湖南省长郡、雅礼、一中2021届高三联合考试理科数学试题 (PDF版)
2021届长郡十五校高三联考第一次考试 数学试卷
2021届长郡十五校高三联考第一次考试数学试卷啦扫刮啦妇牁扣岩由长郡中学；衡阳八中；永州市四中；岳阳县一中；湘虑县一中；湘西州民中；石I1一中；湟县一中；益阳市一中；桃源县一中；株洲市二中；麓山国际联合命题总分：150分时量：120分钟注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
I i· -i :!一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．-仁l．已知全集U={:JNix�i了，；合A={0,4,6,8,9, 10},B＝炉3<x<l5}，则（肛A)n B中元素的个数为A 5 B.4 C. 3 D.22．若复数之满足：z0+2i)=5，则它的共扼复数臼在复平面内对应的点在A．第四象限B．第三象限C．第二象限D．第一象限3.已知a,b都是实数，则”In—<In—”是“a2>炉＂的A．充要条件B．必要不充分条件C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件4．复兴号动车组列车，是中国标准动车组的中文命名，由中国铁路总公司牵头组织研制、具有完全自主知识产权、达到世界先进水平的动车组列车．2019年12月30日，CR400BF-C智能复兴号动车组在京张高铁实现时速350km自动驾驶，不仅速度比普通列车快，而且车内噪声更小．我们用声强I（单位：W/m2)表示声音在传播途径中每平方米上的声能流密度，声强级L（单位：dB)与声强I 的函数关系式为L= lOlg(a I)，已知I=l沪W／而时，L=10 d B.若要将某列车的声强级降低30 dB，则该列车的声强应变为原声强的A 10-2倍B. 10-3倍C. 10-4倍D.10一才倍`)｀ ` l5在平面四边形ABCD中，IABI=2, I.AD I＝屈，AC=2AB+3AD，若BD J_AC，则向益万泻五5夹角的余弦值为l_3A2一5Ri吾6c互3D6.若多项式工气泸＝a。
2021届湖南省长沙市雅礼中学高三上学期第五次月考数学试题 PDF版
21．（本小题满分 12 分）
如图，点 A 为椭圆 C1 : x2 2 y2 1 的左顶点，过 A 的直线 l1 交抛物线 C2 : y2 2 px( p 0) 于 B ，C 两点， 点 C 是 AB 的中点．
（1）若点 A 在抛物线 C2 的准线上，求抛物线 C2 的标准方程；
（2）若直线 l2 过点 C ，且倾斜角和直线 l1 的倾斜角互补，交椭圆 C1 于 M ， N 两点．
（ lg 2 0.3010 ，1g 3 0.4771 ）（ ）
A．12
B．14
C．16
D．18
7．在直角三角形 ABC 中， A 90 ， AB 2 ， AC 4 ， P 在 VABC 斜边 BC 的中线 AD 上，则 uuur uuur uuur AP (PB PC) 的最大值为（ ）
A． 25 8
B． 5 2
C． 25 4
D． 25 2
8 ． 已 知 f ( x) 是 定 义 在 R 上 的 函 数 ， 且 对 任 意 x R 都 有 f ( x 2 ) f ( 2 x ) 4f ( 2，)若 函 数
y f (x 1) 的图象关于点 (1,0) 对称，且 f (1) 3 ，则 f (2021) （ ）
17．（本小题满分 10 分）
在① sin B 3 cos B 2 ，② cos2 B 3cos 2B 0 ，③ b2 a2 c2 ac3 这三个条件中任选一个，
补充在下面的问题中，并进行解答．
问题：已知 VABC 的三边 a ，b ，c 所对的角分别为 A ，B ，C ，若 a 4 ，c 3b ，________，求VABC
5．B【解析】设事件 A 为只用现金支付，事件 B 为只用非现金支付，则 P( A B) P( A) P(B) P( AB) ．因
2021年高三下学期联合考试数学(理)试题 含答案
2021年高三下学期联合考试数学（理）试题含答案一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数满足，在复平面内复数对应的点在第一象限（其中为虚数单位），则实数的取值可以为（）A.0B.1C.﹣1D.22.已知实数满足约束条件则的最大值为( )A. -2B. -1C. 1D. 23.“”是“命题‘，不等式成立’为真命题”的（）A．充分不必要条件 B.必要不充分条件 C．充要条件 D.既不充分也不必要条件4.设，则的取值范围为（）A. B. C. D.5.《九章算术》卷5《商功》记载一个问题“今有圆堡瑽，周四丈八尺，高一丈一尺.问积几何？答曰：二千一百一十二尺.术曰：周自相乘，以高乘之，十二而一” .这里所说的圆堡瑽就是圆柱体，它的体积为“周自相乘，以高乘之，十二而一.”就是说：圆堡瑽(圆柱体)的体积为：V＝×(底面的圆周长的平方×高)．则由此可推得圆周率的取值为Array（）A.3B.3.14D.3.36.已知双曲线：的左顶点为，右焦点为，点，且，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.7.右图给出了一个程序框图，其作用是输入x的值，输出相应的y值．若要使输入的x值与输出的y值相等，则这样的x值有 ( )A．1个 B．2个 C．3个 D．4个8.已知等差数列的前项和为，且，，则过点和的直线的一个方向向量的坐标可以是( )A． B． C． D．9.若为偶函数，则的解集为（）A. B. C. D.10.如图所示，函数离轴最近的零点与最大值均在抛物线上，则＝（）A. B.C. D.11.如右下图所示为某几何体形状的纸盒的三视图，在此纸盒内放一个小正四面体，若小正四面体在纸盒内可以任意转动，则小正四面体的棱长的最大值为（）A. B. C. D.12.已知函数,,则的取值范围为（）A. B. C. D.二．填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分。
【数学】湖南省2021届高三高考联考试卷(解析版)
湖南省2021届高三高考数学联考试卷
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合A＝{x|x2﹣2x﹣3＜0}，B＝{x|x＞a}，若A∩B＝{x|a＜x＜a+1}，则a＝（）A．2B．1C．0D．﹣1
【答案】A
【解析】∵A＝{x|﹣1＜x＜3}，B＝{x|x＞a}，A∩B＝{x|a＜x＜a+1}，
∴a+1＝3，解得a＝2．
故选：A．
2．若（z+1）（1+i）＝i，则＝（）
A．B．C．i D．
【答案】C
【解析】∵（z+1）（1+i）＝i，∴z+1＝，
则z＝，故．
故选：C．
3．“a，b，c成等比数列”是“a2，b2，c2成等比数列”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】若a，b，c成等比数列，则b2＝ac，
此时a2c2＝（ac）2＝b4，则a2，b2，c2成等比数列，即充分性成立，
反之当a＝1，b＝1，c＝﹣1时满足a2，b2，c2成等比数列，但a，b，c不成等比数列，即必要性不成立，
即“a，b，c成等比数列”是“a2，b2，c2成等比数列”的充分不必要条件，
故选：A．
4．2019年底，武汉出现新型冠状病毒肺炎疫情，并快速席卷我国其他地区，口罩成了重要的防疫物资．某口罩生产厂不断加大投入，提高产量．现对其在2020年2月1日～2月9。
2021届湖南省长沙市长郡、雅礼、一中、附中高三上学期11月联合编审名校卷数学试题(解析版)
2021届湖南省长沙市长郡、雅礼、一中、附中高三上学期11月联合编审名校卷数学试题一、单选题1．已知集合{}{}22,,60A x x x Z B x x x =≤∈=--<∣，则A B =（ ）A ．{2,1,0,1,2,3}--B ．{2,1,0,1,2}--C ．{1,0,1,2}-D ．{2,1,0,1}--【答案】C【分析】化简集合A,B 再求交集即可 【详解】由题意{}{}2,2,1,0,1,2,A xx x Z =≤∈=--{}{}2603B x x x x x =--<=<<∣∣-2则A B ={1,0,1,2}-故选：C【点睛】本题考查交集的运算，考查一元二次不等式及绝对值不等式的解法，是基础题 2．若()11z i i +=-，则z =（ ） A ．1i - B ．1i +C ．i -D ．i【答案】C【分析】根据复数的除法运算，采用分母实数化的方法求解出z 的结果.【详解】因为21(1)21(1)(1)2i i iz i i i i ---====-++-， 故选：C .【点睛】本题考查复数的除法运算，难度较易.复数进行除法运算时，要注意将分母实数化即乘以分母的共轭复数.3．在等比数列{}n a 中，已知19nn n a a +=，则该数列的公比是( )A ．3-B ．3C ．3±D ．9【答案】B【分析】由已知结合等比数列的性质即可求解公比q ． 【详解】解：由190nn n a a +=>，∴11111999n n n n n n n n a a a a a a ++---===， 29q ∴=，故3q =或3q =-，当3q =-时，10n n a a +<不符合题意． 故选：B ．【点睛】此题考查了等比数列的性质的简单应用，属于基础题.4．已知数据1210,,,x x x ⋯，2的平均值为2，方差为1，则数据1210,,,x x x ⋯相对于原数据( ) A ．一样稳定 B ．变得比较稳定 C ．变得比较不稳定 D ．稳定性不可以判断【答案】C【分析】根据均值定义列式计算可得1210,,,x x x ⋯的和，从而得它们的均值，再由方差公式可得()()()2221210222x x x -+-⋯⋯+-，从而得方差．然后判断． 【详解】由题可得：12101210222011x x x x x x +++=⇒++=⇒平均值为2，由()()()22221210222(22)111x x x -+-⋯⋯+-+-=，()()()2221210222 1.1110x x x -+-⋯⋯+-=>，所以变得不稳定. 故选：C.【点睛】本题考查均值与方差的计算公式，考查方差的含义．属于基础题．5．中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外”，其中的“筹”原意是指《孙子算经》中记载的算筹.古代用算筹(一根根同样长短和粗细的小棍子)来进行运算.算筹的摆放有纵式､横式两种(如图所示).当表示一个多位数时，个位､百位､万位数用纵式表示，十位､千位､十万位数用横式表示，以此类推，遇零则置空.例如3266用算筹表示就是，则8771用算筹应表示为（ ）A．B．C．D．【答案】C【分析】根据算筹的定义和摆放方法解题．【详解】解：由算筹的定义，得，所以8771用算筹应表示，故选：C.【点睛】本题主要考查了新定义题型，理解算筹的定义是解题关键，属于基础题．6．过抛物线E：y2＝2x焦点的直线交E于A，B两点，线段AB中点M到y轴距离为1，则|AB|＝（）A．2 B．52C．3 D．4【答案】C【分析】设焦点为F，过A，B，M分别作准线12x=-的垂线，垂足为A′，B′，M′，求出3||2MM'=，即得解.【详解】设焦点为F，过A，B，M分别作准线12x=-的垂线，垂足为A′，B′，M′，则有|AA′|＝|AF|，|BB′|＝|BF|，|AA′|+|BB′|＝2|MM′|，∵M到y轴距离为1，∴3||2 MM'=，∴|AB|＝|AF|+|BF|＝2|MM′|＝3．故选：C．【点睛】本题主要考查抛物线的定义和几何性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.7．如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若⋅=，则AE BF2AB AF⋅的值是（）A．