曲线积分与曲面积分的计算
曲线积分和曲面积分
定积分，二重积分，三重积分，曲线和曲面积分统称为黎曼积分，这是高等数学研究的重点。
定积分，二重积分，三重积分，曲线和曲面积分的定义均被划分，近似，求和和极值。
最后，它们被减小到特定结构和公式的极限值。
该定义可以统一形式给出：从以上积分的概念形式和计算方法来看，定积分的积分区域是线性的，二重积分的区域是平面的，三重积分的区域是主体的。
以上三个积分的概念，性质和计算方法相似；在逼近过程中，获取的点是积分曲线或积分曲面上满足曲线或曲面方程的点。
因此，可以使用将曲线和曲面积分转换为定积分或双积分的方法来计算曲线和曲面积分。
表面积分的形式如下：\ begin {equation *} \ int_ {S} \ stackrel→{F}·d \ overarrowarrow {a} \ end {equation *}这意味着在向量场中，我们需要在向量场中对表面s进行积分，并且D / stacklel→{a}表示垂直于表面上任意点上Δs方向的方向向量（Δs表示微分曲面上的任意一点），也就是说，它仅代表一个方向。
两者之间的数学关系是点相乘，点相乘的结果是向量在垂直于Δs的方向（即，由右箭头{a}指向的方向）上的任意点处的向量的分量向量。
）。
最后，通过使用{f}·D {a}进行整个表面的积分，即连续增加表面上每个点的点相乘结果。
求出一定矢量场中表面s上垂直于Δs方向的所有子矢量的总和。
换句话说，表面积分表示矢量场{f}与表面s相交的程度。
因此，它也生动地称为通量。
在这里，我们可以关联为什么麦克斯韦方程组的积分形式的双积分也称为电通量和磁通量。
然后，由于在{f}和{a} D / stacklel→{a}之间存在一个点积，根据点乘法的几何定义\ overrightarrow {a}·\ overarrowarrow {b} = | \ overarrowarrow {a} || \\ overarrowarrow {b} | cos \ theta \ qquad（0≤\theta≤\ pi）如果stacklel→{f}平行于s，则所有向量的方向均垂直于{overarrowarrow}的{a}，则cos ﹤theta = cos（﹤pi / 2）= 0，其中点积为0 ，表面积分为0。
曲线积分与曲面积分常见题型攻略
曲线积分与曲面积分常见题型攻略以心同学整理一、计算第一类曲线积分步骤：（一）平面曲线积分t t g y t x L ,)()(:1.化简（1）代入化简【常用在k t g t f )](),([ （常数）的情形】Lds y x f ),(Lds t g t f )](),([ kskds L其中s 为积分曲线L 的长度。
（2）利用奇偶对称性化简①若积分曲线L 关于坐标轴y 轴对称，则有Lds y x f ),(1),(,),(2),(0L x y x f ds y x f x y x f 的偶函数是的奇函数是，其中1L 为y 轴右边部分。
②若积分曲线段L 关于坐标轴x 轴对称，则有Lds y x f ),(1),(,),(2),(0L y y x f ds y x f y y x f 的偶函数是的奇函数是，其中1L 为x 轴上边部分。
（3）利用轮换对称性化简若积分曲线L 中把x 与y 互换，积分曲线不变，则有Lds y x f ),( Ldsx y f ),(2.确定积分曲线L 的参数式方程t t g y t x L ,)()(:注：积分曲线一般以)(x f y 或)(y g x 的形式出现，此时参数式为：b x a x f y x x L,)(:，dy c y y y g x L,)(:3.套公式（一代二换三定限）化为定积分Lds y x f ),(dtt g t t g t f )()()](),([22注意：上限 大于下限 4.计算定积分例1【2017-2018期末】设L 是直线)40(1243 x y x 的一段，则Lds y x )43(60；解：Lds y x )43( Lds12代入化简6012 s 。
例2【2018-2019期末】计算Lds x y)(2，其中L 为圆周422 y x .解：法一：L 的参数方程为sin 2cos 2y x （ 20 ），d d ds 2)cos 2()sin 2(22 ，于是Lds x y )(22022)cos 2sin 4(d 0sin 8202d822148 .法二：由对称性有Lds y 2 Lds x 2（轮换对称），0 Lxds （奇偶对称）所以Lds x y )(2 Lds y 2L ds y x )(2122 Lds 421（代入化简）8422 Lds .例3【2019-2020期末】计算曲线积分Lds y xy x )(22，其中L 为平面区域}0,1|),{(22 y y x y x D 的边界曲线。
求曲线、曲面积分的方法与技巧
求曲线、曲面积分的方法与技巧一.曲线积分的计算方法与技巧计算曲线积分一般采用的方法有：利用变量参数化将曲线积分转化为求定积分、利用格林公式将曲线积分转化为二重积分、利用斯托克斯公式将空间曲线积分转化为曲面积分、利用积分与路径无关的条件通过改变积分路径进行计算、利用全微分公式通过求原函数进行计算等方法。
例一．计算曲线积分⎰+Lxdy ydx ,其中L 是圆)0(222>=+y x y x 上从原点)0,0(O 到)0,2(A 的一段弧。
本题以下采用多种方法进行计算。
解1：A O 的方程为⎪⎩⎪⎨⎧-==,2,2x x y x x L 由,A O →x 由,20→.212dx x x x dy --= ⎰+Lxdy ydx dx xx x x x x ⎰--+-=222]2)1(2[dx xx x x dx xx x x x x x ⎰⎰--+----=2220222)1(2)1(220.00442=--=分析：解1是利用变量参数化将所求曲线积分转化为求定积分进行计算的，选用的参变量为.x 因所求的积分为第二类曲线积分，曲线是有方向的，在这种解法中应注意参变量积分限的选定，应选用对应曲线起点的参数的起始值作为定积分的下限。
