中山大学周凡老师计算机图形学课件Lecture 3

3. 投影
由于显示屏幕是二维的，所以要输出三维形体时， 需要将三维坐标表示的几何形体变换成二维坐标 表示的图形，这就是图形的投影变换； 为了对三维对象作投影变换，先要在三维空间中 给定一个投影平面和一个视点。从视点发出的所 有通过对象的射线和投影平面的交点形成了该对 象的投影； 投影变换又分为透视投影和平行投影，透视投影 的视点到投影平面之间的距离是有限的，而平行 投影是将视点移到了无穷远处的投影变换；
1 0 0 0 1 0 [ x `, y `, z `,1] = [ x , y , z ,1] 0 0 1 ∆x ∆y ∆z 0 0 0 1
y
P(x,y) Tx P´(x´,y´) ´ ´ ´ Ty
x
2.2 放大和缩小
设点(x,y,z)经过缩放变换后得到点(x`,y`,z`)，这两点坐标间 的关系为：
4.3 直线裁剪的梁友栋 直线裁剪的梁友栋-Barsky算法 算法
P1 yT C D
B yB A xL
P0
xR
算法思想： – 从A,B,P0中找距P1最近的点为P0，从C,D,P1 中找距P0最近的点为C，则P0C即为线段的可 见部分;
梁友栋-Barsky算法实现步骤 算法实现步骤 梁友栋
将P0P1写成参数方程： x = x0 + ∆x * t; y = y0 + ∆y*t; 确定始边和终边： ∆x》0(∆y》0)时，x=xL(y=yB)为始 边，x=xR(y=yT)为终边； ∆x《0(∆y 《0)时，情况相反； P0P1和两始边的交点参数为t0`，t0``，令t0 = max(t0`， t0``，0)，则t0为图中A，B，P0三点中最靠近P1的点的 参数； P0P1和两终边的交点参数为t1`，t1``，令t1 = min(t1`， t1``，1)，则t1为图中C，D，P1三点中最靠近P0的点的 参数； 当t1>t0时，[t0，t1]参数区间的线段就是整个线段的可 见部分； 当t0>t1时，整个线段不可见;
设点(x,y,z)经过切变后成为(x`,y`,z`)，则 矩阵表示为： s = tga
1 0 0 0 s 1 0 0 [x`, y`, z`,1] = [x, y, z,1] 0 0 1 0 0 0 0 1
其中，s = tga
2.5 对称变换
1：相对于X轴对称：坐标变换后有 x` = x, y` = -y, z` = -z; 变换矩阵为： y
x` x
x``
空间模式矩阵表示特点
另一种模式称为空间模式，或活动坐标系模式， 在这种模式下连续执行几个变换时，变换矩阵 的合并方式恰好与图形模式相反，即后调用的 变换矩阵要乘在左边； 在空间模式中，每一次变换均可看成是在上一 次变换所形成的新的坐标系当中进行的。如上 图中，可看成先在坐标系oxy中旋转20，同时 得到相应的坐标系ox`y`，然后在新坐标系ox`y` 中进行平移，得到最终结果.
x` = Sx x ; y` = Sy y ; z` = Sz z ;
其中，Sx，Sy，Sz 分别为沿x轴，y轴和z轴方向放大或缩小 S x y z 的比例。它们可以相当，也可以不相等。上式的矩阵形式 如下所示： Sx 0 0 0 0 Sy 0 0 [x`, y `, z `,1] = [x, y , z ,1] 0 0 Sz 0 0 0 0 1
– 若不能用第一步直接得出结论，则进入第二步。依 次求线段和窗口边界的交点，该交点将直线段分成 两个部分，对每一个部分依次用步骤一进行判断。 直到所有的线段均可用步骤一直接得到结果。至此， K 裁剪结束。
M N L
4.2 直线裁剪的中点分割算法
想法：从P0点出发找出 想法 距P0最近的可见点(A)， 从P1点出发找出距P1最 近的可见点(B)。 取中点Pm=(P1+P2)/2。 （算法见框图）
x` x
x``
图形模式矩阵表示特点
上述程序的执行方式是先调用的变换先执行， 后调用的变换后执行，体现在矩阵合并时，先 调用的变换矩阵放在左边，后调用的变换矩阵 放在右边，这一种方式称为图形模式，或固定 坐标模式； 在图形模式中连续执行几次变换时，每一次变 换均可看成相对于原始坐标系执行的。如上图 中先相对于坐标系oxy作旋转得坐标系ox`y`， 再相对于原始坐标系oxy作平移得最终结果；
显示流程图示
投影平面 窗口
视区
屏幕或绘图纸
窗口与视区
窗口:在WC中定义一个矩形区域,该区域内的对象将 予以显示。 视区:在VC中定义一个矩形区域,所有在窗口内的对 象都将显示在该区域中。
图形显示流程图
2. 三维几何变换
2.1 平移变换
