吉林省东北师范大学附属中学高中数学1.1.7柱、锥、台和球的体积学案(无答案)新人教A版必修2
高中数学 1.7.1柱体、锥体、台体的表面积与体积教案 北师大必修2
1.7.1柱体、锥体、台体的表面积与体积一、教学目标1、知识与技能：（1）通过对柱、锥、台体的研究，掌握柱、锥、台的表面积和体积的求法。
（2）能运用公式求解，柱体、锥体和台全的全积，并且熟悉台体与术体和锥体之间的转换关系。
（3）培养学生空间想象能力和思维能力。
2、过程与方法：（1）让学生经历几何全的侧面展一过程，感知几何体的形状。
（2）让学生通对照比较，理顺柱体、锥体、台体三间的面积和体积的关系。
3、情感与价值：通过学习，使学生感受到几何体面积和体积的求解过程，对自己空间思维能力影响。
从而增强学习的积极性。
二、教学重点、难点重点：柱体、锥体、台体的表面积和体积计算。
难点：台体体积公式的推导三、学法与教法1、学法：通过阅读教材，自主学习、思考、交流、讨论和概括，通过剖析实物几何体感受几何体的特征，从而更好地完成本节课的教学目标。
2、教法：探究讨论法。
四、教学过程（一）、创设情境1、教师提出问题：在过去的学习中，我们已经接触过一些几何体的面积和体积的求法及公式，哪些几何体可以求出表面积和体积？引导学生回忆，互相交流，教师归类。
2、教师设疑：几何体的表面积等于它的展开圈的面积，那么，柱体，锥体，台体的侧面展开图是怎样的？你能否计算？引入本节内容。
（二）、探究新知1、利用多媒体设备向学生投放正棱柱、正三棱锥和正三棱台的侧面展开图2、组织学生分组讨论：这三个图形的表面由哪些平面图形构成？表面积如何求？3、教师对学生讨论归纳的结果进行点评。
（三）、质疑答辩、排难解惑、发展思维1、教师引导学生探究圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图的结构，并归纳出其表面积的计算公式:)''22rl l r r r S +++=（圆台表面积πr 1为上底半径 r 为下底半径 l 为母线长2、组织学生思考圆台的表面积公式与圆柱及圆锥表面积公式之间的变化关系。
3、教师引导学生探究：如何把一个三棱柱分割成三个等体积的棱锥？由此加深学生对等底、等高的锥体与柱体体积之间的关系的了解。
高中数学第一章立体几何初步1.1.7柱、锥、台和球的体积教案新人教B新人教B高一数学教案
1.1.7 柱锥台和球的体积【教学目标】知识与技能:理解祖暅原理，能使用祖暅原理和长方体体积公式推导出柱体、锥体、台体和球的体积公式，并可以使用体积公式求几何体的体积过程与方法:学生通过实例理解祖暅原理，借助长方体体积公式和祖暅原理推出柱的体积公式，学生通过小组探究、合作交流得到锥体的体积公式，运用化未知为已知的方法，接触到了立体几何中“割”“补”的思想方法.情感态度价值观:通过知识的发现过程，形成科学的研究价值观，收获研究成功的喜悦. 【重点】理解祖暅原理，能用祖暅原理推出柱、锥和球的体积公式【难点】用祖暅原理推出柱、锥和球的体积公式【教学过程】一. 知识回顾长方体的体积公式V abc Sh==圆柱的体积公式V Sh=圆锥的体积公式13V Sh =二. 新授课现在有1套3副扑克牌，整体摆放如图⑴，若有另1套3副扑克牌，经过变换，如图⑵，提问◇1:摆放图⑴的三幅扑克牌，你有办法求出体积吗？预设◇1:长方体，体积公式V abc=；提问◇2:摆放图⑵的三幅扑克牌，体积是多少呢？预设◇2:与摆放图⑴的三幅扑克牌的体积相同；提问◇3:对于图⑵的三幅扑克牌，你是怎么样得到体积的呢？预设◇3:两副扑克大小一样，每张牌都一样，张数一样，故体积相同.1.祖暅原理:幂势既同，则积不容异.原理说明:○1“幂”——截面面积（所有的截面）；②“势”——几何体的高；③等底面积、等高的柱体体积相同；④等底面积、等高的锥体体积相同；2.