22B．1C2D．2【答案】C【分析】根据所给的图形，把已知向量用矩形的边所在的向量来表示，做出要用的向量的模长，表示出要求得向量的数量积，注意应用垂直的向量数量积等于0，得到结果．【详解】∵AF AD DF=+，()···+==2||=2=+=⋅⋅AB AF AB AD DF AB AD AB DF AB DF DF∴|DF|=1，|C F2﹣1，()()()AE BF AB BE BC CF AB CF BE BC⋅=+⋅+=⋅+⋅=--+⨯=221122故答案为C.【点睛】(1)向量的运算将向量与代数有机结合起来，这就为向量和函数的结合提供了前提，运用向量的有关知识可以解决某些函数问题；(2)以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题.通过向量的运算，将问题转化为解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法；(3)向量的两个作用：①载体作用：关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣”，转化为我们熟悉的数学问题；②工具作用：利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题.8．某程序框图如图所示，则该程序运行后输出x+y的值是（）A ．-4B ．-3C ．-2D ．-1【答案】D【分析】按照循环结构，先赋值0,1,1i x y === 进入循环，第一次循环，此时13≤成立，进入第二次循环，此时23≤ 成立，进入第三次循环，此时33≤成立，进入第四次循环，此时43≤不成立，结束.【详解】根据题意，先赋值0,1,1i x y === 第一次循环0,1,1x y i ===，13≤ 成立； 第二次循环1,0,2x y i =-==，23≤ 成立 第三次循环1,1,3x y i =-=-=，33≤ 成立 第四次循环0,1,4x y i ==-=，43≤不成立， 结束，输出1x y +=-. 故选：D【点睛】本题主要考查了程序框图中的循环结构，还考查了推理数据处理能力，属于基础题.9．已知函数2ln ()xf x ax x=-，若曲线y ＝f (x )在(1，f (1))处的切线与直线2x -y +1＝0平行，则a ＝（ ） A ．12-B ．12C ．1D ．2【答案】A【分析】求出函数的导函数，再根据曲线()y f x =在点()()11f ，处的切线与直线2x −y +1=0平行，由()112k f a '==-求解.【详解】函数2ln ()x f x ax x =-的导数为21ln ()2xf x ax x'-=-， 可得曲线y ＝f (x )在(1，f (1))处的切线的斜率为()112k f a '==-， 由切线与直线2x -y +1＝0平行，可得1-2a ＝2，解得12a =-． 故选：A【点睛】本题主要考查导数的几何意义，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 10．如图，网格纸上小正方形边长为1，粗线是一个棱锥的三视图，则此棱锥的表面积为（ ）A ．42236++B ．42436++C ．2320+D ．4263+【答案】A【分析】先找到几何体的原图，再求几何体的表面积.【详解】由已知中的三视图可得：此棱锥的直观图如图所示（四棱锥P ABCD -）：其底面ABCD 为一个底边长是22的矩形，侧面PBC 是边长为22侧面ABP ，ADP ，CDP 均是边长为2的等腰直角三角形， 所以其表面积为23222(22)3S =⨯+⨯212422362⨯=，故选：A ．【点睛】本题主要考查三视图还原几何体原图，考查几何体表面积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.11．若0＜a ＜b ＜c ，且abc ＝1，则下列结论正确的是（ ） ①2a +2b ＞4 ②lg a +lg b ＜0 ③a +c 2＞2 ④a 2+c ＞2 A ．①② B ．②③C ．②④D ．①③【答案】B【分析】由题干分析得0＜a ＜1，c ＞1，0＜ab ＜1，bc ＞1，①可变形为2a (1-2bc )+2b (1-2ac )，利用指数函数性质可判断；②利用对数函数性质可判断；③结合基本不等式222a c ac +>再进一步放缩可判断；④代换成关于a 的表达式，再利用导数研究即可 【详解】由题意0＜a ＜b ＜c 且abc ＝1，∴0＜a ＜1，c ＞1，0＜ab ＜1，bc ＞1． 2a +2b -4＝2a +2b -2abc -2abc ＝2a (1-2bc )+2b (1-2ac )，∵0＜a ＜b ＜c ，∴bc ＞0，ac ＞0，2bc ＞1， 2ac ＞1，所以2a +2b -4＜0，所以①错； lg a +lg b ＝lg ab ＜0，②正确；2212a c ac abc +>>=，所以a +c 2＞2，③正确；由题意，令b ＝1，则1c a =，221a c a a +=+，令21()f a a a =+，(0＜a ＜1)，则322121()2a f a a a a -'=-=， 令f′(a )＝0，得1301(0,1)2a a ⎛⎫==∈ ⎪⎝⎭，所以f (a )在(0，a 0)上单调递减，在(a 0，1)上单调递增， 所以f (a 0)＜f (1)＝2，所以④错误． 故选：B ．【点睛】本题考查利用指数函数、对数函数的单调性，基本不等式，导数进行大小比较，综合性强，方法选用灵活度高，解题关键在于合理变形与方法应用，属于难题二、多选题12．函数()sin()(0,0)f x A x A ωϕϕπ=+><<的部分图象如图中实线所示，图中圆C 与()f x 的图象交于M ，N 两点，且M 在y 轴上，则下列说法中正确的是（ ）A ．函数()f x 在3,2ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递增 B ．函数()f x 的图象关于点2,03π⎛⎫- ⎪⎝⎭成中心对称 C ．函数()f x 的图象向右平移512π个单位后关于直线56x π=成轴对称D ．若圆半径为512π，则函数()f x 的解析式为()23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭【答案】BD【分析】由图易得点C 的横坐标为3π，所以()f x 的周期T π=，所以2ω=,从而可得()()sin 203f x A x A π⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，，根据三角函数的图象性质对选项进行逐一分析可得答案.【详解】由图易得点C 的横坐标为3π，所以()f x 的周期T π=，所以2ω=，又06f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 所以3πϕ=，因此()()sin 203f x A x A π⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，. 222,232k x k k Z πππππ-<+<+∈5,1212k x k k Z ππππ-<<+∈ 所以函数()f x 在51212k k k Z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭，，上单调递增. 3222,232k x k k Z πππππ+<+<+∈ 7,1212k x k k Z ππππ+<<+∈ 所以函数()f x 在71212k k k Z ππππ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭，，上单调递减. 则函数()f x 在1112ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，上单调递减，所以选项A 不正确.由2,3x k k Z ππ+=∈,得,26k x k Z ππ=-∈函数()f x 的图象的对称中心为0,26k k Z ππ⎛⎫-∈⎪⎝⎭， 所以函数()f x 的图象关于点2,03π⎛⎫- ⎪⎝⎭成中心对称，故选项B 正确. 函数()f x 的图象向右平移512π个单位得到()cos2f x A x =-，直线56x π=不是此时的对称轴，故选项C 不正确.若圆半径为512πA =，∴A =，函数()f x的解折式为()23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭故选：BD .【点睛】本题考查根据三角函数的图象求解析式，考查三角函数的单调性和对称性等性质，属于中档题.三、填空题13．若x ，y 满足约束条件2020x x y x y ≥-⎧⎪+≥⎨⎪-+≤⎩则2z x y =-的最大值为______．【答案】3-【详解】分析：画出约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．详解：由x ，y 满足约束条件2,0,20,x x y x y ≥-⎧⎪+≥⎨⎪-+≤⎩作出可行域如图，化目标函数z=x ﹣2y 为y=12x ﹣2z ， 由图可知，当直线y=12x ﹣2z 过点A （﹣1，1）时，直线在y 轴上的截距最小，z 有最大值为﹣3． 故答案为﹣3点睛：本题考查简单的线性规划，意在考查学生线性规划基础知识的掌握能力和数形结合的解题思想方法.14．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，523S =，360n S =，5183n S -=，则n =________．【答案】18【分析】根据题中条件，得到12345523S a a a a a =++++=51234177n n n n n n n S S a a a a a ------=++++=，由等差数列的性质，求出140n a a +=，再由求和公式，列式求解，即可得出结果. 【详解】由题意知12345523S a a a a a =++++=，51234177n n n n n n n S S a a a a a ------=++++=，两式相加可得：()()()()()12132435423177200n n n n n a a a a a a a a a a ----+++++=+++++=，所以140n a a +=， 则1220360nn S n n a a +=⨯==，因此18n =． 故答案为：18.【点睛】本题主要考查等差数列性质的应用，考查等差数列前n 项和基本量的运算，属于常考题.15．过双曲线()222210,0y x a b a b-=>>的下焦点1F 作y 轴的垂线，交双曲线于,A B 两点，若以AB 为直径的圆恰好过其上焦点2F ,则双曲线的离心率为__________． 【答案】12+【解析】过双曲线()222210,0y x a b a b -=>>的下焦点1F 作y 轴的垂线，交双曲线于A ，B 两点，则22b AB a=，以AB 为直径的圆恰好过其上焦点2F ，可得：22b c a=，∴2220c a ac --=，可得2210e e --=，解得12e =+，12e =-舍去，故答案为12+.16．四棱锥P -ABCD 的底面ABCD 是矩形，侧面PAD ⊥平面ABCD ，∠APD ＝120°，AB ＝PA ＝PD ＝2，则该四棱锥P -ABCD 外接球的体积为________． 【答案】205π3【分析】设球心为O ，ABCD 的中心为O′，设O 到平面ABCD 的距离为d ，利用勾股定理，所以R 2＝d 2+22＝12+(1+d )2，解得d ＝1，5R =可得答案.