高考数学导数解法
高考导数题型分析及解题方法
高考导数题型分析及解题方法一、考试内容导数的概念，导数的几何意义，几种常见函数的导数；两个函数的和、差、基本导数公式，利用导数研究函数的单调性和极值，函数的最大值和最小值。
二、热点题型分析题型一：利用导数研究函数的极值、最值。
1． 32()32f x x x =-+在区间[]1,1-上的最大值是 2 2．已知函数2)()(2=-==x c x x x f y 在处有极大值，则常数c ＝ 6 ； 3．函数331x x y -+=有极小值 －1 ,极大值 3 题型二：利用导数几何意义求切线方程1．曲线34y x x =-在点()1,3--处的切线方程是 2y x =-2．若曲线x x x f -=4)(在P 点处的切线平行于直线03=-y x ，则P 点的坐标为 （1，0） 3．若曲线4y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直，则l 的方程为 430x y --= 4．求下列直线的方程：（1）曲线123++=x x y 在P(-1,1)处的切线； （2）曲线2x y =过点P(3,5)的切线； 解：（1） 123|y k 23 1)1,1(1x /2/23===∴+=∴++=-=－上，在曲线点－x x y x x y P所以切线方程为02 11=+-+=-y x x y 即，（2）显然点P （3，5）不在曲线上，所以可设切点为),(00y x A ，则200x y =①又函数的导数为x y 2/=，所以过),(00y x A 点的切线的斜率为0/2|0x y k x x ===，又切线过),(00y x A 、P(3,5)点，所以有352000--=x y x ②，由①②联立方程组得，⎩⎨⎧⎩⎨⎧====255110000y x y x 或，即切点为（1，1）时，切线斜率为;2201==x k ；当切点为（5，25）时，切线斜率为10202==x k ；所以所求的切线有两条，方程分别为2510 12 )5(1025)1(21-=-=-=--=-x y x y x y x y 或即，或题型三：利用导数研究函数的单调性，极值、最值1．已知函数))1(,1()(,)(23f P x f y c bx ax x x f 上的点过曲线=+++=的切线方程为y=3x+1 （Ⅰ）若函数2)(-=x x f 在处有极值，求)(x f 的表达式； （Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求函数)(x f y =在[－3，1]上的最大值； （Ⅲ）若函数)(x f y =在区间[－2，1]上单调递增，求实数b 的取值范围 解：（1）由.23)(,)(223b ax x x f c bx ax x x f ++='+++=求导数得过))1(,1()(f P x f y 上点=的切线方程为：).1)(23()1(),1)(1()1(-++=+++--'=-x b a c b a y x f f y 即而过.13)]1(,1[)(+==x y f P x f y 的切线方程为上故⎩⎨⎧-=-=+⎩⎨⎧-=-=++3023323c a b a c a b a 即 ∵124,0)2(,2)(-=+-∴=-'-==b a f x x f y 故时有极值在 ③ 由①②③得 a=2，b=－4，c=5 ∴.542)(23+-+=x x x x f （2）).2)(23(443)(2+-=-+='x x x x x f当;0)(,322;0)(,23<'<≤->'-<≤-x f x x f x 时当时13)2()(.0)(,132=-=∴>'≤<f x f x f x 极大时当 又)(,4)1(x f f ∴=在[－3，1]上最大值是13。
高三数学导数题的解题技巧教学设计 【命题趋向】 导数命题趋势 综观
高三数学导数题的解题技巧教学设计【命题趋向】导数命题趋势:综观历届全国各套高考数学试题,我们发现对导数的考查有以下一些知识类型与特点:(1)多项式求导(结合不等式求参数取值范围),和求斜率(切线方程结合函数求最值)问题.(2)求极值, 函数单调性,应用题,与三角函数或向量结合.分值在12---17分之间,一般为1个选择题或1个填空题,1个解答题.【考点透视】1.了解导数概念的某些实际背景(如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等);掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义;理解导函数的概念.2.熟记基本导数公式;掌握两个函数和、差、积、商的求导法则.了解复合函数的求导法则,会求某些简单函数的导数.3.理解可导函数的单调性与其导数的关系;了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件(导数在极值点两侧异号);会求一些实际问题(一般指单峰函数)的最大值和最小值.【例题解析】考点1 导数的概念对概念的要求:了解导数概念的实际背景,掌握导数在一点处的定义和导数的几何意义,理解导函数的概念.例1.(2007年北京卷) 是的导函数,则的值是 .[考查目的] 本题主要考查函数的导数和计算等基础知识和能力.[解答过程]故填3.例2. ( 2006年湖南卷)设函数 ,集合M= ,P= ,若M P,则实数a的取值范围是 ( )A.(-∞,1)B.(0,1)C.