高三数学教案 圆的极坐标方程公式
圆的极坐标方程
圆的极坐标方程圆是平面坐标系中最常见的几何图形，它被广泛应用于工程、科学、艺术及实际生活中。
我们知道，圆的极坐标方程是用极坐标来描述圆的一种方法，它把圆的位置和形状表示为极坐标形式的函数，从而可以用极坐标有效地表示出整个平面坐标系中的圆。
圆的极坐标方程定义如下：圆心为原点(0,0)，圆半径为r，圆上任意一点(x,y)，则存在实数θ满足：x = rcosθy = rsinθ以上方程就是圆的极坐标方程，其中r表示圆的半径，θ表示圆上任意一点的极角，其中0≤θ≤2π，当极角θ发生变化时，对应的圆上任意点发生变化，这样就可以遍历整个圆的所有点。
此外，圆的极坐标方程也与平面坐标系有着密切的关系，假设圆上任意一点(x,y)，则其直角坐标可以根据圆的极坐标方程求出：x = rcosy = rsin则有：x = rcos=> x = rcos(arcos(x/r) )=> cos(arcos(x/r)) = x/ry = rsin=> y = rsin(arcsin(y/r))=> sin(arcsin(y/r)) = y/r所以，圆的极坐标方程中的实参θ可以由直角坐标中的实参x和y求出，即：θ = arctan ( y/x )从上面可以看出，当圆上任意一点的极角θ发生变化时，其直角坐标也会发生变化，这就是圆的极坐标方程与平面坐标系之间的密切联系。
另外，圆的极坐标方程也可以用来求解圆的面积及周长，假设圆半径r，则圆的面积为：S =r^2而圆的周长为：C = 2πr以上就是圆的极坐标方程的数学表示，从其可以看出，圆的极坐标方程既与平面坐标系有着密切联系，也可以用来求解圆的面积及周长，这一特性使得圆的极坐标方程在工程、科学、艺术及实际生活中得到了广泛应用。
总之，圆的极坐标方程是圆的一种表示方法，通过它，我们可以有效地把圆的位置和形状表示出来，而圆的极坐标方程又与平面坐标系有着密切联系，可以用来求解圆的面积及周长，这些优越的特性使得圆的极坐标方程得到广泛应用。
4.2.2圆的极坐标方程
4.2.2圆的极坐标方程
学习目标：掌握圆的极坐标方程的推导方法及其结论，并能简单应用。
一、复习：
直线的极坐标方程的推导方法及其结论
二、引入
课本P28 2
三、建构
圆的极坐标方程：圆心),(00θρM ，半径r
特殊地：
（1）圆心在极点，半径r 的圆的极坐标方程是
（2）圆心在点M （r ，0），半径r 的圆的极坐标方程是
圆心在点)0,(r M -，半径r 的圆的极坐标方程是
（3）圆心在点)2,(π
r M ，半径r 的圆的极坐标方程是
圆心在点)2,
(π
r M -，半径r 的圆的极坐标方程是 x O
),(00θρM
例1、圆心的坐标为A （4，0），半径为4的圆中，求过极点O 的弦的中点的轨迹方程。
练习：圆心的坐标为A （4，0），半径为4的圆中，求过极点的弦的三等分点的轨迹方程
变题：求圆心的坐标为)6,
4(πA ，半径为4的圆的极坐标方程。
比较与例1中已知圆的极坐标方程，有何联系？
例2、（课本P29 9）自极点O 作射线与4cos =θρ相交于点M ，在OM 上取一点P ，使得OM ·OP=12，求点P 的轨迹方程
四、课堂小结：
五、作业。
圆的极坐标方程教学设计
圆的极坐标方程教学设计教学目标：1.了解极坐标系的定义和基本特点；2.掌握圆的极坐标方程的推导方法；3.能够用极坐标方程描述圆。
教学内容：1.介绍极坐标系的定义和基本特点；2.解释如何用极坐标表示点的位置；3.推导圆的极坐标方程；4.给出一些实际问题，让学生应用极坐标方程描述圆。
教学步骤：步骤一：介绍极坐标系的定义和基本特点（10分钟）教师通过投影仪展示极坐标系的图像，解释其定义和基本特点。
说明极坐标系是由一个原点和一个极轴组成的，可以用角度和距离来表示点的位置。
步骤二：解释如何用极坐标表示点的位置（10分钟）教师通过示意图解释如何用极坐标表示点的位置，包括以极轴为参照，顺时针或逆时针方向的角度和与原点的距离。