【详解】取AD 的中点E ，连接PE ，△P AD 中，∠APD ＝120°，P A ＝PD ＝2，∴PE ＝1，23AD =，设ABCD 的中心为O′，球心为O ，则122O B BD '==，设O 到平面ABCD 的距离为d ，则R 2＝d 2+22＝12+(1+d )2，∴d ＝1，5R =，∴四棱锥P -ABCD 的外接球的体积为34205ππ3R =．故答案为：205π3【点睛】本题主要考查几何体的外接球问题，考查了矩形的几何性质.四、解答题17．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且3c =，3sin cos a c A a C =-．（1）求C ∠；（2）求ABC 周长的最大值． 【答案】（1）π3C =；（2）33. 【分析】（1）根据题中条件，由正弦定理，得到π1sin 62C ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，再由角的范围，即可得出结果；（2）根据题中条件，由余弦定理，可得223a b ab +-=，再结合基本不等式，即可求出最值.【详解】（1）∵3sin cos a c A a C =-， 由正弦定理得：sin 3sin sin sin cos A C A A C =-，∵sin 0A ≠，∴3sin cos 1C C -=，即π1sin 62C ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，又0C π<<，∴ππ5π666C -<-<，故ππ66C -=，即π3C =； （2）由（1）可知，π3C =，在ABC 中，由余弦定理得222cos 3a b ab C +-=，即223a b ab +-=，∴223()()334a b a b ab ++-=≤，∴23a b +≤，当且仅当a ＝b 时取等号，∴33a b c ++≤， 即ABC 周长的最大值为33．【点睛】本题主要考查正弦定理与余弦定理的应用，考查求三角形周长的最值，属于基础题型.18．如图，四边形ABCD 为矩形，BC ⊥平面ABE ，F 为CE 上的点，且BF ⊥平面ACE ．（1）求证：AE BE ⊥；（2）设点M 为线段AB 的中点，点N 为线段CE 的中点．求证：//MN 平面DAE ．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）由线面垂直的性质和判定,结合题意得出AE BC ⊥且AE BF ⊥,可得AE ⊥平面BCE ，再结合BC ⊂平面BCE ，即可证明AE BE ⊥；（2）取DE 的中点P ，连结PA ，PN ，利用三角形的中位线定理和矩形的性质，证出//PN AM ，且PN AM =，可得四边形AMNP 是平行四边形，从而//MN AP ，结合线面平行的判定定理即可证明//MN 平面DAE ．【详解】（1）因为BC ⊥平面ABE ，AE ⊂平面ABE ，所以AE BC ⊥， 又BF ⊥平面ACE ，AE ⊂平面ACE ，所以AE BF ⊥， 又BF BC B ⋂=，所以AE ⊥平面BCE ， 又BC ⊂平面BCE ，所以AE BE ⊥．（2）取DE 的中点P ，连结PA ，PN ，因为点N 为线段CE 的中点．所以//PN DC ，且12PN DC =， 又四边形ABCD 是矩形，点M 为线段AB 的中点，所以//AM DC ，且12AM DC =，所以//PN AM ，且PN AM =，故四边形AMNP 是平行四边形，所以//MN AP ， 而AP ⊂平面DAE ，MN ⊄平面DAE ，所以//MN 平面DAE ．【点睛】本题考查了线面垂直证明线线垂直，考查了线面平行的判定定理，属于中档题. 19．一汽车厂生产A ，B ，C 三类轿车，每类轿车均有舒适型和标准型两种型号，某月的产量如表（单位：辆）：轿车A 轿车B 轿车C 舒适型 100 150 z 标准型300450600按类用分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆，其中有A 类轿车10辆． （1）求z 的值；（2）用分层抽样的方法在C 类轿车中抽取一个容量为5的样本．将该样本看成一个总体，从中任取2辆，求至少有1辆舒适型轿车的概率；（3）用随机抽样的方法从B 类舒适型轿车中抽取8辆，经检测它们的得分x 的值如下：9.4，8.6，9.2，9.6，8.7，9.3，9.0，8.2，把这8辆轿车的得分看成一个总体，从中任取一个数()18,i x i i N ≤≤∈，设样本平均数为x ，求0.5i x x -≤的概率． 【答案】（1）z ＝400；（2）710；（3）34. 【分析】（1）根据分层抽样原理可计算得到生产轿车总量，由此求得z ；（2）根据分层抽样与案例可计算得到所抽取样本中两类轿车数量，利用列举法可求得结果；（3）计算求得样本平均数后，根据列举法可求得结果. 【详解】（1）设该厂这个月共生产轿车n 辆，由题意得：5010100300n =+，解得：2000n =．则()()2000100300150450600400z =-+-+-=． （2）设所抽样本中有a 辆舒适型轿车，由题意得：40010005a=，解得：2a =. 因此抽取的容量为5的样本中，有2辆舒适型轿车，3辆标准型轿车．用12,A A 表示2辆舒适型轿车，用123,,B B B 表示3辆标准型轿车，用E 表示事件“在该样本中任取2辆，其中至少有1辆舒适型轿车”，则基本事件空间包含的基本事件有：()12,A A ，()11,A B ，()12,A B ，()13,A B ，()21,A B ，()22,A B ，()23,A B ，()12,B B ，()13,B B ，()23,B B ，共10个．事件E 包含的基本事件有：()12,A A ，()11,A B ，()12,A B ，()13,A B ，()21,A B ，()22,A B ，()23,A B ，共7个．()710P E ∴=，即所求概率为710．（3）样本平均数()19.48.69.29.68.79.39.08.298x =⨯+++++++=，设D 表示事件“从样本中任取一数，该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5”， 则基本事件空间中有8个基本事件，事件D 包括的基本事件有：9.4，8.6，9.2，8.7，9.3，9.0，共6个，()6384P D ∴==，即所求概率为34． 【点睛】本题考查古典概型概率问题的求解，涉及到分层抽样基本量的计算、列举法的应用等知识；解题关键是能够熟练应用列举法得到基本事件总数和满足题意的基本事件个数，属于基础题.20．设函数()cos x f x ae x =+，其中a R ∈. （1）若1a =，证明：当0x >时，()2f x >；（2）若()f x 在区间[0,]π内有两个不同的零点，求a 的取值范围.【答案】（1）证明见解析；（2）34,2e ππ--⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭. 【分析】（1）由()sin 0xf x e x '=->得()f x 在(0,)+∞上为增函数，则()(0)2f x f >=从而得证. （2）即cos x xa e =-在区间[0,]π内有两个不同的实数根,设cos (),xx h x e=-求出()h x 的导数，研究出()h x 的单调性，从而可得答案.【详解】（1）()sin xf x e x '=-，由0x >，得1,sin [1,1]xe x >∈-，则()sin 0xf x e x '=->，即()f x 在(0,)+∞上为增函数.故()(0)2f x f >=，即()2f x >.（2）由()cos 0xf x ae x =+=，得cos x xa e=-. 设函数cos (),[0,]x xh x x eπ=-∈， 则sin cos ()xx xh x e '+=.令()0h x '=，得34x π=. 则30,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，3()0,,4h x x ππ'⎛⎤>∈ ⎥⎝⎦时，()0h x '<， 所以()h x 在30,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调逼增，在3,4ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调减.又因为343(0)1,(),42h h e h e ππππ--⎛⎫=-== ⎪⎝⎭，所以当34,2a e e ππ--⎡⎫∈⎪⎢⎪⎣⎭时，方程cos x xa e =-在区间[0,]π内有两个不同解，即所求实数a 的取值范围为34,2e e ππ--⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭. 【点睛】本题考查利用导数证明不等式和利用导数研究零点问题，考查等价转化的能力，属于中档题.21．已知点P 是圆22:(2)32Q x y ++=上任意一点，定点(2,0)R ，线段PR 的垂直平分线l 与半径PQ 相交于M 点，P 在圆周上运动时，设点M 的运动轨迹为Γ. （1）求点M 的轨迹Γ的方程；（2）若点N 在双曲线22142x y -=(顶点除外)上运动，过点N ，R 的直线与曲线Γ相交于,A B ，过点,N Q 的直线与曲线相Γ交于,C D ，试探究||||AB CD +是否为定值，若为定值请求出这个定值，若不为定值，请说明理由.【答案】（1）22184x y +=；（2）存在，定值为：【分析】（1）根据椭圆定义即可求出结果；（2）设()00,N x y 得直线,NR NQ 的斜率乘积12k k 12=，利用点斜式方程设出直线NR ，NQ 的方程，与（1）的方程联立，写出根与系数的关系，利用弦长公式求出|AB |，|CD |的长度，然后求和，通过计算可得出结果． 【详解】（1）依题意：||||MP MR =，且||||||||||4||MR MQ MQ MP PQ RQ +=+==>=，由椭圆定义知点M 的轨迹为以R ，Q 为焦点，长轴长为，焦距为4的椭圆，即：2,2a c b ===，故22:184x y Γ+=.（2）设()00,N x y ，则220001,242x y x -=≠±，∴直线,NR NQ 的斜率都存在，分别设为12,k k ，则2020001222000021222442x y y y k k x x x x -=⋅===+---， 将直线NR 的方程1(2)y k x =-代入22184x y +=得()2222111218880k x k x k +-+-=，设()()1122,,,A x y B x y ，则221112122211888,2121k k x x x x k k -+==++，∴21211||21k AB k +==+，同理可得22221||21k CD k +=+，()22221211222121212121111114||||121212112321221k k k k AB CD k k k k k k ⎛⎫+⎪⎫+++⎪∴+=+=+⎪+++⎪⎭+ ⎪⎝⎭+==+ 【点睛】本题考查了椭圆定义以及根与系数的关系，弦长公式，考查了学生的运算转化能力，属于中档题．22．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为8242x tt y t ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩（t 为参数）.以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2sin ρθ=. （1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程； （2）若射线4πθ=（0ρ>）与直线l 和曲线C 分别交于A ，B 两点，求||AB 的值.