(1,+∞)D. [1,+∞)[考查目的]本题主要考查函数的导数和集合等基础知识的应用能力.[解答过程]由综上可得M P时,考点2 曲线的切线(1)关于曲线在某一点的切线求曲线y=f(x)在某一点P(x,y)的切线,即求出函数y=f(x)在P点的导数就是曲线在该点的切线的斜率.(2)关于两曲线的公切线若一直线同时与两曲线相切,则称该直线为两曲线的公切线.典型例题例3.(2007年湖南文)已知函数在区间 , 内各有一个极值点.(I)求的最大值;(II)当时,设函数在点处的切线为 ,若在点处穿过函数的图象(即动点在点附近沿曲线运动,经过点时,从的一侧进入另一侧),求函数的表达式.思路启迪:用求导来求得切线斜率.解答过程:(I)因为函数在区间 , 内分别有一个极值点,所以在 , 内分别有一个实根,设两实根为 ( ),则 ,且 .于是, ,且当 ,即 , 时等号成立.故的最大值是16.(II)解法一:由知在点处的切线的方程是,即 ,因为切线在点处空过的图象,所以在两边附近的函数值异号,则不是的极值点.而 ,且.若 ,则和都是的极值点.所以 ,即 ,又由 ,得 ,故 .解法二:同解法一得.因为切线在点处穿过的图象,所以在两边附近的函数值异号,于是存在( ).当时, ,当时, ;或当时, ,当时, .设 ,则当时, ,当时, ;或当时, ,当时, .由知是的一个极值点,则 ,所以 ,又由 ,得 ,故 .例4.(2006年安徽卷)若曲线的一条切线与直线垂直,则的方程为( ) A. B.C. D.[考查目的]本题主要考查函数的导数和直线方程等基础知识的应用能力.[解答过程]与直线垂直的直线为 ,即在某一点的导数为4,而 ,所以在(1,1)处导数为4,此点的切线为 .故选A.例5. ( 2006年重庆卷)过坐标原点且与x2+y2 -4x+2y+ =0相切的直线的方程为 ( )A.y=-3x或y= xB. y=-3x或y=- xC.y=-3x或y=- xD. y=3x或y= x [考查目的]本题主要考查函数的导数和圆的方程、直线方程等基础知识的应用能力.[解答过程]解法1:设切线的方程为又故选A.解法2:由解法1知切点坐标为由故选A.例6.已知两抛物线 , 取何值时 , 有且只有一条公切线,求出此时公切线的方程.思路启迪:先对求导数.解答过程:函数的导数为 ,曲线在点P( )处的切线方程为 ,即①曲线在点Q 的切线方程是即②若直线是过点P点和Q点的公切线,则①式和②式都是的方程,故得,消去得方程,若△= ,即时,解得 ,此时点P、Q重合.∴当时 , 和有且只有一条公切线,由①式得公切线方程为 .考点3 导数的应用中学阶段所涉及的初等函数在其定义域内都是可导函数,导数是研究函数性质的重要而有力的工具,特别是对于函数的单调性,以"导数"为工具,能对其进行全面的分析,为我们解决求函数的极值、最值提供了一种简明易行的方法,进而与不等式的证明,讨论方程解的情况等问题结合起来,极大地丰富了中学数学思想方法. 复习时,应高度重视以下问题:1.. 求函数的解析式;2. 求函数的值域;3.解决单调性问题;4.求函数的极值(最值);5.构造函数证明不等式.典型例题例7.(2006年天津卷)函数的定义域为开区间 ,导函数在内的图象如图所示,则函数在开区间内有极小值点( )A.1个B.2个C.3个D. 4个[考查目的]本题主要考查函数的导数和函数图象性质等基础知识的应用能力.[解答过程]由图象可见,在区间内的图象上有一个极小值点.故选A.例8 .(2007年全国一)设函数在及时取得极值.(Ⅰ)求a、b的值;(Ⅱ)若对于任意的 ,都有成立,求c的取值范围.思路启迪:利用函数在及时取得极值构造方程组求a、b的值.解答过程:(Ⅰ) ,因为函数在及取得极值,则有 , .即解得 , .(Ⅱ)由(Ⅰ)可知, ,.当时, ;当时, ;当时, .所以,当时, 取得极大值 ,又 , .则当时, 的最大值为 .因为对于任意的 ,有恒成立,所以 ,解得或 ,因此的取值范围为 .例9.函数的值域是_____________.思路启迪:求函数的值域,是中学数学中的难点,一般可以通过图象观察或利用不等式性质求解,也可以利用函数的单调性求出最大、最小值。
【高考复习】高考数学题型总结之导数题型分析及解题方法
【高考复习】高考数学题型总结之导数题型分析及解题方法高考数学问题类型总结的衍生问题类型分析与解题方法一、考试内容导数的概念、导数的几何意义以及几种常用函数的导数；两个函数的和、差、基本导数公式，利用导数研究函数的单调性和极值，函数的最大值和最小值。
二、热门话题分析题型一：利用导数研究函数的极值、最值。
1.间隔中的最大值为22.已知函数处有极大值，则常数c=6;3.函数的最小值为-1，最大值为3题型二：利用导数几何意义求切线方程1.曲线在该点的切线方程为2.若曲线在p点处的切线平行于直线，则p点的坐标为(1，0)3.如果曲线的一条切线与直线垂直，则方程为4.求下列直线的方程：（1）曲线在P（-1,1）处的切线；（2）曲线通过点P（3,5）的切线；解：(1)所以切线方程是(2)显然点p(3，5)不在曲线上，所以可设切点为，则①又函数的导数为，因此，通过点的切线的斜率为，并且切线通过点P（3,5），因此②, 这是从① 和②, 也就是说，当切点为（1,1）时，切线斜率为；当切点为（5,25）时，切线斜率为；有两条切线，方程是题型三：利用导数研究函数的单调性，极值、最值1.已知函数的切线方程为y=3x+1(ⅰ)若函数处有极值，求的表达式;（二）在（I）的条件下，求[-3,1]上函数的最大值；(ⅲ)若函数在区间[-2，1]上单调递增，求实数b的取值范围解决方案：（1）通过过的切线方程为：然后通过故∵③由①②③得a=2，b=-4，c=5(2)当在[-3,1]上，最大值为13。