柱体体积公式V Sh=提问◇1:棱柱是如何产生的？预设◇1:看成一个多边形（包括图形围成的平面部分）上各点都沿着同一个方向移动相同的距离所形成的几何体.提问◇2:圆柱是如何产生的？预设◇2:a.矩形绕一边旋转得到的，追问:圆柱能否看成某平面图形移动相同的距离所形成；b. 圆柱可以看成一个圆（包括圆的内部）上各点都沿着同一个方向移动相同的距离所形成的几何体.提问◇3:现在有一个长方体、一个圆柱、一个棱锥，等底面积、等高，它们的体积有什么关系？请说明理由.预设◇3:体积相同.等底面积，说明用水平面截得的①截面面积相等，等高说明几何体②高相等，由祖暅原理，得“积不容异”.提问◇4:这些柱体体积怎么计算？预设◇4:柱体体积公式V Sh=.小结:通过祖暅原理和长方体体积公式，圆柱的体积公式V Sh=是完全正确的.学生活动：自由举手发言，说清楚想法和过程.设计意图:柱体体积公式的得到，只需要简单的使用祖暅原理即可，让学生在问题中不断认识到祖暅原理的使用方法.3.锥体体积公式13V Sh =提问◇1:对于学习过的锥体是你知道哪种锥体的体积公式？你是怎么得到的.预设◇1:圆锥13V Sh=，通过取等底面积，等高的圆柱和圆锥倒水试验的方法得到.提问◇2:等底面积，等高的圆锥和棱锥之间体积会怎么样呢？我们取最特殊的棱锥，正三棱锥.你有办法证明吗？预设◇2:学生自主思考，小组讨论后，表述讨论结果. 小结1.:等底面积、等高的锥体体积相同.提问◇3:等底面积、等高的柱体之间体积相同和锥体之间体积相同，对于柱体和锥体之间的体积关系我们还没有证明，你能用今天学习的知识证明：三棱锥的体积是等底面积、等高的三棱柱体积的关系吗？13V V =锥柱.学生活动：小组讨论，汇报讨论结果.预设◇3:将三棱柱切割成三个三棱锥，如图，现只需要说明三个三棱锥体积相同即可. ⑴ ''B'C'A ABC B A V V --=,等底面积，等高的锥体积相等； ⑵ ''''B'C'A B BC B A V V --=,等底面积，等高的锥体积相等； ⑶ 13V V =锥柱.小结2: 1133V V Sh ==锥柱设计意图:让学生体会割补的思想方法，能够使用祖暅原理解释数学问题.学生进一步体会祖暅原理的使用.可能出现换底的三棱锥体积问题，可以做适当的铺垫. 三. 课堂探究 4.球体体积公式343V R π=问题探究、如图，将半径为R 的半球和底面半径为R 、高为R 的圆柱放在同一水平面上，现在圆柱中挖去一个底面半径为R 、高为R 圆锥.若用任意一个平行于水平面的平面去截这两个几何体，通过计算比较两个截面面积的大小关系.你能从中发现什么数学结论？学生活动：学生自主解决问题，投影解决问题过程.预设：两个截面面积的大小相等，两个几何体的体积相等.球的体积公式343V R π=球. 小结: 343V R π=球. 设计意图:通过计算得到数学结论，让学生体会发现结论的过程. 四. 课堂练习例题、如图所示，在长方体ABCD-A'B'C'D'中，用截面截下一个棱锥C-A'DD'，求棱锥C-A'DD'的体积与剩余C'A部分的体积之比.设计意图:割补长方体得到体积关系或者计算得到关系都可以，可以让学生体会割补的思想方法和计算的功能.巩固练习1、已知长方体形的铜块长、宽、高分别为2、4、8，将它铸成一个球形的铜块（不计损耗），求铸成的球形铜块的半径；2、某工厂将一块正方体铜块铸成了三个半径为1的球，求原正方体的棱长.设计意图:巩固练习，熟悉数学公式.五. 课外探究已知台体的上下底面面积分别为S’、S，台体的高为h，你可以借助今天学到的知识和方法推出台体的体积吗？设计意图:学生自主解决问题，体会补形的思想，熟悉锥体的体积公式.六. 课后作业学案卷课后作业【板书设计】。
高中数学 1.1.7《柱、锥、台和球的体积》教案 新人教B版必修2
