材料力学动载荷的概念及分类
第十三章动载荷
1 M st max = FN st × 4 qst × 6 2 = 6qst = 6 × 165.62 = 993.7 N m 2
σ st max =
M st max 993.7 N m = = 61.7 MPa Wz 16.1×106 m 3
d(l d ) = ε d ( x)dx =
于是, 于是,杆的总伸长量为
σ d ( x)
E
2
dx
l d = ∫ d (l d ) = ∫
0
l
l
γω 2
2 Eg
0
(l x )dx =
2
γω 2 l 3
3Eg
材料力学
中南大学土木建筑学院
20
§13.3 杆件受冲击时的应力和变形
一,冲击现象
下落重物冲击梁
Vεd = V +T
材料力学
1 应变能 Vε d = F d d 2 1 Fd d = W d + T 2
中南大学土木建筑学院 23
线弹性 范围内
F d d σd = = = Kd W st σst
冲击动荷系数
F = KdW, d = Kd st d
2 d
1 F d = Wd +T d 2
2T =0 K 2Kd Wst
Fd = KdW, d = Kd st
v
W
线弹性 范围内 水平冲击 动荷系数
冲击点
v2 Kd = gst
冲击点作用大小等于W st ——冲击点作用大小等于 的水平 冲击点作用大小等于 静载荷时引起该点的静变形. 静载荷时引起该点的静变形.
材料力学 中南大学土木建筑学院 27
动载荷
材料力学
§2
惯性力问题
动载荷
2、等角速度旋转的构件
•旋转圆环的应力计算 一平均直径为D的薄壁圆环绕通过其圆心且垂直于圆环平面 的轴作等角速度转动。已知转速为，截面积为A，比重为，壁 厚为t。 解：等角速度转动时，环内各
qd
an
D o
t
o
点具有向心加速度，且D>>t 可近似地认为环内各点向心 an 2 D / 2 。 加速度相同， 沿圆环轴线均匀分布的惯性 力集度 q d 为：
圆环横截面上的应力：
式中 v D 是圆环轴线上各点的线速度。强度条件为：
2
d
材料力学
v 2
g
[ ]
§2
惯性力问题
动载荷
•旋转圆环的变形计算
D ， 在惯性力集度的作用下，圆环将胀大。令变形后的直径为 则其直径变化 D D D ，径向应变为
t D ( D D) r t D D E d v 2 D
式中 k d 为冲击时的动荷系数，
2
kd st
2H kd 1 1 st
其中 st 是结构中冲击受力点在静载荷（大小为冲击物重量） 作用下的垂直位移。
材料力学
§3
冲击问题
动载荷
因为
Pd d d kd Q st st
所以冲击应力为
d k d st
2H 当 110 时，可近似取 k d st
2 H ，误差<5%。 st 2 H ，误差<10%。 st
4、 k d 不仅与冲击物的动能有关，与载荷、构件截面尺寸有关， 更与 st 有关。这也是与静应力的根本不同点。构件越易变 形，刚度越小，即“柔能克刚”。
运动生物力学讲稿(第二章)
第二节骨的力学特性一、骨结构的生物力学特性：（一）骨的成分与结构特点：1、骨组织由有机物和无机物组成。
其中25%～30%是水，其余70%～75%是无机物和有机物。
成人枯骨含1/3有机物（胶原纤维）和2/3无机物（主要是钙和磷等。
）2、骨的有机成分组成网状结构，无机物填充在有机物的网状结构中（象钢筋水泥结构一样）。
3、全身骨分为长骨、短骨、扁骨和不规则骨。
长骨又称管状骨，两端为骨松质（呈海绵状），中间为骨密质。
（骨密质的多孔性程度占5～30%，骨松质占30～90%）。
（二）骨的生物力学特性：1、弹性和坚固性：弹性是由骨中有机物形成的。
坚固性又称硬度或刚性，是由无机物形成的。
（有人认为骨中的骨胶原承受拉应力，钙盐承受压应力）。
2、骨是人体理想的结构材料—质轻而强度大。
（参见P26数据和P27表2-1）。