(3)y=f(x)在[-2，1]上单调递增，又由①知2a+b=0。
根据问题的意思，[-2,1]上总是有0，即①当;② 什么时候③当综上所述，参数B的取值范围为2.已知三次函数在和时取极值，且.（1）找到函数的表达式；(2)求函数的单调区间和极值;（3）如果间隔上的函数值范围为，则尝试找到应满足的条件解：(1)，从问题的意义来看，是的，两个。
导数压轴题十种构造方法大全以及解题方法导引
导数压轴题十种构造方法大全以及解题方法导引方法一 等价变形，转化构造 方法导读研究函数的性质是高考压轴题的核心思想，但直接构造或者简单拆分函数依然复杂，这时候需要依赖对函数的等价变形，通过恒等变形发现简单函数结构再进行构造研究，会起到事半功倍的效果。
方法导引例1 已知函数f(x)=a e x (a ∈R )，g(x)=lnx x+1.（1）求函数g(x)的极值；（2）当a ≥1e 时，求证：f(x)≥g(x). 解析:（1）由g (x )=ln x x+1，得g ′(x )=1−ln x x 2，定义域为(0,+∞).令g ′(x )=0，解得x =e ， 列表如下：结合表格可知函数g (x )的极大值为g (e )=1e +1，无极小值. （2）要证明f (x )≥g (x )，即证ae x ≥ln x x+1，而定义域为(0,+∞)，所以只要证axe x −ln x −x ≥0，又因为a ≥1e，所以axe x −ln x −x ≥1exe x −ln x −x ， 所以只要证明1e xe x −ln x −x ≥0.令F (x )=1e xe x −ln x −x ，则F ′(x )=(x +1)(e x−1−1x )， 记ℎ(x )=e x−1−1x ，则ℎ(x )在(0,+∞)单调递增且ℎ(1)=0，所以当x ∈(0,1)时，ℎ(x )<0，从而F ′(x )<0；当x ∈(1,+∞)时，ℎ(x )>0，从而F ′(x )>0，即F (x )在(0,1)单调递减，在(1,+∞)单调递增，F (x )≥F (1)=0. 所以当a ≥1e 时，f (x )≥g (x ).例2已知a ∈R ，a ≠0，函数f (x ) =e ax -1-ax ，其中常数e =2.71828.（1）求f (x ) 的最小值；（2）当a ≥1时，求证:对任意x >0 ，都有xf (x ) ≥ 2ln x +1-ax 2. 解析：（1）因为()1ax f x eax -=-，则()()11ax f x a e -'=-，()210ax f x a e -'=>'故()f x '为R 上的增函数，令()0f x '=，解得1x a= 故当()1,,0x f x a ⎛⎫∈-∞< '⎪⎝⎭，()f x 单调递减； 当()1,,0x f x a ⎛⎫∈+∞>'⎪⎝⎭，()f x 单调递增， 则()10min f x f a ⎛⎫==⎪⎝⎭故函数()f x 的最小值为0.（2）证明：要证明xf (x ) ≥ 2ln x +12ax - 等价于证明121ax xe lnx -≥+由（1）可知：10ax e ax --≥，即1ax e ax -≥ 因为0x >，故12ax xe ax -≥ 故等价于证明221ax lnx ≥+即()2210,0,ax lnx x --≥∈+∞令()221g x ax lnx =--，即证()()0,0,g x x ≥∈+∞恒成立.又())21122g x ax x x+-=-='令()0g x '=，解得x =故当(),0x g x⎛'∈< ⎝，()g x 单调递减； 当(),0x g x⎫∈+∞>'⎪⎭，()g x 单调递增；故()2g x g lna≥== 有因为1a ≥，故0lna ≥ 故()0g x lna ≥≥即证.即对任意x >0 ，都有xf (x ) ≥ 2ln x +1-ax 2. 方法二：构造常见典型函数 方法导读常见典型函数主要包括xlnx ，x/lnx ，lnx/x ; xe x ,xe x ,e x /x 等，通过变形发现简单函数结构再进行构造研究，会起到事半功倍的效果。
(完整版)高考数学专题导数题的解题技巧
第十讲导数题的解题技巧【命题趋向】导数命题趋势：综观 2007 年全国各套高考数学试题，我们发现对导数的考查有以下一些知识类型与特点：(1 )多项式求导(结合不等式求参数取值范围) ,和求斜率(切线方程结合函数求最值)问题.(2 )求极值 , 函数单调性 ,应用题 ,与三角函数或向量结合 .分值在 12---17 分之间，一般为 1 个选择题或 1 个填空题， 1个解答题 . 【考点透视】1．了解导数概念的某些实际背景(如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等)；掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导函数的概念．2．熟记基本导数公式；掌握两个函数和、差、积、商的求导法则．了解复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数．3．理解可导函数的单调性与其导数的关系；了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件(导数在极值点两侧异号)；会求一些实际问题(一般指单峰函数)的最大值和最小值．