解2：在弧A O上取)1,1(B 点，B O 的方程为⎪⎩⎪⎨⎧--==,11,2y x y y L 由,B O →y 由,10→.12dy y y dx -= A B 的方程为⎪⎩⎪⎨⎧-+==,11,2y x y y L 由,A B →y 由,01→.12dy y y dx --= ⎰+Lxdy ydx dy y y y dy y y y ⎰⎰-++--+--+-=012221222)111()111(dy yy ⎰-=102212dy y ⎰--1212dy yy ⎰-=1221210212yy --dyyy ⎰--+102212.0)011(2=---=分析：解2是选用参变量为,y 利用变量参数化直接计算所求曲线积分的，在方法类型上与解1相同。
(完整版)曲线积分与曲面积分(解题方法归纳)
第十一章解题方法归纳一、曲线积分与曲面积分的计算方法1.曲线积分与曲面积分的计算方法归纳如下：(1) 利用性质计算曲线积分和曲面积分.(2) 直接化为定积分或二重积分计算曲线或曲面积分 (3) 利用积分与路径无关计算对坐标的曲线积分. (4) 利用格林公式计算平面闭曲线上的曲线积分. (5) 利用斯托克斯公式计算空间闭曲线上的曲线积分. (6) 利用高斯公式计算闭曲面上的曲面积分. 2. 在具体计算时，常用到如下一些结论： （1）若积分曲线L 关于y 轴对称，则1(,)2(,)LL f x f x y ds f x y ds f x ⎧⎪=⎨⎪⎩⎰⎰对为奇函数对为偶函数 10 (,)2(,)L L P x P x y dx P x y dy P x ⎧⎪=⎨⎪⎩⎰⎰对为奇函数对为偶函数10 (,)2(,)L L Q x Q x y dy Q x y dy Q x ⎧⎪=⎨⎪⎩⎰⎰对为偶函数对为奇函数其中1L 是L 在右半平面部分.若积分曲线L 关于x 轴对称，则1(,)2(,)LL f y f x y ds f x y ds f y ⎧⎪=⎨⎪⎩⎰⎰对为奇函数对为偶函数 10 (,)2(,)L L P y P x y dx P x y dy P y ⎧⎪=⎨⎪⎩⎰⎰对为偶函数对为奇函数10 (,)2(,)L L Q y Q x y dy Q x y dy Q y ⎧⎪=⎨⎪⎩⎰⎰对为奇函数对为偶函数其中1L 是L 在上半平面部分.（2）若空间积分曲线L 关于平面=y x 对称，则()()=⎰⎰LLf x ds f y ds .（3）若积分曲面∑关于xOy 面对称，则10 (,,)2(,,)f z f x y z dS R x y z dS f z ∑∑⎧⎪=⎨⎪⎩⎰⎰⎰⎰对为奇函数对为偶函数10 (,,)2(,,)R z R x y z dxdy R x y z dxdy R z ∑∑⎧⎪=⎨⎪⎩⎰⎰⎰⎰对为偶函数对为奇函数 其中1∑是∑在xOy 面上方部分.若积分曲面∑关于yOz 面对称，则10 (,,)2(,,)f x f x y z dS R x y z dS f x ∑∑⎧⎪=⎨⎪⎩⎰⎰⎰⎰对为奇函数对为偶函数10 (,,)2(,,)P x P x y z dydz P x y z dydz P x ∑∑⎧⎪=⎨⎪⎩⎰⎰⎰⎰对为偶函数对为奇函数 其中1∑是∑在yOz 面前方部分.若积分曲面∑关于zOx 面对称，则10 (,,)2(,,)f y f x y z dS R x y z dS f y ∑∑⎧⎪=⎨⎪⎩⎰⎰⎰⎰对为奇函数对为偶函数10 (,,)2(,,)Q y Q x y z dzdx Q x y z dzdx Q y ∑∑⎧⎪=⎨⎪⎩⎰⎰⎰⎰对为偶函数对为奇函数 其中1∑是∑在zOx 面右方部分.（4）若曲线弧():()()αβ=⎧≤≤⎨=⎩x x t L t y y t ，则[(,)(),()()βααβ=<⎰⎰Lf x y ds f x t y t若曲线弧:()()θαθβ=≤≤L r r （极坐标），则[(,)()cos ,()sin βαθθθθθ=⎰⎰Lf x y ds f r r若空间曲线弧():()()()αβ=⎧⎪Γ=≤≤⎨⎪=⎩x x t y y t t z z t ，则[(,,)(),(),()()βααβΓ=<⎰⎰f x y z ds f x t y t z t（5）若有向曲线弧():(:)()αβ=⎧→⎨=⎩x x t L t y y t ，则[][]{}(,)(,)(),()()(),()()βα''+=+⎰⎰LP x y dx Q x y dy P x t y t x t Q x t y t y t dt若空间有向曲线弧():()(:)()αβ=⎧⎪Γ=→⎨⎪=⎩x x t y y t t z z t ，则(,,)(,,)(,,)Γ++⎰P x y z dx Q x y z dy R x y z dz[][][]{}(),(),()()(),(),()()(),(),()()βα'''=++⎰P x t y t z t x t Q x t y t z t y t R x t y t z t z t dt（6）若曲面:(,)((,))xy z z x y x y D ∑=∈，则[(,,),,(,)xyD f x y z dS f x y z x y ∑=⎰⎰⎰⎰其中xy D 为曲面∑在xOy 面上的投影域.若曲面:(,)((,))yz x x y z y z D ∑=∈，则[(,,)(,),,yzD f x y z dS f x y z y z ∑=⎰⎰⎰⎰其中yz D 为曲面∑在yOz 面上的投影域.若曲面:(,)((,))zx y y x z x z D ∑=∈，则[(,,),(,),zxD f x y z dS f x y x z z ∑=⎰⎰⎰⎰其中zx D 为曲面∑在zOx 面上的投影域.