步骤三：推导圆的极坐标方程（20分钟）1.教师引导学生思考如何用极坐标方程表示圆；2.教师提供一个已知条件，例如圆心为原点，半径为r；3.教师通过几何推导，由于圆是等距离于圆心的所有点的集合，可以推导出圆的极坐标方程为r=常数。
步骤四：完成一些练习题（20分钟）1.教师给出一些练习题，要求学生用极坐标方程表示圆，例如：a)半径为3的圆；b)圆心在(2,π/4)处，半径为4的圆。
2.学生独立完成练习题，并相互交流思路和答案。
步骤五：解答练习题并讲解（20分钟）1.教师解答学生的练习题，并解释答案的推导过程；2.教师引导学生思考和讨论，探究如何用极坐标方程描述特殊情况下的圆。
步骤六：应用极坐标方程描述圆的实际问题（20分钟）1.教师给出一些实际问题，要求学生用极坐标方程描述圆；2.学生独立或小组合作完成实际问题，并进行讨论。
步骤七：总结和评价（10分钟）教师总结本节课的重点内容并与学生互动交流，鼓励学生发表自己的观点。
教师可以提问学生如下问题：1.极坐标系有哪些特点？它有什么优势和应用领域？2.圆的极坐标方程是什么？如何推导出来的？3.你觉得极坐标方程对于描述圆形有什么优势或特殊应用？教学评价：1.教师对学生的课堂表现进行评价，包括是否积极参与讨论、对概念和推导过程的理解程度等。
高中数学：圆的 极坐标方程
C(a,0)
x
教学目标
1、认识几种圆的极坐标方程，比较 它与直角坐标方程的异同。 2、掌握求圆的极坐标方程的方法。 3、能应用极坐标方程解决圆与直线 的关系。
教学重点： 求圆的极坐标方程的方法与步骤 教学难点： 极坐标方程是涉及长度与角度的问题， 列方程实质是解直角或斜三角形问题， 要使用旧的三角知识。
练习2
பைடு நூலகம்
极坐标方程分别是ρ＝cosθ和
ρ＝sinθ的两个圆的圆心距是多少
2 2
练习3
以极坐标系中的点(1,1)为圆心，1为 半径的圆的方程是
A. 2 cos B . 2 sin 4 4 C . 2 cos 1 D . 2 sin 1
１.小结： （１）曲线的极坐标方程概念 （２）怎样求曲线的极坐标方程 （3）圆的极坐标方程
作业布置 课本Ｐ15: １(1)(3)、２、(３)(4)
复习引入
一、复习： 1、求曲线的极坐标方程步骤：……
2、直线的几种极坐标方程……
求曲线的极坐标方程的步骤： 答：与直角坐标系里的情况一样，求 曲线的极坐标方程就是建系－设点（点
与坐标的对应）－列式（方程与坐标的对 应）－化简得方程f(,)=0 －说明
新课引入： 热身训练：在平面直角坐标系中 1、圆心坐标为(3,0)且半径为3的圆方 程为 （x-3）2+y2=9 2、圆心坐标为（0,3）且半径为3的圆 X2+(y-3)2=9 线方程为_______ 3、圆心在原点半径为3的圆方程为 X2+y2=9 _______ 变式：将以上三个方程化为极坐标方程 并画出对应的图形。
直角坐标系
极坐标系
极坐标图形
1、圆心（3，0） 圆心（3，0） 半径为3 半径为3
圆的极坐标方程
圆的极坐标方程在极坐标系中，如果平面曲线C上任意一点的极坐标中至少有一个满足方程$f(\rho,\theta)=0$，并且坐标适合方程$f(\rho,\theta)=0$的点都在曲线C上，那么方程$f(\rho,\theta)=0$叫做曲线C的极坐标方程。
对于圆的极坐标方程，有以下特殊情形：1) 圆心在极点(0,0)时，极坐标方程图形为$\rho=r$，其中$0\leq\theta<2\pi$。
2) 圆心在点$(r,0)$时，极坐标方程图形为$\rho=2r\cos\theta$，其中$-\pi\leq\theta<\pi$。
3) 圆心在点$(r,\frac{\pi}{2})$时，极坐标方程图形为$\rho=2r\sin\theta$，其中$0\leq\theta<\frac{\pi}{2}$。
4) 圆心在点$(r,\pi)$时，极坐标方程图形为$\rho=-2r\cos\theta$，其中$\pi\leq\theta<\frac{3\pi}{2}$。
5) 圆心在点$(r,-\frac{\pi}{2})$时，极坐标方程图形为$\rho=-2r\sin\theta$，其中$-\frac{\pi}{2}<\theta\leq 0$。
