第一型曲面积分参数方程形式
第一型曲面积分
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一、有向曲面及曲面元素的投影
• 曲面分类 双侧曲面 单侧曲面
曲面分内侧和 外侧
莫比乌斯带
(单侧曲面的典型)
曲面分左侧和 右侧
曲面分上侧和 下侧
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思考: 思考 若 ∑ 是球面 出的上下两部分, 则 被平行平面 z =±h 截
z
0
)
dS ∫∫Σ z = (
Σ
h
y
dS a ∫∫Σ z = ( 4 π a ln h )
x
−h
Σ
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例2. 计算
其中∑ 是由平面
z
1
与
坐标面所围成的四面体的表面. 解: 设 Σ1, Σ2, Σ3, Σ4 分别表示∑ 在平面 上的部分, 则 原式 = ∫∫ +∫∫
i=1
∑[
+ Q(ξi ,ηi ,ζ i )(∆Si )zx
n
则称此极限为向量场 A 在有向曲面上对坐标的曲面积 分, 或第二类曲面积分. 记作
∫∫Σ Pdy d z + Qd z d x + Rdxdy
积分曲面. 积分曲面 P, Q, R 叫做被积函数 Σ 叫做积分曲面 被积函数; 被积函数
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λ→0i=1
n
+ R(ξi ,ηi ,ζi ) cosγ i ] ∆Si
= lim ∑
λ→0
i=1
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第一型曲面积分【高等数学PPT课件】
a2 h2
0
思考: 若 是球面
出的上下两部分, 则
dS z
(
0
)
dS z
(
4 a ln a
h
)
被平行平面 z =±h 截
z
h o
y x h
例2. 计算
其中 是由平面
与
坐标面所围成的四面体的表面.
z
解: 设 1, 2 , 3, 4分别表示 在平面 1
Σ
Σ
Ò x d S
x Σ
Ò d S
Σ
Dxz
一投： 将曲面 向 xoz 面投影，得 Dxz .
二代： f ( x, y, z) : y y( x, z) f ( x, y( x, z), z);
三换：
dS
1
y
2 x
(
x,
z
)
yz2( x, z)
dxdz;
3. 若曲面 ： x x( y, z) 则
f ( x, y, z)dS f [ x( y, z), y, z] 1 xy2 xz2 dydz.
上的部分, 则 o
原式 =
Σ1 Σ2 Σ3 Σ4
xyz dS
1 x
1y
x yz d S
Σ4
4 : z 1 x y,
(x,
y)
Dxy
:
0
0
y
x
1 1
x
1
1 x
3 x dx y(1 x y) dy
Σ
Σ1
• 线性性质.
曲线曲面积分公式总结
曲线曲面积分公式总结
以下是曲线曲面积分的一些基本公式：
1. 曲线积分公式：
- 第一类曲线积分（对弧长的曲线积分）：∫(L) f(x,y) ds = ∫(a) (b)
f(x,y)√[(dx)^2 + (dy)^2]。
- 第二类曲线积分（对坐标的曲线积分）：∫(L) P(x,y) dx + Q(x,y) dy = ∫(a) (b) [∫(L1) P(x,y) dx + Q(x,y) dy] dσ。
2. 曲面积分公式：
- 第一类曲面积分（对面积的曲面积分）：∫∫(Σ) f(x,y,z) dS。
- 第二类曲面积分（对坐标的曲面积分）：∫∫(Σ) P(x,y,z) dydz + Q(x,y,z) dzdx + R(x,y,z) dxdy。
其中，f(x,y,z)、P(x,y,z)、Q(x,y,z)、R(x,y,z) 是定义在曲面Σ 上的函数，Σ 是积分曲面，L 是积分曲线，a、b 是积分上下限，dS 是面积元，ds 是线段元，dxdy、dydz、dzdx 是面元。
这些公式是积分学中的基本公式，也是解决复杂积分问题的关键。
对于具体的问题，需要选择合适的积分公式和计算方法。
第二章第二节第一型曲面积分doc
第18 章 曲面积分第二节 第一类型曲面积分1、 第一类型曲面积分的定义问题：设∑是3R 中一张有面积的曲面，∑上按面密度)(p ρρ=分布着某种物质，问如何求出分布在∑上物质的总质量？沿用以前用过的作法，将∑分成若干小块n S S S ,,,21 ，并在每一小块i S 上任意取定一点i p ，这时小块i S 上的质量)()(i i i S p m σρ≈，n i ,,2,1 =。
