人教A版2019高中数学必修4讲义：第一章 1.1 1.1.1 任 意 角_含答案

1．1.1任意角

预习课本P2～5，思考并完成以下问题

(1)角是如何定义的？角的概念推广后，分类的标准是什么？

(2)象限角的含义是什么？判断角所在的象限时，要注意哪些问题？

(3)终边相同的角一定相等吗？如何表示终边相同的角？

1．任意角

(1)角的概念：

角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．

(2)角的表示：如图，OA是角α的始边，OB是角α的终边，O是角的

顶点．角α可记为“角α”或“∠α”或简记为“α”．

(3)角的分类：

[点睛]对角的概念的理解的关键是抓住“旋转”二字：①要明确旋转的方向；②要明确旋转量的大小；③要明确射线未作任何旋转时的位置．

2．象限角

把角放在平面直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．

[点睛]象限角的条件是：角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合．3．终边相同的角

所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k ∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．[点睛]对终边相同的角的理解

(1)终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同；

(2)k∈Z，即k为整数这一条件不可少；

(3)终边相同的角的表示不唯一．

[小试身手]

1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)－30°是第四象限角．()

(2)钝角是第二象限的角．()

(3)终边相同的角一定相等．()

答案：(1)√(2)√(3)×

2．与45°角终边相同的角是()

A．－45°B．225°

C．395°D．－315°

答案：D

3．下列说法正确的是()

A．锐角是第一象限角B．第二象限角是钝角

C．第一象限角是锐角D．第四象限角是负角

答案：A

4．将35°角的终边按顺时针方向旋转60°所得的角度数为________，将35°角的终边按逆时针方向旋转一周后的角度数________．

答案：－25°395°

[典例]下列命题正确的是()

A．终边与始边重合的角是零角

B．终边和始边都相同的两个角一定相等

C．在90°≤β<180°范围内的角β不一定是钝角

D．小于90°的角是锐角

[解析]终边与始边重合的角还可能是360°，720°，…，故A错；终边和始边都相同的两个角可能相差360°的整数倍，如30°与－330°，故B错；由于在90°≤β<180°

范围内的角β包含90°角，所以不一定是钝角，C 正确；小于90°的角可以是0°，也可以是负角，故D 错误．

[答案] C

[活学活用]

如图，射线OA 绕端点O 旋转90°到射线OB 的位置，接着再旋转－30°到OC 的位置，则∠AOC 的度数为________．

解析：∠AOC ＝∠AOB ＋∠BOC ＝90°＋(－30°)＝60°. 答案：60°

[典例] 写出与75°角终边相同的角β的集合，并求在360°≤β<1 080°范围内与75°角终边相同的角．

[解] 与75°角终边相同的角的集合为

S ＝{β|β＝k ·360°＋75°，k ∈Z}． 当360°≤β<1 080°时，即360°≤k ·360°＋75°<1 080°，

解得1924≤k <21924

.又k ∈Z ，所以k ＝1或k ＝2. 当k ＝1时，β＝435°；当k ＝2时，β＝795°.

综上所述，与75°角终边相同且在360°≤β<1 080°范围内的角为435°角和795°角．

分别写出终边在下列各图所示的直线上的角的集合．

解：(1)在0°～360°范围内，终边在直线y＝0上的角有两个，即0°和180°，因此，所有与0°角终边相同的角构成集合S1＝{β|β＝0°＋k·360°，k∈Z}，而所有与180°角终边相同的角构成集合S2＝{β|β＝180°＋k·360°，k∈Z}，于是，终边在直线y＝0上的角的集合为S＝S1∪S2＝{β|β＝k·180°，k∈Z}．

(2)由图形易知，在0°～360°范围内，终边在直线y＝－x上的角有两个，即135°和315°，因此，终边在直线y＝－x上的角的集合为S＝{β|β＝135°＋k·360°，k∈Z}∪{β|β＝315°＋k·360，k∈Z}＝{β|β＝135°＋k·180°，k∈Z}.

[典例]

并指出它们是第几象限角．

(1)－75°；(2)855°；(3)－510°.