【答案】（1）40x y +-=（0x ≠），2220x y y +-=；（2.【分析】（1）将直线l 的参数方程消参，即可得直线l 的普通方程，要注意0x ≠；将曲线C 的极坐标方程两边同乘ρ，再将sin y ρθ=，222x y ρ+=代入，即可得曲线C 的直角坐标方程；（2）先将直线l 的直角坐标方程化为极坐标方程，再将4πθ=（0ρ>）代入直线l 和曲线C 的极坐标方程中，可得点A ，B 对应的极径，利用||A B AB ρρ=-计算，即可求解.【详解】（1）由82xt=+得0x≠，将8242xtt yt⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩（t为参数）消去参数t，得直线l的普通方程为40x y+-=（0x≠）.由2sinρθ=得22sinρρθ=，将sinyρθ=，222x yρ=+代入上式，得2220x y y+-=，所以曲线C的直角坐标方程为2220x y y+-=.（2）由（1）可知直线l的普通方程为40x y+-=（0x≠），化为极坐标方程得cos sin40ρθρθ+-=（2πθ≠），当4πθ=（0ρ>）时，设A，B两点的极坐标分别为1,4πρ⎛⎫⎪⎝⎭，,4Bπρ⎛⎫⎪⎝⎭，则22Aρ=，2sin24Bπρ==，所以|||222|2A BABρρ=-=-=.【点睛】本题考查直角坐标方程与极坐标方程的互化、参数方程与普通方程的互化及参数的几何意义，考查运算求解能力，考查数学运算核心素养，属于常考题.23．已知函数()32f x x=+．（1）解不等式()41f x x<--.（2）若0a>且()4x a f x--≤恒成立，求实数a的取值范围．【答案】（1）51(,)42-（2）100,3⎛⎤⎥⎝⎦．【详解】（1）不等式．当，，解之得；当时，，解之得；当时，，无解．综上，不等式的解集为51 (,)42（2）令，则当时，．欲使不等式恒成立，只需，即．又因为，所以，即．．。
湖南省长郡、雅礼、一中高2021届高2018级高三上学期联合考试理科数学试题参考答案
2021届高三月考试卷一(全国卷)数学(理科)参考答案1.【参考答案】B故选B.2.【参考答案】C【解答】解:因为()1i 2i z -=,故选C.3.【参考答案】B【解答】解:()51x -展开式中2x 项的系数:()3351C 10-=-；()51x -展开式中4x 项的系数:()151C 5-⋅=-；故选B.4.【参考答案】A【解答】解:根据题意,设()10,1e =,()21,0e =, (1231,3e e +=,()12,1e e λλ-=-故选A.5.【参考答案】D故选D6.【参考答案】A故选A.7.【参考答案】C∴<<b a c . 故选C.8.【参考答案】A所以函数()f x 为奇函数,排除选项D ；综上可知,()f x 在()0,+∞上单调递增,排除选项B 和C. 故选A.9.【参考答案】D【解答】如图所示,过点P 作//PF AC ,交VC 于点F ,过点F 作//FE VB 交BC 于点E ,过点E作//EQ AC ,交AB 于点Q ； 由作图可知://EQ PF ,所以四边形EFPQ 是平行四边形；所以截面四边形EFPQ 的周长为()2216⨯+=. 故选D.10.【参考答案】A故C 大约增加了10%. 故选A.11.【参考答案】D故选D.12.【参考答案】A∵四边形PFQF 为平行四边形,则1PF FQ =,1PF QF =,∵190OPF ∠=︒,∵()()22223b a a +=,整理得:222b a =,故选A.4【解答】解:法一:每位学生选择三个锻炼项目有13C 种,则4人总的选择方式共有()4143C 3=种,其中甲、乙的选择方式有()2122C2=种,其余两人仍有()2123C3=种,法二:只考虑甲、乙的选择,不加限制均为3种,受到限制后均为2种, 而甲乙的选择相互独立,14.【参考答案】18∵α,β均为锐角,∵>0x ,>0y ,故答案为18. 15.【参考答案】2【解答】解:如图,设底面圆的圆心为O ,S 、A 、B 、C 四点所在球面的球心为1O ,连接SO ,设球1O 的半径为R ,故答案为2.AD CD又sin 3sin ABD DBC ∠=∠.故3AD CD =.而3AD =.∵1CD =.∵2340x x --=.∵4x =.即4AB =.(2)设O 为AC 中点,1O 为11A C 中点,以射线OB ,OC ,1OO 为非负x ,y ,z 轴. 建立空间直角坐标系,∴1,2AB ⎛= ,(0,AD =,(0,AC =,11,2AB ⎛= 设(1,m x y =00m AB m AD ⎧⋅=⇒⎪⎨⋅=⇒⎪⎩取(3,m =设(22,,n x y =100n AC n AB ⎧⋅=⇒⎪⎨⋅=⇒⎪⎩取(4,0,1n =-3,35711917m n ==设椭圆方程为22244x y b +=, 将M 点坐标代入可得1b =,由于220044x y +=,(2)由于从顶点A 出发经过n 步到达点C 的概率为n q , 则由A 出发经过n 步到达点1B ,1D 的概率也是n q ,n 为奇数时0n n p q ==,所以30n n p q +=,n 为偶数时,由A 出发经过n 步不可能到1A ,B ,D ,1C 这四个点,31n n p q +=.由A 出发经过n (n 为偶数)步再回到A 的路径分为以下四类:令()0f x '≥得0<1x ≤.故()f x 在()0,1单调递增,在()1,+∞单调递减, ∵()()max 11f x f ==-.(2)设()()2ln 21g x x t x x =+---,∵若1e t ≤≤,则0x ≥时,240x -≤,()410t x -+≤,10t -≤,>0x t +, 此时()0g x '≤对0x ≥恒成立,故()g x 在[)0,+∞单调递减,()()0ln 10g x g t ≤=-≤, 故[]1,e t ∈符合要求.∵若0<<1t ,由于()ln 1f x x x =-≤-故ln 1x x ≤-,∵()ln 1x t x t +≤+-,而()()22211222>0x x x t x t t ++-+-=-+≥-对0x ≥恒成立, ∵()2211ln x x x t x t ++≥+-≥+.∵()0,1t ∈符合要求, 综上,t 的取值范围为(]0,e .22.【参考答案】(1)∵曲线2C 的方程为()2sin2cos >0p p ρθθ=,∵22sin 2cos p ρθρθ=,即()22>0y px p =.∵曲线2C 的直角坐标方程为()22>0y px p =,又已知2p =,∵曲线2C 的直角坐标方程为24y x =.11∵实数a的取值范围是()(),04,-∞⋃+∞.∵2<2a =-符合题意,∵2a =-.。
2021届湖南长郡中学新高考模拟考试(一)数学(理)试题
即 ，
可知，循环变量 的初值为1，终值为1011， 的步长值为1，循环共执行1011次，
可得②中填入的可以是 ，
又 的值为正奇数倒数正负交错相加，
可得①中填入的可以是 .
故选：D．
【点睛】本题考查由循环程序框图的输出值选择条件，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．
8.已知函数 的图象如图所示，则函数 的图象可能（）
4、主观题的作答：用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非主观题答题区域的答案一律无效。
5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
所以 ≥ ，即 ≤ ，当且仅当 时取等号，
所以 的最大值为 ，
故选：B
【点睛】此题考查两直线垂直的性质，利用基本不等式求最值，属于基础题.
7.2019年11月26日，联合国教科文组织宣布3月14日为“国际数学日”（昵称： ），2020年3月14日是第一个“国际数学日”．圆周率 是圆的周长与直径的比值，是一个在数学及物理学中普遍存在的数学常数． 有许多奇妙性质，如莱布尼兹恒等式 ，即为正奇数倒数正负交错相加等．小红设计了如图所示的程序框图，要求输出的 值与 非常近似，则①、②中分别填入的可以是（）
9.中国是茶的故乡，也是茶文化的发源地.中国茶的发现和利用已有四千七百多年的历史，且长盛不衰，传遍全球.为了弘扬中国茶文化，某酒店推出特色茶食品“金萱排骨茶”，为了解每壶“金萱排骨茶”中所放茶叶量 克与食客的满意率 的关系，通过试验调查研究，发现可选择函数模型 来拟合 与 的关系，根据以下数据：
湖南省雅礼中学2021届高三上学期月考试卷(四)数学试题 PDF版含答案
q 2 或 q 0 （舍 ) ，an a1qn1 2n1 ；
（2）由（1）知： an
2n1 ，bn
log2
1 an1 log2
an3
1 n(n
2)
1 (1 2n
1 n
)， 2
Tn
1 [(1 21
1) 3
(1 2
1) 4
(1 3
1) 5
(1 n 1
1) n 1
(1 n
（2）设 bn
log2
1 an1 log2
an3
，求数列 {bn} 的前
n
项和 Tn
．
19．（本小题满分 12 分） 如图，在四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 为正方形，PA 底面 ABCD ，PA AB ，E 为线段 PB 的中点．
（1）证明：点 F 在线段 BC 上移动时，△AEF 为直角三角形； （2）若 F 为线段 BC 的中点，求二面角 A EF D 的余弦值．
湖南省长郡中学、雅礼中学等四校2021届高三数学2月联考(线上)试题 文(含解析).doc
湖南省长郡中学、雅礼中学等四校2021届高三数学2月联考（线上）试题 文（含解析）一､选择题1.已知集合{}220A x x x =∈-++≥N ，则满足条件A B A ⋃=的集合B 的个数为( ) A. 3 B. 4 C. 7 D. 8【答案】D 【解析】 【分析】可以求出集合{}0,1,2A =，由A B A ⋃=可得B A ⊆，从而求集合A 的子集个数即可. 【详解】解：{}{}2200,1,2A x x x =∈-++≥=N ，∵A B A ⋃=， ∴B A ⊆，∴集合A 的子集个数为328=个. 故选：D.【点睛】本题考查并集的运算及理解，是基础题. 2.已知i 为虚数单位，,a b ∈R ，复数12ii a bi i+-=+-，则a bi -=（ ） A.1255i - B. 1255i + C. 2155i -D.21i 55+ 【答案】B 【解析】 【分析】由复数的除法运算，可得(1)(2)12(2)(2)55i i i i i i a b i=+++-=--+，即可求解a b i -，得到答案．详解】由题意，复数12ii a bi i+-=+-，得(1)(2)1312(2)(2)555i i a b i=i i i i i i ++++-=-=--+， 所以1255a b i=i -+，故选B ． 【点睛】本题主要考查了复数的运算，其中解答中熟记复数的基本运算法则，准确化简是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．3.已知()1,2A ，()2,3B ，()1,C m -，若BA BC BA BC +=-，则2AC =( )A. 6B.C. 16D. 20【答案】D 【解析】 【分析】代入坐标可求出(4,4),(2,2)BA BC m BA BC m +=---=-，利用模的坐标运算列方程可得6m =，进而可求出AC 的坐标，则2AC 可求.【详解】解：(1,1),(3,3)BA BC m =--=--，(2,2)CA m =-，(4,4),(2,2)BA BC m BA BC CA m ∴+=---==-，又BA BC BA BC +=-，2216(4)4(2)m m ∴+-=+-，解得6m =，(2,4)AC ∴=-，241620AC ∴=+=.