电通量
电通量
E E
S
σ
∫∫ E ⋅ d S = ε
S
1
i 0 （闭合曲面内）
∑q
σS 2 ES = ε0
σ E= 2ε 0
σ E= 2ε 0
+σ
E E E
−σ
E
无限大带电平面的电场叠加问题
+σ
+σ
+σ
−σ
σ ε0
0
σ ε0
0
σ ε0
0
例3．求无限长均匀带电圆柱面的场强分布，已知：R， ．求无限长均匀带电圆柱面的场强分布，已知： ， σ
λ 8*、无限长均匀带电直 线？ E ≅ 8*、 2πε0 x
电 均匀 球 无限 无限长圆 、圆 体 、球体 球 圆 圆
σ ？E = 2ε 0
例 电荷体密度 ρ 半径为 R1 ,
R2
+ρ
r 1
r2
−ρ
重叠区域的电场。 求 重叠区域的电场。 解
4 3 πr ρ ⌢ 1 E1 = 3 r 2 1 4πε0r 1
Φe = ∫ E • ds = ∫ E cos 00 ds
s
=∫
s
q 4πε0r
q
2
2
ds
q
0
r
=
4πε0r
∫ ds = ε
⊕
q
ds
n
S
2. q位于任意曲面 位于任意曲面
∆N = Φs′ = Φs =
S′内
q
S′
ε0
3、多个点电荷的电通量等于它们 、 单独存在时的电通量的代数和。 单独存在时的电通量的代数和。
高 斯
q1
S
q2
电场强度和电通量的关系
电场强度和电通量的关系电场强度和电通量就像是电世界里的两位好伙伴，它们之间的关系可有趣啦。
电场强度呢，就像是一个超级英雄的力量值。
想象一下，电场强度是个肌肉发达的家伙，在电场的领域里耀武扬威。
它决定了电场对电荷施加力的大小，就像超级英雄能对小怪兽施加多大的打击力量一样。
如果电场强度很大，那就是超级英雄使出了全力，电荷在它的影响下只能乖乖听话，快速移动。
而电通量呢，它就像是这个超级英雄的影响力范围。
比如说，电场强度是超级英雄一拳的力量，电通量就是这一拳能影响到的整个空间范围。
电通量就像是超级英雄力量所波及的区域，是一种更宏观的概念。
你可以把电场想象成一个巨大的魔法场，电场强度就是这个魔法场里魔法力量的浓度。
而电通量就像是这个魔法场散发出去的魔力总量。
如果电场强度这个魔法力量浓度高，那在一定面积内的电通量这个魔力总量也就会比较大，就好像一个魔法力量超强的魔法阵，它能覆盖的魔力总量肯定也很惊人。
假如把电场比作是一场暴风雨，电场强度就是雨滴的冲击力。
雨滴砸得越狠，就代表电场强度越大。
电通量呢？那就是这场暴风雨能淋湿的整个区域的面积。
冲击力大的雨滴，在同样大小的一片区域里，能湿透的程度肯定更大，这就类似电场强度大的时候电通量也大。
再夸张一点，电场强度就像是一个超级吃货的食量，他能吃多少东西代表他的食量大小。
电通量就像是他一顿饭能占据餐桌的面积。
食量超级大的吃货，他吃饭占据的餐桌面积往往也比较大，这就如同电场强度大电通量就大。
有时候电场强度像是火箭的推进力，越强的推进力能把火箭送得越高越快。
电通量就像是火箭推进时所经过的那片广阔的天空范围。
推进力强，经过的天空范围就会被它的力量所覆盖，就像电场强度大电通量就会比较大一样。
这两者的关系就像一对形影不离的好兄弟，在电的世界里相互配合、相互影响。
电场强度是电通量的内在驱动，电通量是电场强度的外在表现。
它们共同构成了电世界里奇妙而又充满魅力的景象，让我们对电的奥秘不断地探索和惊叹。
电场线与电通量计算
电场线与电通量计算电场是物理学中的一个重要概念，它描述了电荷之间相互作用的力场。
在研究电场时，我们经常会遇到两个重要的概念：电场线和电通量。
本文将介绍电场线和电通量的概念以及如何计算它们。
一、电场线电场线是用来描述电场的一种图形表示方法。
在一个电场中，电荷会受到电场力的作用而运动。
电场线是一条曲线，它的切线方向表示该点的电场强度方向，而曲线的稀密程度则表示电场强度的大小。
电场线的密度越大，表示电场强度越大。
在计算电场线时，我们可以利用库仑定律来确定电场的强度和方向。
