分母不为0，是本题确定取值范围的主要依据．27．【分析】根据材料将被开方数变形为两个数的和的平方的形式然后开方即可．【解答】解：①====；②====．【点评】本题主要考查的是二次根式的化简、完全平方公式的应用，将被开方数变形为完全平方的形式是解题的关键．28．【分析】（1）根据条件可得规律：=﹣；（2）利用探索的规律，先将每一项写成两个二次根式的差的形式，再去括号、合并同类二次根式即可．【解答】解：（1）由题意可知规律为：=﹣；（2）+++…+=（1）+（﹣）+（﹣）+…+（﹣）=1﹣=．【点评】本题考查了分母有理化，二次根式的计算，根据条件得出规律：=﹣是解题的关键．29．【分析】根据f（x）+f（）=+==1，原式结合后，计算即可得到结果．【解答】解：∵f（x）+f（）=+==1，∴原式=f（）+[f（）+f（）]+…+[f（）+f（）]=+1+1…+1=99．【点评】此题考查了二次根式的化简求值，根据题意得出规律f（x）+f（）=1是解本题的关键．30．【分析】（1）根据已知中二次根式的化简即可得出答案．（2）利用（1）中计算结果，即可得出二次根式的变化规律，进而得出答案即可．【解答】解：（1）5=．5=，=，=，=，=；（2）n=（n为正整数，n≥2）．【点评】此题主要考查了数字变化规律，根据已知得出根式内外变化规律是解题关键．31．【分析】（1）分子、分母同乘以最简有理化因式，化简即可；（2）由题意可得a=﹣1，代入分母有理化即可．（3）首先求另一边长为：，化简再按矩形的周长公式解答；（4）把各加数分母有理化，再加减即可．【解答】解：（1）=，故答案为：；（2）∵，a是的小数部分，∴a=﹣1，∴．故答案为：3+3；（3）另一边长为：=，周长为：2（17+7﹣2）=30+16，故答案为：30+16；（4）+++…+=+…+==．【点评】此题考查分母有理化，分母有理化是化简二次根式的一种重要方法．分母有理化时，应结合题目的具体特点，选择适当的方法．32．【分析】（1）将式子变形后，再分母有理化得①式：x﹣=y+，同理得②式：x+=y﹣，将两式相加可得结论；（2）将x=y代入原式或①式得：x2=2016，代入所求式子即可．【解答】解：（1）∵（x﹣）（y﹣）=2016，∴x﹣===y+①，同理得：x+=y﹣②，①+②得：2x=2y，∴x=y，（2）把x=y代入①得：x﹣=x+，x2=2016，则3x2﹣2y2+3x﹣3y﹣2017，=3x2﹣2x2+3x﹣3x﹣2017，=x2﹣2017，=2016﹣2017，=﹣1．【点评】本题是二次根式的化简和求值，有难度，考查了二次根式的性质和分母有理化；二次根式中分母中含有根式时常运用分母有理化来解决，分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母组成平方差公式．本题利用巧解将已知式变成两式，相加后得出结论．33．【分析】把98×99×100×101+1化为98992，再求解即可．【解答】解：98×99×100×101+1=98×（98+1）×（98+2）×（98+3）+1=[98×（98+3）]×[（98+1）×（98+2）]+1=（982+3×98）×[（982+3×98）+2]+1=（982+3×98）2+2×（982+3×98）+1，=[（982+3×98）+1]2=[98×（98+2）+98+1]2=（98×100+99）2=98992所以=×9899=4949.5．【点评】本题主要考查了二次根式的化简与求值，解题的关键是把98×99×100×101+1化为完全平方的形式．34．【分析】（1）利用完全平方公式把4+2化为（1+）2，然后利用二次根式的性质化简即可．（2）利用完全平方公式把7﹣2化为（﹣）2然后利用二次根式的性质化简即可．【解答】解：（1）∵4+2=1+3+2=12++2=（1+）2，∴==1+；（2）===﹣．【点评】本题主要考查了二次根式的性质与化简，解题的关键是熟记掌握完全平方公式．35．【分析】本题的算式为复合二次根式，设算式的结果为x，利用平方法去掉外面的根号，再合并，开平方即可．注意结果的符号．【解答】例：化简+；解：设+=x，两边平方，得7+4+2•+7﹣4=x2，即x2=16，∵+＞0∴x=4．【点评】运用平方法可解决计算复合二次根式的计算问题，这样可使运算简便．36．【分析】根据平方差公式，可分母有理化，根据整体代入，可得答案．【解答】解：a===+1，（a﹣1）2=2，a2﹣2a+1=2，a2﹣2a=1．4a2﹣8a﹣3=4（a2﹣2a）﹣3=4×1﹣3=1，4a2﹣8a﹣3的值是1．【点评】本题考查了分母有理化的应用，能求出a的值和正确变形是解此题的关键．37．【分析】①直接利用利用已知条件才想得出答案；②直接利用已知条件规律用n（n为正整数）表示的等式即可；③利用发现的规律将原式变形得出答案．【解答】解：①猜想：=1+﹣=1；故答案为：1+﹣，1；②归纳：根据你的观察，猜想，写出一个用n（n为正整数）表示的等式：=1+﹣=；③应用：===1+﹣=1．【点评】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确发现数字变化规律是解题关键．38．【分析】（1）将原式分母有理化即可；（2）将a分母有理化，化简为+1，代入①，②进行运算即可．