（7）若有向曲面:(,)z z x y ∑=，则(,,)[,,(,)]xyD R x y z dxdy R x y z x y dxdy ∑=±⎰⎰⎰⎰（上“+”下“-”） 其中xy D 为∑在xOy 面上的投影区域.若有向曲面:(,)x x y z ∑=，则(,,)[(,),,]yzD P x y z dydz P x y z y z dydz ∑=±⎰⎰⎰⎰（前“+”后“-”） 其中yz D 为∑在yOz 面上的投影区域.若有向曲面:(,)y y x z ∑=，则(,,)[,(,),]zxD Q x y z dzdx Q x y x z z dzdx ∑=±⎰⎰⎰⎰（右“+”左“-”） 其中zx D 为∑在zOx 面上的投影区域. （8）d d +⎰LP x Q y 与路径无关d d 0⇔+=⎰cP x Q y （c 为D 内任一闭曲线）(,)⇔=+du x y Pdx Qdy （存在(,)u x y ） ∂∂⇔=∂∂P Qy x其中D 是单连通区域，(,),(,)P x y Q x y 在D 内有一阶连续偏导数.（9）格林公式(,)(,)⎛⎫∂∂+=- ⎪∂∂⎝⎭⎰⎰⎰L D Q P P x y dx Q x y dy dxdy x y 其中L 为有界闭区域D 的边界曲线的正向，(,),(,)P x y Q x y 在D 上具有一阶连续偏导数.（10）高斯公式(,,)(,,)(,,)P Q R P x y z dydz Q x y z dzdx R x y z dxdy dv x y z ∑Ω⎛⎫∂∂∂++=++ ⎪∂∂∂⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰ 或(cos cos cos )P Q R P Q R dS dv x y z αβγ∑Ω⎛⎫∂∂∂++=++ ⎪∂∂∂⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰ 其中∑为空间有界闭区域Ω的边界曲面的外侧，(,,),(,,),(,,)P x y z Q x y z R x y z 在Ω上具有一阶连续偏导数，cos ,cos ,cos αβγ为曲面∑在点(,,)x y z 处的法向量的方向余弦.（11）斯托克斯公式dydz dzdx dxdy Pdx Qdy Rdz x y z PQRΓ∑∂∂∂++=∂∂∂⎰⎰⎰其中Γ为曲面∑的边界曲线，且Γ的方向与∑的侧（法向量的指向）符合右手螺旋法则，,,P Q R 在包含∑在内的空间区域内有一阶连续偏导数.1. 计算曲线积分或曲面积分的步骤：（1）计算曲线积分的步骤：1）判定所求曲线积分的类型（对弧长的曲线积分或对坐标的曲线积分）； 2）对弧长的曲线积分，一般将其化为定积分直接计算；对坐标的曲线积分：① 判断积分是否与路径无关，若积分与路径无关，重新选取特殊路径积分； ② 判断是否满足或添加辅助线后满足格林公式的条件，若满足条件，利用格林公式计算（添加的辅助线要减掉）；③ 将其化为定积分直接计算.④ 对空间曲线上的曲线积分，判断是否满足斯托克斯公式的条件，若满足条件，利用斯托克斯公式计算；若不满足，将其化为定积分直接计算.（2）计算曲面积分的步骤：1）判定所求曲线积分的类型（对面积的曲面积分或对坐标的曲面积分）； 2）对面积的曲面积分，一般将其化为二重积分直接计算；对坐标的曲面积分：① 判断是否满足或添加辅助面后满足高斯公式的条件，若满足条件，利用高斯公式计算（添加的辅助面要减掉）；② 将其投影到相应的坐标面上，化为二重积分直接计算. 例1 计算曲线积分2+=++⎰Ldx dyI x y x，其中L 为1+=x y 取逆时针方向. 解 2222111++===++++++⎰⎰⎰⎰LL L L dx dy dx dy dx dyI x y x x x x 由于积分曲线L 关于x 轴、y 轴均对称，被积函数211==+P Q x对x 、y 均为偶函数，因此220,011==++⎰⎰L L dxdyx x故 20+==++⎰Ldx dyI x y x『方法技巧』 对坐标的曲线积分的对称性与对弧长的曲线积分对称性不同，记清楚后再使用.事实上，本题还可应用格林公式计算.例 2 计算曲面积分2()∑=+++⎰⎰I ax by cz n dS ，其中∑为球面2222++=x y z R .解 2()∑=+++⎰⎰I ax by cz n dS2222222(222222)∑=+++++++++⎰⎰a x b y c z n abxy acxz bcyz anx bny cnz dS由积分曲面的对称性及被积函数的奇偶性知0∑∑∑∑∑∑======⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰xydS xzdS yzdS xdS ydS zdS又由轮换对称性知222∑∑∑==⎰⎰⎰⎰⎰⎰x dS y dS z dS 故 2222222∑∑∑∑=+++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰I a x dS b y dS c z dS n dS22222()∑∑=+++⎰⎰⎰⎰a b c x dS n dS22222222()43π∑++=+++⎰⎰a b c xy z dS R n22222222222244[()]33ππ∑++=+=+++⎰⎰a b c R R dS R n R a b c n『方法技巧』 对面积的曲面积分的对称性与对坐标的曲面积分的对称性不同，理解起来更容易些.若碰到积分曲面是对称曲面，做题时可先考虑一下对称性.例3 计算曲面积分222()∑++⎰⎰x y z dS ，其中∑为球面2222++=x y z ax .