【例题解析】考点 1 导数的概念对概念的要求：了解导数概念的实际背景，掌握导数在一点处的定义和导数的几何意义，理解导函数的概念 .13例 1．( 2007 年北京卷) f (x) 是f (x) x32x 1 的导函数，则f ( 1) 的值是．[ 考查目的 ] 本题主要考查函数的导数和计算等基础知识和能力 .22[ 解答过程 ] Q f (x) x22, f ( 1) 1 2 3.故填 3.例2. ( 2006 年湖南卷)设函数f(x) x a,集合 M={x|f(x) 0} ,P={ x| f '(x) 0},若 M P,则实x1数 a 的取值范围是 ( )A.(- ∞ ,1)B.(0,1)C.(1,+ ∞ )D. [1,+ ∞) [ 考查目的 ]本题主要考查函数的导数和集合等基础知识的应用能力.[ 解答过程 ]由 x a0, 当 a>1时 ,1 x a;当a<1时,a x 1. x1/x a x 1 x a 21a 1. 综上可得 M P 时 , a 1. 考点 2 曲线的切线(1) 关于曲线在某一点的切线 求曲线 y=f(x) 在某一点 P( x,y) 切线的斜率 . (2) 关于两曲线的公切线 若一直线同时与两曲线相切，则称该直线为两曲线的公切线 典型例题极值点．2I)求 a 2 4b 的最大值；II )当a 24b 8时，设函数 y f(x)在点 A(1， f (1))处的切线为 l ，若l 在点 A 处穿过函数y f (x)的图象(即动点在点 A 附近沿曲线 y f ( x)运动，经过点 A 时，从 l的一侧 进入另一侧) ，求函数 f(x) 的表达式．思路启迪 ：用求导来求得 切线斜率 .1 3 12 解答过程：( I )因为函数 f (x) x3 ax 2 bx 在区间 ［ 1，1) ，(1，3］内分别有一个极值点，32所以 f (x) x 2 ax b 0在［ 1，1)， (1，3］内分别有一个实根，设两实根为x 1，x 2( x 1 x 2)，则 x 2 x 1 a 2 4b ，且 0 x 2 x 1≤ 4．于是0 a 24b ≤4，0 a 24b ≤ 16 ，且当 x 1 1，x 2 3，即 a 2，b 3时等号成立．故 a 2 4b 的最大值是 16．(II )解法一：由 f (1) 1 a b 知 f (x)在点(1，f (1))处的切线 l 的方程是 21y f(1) f (1)(x 1) ，即 y (1 a b)xa ，32因为切线 l 在点 A(1，f ( x))处空过 y f ( x)的图象，21所以g(x) f(x) ［(1 a b)x a ］在 x 1两边附近的函数值异号，则32Q y x xa1, y /x 1x 1 x 1 a 120. x1的切线， 即求出函数 y=f(x) 在 P 点的导数就是曲线在该点的 13 例 3.(2007年湖南文)已知函数 f (x) x 3 1221ax 2 bx 在区间 ［ 1，1) ， (1，x 1不是 g(x) 的极值点．而 g(x) 1 x 3 12 ax bx (12 a b)x 1 a ，且3 23 2 g (x) x 2ax b (1 a b) x 2 ax a 1 (x 1)(x 1 a)因为切线 l 在点 A(1， f (1))处穿过 y f (x)的图象，所以 g(x)在x 1两边附近的函数值 异号，于是存在 m 1， m 2 ( m 1 1 m 2 )．当m 1 x1时， g(x) 0，当1xm 2时， g(x) 0 ；或当 m 1x 1时， g(x)0 ，当1 x m 2 时， g(x) 023a 3a设h(x) x 21 x2，则2 2当 m 1 x 1时， h(x) 0 ，当 1xm 2 时， h(x) 0 ； 或当m 1x 1 时， h(x) 0 ， 当1 x m 2 时， h(x) 0 ．由 h(1) 0 知 x 1是 h(x) 的一个极值点，则 h(1) 2 1 1 0 ，2 所以 a 2，又由 a 24b8，得 b 1，故 f(x) 1x 3 x 2 x ．3例 4(. 2006 年安徽卷) 若曲线 y x 4 的一条切线 l 与直线 x 4y 8 0垂直，则 l 的方程为( )A ．4x y 3 0B ．x 4y 5 0C ． 4x y 3 0D ． x 4y 3 0［ 考查目的 ］本题主要考查函数的导数和直线方程等基础知识的应用能力 .［解答过程 ］与直线 x 4y 8 0垂直的直线 l 为 4x y m 0，即 y x 4在某一点的导数为 4，而 y 4x 3 ，所以 y x 4在(1， 1)处导数为 4，此点的切线为 4x y 3 0. 故选 A.例 5． ( 2006 年重庆卷 )过坐标原点且与 x 2+y 2-4x+2y+ 5=0 相切的直线的方程为 ( )211113 3 3 3A.y=-3x或 y= xB. y=-3x或 y=- xC.y=-3x或y=- xD. y=3x或y= x 若1 1 a ，则x 1 和x所以11 a ，即a2 ，又由a24b 8 ，得b1，故f(x)解法二：同解法一得g(x) f(x) [(1 ab)x 2312a]1 2 3a 3(x 1)[x2(1 )x (2 a)] ．3 2 2 x2 x．1 a都是g(x) 的极值点．13 x3[ 考查目的 ]本题主要考查函数的导数和圆的方程、直线方程等基础知识的应用能力求出此时公切线的方程思路启迪：先对 C 1 2: y x 2x,C 2 : y2 x a 求导数 .