1.1.7柱、锥、台和球的体积一、教学目标1、理解祖暅原理的内容；2、了解柱、锥、台体的体积公式的推导；3、掌握柱、锥、台体和球的体积公式。
4、能运用公式求柱体，锥体，台体和球的体积重点：体积计算及公式的推导方法难点：祖暅原理的理解及体积公式的应用二、知识梳理对祖暅原理的理解：关键词：夹在，两个平行平面，任意平面所截，截面的面积总相等1、柱体的体积一般柱体的体积公式V =，其中S为底面面积，h为棱柱的高。
棱柱〔圆柱〕的高是指两底面之间的距离，即从一底面上任意一点向另一个底面作垂线，这点与垂足〔垂线与底面的交点〕之间的距离。
2、锥体的体积圆锥的体积公式是V=〔S为底面面积，h为高〕，它是同底等高的圆柱的体积的13。
棱锥的体积也是同底等高的棱柱体积的13，即棱锥的体积V=〔S为底面面积，h为高〕。
棱锥与圆锥的体积公式类似，都是棱锥〔圆锥〕的高是指从顶点向底面作垂线，顶点与垂足〔垂线与底面的交点〕之间的距离。
3、台体的体积由于圆台〔棱台〕是由圆锥〔棱锥〕截成的，因此可以利用两个锥体的体积差，得到园台〔棱台〕的体积公式：V=，其中S'，S分别为上、下底面面积，h为圆台〔棱台〕的高。
圆台〔棱台〕的高是指两个底面之间的距离。
4、球的体积：设球的半径为R，那么它的体积为V=球，是以R为自变量的函数。
三、[例题解析]阅读课本例1与例2完成课后练习A第1，2，3题补充例题2、直棱柱底面是菱形，面积为S，过两不相邻侧棱的截面面积分别为m，n，求直棱柱的体积2、假设干毫升水倒入底面半径为2的圆柱形器皿中，量得水面的高度为6，假设将这些水倒入轴截面是正三角形的倒圆锥形器皿中，那么水面的高度为3、过球面上三点A、B、C的截面到球心的距离等于球半径的一半、且AC＝BC＝AB＝6，求球的体积。
[限时训练]1、正方体的全面积是S,那么它的体积是( )()A()B()C()D2、假设圆柱和圆锥的底面直径,高都与球的直径相等,那么圆锥,球,圆柱的体积比是( )()A4:2:3()B1:2:3 ()C2:1:3 ()D8:32:243、台体中一个平行于底面的截面把台体分成上下两部分，假设台体的上底面面积，截面面积，下底面面积之比为1：4：9，那么截面把台体分成上下两部分的体积的比值为〔〕()A 827()B719()C513()D354、如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积为S，那么圆柱的体积等于〔〕〔A〔B〔C〔D5、圆柱的侧面展开图是边长为2和4的矩形，那么圆柱的体积是;6、三棱锥的三条侧棱两两垂直，三个侧面的面积分别为6，4，3，那么三棱锥的体积为;7、一个钢球的直径是5，那么它的体积是；假设球半径变为原来的2倍，体积变为原来的倍;8、棱长均相等的正四棱锥的全面积为)2361cm +，那么它的体积为； 9、一个正三棱台的上，下底面边长分别为3cm 和6cm ，高是32cm ，求三棱台的〔1〕侧棱长；〔2〕斜高；〔3〕体积.10、棱台的两个底面面积分别是245cm 2和80cm 2，截得这个棱台的棱锥的高为35cm ，求这个棱台的体积[课后作业]习题1-1A 第7，8，9题。
学案5：1.1.7 柱、锥、台和球的体积
1.1.7柱、锥、台和球的体积【学习目标】1．了解柱、锥、台和球的体积计算公式，并学会运用这些公式解决一些简单问题．2．结合祖暅原理等内容的学习，了解我国古代数学家在数学发展上做出的杰出贡献，培养爱国主义思想，逐步培养热爱科学的态度．【学习重点】了解柱、锥、台和球的体积计算公式，并灵活应用【课前预习】1．长方体的体积：长方体的长、宽和高分别为a、b、c，长方体的体积V长方体＝________.2．棱柱和圆柱的体积：(1)柱体(棱柱、圆柱)的体积等于它的底面积S和高h的积，即V柱体＝_______.(2)底面半径是r，高是h的圆柱体的体积计算公式是V圆柱＝.3．