3、各向异性和应力强度的方向性：各向异性是指骨在不同方向上的力学性质不同，（多孔结构所致）。
应力强度的方向性表现在骨密质与骨松质刚性的差别和各向异性使骨对应力的反应在不同方向上各不相同。
4、耐冲击力和耐持续力差：骨对冲击力的抵抗和持续受力能力较其它材料差。
抗疲劳性能也差。
5、应力对骨结构的影响：外加机械力改变骨结构中的应力。
而应力通常与骨组织之间存在着一种生理平衡。
形式不断变化。
△骨受冲击载荷的特点：骨承受冲击载荷的情况取决于冲击载荷的作用时间和冲击载荷具有的能量。
但短骨、扁骨的耐冲击能力要大于长骨。
实验表明：颅骨的耐冲击能力比长骨高40%左右。
三、骨疲劳（一）骨疲劳的概念：反复作用的循环载荷超过某一生理限度时会使骨组织受到损伤，称为骨疲劳。
（二）骨疲劳的特征：1、疲劳性骨折或永久性弯曲（塑性形变）。
（就象多次弯曲竹杆）2、周期性载荷引起的骨折，开始于应力集中点，形成蚌壳式裂纹。
3、重复载荷的骨疲劳，引起的骨折往往是低载荷的情况。
4、疲劳寿命随载荷增加而减小，随温度升高而减小，随密度的增加而增加。
5、骨的疲劳极限为3.45KN/cm2。
《材料力学》第十章 动载荷
基本要求: 基本要求: 了解构件作变速运动时和冲击时应力与变形的计 算。 重点: 重点: 1.构件有加速度时应力计算； 2.冲击时的应力计算。 难点： 难点： 动荷因数的计算。 学时： 学时： 4学时
第十章
§lO.1 概述
动 载 荷
§10.2 动静法的应用 §10.4 杆件受冲击时的应力和变形 §10.5 冲击韧性
( 2 )突然荷载 h = 0 : K
d
=2
△st--冲击物落点的静位移
五、不计重力的轴向冲击问题
冲击前∶
动能T1 = Pv 2 / 2 g 势能V1 = 0 变形能V1εd = 0
冲击后：
动能T2 = 0 势能V 2 = 0 变形能V 2εd = Pd ∆ d / 2
ห้องสมุดไป่ตู้
v P
冲击前后能量守恒，且
Pd = K d P
补例10-1 起重机钢丝绳的有效横截面面积为A , 已知[σ], 补例 物体单位体积重为γ , 以加速度a上升，试建立钢丝绳(不计自 重)的强度条件。 外力分析。 解：1.外力分析。包括惯性力 外力分析
惯性力：q a
x a L x m m a Nd qg +qa
=
γA
g
a
2.内力分析。 内力分析。 内力分析 3.求动应力。 求动应力。 求动应力
任何冲击系统都 可简化弹簧系统
能量法（机械能守恒） 三、能量法（机械能守恒）
冲击过程中机械能守恒。即动能 ，势能V，变形能V 冲击过程中机械能守恒。即动能T，势能 ，变形能 εd守恒 冲击前：系统动能为T， 势能为V=Q∆d， 变形能Vεd=0 冲击后：系统动能为0， 势能为V=0， 变形能Vεd
17材料力学动载荷
11
解： 选单摆的摆锤为研究对象。 虚加惯性力
Qm a (Qm)a
由动静法， 有
X 0 ,m sg i Q n co 0 s
解得
agtg
角随着加速度 a的变化而变化，当 a不变时， 角也不 变。只要测出 角，就能知道列车的加速度 a 。摆式加速计
转半径为，轮与轨道间摩擦系数为f , 试求在车轮滚动而不滑
动的条件下，驱动力偶矩M 之最大值。
解： 取轮为研究对象
虚加惯性力系：
RQmaC mR
MQCICm2
由动静法，得：
O
30
X0, FTRQ0
(1)
Y0, NPS0
(2)
mC(F)0,MFRMQC0(3)
Mmax的值为
把(5)代入(4)得：M f(PS) (R 2R)TR 2 上式右端的值。
31
§17.2 考虑惯性力时的应力计算
方法原理：D’Alembert’s principle ( 动静法 ）
达朗伯原理认为：处于不平衡状态的物体，存在惯性力， 惯性力的方向与加速度方向相反，惯性力的数值等于加速度 与质量的乘积。只要在物体上加上惯性力，就可以把动力学 问题在形式上作为静力学问题来处理，这就是动静法。