库仑定律描述了两个电荷之间的相互作用力，它的公式为：F = k * q1 * q2 / r^2其中，F表示两个电荷之间的相互作用力，k是库仑常数，q1和q2分别是两个电荷的电荷量，r是两个电荷之间的距离。
根据库仑定律，我们可以计算出电场的强度和方向。
在一个电场中，如果有多个电荷，我们可以将它们的电场线叠加在一起，形成一个整体的电场线分布图。
二、电通量电通量是描述电场通过一个闭合曲面的量。
在一个电场中，电场线是从正电荷流向负电荷的，因此电场线是从一个电荷流出，经过空间，再流入另一个电荷。
电通量是用来描述这个过程的。
电通量的计算公式为：Φ = E * A * cosθ其中，Φ表示电通量，E表示电场的强度，A表示闭合曲面的面积，θ表示电场线和曲面法向量之间的夹角。
根据电通量的定义，我们可以看出，当电场线垂直于曲面时，电通量最大；当电场线与曲面平行时，电通量为零。
通过计算电通量，我们可以了解电场线在一个闭合曲面上的分布情况。
三、电场线与电通量的计算为了更好地理解电场线和电通量的计算，我们可以通过一个简单的例子来说明。
假设有两个点电荷，一个带正电荷q1，另一个带负电荷q2。
我们想要计算它们产生的电场线和电通量。
首先，我们可以根据库仑定律计算出两个点电荷之间的电场强度和方向。
然后，我们可以将两个点电荷的电场线叠加在一起，形成一个整体的电场线分布图。
电通量,高斯定理
电通量、高斯定理1、均匀电场的场强E与半径为R 的半球面的轴线平行，则通过半球面的电场强度通量φ = πR 2E ，若在半球面的球心处再放置点电荷q ，q不改变E分布，则通过半球面的电场强度通量 φ =πR 2E ±q/2ε0。
2、真空中的高斯定理的数学表达式为∑⎰=⋅0/εq s d E i s ，其物理意义是静电场是有源场。
3、一点电荷q 位于一位立方体中心，立方体边长为a ，则通过立方体每个表面的E的通量是q/6ε0；若把这电荷移到立方体的一个顶角上，这时通过电荷所在顶角的三个面E的通量是 0 ，通过立方体另外三个面的E的通量是 q/8ε0。
4、两个无限大均匀带正电的平行平面，电荷面密度分别为σ1和σ2，且σ1＞σ2，则两平面间电场强度的大小是( C )(A)(B) (C)(D) 5、应用高斯定理求场强E时，要求E的分布具有对称性，对于没有对称性的电场分布，例如电偶极子产生的电场，高斯定理就不再成立，你认为这种说法：( B )(A)正确 (B)错误 (C)无法判断6、下述带电体系的场强分布可能用高斯定理来计算的是( D )(A)均匀带电圆板 (B)有限长均匀带电棒 (C)电偶极子 (D)带电介质球(电荷体密度是离球心距离r 的函数) 7、如果在静电场中所作的封闭曲面内没有净电荷，则( C )(A)封闭面上的电通量一定为零，场强也一定为零；()0212/εσσ+()021/εσσ+()0212/εσσ-()021/εσσ-(B)封闭面上的电通量不一定为零，场强则一定为零；(C)封闭面上的电通量一定为零；场强不一定为零；(D)封闭面上的电通量不一定为零；场强不一定为零。
8、无限长均匀带电圆柱体，电荷体密度为ρ，半径为R，求柱体内外的场强分布解：作一半径为r，高为h的同轴圆柱面为高斯面根据对称性分析，圆柱面侧面上任一点的场强大小相等，方向沿矢径方向⎰⎰⎰⎰⋅+⋅+⋅=⋅侧面下底上底s dEs dEs dEs dEs=⎰⋅侧面s dE=E⎰侧面ds=2rhEπ（1）r < R时, ∑=ρπhrqi2,2/2ερππhrrhE=,2ερrE=（2）r > R时, ∑=ρπhRqi2,2/2ερππhRrhE=,rRE22ερ=∴=E)(,2)(,22RrrRRrr><ερερ。
电通量高斯定理
5
三、高斯定理
1、真空中的高斯定理
穿过任一闭合曲面的电通量 等于该 曲面内所包围的所有电荷的代数和除以 ，而与闭合面外的电荷无关。
∑qi 是曲面S 内的电荷的代数和，这里的E是总电场(电 力线穿过曲面处的电场）、是S面内外所有电荷共同产生的 电场。