[解]作出各角，其对应的终边如图所示：

(1)由图①可知：－75°是第四象限角．

(2)由图②可知：855°是第二象限角．

(3)由图③可知：－510°是第三象限角．

[活学活用]

若α是第四象限角，则180°－α一定在( )

A ．第一象限

B ．第二象限

C ．第三象限

D ．第四象限

解析：选C ∵α与－α的终边关于x 轴对称，且α是第四象限角，∴－α是第一象限角．

而180°－α可看成－α按逆时针旋转180°得到，

∴180°－α是第三象限角. [典例] 已知α是第二象限角，求角α2

所在的象限． [解] 法一：∵α是第二象限角，

∴k ·360°＋90°<α

∴k 2·360°＋45°<α2

·360°＋90°(k ∈Z)． 当k 为偶数时，令k ＝2n (n ∈Z)，得

n ·360°＋45°<α2

是第一象限角； 当k 为奇数时，令k ＝2n ＋1(n ∈Z)，得

n ·360°＋225°<α2

是第三象限角． ∴α2

为第一或第三象限角．

法二：如图，先将各象限分成2等份，再从x 轴正向的上方起，

依次将各区域标上一、二、三、四，则标有二的区域即为α2

的终边所在的区域，故α2

为第一或第三象限角． [一题多变]

1．[变设问]在本例条件下，求角2α的终边的位置．

解：∵α是第二象限角，

∴k ·360°＋90°<α

∴k ·720°＋180°<2α

∴角2α的终边在第三或第四象限或在y 轴的非正半轴上．

2．[变条件]若角α变为第三象限角，则角α2

是第几象限角？

解：如图所示，先将各象限分成2等份，再从x 轴正半轴的上方

起，按逆时针方向，依次将各区域标上一、二、三、四，则标有三的

区域即为角α2的终边所在的区域，故角α2

为第二或第四象限角．

层级一 学业水平达标

1．－215°是( )

A ．第一象限角

B ．第二象限角

C ．第三象限角

D ．第四象限角

解析：选B 由于－215°＝－360°＋145°，而145°是第二象限角，则－215°也是第二象限角．

2．下面各组角中，终边相同的是( )

A ．390°，690°

B ．－330°，750°

C ．480°，－420°

D ．3 000°，－840°

解析：选B ∵－330°＝－360°＋30°，750°＝720°＋30°，

∴－330°与750°终边相同．

3．若α＝k ·180°＋45°，k ∈Z ，则α所在的象限是( )

A ．第一、三象限

B ．第一、二象限

C ．第二、四象限

D ．第三、四象限

解析：选A 由题意知α＝k ·180°＋45°，k ∈Z ，

当k ＝2n ＋1，n ∈Z ，

α＝2n ·180°＋180°＋45°

＝n ·360°＋225°，在第三象限，

当k ＝2n ，n ∈Z ，

α＝2n ·180°＋45°

＝n·360°＋45°，在第一象限．

∴α是第一或第三象限的角．

4．终边在第二象限的角的集合可以表示为()

A．{α|90°<α<180°}

B．{α|90°＋k·180°<α<180°＋k·180°，k∈Z}

C．{α|－270°＋k·180°<α<－180°＋k·180°，k∈Z}

D．{α|－270°＋k·360°<α<－180°＋k·360°，k∈Z}

解析：选D终边在第二象限的角的集合可表示为{α|90°＋k·360°<α<180°＋k·360°，k∈Z}，而选项D是从顺时针方向来看的，故选项D正确．

5．将－885°化为α＋k·360°(0°≤α＜360°，k∈Z)的形式是()

A．－165°＋(－2)×360°B．195°＋(－3)×360°

C．195°＋(－2)×360°D．165°＋(－3)×360°

解析：选B－885°＝195°＋(－3)×360°，0°≤195°<360°，故选B.

6．在下列说法中：

①时钟经过两个小时，时针转过的角是60°；

②钝角一定大于锐角；

③射线OA绕端点O按逆时针旋转一周所成的角是0°；

④－2 000°是第二象限角．

其中错误说法的序号为______(错误说法的序号都写上)．

解析：①时钟经过两个小时，时针按顺时针方向旋转60°，因而转过的角为－60°，所以①不正确．

②钝角α的取值范围为90°<α<180°，锐角θ的取值范围为0°<θ<90°，因此钝角一定大于锐角，所以②正确．

③射线OA按逆时针旋转一周所成的角是360°，所以③不正确．

④－2 000°＝－6×360°＋160°与160°终边相同，是第二象限角，所以④正确．

答案：①③

7．α满足180°<α<360°，5α与α有相同的始边，且又有相同的终边，那么α＝________.

解析：5α＝α＋k·360°，k∈Z，∴α＝k·90°，k∈Z.

又∵180°<α<360°，∴α＝270°.

答案：270°

8．若角α＝2 016°，则与角α具有相同终边的最小正角为________，最大负角为________．

解析：∵2 016°＝5×360°＋216°，∴与角α终边相同的角的集合为{α|α＝216°＋k·360°，k∈Z}，∴最小正角是216°，最大负角是－144°.

答案：216°－144°

9．在0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并指出它们是第几象限角：

(1)549°；(2)－60°；(3)－503°36′.