由(2)得: RAn mgsin0 ;
由( 3)得:
3g 2l
cos0
;
代入(1)得:
RA
mg 4
c
os0
。
28
用动量矩定理+质心运动定理再求解此题：
解：选AB为研究对象
由 IAmgcos2l 得：
mg2l cos 3gcos
13ml2
材料力学动载荷和交变应力第1节 惯性力问题
100
3
s 1
60 106 7.85 10
3
m/s
87.4 m/s
由线速度与角速度关系
v
R
2n
60
R
2n
60
(D
d) 2
/
2
则极限转速为
n
120v (D d
)
120 87.4 3.14 (1.8 1.4)
r/min
1044 r/min
图，与飞轮相比，轴的质量可以忽略不计。轴的另一
端 A 装有刹车离合器。飞轮的转速为 n 100r/min ，
转动惯量为 J x 600 kg/m2，轴的直径 d 80mm。刹车
时使轴在 10 秒内按均匀减速停止转动。求轴内的最大
动应力。 解：飞轮与轴的角速度
y 制动离合器
0
2n
60
• Kd — 动荷系数：表示构件在动载荷作用下其内力 和应力为静载荷作用 Fst 下的内力和应力的倍数。
说明
Fst mg Axg
1） x
Fst
Fd
危险截面在钢 丝绳的最上端
d max
Kd st max
Kd
(
mg A
gxmax )
2）校核钢丝绳的强度条件 d max Kd st max [ ]
16
例11-4 钢质飞轮匀角速转动如图所示，轮缘外径
D 1.8 m，内径 d 1.4 m ，材料密度 7.85 103 kg/m3。 要求轮缘内的应力不得超过许用应力 [ ] 60 Mpa ，轮
材料力学第08章 动载荷与交变应力
x
r Ag r Aa
x
FNd FNst d Kd K d st A A
st为静荷载下绳索中的静应力
强度条件为 d K d st [ ]
P
P P a g
△d表示动变形 △st表示静变形
当材料中的应力不超过比 例极限时荷载与变形成正比
m
FNst
m
FNd
rAg
x
rAg rAa
2 st 42st 8h st 2h d st (1 1 ) 2 st 2h d st ( 1 1 ) K d st
2
st
2h 为动荷因数 其中 K d 1 1
st
Fd d Kd P st
Fd K d P
第八章
动载荷与交变应力
中北大学理学院力学系
第一节 第二节 第三节 第四节
概述 构件受加速度作用时的动应力 构件受冲击时的动应力计算 疲劳破坏及其特点
第五节
第六节 第七节
材料的持久极限
影响构件持久极限的因素 构件疲劳强度计算
总结与讨论
第一节 概述
一、基本概念
1、静荷载:荷载由零缓慢增长至最终值,然后保持不变.构件内各 质点加速度很小,可略去不计. 2、动荷载: 荷载作用过程中随时间快速变化,或其本身不稳定 （包括大小、方向）,构件内各质点加速度较大. 3、交变应力：构件内的应力随时间作交替变化。 4、疲劳失效：构件长期在交变应力作用下，虽然最大工作应力 远低于材料的屈服极限，且无明显的塑性变形，却往往发生突 然断裂。
（The point changes his location periodically with time under an unchangeable load）
材料力学-10动载荷
3.动荷系数为Kd：
Pd K d Pj d Kd j
d Kd j
一、轴向自由落体冲击问题
冲击前： mg v
动能T1mv2 /2 势能V1mgh 变形能U10
冲击后： 动能T2 0
势能V2 mgd 变形能U 2 Pd d /2
h
冲击前后能量守恒，且 Pd Kd Pj (Pj mg)
d Kd j
d mg
1 2
mv
2
mg
(hKd
j
)
mg 2
K
2 d
j
Kd 1
1v2 /g2h j
△j:冲击物落点的静位移。