故选：D.【点睛】考查根据点的坐标求向量的坐标的方法，向量坐标的加法运算，向量减法的几何意义，以及根据向量坐标求向量长度的方法，是基础题. 4.已知命题p :“0x R ∃∈，0101x >+”的否定是“x R ∀∈，101x ≤+”；命题q :“2020x <”的一个充分不必要条件是“2019x <”，则下列命题为真命题的是（ ）A. p q ∧B. q ⌝C. ()p q ∨⌝D. ()p q ⌝∧【答案】D 【解析】 【分析】根据条件分别判断命题,p q 的真假，结合复合命题真假关系进行判断即可．【详解】命题p ：“0x R ∃∈，0101x >+”的否定是“x R ∀∈，101x <+或10x +=”. 则命题p 是假命题.命题q ：“2020x <”的一个充分不必要条件是“2019x <”，为真命题. 则()p q ⌝∧为真命题，其余为假命题. 故选：D ．【点睛】本题主要考查复合命题真假关系的应用，根据条件判断命题,p q 的真假是解决本题的关键．属于基础题.5.分形几何是美籍法国数学家芒德勃罗在20世纪70年代创立的一门数学新分支，其中的“谢尔宾斯基”图形的作法是:先作一个正三角形，挖去一个“中心三角形”(即以原三角形各边的中点为顶点的三角形)，然后在剩下的每个小正三角形中又挖去一个“中心三角形”.按上述方法无限连续地作下去直到无穷，最终所得的极限图形称为“谢尔宾斯基”图形(如图所示)，按上述操作7次后，“谢尔宾斯基”图形中的小正三角形的个数为（ ）A. 53B. 63C. 73D. 83【答案】C 【解析】 【分析】根据题意分别求出第1,2,3次操作后，图形中的小正三角形的个数，然后可归纳出一般结论，得到答案.【详解】如图，根据题意第1次操作后，图形中有3个小正三角. 第2次操作后，图形中有3×3=23个小正三角. 第3次操作后，图形中有9×3=33个小正三角. …………………………所以第7次操作后，图形中有73 个小正三角.故选：C【点睛】本题考查归纳推理，属于中档题.6.将函数()2sin 1f x x π=-的图象向左平移ϕ（102ϕ<<）个单位长度后得到函数()g x 的图象，若使()()4f a g b -=成立的a 、b 有min 34a b -=，则下列直线中可以是函数()y g x =图象的对称轴的是( )A. 14x =-B. 12x =C. 34x =D. 54x =【答案】D 【解析】 【分析】根据三角函数平移关系求出()g x 的解析式，结合()()4f a g b -=成立的,a b 有min 34a b -=，求出,a b 的关系，结合最小值建立方程求出ϕ的值即可. 【详解】解：将函数()2sin 1f x x π=-的图象向左平移ϕ（102ϕ<<）个单位长度后得到函数()g x 的图象，即()2sin ()1g x x πϕ=+-， 若()()4f a g b -=成立， 即|2sin 2sin (+)|=4a b ππϕ-， 即|sin sin ()|2a b ππϕ-+=，则sin a π与sin ()b πϕ+一个取最大值1，一个取最小值−1，不妨设sin 1,sin ()1a b ππϕ=+=-， 则2,,()2,22a k k Zb n n Z πππππϕπ=+∈+=-∈，得112,222a kb n ϕ=+=--， 则2()1a b k n ϕ-=-++，∵min 34a b -=， ∴当0k n -=时，3||11,2a b ϕ⎛⎫-=+∈ ⎪⎝⎭， 当1k n -=-时，1|||1|,12a b ϕ⎛⎫-=-∈⎪⎝⎭， 3|1|4ϕ∴-=， 则314ϕ-=或314ϕ-=-， 即14ϕ=或74ϕ=（舍）， 即1()2sin 12sin 144g x x x πππ⎛⎫⎛⎫=+-=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由,42x k k Z ππππ+=+∈，得1,4x k k Z =+∈， 当1k =时，对称轴方程为54x =. 故选：D.【点睛】本题考查三角函数的图象平移，以及三角函数的图象和性质，结合三角函数的最值性建立方程关系求出,a b 的大小，结合最小值求出ϕ的值是解决本题的关键.考查分析问题解决问题的能力，有一定难度.7.《海岛算经》中有这样一个问题，大意为：某粮行用芦席围成一个粮仓装满米，该粮仓的三视图如图所示（单位：尺，1尺0.33≈米），已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，则估算出该粮仓存放的米约为( )A. 43斛B. 45斛C. 47斛D. 49斛【答案】D 【解析】 【分析】首先判断该几何体的形状，然后根据其体积计算公式计算即可. 【详解】解：观察发现该几何体为圆台和圆柱的结合体，其体积为：2221179262211333ππππ⨯⨯+⨯⨯⨯-⨯⨯⨯=（尺）， 则该粮仓存放的米约为793 1.62493⨯÷≈（斛）. 故选：D.【点睛】考查了由三视图判断几何体的知识，解题的关键是首先判断几何体的形状，难度不大.8.已知点G 在ABC ∆内，且满足2340GA GB GC ++=，现在ABC ∆内随机取一点，此点取自,,GAB GAC GBC ∆∆∆的概率分别记为123,,P P P ，则（ ） A. 123P P P ==B. 321P P P >>C. 123P P P >>D.213P P P >>【答案】C 【解析】 【分析】分别延长GA 到GA '，GB 到GB '，GC 到GC '，使得2GA GA '=，3GB GB '=，4GC GC '=，则有0GA GB GC '''++=，得到点G 为A B C '''∆的重心，所以GA B GA C GB C S S S ''''''∆∆∆==，进而求得16GAB GA B S S ''∆∆=，18GAC GAC S S '∆∆=，112GBC GB C S S '∆∆=，得出面积之间的关系，即可求解．【详解】由题意，分别延长GA 到GA '，GB 到GB '，GC 到GC '， 使得2GA GA '=，3GB GB '=，4GC GC '=，则有0GA GB GC '''++=， 所以点G 为A B C '''∆的重心，所以GA B GA C GB C S S S ''''''∆∆∆==，又16GAB GA B S S ''∆∆=，18GAC GAC S S '∆∆=，112GBC GB C S S '∆∆=， 从而得到::GAB GAC GBC S S S ∆∆∆=111::4:3:26812=， 则123:P :4:3:2P P =，即123P P>>P .故选C.【点睛】本题主要考查了平面向量的应用，以及几何概型思想的应用，其中解答中根据响亮的运算求得点G 的位置，得出面积之间的关系是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题．9.已知双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的右焦点为(),0F c ，点A 、B 分别在直线2a x c=-和双曲线C 的右支上，若四边形OABF （其中O 为坐标原点）为菱形且其面积为，则a =( )C. 2【答案】A 【解析】 【分析】设点2,a A t c ⎛⎫-⎪⎝⎭，0t >，因为OF AB c ==，则2,a B c t c ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，根据点B 在双曲线上可得一个关于,,a b c 方程，根据面积又可得一个关于,,a b c 的方程，在加上222c a b -=，列方程求解即可.【详解】解：如图：设点2,a A t c ⎛⎫- ⎪⎝⎭，0t >，因为OF AB c ==，则2,a B c t c ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭， 又OB AF ⊥，则221tta ac c c c⋅=--+--，化简得2222(1)a t b c=+，222,1a a B c b c c ⎛∴-++ ⎝2222222(1)1a a c b c c a b∴-⎛⎫-+ +⎝⎭=⎪① ， 又22131512a c b c ⨯⨯+=②， 222c a b -=③，∴由①②③得3,3,3a b c ===故选：A.【点睛】本题考查双曲线的性质的应用，考查学生计算能力，根据条件列方程是本题的关键，是中档题.10.当x 为实数时，()trunc x 表示不超过x 的最大整数，如()trunc 3.13=.已知函数()()trunc f x x =（其中x ∈R ），函数()g x 满足()()6g x g x =-、()()11g x g x +=-，且[]0,3x ∈时，()22g x x x =-，则方程()()f x g x =的所有根的个数为( )A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】D 【解析】 【分析】由()()6g x g x =-，()()11g x g x +=-，得函数()g x 的图象关于直线1x =及直线3x =对称，又由()()()(2)624g x g x g x g x ⎡⎤=-=--=+⎣⎦可得()g x 的周期，通过作图观察的方法可得结果.【详解】解：由()()6g x g x =-，()()11g x g x +=-，得函数()g x 的图象关于直线1x =及直线3x =对称，()()()(2)624g x g x g x g x ⎡⎤∴=-=--=+⎣⎦，则()g x 为周期函数，且最小正周期为4. 对于()f x ，当[0,1)x ∈时，()0f x =当[1,2)x ∈时，()1f x =； 当[2,3)x ∈时，()2f x =； 当[3,4)x ∈时，()3f x =； 当[4,5)x ∈时，()4f x =； …；当[1,0)x ∈-时，()1f x =； 当[2,1)x ∈--时，()2f x =； 当[3,2)x ∈--时，()3f x =； 当[4,3)x ∈--时，()4f x =； 当[5,4)x ∈--时，()5f x =； …综合已知条件可在同一直角坐标系内画出函数()f x 及()g x 的图象，由图可知，函数()y f x =与函数()y g x =共有6个交点， 即方程()()f x g x =的根的个数为6. 故选：D.【点睛】此题考查了函数的图象和性质，由数形结合求解，画出函数的图像很关键，是中档题.11.对四位数abcd （19a ≤≤，0b ≤、c ，9d ≤），若a b >、b c <、c d >，称abcd 为“吉祥数”，则“吉祥数”的个数为( ) A. 1695 B. 1696 C. 1697 D. 1698【答案】A 【解析】 【分析】由数的特点，先确定,b d 位置上的数，再安排,a c 位置上的数，列举出来算出个数即可. 【详解】解：由数的特点，先确定,b d 位置上的数，再安排,a c 位置上的数，列表如下： 其中第一列是d 取的数，第一行是b 取的数，中间是满足吉祥数的,a c 组合的数量， 如：0,0b d ==，,a c 组合有99⨯种可能，则吉祥数的个数为：⨯+++++++++⨯++++++++9(987654321)8(887654321)+⨯+++++++++⋯+⨯++++++++7(777654321)1(111111111)=⨯+⨯+⨯+⨯+⋯+⨯+⨯=，945844742639217191695故选：A.【点睛】本题考查列表分类求数量，关键是要在列举中发现规律，进而方便计算出结果，是中档题.⨯方格纸中每个小方格染三种颜色之一，使得每种颜色的小方格的个数12.如图所示，将3333相等.