解：(1)549°＝189°＋360°，而180°<189°<270°，因此，549°角为第三象限角，且在0°～360°范围内，与189°角有相同的终边．

(2)－60°＝300°－360°，而270°<300°<360°，因此，－60°角为第四象限角，且在0°～360°范围内，与300°角有相同的终边．

(3)－503°36′＝216°24′－2×360°，而180°<216°24′<270°，因此，－503°36′角是第三象限角，且在0°～360°范围内，与216°24′角有相同的终边．10．已知角的集合M＝{α|α＝30°＋k·90°，k∈Z}，回答下列问题：

(1)集合M中大于－360°且小于360°的角是哪几个？

(2)写出集合M中的第二象限角β的一般表达式．

解：(1)令－360°<30°＋k·90°<360°，则－13

3

11

3，又∵k∈Z，∴k＝－4，－3，

－2，－1,0,1,2,3，∴集合M中大于－360°且小于360°的角共有8个，分别是－330°，－240°，－150°，－60°，30°，120°，210°，300°.

(2)集合M中的第二象限角与120°角的终边相同，

∴β＝120°＋k·360°，k∈Z.

层级二应试能力达标

1．给出下列四个结论：①－15°是第四象限角；②185°是第三象限角；③475°是第二象限角；④－350°是第一象限角．其中正确的个数为()

A．1B．2

C．3 D．4

解析：选D①－15°是第四象限角；

②180°<185°<270°是第三象限角；

③475°＝360°＋115°，而90°<115°<180°，所以475°是第二象限角；

④－350°＝－360°＋10°是第一象限角，

所以四个结论都是正确的．

2．若角2α与240°角的终边相同，则α＝()

A．120°＋k·360°，k∈Z

B．120°＋k·180°，k∈Z

C．240°＋k·360°，k∈Z

D．240°＋k·180°，k∈Z

解析：选B角2α与240°角的终边相同，则2α＝240°＋k·360°，k∈Z，则α＝120°

＋k·180°，k∈Z.选B.

3．若α与β终边相同，则α－β的终边落在()

A．x轴的非负半轴上

B．x轴的非正半轴上

C．y轴的非负半轴上

D．y轴的非正半轴上

解析：选A∵α＝β＋k·360°，k∈Z，

∴α－β＝k·360°，k∈Z，

∴其终边在x轴的非负半轴上．

4．设集合M＝{α|α＝45°＋k·90°，k∈Z}，N＝{α|α＝90°＋k·45°，k∈Z}，则集合M与N的关系是()

A．M∩N＝∅B．M N

C．N M D．M＝N

解析：选C对于集合M，α＝45°＋k·90°＝45°＋2k·45°＝(2k＋1)·45°，即M＝{α|α＝(2k＋1)·45°，k∈Z}；对于集合N，α＝90°＋k·45°＝2×45°＋k·45°＝(k＋2)·45°，即N＝{α|α＝(k＋2)·45°，k∈Z}＝{α|α＝n·45°，n∈Z}．∵2k＋1表示所有的奇数，而n 表示所有的整数，∴N M，故选C.

5．从13：00到14：00，时针转过的角为________，分针转过的角为________．

解析：经过一小时，时针顺时针旋转30°，分针顺时针旋转360°，结合负角的定义可知时针转过的角为－30°，分针转过的角为－360°.

答案：－30°－360°

6．已知角2α的终边在x轴的上方，那么α是第______象限角．

解析：由题意知k·360°<2α<180°＋k·360°(k∈Z)，故k·180°<α<90°＋k·180°(k ∈Z)，按照k的奇偶性进行讨论．当k＝2n(n∈Z)时，n·360°<α<90°＋n·360°(n∈Z)，∴α在第一象限；当k＝2n＋1(n∈Z)时，180°＋n·360°<α<270°＋n·360°(n∈Z)，∴α在第三象限．故α是第一或第三象限角．

答案：一或三

7．试写出终边在直线y＝－3x上的角的集合S，并把S中适合不等式－180°≤α<180°的元素α写出来．

解：终边在直线y＝－3x上的角的集合

S＝{α|α＝k·360°＋120°，k∈Z}∪{α|α＝k·360°＋300°，k∈Z}＝{α|α＝k·180°＋120°，k∈Z}，其中适合不等式－180°≤α<180°的元素α为－60°，120°.

8.如图，分别写出适合下列条件的角的集合：

(1)终边落在射线OB上；

(2)终边落在直线OA上；

(3)终边落在阴影区域内(含边界)．

解：(1)终边落在射线OB上的角的集合为S1＝{α|α＝60°＋k·360°，k∈Z}．(2)终边落在直线OA上的角的集合为

S2＝{α|α＝30°＋k·180°，k∈Z}．

(3)终边落在阴影区域内(含边界)的角的集合为

S3＝{α|30°＋k·180°≤α≤60°＋k·180°，k∈Z}．