第四章线性规划进一步讨论
线性规划问题的图解法
单纯形法的计算(jìsuàn)步骤
单纯形法的思路(sīlù)
找出一个(yī ɡè)初始可行解
4x1
16
可行(kěxíng)域
单纯形法的进一步讨论(tǎolùn)－人工变量法
第四十三页，共51页。
单纯形法的计算(jìsuàn)步骤
是否最优 故人(gùrén)为添加两个单位向量，得到人工变量单纯形法数学模型：
量作为换出变量。
L
min
bi a ik
a ik
0
第二十九页，共51页。
单纯形法的计算(jìsuàn)步骤
③ 用换入变量(biànliàng)xk替换基变量(biànliàng)中的换出变量 (biànliàng)，得到一个新的基。对应新的基可以找出一个新的基可 行解，并相应地可以画出一个新的单纯形表。
： X (1) K和X (2) K
X X (1) (1 ) X (2) (0 1)
则X为顶点(dǐngdiǎn).
(wèntí)
的 几
第四页，共51页。
凸组合(zǔhé)：
意线 义性
规 划 问 题 的 几 何
设X（1) ,..., X (k)是n维向量空间中的k个点,
若存在1,..., k ,且0 i 1, i 1,2,..., k,
A
1 域2 3
D
| E|
45
4 x2 16 x1 + 2x2 8
|||| 6789
x1
第九页，共51页。
❖图解法
目标(mùbiāo)函数 Max Z = 2x1 + 3x2
x2 9—
8—
7—
6—
5—
4—
线性规划问题的图解法
j
0 0 j c j c i a ij
bi 其中： i a kj 0 a kj
单纯形法的计算步骤
例1.8 用单纯形法求下列线性规划的最优解
max Z 3 x1 4 x 2 2 x1 x 2 40 x1 3 x 2 30 x , x 0 1 2
A
0
E
| 5
| 6
| 7
| 8
| 9
x1
图解法
9— 8—
目标函数 Max Z = 2x1 + 3x2
约束条件 x1 + 2x2 8
4x1 16 4x2 12 x1、 x2 0
x2
7—
6— 5—
4x1 16
C 4 x2 16
4 —B
3— 2— 1—
D
| 1 | 2 | 3 | 4
4—
3— 2— 1— 0
x1
图解法
9— 8—
目标函数 Max Z = 2x1 + 3x2
约束条件 x1 + 2x2 8
4x1 16 4x2 12 x1、 x2 0
x2
7—
6— 5—
4x1 16 4 x2 12 x1 + 2x2 8
4—
3— 2— 1— 0
可行域
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9
x2
X1 + 1.9X2 = 11.4 (≤)
8=5X1+4X2 此点是唯一最优解 （ 0， 2）
D
43=5X1+4X2
可行域
线性规划教案
线性规划教案一、教案概述本教案旨在介绍线性规划的基本概念、模型建立方法和求解技巧，帮助学生掌握线性规划的基本理论和应用技巧。
通过理论讲解、示例分析和实践操作等多种教学方法，使学生能够灵活运用线性规划方法解决实际问题。
二、教学目标1. 了解线性规划的基本概念和应用领域；2. 掌握线性规划模型的建立方法；3. 学会使用单纯形法和对偶理论求解线性规划问题；4. 能够应用线性规划解决实际问题。
三、教学内容1. 线性规划的基本概念1.1 线性规划的定义和特点1.2 线性规划的基本术语和符号1.3 线性规划的应用领域2. 线性规划模型的建立方法2.1 目标函数的建立2.2 约束条件的建立2.3 决策变量的定义3. 单纯形法的基本原理和步骤3.1 单纯形表格的构建3.2 单纯形法的迭代计算过程3.3 单纯形法的终止条件和解的判定4. 对偶理论及其应用4.1 对偶问题的建立4.2 对偶问题与原始问题的关系4.3 对偶理论在线性规划中的应用5. 实际问题的线性规划求解5.1 生产计划问题的线性规划求解5.2 运输问题的线性规划求解5.3 投资组合问题的线性规划求解四、教学方法1. 理论讲解：通过教师讲解线性规划的基本概念、模型建立方法和求解技巧，让学生对线性规划有全面的认识。
