直线和圆的方程高三数学第七章第四节.

同步检测训练一、选择题1 .方程x2 + y 2= 1(xy<0)的曲线形状是()答案：C解析：方程x2+y2=1表示以原点为圆心，半径为 1的单位圆，而约束条件 xy<0则表明 单位圆上点的横、纵坐标异号，即单位圆位于第二或第四象限的部分•故选 C.2 .已知两定点 A(-2,0), B(1,0)，如果动点P 满足|PA|= 2|PB|,则点P 的轨迹所包围的 图形的面积等于( ) A . n B . 4 nC . 8 nD . 9 n 答案：B解析：设 P(x , y)，由题知有：(x + 2)2 + y 2= 4[(x — 1)2+ y 2]，整理得 x 2- 4x + y 2= 0，配方 得(x — 2)2 + /= 4.可知圆的面积为4 n 故选B.3. 长为3的线段AB 的端点A 、B 分别在x 轴、y 轴上移动，AC = 2CB ，则点C 的轨迹 是() A •线段 B •圆 C •椭圆 D •双曲线 答案：C解析：设 C(x , y), A(a,0), B(0, b)，则 a 2+ b 2 = 9① 又AC = 2CB ，所以(x — a , y) = 2( — x , b — y), j a = 3x 即 3，②b = 3y2代入①式整理可得 1.故选C.44.平面直角坐标系中，已知两点 A(3,1), B(— 1,3),若点C 满足0C = N OA + &0B(0为原点)，其中入，亦R ,且入+ ；2= 1，则点C 的轨迹是()A •直线B .椭圆C .圆D .双曲线 答案：A解析：设 C(x , y),由已知得(x , y)=入(3,1) + N (— 1,3),x = 3 ,，又 入+ N= 1.消去 入,h 得，x + 2y = 5.故选A.y = h + 3 h5. (2008成都质检)F 1、F 2是椭圆的两个焦点，M 是椭圆上任一点，从任一焦点向△ F 1MF 2 顶点M 的外角平分线引垂线，垂足为 P ,贝U P 点的轨迹为( )A •圆C •双曲线 答案：A 解析：B •椭圆 D .抛物线如右图所示，延长 F 2P 到N 使|NP|=|F 2P|,贝y |MF 2|=|MN|..・. |NF i |=2a ，即 |PO|=a.故选 A.6. (2008潍坊模拟)一圆形纸片的圆心为 O ,点Q 是圆内异于 O 的一个定点，点 A 是圆 周上一动点，把纸片折叠使点 A 与点Q 重合，然后抹平纸片，折痕 CD 与OA 交于点P ,当 点A 运动时，点P 的轨迹为( )A •椭圆B •双曲线C .抛物线D .圆 答案：A.解析：•/折痕所在的直线是 AQ 的垂直平分线， ••• |FA|= |PQ|,又 T |PA|+ |OP|= r , ••• |PQ|+ |OP|= r>|OQ|,由椭圆的定义知点 P 的轨迹是椭圆.故选 A.7. (2009郑州市二测)设向量i 、j 为直角坐标系的x 轴、y 轴正方向上的单位向量，若向 量a = (x + 1)i + y j , b = (x — 1)i + y j ，且|a |—|b |= 1，则满足上述条件的点 P(x , y)的轨迹方程是 2 2B.7 —号=1(x > 0) 4 42 2D.^ —育=1(x > 0) 4 4b = (x — 1, y)，又 |a |— |b |= 1，所以 (x + 1)2+ y 2 —选择B.1 28.(2009江西联考)过点P(1,1)作一直线与抛物线 y = ?x 交于A 、B 两点，过A 、B 两点 分别作抛物线 y =扩 的切线，设两切线的交点为M ，则点M 的轨迹方程为( )A . y = x 2B . x 2 + y 2= 1C . x 2— y 2= 1D . x — y — 1 = 0答案：D解析：设过点P(1,1)的直线方程为y = k(x — 1) + 1，代入抛物线方程 y =$2并整理得，x 2 —2kx + 2k — 2 = 0,设 A(X 1, y”，B(x 2,涌,由根与系数的关系得 * + 2k , XD (2= 2k — 2; 又y ' = x ,所以过A 、B 两点的切线斜率分别为 k 1 = x 1, k 2 = x 2,过A 、B 两点的切线方程分 别为y = x 1 (x — x 1) + y 1, y = x 2(x — x 2) + y 2,设 M 的坐标为(x , y),所以点 M 的坐标满足二、填空题9 .