若点(x`,y`,z`)是由点(x,y,z)在x,y和z轴方向分别移动距 离∆x, ∆y和∆z得到的，则这两点间的坐标关系为： x` = x + ∆x y` = y + ∆y z` = z + ∆z
S ( xr , y r ; s x , s y ) = T ( xr , y r ) • S ( s x , s y ) • T ( − xr ,− y r )
2.4 剪切变换
下图所示为矩形ABCD沿x轴方向的切变，oy 轴称为依赖轴：
y
A
A`
B(x,y)
B`(x`,y`)
a
O
C
x
剪切变换的矩阵表示
y y
正视图
O z
侧视图
x x
x z
O
俯视图
O
O
y
z
斜平行投影
在斜平行投影中，投影方向不垂直于投影平面
z
斜等测 AB = A`B`
A A`
B
B` y
A`
A
B
斜二测 AB = 2A`B`
x
B`
3.2 透视投影
透视投影的视线（投影线）是从视点（观察 点）出发，视线是不平行的。任何一束不平 行于投影平面的平行线的透视投影将汇聚成 一点，称为灭点，在坐标轴上的灭点叫做主 灭点。按照主灭点的个数，透视投影可分为 一点透视、二点透视和三点透视； 主灭点数是和投影平面切割坐标轴的数量相 对应的。如投影平面仅切割z轴，则z轴是投 影平面的法线，因而只在z轴上有一个主灭点， 而平行于x轴和y轴的直线也平行于投影平面， 因而没有灭点；
其中，当Sx = Sy = Sz时，上式的变换是以原点为相似 中心的相似变换，这样常使变换后的图形不在原来的 位置上。如下所示： y
x
z
y
2.3 旋转变换
x´ ´ θ 设给定点的坐标为(x,y,z) = (rcosØ,rsinØ,z),则它绕z轴旋转 à角后，得点(x`,y`,z`)，则
y P´(x´,y ´ ´ ´) θ P(x,y) x
关于灭点
一点透视、 一点透视、两点透视和三点透视
一点透视的投影公式
y
P` (x`,y`,0)
P (x,y,z) o x
V (0,0,h) z
x x ` = 1 − y y ` = 1 −
z h z h
4. 裁剪
二维窗口是投影平面上的一个矩形，一 般来说，这个矩形的边和投影平面上的 坐标轴平行，图形在窗口内的部分被显 示出来，窗口外的部分要进行裁剪。
二维窗口示例
D I B A L J F C K
E
Sutherland-Cohen算法实现步骤 算法实现步骤
步骤一： 步骤一：
– 用区域编码方式将整个区域进行编码； – 若某线段两个端点的编码均为0000，则该线段完全 可见； – 若某线段两个端点编码的逻辑乘不为0，则该线段 为完全不可见； 1001 1000 1010
问题：如何实现复杂变换？ 问题：如何实现复杂变换？
变换分解 变换合成
关于任意参照点 Pr ( x r , y r ) 的旋转变换
R ( xr , y r ;θ ) = T ( xr , yr ) • R (θ ) • T ( − xr ,− yr )
关于任意参照点 Pr ( xr , yr ) 的放变换
y´ ´
P(x,y)P´(x´,y´) ´ ´ ´ x
x` = rcos(Ø+ à) = xcosà – ysinà ; y` = rsin(Ø+ à) = xsinà + ycosà ; z` = z ; 所以，旋转变换对应的变换矩阵为：
0 0 0 0 1 0 0 1 cosα sin α − sin α cosα [x`, y`, z`,1] = [x, y, z,1] 0 0 0 0
透视投影
A` 视点
A
B` 视点平面 B
平行投影
A`
A
B`
B
3.1 平行投影
平行投影根据投影方向和投影面的夹角分为两 类：正投影和斜投影。 当投影方向垂直于投影平面时，称为正投影， 否则成为斜投影。
投影平面法方向 投影平面法方向 投影方向 投影方向
正投影
斜投影
正投影和三视图
三视图(正视图、俯视图、侧视图)均是正投影；
图形的显示流程
为显示对象在世界坐标系中作平移、放缩、旋转、 对称等变换，使显示对象能以合适的位置、大小和 方向显示出来； 通过投影，将三维空间中的对象在二维的屏幕或图 纸上显示出来。投影有平行投影和透视两种方法； 为了只显示图形的某一部分，可在投影平面上定义 一个二维窗口，通过对图形的裁剪，只显示窗口内 的图形； 在计算机屏幕或绘图纸上定义一个矩形，成为视区， 窗口内的景物就在视区内显示； 为了适应物理设备坐标和视区坐标的差异，还要做 相应的变换适应物理坐标；
1 0 [x`, y`, z`,1] = [x, y, z,1] 0 0 0 0 0 −1 0 0 0 −1 0 0 0 1
x