对于一般情形，设圆心为C$(\rho,\theta)$，半径为$r$，M$(\rho,\theta)$为圆上任意一点，则$|CM|=r$，$\angleCOM=|\theta-\theta|$，根据余弦定理可得圆C的极坐标方程为$\rho^2-2\rho r\cos(\theta-\theta)+r^2=0$。
例如，极坐标方程$\rho=4$表示以极点为圆心，以4为半径的圆。
又例如，过极点且圆心为$(1,0)$的圆的极坐标方程为$\rho=2\cos\theta$。
极坐标方程$\rho=\cos\frac{\pi}{4}$表示以极点为圆心，以$\frac{1}{\sqrt{2}}$为半径的圆。
圆的极坐标方程说课稿
圆的极坐标方程说课稿一、教学目标通过本节课的学习，让学生了解并掌握圆的极坐标方程的概念和求解方法，培养学生对极坐标方程的应用能力，提高数学思维能力和解决问题的能力。
二、教学准备1.教师准备笔记本电脑和投影仪；2.教师准备圆的极坐标方程的课件，包括概念讲解、例题演示和解题步骤等；3.学生准备纸和笔。
三、教学过程1. 引入教师用投影仪展示一个圆的图形，并提问学生是否知道如何描述这个圆的方程。
引导学生思考，提示学生回顾极坐标系的概念和极坐标方程的相关内容。
2. 讲解(1) 介绍极坐标系教师通过投影仪展示极坐标系的图像，简单介绍极坐标系的概念和极坐标的表示方法，并强调极角和极径的含义。
(2) 定义圆的极坐标方程教师给出圆的定义，并引入圆的极坐标方程的概念。
解释圆在极坐标系中的特点，即圆心为极点，半径为极径。
(3) 推导圆的极坐标方程教师通过数学推导的方式，解释圆的极坐标方程的推导过程。
首先，引入三角函数的关系，即 $x=r\\cos\\theta$ 和 $y=r\\sin\\theta$。
然后，将直角坐标转化为极坐标，得到 $x=r\\cos\\theta$ 和 $y=r\\sin\\theta$。
最后，将x和y代入圆的定义式x2+y2=r2，得到圆的极坐标方程r2=r2。
3. 案例演练教师提供一些圆的极坐标方程的案例，让学生通过实际操作来掌握圆的极坐标方程的求解方法。
教师可以引导学生按照以下步骤来解题：(1) 将极坐标方程的形式转化为直角坐标方程的形式通过使用三角函数的关系公式，将极坐标方程转化为直角坐标方程的形式。
(2) 求解直角坐标方程找到直角坐标方程对应的图形，并求解满足条件的解。
(3) 将解转化为极坐标方程将直角坐标方程的解转化为极坐标方程的形式。
4. 总结与拓展教师通过课件总结圆的极坐标方程的求解方法，并提醒学生注意圆的极坐标方程的特点。
引导学生分析圆的极坐标方程在实际问题中的应用。
四、课堂小结通过本节课的学习，我们了解了圆的极坐标方程的概念和求解方法。
圆的极坐标方程(1)1
学习目标：
1、掌握极坐标方程的意义 2、类比圆的直角坐标方程，结合直
角坐标与极坐标的互化，掌握圆的 极坐标方程
3、掌握特殊位置下的圆（过极点或 圆心在极点的圆）的极坐标方程．
自学指导：
阅读课本P12~13探究上面的内容 思考：
1、找出极坐标方程定义（在文中画出来） 2、在极坐标方程定义中你是如何理解“平面
当堂作业 选做题
在极坐标系中, 已知圆C的圆心C(3, π ), 半径r=3，求圆C的极坐标方程。 6
练习1、按下列条件写出圆的极坐标方程：
(1)以A(3,0)为圆心，且过极点的圆；
(2)以B(8， )为圆心，且过极点的圆；
2 (3)以极点O与点C(-4,0)连接的线段为直径的圆；
(4)圆心在极轴上，且过极点与点D(2 3， )的圆。
求下列圆的极坐标方程
圆 心
(１)中心在极点，半径为r；
的
＝r
极
(２)中心在Ｃ(a,0)，半径为a；
径
＝2acos
(３)中心在(a,/2)，半径为a；
＝2asin
与 圆 的 半
(４)中心在Ｃ(a,０)，半径为a
径
1、曲线的极坐标方程＝4 sin 化为直角坐标
6
(1) =6 cos
(2) 16sin
(3) 4cos (4) 4cos
辨析:圆心在不同位置时圆参数方程和特征.