讨论： (1)v 0 :,
2h
Kd 1
1 j
(2)突然荷载h 0 :, Kd 2
二、不计重力的轴向冲击： v
mg
冲击前后能量守恒，且
Pd Kd Pj (Pj mg) d Kd j
1 mv 2 2
j
Pj L EA
WL EA
425
mm
Wv h=1m
Kd 1
1 2h 1 j
1 21000 217.9 425
③求动应力
f
6m
静应力： j W / A0.07074 MPa 动应力： d Kd j 15.41MPa
四、 梁的冲击问题
1.假设：
mg
ACh
冲击物为钢体；
不计被冲击物的重力势能和动能； B 冲击物不反弹；
实验表明：在静载荷下服从虎克定律的材料，只要应力不
超过比例极限 ,在动载荷下虎克定律仍成立且E静=E动。
三、动荷系数：
动荷系数K
d
动响应 静响应
四、动应力分类：
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第14章动载荷14.1 动载荷的概念及分类在以前各章中，我们主要研究了杆件在静载荷作用下的强度、刚度和稳定性的计算问题。
所谓静载荷就是指加载过程缓慢，认为载荷从零开始平缓地增加，以致在加载过程中，杆件各点的加速度很小，可以忽略不计，并且载荷加到最终值后不再随时间而改变。
在工程实际中，有些高速旋转的部件或加速提升的构件等，其质点的加速度是明显的。
如涡轮机的长叶片，由于旋转时的惯性力所引起的拉应力可以达到相当大的数值；高速旋转的砂轮，由于离心惯性力的作用而有可能炸裂；又如锻压汽锤的锤杆、紧急制动的转轴等构件，在非常短暂的时间内速度发生急剧的变化等等。
这些部属于动载荷研究的实际工作问题。
实验结果表明，只要应力不超过比例极限，虎克定律仍适用于动载荷下应力、应变的计算，弹性模量也与静载下的数值相同。
动载荷可依其作用方式的不同，分为以下三类：1．构件作加速运动。
这时构件的各个质点将受到与其加速度有关的惯性力作用，故此类问题习惯上又称为惯性力问题。
2．载荷以一定的速度施加于构件上，或者构件的运动突然受阻，这类问题称为冲击问题。
3．构件受到的载荷或由载荷引起的应力的大小或方向，是随着时间而呈周期性变化的，这类问题称为交变应力问题。
实践表明：构件受到前两类动载荷作用时，材料的抗力与静载时的表现并无明显的差异，只是动载荷的作用效果一般都比静载荷大。
因而，只要能够找出这两种作用效果之间的关系，即可将动载荷问题转化为静载荷问问题处理。
而当构件受到第三类动载荷作用时，材料的表现则与静载荷下截然不同，故将在第15章中进行专门研究。
下面，就依次讨论构件受前两类动载荷作用时的强度计算问题。
14.2 构件作加速运动时的应力计算本节只讨论构件内各质点的加速度为常数的情形，即匀加速运动构件的应力计算。
14.2.1 构件作匀加速直线运动设吊车以匀加速度a吊起一根匀质等直杆，如图14-1(a)所示。
杆件长度为l，横截面面积为A，杆件单位体积的重量为 ，现在来分析杆内的应力。
由于匀质等直杆作匀加速运动．故其所有质点都具有相同的加速度a，因而只要在每质点上都施加一个大小等于其质量m 与加速度a 的乘积、而方向与a 相反的惯性力，则整个杆件即可认为处于平衡状态。
于是这一动力学问题即可作为静力学问题来处理。
这种通过施加惯性力系而将动力学问题转换为静力学问题的处理方法，称为动静法。
对于作匀加速直线运动的匀质等直杆来说，在单位长杆上应施加的惯性力，亦即它所受到的动载荷显然为a gA γp d = 它的方向与a 相反，并沿杆件的轴线均匀分布。
为了计算此杆的应力，首先来分析它的内力。
为此，应用截面法，在距下端为x 处将杆假想地切开，并保留下面一段杆，其受力情况如图14-1(b)所示。
此段杆受到沿其长度均匀分布的轴向载荷的作用，其集度即单位长杆所受到的载荷为)1(ga A γa g A γA γp p p d st +=+=+= 式中，γ=A st p 是单位长杆所受到的重力，即a =0时单位长杆所受到的载荷，亦即静载荷。