解答过程 ： 函数 y x 22x 的导数为 y '2x 2， 曲线C 1 在点 P( x 1, x 122x 1)处的切线方程为y (x 122x 1 ) 2(x 1 2)(x x 1) ，即y 2(x 11)x 2 x1 ①曲线C 1 在点 Q (x 2 ,x 22a) 的切线方程是y( x 2 a) 2x 2(x x 2)即 2y 2x 2x x 2 aP 点和 Q 点的公切线，则①式和②式都是 l 的方程，故得中学阶段所涉及的初等函数在其定义域内都是可导函数，[ 解答过程 ]解法 1：设切线的方程为 y kx, kx y 0.2 25又x 2 y 1 , 圆心为 2,1.2k 15, 3k 2 8k 3 0. k k 2 1 2y 1x, 或 y 3故选 A.13,k 3.3x.解法 2:由解法 1知切点坐标为 (12,(x 2)252x2(x /y x/2) 2 y x 2.11 y x /0,k1/ yx3x, y 332)1x3,k 2/yx 31(2,2)故选 A.例 6. 已知两抛物线 C 1 : y x2 2x,C 2 : yx2a , a 取何值时 C 1，C 2 有且只有一条公切线，若直线 l 是过点x 1 1x 2,2x1x 221，消去 x 2 得方程， 2x 122x 1 1 a 0若△ =4 4 2(1 a) 0，即 a 1时，解得2x11，此时点 P 、Q 重合 .1， 2考点 3 导数的应∴当时 a C 1 和 C 2有且只有一条公切线，由①式得公切线方程为 y导数是研究函数性质的重要而有力的工具，特别是对于函数的单调性，以“导数”为工具，能对其进行全面的分析，为我 们解决求函数的极值、 最值提供了一种简明易行的方法， 的情况等问题结合起来，极大地丰富了中学数学思想方法 解答过程：(Ⅰ) f (x) 6x 2 6ax 3b ，因为函数 f(x) 在x 1及x 2取得极值，则有 f (1) 0， f (2) 0．6 6a 3b 0， 即24 12a 3b 0． 解得 a 3， b 4．(Ⅱ)由(Ⅰ)可知， f(x) 2x39x 2 12x 8c ，f (x) 6x 2 18x 12 6(x 1)(x 2) ．当 x (0，1) 时， f (x) 0 ； 当 x (1，2) 时， f (x) 0 ；进而与不等式的证明， 讨论方程解 .复习时，应高度重视以下问题1.. 求函数的解析式2. 求函数的值域3.解决单调性问题 ;4. 求函数的极值(最值)5.构造函数证明不等式典型例题例 7．(2006 年天津卷)函数 f (x) 的定义域为开区间 图所示，则函数 f(x) 在开区间 (a,b)内有极小值点((a, b) ，导函数f (x)在 (a,b)内的图象如)A ．1个B ．2 个C ．3 个D ． 4 个[ 考查目的 ] 本题主要考查函数的导数和函数图象性质等基础知识 的应用能力 .[ 解答过程 ]由图象可见 ,在区间 (a,0) 内的图象上有一个极小值点 故选 A.例 8 .( 2007 年全国一)设函数 f (x) 2x 3 3ax 2 3bx 8c 在 x 1 及x 2 时取得极值．(Ⅰ)求 a 、b 的值；2(Ⅱ)若对于任意的 x [0，3] ，都有 f (x) c 2成立，求 c 的取值范思路启迪 ：利用 函数 f (x) 2x 3 3ax 2 3bx 8c 在 x 1及 x2时取得极值构造方程组求 a 、b 的值．当 x (2，3) 时， f (x) 0 ．所以，当 x 1时， f(x)取得极大值 f (1) 5 8c ，又 f (0) 8c ， f(3) 9 8c ． 则当 x 0，3 时， f (x) 的最大值为 f (3) 9 8c ．2因为对于任意的 x 0，3 ，有 f (x) c 2恒成立，所以 9 8c c 2，解得 c 1或c 9 ，因此 c 的取值范围为 ( ， 1) U (9， ) ．例 9.函数 y 2x 4 x 3 的值域是 _____________ .思路启迪 ：求函数的值域， 是中学数学中的难点， 一般可以通过图象观察或利用不等式性质 求解， 也可以利用函数的单调性求出最大、最小值。
高考数学复习：导数的运算
考点二
导数运算的应用(多考向探究预测)
考向1 与导数运算有关的新定义问题
例2(2024·山东烟台模拟)给出定义:若函数f(x)在D上可导,即f'(x)存在,且导
函数f'(x)在D上也可导,则称f(x)在D上存在二阶导函数,记f″(x)=(f'(x))'.若
f″(x)<0在D上恒成立,则称f(x)在D上为凸函数,以下四个函数在(0,
处的曲率K=
|″()|
[1 +
3
2 2
('()) ]
.已知f(x)=cos(x-1)-ln x,则曲线y=f(x)在点(1,f(1))处
的曲率为__________.
0
解析 因为 f(x)=cos(x-1)-ln x,所以
则
1
f'(1)=- -sin
1
1
0=-1,f″(1)= -cos
1
1
1
运算量,减少差错;
(3)复合函数求导,要正确分析函数的复合过程,分清内外层函数,按照法则
进行求导;
(4)求函数在某一点处的导数且解析式未知时,应先 根 据 条 件 求 出 该 点
所 在 区 间 的 解 析 式 再求导;
(5)当函数解析式中含有待定系数(如f'(x0)等)时,应将待定系数看成常数进
行求解.
π
当 x∈(0,2)时,f″(x)>0 恒成立,该函数不是凸函数,故选 D.