运用此结果可以推出一些特殊位置的圆的极坐 标方程。
1、当圆心位于M(r, 0)时，由上式可得圆的极坐
标方程是： =2rcos
2、当圆心位于M(r, )时，由上式可得圆的极坐
2
标方程是： =2rsin
方程＿＿＿＿＿＿＿＿＿
极坐标圆的方程
极坐标圆的方程极坐标圆的方程极坐标是平面直角坐标系的一种表示方法，使用极径和极角来描述平面上的点。
极径指点到极点的距离，极角则是点在以极点为起点的射线与固定射线之间的角度。
极坐标的优势在于可以更方便地表示极坐标下的曲线，其中最基本的就是极坐标圆。
极坐标圆是一个以（0，0）点为圆心的圆，它的半径为r。
由于圆上任意一点的位置可以通过其极径r和极角θ来描述，所以极坐标下圆的方程为：r = a， a为圆的半径。
这个方程的基本思想就是通过给定的极径r和相应的极角θ，判断点是否在圆上。
一般来说，如果一个点的极坐标r和θ满足r = a，则说明该点在极坐标圆上。
圆形在极坐标系中的特征有很多，其中之一是圆图形的极坐标方程的对称性。
对于一个标准的圆形，可以通过任意的起始点，任意方向和极径的一半，确定圆心在极坐标中的值。
对于极坐标对称的圆，其极轴上的点可以是任意的。
图1另外，因为极坐标系中的坐标值只有一个r，所以极坐标圆也有其特殊的性质。
这些性质包括：1. 极坐标圆的方程函数是连续的，这意味着极坐标圆是连续的曲线。
2. 每个极坐标圆都有一个唯一的中心点，由于它们的半径不同，所以多个圆构成不同的图形。
3. 极坐标圆是同分布的，在所选起始点和方向上以半径的一半为间隔排布。
这也是极坐标系的优势。
4. 极坐标圆的中心到内圆弧的最大距离，等于半径。
这也是极坐标方程重要的特性，因为可以通过这样的特性，直接找到圆的半径。
图2在实际的应用中，极坐标圆可以用来表示长宽比一致的圆形，例如车轮、区域等等，还可以通过绘制圆弧、填充圆形来进行信息的可视化。
总之，极坐标圆是极坐标中最基本、最常用的图形之一，了解它的基本特性和方程，不仅可以帮助我们更好地绘制、理解和分析极坐标图形，而且可以为我们更好地应用极坐标提供迅速高效和实用的工具和方法。
5. 圆的极坐标方程(教师版)
5 圆的极坐标方程学习目标：1. 能写出不同位置的圆的极坐标方程，已知圆的极坐标方程，能在极坐标系中画出圆的图形；2. 会将圆的极坐标方程与圆的直角坐标方程互化. 学习重点：圆的极坐标方程的求法.学习难点：一般形式下圆的极坐标方程的推导. 学习过程： 一、课前准备阅读教材1213P P -的内容，并思考下面的问题：1．直角坐标系中，单位圆221x y +=在极坐标系中如何表示？ 答：1ρ=2．极坐标系中，圆心在极点，半径等于2的圆，能否用方程表示？ 答：可以，可以表示为2ρ=.二、新课导学： （一）新知：1. 已知圆C 的半径为a ，圆心在不同的位置上，试求出圆的极坐标方程.图3图2图1O设圆上的动点P 的坐标为(,)ρθ，（1）图1中，动点P 不论运动到什么位置，到极点的距离始终是a ，所以圆的极坐标方程是：a ρ=.（2）图2中，设圆与极轴交于点A ，在直角三角形OPA 中，cos 2aρθ=，即2cos a ρθ=，即为所求圆的极坐标方程.（3）图3中，设圆与垂直于极轴的直线交于点B ，则PBO θ∠=，在直角三角形PBO 中，sin 2PBO aρ∠=，即2sin a ρθ=，即为所求圆的极坐标方程.按照上面的思路，写出下面两种情况的圆的极坐标方程：图5图4（4）图4中，设直线OC 与圆交于点A ，则32POA πθ∠=-， 在Rt POA ∆中，3cos()22aρπθ-=，化简得2sin a ρθ=-，即为所求圆的方程. （5）图4中，设极轴的延长线与圆交于点A ，则POA πθ∠=-，在Rt POA ∆中，cos()ρπθ-=，化简得2cos a ρθ=-，即为所求圆的方程.（二）典型例题：【例1】已知圆心在)0,(a M ，半径为R ，试写出圆的极坐标方程． 