于是曲面片∑上的质量就近似地等于)()(1i ini S pσρ∑= 。
当我们把曲面片∑无限细分时，上面的和式的极限就可以定义为展布在曲面片∑上物质的质量M ，即)()(lim1i ini S pM σρ∑==。
以上的实例引导出下面的第一类型曲面积分的定义。
定义18.2 设∑是3R 中一张可求面积的曲面片，f 是定义在∑上的函数,分割T 把∑分成若干更小的曲面片n S S S ,,,21 。
定义分割T 的宽度为},,2,1,max{||||n i diamS T i ==，在每一小片i S 上任意取定一点i p ，如果和数)()(1i i ni S p f σ∑=当0||||→T 时有有限的极限，并且其极限值不依赖于分割及点ip 在iS上的选择，那么称这个极限值为函数f 沿曲面∑的第一型曲面积分，记作σd f ⎰∑，或dSf ⎰⎰∑。
2、 第一类型曲面积分的计算公式由曲面面积元素的表达式dudv r r d v u ||||⨯=σ，或从定义出发，求出右端的极限，便可得出第一型曲面积分的计算公式：（1） 设正则曲面∑有参数向量方程)),(),,(),,((),(v u z v u y v u x v u r r ==，∆∈),(v u ，f 是定义在∑上的连续函数，则σd f ⎰∑dudvr r v u z v u y v u x f v u ||||)),(),,(),,((⨯=⎰⎰∆dudvF EG v u z v u y v u x f ⎰⎰∆-=2)),(),,(),,((；（2） 当曲面∑是由显式D y x y x z ∈=),(),,(ϕ表达时，其中D 是有面积的平面区域，)(1D C ∈ϕ，f 是定义在∑上的连续函数，则有σd f ⎰∑dxdyzx y x y x f D⎰⎰∂∂+∂∂+=22)()(1)),(,,(ϕϕϕ。
曲线积分与曲面积分-第一类曲面积分
D yz = {( y , z ) y ≤ R, 0 ≤ z ≤ H }.
o
x
Σ1 R y
dS dS = 2 I = ∫∫ 2 ∫∫ R2 + z 2 2 R +z Σ1 Σ
2 d S = 1 + x 2 + xz d y d z y
= 1+ ( = R
y R y
2 2 2
)2 + 0 d y d z
Σ
Σ1 Σ2
(3) 对称性：
对面积的曲面积分
∫∫ f ( x , y , z ) d S，
Σ
对称性的利用类似于三 重积分 .
如：若 f ( x , y , z ) 在 Σ 上连续， Σ 关于 yoz 面对称， 则 f ( x, y, z) = f ( x, y, z) 0, ∫∫ f ( x, y, z)d S = 2∫∫ f ( x, y, z)d S, f ( x, y, z) = f ( x, y, z) Σ
dS , 其中 ∑是介于平面 I = ∫∫ 2 2 2 x + y +z Σ
Σ = Σ1 + Σ 2
2 2
z = 0 , z = H 之间的圆柱面 x 2 + y 2 = R 2 .
解 (方法1)
Σ1 : x =
z
H
Σ2
R y ,
( y , z ) ∈ D yz
( y , z ) ∈ D yz
Σ 2 : x = R2 y 2 ,
∫∫ f ( x , y )dσ
D Ω
I是空间闭区域Ω→∫∫∫ f ( x , y , z )dv I是曲线 Γ → I是曲线 Σ →
∫ f ( x , y, z )ds
第一型曲面积分
|| T || 为分割 T 的细度，即为诸
Si 中的最大直径.
定义1 设 S 是空间中可求面积的曲面,
f 为( x, y, z)
定义在 S 上的函数. 对曲面 S 作分割 T, 它把 S 分成
n 个小曲面块 Si (i 1, 2, L , n), 以 Si 记小曲面块
Si 的面积, 分割 T 的细度
D
其中
E xu2 yu2 zu2 , F xu xv yu yv zuzv , G xv2 yv2 zv2 .
例2 计算
I z dS , 其中 S 为 S
螺旋面(图22-3)的一部分:
z
x ucos v,
S
:
y
u sin
v,
(u,v)
D
,
2
z v,
O
(a, 0, 0)
I f ( x, y, z)dS .
(1)
S
于是, 前述曲面块的质量可由第一型曲面积表示为:
特别地, 当
块 S 的面积.
m ( x, y, z)dS . S
f ( x, y, z) 1 时,曲面积分
dS 就是曲面
S
二、第一型曲面积分的计算
第一型曲面积分需要化为二重积分来计算.