规律方法
导数新定义问题的求解策略
新定义题型的特点是:通过给出一个新概念,或约定一种新运算,或给出几
个新模型来创设全新的问题情境,要求考生在阅读理解的基础上,依据题目
提供的信息,联系所学的知识和方法,实现信息的迁移,达到灵活解题的目
高考数学导数的解题技巧
高考数学导数的解题技巧
高考导数题主要是考察与函数的综合，考察不等式、导数的应用等知识，难度属于中等难度。
都有什么题型呢？
①应用导数求函数的单调区间，或鉴定函数的单调性；
②应用导数求函数的极值与最值；
③应用导数办理有关不等式标题。
有没有什么解题技能啦？
导数的解题技能还是比较稳定的，一般思路为
①确定函数f(x)的定义域（最简略忽略的，请牢记）;
②求方程f′(x)=0的解，这些解和f(x)的中断点把定义域分成多少区间；
③研究各小区间上f′(x)的标记，f′(x)＞0时，该区间为增区间,反之则为减区间。
从这两步开始有分类讨论，函数的最值可能会出现极值点处或者端点处，多项式求导一般连合不等式求参数的取值范畴，根据标题会有一定的变化，那接下来具体总结一些做题技能。
技能破解+例题拆解
1．若标题查看的是导数的概念，则主要查看的是对导数在一点处的定义和导数的几多意义，注意区分导数与△y/△x 之间的区别。
2．若标题查看的是曲线的切线，分为两种环境：
（1）关于曲线在某一点的切线，求曲线y=f(x)在某一点P （x,y）的切线，即求出函数y=f(x)在P点的导数便是曲线在该点的切线的斜率.
（2）关于两曲线的公切线，若一直线同时与两曲线相切，则称该直线为两曲线的公切线.。
高考数学题型总结之导数题型分析及解题方法
高考数学题型总结之导数题型分析及解题方法高考数学题型总结之导数题型分析及解题方法一、考试内容导数的概念，导数的几何意义，几种常见函数的导数;两个函数的和、差、差不多导数公式，利用导数研究函数的单调性和极值，函数的最大值和最小值。
二、热点题型分析题型一：利用导数研究函数的极值、最值。
1. 在区间上的最大值是22.已知函数处有极大值，则常数c= 6 ;3.函数有极小值-1 ,极大值3题型二：利用导数几何意义求切线方程1.曲线在点处的切线方程是2.若曲线在P点处的切线平行于直线，则P点的坐标为(1，0)3.若曲线的一条切线与直线垂直，则的方程为4.求下列直线的方程：(1)曲线在P(-1,1)处的切线; (2)曲线过点P(3,5)的切线;解：(1)因此切线方程为(2)明显点P(3，5)不在曲线上，因此可设切点为，则①又函数的导数为，因此过点的切线的斜率为，又切线过、P(3,5)点，因此有②，由①②联立方程组得，，即切点为(1，1)时，切线斜率为;当切点为(5，25)时，切线斜率为;因此所求的切线有两条，方程分别为题型三：利用导数研究函数的单调性，极值、最值1.已知函数的切线方程为y=3x+1(Ⅰ)若函数处有极值，求的表达式;(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下，求函数在[-3，1]上的最大值;(Ⅲ)若函数在区间[-2，1]上单调递增，求实数b的取值范畴解：(1)由过的切线方程为：而过故由①②③得a=2，b=-4，c=5(2)当又在[-3，1]上最大值是13。
(3)y=f(x)在[-2，1]上单调递增，又由①知2a+b=0。
依题意在[-2，1]上恒有0，即①当;②当;③当综上所述，参数b的取值范畴是教师范读的是阅读教学中不可缺少的部分，我常采纳范读，让幼儿学习、仿照。
如领读，我读一句，让幼儿读一句，边读边记；第二通读，我大声读，我大声读，幼儿小声读，边学边仿；第三赏读，我借用录好配朗读磁带，一边放录音，一边幼儿反复倾听，在反复倾听中体验、品味。
高考数学求导知识点大全
高考数学求导知识点大全高考数学中的求导是一个非常重要的知识点，涉及到函数的变化率和极值问题。
掌握好求导知识，对于解题和理解数学概念非常有帮助。
本文将全面介绍高考数学求导的各种知识点，帮助考生更好地应对考试。
一、基本概念1. 导数的定义：导数是函数在某点处的变化率，即函数在该点的切线斜率。
2. 导函数的定义：函数的导数也可以看作是函数的斜率函数，用f'(x)表示。
3. 函数可导性：一个函数在某个点可导的条件是在该点左右两侧的左极限和右极限存在且相等。
二、求导法则1. 基本求导法则：包括常数函数的导数、幂函数的导数、指数函数的导数等。
2. 乘法法则：若函数由两个函数相乘而成，则求导时可以分别对两个函数求导，然后相乘。
3. 除法法则：若函数由两个函数相除而成，则求导时可以将两个函数分别求导，然后应用商的导数公式。
4. 复合函数求导法则：一个函数中由多个子函数相互嵌套而成，对复合函数求导时可以运用链式法则，即外函数求导乘以内函数的导数。
三、特殊函数的导数1. 反函数的导数：若函数y=f(x)的反函数是x=g(y)，则g'(y) =1/f'(x)，其中x是由y=f(x)确定的。
2. 对数函数的导数：对数函数y=loga(x)的导数是y' = 1/(xlna)。
3. 指数函数的导数：指数函数y=a^x的导数是y' = a^xlna。
四、隐函数求导当一个函数的表达式无法直接确定时，称为隐函数。
求解隐函数的导数需要运用隐函数求导公式，将待求的隐函数的导数表示为已知的已知函数和未知函数的导数之比。
五、参数方程的导数参数方程是由多个参数形式确定的函数关系。
求参数方程的导数时，需要对各个参数分别求导，然后形成一个参数对应的导数关系。
六、高阶导数1. 一阶导数：函数的一阶导数表示函数在某一点的切线斜率。
2. 二阶导数：函数的二阶导数表示一阶导数的斜率函数。
可通过对一阶导数再求导得到。
高考数学导数题的几种解题方法
高考数学导数题的几种解题方法作者：宋傲寒来源：《神州·中旬刊》2019年第01期高考数学中考到导数题的可能性极高，而导数部分往往成为同学们的难点。