2. 示例分析：通过具体的实例分析，引导学生理解线性规划模型的建立过程和解题思路。
3. 实践操作：提供一些实际问题，让学生运用线性规划方法进行求解，并对结果进行分析和讨论。
4. 讨论交流：组织学生进行小组讨论，分享解题思路和经验，提高学生的合作能力和解决问题的能力。
1. 课堂练习：在课堂上布置一些练习题，检验学生对线性规划的理解和应用能力。
2. 作业布置：布置一些课后作业，要求学生独立完成线性规划问题的求解，检验学生的独立思考和解决问题的能力。
3. 实践项目：组织学生参与一些实际项目，运用线性规划方法解决实际问题，并进行报告和评估。
六、教学资源1. 教材：《线性规划教程》2. 多媒体教学课件：包括线性规划的基本概念、模型建立方法和求解技巧的讲解和示例分析。
线性规划
数学建模试验报告（一）姓名 学号 班级 问题：（线性规划）某厂生产甲乙两种口味的饮料,每百箱甲饮料需用原料6千克,工人10名,可获利10万元;每百箱乙饮料需用原料5千克,工人20名,可获利9万元.今工厂共有原料60千克,工人150名,又由于其他条件所限甲饮料产量不超过8百箱.问如何安排生产计划,即两种饮料各生产多少使获利最大.进一步讨论:1)若投资0.8万元可增加原料1千克,问应否作这项投资.2)若每百箱甲饮料获利可增加1万元,问应否改变生产计划.问题的分析和假设：此问题为用线性规划求解最佳分配方案，合理安排原料与工人使工厂利润达到最大化。
由题意：假设： 1x 为生产甲产品的百箱数2x 为生产乙产品的百箱数z （万元）为生产甲产品1x 百箱，乙产品2x 百箱所获的利润值原料（Kg ） 工人 利润（万元） 甲（/百箱） 6 10 10 乙（/百箱） 5 20 9 总计 60 150建模：目标函数：max 12109z x x =+原料分配：126560x x +=工人分配：121020150x x +=甲产量约束：108x ≤≤乙产量约束：20x ≥模型为：max 12109z x x =+S.t. 126560x x +=121020150x x +=108x ≤≤20x ≥求解的Matlab程序代码：新建.M文件，代码：c=[-10,-9];A=[6,5;10,20;1,0];b=[60;150;8];Aeq=[];beq=[];vlb=[0;0];vub=[];[x,fval]=linprog(c,A,b,Aeq,beq,vlb,vub)计算结果与问题分析讨论：计算结果：Optimization terminated.x =6.42864.2857fval =-102.8571结果分析：由计算结果可知：当甲饮料生产642箱，乙饮料生产428箱时利润达到最大值，最大利润为102.8万元。
问题讨论：（1）若增加1Kg原料，用上述模型运算得到的最大利润为104.4万元，即投资0.8万元增加1Kg原料可提高1.6万元的利润，可做这项投资。
1-5 单纯形法的进一步讨论
B 1b B 1NX N
令非基变量XN=0，XB=B—1b，由 B是 可行基的假设，则得到
基本可行解
X=(B－1b，0)T
将目标函数写成
Z
(CB
,
CN
)
X X
B N
CB X B
CN X N
CB (B1b B1NX N ) CN X N
CBB1b (CN CBB1N )) X N
MaxZ=-3x1+x3 x1+ x2+ x3≤4
-2x1+ x2- x3≥1 3x2+x3=9
xi ≥0,j=1,2,3
求解辅助问题，得到辅助 问题的最优解
引进人工变量x6，x7，构造辅助 问题，辅助问题的目标函数为
所有人工变量之和的极小化