解 2222()22()2∑∑∑∑++==-+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰x y z dS axdS a x a dS a dS 222402248ππ∑=+==⎰⎰a dS a a a『方法技巧』 积分曲面∑是关于0-=x a 对称的，被积函数-x a 是-x a 的奇函数，因此()0∑-=⎰⎰x a dS例4 计算曲线积分2222-+⎰Lxy dy x ydxx y L 为圆周222(0)+=>x y a a 的逆时针方向.解法1 直接计算. 将积分曲线L 表示为参数方程形式cos :(:02)sin θθπθ=⎧→⎨=⎩x a L y a代入被积函数中得22232222[cos sin cos cos sin (sin )]πθθθθθθθ-=--+⎰⎰Lxy dy x ydxad x y2232232202sin cos 2sin (1sin )ππθθθθθθ==-⎰⎰a d a d324332013118(sin sin )8224222πππθθθπ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭⎰ad a a解法2 利用格林公式2222222211()-=-=++⎰⎰⎰⎰LLDxy dy x ydxxy dy x ydx x y dxdy aa x y 其中222:+≤D x y a ，故222232200112πθρρρπ-==+⎰⎰⎰a Lxy dy x ydxd d a a x y『方法技巧』 本题解法1用到了定积分的积分公式：213223sin 13312422πθθπ--⎧⎪⎪-=⎨--⎪⎪-⎩⎰n n n n n n d n n n nn 为奇数为偶数解法2中，一定要先将积分曲线222+=x y a 代入被积函数的分母中，才能应用格林公式，否则不满足,P Q 在D 内有一阶连续偏导数的条件.例5 计算曲线积分22()()+--+⎰L x y dx x y dyx y，其中L 为沿cos π=y x 由点 (,)ππ-A 到点(,)ππ--B 的曲线弧.解 直接计算比较困难.由于 2222,+-+==++x y x yP Q x y x y，222222()∂--∂==∂+∂P x y xy Q y x y x 因此在不包含原点(0,0)O 的单连通区域内，积分与路径无关.取圆周2222π+=x y 上从(,)ππ-A 到点(,)ππ--B 的弧段'L 代替原弧段L ，其参数方程为：cos 5:(:)44sin θππθθ⎧=⎪'-→⎨=⎪⎩x L y ，代入被积函数中得 222()()1()()2π'+--=+--+⎰⎰LL x y dx x y dy x y dx x y dy x y544[(cos sin )(sin )(cos sin )cos ]ππθθθθθθθ-=+---⎰d54432ππθπ-=-=-⎰d『方法技巧』 本题的关键是选取积分弧段'L ，既要保证'L 简单，又要保证不经过坐标原点.例6 计算曲面积分∑++⎰⎰xdydz ydzdx zdxdy ，其中∑1=的法向量与各坐标轴正向夹锐角的侧面.解 由于曲面∑具有轮换对称性，∑∑∑==⎰⎰⎰⎰⎰⎰xdydz ydzdx zdxdy ，∑投影到xOy面的区域{}(,)1=≤xy D x y ，故233(1∑∑∑++==⎰⎰⎰⎰⎰⎰xdydz ydzdx zdxdy zdxdy dxdy21(1223(13(1==⎰⎰⎰⎰xyD dxdy dxdy 1401(12=⎰dx411(1)30--=⎰t t dt 『方法技巧』 由于积分曲面∑具有轮换对称性，因此可以将,dydz dzdx 直接转换为dxdy ，∑只要投影到xOy 面即可.例7 计算曲面积分222()()()∑-+-+-⎰⎰x y dydz y z dzdx z x dxdy ，其中∑为锥面222=+z x y 在0≤≤z h 部分的上侧.解 利用高斯公式. 添加辅助面2221:()∑=+≤z h x y h ，取下侧，则222()()()∑-+-+-⎰⎰x y dydz y z dzdx z x dxdy 1222()()()∑+∑=-+-+-⎰⎰x y dydz y z dzdx z x dxdy1222()()()∑--+-+-⎰⎰x y dydz y z dzdx z x dxdy123()Ω∑=---⎰⎰⎰⎰⎰dxdydz h x dxdy 23()Ω=-+-⎰⎰⎰⎰⎰xyD dxdydz h x dxdy其中Ω为∑和1∑围成的空间圆锥区域，xy D 为∑投影到xOy 面的区域，即{}222(,)=+≤xy D x y x y h ，由xy D 的轮换对称性，有2221()2=+⎰⎰⎰⎰xyxyD D x dxdy x y dxdy 故222()()()∑-+-+-⎰⎰x y dydz y zdzdx z x dxdy222113()32π=-+-+⎰⎰⎰⎰xyxyD D h h h dxdy x y dxdy23234001124πππθρρπ=-+-=-⎰⎰h h h h d d h『方法技巧』 添加辅助面时，既要满足封闭性，又要满足对侧的要求.本题由于积分锥面取上侧（内侧），因此添加的平面要取下侧，这样才能保证封闭曲面取内侧，使用高斯公式转化为三重积分时，前面要添加负号.例8 计算曲线积分()()()-+-+-⎰Lz y dx x z dy x y dz ，其中221:2⎧+=⎨-+=⎩x y L x y z 从z 轴的正向往负向看，L 的方向是顺时针方向.解 应用斯托克斯公式计算. 令22:2(1)∑-+=+≤x y z x y 取下侧，∑在xOy 面的投影区域为{}22(,)1=+≤xy D x y x y ，则()()()∑∂∂∂-+-+-=∂∂∂---⎰⎰⎰Ldydzdzdx dxdy z y dx x z dy x y dz x y z z yx zx y222π∑==-=-⎰⎰⎰⎰xyD dxdy dxdy『方法技巧』 本题用斯托克斯公式计算比直接写出曲线L 的参数方程代入要简单，所有应用斯托克斯公式的题目，曲面∑的选取都是关键，∑既要简单，又要满足斯托克斯的条件，需要大家多加练习.