定理 22.1
z
例1 计算
S z dS , 其中 S
h
是球面 x2 y2 z2 a2 被
平面 z h (0 h a) 所截
O
a
x
y
得的顶部 (图22-1).
图 22 1
解 曲面 S 的方程为 z a2 x2 y2 , 定义域 D 为
圆域 x2 y2 a2 h2 . 由于
1 zx2 zy2
第一型曲面积分
二、第一型曲面积分的计算
第一型曲面积分需要化为二重积分来计算.
定理22.1 设有光滑曲面
S : z z( x , y ) , ( x , y ) D ,
f ( x , y , z ) 为 S 上的连续函数, 则
S
2 f ( x , y , z )dS f ( x , y , z ( x , y )) 1 z x z 2 dxdy . y D
(2)
( 定理证明与曲线积分的定理20.1相仿, 不再详述. )
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例1 计算
S
1 dS , 其中 S z
a
x
z
h
是球面 x 2 y 2 z 2 a 2 被
O
平面 z h (0 h a ) 所截 得的顶部 (图22-1).
2
y
图 22 1
2 2
解 曲面 S 的方程为 z a x y , 定义域 D 为
a 2 h2
0
a r dr 2 2 a r r dr 2 2 a r
2 a 2 h2 0
πa ln(a r )
2
a 2aπ ln . h
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例2 计算
( xy zx yz )dS ,
S
z
其中 S 为圆锥面 z
x2 y2
O
被圆柱面 x 2 y 2 2ax 所割 下的部分 (图22-2). 解 对于圆锥面 z 有
EG F 2 1 u 2 .
然后由公式 (3) 求得:
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I v 1 u dudv vdv
2 0 D
第一类曲面积分计算公式
第一类曲面积分计算公式
和参考文献
第一类曲面积分概念是对曲面在三维空间中面积（面积）或曲面曲线（线长）的计算。
由此可以看出，它是计算曲面表面形面积和曲线长度的有效工具。
第一类曲面积分是一类数学积分，它用数学的方法计算了2函数的综合，称为曲面积分。
在开展第一类曲面积分研究时，首先要确定一般正则曲面（一般曲面是构成合法曲线曲面的一类曲面）上待求性质的积分公式：$$\iint_D f(x,y)dS$$，其中$D$为曲面面积，f(x,y)为空间上可积函数；该曲面积分表示在曲面$D$上积分$f(x,y)$的空间积分。
它可用向量积分来表示，故它在三维空间中可以被看做某种形式的空间积分的运算。
大多数和空间有关的问题，可以用第一类曲面积分来解决，比如电磁学中电场强度的计算。
第一类曲面积分也能够计算消光系数，有助于计算物理中受力的方向及强度，是研究几何体内部压力的重要工具。
它可以用来计算力学力学，重力力学内部的力，从而为飞行器的飞行性能提供参考。
第一类曲面积分具有它强大的计算能力，数学推导复杂，但利用今天的计算机计算，可以让结果更加接近精准的值，这给了科学家们更加精准和便捷的理论模型来进行计算和研究。
综上所述，第一类曲面积分在许多科学领域中都有重要作用，其广泛运用已经为科学家和工程师提供了有力的帮助。
曲面积分总结
曲面积分总结曲面积分有第一型曲面积分和第二型曲面积分。
第一型曲面积分的实际意义是空间物质曲面的质量，第二型曲面积分的实际意义是流速场中沿某曲面某一侧的流量。
一、第一型曲面积分1、引例：设空间光滑曲面S 的方程为),(y x z z =，在xoy 平面上的投影区域为D , 物质曲面的密度函数为),,(z y x f ，则S 的质量为⎰⎰=Sds z y x f m ),,(.此种积分称为第一型曲面积分。
2计算方法定理1、设空间光滑曲面S 的方程为),(y x z z =，在x o y 平面上的投影区域为D , ),,(z y x f 在S 上连续，则⎰⎰⎰⎰++=D y x S dxdy z z y x z y x f ds z y x f 221)),(,,(),,(。
二、第二型曲面积分1、引例：设有流速场)),,(),,,(),,,((z y x R z y x Q z y x P F = ，在此场中有一双侧光滑曲面S ，指定一侧为正侧，则通过此曲面的流量为 ⎰⎰++Sdxdy z y x R dxdz z y x Q dydz z y x P ),,(),,(),,(。
这种形式的积分称为第二型曲面积分。
上述积分上是三个积分的和⎰⎰++Sdxdy z y x R dxdz z y x Q dydz z y x P ),,(),,(),,(⎰⎰=S dydz z y x P ),,(⎰⎰+S dxdz z y x Q ),,(⎰⎰+Sdxdy z y x R ),,(2、计算方法设函数),,(z y x R 在光滑曲面S ：),(y x z z =，D y x ∈),(, 上连续，则 ⎰⎰⎰⎰±=DS dxdy y x z y x R dxdy z y x R )),(,,(),,(。
当曲面S 的正侧法线方向与z 轴成锐角时取正号，成钝角时取负号。
也就是说，曲面上侧为正侧时取正号，曲面下侧为正侧时取负号。
4 第一型曲面积分
第一型曲面积分的概念 第一型曲面积分的计算
一 第一型曲面积分的概念
实例
是光滑的, 若曲面 Σ 是光滑的 , 它的面密度为连续
求它的质量. 函数ρ( x , y , z ) , 求它的质量.