【解析】设圆上动点P 的坐标为(,)ρθ，如图 ，在OPM ∆中，||OP ρ=，||PM R =，||OM a =，POM θ∠=，由余弦定理可得：222cos 2a R a ρθρ+-=，即 0cos 2222=-+-R a a θρρ.即为所求圆的极坐标方程.动动手：在圆心的极坐标为)0,4(A ，半径为4的圆中，求过极点O 的弦的中点的轨迹. 【解析】如图，设弦OP 的中点为(,)M ρθ，连MA ，在Rt AMO ∆中，cos 4ρθ=，所以，所求方程为4cos ρθ=.【例2】（1）化在直角坐标方程0822=-+y y x 为极坐标方程， （2）化极坐标方程)3cos(6πθρ-= 为直角坐标方程.【解析】(1)由互化公式cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，得：2222cossin 8sin 0ρθρθρθ+-=，因为ρ不恒为0，所以8sin ρθ=.(2) 将)3cos(6πθρ-=展开，得6cos cos 6sin sin 33ππρθθ=+，即3cos ρθθ=，两边同乘以ρ，得23cos sin ρρθθ= 将互化公式cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩及222x y ρ=+代入，得2230x y x +-=.动动手：(1) 化在直角坐标方程22240x y x y ++-=为极坐标方程， （2）化极坐标方程8sin()6πρθ=-为直角坐标方程.【解析】（1）根据互化公式，有22cos 4sin 0ρρθρθ+-=， 即：4sin 2cos ρθθ=-.(2) 将8sin()6πρθ=-展开，得8sin cos 6cos sin 66ππρθθ=-，即4cos ρθθ=-，两边同乘以ρ，得2sin 4cos ρθρθ=-将互化公式cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩及222x y ρ=+代入，得2240x y x ++-=.【例3】若圆心的坐标为),(00θρM ，圆的半径为r ，求圆的方程. 运用此结果可以推出哪些特殊位置的圆的极坐标方程.【解析】如图，设(,)P ρθ，因为),(00θρM ，所以0POM θθ∠=-（或0θθ-），||PO ρ=，0||MO ρ=，||PM r =， 在POM ∆中，由余弦定理，得2220002cos()r ρρρρθθ=+--，即所求的圆的极坐标方程为2220002cos()0r ρρρρθθ+---=.这是圆的极坐标方程的一般式，它可以推得任何特殊位置的圆的极坐标方程. 三、总结提升：1．求曲线的极坐标方程，就是建立以ρ、θ为变量的方程；类似于直角坐标系中的x 、y .求曲线的极坐标方程时，关键是找出动点所满足的几何条件，再运用三角运算、化简，得出极坐标方程.2.将极坐标方程与直角坐标方程互化，要注意互化公式的灵活运用，要注意互化前后两个方程的等价性.3.特殊位置的圆的极坐标方程比直角坐标方程简单，要会运用解三角形的方法求出圆的极坐标方程. 四、反馈练习：1.圆4sin ρθ=的圆心和半径分别是 （ B ） A ．(2,0)、2 B ．(2,)2π、2 C ． (2,)2π、4 D ．(2,)2π-、42.圆5cos ρθθ=-的圆心坐标是（ A ）A ．5(5,)3π B ．4(5,)3π C ．2(5,)3π D ．(5,)3π 3. 曲线的极坐标方程为1tan cos ρθθ=⋅，则曲线的直角坐标方程为2y x =.4. 极坐标方程分别为2cos ρθ=与2sin ρθ=的两个圆的圆心距为.5. 在极坐标系中，已知圆C 的圆心)6,3(πC ，半径3=r ，求圆C 的极坐标方程.【解析】如图，6xOC π∠=，POx θ∠=，则6POC πθ∠=-（6πθ-），||3PC =，||3OC =，||OP ρ=， 在POC ∆中，由余弦定理，得222||||||2||||cos()6PC OP OC OP OC πθ=+--，即29923cos()6ρρρθ=+-⨯-，所以，所求方程为6cos()6πρθ=-.。