二、曲线积分与曲面积分的物理应用1.曲线积分与曲面积分的物理应用归纳如下： (1) 曲线或曲面形物体的质量. (2) 曲线或曲面的质心（形心）. (3) 曲线或曲面的转动惯量. (4) 变力沿曲线所作的功. (5) 矢量场沿有向曲面的通量. (6) 散度和旋度.2. 在具体计算时，常用到如下一些结论： （1）平面曲线形物体 (,)ρ=⎰LM x y ds空间曲线形物体 (,,)ρ=⎰LM x y z ds曲面形构件 (,,)ρ∑=⎰⎰M x y z dS（2） 质心坐标平面曲线形物体的质心坐标： (,)(,),(,)(,)ρρρρ==⎰⎰⎰⎰L L LLx x y ds y x y ds x y x y dsx y ds空间曲线形物体的质心坐标：(,,)(,,)(,,),,(,)(,)(,)ρρρρρρ===⎰⎰⎰⎰⎰⎰LLLLLLx x y z dsy x y z dsz x y z dsx y z x y dsx y dsx y ds曲面形物体的质心坐标：(,,)(,,)(,,),,(,,)(,,)(,,)ρρρρρρ∑∑∑∑∑∑===⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰x x y z dSy x y z dSz x y z dSx y z x y z dSx y z dSx y z dS当密度均匀时，质心也称为形心.（3） 转动惯量平面曲线形物体的转动惯量：22(,),(,)ρρ==⎰⎰x y LLI y x y ds I x x y ds空间曲线形物体的转动惯量：2222()(,,),()(,,)ρρ=+=+⎰⎰x y LLI y z x y z ds I z x x y z ds22()(,,)ρ=+⎰z LI x y x y z ds曲面形物体的转动惯量：2222()(,,),()(,,)ρρ∑∑=+=+⎰⎰⎰⎰x y I y z x y z dS I z x x y z dS22()(,,)ρ∑=+⎰⎰z I x y x y z dS其中(,)ρx y 和(,,)ρx y z 分别为平面物体的密度和空间物体的密度.（4） 变力沿曲线所作的功平面上质点在力F (,)=P x y i +(,)Q x y j 作用下，沿有向曲线弧L 从A 点运动到B 点，F 所做的功(,)(,)=+⎰ABW P x y dx Q x y dy 空间质点在力F (,,)=P x y z i +(,,)Q x y z j +(,,)R x y z k 作用下，沿有向曲线弧L 从A 点运动到B 点，F 所做的功(,,)(,,)(,,)=++⎰ABW P x y z dx Q x y z dy R x y z dz （2） 矢量场沿有向曲面的通量矢量场A (,,)=P x y z i +(,,)Q x y z j +(,,)R x y z k 通过有向曲面∑指定侧的通量(,,)(,,)(,,)∑Φ=++⎰⎰P x y z dydz Q x y z dzdx R x y z dxdy（3） 散度和旋度矢量场A (,,)=P x y z i +(,,)Q x y z j +(,,)R x y z k 的散度div A ∂∂∂=++∂∂∂P Q R x y z矢量场A (,,)=P x y z i +(,,)Q x y z j +(,,)R x y z k 的旋度rot A ()∂∂=-∂∂R Q y z i ()∂∂+-∂∂P R z xj +()∂∂-∂∂Q P x y k xy z P Q R∂∂∂=∂∂∂ 1. 曲线积分或曲面积分应用题的计算步骤：ij k（1）根据所求物理量，代入相应的公式中；（2）计算曲线积分或曲面积分.例9 设质点在场力F {}2,=-k y x r 的作用下，沿曲线π:cos 2=L y x 由(0,)2πA 移动到(,0)2πB ，求场力所做的功.（其中=r k解 积分曲线L 如图11.7所示. 场力所做的功为(,)(,)=+⎰AB W P x y dx Q x y dy 22=-⎰AB y x k dx dy r r 令22,==-y x P Q r r ，则22224()(∂-∂==+≠∂∂P k x y Q x y y r x 即在不含原点的单连通区域内，积分与路径无关. 另取由A 到B 的路径：1πππ:cos ,sin (:0)222θθθ==→L x y 1022222π(sin cos )d 2πθθθ=-=-+=⎰⎰L y x W k dx dy k k r r 『方法技巧』 本题的关键是另取路径1L ，一般而言，最简单的路径为折线路径，比如AO OB ，但不可以选取此路径，因为,P Q 在原点处不连续. 换句话说，所取路径不能经过坐标原点，当然路径1L 的取法不是唯一的.例10 设密度为1的流体的流速v 2=xz i sin +x k ，曲面∑是由曲线(12)0⎧⎪=≤≤⎨=⎪⎩y z x 饶z 轴旋转而成的旋转曲面，其法向量与z 轴正向的夹角为锐角，求单位时间内流体流向曲面∑正侧的流量Q .解 旋转曲面为222:1(12)∑+-=≤≤x y z z ，令1∑为平面1=z 在∑内的部分取上侧，2∑为平面2=z 在∑内的部分取下侧，则12∑+∑+∑为封闭曲面的内侧，故(,,)(,,)(,,)∑=++⎰⎰Q P x y z dydz Q x y z dzdx R x y z dxdy2sin ∑=+⎰⎰xz dydz xdxdy1212222sin sin sin ∑+∑+∑∑∑=+-+-+⎰⎰⎰⎰⎰⎰xz dydz xdxdy xz dydz xdxdy xz dydz xdxdy 122sin sin Ω∑∑=---⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰z dxdydz xdxdy xdxdy2222222221125sin sin +≤++≤+≤=--+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰x y z x y x y z dz dxdy xdxdy xdxdy2221128(1)0015ππ=-+-+=-⎰z z dz 『方法技巧』 本题的关键是写出旋转曲面∑的方程，其次考虑封闭曲面的侧，以便应用高斯公式，最后用截痕法计算三重积分，用对称性计算二重积分.。
