苏科版八年级数学上册第一章《全等三角形》典型题分类解析.docx

马鸣风萧萧
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初中数学试卷
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第一章《全等三角形》典型题分类解析

1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D，F分别在AB，AC上，CF=CB，连接CD，将线段CD绕
点C按顺时针方向旋转90°后得CE，连接EF．
(1) 求证：△BCD≌△FCE；
(2) 若EF∥CD，求∠BDC的度数．
考点 全等三角形的判定与性质；旋转的性质．
分析 (1) 由旋转的性质可得：CD=CE，再根据同角的余角相等可证明∠BCD=∠FCE，再根据全等三
角形的判定方法即可证明△BCD≌△FCE；
(2) 由(1)可知：△BCD≌△FCE，所以∠BDC=∠E，易求∠E=90°，进而可求出∠BDC的度数．
解答 (1) 证明：∵将线段CD绕点C按顺时针方向旋转90°后得CE，
∴CD=CE，∠DCE=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠BCD=90°－∠ACD=∠FCE，
在△BCD和△FCE中，
CBCFBCDFCECDCE










∴△BCD≌△FCE(SAS)．
(2) 解：由(1)可知△BCD≌△FCE，
∴∠BDC=∠E，
∵EF∥CD，
∴∠E=180°一∠DCE=90°，
∵∠BDC=90°．
点评 本题考查了全等三角形的判定和性质、同角的余角相等、旋转的性质、平行线的性质，全等三
角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具，在判定三角形全等时，关键是选
择恰当的判定条件．
2．如图，已知：△ABC中，AB=AC，M是BC的中点，D，E分别是AB，AC边上的点，且BD=CE．求
证：MD=ME.
考点 全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质
专题 证明题．
分析 根据等腰三角形的性质可证∠DBM=∠ECM，可证△BDM≌△CEM，
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可得MD=ME，即可解题．
解答 证明：△ABC中，
∵AB=AC，
∴∠DBM=∠ECM，
∵M是BC的中点，
∴BM=CM，
在△BDM和△CEM中，
BDCEDBMECMBMCM










∴△BDM≌△CEM(SAS)，
∴MD=ME.
点评 本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质．
3． 如图，在四边形ABCD中，AB=BC，对角线BD平分么ABC，P 是BD上一点，过点P作PM⊥AD，
PN⊥CD，垂足分别为M，N．
(1) 求证：∠ADB=∠CDB；
(2) 若∠ADC=90°，由(1)中的条件可得四边形MPND是矩 形，
再根据两边相等的四边形是正方形即可证明四边形MPND是正
方形．
考点 全等三角形的判定与性质．
专题 证明题．
分析 (1) 根据角平分线的性质和全等三角形的判定方法证明△ABD≌△CBD，由全等三角形的性质
即可得到：∠ADB=∠CDB；
(2) 若∠ADC=90°，由(1)中的条件可得四边形砒MPND是矩形，再根据两边相等的四边形是正方形
即可证明四边形MPND是正方形．
解答 证明：(1) ∵对角线BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD，
在△ABD和△CBD中，
ABCBABDCBDBDBD










∴△ABD≌△CBD，
∴∠ADB=么CDB．
点评 本题考查了全等三角形的判定和性质、角平分线的性质、解题的关键是熟记各种几何图形的性
质和判定．
4 ．【问题提出】
学习了三角形全等的判定方法 (即“SAS”“ASA”“AAS”“SSS”) 和直角三角形全等的判定方法 (即
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“HL”) 后，我们继续对“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等”的情形进行研究．
【初步思考】
我们不妨将问题用符号语言表示为：在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，然后，对
∠B进行分类，可分为“∠B是直角、钝角、锐角”三种情况进行探究．

【深入探究】
第一种情况：当∠B是直角时，△ABC≌△DEF．
(1)如图①，在△ABC和△DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E=90°，根据 ，可以知道Rt△ABC
≌Rt△DEF．
第二种情况：当∠B是钝角时，△ABC≌△DEF，
(2)如图②，在△ABC和△DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B，∠E都是钝角，求证：△ABC
≌△DEF．
第三种情况：当∠B是锐角时，△ABC △DEF不一定全等．
(3)在△ABC和△DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B，∠E都是锐角，请你用尺规在图③中作
出△DEF，使△DEF和△ABC不全等．(不写作法，保留作图痕迹)
(4) ∠B还要满足什么条件，就可以使△ABC≌△DEF? 请直接写出结论：在△ABC和△DEF中，
AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B，∠E都是锐角，若 ，则△ABC≌△DEF．
分析 (1) 根据直角三角形全等的方法“HL”证明；
(2) 过点C作CG⊥AB交AB的延长线于G，过点F作DH⊥DE交DE的延长线于H，根据等角的补角
相等求出∠CBG=∠FEH，再利用“角角边”证明△CBG和△FEH全等，根据全等三角形对应边相等可
得CG=FH，再利用“HL”证明Rt△ACG和Rt△DFH全等，根据全等三角形对应角相等可得∠A=∠D，
然后利用“角角边”证明△ABC和△DEF全等；
(3) 以点C为圆心，以AC长为半径画弧，与AB相交于点D，E与B重合，F与C重合，得到△DEF
与△ABC不全等；
(4) 根据三种情况结论，∠B不小于∠A即可．
解答 (1)解：HL；
(2)证明：如图，过点C作CG⊥AB交AB的延长线于G，过点F作DH⊥DE交DE的延长线于H，
∵∠B=∠E，且∠B，∠E都是钝角，∴180°－∠B=180°－∠E，
即∠CBG=∠FEH，

在△CBG和△FEH中，90CBGFEHGHBCEF，∴△CBG≌△FEH (AAS)，∴CG=FH，
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在Rt△ACG 和 Rt△DFH中，ACDECGFH，∴Rt△ACG≌Rt△DFH (HL)，∴∠A=∠D，

在△ABC和△DEF中，ADBEACDF，∴△ABC≌△DEF (AAS)；
(3) 解：如图，△DEF和△ABC不全等；
(4) 解：若∠B≥∠A，则△ABC≌△DEF．
故答案为：(1) HL (4) ∠B≥∠A．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质，应用与设计作图，熟练掌握三角形全等的判定方法是解
题的关键，阅读量较大，审题要认真仔细．