若相邻两个小方格的颜色不同，称他们的公共边为“分割边”，则分割边条数的最小值为( )A. 33B. 56C. 64D. 78【答案】B【解析】 【分析】记分隔边的条数为L ，首先将方格按照按图分三个区域，分别染成三种颜色，粗线上均为分隔边，将方格的行从上至下依次记为1233,,,A A A ，列从左至右依次记为1233,,B B B ，行jc 中方格出现的颜色数记为()i n A ，列i B 中方格出现的颜色个数记为()i n B ，三种颜色分别记为123,,c c c ，对于一种颜色j c ，设()j n c 为含有j c 色方格的行数与列数之和，定义当i A 行含有j c 色方格时，(),1i j A c δ=，否则(),0i j A c δ=，类似的定义(),i j B c δ，计算得到()()()3311()iiji j n A n B n c ==+=∑∑３，再证明()39(1,2,3)jn c j ≥=，再证明对任意133i ≤≤均有()()2,2i i n A n B ≥≥，最后求出分隔边条数的最小值.【详解】记分隔边的条数为L ，首先将方格按照按图分三个区域，分别染成三种颜色，粗线上均为分隔边，此时共有56条分隔边，即56L =， 其次证明：56L ≥，将将方格的行从上至下依次记为1233,,,A A A ，列从左至右依次记为1233,,B B B ，行i A 中方格出现的颜色数记为()i n A ，列i B 中方格出现的颜色个数记为()i n B ，三种颜色分别记为123,,c c c ，对于一种颜色j c ，设()j n c 为含有j c 色方格的行数与列数之和，定义当i A 行含有jc 色方格时，(),1i j A c δ=，否则(),0i j A c δ=，类似的定义(),i j B c δ， 所以()()()()()()()3333331111,,iiiji j j i i i j n A n B A c B c n c δδ====⎫+=+=⎪⎭∑∑∑∑，由于染j c 色的格有21333633⨯=个，设含有j c 色方格的行有a 个，列有b 个，则j c 色的方格一定再这个a 行和b 列的交叉方格中， 从而363ab ≥，所以()()3839(1,2,3)j j n c a b n c j =+≥>⇒≥=①， 由于在行i A 中有()i n A 种颜色的方格，于是至少有()1i n A -条分隔边， 类似的，在列i B 中有()i n B 种颜色的方格，于是至少有()1i n B -条分隔边， 则()()()()()()()3333113311166iiiii i i L n A n B n A n B ===≥-+-=+-∑∑∑②()3166j j n c ==-∑③下面分两种情形讨论，(1)有一行或一列所有方格同色，不妨设有一行均为1c 色，则方格的33列均含有1c 的方格，又1c 色的方格有363个,故至少有11行有1c 色方格，于是()1113344n c ≥+=④ 由①③④得()()()123664439396656L n c n c n c ≥++-≥++-=，(2)没有一行也没有一列的所有方格同色, 则对任意133i ≤≤均有()()2,2i i n A n B ≥≥， 从而，由式②知：()()()33166334666656i i i L n A n B =≥+-≥⨯-=>∑，综上，分隔边条数的最小值为56. 故选：B.【点睛】本题主要考查染色问题，考查计数原理，考查分析推理能力，是一道难度极大的题目. 二､填空题 13.过抛物线C :2yx 上的一点M (非顶点)作C 的切线与x 轴､y 轴分别交于A ､B 两点，则MAMB=______. 【答案】12【解析】 【分析】利用导数求出切线方程，分别得到两点的坐标，即可得到结果. 【详解】由2y x ，则2y x '=.设点()()200,0M x x x≠,则曲线C 在M 处的切线的斜率为02k x =.所以曲线C 在M 处的切线方程为：20002()y x x x x -=-. 即2002y x x x =-.所以()2000,0,2x A B x ⎛⎫-⎪⎝⎭， 由,,M A B 三点的坐标可得，A 点为BM 的中点.所以12MA MB =. 故答案为：12【点睛】本题考查利用导数求切线方程和根据点的坐标求线段的长度之比，属于中档题. 14.我国古代数学家祖暅提出原理：“幂势既同，则积不容异”.其中“幂”是截面积，“势”是几何体的高.原理的意思是：夹在两个平行平面间的两个几何体，被任一平行于这两个平行平面的平面所截，若所截的两个截面的面积恒相等，则这两个几何体的体积相等.如图(1)，函数()[)(]sin ,2,020,2xx f x x π⎧∈-⎪=∈的图象与x 轴围成一个封闭区域A （阴影部分），将区域A （阴影部分）沿z 轴的正方向上移6个单位，得到一几何体.现有一个与之等高的底面为椭圆的柱体如图(2)所示，其底面积与区域A （阴影部分）的面积相等，则此柱体的体积为______.【答案】243ππ+【解析】 【分析】阴影区域在(0,2]上为半个圆，所以柱体的底面积为半圆的面积减去函数()f x 在[2,0)-上的积分，有了底面积，又知道高为6，即可得到柱体的体积. 【详解】解：由题意得，阴影区域在(0,2]上为半个圆，底面积12S S =圆0022124sin cos |2222x x dx ππππππ---=+=+⎰，所以该柱体的 体积为424632ππππ⎛⎫+⨯=+ ⎪⎝⎭. 故答案为：243ππ+.【点睛】本题考查定积分在求曲边梯形面积上的应用，考查计算能力.15.已知变量x 、y 满足约束条件0280260y x y x y ≥⎧⎪+-≤⎨⎪+-≥⎩，在实数x 、y 中插入7个实数，使这9个数构成等差数列{}n a 的前9项，则1a x =、9a y =，则数列{}n a 的前13项和的最大值为______.【答案】2216【解析】 【分析】画出约束条件表示的平面区域，结合图形计算该等差数列{}n a 的公差d ，写出数列{}n a 的前13项和13S ，求出它的最大值.【详解】解：画出约束条件0280260y x y x y ≥⎧⎪+-≤⎨⎪+-≥⎩表示的平面区域，如图所示；解方程组280260x y x y +-=⎧⎨+-=⎩，得410,33A ⎛⎫⎪⎝⎭；记这个等差数列为{}n a ，其公差为d ， 则1()918y x d y x -==--， 所以数列{}n a 的前13项和为()()1131371136()131313613(3)284a a y x S a a d x x y +-⎡⎤===+=+=+⎢⎥⎣⎦， 作出直线:30l x y +=，由图形可知，当直线l 过点A 时，3z x y =+取得最大值， 所以13S 的最大值为13422110436⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭. 故答案为：2216. 【点睛】本题考查了二元一次不等式组表示平面区域应用问题，也考查了等差数列应用问题，是中档题.16.已知四面体有五条棱长为3，且外接球半径为2.动点P 在四面体的内部或表面，P 到四个面的距离之和记为s .已知动点P 在1P ，2P 两处时，s 分别取得最小值和最大值，则线段12PP 长度的最小值为______.【答案】97【解析】【分析】设四面体为ABCD,其中3AD BD BC AB AC=====，取,CD AB的中点分别为,E F，求出EF的长，将点P到四个面的距离之和记为s，转化为到其中两个面的距离，利用等体积的方法分析出距离之和的最值，从而得到线段12PP长度的最小值为CD，AB上两点间的距离的最小值，得到答案.【详解】四面体为ABCD,其中3AD BD BC AB AC=====,设2CD x=.取,CD AB的中点分别为,E F，连接,DF CF ,如图.在等腰三角形,ABD ABC中，有,FD AB FC AB⊥⊥.所以AB⊥平面CDF，又F为AB的中点.则四面体ABCD外接球的球心O一定在平面CDF上.同理可得四面体ABCD的外接球的球心O一定在平面ABE上.所以四面体ABCD的外接球的球心O一定在EF上.连接,OC OB，设EFCθ∠=.在直角三角形OBF中，229744OF OB BF=-=-=.在三角形OCF中，222727444cos2733212OF CF OCOF CFθ+-+-===⋅⋅⨯⨯.在直角三角形EFC 中,cos EF CF θ=⋅=所以CE 长为定值，CD 的长为定值. 根据条件有=ACDBCDSS,设为1S , ABDCABSS=,设为2S设点P 到四个面ACD ,BCD ,DAB ,CAB 的距离分别为1234,,,d d d d . 设四面体ABCD 的体积为V (为定值)由等体积法有：()()1213421[]3V d d S d d S =+++所以()1213423V d d S d d S -++=所以()11234122231S V s d d d d d d S S ⎛⎫=+++=+-+ ⎪⎝⎭当点P 在CD 上时，120d d +=最小. 当点P 远离CD 时，12d d +的值增大，由等体积法可得当点P 在AB 上时，12d d +的值相等，且此时12d d +的值最大. 所以当点P 在CD 或AB 上时，s 取得最值.故线段12PP 长度的最小值为CD ，AB 上两点间的距离的最小值. 由上可知，,EF CD EF AB ⊥⊥.所以CD ，AB上两点间的距离的最小值为14EF =.故答案为：14. 【点睛】本题考查球的内接问题和空间点到面的距离之和的问题，以及等体积的方法的应用，属于难题. 三､解答题17.如图，多面体11ABC DB C -是正三棱柱111ABC A B C -沿平面11DB C 切除一部分所得，11BC CC ==，点D 为1AA 的中点.（1）求证:1BC ⊥平面1B CD ； （2）求点1B 到平面BCD 的距离. 【答案】（1）证明见解析（23【解析】 【分析】（1）设1BC 1与1B C C 交于点E ，连接DE ，可得1BD C D =，1BC DE ⊥，即可证明1BC ⊥平面1B CD .（2）利用等体积法求点1B 到平面BCD 的距离． 【详解】（1）设1BC 与1B C 交于点E ，连接DE .∵多面体11ABCDB C 是正三棱柱111ABC A B C -沿平面11DB C 切除部分所得， 1BC CC =，∴四边形11BB C C 是正方形，四边形1CC DA ､1ABB D 均为直角梯形，其中AB AD ⊥，AC AD ⊥.∵点D 为1AA 的中点，1AA 平行且等于1BB ，∴2252BD BA AD =+=. 又()221152DC CC AD AC =-+=，∴1BD C D = .∵E 为1BC 的中点，∴1BC DE ⊥. 又∵11B C BC ⊥，1B C DE E =，∴1BC ⊥平面1B CD ；（2）设点1B 到平面BCD 的距离为d ， ∵11B BCD D BCB V V --=，点D 到平面11BCC B 的距离即为ABC ∆边BC 213122⎛⎫-= ⎪⎝⎭， ∴1113332BCD B BC S d S ∆∆⋅=⨯.又∵52DC BD ==，1BC =， ∴121122B BC S BC ∆=⨯=，22111242BCD S BC BD BD ∆=⨯-=. ∴13133222122B BC BCDS d S ∆∆===，即点1B 到平面BCD 的距离为32. 【点睛】本题考查了线面垂直的证明、点到面的距离，属于中档题．18.已知椭圆22221x y a b +=(0a b >>)的右焦点为F ，左顶点为A ，离心率22e =，且经过圆O :2220x y y +-=的圆心.过点F 作不与坐标轴重合的直线l 和该椭圆交于M ､N 两点，且直线AM ､AN 分别与直线2x =交于P ､Q 两点.（1）求椭圆的方程；（2）证明:PFQ ∆为直角三角形.【答案】（1）2212x y +=（2）证明见解析【解析】 【分析】根据条件椭圆过点()0,1，即1b =，由22e =以及222a b c =+，可求椭圆方程.