已知△ ABC 的顶点B(0,0), C(5,0), AB 边上的中线长|CD|= 3,则顶点A 的轨迹方程 为 . 答案：(x — 10)2 + /= 36(y z 0)解法一：直接法，设A(x , y), y z 0,贝U D(|,》，•••|CD |= j (2- 5)2+y4=3,化简得：(x — 10)2+ y 2= 36,由于A 、B 、C 三点构成三角形，xA 〒- y3 = 1(y > 0) 4 422— C. 1 :=1(y > 0) 4 4答案： B 解析：依题意，向量 ,(x — 1)2+ y 2= 1,整理得 a = (x + 1, y),2 2 x ■-計 1(x >0),4，消去参数k 得x — y — 1 = 0,选择D. ()22X 1 + X 22迪=k — 1所以A不能落在x轴上, 即沪0.解法定义法.如右图所示，设A(x, y), D为AB的中点，过A作AE //CD交x轴于E,••• |CD|=3,••• |AE|=6，贝U E(10,0)••• A到E的距离为常数6,• A的轨迹为以E为圆心，6为半径的圆，即(x-10) +y =36，又A、B、C不共线，故A点纵坐标沪0,故A点轨迹方程为(x-10)2+y2=36(y z 0).10. 平面上有三点A(-2, y), B(0, 2), C(x, y)，若AB丄BC，则动点C的轨迹方程为答案：y2= 8x解析：AB= (2, - 2), BC = (x,》.•••A B丄BC, • A B BC = 0，得2 x—畀=0, 得y2= 8x.11. 已知△ ABC的边AB长为6,点C到A、B两点的距离之比为2 : 1，则点C的轨迹方程为_________ .答案：(x—5)2+ y2= 16(y z 0)解析：以AB所在直线为x轴，线段AB中点为原点，建立平面直角坐标系，则A(-3,0) , B(3,0).设C(x, y),由题意留=2即卫妄匸HZ工Z = 2,化简得3代一30工+ 3y + 27 - 0,即｛才一5严+ y = 护0).三、解答题12.如右图所示，已知点C的坐标是(2,2)，过点C的直线CA与x轴交于点A，过点C且与直线CA 垂直的直线CB与y轴交于点B.设点M是线段AB的中点，求点M的轨迹方程.解法一：(参数法)：设M的坐标为(x, y).若直线CA与x轴垂直，则可得到M的坐标为(1,1).若直线CA 不与x 轴垂直，设直线 CA 的斜率为k ,则直线CB 的斜率为--，故直线CAk 方程为：y = k(x — 2)+ 2, 令y = 0得x = 2 — 2,则A 点坐标为(2 — 2, 0).k k1 2CB 的方程为：y =— ^(x — 2) + 2,令 x = 0，得 y = 2 + -,2 门 2—7+0 彳x= 1 — 1X —2 ' k22+;+0 1 y = ——=1 + - y 2 k消去参数k 得到x + y — 2= 0(X M 1),点 M(1,1)在直线 x + y — 2 = 0 上,综上所述，所求轨迹方程为 x + y — 2= 0.解法二：(直接法)设M(x , y),依题意A 点坐标为(2x,0), B 点坐标为(0,2y).•/ |MA|= |MC|,•- (x — 2x)2 + y 2= (x — 2)2+ (y — 2)2, 化简得x + y — 2 = 0.解法三：(定义法)依题意|MA|= |MC|= |MO|,即：|MC|=|MO|,所以动点 M 是线段OC 的中垂线，故由点斜式方程得到： x + y — 2 = 0.13.如右图所示，线段 AB 与CD 互相垂直平分于点 O , |AB|=2a(a>0), |CD|=2b(b>0)，动点P 满足|FA| • |PB|=|PC| • |PD|.求动点P 的轨迹方程.解：以O 为坐标原点，直线 AB 、CD 分别为x 轴、y 轴建立直角坐标系，7（ .r — + y- V* +（ 51 + h ）' •+（』一*化简得~ y =江；".故动点P 的轨迹青程为j-2- / - a ~ - h ~14.