曲线积分和曲面积分
第八章 曲线积分和曲面积分我们前面已学过定积分和重积分，当一个函数定义在空间的曲线或曲面时，则要求我们计算曲线积分或曲面积分。
由于物理背景的不同，我们还须区别曲线或曲面的方向性，因此我们要分别研究两种不同类型的积分。
§1 第一型曲线积分与曲面积分１． 第一型曲线积分我们研究如下的一个理想问题，给定空间的一条曲线物体L ，L 上每点有线密度，现在我们要求它的质量。
我们对此问题作如下限制，设L 是空间的可求长曲线，端点为A 和B ，密度函数(,,)f x y z 在L 上定义。
为了求质量，象定积分一样，我们对L 作一分割，01,,,,(,1,2,,,)n j A A A A B A j n L ===L L 在上，这样我们就将L 分成n 小段，设每段的长度为j s V 。
在每段弧长上任取一点ξηςｊｊｊ（，，），作和式,1(,)nj jj j j f s ξης=∑V以此作为L 质量的近似值。
最后我们令1max{}0j j ns λ≤≤=→V ，即可得到L 质量的精确值M ，即,01lim (,)nj j j j j M f s λξης→==∑V由此我们可得到以下定义 定义设L 是空间可求长曲线，(,,)f x y z 在L 上连续，L 的两个端点为A,B ，依次用分点01,,,n A A A A B ==L 将L 分成n 小段。
每小段弧及弧长均记为j s V ，在j s V 上任取一点(,,)j j j j P ξης=，作和式,1(,)nj jj j j f s ξης=∑V如果当1max{}0j j ns λ≤≤=→V 时，上述和式的极限存在，且不依赖于L 的分法及j P 的选取，则称这一极限值为(,,)f x y z 。
在L 上的第一型曲线积分，记作(,,)Lf x y z ds ∫。
第一型曲线积分也有类似于定积分的一些性质，如关于被积函数的线性及关于曲线的可加性，它与定积分的一个差别是第一型曲线积分与曲线的方向无关。
曲线积分与曲面积分的概念与计算
曲线积分与曲面积分的概念与计算在数学中，曲线积分和曲面积分是两个重要的概念，用于描述曲线和曲面上的各种物理量的计算。
本文将详细介绍这两个概念的定义以及计算方法。
1. 曲线积分的概念与计算曲线积分用于计算曲线上的矢量场或标量场沿曲线的积分值，常用于求解沿路径的功、电磁感应等问题。
曲线积分可以分为第一类和第二类，下面将分别介绍。
1.1 第一类曲线积分第一类曲线积分可以用于计算矢量场沿曲线的积分值，其计算公式如下：∮C F·ds其中，C表示曲线，F表示矢量场，ds表示曲线C上的一小段投影长度，F·ds表示矢量场F与ds的点积。
要计算第一类曲线积分，首先需要确定曲线C的参数方程，并对其进行参数化。
然后，将参数方程代入上述公式，并对参数范围进行积分即可得到结果。
1.2 第二类曲线积分第二类曲线积分用于计算标量场沿曲线的积分值，其计算公式如下：∮C f ds其中，C表示曲线，f表示标量场，ds表示曲线C上的一小段投影长度。
要计算第二类曲线积分，同样需要确定曲线C的参数方程，并对其进行参数化。
然后，将参数方程代入上述公式，并对参数范围进行积分即可得到结果。
2. 曲面积分的概念与计算曲面积分用于计算曲面上的矢量场或标量场通过曲面的通量或质量的计算。
曲面积分同样可以分为第一类和第二类，下面将一一介绍。
2.1 第一类曲面积分第一类曲面积分用于计算矢量场通过曲面的通量，其计算公式如下：∬S F·dS其中，S表示曲面，F表示矢量场，dS表示曲面S上的一小块面积，F·dS表示矢量场F与dS的点积。
要计算第一类曲面积分，首先需要确定曲面S的参数方程，并对其进行参数化。
然后，将参数方程代入上述公式，并对参数范围进行积分即可得到结果。
2.2 第二类曲面积分第二类曲面积分用于计算标量场通过曲面的质量，其计算公式如下：∬S f dS其中，S表示曲面，f表示标量场，dS表示曲面S上的一小块面积。
高等数学-第十一章-曲线积分与曲面积分
对弧长的曲线积分及其计算
y
B
一、问题的提出
实例:曲线形构件的质量
L Mn1
(i,i)
M2
Mi
Mi1
匀质之质量 M s. A M 1
o
x
分割 M 1 , M 2 , , M n 1 s i ,
取 (i,i) s i, M i (i,i) s i.
B
M
实L 例:A : 变B 力,沿曲 线所作的功 ALMM1i1
M
yi 2xi
iMn1
F ( x , y ) P ( x , y ) i Q ( x , y ) j o
x
常力所作的功 W F A . B
分割 A M 0 , M 1 ( x 1 , y 1 ) , M n , 1 ( x n 1 , y n 1 ) M n B , .
3
3
ds
2a3 . 3
(2a d,s球面大) 圆周长
注 关于对弧长的曲线积分的对称性
对 Lf(x,y)ds
①若 L 关于 y 轴对称
( 1 ) 当 f ( x , y ) f ( x , y ) 时 L f ( x , y ) d 0 s
( 2 ) 当 f ( x , y ) f ( x , y ) 时 f ( x , y ) d 2 f s ( x , y ) d
n
f(x ,y ,z)d s l i0im 1f(i,i,i) si.