圆的极坐标方程及圆心半径的表示全集文档
圆的极坐标方程及圆心半径的表示全集文档(可以直接使用，可编辑实用优质文档，欢迎下载）圆的极坐标方程及圆心、半径的表示圆心为C(00,θρ)，且半径为R的圆的极坐标方程是圆心在极点，半径为a(a>0)的圆的极坐标方程是ρ=a ．圆心在C(a , 0)(a>0)且过极点的圆的极坐标方程是ρ=2acosθ．圆心在（a,p ）（a>0）且过极点的圆的极坐标方程是r=-2acosq一．坐标表示的焦半径公式1、椭圆（一类）由代入整理得,同理，可以假想点P在y轴右边，且x>0 帮助，显然总有符合椭圆定义。
公式常见应用：（1）椭圆上点到焦点最远距离a+c,最近距离a-c（2）椭圆上三点A,B,C，若成等差数列，则到同一个焦点的焦半径也成等差数列。
（3）定义直线为椭圆的左右准线。
由焦半径公式，椭圆上任意一点P(x,y) 到对应焦点和对应准线的距离之比总等于离心率e.2. 双曲线由代入整理得,由双曲线上点,若点P在右支上，同理，.总有.若点P在左支上，同理，.总有.公示的应用：（1）若双曲线上同一支上的三点A,B,C，有成等差数列，则它们到同一个焦点的焦半径也成等差数列。
（2）定义直线为双曲线的左右准线。
由焦半径公式，双曲线上任意一点P(x,y) 到对应焦点和对应准线的距离之比总等于离心率e.3.抛物线公式的应用：抛物线上三点A,B,C，若，则。
二．圆锥曲线统一定义及方向角表示的焦半径公式1、统一定义：平面上到定点F与定直线l 距离之比等于常数e的点轨迹。
若0<e<1,轨迹为椭圆。
若e=1，则轨迹为抛物线。
若e>1，则轨迹为双曲线。
2.方向角焦半径公式（1）方向角定义如图：将Fx当始边，FM当终边所成角定义为点M的方向角。
方向角范围将焦准距离统一表示为P。
对于椭圆，双曲线(要求记忆)（2）公式：e:离心率，对于椭圆，双曲线，.（3）公式的应用：焦点弦长公式说明：（1）焦点弦长公式中，方向角以平方形式出现，不影响计算，可将方向角改为焦点弦和对称轴夹角：.（2）有对称性改为夹角，公式对椭圆，双曲线的左右焦点弦都成立。
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圆的认识•圆的定义：圆是一种几何图形。
当一条线段绕着它的一个端点在平面内旋转一周时，它的另一个端点的轨迹叫做圆。
在一个个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径。
相关定义:1 在同一平面内，到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆。
这个定点叫做圆的圆心。
图形一周的长度，就是圆的周长。
2 连接圆心和圆上的任意一点的线段叫做半径，字母表示为r。
3 通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径，字母表示为d。
直径所在的直线是圆的对称轴。
4 连接圆上任意两点的线段叫做弦。
最长的弦是直径,直径是过圆心的弦。
5 圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。
大于半圆的弧称为优弧，优弧是用三个字母表示。
小于半圆的弧称为劣弧，劣弧用两个字母表示。
半圆既不是优弧，也不是劣弧。
优弧是大于180度的弧，劣弧是小于180度的弧。
6 由两条半径和一段弧围成的图形叫做扇形。
7 由弦和它所对的一段弧围成的图形叫做弓形。
8 顶点在圆心上的角叫做圆心角。
9 顶点在圆周上，且它的两边分别与圆有另一个交点的角叫做圆周角。