已知两条直线11： 2x — 3y + 2 = 0和I ?: 3x — 2y + 3 = 0,有一动圆(圆心和半径都动) 与11、12都相交，且11、12被圆截得的弦长分别是定值 26和24,求圆心的轨迹方程.解：设动圆的圆心为 M(x , y)，半径为r ，点M 到直线l 1, l 2的距离分别为d 1和d 2.由弦心距、半径、半弦长间的关系得，2则B 点坐标为(0,2 + k)，由中点坐标公式得M 点的坐标为2 r 2— d 1= 26, 2 r2—d 2= 24, 消去r 得动点M 满足的几何关系为d 22— d 2= 25, 2 2即(3x — 2y + 3) — (2x — 3y + 2)=13 13.化简得(x + 1)2— y 2= 65.此即为所求的动圆圆心 M 的轨迹方程.15.已知双曲线x 2 — y 2= 2的右焦点为F ，过点F 的动直线与双曲线相交于 A 、B 两点，点C 的坐标是(1,0).(I )证明：cA CB 为常数；(n )若动点M 满足CM = CA + CB + CO(其中o 为坐标原点)，求点M 的轨迹方程. 解：由条件知F(2,0)，设AX , y”，B(x 2,为.(I )当AB 与x 轴垂直时，可设点A 、B 的坐标分别为(2, ,2)、(2, — .2),此时CA CB =(1 , .2)(1 , — 2) =— 1.当AB 不与x 轴垂直时，设直线 AB 的方程是y = k(x — 2)(k ^ ±1). 代入 x 2— y 2= 2 有(1 — k 2)x 2 + 4k 2x — (4k 2 + 2)= 0.贝y x 1 > x 2是上述方程的两个实根，所以 x 1 + X 2= ?k , x 1x 2 = 4k 2 2.1 1 k 2— 1 k 2— 1 =(—4k 2— 2)+ 4k2 + 1 = — 1. 综上所述，CA CB 为常数—1. (n )解法一：设 M (X , y),则CM =(x—1, y ), c^A =(x 1—1, yj , CB =(x 2—1, y 2), CO =当AB 与x 轴垂直时，X 1 = X 2= 2,求得M(2,0)，也满足上述方程. 所以点M 的轨迹方程是x 2— y 2= 4.解法二：X 1 + X 2= x + 2同解法一得.①+一 4k 2 —当AB 不与x 轴垂直时，由(I )有X 1 + X 2=^J;,② k — 12y 1+y 2=k(x 1+ x 2—4)= k( 4k 一 4) = 2^..③k — 1 k — 1d 2= 169, 即工谯144,于是 CA CB = g — 1)(X 2 — 1) + y 1y 2 =(X 1 — 1)(X 2— 1) + k ?(x 1 — 2)(x 2— 2) =(k 2 + 1)x 1x 2 — (2k 2 + 1)(X 1 + X 2)+ 4k 2+ 1 (k 2+ 1)(4k 2+ 2) = k 2— 1 4k 2(2k 2+ 1) k 2— 1 2 + 4k 2 + 1 (—1,0).由 CM = CA + C B + CO 得:x + 2是AB 的中点坐标为(―^, j x — 1 = X 1 + X 2 — 3 y = y 1+y 22).y2X 1 + X 2= x + 2 ，即＜I y 1+y 2=y即 y 1— y 2= x —2(X 1—x 2).当AB 不与x 轴垂直时，y1—2,X 1 — X 2 x + 2 x — 2—2又因为A 、B 两点在双曲线上，所以泊一 y 2= 2, x ；— y 2= 2,两式相减得(X 1 — X 2)(x 1 + X 2) = (y 1 — y 2)(y 1 + y 2)，即(X 1 — X 2)(x + 2) = (y 1 — y 2)y.将力―y 2=X —2(X 1 — X 2)代入上式，化简得 x 2— y 2= 4.x + 24 X ----------当k z 0时，y z 0，由④、⑤得，泄2 = k ,将其代入 ⑤有y =—=y(x +22)_ 1y 理得 x 2-y 2 = 4.当k = 0时，点M 的坐标为(一2,0)，满足上述方程.当AB 与x 轴垂直时，x 1 = x 2= 2,求得M(2,0)，也满足上述方程. 故点M 的轨迹方程是x 2-y 2 = 4.由①、②、③得x + 2 =4k 24y(x + 2)2 2(x + 2)— y。