MaxW=-x6-x7
x1+ x2+ x3+x4
=4
-2x1+ x2-x3 -x5+x6 =1
z zσ
XB … 0T …
xj cj - zj
… RHS … z0
XB xB I …
Yj
…b
基变量在目标函数中的系数等于0， 基变量在约束条件中的系数是一个单位矩阵
单纯形表的结构
注意： Z行中有m 个0，它们与基变量相对应。一般情况下，这m 个0分散在Z行的各列中，并与基变量相对应。
其余m行中有一个m阶单位矩阵I，其各列与基变量相对应。 一般情况下，组成I的各列分散在表的各列中，它们与基变 量相对应。
X1 1
0
a1
0
a2 a6
X2 0
1
1
0
-2
2020年整理《管理运筹学》复习提纲.pdf
少量），其允许增加（减少）百分比均看作零。 （2）百分之一百法则是充分条件，但非必要条件；也就是说超过 100%，
最优解或对偶价格并不一定变化。 （3）百分之一百法则不能用于目标函数决策变量系数和约束条件右边
常数值同时变化的情况。这种情况下，只能重新求解。
学海无涯
在松弛/剩余变量栏中，约束条件 2 的值为 125，它表示对原料 A 的最低需求，即对 A 的 剩余变量值为 125；同理可知约束条件 1 的剩余变量值为 0；约束条件 3 的松弛变量值为 0。
课本重点习题：P34-38 习题 1 2 3 4 第四章 线性规划在工商管理中的应用(P39-P66)
包括：人力资源分配的问题
生产计划的问题 套裁下料问题
配料问题
学海无涯
投资问题
§1人力资源分配问题
例 1．某昼夜服务的公交线路每天各时间段内所需司机和乘务人员数 如表 4-1 所示。
设司机和乘务人员分别在各时间段一开始时上班，并连续工作 8h， 问该公交线路怎样安排司机和乘务人员，既能满足工作需要，又使配备最 少司机和乘务人员的人数最少？
线性规划的进一步讨论
min{ P1 d1+ , P2 ( d2- + d2+ ) , P3 d3- }
s.t.
x1
0
d1+
BБайду номын сангаас
d2+
A
d3-
G
E
D
C
d2-
所以满意域为线段GD
A
B
C
D
E
F
d1-
d2+
满意解为点E， x1=24,x2=26 d1- = d2+ =d3-=0 d4-=4
d3-
d4-
x1 + x2 + d1- - d1+ =40 st. x1 + x2 + d2- - d2+ =50 x1 + d3- - d3+ =24 x2 + d4- - d4+ =30 x1,x2, di-,di+ ≥0 i=1,2,3,4
∑aij xj ≤（=，≥） bi ，i =1，2，…，m
j =1
n
xj ≥ 0 , j =1，2，…，n
dk- ，dk+ ≥ 0 , k =1，2，…，K
S.t.
图解法求解目标规划
x2
2x1 + x2 ≤11 x1 - x2 + d1- - d1+ =0 x1 + 2x2 + d2- - d2+ =10 8x1 + 10x2 + d3- - d3+ =56 x1,x2,di-,di+ ≥0 i=1,2,3
解退化的处理
5
3
1
2
0
0
1.一般产销不平衡运输问题 1)总产量 > 总销量 产销不平衡运输问题的处理 产销不平衡问题 产销平衡问题 假想一销地Bn+1，令销量为 ，运价c = 0
线性规划
x12 x13
线性规划的典型实例
运输问题
数学模型
10x11 min f s.t. x11 x12 x 21 x 22 x11 x 21 x12 x13 x ij x 22 x 23 0 (i 1, 2; j 12x12 9x13 x13 35 x 23 55 26 38 26 1, 2, 3) 8x 21 11x 22 13x 23
基本解不是线性规划问题的解，而是仅满足约束方程组的解
线性规划问题中解的概念
可行解、可行域