通过整个闭合球面S的电通量
e
d
s
e
qds
s 4 0r 2
q
4 0r 2
ds q
s
0
7
2）任意闭合曲面S／：
在该曲面外作一个以点电荷q 为中心的球面S
由于电力线的连续性、同前例
e
S
E
ds
q ε0
3）曲面S不包围q
n0
dS
S
从q发出的电力线
穿出任意闭合曲面
因为只有与S 相切的锥体内的电力线才通过S，但每一条 电力线一进一出闭合曲面、正负通量相互抵消，如下图。
10
3、正确理解高斯定理
1）高斯面上各点的场强E，例如P点的 EP 是所有在场的电荷
共同产生。高斯定理中的e只与高斯面内的电荷有关。
Ｅ
P
qB
qC
qD
＋
q
－
q
q A
2）高斯面内的电量为零，只能说明通过高斯面的e为零，但
不能说明高斯面上各点的E一定为零。
11
四、高斯定理的应用：
对于某些具有特殊对称性的带电体，利用高斯定理可以方 便地求出电场分布。 1、均匀带电球面的电场：(设总电量为q、球面的半径为R)
为对称。
19
设P为柱面外之一点，过
电通量 高斯定理
qn q1 q2 0 0 0
e E ds
s 0
1 qi 0
q1 q2 qn
S
q E ds
s
0
E ds 0
q ds
S
n
S
s
q
2
40 r
q
2
ds
q
0
4 0 r
ds
q
2. q位于任意曲面
S 内
0
s s
3. q位于任意闭合曲面
4. 曲面内包围多个点电荷
S 以外
S
q
( E1 E2 ...... En ) ds
解： e E ds E ds E ds E ds
E cos180 ds E cos 90 ds E cos 0 ds
0 0 0 s1 s2 s3
ER 0 R E
2 2
=0
n
0
1 e E ds
s
0
qi
四．高斯定理的应用 当场源分布具有高度对称性时，求场强分布
步骤：１.对称性分析，确定 E 的大小、方向分布特征
２.作高斯面，计算电通量及 ３.利用高斯定理求解
qi
例1．球面 求均匀带电球面的场强分布 已知R、 q>0 解: 对称性分析 E 具有球对称 作高斯面 通量 r R
电量 q i
电量
qi q
q E 4r
2
高斯定理
电通量
5)真空泵和真空表应符合本标准第7.1.2条的要求。
6)真空容器的内径不应小于250mm，并应能至少容纳3个试件。
7)阴极溶液应用化学纯试剂配制的质量浓度为3.0％的NaCl溶液。
8)阳极溶液应用化学纯试剂配制的摩尔浓度为0. 3mol/L的NaOH液。
654#墩：龄期98天，强度推定値38.3MPa
655#墩：龄期92天，强度推定値41.9MPa
656#墩：龄期9天，强度推定値25.7MPa
657#墩：龄期101天，强度推定値38.2MPa
658#墩：龄期112天，强度推定値44.8MPa
659#墩：龄期11天，强度推定値32.1MPa
660#墩：龄期15天，强度推定値34.8MPa
2每个试件的总电通量可采用下列简化公式计算：
(7. 2. 4-1)
式中：Q―通过试件的总电通量（C);
Io―初始电流（A)，精确到0.001A;
It―在时间t (min)的电流（A)，精确到0.001A。
3计算得到的通过试件的总电通量应换算成直径为95mm试件的电通量值。应通过将计算的总电通量乘以一个直径为95mm的试件和实际试件横截面积的比值来换算，换算可按下式进 行 ：
今日回弹情况如下：
弹650-660共10个墩身，除656、659、660因龄期不够只弹三个测区外，其余各墩均弹10个测区。651和653流沙较严重。
650#墩：龄期128天，强度推定値41.9MPa
651#墩：龄期113天，强度推定値40.6MPa
652#墩：龄期103天，强度推定値38.8MPa
653#墩：龄期107天，强度推定値39.9MPa
大学物理高斯定理
大学物理高斯定理简介大学物理中，高斯定理（也称为电通量定理）是电学领域中的一个重要定理，它描述了电场通过一个封闭曲面的总电通量与该曲面内的电荷量之间的关系。