全国一卷自13年至17年文数、理数均涉及导数大题，不难看出导数在高考试卷中所占的地位十分重要。
并且在16年的高考大纲中明确提出：在考查基础知识的基础上，注重对数学思想方法的考查，注重对数学能力的考查，展现数学的科学价值和人文价值，努力实现全面考查综合数学素养的要求。
本文针对近几年的高考导数题进行了分析与总结，归纳并整理了几种解题方法，希望能对考生起到一定的帮助。
方法一：放缩法无法用分离法和主变量法解决的问题，可尝试用放缩法，放缩时需注意放缩的尺度，放缩尺度不同，精确度不同。
在解答导数问题中，我们常用的是函数切线，割线逼近两种方法，这两个常用的结论为lnx≤x-1（当且仅当x=1时等号成立），ex≥x+1（当且仅当x=0时等号成立）。
例题; （2014 年全国Ⅰ卷，理 21）设函数，曲线在点（1，f （1））处的切线为y= e（x-1）+2（I）求a， b; （Ⅱ）证明：.高考中常用的几种放缩类型一、对数放缩（放缩成一次函数）（放缩成双钩函数）（放缩成二次函数）（放缩成类反比例函数）二、指数放缩（放缩成一次函数）（放缩成类反比例函数）（放缩成二次函数）三、指对放缩四、三角函数放缩五、以直线y=x-1为切线的函数方法二：浮出主元法浮出主元法即为将题目中的两个未知数a、b中的一个用未知量x进行代换，使得未知量x 具有未知数的性质，此类方法使用时需注意可用x代换a、b，但不能用a、b代换x。
例题（2013陕西，理21）（本小题满分14分）已知函数f（x）=ex，x∈R.（1）若直线y=kx+1与f（x）的反函数的图像相切，求实数k的值;（2）设x>0，讨论曲线y=f（x）与曲线y=mx2（m>0）公共点的个数;（3）设a解析 2013陕西理数第21题第三问即可使用浮出主元法的方法进行运算（1）f（x）的反函数为g（x）=lnx.设直线y=kx+1与g（x）=lnx的图像在P（x0，y0）处相切，则有y0=kx0+1=lnx0，k=g'（x0）=，解得x0=e2，.（2）略解得当x>0时，若0若，曲线y=f（x）与y=mx2有一个公共点;若，曲线y=f（x）与y=mx2有两个公共点.（3）法一：（浮出主元法）由题可知a那么比较与的大小即比较（b-a）[f（a）+ f（b）]与2[f（b）- f（a）]的大小不妨设x∈（0，b）设g（x）= （b-x）[f（x）+ f（b）]- 2[f（b）-f（x）]; g（b）= 0 g'（x）= -[f（x）+ f（b）]+ （b-x）f'（x）+2f'（x）; ;= -[f（x）+ f（b）]+ （b-x+2）f'（x）; ;= -ex-eb+（b-x）ex+ 2ex; ;= ex-eb+（b-x）exg'（x）= ex-eb+（b-x）ex; ; ; ; ;g'（b）= 0g''（x）= ex+ex （b-x-1）=（b-x） ex>0∴ g'（x）单调递增; 又∵g'（b）=0 ∴g（x）单调递增; g（x）>0 令x=a 将a代入g（x）中; 即可证出法二：可以证明事实上，令则（仅当x=0时等号成立），∴ψ（x）在[0，+∞）上单调递增，∴x>0时，ψ（x）>ψ（0）=0.令x=b-a，即得（*）式，结论得证.方法三：高等数学在导数中的应用导数试题中涉及到了较多的高等数学知识，比如洛必达法则、泰勒展开式、中值定理等。
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高考中数学导数的解法 1、导数的背景： （1）切线的斜率；（2）瞬时速度. 如一物体的运动方程是21stt，其中s的单位是米，t的单位是秒，那么物体在3t
时的瞬时速度为_____（答：5米/秒） 2、导函数的概念：如果函数()fx在开区间（a,b）内可导，对于开区间（a,b）内的每一个0x，都对应着一个导数 0fx ，这样()fx在开区间（a,b）内构成一个新的函数，这一新
的函数叫做()fx在开区间（a,b）内的导函数， 记作 0limxyfxyx0limxfxxfxx，导函数也简称为导数。 提醒：导数的另一种形式00
xx0)()(lim)(00xxxfxfxfyxx
如（1）*
11)(2xbaxxx
xfy 在1x处可导，则a b
解：
11)(2xbaxxx
xfy
在1x处可导，必连续1)(lim1xfx
baxfx)(lim1 1)1(f
∴ 1ba 2lim0xyx axyx0lim ∴ 2a 1b （2）*已知f(x)在x=a处可导，且f′(a)=b，求下列极限： （1）hhafhafh2)()3(lim0；
（2）hafhafh)()(lim20 分析：在导数定义中，增量△x的形式是多种多样，但不论△x选择哪种形式，△y也必须选择相对应的形式。利用函数f(x)在ax处可导的条件，可以将已给定的极限式恒等变形转化为导数定义的结构形式。 解：（1）hhafhafh2
)()3(lim0
hhafafafhafh2)()()()3(lim0
bafafhafhafhafhafhhafafhafhafhhhh2)('21)('23)()(lim213)()3(lim232)()(lim2)()3(lim0000
（2）
hhafhafhafhafhh22020)()(lim)()(
lim
00)('lim)()(lim0220afhh
afhaf
hh 说明：只有深刻理解概念的本质，才能灵活应用概念解题。解决这类问题的关键是等价
变形，使极限式转化为导数定义的结构形式。 可以证明：可导的奇函数的导函数是偶函数，可导的偶函数的导函数是奇函数 3、求()yfx在0x处的导数的步骤：（1）求函数的改变量00yfxxfx；（2）
求平均变化率00fxxfxyxxV；（3）取极限，得导数00limxyfxxV。 也可（1）求)(xf，（2）)(0xf
.