注意：
1 . 若 L ( 或 ) 是分 , (L 段 L 1 L 2 ) 光
f ( x , y ) d s f ( x , y ) d s f ( x , y ) d . s
L 1 L 2
曲线积分和曲面积分的计算
第21章 曲线积分和曲面积分的计算教学目的：教学重点和难点：§1 第一类曲线积分的计算设函数(),,f x y z 在光滑曲线l 上有定义且连续，l 的方程为()()()()0x x t y y t t t T z z t =⎧⎪=≤≤⎨⎪=⎩则()()()(),,,,Tlt f x y z ds f x t y t z t =⎡⎣⎰⎰。
特别地，如果曲线l 为一条光滑的平面曲线，它的方程为()y x ϕ=，()a xb ≤≤，那么有((,) , ()blaf x y ds f x x ϕ=⎰⎰。
例：设l 是半圆周t a y t a x sin , cos ==, π≤≤t 0。
求22()lx y ds +⎰。
例：设l 是曲线x y 42=上从点) 0 , 0 (O 到点) 2 , 1 (A 的一段，计算第一类曲线积分lyds ⎰。
例：计算积分2lx ds ⎰，其中l 是球面2222a z y x =++被平面0=++z y x 截得的圆周。
例：求()lI x y ds =+⎰，此处l 为连接三点()0,0O ，()1,0A ，()1,1B 的直线段。
§2 第一类曲面积分的计算一 曲面的面积（1）设有一曲面块S ，它的方程为 (),z f x y =。
(),f x y 具有对x 和y 的连续偏导数，即此曲面是光滑的，且其在XY 平面上的投影xy σ为可求面积的。
则该曲面块的面积为 xyS σ=。
（2）若曲面的方程为 ()()(),,,x x u v y y u v z z u v =⎧⎪=⎨⎪=⎩, 令222u u u E x y z =++，u v u v u v F x x y y z z =++，222v v vG x y z =++， 则该曲面块的面积为 S d u d v ∑=。
例：求球面2222x y z a ++=含在柱面()220x y ax a +=>内部的面积。
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第21章曲线积分和曲面积分的计算教学目的： 教学重点和难点：§ 1第一类曲线积分的计算设函数_/a ，y,z)在滑腻曲线/上有槪念且持续，/的方程为z = z(t)则“(3比)& = J:/［兀⑴，M)，乙(01F ⑴+严⑴+乙'"/)〃 »特别地，若是曲线/为一条滑腻的平面曲线，它的方程为y = 0(x)，(a<x<b),那例：设/是半圆周 x = a cost, y = asint, OS/S/r 。
求 (x 2 + y 2 )ds »例：设/是曲线b =4x±从点0(0,0)到点A(l,2)的一段，计算第一类曲线积分［yds . 例：计算积分［xv/5 ,英中/是球面，+),2+?2=“2被平而x+y + z = 0截得的圆周。
例：求/=J(x + y)c/s,此处/为连接三点O (0,0), A(l,0), B(l,l)的直线段。
§ 2第一类曲面积分的计算一曲面的面积(1) 设有一曲而块S,它的方程为z = /(x,y)。
/(x,y)具有对x 和y 的持续偏导数，即此曲而是滑腻的，且其在XY 平而上的投影为可求面积的。
则该曲而块的面积为 S 叮阿 + 代 dxdy。
x = x(u,v)（2）若曲而的方程为< y = y(“，“)，令E = X； + K + Z：，F = xx v + y u y v + gj ,uZ = Z(u.v)G = Xy + y； + Zy 9则该曲面块的面积为S = JJ J EG - F，di小。
V例：求球而X2 + y2 + Z2= a2含在柱而X2 + y2 = or （a > 0）内部的而积。
例：求球而x2 + F +分=a2含在柱而” +〉,2 =心（° > o）内部的而积。
二化第一类曲面积分为二重积分（1）设函数0（兀,”2）为概念在曲而S上的持续函数。
曲而S的方程为z = /（x,y）。
/（x,y）具有对尤和y的持续偏导数，即此曲面是滑腻的，且苴在XY平而上的投影为可求而积的。
则JJ 0 (x，『，Z) 〃S = Jj 0 [x, y, / (x, >-)] Jl + 代 + f； dxdy。
S心X = X(ZGV) （2）设函数0（七”乙）为概念在曲而S上的持续函数。
若曲而的方程为=z = z（u,v）令E = X： + £ + z： , F =兀儿 + 儿儿+ Z“Z八G = %； + y； + z；,则Jj0(x，”Z)〃S =卩0[兀仏巧,z(«,v)]yjEG-F2dudv。
s s例：计算JJ(x + y + z)t/S, S 是球面x2 + y2 +z2 =cr , 2>0osX = U COS V例：计算JJ N/S,貝中S为螺旋而的一部份：h- = wsinv (0<z/<d,0<v<2^)o ' z = v注：第一类曲而积分通过一个二重积分来概念，这就是为何在第一类曲面积分顶用“二重积分符“的原因。
例：l=^x2 + y2dS 9 S是球而，球心在原点，半径为§3第二类曲线积分一变力做功和第二类曲线积分的概念1.力场?(x,y) = (P(x,y) , 0(忑刃)沿平面曲线厶从点力到点8所作的功。
先用微元法，再用概念积分的方式讨论这一问题，得W=[ F di.J AB2.第二型曲线积分的概念概念1设厶是一条滑腻或逐段滑腻曲线，且设f(x.y,z)是槪念在厶上的有界函数，将厶沿肯泄方向从起点A开始用分点4(兀,力,召)分成"个有向弧段44+1 ,直至终点且设心产心厂齐。
在每一弧段44+1 上任取一点EG，%©)，作和式： b=左 / 化)a=iy G, a，G a。
J-l z-1其中州(西，牙，乙J为起点A，A+I(X”+I，)'”+I，Z”+I )为终点B。
设2 = max|^4+1这里表示有向线段的长度。
若当几T O时，和cr有极限/,且它与厶的分法无关，也与点*的选择无关，则称/为f^y^dx沿曲线厶按所述方向的第二类曲线积分, 记作 / = J / (x, y, z yix或/ = L / (x, y, z\ix。