10 圆周长度与圆的直径长度的比值叫做圆周率。
它是一个无限不循环小数，通常用π表示，π=3.14159265……在实际应用中，一般取π≈3.14。
11圆周角等于相同弧所对的圆心角的一半。
12 圆是一个正n边形（n为无限大的正整数），边长无限接近0但不等于0。
圆的集合定义：圆是平面内到定点的距离等于定长的点的集合，其中定点是圆心，定长是半径。
•圆的字母表示：以点O为圆心的圆记作“⊙O”，读作O”。
圆—⊙；半径—r或R（在环形圆中外环半径表示的字母）；弧—⌒；直径—d ；扇形弧长—L ；周长—C ；面积—S。
圆的性质:（1）圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条通过圆心的直线。
圆也是中心对称图形，其对称中心是圆心。
垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的2条弧。
逆定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的2条弧。
（2）有关圆周角和圆心角的性质和定理①在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两个圆周角，两组弧，两条弦，两条弦心距中有一组量相等，那么他们所对应的其余各组量都分别相等。
②在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半（圆周角与圆心角在弦的同侧）。
直径所对的圆周角是直角。
90度的圆周角所对的弦是直径。
圆心角计算公式：θ=(L/2πr)×360°=180°L/πr=L/r(弧度)。
即圆心角的度数等于它所对的弧的度数；圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半。
③如果一条弧的长是另一条弧的2倍，那么其所对的圆周角和圆心角是另一条弧的2倍。
（3）有关外接圆和内切圆的性质和定理①一个三角形有唯一确定的外接圆和内切圆。
外接圆圆心是三角形各边垂直平分线的交点，到三角形三个顶点距离相等；②内切圆的圆心是三角形各内角平分线的交点，到三角形三边距离相等。
③R=2S△÷L（R：内切圆半径，S：三角形面积，L：三角形周长）。
④两相切圆的连心线过切点。
（连心线：两个圆心相连的直线）⑤圆O中的弦PQ的中点M，过点M任作两弦AB，CD，弦AD与BC分别交PQ 于X，Y，则M为XY之中点。
（4）如果两圆相交，那么连接两圆圆心的线段（直线也可）垂直平分公共弦。
（5）弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半。
（6）圆内角的度数等于这个角所对的弧的度数之和的一半。
（7）圆外角的度数等于这个角所截两段弧的度数之差的一半。
（8）周长相等，圆面积比长方形、正方形、三角形的面积大。
•点、线、圆与圆的位置关系：点和圆位置关系①P在圆O外，则PO>r。
②P在圆O上，则PO=r。
③P在圆O内，则0≤PO<r。
反过来也是如此。
直线和圆位置关系①直线和圆无公共点，称相离。
AB与圆O相离，d>r。
②直线和圆有两个公共点，称相交，这条直线叫做圆的割线。
AB与⊙O相交，d<r。
③直线和圆有且只有一公共点，称相切，这条直线叫做圆的切线，这个唯一的公共点叫做切点。
AB与⊙O相切，d=r。
（d为圆心到直线的距离）圆和圆位置关系①无公共点，一圆在另一圆之外叫外离，在之内叫内含。
②有唯一公共点的，一圆在另一圆之外叫外切，在之内叫内切。
③有两个公共点的叫相交。
两圆圆心之间的距离叫做圆心距。
设两圆的半径分别为R和r，且R〉r，圆心距为P，则结论：外离P>R+r；外切P=R+r；内含P<R-r；内切P=R-r；相交R-r<P<R+r。