高斯定理的数学表达式是一个面积分，通过对电场和曲面的特性进行积分计算，我们可以计算得到相应的电通量。
定理表述高斯定理可以用数学公式表述如下：其中， - 表示对封闭曲面 S 的面积分； - 表示电场的向量；- 表示面元矢量； - 是真空中的介电常数（气体中也可近似使用该值）； - 表示电荷密度在封闭曲面内的体积分。
解读根据高斯定理，电通量与环绕其的电荷量成正比。
如果电场线密集，表示电通量会相应增大，而如果电场线稀疏，表示电通量相应减少。
因此，高斯定理为我们提供了一种计算电场分布和电荷分布之间关系的方法。
高斯定理的背后思想是通过找到一个适当的曲面，使得计算曲面上的电场更加容易，从而求得电场的总电通量。
这个曲面可以是球面、柱面、立方体等等，具体选择曲面要与问题的几何特征和对称性相匹配。
应用举例例子1：均匀带电球考虑一个均匀带电球体，电荷密度为，半径为。
我们想通过高斯定理计算球内外的电场。
在这种情况下，由于球具有球对称性，我们选择一个以球心为中心的球面作为高斯曲面。
根据球对称性，球的电场在球面上处处相等，并且与球面的法线垂直。
因此，和在点积后等于，其中是球面上的电场强度。
曲面的面积元等于球的表面积元。
因此，高斯定理可简化为：等式的右边是整个球的表面积，用！表示。
由于电场是球对称的，且垂直于球面，所以电场与面积元相乘的结果在整个球面上是相等的。
由于曲面上的电场都是相等的，整个球面的面积元乘以电场强度后等于电场强度乘以整个球面的面积，所以可以简化为：解得：其中，为球内的总电荷量。
例子2：无限长均匀带电线考虑一个无限长均匀带电线，线密度为。
我们想通过高斯定理计算线外的电场。
在这种情况下，由于线具有柱对称性，我们选择一个以线为轴的柱面作为高斯曲面。
我们将柱面的两个底面分别设为 A 和 B，其中 A 的面积为，B 的面积为。
电通量总结
电通量总结1. 什么是电通量？电通量（Electric Flux），是指通过某一面积的电场强度线数量。
在电学中，通量是一个重要的概念，用以描述电场经过某个表面的情况。
电通量的单位为特斯拉-平方米（T·m²），也可以用瓦特（W）表示。
2. 电通量的计算公式电通量的计算公式为：Φ = E · A · cosθ其中，Φ表示电通量的大小，E表示电场的强度，A表示通过的面积，θ表示电场与法线方向之间的夹角。
3. 电通量与高斯定律的关系高斯定律是电学中的一条重要定律，描述了电场与电荷之间的关系。
根据高斯定律，一个闭合曲面上的电通量与该曲面所包围的电荷量成正比，比例常数为ε₀（真空中的介电常数）。
数学上，高斯定律可以表示为：Φ = ∮ E · dA = Q / ε₀其中，Φ表示闭合曲面上的电通量，∮表示对曲面进行闭合曲线的积分，E表示电场强度，dA表示与曲面垂直的微小面积元素，Q表示曲面内的电荷量。
4. 电通量的应用4.1 高斯面的选择在应用高斯定律计算电通量时，需要选择适当的高斯面。
理想情况下，高斯面应该通过电场强度变化不显著的区域。
对于均匀电场而言，选择一个垂直于电场方向的高斯面通常是最简单和最方便的。
这样，电场强度E与法线方向的夹角θ为0，使得cosθ等于1，简化了电通量的计算公式。
4.2 电通量的物理意义电通量是电场在某个表面上的分布情况的量化表示。
通过计算电通量，可以了解电场的强弱以及方向。
电通量还与电场线的密度有关。
当电通量密集时，说明电场线趋于靠拢，电场强度较强；而当电通量稀疏时，说明电场线离散，电场强度较弱。
4.3 灵敏度分析在工程实践中，电通量的计算也常用于灵敏度分析。
通过对电通量的计算，可以分析在不同参数变化下电场分布的变化情况，从而对系统性能进行评估与优化。
5. 总结电通量是描述电场分布以及电场与电荷之间相互作用的重要概念。
通过计算电通量，可以了解电场强度、方向以及分布等信息。
电通量和高斯定理
05 电通量与高斯定理的意义 和影响
对电磁学理论的意义