上面的分析仅考虑了约束方程组Ax=b，下面进一步考虑线性规划问题的非负 约束。我们称既满足约束方程组Ax=b，又满足非负约束x≥0的解为线性规划 问题的可行解，即可行解满足线性规划问题的所有约束。可行解的集合称为可 行域，记作：
下面将分步骤详细分析如何获得这个线性规划问题的解，同时介绍在这类问题 中的几个概念
线性规划问题中解的概念
基本解
如果线性规划问题的解存在，则它必定是满足Ax=b的有限多个“基本解”中 选出的，那么我们的第一个任务就是找出满足方程Ax=b的基本解 假设独立方程的个数为m个，故Ax=b的系数矩阵A的秩为m，于是A中必有m 个列向量是线性无关的，不妨假设A中的前m个列向量线性无关，则这m个列 向量可以构成矩阵A的m阶非奇异子矩阵，用矩阵B表示：
D x | Ax b, x 0
基本可行解
特别的，若线性规划问题的基本解能够满足线性规划问题中的非负约束，即：
xB B 1b 0
则称该解xB为基本可行解，简称基可行解，称B为可行基。基可行解的数量不 m 会超过 C n 个。显然，基本可行解一定是可行解，基可行解是可行域中一种特 殊的解
最优解
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x1,x2,x3,di-,di+ ≥0 i=1,2,3
取x3、d1-、 d2- 、 d3-为初始基变量，列初始单纯形表 4-2
cj
0
0
0
0 P1 P2 P2 P3 0
CB XB b
x1
x2
x3
d1- d1+ d2- d2+ d3- d3+
0 x3 11 2 1 1 0 0 0 0 0 0
因为x2的检验数≤0且最小，故确定x2为换入变量
继续迭代，得单纯形表 4-3
cj
0
0
0
0 P1 P2 P2 P3 0
CB XB b
x1
x2
x3
d1- d1+ d2- d2+ d3- d3+
0 x3 6 3/2 0 1 0 0 -1/2 1/2 0 0
0 d1- 5 3/2 0 0 1 -1 1/2 -1/2 0 0
继续迭代，得单纯形表 4-4
cj
0
0
0
0 P1 P2 P2 P3 0
CB XB b
x1
x2
x3
d1- d1+ d2- d2+ d3- d3+
0 x3 3 0 0 1 0 0 2 -2 -1/2 1/2
0 d1- 2 0
0 0 1 -1 3 -3 -1/2 1/2
0 x2 4 0
1 0 0 0 4/3 -4/3 -1/6 1/6
min{ P1 d1+ , P2 ( d2- + d2+ ) , P3 d3- }
2x1 + x2
≤11
x1 - x2 + d1- - d1+ =0
s.t. x1 + 2x2 + d2- - d2+ =10
8x1 + 10x2 + d3- - d3+ =56
x1,x2,di-,di+ ≥0 i=1,2,3
3
9
销量
3
6
5
6
2) 沃格尔法
B1 3
A1
B2 11
B3 3
5
B4 产量 行罚数
10
2
7 0 0 0 70
1
9
2
8
3 A2
1
4 1 1 1 60
7
4
A3
6
销量
3
6
列 罚 数
2 2 2
5
10
5
3
9 12
5
6
1
3
1
3
1
2
1
2
2
2、解的最优性检验 1) 闭回路法
B1 3
A1 1
1
A2
3
7 A3
B2 11
i1
j1
st ui + vj ≤ cij i=1, …, 3 j=1, …,4
ui , vj无约束
检验数：σij = cij –CBB-1Pij = cij –y*Pij = cij –(u1 … um ,v1 …vn) Pij = cij – (ui+vj)
目标规划模型的一般形式：
Min
K
﹛Pl（∑k =（1
wlk-dk-
+
wlk+dk+
））,l=1,2…,L﹜
n
∑j =a1 ij xj
≤（=，≥） bi
，i =1，2，…，m
S.t.