棱锥和圆锥的体积：(1)如果一个锥体(棱锥、圆锥)的底面积为S，高是h，那么它的体积V锥体＝.(2)如果圆锥的底面半径是r，高是h，则它的体积是V圆锥＝.4．棱台和圆台的体积：(1)如果台体的上、下底面面积分别为S′、S，高是h，则它的体积是V台体＝.(2)如果圆台的上、下底面半径分别是r′、r，高是h，则它的体积是V圆台＝. 5．球的体积：如果球的半径为R，那么球的体积V球＝.6．祖暅原理：幂势既同，则积不容异．这就是说，夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．应用祖暅原理可说明：___________、________的两个柱体或锥体的体积相等．【例题解析】例1.将长为a，宽为b(a>b)的长方形以a为轴旋转一周，所得柱体的体积为V1，以b为轴旋转一周，所得柱体的体积为V2，则有()A．V1>V2B．V1<V2C．V1＝V2D．V1与V2的大小关系不确定[思路探索]对于平面图形沿某条不同直线旋转成几何体，然后比较各几何体体积的大小关系问题，首先找出对应关系，然后再计算出体积，最后比较大小．变式1 如图，某几何体的主视图是平行四边形，左视图和俯视图都是矩形，则该几何体的体积为()A．6 3 B．9 3 C．12 3 D．183例2已知正四棱锥P－ABCD的底面边长为6，侧棱长为5，求四棱锥P－ABCD的体积和侧面积．[思路探索]求出写斜高与高变式2 某三棱锥的侧视图、俯视图如图所示，则该三棱锥的体积是()A．3 B．2 C. 3 D．1[思路探索]本题考查了三视图及体积计算公式等．由三视图找出垂直关系是关键．例3在球面上有四个点P、A、B、C，如果P A、PB、PC两两垂直且P A＝PB＝PC＝a，求这个球的体积．[思路探索] ∵P A 、PB 、PC 两两垂直，且P A ＝PB ＝PC ＝a ，∴以P A 、PB 、PC 为相邻的三条棱可以构造正方体．变式3 体积为8的一个正方体，其全面积与球O 的表面积相等，则球O 的体积等于______.【课堂总结】1．理解柱、锥、台和球的体积公式2．灵活应用体积公式【课堂作业】1．圆台上、下底面面积分别是π，4π，侧面积是6π，这个圆台的体积是( ) A.233π B ．23π C.736π D.733π 2．圆柱的侧面展开图是长12 cm ，宽8 cm 的矩形，则这个圆柱的体积为( ) A.288π cm 3B.192π cm 3C.288π cm 3或192πcm 3 D ．192π cm 3 3．如图，某几何体的主视图与左视图都是边长为1的正方形，且体积为12，则该几何体的俯视图可以是( )4．一个水平放置的圆柱形储油桶，桶内有油部分所在圆弧占底面圆周长的14，则油桶直立时，油的高度与桶的高度的比值是( )A.14B.14－12πC.18D.12π－185．一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．2π＋2 3B ．4π＋23C ．2π＋233D ．4π＋2336．圆台的上、下底面半径和高的比为1∶4∶4，母线长为10，则圆台的体积为 ．参考答案【课前预习】1．abc2．(1)Sh(2)πr 2h3．(1)13Sh (2)13πr 2h 4．(1)13h (S ＋SS ′＋S ′) (2)13πh (r 2＋rr ′＋r ′2) 5．43πR 3 6．等底面积等高【例题解析】例1 【解析】以a 为旋转轴时，所得几何体的体积V 1＝ab 2π，以b 为旋转轴时，所得几何体的体积V 2＝a 2b π.∴V 1－V 2＝ab π(b －a )，∵a >b ，∴V 1－V 2<0，∴V 1<V 2，故选B.【答案】B变式1【解析】由三视图知，该几何体为平行六面体，由图知高h ＝22－12＝ 3.底面积：S ＝3×3＝9，所以其体积V ＝9 3.