所谓曲面光滑即曲 面上各点处都有切 平面, 平面,且当点在曲面 上连续移动时, 上连续移动时,切平 面也连续转动. 面也连续转动.
1. 若 面Σ: 曲
则
Σ
z = z(x, y)
∫∫ f ( x , y , z )dS
=
∫∫
D xy
′x 2 + z′y 2 dxdy; f [ x , y , z ( x , y )] 1 + z
定理: 定理 设有光滑曲面 f (x, y, z) 在 ∑ 上连续 则曲面积分 上连续,
z
Σ
o x Dxy
Σ
y + z = 5 被柱面 x + y = 25 所截得的部分.
2 2
解 积分曲面 Σ：z = 5 − y ,
投影域 ： Dxy = {( x , y ) | x 2 + y 2 ≤ 25}
2 2
与上半球面 z = a2 − x2 − y2 的 解: 锥面 z = x + y 交线为 为上半球面夹于锥面间的部分, 设∑1 为上半球面夹于锥面间的部分,它在 xoy 面上的 投影域为 Dxy = { ( x, y) x2 + y2 ≤ 1 a2 }, 则 2
I = ∫∫ (x2 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ y2 ) dS
∑1
I = ∫∫ (x2 + y2) dS
∑1
= ∫∫
Dx y
(x + y )
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第一型曲面积分参数方程形式
（原创实用版）
目录
一、引言
二、第一型曲面积分的概念
1.曲面的参数方程
2.曲面积分的定义
三、第一型曲面积分的参数方程形式
1.参数方程的表达式
2.参数方程的性质
四、结论
正文
一、引言
在数学分析中，曲面积分是一种重要的积分形式。
根据积分曲面的性质，曲面积分可以分为两类：第一型曲面积分和第二型曲面积分。
本文主要介绍第一型曲面积分的参数方程形式。
二、第一型曲面积分的概念
1.曲面的参数方程
曲面是由三个变量 x, y, z 所描述的空间区域。
曲面的参数方程是指用 x, y, z 表示曲面上任意一点的坐标，通常表示为：
x = x(u, v)
y = y(u, v)
z = z(u, v)
其中，u, v 是参数，(u, v) ∈ D，D 是定义域。
2.曲面积分的定义
曲面积分是对曲面上某一属性的积分，如密度、温度等。
设曲面的参
数方程为：x = x(u, v), y = y(u, v), z = z(u, v)，曲面积分的定义
可以表示为：
∫(曲面上的属性) dS = ∫∫(曲面上的属性) |r_u × r_v| dudv 其中，r_u, r_v 分别是曲面上某点在参数 u, v 方向的单位向量，
|r_u × r_v|是向量 r_u 和 r_v 的法向量，曲面积分的积分范围是定
义域 D。
三、第一型曲面积分的参数方程形式
1.参数方程的表达式
根据参数方程，我们可以将曲面积分表示为参数方程的形式。
设曲面
的参数方程为：x = x(u, v), y = y(u, v), z = z(u, v)，曲面积分的
参数方程形式可以表示为：
∫(曲面上的属性) dS = ∫∫(参数方程的属性) |r_u × r_v| dudv 其中，参数方程的属性是指参数方程 x, y, z 所对应的曲面上的属性。
2.参数方程的性质
参数方程具有以下性质：
(1) 参数方程是曲面积分的一种表达形式，可以方便地描述曲面上的
积分；
(2) 参数方程的积分范围是定义域 D，可以通过变换参数的范围来改
变积分范围；
(3) 参数方程可以简化曲面积分的计算过程，便于分析和求解。
四、结论
综上所述，第一型曲面积分的参数方程形式是一种重要的积分形式，具有较强的理论意义和实际应用价值。