n
∑ckj xj
+ dk- - dk+ = gk
，
k =1，2，…，K
j =1
xj ≥ 0 , dk- ，dk+ ≥ 0 ,
C
d3-
D
E
d1- F
d2+
AB
x1=24,x2=26 为满意解
d4-
4.1.4 解目标规划的单纯形法
目标规划可以用单纯形法求解。
检验数是各优先因子的线性组合，其正负首先决定于P1 的系数的正负。若为正，此时检验数的正负就决定于P2 的系数的正负，依此类推。
目标规划问题以检验数非负作为最优准则。
1 0 -1/3 1/3 1/3 -1/3 0 0
0 x1 10/3 1 0 0 2/3 - 2/3 1/3 -1/3 0 0
P1 0 0 0 0 1 0 0 0 0
cj-zj
P2 0 0 0 0 0 1 1 0 0
P3 0 0 0 0 0 0 0 1 0
所以得到另一个满意解x1=10/3, x2=10/3，此解相当于图41中点D。G、D两点的凸线性组合都是例4.2的满意解。
= 4 u2
x31+x32+x33+x34= 9 u3
x11
+x21
+x31
= 3 v1
x12
+x22
+x32
= 6 v2
x13
+x23
+x33 = 5 v3
x14
+x24
+x34= 6 v4
xij≥0 , i=1, 2, 3 ; j=1, 2, 3, 4
对偶问题
3
4
max
aiui
bjv j
j =1，2，…，n k =1，2，…，K
6
x2
B
4.1.3 目标规划的图解法
min{ P1 d1+ , P2 ( d2- + d2+ ) , P3 d3- }
2x1 + x2
≤11
x1 - x2 + d1- - d1+ =0
s.t. x1 + 2x2 + d2- - d2+ =10
8x1 + 10x2 + d3- - d3+ =56
x34
=6 ≥0
运输问题含有m×n个变量，m+n个约束方程。其系数矩阵的结构比
较特殊，对应变量xij的系数向量，其分量中除第i个和第m+j个为1以 外，其余的都为零
模型中只有个相互独立的约束方程。因此，运输问题的任一基可行解 都有m+n-1个基变量 。
4.2.3 运输问题的表上作业法
A1 A2 A3 销量
4.2 运输问题
供应地
运价
a1=7 A1
3 11
130
1
总 产
a2=4 A2
9 2
量
8 7
a3=9 A3
4 10 5
需求地
B1 b1=3
B2 b2=6
总
销
B3 b3=5
量
B4 b4=6
当总产量 = 总销量，称为产销平衡问题 当 总产量≠总销量，称为产销不平衡问题
产销平衡的运输问题的数学模型如下
minz= 3x11 +11x12 +3x13 +10x14 +x21 +9x22 +2x23 +8x24 +7x31 +4x32 +10x33 +5x34
第四章 线性规划进一步讨论
4.1 目标规划 4.2 运输问题
4.1 目标规划基本概念
（1）偏差变量 d+：正偏差变量，表示决策值超出目标值的部分 d-：负偏差变量，表示决策值未达到目标值的部分 按定义有：d+ ≥0， d- ≥0 ，d+ • d- = 0
（2）绝对约束和目标约束 绝对约束（硬约束）：必须严格满足的约束条件
B1 3
x11
1
x21
7
x31
3
B2 11
x12
9
x22
4
x32
6
B3 3
x13
2
x23
10
x33
5
B4
产量
10 7
x14
8 4
x24
5 9
x34
6
20
1、给出运输问题的初始基可行解（初始调运方案） 1）最小元素法
B1 3
A1
B2 11
B3 3
4
B4
产量
10
3
7
1
A2 3
9
2
1
8 4
7
4
A3
6
9
5
E
G
d1+
x1,x2,di-,di+ ≥0 i=1,2,3
DC
所以满意域为线段GD
d2+
d3- d2-
x1
0
A
min{ P1d1- , P2d2+ , P3d3- , P4d4- }
x1 + x2 + d1- - d1+ =40
st. x1 + x2 + d2- - d2+ =50 x1 + d3- - d3+ =24 x2 + d4- - d4+ =30 x1,x2,di-,di+ ≥0 i=1,2,3,4
例4.4 试用单纯形法求解例4.2。 解：首先将此目标规划模型化为线性规划标准形式：
min{ P1 d1+ , P2 ( d2- + d2+ ) , P3 d3- }
2x1 + x2 +x3
=11
x1 - x2 + d1- - d1+ =0 s.t. x1 + 2x2 + d2- - d2+ =10
A1 1
1