在上述轴向载荷作用下，直杆横截面上的内力应为一轴力，由平衡条件0=∑x F 得此轴力的大小为x ga A γpx F Nd )1(+== (14-1) 轴力在横截面上将引起均匀分布的正应力，于是，该截面上的动应力为)1(ga γx A F σNd d +== (14-2) 由式(14-2)可知，这一动应力是沿杆长按线性规律变化的，其变化规律如图14-1(c)所示。
若此杆件静止悬挂或匀速提升时，亦即受静载荷作用时，由于a =0，由公式(14-2)得其静应力为γx σst =于是动应力又可以表示为st )1(σK ga σσd st d =+= (14-3) ga σσK d +==1st d (14-4) K d 称为动荷系数。
于是，构件作匀加速直线运动的强度条件为][σ.K σσd m ax st m ax d ≤= （14-5）由于在动载荷系数d K 中已经包含了动载荷的影响，所以][σ即为静载下的许用应力。
动载荷系数的概念在结构的动力计算中是非常有用的，因为通过它可将动力计算问题转化为静力计算问题，即只需要将由静力计算的结果乘上一个动载荷系数就是所需要的结果。
但应注意，对不同类型的动力问题，其动载荷系数d K 是不相同的。
14.2.2 构件作匀角遮转动时的应力计算构件作匀角速转动时，构件内各点具有向心加速度，施加离心惯心力后，可采用动静法求解。
图14-2(a)所示为一等直杆绕铅直轴O (垂直于纸面)作匀角速转动。
现求杆内最大动应力及杆的总伸长。
设匀角速度为ω(rad/s)，杆的横截面积为A ．杆的重量密度为ρ，弹性模量为E 。
因杆绕O 轴作匀角速转动，杆内各点到转轴O 的距离不同，而有不同的向心加速度。
对细长杆距杆右端为ξ的截面上各点的加速度为)(l 2n ξ-ω=a该处的惯性力集度为)()(2ξl gρAωξq d -= 取微段ξd ，此微段上的惯性力为ξξωρ)d (g A d 2-=l F计算距杆右端为x 处截面上的内力，运用截面法，保留杆x 截面以右部分，在保留部分上作用有轴力F N (x)及集度为q d 的分布惯性力，如图14-2(b)所示，由平衡条件0=∑x F 得ξξl gρAω(x)F xN )d (20-=⎰ 由此得出 )2()(22x lx g ρAωx F N -= 最大轴力发生在x =l 处22max2l gρAωF N = 最大动应力为 22max 2l gρωσ= 可见，本例中杆的动应力与杆的横截面面积无关。
下面计算杆的总伸长。
距杆右端为x 处取微段d x ，应用虎克定律，此微段的伸长为x EA(x)F l N d )d(∆ 进行积分，求得杆的总伸长为 Egl ρωx x lx Eg ρωx EA (x)F Δl l l N 3)d 2(d 322200=-==⎰⎰ 例14-1 图14-3(a)所示之薄壁圆环，以匀角速ω绕通过圆心且垂直于圆环平面的轴转动，试求圆环的动应力及平均直径D 的改变量。
已知圆环的横截面面积为A ，材料单位体积的质量为ρ，弹性模量为E 。
解 因圆环作匀角速运动，所以环内各点只有向心加速度。
对于薄壁圆环，其壁厚远小于平均直径D ，可近似认为环内各点向心加速度大小相同，且等于平均直径为D 的圆周上各点的向心加速度，即22ωD a n = 于是，沿平均直径为D 的圆周上均匀分布的离心惯性力集度q d 为22D ωA ρA ρρq n d == 按动静法，离心惯性力q d 自身组成一平衡力系。
为了求得圆环的周向应力，先求通过直径截面上的内力。
为此将圆环沿直径分成两部分。
研究上半部分，见图14-3(c)，内力以Nd F 表示，由平衡条件0=∑y F ，得d θD θq F πd Nd 2sin 20⎰= 解得 4222ωA ρρ q D F d Nd ==， 圆环的周向应力为 422ωρD A F σNd d == 根据强度条件 ][422σ≤=ωρD σd 可确定圆环的极限匀角速度为ρD ωu ][2σ=。