4、导数的几何意义：函数()fx在点0x处的导数的几何意义，就是曲线()yfx在点0,0Pxfx处的切线的斜率，即曲线()yfx在点0,0Pxfx处的切线的斜率是0fx，相
应地切线的方程是000yyfxxx。
特别提醒： （1）在求曲线的切线方程时，要注意区分所求切线是曲线上某点处的切线(只有当此点在曲线上时，此点处的切线的斜率才是0()fx
)，还是过某点的切线：曲线上某点处的
切线只有一条，而过某点的切线不一定只有一条，即使此点在曲线上也不一定只有一条切线，也未必和曲线只有一个交点； （2）求过某一点的切线方程时也是通过切点坐标来求。 如（1）P在曲线3
23xxy上移动，在点P处的切线的倾斜角为α，则α的取值范围是
______（答：),43[)2,0[）； （2）直线13xy是曲线axy3的一条切线,则实数a的值为_______（答：－3或1）； （4）曲线13xxy在点)3,1(处的切线方程是______________（答：410xy）； （5）已知函数xaxxxf4
3
2)(23，又导函数)('xfy的图象与x轴交于
(,0),(2,0),0kkk。①求a的值；②求过点)0,0(的曲线)(xfy的切线方程（答：①1；②4yx或358yx）。
5、导数的运算法则： ;)(;)(;)(2vvuvuvuvuvuuvvuvu 6.常见函数的导数公式:
（1）常数函数的导数为0，即0C（C为常数）； （2）1nnxnxnQ
，
与此有关的如下：1122111,2xxxxxx； cosx)(sinx ;e)(e-sinx;)(cosxxx ;log1)(log;x1)(lnxlna;a)(aeaxaxxx
7.（理科）复合函数的导数：;xuxuyy 一般按以下三个步骤进行： （1）适当选定中间变量，正确分解复合关系； （2）分步求导（弄清每一步求导是哪个变量对哪个变量求导）； （3）把中间变量代回原自变量（一般是x）的函数。 也就是说，首先，选定中间变量，分解复合关系，说明函数关系y=f(μ)，μ=f(x)；然后将已知函数对中间变量求导)'(y，中间变量对自变量求导)'(x；最后求xy''，并将中间
变量代回为自变量的函数。整个过程可简记为分解——求导——回代。熟练以后，可以省略中间过程。若遇多重复合，可以相应地多次用中间变量。 如（1）已知函数nmmxxf)(的导数为38)(xxf，则nm_____（答：14）； （2）函数2)1)(1(xxy的导数为__________（答：2321yxx）；
（3）若对任意xR，3
()4,(1)1fxxf，则)(xf是______（答：2)(4xxf）
8、函数的单调性： （1）函数的单调性与导数的关系 ①若()0fx,则()fx为增函数；若()0fx,则()fx为减函数；若()0fx恒成立,
则()fx为常数函数；若()fx的符号不确定,则()fx不是单调函数。可导函数y＝f（x）在某个区间内0)(xf是函数f(x)在该区间上为增函数的充分条件 ②若函数()yfx在区间（,ab）上单调递增，则()0fx，反之等号不成立（等号不恒成立时，反过来就成立）；若函数()yfx在区间（,ab）上单调递减，则()0fx，反之等号不成立（等号不恒成立时，反过来就成立）。 提醒：导数求单调性可用于求函数值域，证明不等式（不等式一端化为0） 如（1）函数cbxaxxxf
23)(，其中cba,,为实数，当032ba时，)(xf的单调
性是______（答：增函数）； （2）设0a函数axxxf
3)(在),1[上单调函数，则实数a的取值范围______（答：
03a）； （3）已知函数bbxxxf()(
3为常数）在区间)1,0(上单调递增，且方程0)(xf的根
都在区间]2,2[内，则b的取值范围是____________（答：[3,4]）； （4）已知1)(2xxf
，22)(24xxxg，设)()()(xfxgx，试问是否存在实数，使
)(x在)1,(上是减函数，并且在)0,1(上是增函数（答：4） （2）利用导数求函数单调区间的步骤：（1）求()fx（注意定义域）；（2）求方程()0fx
的根，设根为12,,nxxxL；（3）12,,nxxxL将给定区间分成n+1个子区间（在此有一个比较根
的大小问题），再在每一个子区间内判断()fx的符号，由此确定每一子区间的单调性。 如设函数cxbxaxxf23)(在1,1x处有极值，且2)2(f，求)(xf的单调区间。
（答：递增区间（－1,1），递减区间,1,(1,)） （3）利用导数函数的单调性确定参变数（已知函数)(xf的单调性） 转化为0)(0)(xfxf或恒成立 7、函数的极值： （1）定义：设函数()fx在点0x附近有定义，如果对0x附近所有的点，都有0()()fxfx，
就说是0()fx函数()fx的一个极大值。记作y极大值＝0()fx，如果对0x附近所有的点，都有
0()()fxfx，就说是0()fx函数()fx的一个极小值。记作y极小值＝0()fx。极大值和极小值统