•圆的计算公式:1.圆的周长C=2πr=或C=πd2.圆的面积S=πr23.扇形弧长L=圆心角（弧度制）×r = n°πr/180°（n为圆心角）4.扇形面积S=nπr2/360=Lr/2（L为扇形的弧长）5.圆的直径d=2r6.圆锥侧面积S=πrl（l为母线长）7.圆锥底面半径r=n°/360°L（L为母线长）（r为底面半径）圆的方程:1、圆的标准方程：在平面直角坐标系中，以点O（a，b）为圆心，以r为半径的圆的标准方程是（x-a）2+（y-b)2=r2。
特别地，以原点为圆心，半径为r（r>0）的圆的标准方程为x2+y2=r2。
2、圆的一般方程：方程x2+y2+Dx+Ey+F=0可变形为（x+D/2）2+（y+E/2）2=（D2+E2-4F）/4.故有：①当D2+E2-4F>0时，方程表示以(-D/2,-E/2)为圆心，以（√D2+E2-4F）/2为半径的圆；②当D2+E2-4F=0时，方程表示一个点（-D/2，-E/2）；③当D2+E2-4F<0时，方程不表示任何图形。
3、圆的参数方程：以点O（a，b）为圆心，以r为半径的圆的参数方程是x=a+r*cosθ, y=b+r*sinθ, （其中θ为参数）圆的端点式：若已知两点A（a1,b1）,B（a2,b2），则以线段AB为直径的圆的方程为（x-a1）（x-a2）+（y-b1）（y-b2）=0圆的离心率e=0，在圆上任意一点的曲率半径都是r。
经过圆x2+y2=r2上一点M（a0，b0）的切线方程为a0·x+b0·y=r2在圆（x2+y2=r2）外一点M（a0，b0）引该圆的两条切线，且两切点为A,B，则A,B两点所在直线的方程也为a0·x+b0·y=r2。
•圆的历史:圆形，是一个看来简单，实际上是十分奇妙的形状。
古代人最早是从太阳、阴历十五的月亮得到圆的概念的。
在一万八千年前的山顶洞人曾经在兽牙、砾石和石珠上钻孔，那些孔有的就很圆。
到了陶器时代，许多陶器都是圆的。
圆的陶器是将泥土放在一个转盘上制成的。
当人们开始纺线，又制出了圆形的石纺锤或陶纺锤。
古代人还发现搬运圆的木头时滚着走比较省劲。
后来他们在搬运重物的时候，就把几段圆木垫在大树、大石头下面滚着走，这样当然比扛着走省劲得多。
约在6000年前，美索不达米亚人，做出了世界上第一个轮子——圆型的木盘。
大约在4000多年前，人们将圆的木盘固定在木架下，这就成了最初的车子。
会作圆，但不一定就懂得圆的性质。
古代埃及人就认为：圆，是神赐给人的神圣图形。
一直到两千多年前我国的墨子（约公元前468-前376年）才给圆下了一个定义：圆，一中同长也。
意思是说：圆有一个圆心，圆心到圆周的长都相等。
这个定义比希腊数学家欧几里得（约公元前330-前275年）给圆下定义要早100年。
任意一个圆的周长与它直径的比值是一个固定的数，我们把它叫做圆周率，用字母π表示。
它是一个无限不循环小数，π=3.1415926535……但在实际运用中一般只取它的近似值，即π≈3.14.如果用C表示圆的周长：C=πd或C=2πr.《周髀算经》上说"周三径一"，把圆周率看成3，但是这只是一个近似值。
美索不达来亚人在作第一个轮子的时候，也只知道圆周率是3。
魏晋时期的刘徽于公元263年给《九章算术》作注时，发现"周三径一"只是圆内接正六边形周长和直径的比值。
他创立了割圆术，认为圆内接正多连形边数无限增加时，周长就越逼近圆周长。
他算到圆内接正3072边形的圆周率，π= 3927/1250。
刘徽把极限的概念运用于解决实际的数学问题之中，这在世界数学史上也是一项重大的成就。
祖冲之（公元429-500年）在前人的计算基础上继续推算，求出圆周率在3.1415926与3.1415927之间，是世界上最早的七位小数精确值，他还用两个分数值来表示圆周率：22/7称为约率，355/113称为密率。
在欧洲，直到1000年后的十六世纪，德国人鄂图（公元1573年）和安托尼兹才得到这个数值。
现在有了电子计算机，圆周率已经算到了小数点后六十万亿位小数了。