可见u ω与横截面面积无关，即面积A 对强度没有影响。
下面计算平均直径的改变量δ。
若周向应变为d ε，有D δπD πD δ)π(D εd =-+=即D εδd = 根据虎克定律Eσεd d =，代入上式，得平均直径的改变量为 EωρD D E σδd 423== 若圆环是飞轮的轮缘，它与轮心采用过盈配合，当转速过大时，则由于变形过大而可能自行脱落。
例14-2 在AB 轴的B 端有一个质量很大的飞轮(图14-4)。
与飞轮相比，轴的质量可以忽略不计。
轴的另一端A 装有刹车离合器。
飞轮的转动惯量为20.5kNms =x I ，轴的直径d =100mm ，转速n =300r/min ，刹车时使轴在10秒内均匀减速停止转动。
试求轴内最大动应力。
解 轴与飞轮的角速度(rad/s)为πππω1030300300===n刹车时的角加速度(rad/s 2)为ππωω-=-=-=1010001t a 等号右边的负号只是表示a 与0ω的方向相反。
按动静法，飞轮的惯性力偶矩d m 与轮上的摩擦力矩f m 组成平衡力系。
惯性力偶矩(kN ·m)为5.0x d π=-=a I m由平衡条件 0=∑x M ，得0.5πd f==m m 轴横截面上的最大切应力为 8MPa Pa 0.116π100.5π33max =⨯⨯==n d W m τ 14-3 构件受冲击时的应力与变形当不同速度的两个物体相接触，其速度在非常短的时间内发生改变时，或载荷迅速地作用在构件上，便发生了冲击现象。
例如汽锤锻造、金属冲压加工、传动轴的突然制动等情况下都会出现冲击问题。
通常冲击问题按一次性冲击考虑，对多次重复性冲击载荷来说将产生冲击疲劳。
14.3.1 冲击问题的理想化冲击应力的计算是一个复杂问题。
其困难在于需要分析物体在接触区内的应力状态和冲击力随时间变化的规律。
冲击发生时，冲击区和支承处因局部塑性变形等会引起能量损失。
同时，由于物体的惯性作用会使冲击时的应力或位移以波动的形式进行传播。
考虑这些因素时，问题就变得十分复杂了，其中许多问题仍是目前正在研究和探索的问题。
因此，在工程中通常都在假设的基础上，采用近似的方法进行分析计算。
即首先根据冲击物被冲击物在冲击过程中的主要表现，将冲击问题理想化，以便于求解。
这里介绍一种建立在一些假设基础上的按能量守恒原理分析冲击应力和变形的方法，可对冲击问题给出近似解答。
假设当冲击发生时：1．冲击物为刚体，即略去其变形的影响。
2．被冲击物的惯性可以略去不计，并认为两物体一经接触就附着在一起，成为一个运动系统。
3．材料服从虎克定律，并略去冲击时因材料局部塑性变形和发出声响等而引起的一切其它能量损失。
基于上述假设，任何受冲击的构件或结构都可视为一个只起弹簧作用，而本身不具有质量的受冲击的弹簧。
例如图14-5(a)、(b)、(c)、(d)所示的受自由落体冲击时的构件或结构，都可简化为图14-6所示的冲击模型。
只是各种情况下与弹簧等效的各自的弹簧常数不同而已。
例如图14-5(a)、(b)所示的构件，其等效的弹簧常数应分别为lEA 和33lEA 。
14.3.2 简单冲击问题的解法1．自由落体冲击设一简支梁(线弹性体)受自由落体冲击如图14-7所示，试分析此梁内的最大动应力。
设重物的重量为G ，到梁顶面的距离为h ，并设冲击时梁所受到的冲击力为F d ，其作用点的相应位移d ∆。
则冲击物在冲击前的瞬间所具有的速度为gh v 2=而在它与被冲击物一起下降d ∆后，这一速度变为零。
于是，冲击物在冲击过程中的能量损失包括两部分，一部分是动能损失22v gG T =另一部分是势能损失d G ΔV =而被冲击物在这一过程中所储存的变形能，即等于冲击力所作的功。