描述电场分布
建立电磁场理论
电通量是描述电场分布的重要物理量， 通过高斯定理，我们可以计算出空间 中任意区域的电场强度和电通量密度。
电通量与高斯定理是电磁场理论中的 基础概念，为后续的麦克斯韦方程组 等理论奠定了基础。
揭示电场性质
高斯定理揭示了电场的一个重要性质， 即电场线总是闭合的，这一性质对于 理解电场的产生和传播机制具有重要 意义。
散度定理法
利用散度定理计算电通量， 公式为：∮E⋅dS=∫E⋅dS。
微元法
将闭合曲面划分为若干个 小面元，分别计算每个面 元的电通量，最后求和得 到总电通量。
02 高斯定理的表述
定理的表述
高斯定理的表述
在封闭曲面S内，总电荷量Q等于该封闭曲面内电通量Φ的积分， 即 ∫∫Σ Q = ∫∫Σ dΦ。
电通量的物理意义
表示电场分布的特性
电通量的大小反映了电场在某个闭合 曲面上的分布情况，可以用来描述电 场的强弱和方向。
与电荷分布的关系
电通量的大小与电荷分布有关，电荷 分布的不同会导致电通量的变化。
电通量的计算方法
01
02
03
公式法
根据电场强度E和闭合曲 面S的面积S，计算电通量。 公式为：Φ=∫∫E⋅dS。
要点一
总结词
要点二
详细描述
高斯定理是求解电场的强大工具，通过合理选择高斯面可 以简化问题求解过程。
高斯定理表述为：“通过任意闭合曲面的电场强度通量等 于该闭合曲面所包围的电荷量与真空电容率的比值。”在 求解电场问题时，可以根据问题的对称性和电荷分布情况 选择合适的高斯面，从而将复杂的积分运算简化为简单的 代数运算。例如，在求解无限大均匀带电平面或球壳产生 的电场时，利用高斯定理可以快速得出结果。
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练习2：空间有点电荷系 q1 , q2 ...，q求n 穿过空间任
意封闭曲面 S 的电通量
qn q1
曲面上各点处电场强度：
E E1 E2 En
q2 S 包括 S 内、S 外，所有电荷的贡献。
穿过 S 的电通量：
e sE dS E1 dS E2 dS En dS
dq
q
R
o
r
dq
S
dE '
P
dE
dE dE'
对称性分析: 以 O 为中心，r 为半径的球面 S上各点彼此等价
E 大小相等 以 O 为中心的球面 S 上各点
E 方向沿径向
确定高斯面: 以半径 r 的同心球面S为高斯面
通过 S 的电通量
E dS Ecos0 dS E 4r 2
一、电场线
场强方向沿电力线切线方向，
场强大小决定电力线的疏密。
E
电场线密度:
垂直通过面元 的dS电 场线数目de与 的d比S值。
方向 ：切线方向 E
dS
E
大小：E de
dS
=电场线密度
电场线性质：
1、不闭合，不中断, 起于正电荷(或无穷远处) 、 止于负电荷(或无穷远处) ；
2、任何两条电力线不相交。说明静电场中每一点 的场强是唯一的.
E与平面夹角
S
E e ES
Sn
E
e ES cos E • S
n
dS
S
2
2
2
非均匀电场中电通量
de EdS EdS cos E • dS
E
e SE • dS SEdS cos
S为封闭曲面时
e
E cosdS
S
E dS
S
/2 n
规定：封闭曲面外法向为正
E
四、高斯定理的应用
e
s
E
•
dS
1
0
qi
1 . 利用高斯定理求某些电通量
例：设均匀电场和半径为R的半球面的轴平行，
计算通过半球面的电通量。
q i
0e
E
S
dS
0
n
E
n
S1 S2 0
n
S1
s2 ER2
S1 ( ER2 ) 0
R
O n
S2
课堂讨论
●q ●q
1．立方体边长 a，求 q 位于中 心 过每一面的通量
+ +S1+
r+
+
r + O +
+R +
s +++ 2
qE
4 π 0R2
o Rr
带电面上场强 E 突变是采用面模型的结果，实际问 题中计算带电层内及其附近的准确场强时，应放弃 面模型而还其体密度分布的本来面目.