【解答】解：（1）原式=×（+﹣+﹣+…+﹣）=×（﹣1）=×10=5；（2）①∵a==1，∴2a2﹣8a+1=2×（1）2﹣8×（+1）+1=﹣4﹣1；②2a2﹣5a++2=2×（+1）2﹣5（1）+2=2．【点评】本题主要考查了分母有理化，利用分母有理化化简是解答此题的关键．39．【分析】根据分母有理化，可得答案．【解答】解：（1）式得=﹣3；②参照（四）式得===﹣；（2）化简：++=﹣1+﹣+﹣=﹣1；（3）猜想：+++…+=（﹣1）．【点评】本题考查了分母有理化，利用平方差公式是解题关键．40．【分析】（1）（2）代入计算即可求解；﹣a n=a n﹣1（n≥2）；（3）根据乘法分配律即可证明：a n+1（4）根据（3）的关系可求斐波那契数列中的前8个数．【解答】解：（1）a1=[（）﹣（）]=×=1；（2）a2=[（）2﹣（）2]=×=1；（3）证明：a n﹣a n=[（）n+1﹣（）n+1]﹣[（）n﹣（）n]+1=[（）n+1﹣（）n]﹣[（）n+1﹣（）n]=[（）n（﹣1）]﹣[（）n（﹣1）]=[（）n（）]﹣[（）n（﹣）]=[（）n﹣1﹣（）n﹣1]；（4）斐波那契数列中的前8个数是1，1，2，3，5，8，13，21．【点评】此题考查了二次根式的应用，关键是熟悉斐波那契数列的规律．。
专题01 二次根式重难点题型分类(解析版)八年级数学下册重难点题型分类高分必刷题(人教版)
专题01二次根式重难点题型分类-高分必刷题（解析版）专题简介：本份资料包含《二次根式》这一章的四类重要题型，所选题目源自各名校期中、期末试题中的典型考题，具体包含四类题型：二次根式的双重非负性、二次根式的乘除、最简二次根式、二次根式的混合运算。
适合于培训机构的老师给学生作复习培训时使用或者学生考前刷题时使用。
题型一二次根式的双重非负性第一层非负性：被开方数0≥1．（2022春·a 的取值范围是（）A ．a ≥-1B ．a ≠2C ．a ≥-1且a ≠2D ．a ＞2【详解】解：由题意得，a 10,a 2+≥≠，解得，a ≥-1且a ≠2，故答案为：C.2．（2019·1有意义时，x 应满足的条件是______.3.（青竹湖）函数x x y 2-=中，自变量x 的取值范围是.【解答】解：根据题意得，x ﹣2≥0且x ≠0，解得x ≥2且x ≠0，所以，自变量x 的取值范围是x ≥2．4．（2022秋·山东济南）若a ，b 都是实数，b ﹣2，则a b的值为_____．5.（雅礼）已知实数x 、y 满足0115=-+-y x ，则以x 、y 的值为两边长的等腰三角形的周长是.【解答】解：根据题意得，x ﹣5＝0，y ﹣11＝0，解得x ＝5，y ＝11，①5是腰长时，三角形的三边分别为5、5、11，不能组成三角形．②5是底边时，三角形的三边分别为5、11、11，能组成三角形，5+11+11＝27；所以，三角形的周长为：27；故答案为27．第二层非负性：二次根式的计算结果为非负数,0,0a a a a a ≥⎧⇒==⎨-<⎩6．（2022春·21a -，那么（）A ．12a <B ．12a ≤C ．12a >D ．12a ≥7．（2018·广东广州）如图，数轴上点A 表示的数为a ，化简：a=_____．8．（2021·湖南娄底）2,5,m ）A ．210m -B ．102m -C ．10D ．49．（2020·四川攀枝花）实数a 、b +-（）．A ．2-B ．0C ．2a -D ．2b10．（2021春·山东淄博）已知实数a ，b ，c 在数轴上的位置如图所示，化简：||a【详解】由数轴，得a<0，0a c +<，0c a -<，0b >.则原式()a a c c a b a b =-++---=-.11．（2021春·全国）探究题：＝_，＝，＝，＝，＝，＝，根据计算结果，回答：（1a吗？你发现其中的规律了吗？请你用自己的语言描述出来．（2）利用你总结的规律，计算：①若x＜2＝；＝；（3）若a，b，c题型二二次根式的乘除12．（2021春·=____．14．（2022春·=____．_____．15．（2022春·16．（2023春·（）B C D．A19.（2021秋·八年级课时练习）计算:-⋅；（1(-，（2(15)(20．（2022秋·八年级课时练习）计算:21．（2021秋·上海虹口）计算：（1(；（2）0,0)a b ÷>>题型三最简二次根式22．（2022春·天津）下列二次根式中，最简二次根式是（）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个不是最简二次根式，不符合题意，综上，是最简二次根式的有24．（2022秋·a的值是（）A．2B．3C．4D．5m=__________．25．（2020秋·题型四二次根式的混合运算26．（2021春·全国）计算:（1）1|3|-+---（2）27．（2021春·新疆乌鲁木齐）计算：28．（2021春·全国）(1)﹣529．（2022秋·陕西西安）已知a ＝2b ＝2（1）a 2﹣3ab ＋b 2；（2）（a ＋1）（b ＋1）．30．（2021秋·上海）已知3x =+求：2267x x x x ++++的值．31.（雅实）已知a =b =,求值：（1）a b +；（2）22a b ab +.【解答】解：（1）原式=222(a b)212;a b ab ab ab++-==（2）原式=(a b)2ab +=⨯=32.（广益）先化简，再求值：322222222a b a b a ab a ab b a b +-÷++-，其中2a =-2b =+。