注：若是向量f (x, y,z) =(P(x, y, z),Q(x, y,z), R(x, y,z)),则向量沿曲线L按必然方向的第二类曲线积分为I = £ P(x,y\2)rZx + 2(x, y,Z)dy + R(x,y,z)clz,。
注：第二类曲线积分是与沿曲线的方向有关的。
这是第二类曲线积分的一个很重要性质，也是它区别于第一类曲线积分的一个特征。
注：在平面情形下，若一人立在平而上沿闭路循一方向作环行时，如闭路所用成的区域靠近这人的部份总在他的左方，则那个方向就算作正向，不然就算作负向。
这时只要方向不变，曲线积分的值是与起点的位置无关的。
二第二类曲线积分的计算设曲线自身不相交英参数方程为x = x(r). y = y(/), z = z(t) (f0</<T)o且设AB是滑腻的。
设当参数/从调地增加到丁时，曲线从点A按必然方向持续地变到点B。
设函数P(x,y,z)概念在曲线A3上,且设它在AB 上持续。
则j P(x,= J P[x(/),y(/), z(/)]x，(f)d/。
(*)注：(*)积分下限必需对应积分所沿曲线的起点，上限必需对应终点。
注：若是向量= 则向量沿曲线厶按必然方向的第二类曲线积分为Q (x, ” z)dy + R(x.y. z)dz=『{P[H/)，y ⑴,z(/)卜(/)+O[M),y(/), z(/)卜⑴+R[x(/),y(f), ?(/)”(『)}(〃例：计算积分+ + x)dy, L的两个端点为A( 1, 1 ), B( 2,3 ).积分从点A到点B或闭合，路径为(1)直线段月万：(2)抛物线y = 2(x —1)2+1：(3)折线闭合路径A(1,1)TD(2,1) T B(2,3) T A( 1, 1 )。
.例：计算积分[xdy + ydx,这里厶：(1)沿抛物线y = 2x2从点0( 0 , 0 )到点从1,2)；(2)沿直线y = 2x从点0( 0 , 0 )到点机1,2)：(3)沿折线封锁路径0(0,0) TA(1,O) TB(1,2) T 0(0,0).例：汁算第二型曲线积分I = £ xy^dx + (x + y)dy + x2dz，其中L是螺旋线x = acQSt, y = asint,乙=bt、从f =0 到 / =龙的一段。
三两类曲线积分的联系第一类曲线积分与第二类曲线积分的概念是不同的，由于都是沿曲线的积分，二者之间又有紧密联系。
二者之间的联系式为f P(x,”zM + 0(x,y,z)dy + /?(x,y,z)dzJAB= L{P(x,y,z)cos(f,x) + 0(x,”z)cos(/,y) + /?(x, y,z)cos(f,z)}心例：证明：对于曲线积分的估量式为『H/x + Q心卜厶M,(式中厶为曲线段的长度) M = maxJp2+Q20利用那个不等式估量：/…=(£. . . vJ.v-.vt/v并证明例：设平而区域D 由一持续闭曲线厶所围成，区域D而积设为S,推导用曲线积分il•算而积S的公式为：§ 4第二类曲面积分一曲面的侧的概念1.单侧曲面与双侧曲面在实际生活中碰着的都是双侧曲面，至于单侧曲而也是存在的，牟彼乌斯带就是这种曲而的一个典型例子。
2.曲面的上侧和下侧，外侧和内侧双侧曲面的定向：曲而的上、下侧，左、右边，前、后侧.设法向疑为n = ±(cos<z, cos p, cos/),则上侧法线方向对应第三个分疑>0,即选“+”号时，应有cos/>0,亦即法线方向与Z 轴正向成锐角.类似肯泄英余各侧的法线方向.封锁曲面分内侧和外侧.二第二类曲面积分的概念先讨论由显式方程z = z(x, y)表示的无重点的滑腻曲面S ,并设S^XY平而上的投影为边界由逐段滑腻曲线T所用成的区域6?。
设选左了曲面的一侧，从而也肯泄了它的立向。
此刻将有向曲而S以任何方式分割为兀小块Si(i = 1,2・• 。
设q为S,在XY平而上的投影，从而也取得区域b取的一个相应分割。
若是取的是上侧，这时所有G,算作正的。
如取下侧，这时所有q算作负的。
设有界函数f(x,y,z)概念在st,在每一小块s,任取一点RH作和式b =其中9表示G』勺而积。
由上述所见，U是带有符号的，它们的符号是由所选的侧来决左的。
设心为®的致敬，记2 = max{<}o若当几T0时，・有肯定的极限/,且/与曲而分割的方式无关，也点乙的选择无关，则称/为f^y y z)dxdy沿曲而S的所选泄的一侧上的第二类曲面积分，记为/ 。
注：有时也会碰着几个积分连在一路的情形，例如：Jj P(X, y,z)dydz + Q(x. y,z)dzdx + R(x, y,z^dxdy。
s注：若是沿曲面的另一侧积分，则所得的值应当变号。
三两类曲面积分的联系及第二类曲面积分的计算第二型曲而积分与第一型曲而积分的关系设"为曲而S 的指左法向，则P(x, y, z)dyclz. + Q(x, y, + R(x, y, z^dxdyR [p(x,y,z)cos0,x) + Q(x, y,z)cos(n, y) + R(x, y,z)cos(n,z)]flS.定理1设R(x,y,z)是概念在滑腻曲而S：z = z(x,y), (x,y)e/?vy上的持续函数，以S的上侧为正侧(即cos(仏z)>0 ), 贝I] 有，” Z)dxdy = JJ 7?(x, y, z(x, y)\lxdy类似地，对滑腻曲而S:x = x(”z),(”z)卩心在其前侧上的积分j£ P(U z)dydz = JJ P(x(” z), y, z\lydz.・%对滑腻曲而S: y = y(z,x).Ux)e 0沖在其右边上的积分J£。
(匕” z^dzjclx = JJ Q(x, y(乙x), z\hdx.计算积分Pdydz+ Qdzdx+Rdxdy时，通常分开来计算三个积分]*£ Pdydz t Qdz.dx, JJ、Rdxdy.为此，别离把曲面S投影到KT平而，Z¥平而和AT平而上化为二重积分进行计算.投影域的侧由曲而S的定向决定.推论设P(x,y,z)9 Q(x,y,z). R(x,y,z)是概念在滑腻曲面S ：z = Z(x.y), (x,y) e D xv上的持续函数，则Pg y. Z)dydz + Q(x, y, z)dz.dx + R(x、y, z)dxdy=[p(x，y，z) cos(", x) + Q(x, y, z) cos(", y) + R(x, y, z) cos 仇,z)”S= ±JJ [-P(x,儿z(x, y))z x(X, y) 一。