o R2 R1
计算带电球层（ R1 , R2 , ） 的电场分布
0
(r R1 )
E
3 0
e1
e2
en
1
0
q内
qn
q1
只有 S 内的电荷对穿过 S
的电通量有贡献。
q2 S
练习3：请总结穿过静电场中任意封闭曲面 的电通量与空间电荷分布的关系。
三 .高斯定理
穿过真空中的静电场中任意封闭曲面的电通量 等于该封闭曲面所包围的电量代数和的 1 倍0 ：
e
sE
•
dS
q内
0
总结
1）高斯面上的电场强度为所有内外电荷的总电场强度. 2）高斯面为封闭曲面. 3）穿进高斯面的电通量为负，穿出为正. 4）仅高斯面内的电荷对高斯面的电通量有贡献. 5）静电场是有源场.
穿入的电场线 e 0
穿出的电场线 e 0
n
E
S
0 /2
例：设均匀电场和半径为R的半球面的轴平行，
计算通过半球面的电通量。
S1
S2
E R2 S2
E
S1 S2 O R
练习1：空间有点电荷 q ，求下列情况下穿过曲面的 电通量 1) 曲面为以电荷为中心的球面 2) 曲面为包围电荷的任意封闭曲面 3) 曲面为不包围电荷的任意封闭曲面
点电荷的电力线
正点电荷
负点电荷
+
一对等量异号点电荷的电力线
+
一对等量正点电荷的电力线
+
+
一对不等量异号点电荷的电力线
2q
q
带电平行板电容器的电力线 ++++++++++++
二、电通量
在电场中穿过任意曲面S的电场线条数称为穿过
该面的电通量。 e 均匀电场，
均匀电场，
E de dS
E垂直平面
r 于球心的点电荷
讨论： 1. 求均匀带电球面（R ,）q的电场分布，并画出
E曲~线r .
高斯面：半径 r 的同心球面
0
E qr
4 0r 3
E
(r R) (r R)
1 r2
o Rr
解（1）0 r R
E dS 0 S1
E0
（2）r R
e
sE
•
dS
q内
0
4πr2E q
0
E
q
4π0r 2
s
由高斯定理：
s
E dS E 4r 2
1
s
0
q内
E (q内) (4 0r2 )
r
E ( q内 ) ( 4 0r2 )
r R : q内 q
q
E外 4 0r 2
r R :
q内ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
q
4 3
R
3
4 r 3
3
qr
E内 4 0 R3
E
q
4 0 R2
r
1 r2
oR
球体内区域 E r
球体外区域 ~ 电量集中
位于一顶点
• q2 2．如图 讨论 • q1 移动两电荷对场强及通量的影响
2.利用高斯定理求解具有某些对称分布的静电场
成立条件：静电场 常见类型： 场源电荷分布
球对称性 轴对称性 面对称性
若高斯面上的场强大小处处相等,则： S面是一个简单易求的曲面面积：
例1 、求均匀带电球体（q、R ）的电场分布
(r
R13 r2
)
( R1 r R2 )
( R23 R13 ) 3 0r 2
q
4 0r 2
(r R2 )
带电球层的电场分布
c
R2
R1a b
厚度 较大
厚度 较小
E
E
厚度为 零球面
E
O R1 R2
O R1 R2
r o R1 R2
例2 、 无限长均匀带电直线（ ） 的电场
2）曲面为包围电荷的任意封闭曲面
E
E
S
S
q
S
q
S
e
q
0
3）曲面为不包围电荷的任意封闭曲面 有几条电力线进面内必然有同样数目的电力线 从面内出来。
+q
e 0
结论：e sE dS
q 0 q在S内
0
q在S外
思考：是否存在 q 恰好在 S 面上的情况？
高斯面是无厚度的数学面。在其附近，任何实际 的带电体均不能简化为点电荷。所以，只可能存 在q在S外、在S内，或一部分在 S 外，一部分在S 内的情况，而没有q恰好在S上的情况。
1） 曲面为以电荷为中心的球面
q
e SE dS S 4 0r 2 r0 dS
q
4 0r 2
dS
S
q
0
q +
r
E
dS
结果与 r 无关
E
E
q 0 : e 0
r
S
q0
r
S
q0
q 0 : e 0
电量为+q的正电荷有q/0条电场线由它发出伸向无穷远, 电量为-q的负电荷有q/0条电场线由无穷远终止于它. 电场线不中断、不增加。