（2）设()11,M x y ，()22,N x y ，根据点共线求出点,P Q 坐标，设直线的方程1x my =+，代入椭圆方程，利用韦达定理及直线的斜率公式即可得到1FP FQ k k =-，即证明结论成立. 【详解】(1)由题意知，圆O :2220x y y +-=的圆心为()0,1.∵椭圆22221x y a b+=(0a b >>)过圆O :2220x y y +-=的圆心()0,1，∴1b =.又2c e a ==，222a b c =+，∴22a = .∴所求椭圆的方程为2212x y +=.（2）设()11,M x y ，()22,N x y ，可设直线l 的方程为1x my =+.联立22112x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，可得()222210m y my ++-=. ∴1221222212m y y m y y m ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩.根据A ､M ､P=.∴12P y y =.同理可得22Qy y+=.∴P ､Q的坐标分别为12y ⎛⎫+⎝，22y ⎛⎫⎝. 设直线FP 的斜率为1k ，直线FQ 的斜率为2k ，则121222002121Q P P Q y y y y k k y y +--=⋅==--2122y y +=21221y y +==-∴PF QF ⊥. ∴PFQ ∆为直角三角形.【点睛】本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，考查转化思想，在做题时，选择合适的直线方程，能够起到事半功倍的效果，考查计算能力，属于难题． 19.定义:如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的差都大于或等于2，则称这个数列为“D 数列”.（1）若首项为1的等差数列{}n a 的每一项均为正整数，且数列{}n a 为“D 数列”，其前n 项和n S 满足22n S n n <+(n *∈N )，求数列{}n a 的通项公式；（2）已知等比数列{}n a 的每一项均为正整数，且数列{}n a 为“D 数列”，213a a -<，设()261nn nb n a ⨯=+⋅(n *∈N )，试判断数列{}n b 是否为“D 数列”，并说明理由.【答案】（1）()11221n a n n =+-⨯=+（2）是，理由见解析 【解析】 【分析】(1) 设{}n a 的公差为d ,则()2122n n n S n d n n -=+<+，由{}n a 每一项均为正整数，即*d N ∈ ，可求出n a .(2).根据条件有()1120n n n n n a a a q a a q +-=-=-≥>，1q >，，所以()111n n n n n n a a q a a a a +---=->-，在数列{}1n n a a --中，21a a -为最小项，由数列{}n a 为“D 数列”可知，只需212a a -≥，可求出11a =，3q =或12a =，2q ，然后再分别判断()12*n n b b n N +-≥∈是否恒成立.【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，则2d ≥，由11a =，得()12n n n S n d -=+.由题意得，()2122n n n d n n -+<+对n *∈N 均成立， 当1n =时，上式成立.当2n ≥时，224211n d n n +<=+--， 又d N *∈，∴2≤d ，∴2d =∴等差数列{}n a 的通项公式为()11221n a n n =+-⨯=+.（2）设等比数列{}n a 的公比为q ，则11n n a a q -=，∵数列{}n a 的每一项均为正整数，且()1120n n n n n a a a q a a q +-=-=-≥>， ∴1q >，且q 为整数∵()111n n n n n n a a q a a a a +---=->-.∴在数列{}1n n a a --中，21a a -为最小项，由数列{}n a 为“D 数列”可知，只需212a a -≥. 即()112a q -≥，又213a a -<，即()113a q -<.由数列{}n a 的每一项均为正整数，可得()112a q -=，∴11a =，3q =或12a =，2q.①当11a =，3q =时，13-=n n a ，则()112632131n n n n b n n +-⨯==⨯+⋅+. 令1+=-n n n c b b (n *∈N )， 21332221n n n c n n ++=⨯-⨯++ 则1213221n n n +⎛⎫=⨯⨯- ⎪++⎝⎭()()13221n n n n +=⨯⨯++ ∴()()()()211132323221n n n n n nc c n n n n ++++-=⨯⨯-⨯⨯++++.()()()212320321n n n n n n +++=⨯⨯>+++ ∴数列{}n c 为递增数列，即121n n n c c c c -->>>>.又1212c b b =-=.∴对任意的n *∈N 都有12n n b b +-≥. ∴数列{}n b 是“D 数列”. ②当12a =，2q时，2n n a =，则()2623121nnn n b n n ⨯==⨯+⋅+.令1n n n d b b +=-(n *∈N ).1223321n n n d n n +=⨯-⨯++312321n n n ⎛⎫=⨯⨯- ⎪++⎝⎭=()()212321n n n n +⨯⨯++ ∴()()()()11232123233221n n n n n n d d n n n n ++++-=⨯⨯-⨯⨯++++()()()2486230321nn n n n n ++=⨯⨯>+++∴数列{}n d 为递增数列，即0121n n n d d d d ->>>>.又1213d b b =-=.∴对任意的n *∈N 都有12n n b b +-≥，∴数列{}n b 是“D 数列”.综上，数列{}n b 是“D 数列” 【点睛】本题考查了数列递推关系、新定义“D 型数列”、不等式的性质，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于难题．20.高尔顿板是英国生物统计学家高尔顿设计用来研究随机现象的模型，在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，让一个小球从高尔顿板上方的通道口落下，小球在下落的过程中与层层小木块碰撞，且等可能向左或向右滚下，最后掉入高尔顿板下方的某一球槽内.如图所示的小木块中，上面7层为高尔顿板，最下面一层为改造的高尔顿板，小球从通道口落下，第一次与第2层中间的小木块碰撞，以12的概率向左或向右滚下，依次经过6次与小木块碰撞，最后掉入编号为1，2…，7的球槽内.例如小球要掉入3号球槽，则在前5次碰撞中有2次向右3次向左滚到第6层的第3个空隙处，再以12的概率向左滚下，或在前5次碰撞中有1次向右4次向左滚到第6层的第2个空隙处，再以12的概率向右滚下.(1)若进行一次高尔顿板试验，求小球落入第7层第6个空隙处的概率；(2)小明同学在研究了高尔顿板后，利用该图中的高尔顿板来到社团文化节上进行盈利性“抽奖”活动，8元可以玩一次高尔顿板游戏，小球掉入X 号球槽得到的奖金为ξ元，其中205X ξ=-.（i ）求X 的分布列：（ii ）高尔顿板游戏火爆进行，很多同学参加了游戏，你觉得小明同学能盈利吗？ 【答案】(1)332；(2)（i ）分布列见解析；（ii ）能盈利. 【解析】 【分析】（1）记小球落入第7层第6个空隙处的事件为M ，小球落入第7层第6个空隙处，需要在6次碰撞中有1次向左5次向右，由此能求出这个小球掉入第7层第6个空隙处的概率； （2）X 的取值为1，2，3，4，5，6，7，由此能求出X 的分布列，进而可求出ξ的分布列和E ξ，从而能求出小明同学能盈利.【详解】(1)记小球落入第7层第6个空隙处的事件为M ，小球落入第7层第6个空隙处，需要在6次碰撞中有1次向左5次向右，则()5161132232P M C ⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭； (2)（i ）由已知X 的取值可为1，2，3，4，5，6，7.()()0606111722641P X P X C ⎛⎫⎛⎫==== ⎪⎝⎭=⎪⎝⎭； ()()1516116326226432P X P X C ⎛⎫⎛⎫====== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；()()24261115352264P X P X C ⎛⎫⎛⎫===== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； ()3336112054226416P X C ⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴X 的分布列为（ii ）205Xξ=-ξ∴的可能取值为0，5，10，15，()()50416P P X ξ====， ()()()1553532P P X P X ξ===+==， ()()()3102616P P X P X ξ===+==， ()()()1151732P P X P X ξ===+==， ∴()515317505101581632163216E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=<. ∴小明同学能盈利.【点睛】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用. 21.已知函数2()()af x x ax a R x=+-∈. （1）当1a =且1x >-时，求函数()f x 的单调区间；（2）当21e a e ≥+时，若函数2()()ln g x f x x x =--的两个极值点分别为1x 、2x ，证明12240()()1g x g x e <-<+.【答案】（1）()f x 的单调递增区间为()(1,0),0,-+∞，；无单调递减区间；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】(1)求得3222121()21x x f x x x x++'=++=，分类讨论，即可求解()f x 的单调区间，得到答案；(2)根据12,x x 是函数()g x '的两个零点，设12,x x 是方程20ax x a -+=的两个实数解，再根据二次函数的性质函数()g x 在1x 处取得极大值,在2x 处取得极小值，进而得到1211x a x =+，代入得()()22112121112ln 12x g x g x x x ⎛⎫--=- ⎪+⎝⎭，令21x t =，则211t e <<，得到11()2ln 12t g t t t -⎛⎫=-⎪+⎝⎭，设11()2ln 12x h x x x -⎛⎫=-⎪+⎝⎭，利用导数求得函数的单调性与最值，即可求解． 【详解】(1)由题意，当1a =时，21()f x x x x =+-，3222121()21x x f x x x x'++∴=++=， ①当0x>时，()0f x '>恒成立，所以函数()f x 在区间(0,)+∞上单调递增；②当10x -<<时，记32()21x x x ϕ=++，则21()6263x x x x x ϕ'⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，所以当1,03x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()0x ϕ'<，∴()x ϕ单调递减，且()(0)1x ϕϕ>=；当11,3x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭时，()0x ϕ'>，()x ϕ单调递增，且(1)0ϕ-=，所以当(1,0)x ∈-时，()0x ϕ>，函数()f x 单调递增.综上所述，函数()f x 的单调递增区间为(1,0)-，(0,)+∞；无单调递减区间. (2)由2()()ln ln (R,0)ag x f x x x ax x a x x=--=--∈>，2221()a ax x ag x a x x x '-+∴=+-=， 12,x x 是函数()g x '的两个零点，12,x x ∴是方程20ax x a -+=的两个实数解，由0>∆，且21e a e >+，得2112e a e <<+，则有121x x =， 不妨设12x x <，1201x x ∴<<<又121x x a+=，即得1111x x a +=， 2112e a e <<+，21112e e a e e+∴<<=+， 即得1211112x x x e x e <+=+<+，从而得到11ex <<，12x x <，且201ea e >>+， ∴由二次函数的图象及性质知函数()g x 在1x 处取得极大值,在2x 处取得极小值.()()()()1212g x g x g x g x ∴-=-112212ln ln a aax x ax x x x ⎛⎫⎛⎫=----- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭111111ln ln a a ax x ax x x x ⎛⎫⎛⎫=----+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1112ln aax x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭， （*）又1x 为方程20ax x a -+=的根，1211x a x ∴=+， 代人(*)式得()()2221112112221111112ln 2ln 1112x x g x g x x x x x x ⎛⎫⎛⎫--=--=- ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭， 令21x t =，则211t e <<，11()2ln 12t g t t t -⎛⎫=- ⎪+⎝⎭， 设11()2ln 12x h x x x -⎛⎫=- ⎪+⎝⎭，211x e <<，22(1)()0(1)x h x x x '--∴=<+，()h x ∴单调递减， 从而有22140(1)()1h h x h e e ⎛⎫=<<=⎪+⎝⎭，240()1g t e ∴<<+.()()122401g x g x e ∴<-<+，即()()122401g x g x e <-<+得证. 【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及不等式的证明，着重考查了转化与化归思想、分类讨论、及逻辑推理能力与计算能力，对于恒成立问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题． 选修4-4:坐标系与参数方程22.在直角坐标系xOy 中，曲线1C的参数方程为6x y αα⎧=⎪⎨=+⎪⎩（α为参数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C的极坐标方程为ρ=.(1)求曲线1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；(2)若M ，N 分别为曲线1C 和曲线2C 上的动点，求MN 的最大值. 【答案】(1)()2262x y +-=，22110x y +=；(2)【解析】 【分析】（1）根据同角三角函数关系式，消去参数，可得1C 直角坐标方程.利用222x y ρ=+，sin y ρθ=化简可得2C 的直角坐标方程；（2）设),sin N θθ，利用点到直线的距离公式和三角函数的有界限，求解MN 的最大值.【详解】(1)曲线1C 的直角坐标方程为()2262x y +-=. 由221019sin ρθ=+，222x y ρ=+，sin y ρθ=， 得222910x y y ++=，即2C 的直角坐标方程为：22110x y +=.(2)由(1)得1C 的圆心为()0,6A，半径r =设),sin Nθθ，)()2220sin 6NA θθ=-+-则2210cos sin 12sin 36θθθ=+-+，229sin 503θ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭∴当2sin 3θ=-时，max NA =∴MN 的最大值为=【点睛】本题考察了参数方程和极坐标方程与直角坐标方程的互换.利用参数设坐标，求解点到直线的距离的问题. 选修4-5:不等式选讲23.已知函数()2725f x x x =-+-. (1)解不等式()6f x ≥；(2)设函数()f x 的最小值为m ，已知正实数a ，b ，且221max ,a b k a b a b ⎧⎫+=⎨⎬++⎩⎭，证明：21k m ≥.【答案】(1)39,,22⎛⎤⎡⎫-∞⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭；(2)证明见解析.【解析】 【分析】(1)分类讨论去绝对值，解不等式即可；(2)由绝对值三角不等式可得()2f x ≥，得2m =，由()22222112a b a b a b a b a b ++⋅=≥+++得221k ≥，进而可证明.【详解】(1)不等式()6f x ≥， 即为不等式27256x x -+-≥， 当52x <时，不等式可化为()()27256x x ----≥，解得32x ≤；优质资料\word 可编辑- 31 - / 31- 31 - 当5722x ≤≤时，不等式可化为()()27256x x --+-≥，即26≥，无解； 当72x >时，不等式可化为()()27256x x -+-≥，解得92x ≥. 综上，不等式()6f x ≥的解集是39,,22⎛⎤⎡⎫-∞⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭； (2)()()272527252f x x x x x =-+-≥---=，当且仅当()()27250x x --≤时取等号，2m ∴=. ()22212a b a b +≥+， 22112a b a b a b +∴⋅≥++. 221max ,0a b k a b a b ⎧⎫+=>⎨⎬++⎩⎭， 222112a b k a b a b +∴≥⋅≥++， 221k ∴≥，即21k m ≥.【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，考查不等式的证明，考查计算能力与分析能力，是中档题.。
2021届湖南省长郡中学、雅礼中学、长沙一中高三上学期联合考试数学(理)试题(解析版)
2021届湖南省长郡中学、雅礼中学、长沙一中高三上学期联合考试数学（理）试题一、单选题1．已知集合{}22<0A x x =+-，141log 2B x x ⎧⎫⎪⎪=>⎨⎬⎪⎪⎩⎭，则（）A ．AB ⊆ B ．B A ⊆C ．R A B ⋂=∅D ．122A B x x ⎧⎫⋂=-<<⎨⎬⎩⎭答案：B【分析】先化简集合,A B ,再分析判断得解.解：由题得{}21A x x =-<<，1211441log log ()4B x x ⎧⎫⎪⎪=>⎨⎬⎪⎪⎩⎭102x x ⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭.所以B A ⊆.R A B ⋂≠∅，102A B x x ⎧⎫⋂=<<⎨⎬⎩⎭.故选：B点评：易错点睛：化简集合B 时，容易漏掉0x >，得到12B x x ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭.在研究函数的问题时，一定要注意定义域优先的原则，否则容易出错. 2．若复数z 满足()12z i i -=，则下列说法正确的是（） A ．z 的虚部为i B ．z 为实数 C．z =D ．2z z i +=答案：C【分析】利用复数的除法运算，可得1z i =-，即可判断各选项的正误； 解：由()12z i i -=，知：211iz i i==--； ∴z 的虚部为1，||z =2z z +=-；故选：C点评：本题考查了复数的运算，利用复数的概念判断选项的正误，属于简单题；3．()521x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭展开式中3x 项的系数为（） A ．5- B ．20-C ．15D ．5答案：B【分析】求出5(1)x -的展开式的2x 的系数和4x 的系数，即得解.解：设5(1)x -的通项为55155(1)(1)r rr r r r r T C xC x --+=-=-，当3r =时，2x 的系数为335(1)C -； 当1r =时，4x 的系数为115(1)C -.所以()521x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭展开式中3x 项的系数为()()3315512120C C -+-=-， 故选：B.点评：本题主要考查二项式定理求展开式的系数，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和计算能力.4．设R λ∈，若单位向量1e ，2e 满足：12e e ⊥12e +与12-e e λ的夹角为3π，则λ=（）A ．B ．-C D ．1答案：A【分析】先利用已知条件得到11e =，21e =，120e e ⋅=，再利用向量的数量积运算法则代入求解即可. 解：由题意得，11e =，21e =，120e e ⋅=，12e +与12-e e λ的夹角为3π，得)()221212112122333e e e e e e e e e λλλλ⋅=+--⋅+⋅-=，122e +=，12-1e e λ=+则)()12121212cos33e e e e e e e πλλλ⋅==+-+-=，所以λ=故选：A.点评：本题主要考查了平面向量的数量积运算.属于较易题. 5．已知数列{a n }满足a n ＝1+2+3++n ，则122020111a a a +++=（）A ．20202021B ．20191010 C ．20192020 D ．40402021答案：D【分析】利用等差数列求和公式化简n a ，再利用裂项相消法求和.解：因为()12n n n a +=，则1112[]1n a n n =-+， 所以2202011111111140402[1]223202020212021a a a +++=⨯-+-++-=. 故选：D点评：本题考查等差数列求和公式、裂项相消法求和，属于基础题. 6．随机变量X 的分布列如表：若()2E X =，则()D X =（） A ．32B ．43C ．54D ．65答案：A【分析】根据随机分布列的性质以及数学期望可得出关于实数a 、b 的方程组，解出a 、b 的值，再利用方差公式可取得()D X 的值.解：由分布列的性质以及期望公式可得()1242212E X a b a b ⎧=++=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得14a b ==.()()()()22211131222422442D X =-+-+-=. 故选：A.7．设3535a ⎛⎫= ⎪⎝⎭353()5a =，353log 2b =，3532c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系是（）。