【答案】B例2解：连接AC 、BD ，AC 与BD 的交点为O ，取BC 的中点E ，连接OE 、PE 、PO ， 则PO 为正四棱锥P －ABCD 的高，PE 为斜高．由已知得OE ＝3，OA ＝32，∴PO ＝P A 2－OA 2＝25－18＝7，PE ＝PO 2＋OE 2＝7＋9＝4.∴四棱锥P －ABCD 的体积V ＝13×12×6×6×7＝67. 四棱锥P －ABCD 的侧面积S ＝12×6×4×4＝48. 变式2【解析】由三视图可知，该几何体的体积V ＝13Sh ＝13×3×3＝1. 【答案】D例3解：∵P 、A 、B 、C 四点是球面上的四个点，∴球是正方体的外接球，正方体的对角线是球的直径，∴2R ＝3a ，∴R ＝32a ， ∴V ＝43πR 3＝43π⎝⎛⎭⎫32a 3＝32πa 3. 变式3【解析】设正方体棱长为a ，球半径为r .∵a 3＝8，∴a ＝2，又∵4πr 2＝6a 2，∴r ＝6π. ∴V 球＝43π⎝⎛⎭⎫6π3＝86ππ. 【答案】 86ππ【课堂作业】1． 【答案】D【解析】上底半径r ＝1，下底半径R ＝2，因为S 侧＝6π，设母线为l ，则π(1＋2)·l ＝6π.∴l ＝2.所以高h ＝l 2－（R －r ）2＝ 3. ∴V ＝13π·3×(1＋1×2＋2×2)＝733π. 2． 【答案】C【解析】若底面圆周长为12，则2πr ＝12，所以r ＝6π， 所以V ＝π·⎝⎛⎭⎫6π2·8＝288π(cm 3)．若底面圆周长为8，则2πr ＝8，所以r ＝4π， 所以V ＝π·⎝⎛⎭⎫4π2·12＝192π(cm 3)． 3． 【答案】C【解析】当俯视图为A 中正方形时，几何体为边长为1的正方体，体积为1；当俯视图为B中圆时，几何体为底面半径为12，高为1的圆柱，体积为π4；当俯视图为C 中三角形时，几何体为三棱柱，且底面为直角边长为1的等腰直角三角形，高为1，体积为12；当俯视图为D 中扇形时，几何体为圆柱的14，且体积为π4. 4． 【答案】B【解析】设圆柱桶的底面半径为R ，高为h ，油桶直立时油面的高度为x ，则⎝⎛⎭⎫14πR 2－12R 2h ＝πR 2x ，所以x h ＝14－12π. 5． 【答案】C【解析】该空间几何体为一圆柱和一四棱锥组成，圆柱的底面半径为1，高为2，体积为2π，四棱锥的底面边长为2，高为3，所以体积为13×(2)2×3＝233，所以该几何体的体积为2π＋233. 6．【答案】224π【解析】如图为圆台的轴截面，设圆台上、下底半径及圆台的高分别为x ,4x ,4x ，则在三角形ABC 中，AC ＝4x ，BC ＝4x －x ＝3x ，AB ＝10，由于AB 2＝AC 2＋BC 2，∴16x 2＋9x 2＝25x 2＝100，∴x ＝2，从而可知圆台的上、下底面半径及高分别为2,8,8.∴圆台的体积V ＝13(S ′＋S ′S ＋S )h ＝13(π×22＋π×22×π×82＋π×82)×8＝224π.。
吉林省东北师范大学附属中学2015春高中数学 1.1.3.2圆柱、圆锥、圆台和球学案 文 新人教A版
吉林省东北师范大学附属中学2015春高中数学 1.1.3.2圆柱、圆锥、圆台和球学案 文 新人教A 版必修2一、复习：圆柱、圆锥、圆台的概念及轴截面，平行于底面的截面性质二、自主学习：1。
球：球面：球面可以看作一个半圆围绕着它的 _________所在的直线旋转______所形成的曲面。
球：（1）球面围成的几何体叫做球。
形成球的半圆的圆心叫_________ ;连接球面上一点和球心的线段叫 ；连接球面上两点且_______________ 叫做球的直径。
（2）球也可以看作：空间中到一个定点的距离 的点的集合。
球的表示：用表示它的 的字母来表示。
2。
大圆：球面被经过 的平面截得的圆叫做球的大圆;小圆：球面被不经过 的平面截得的圆叫做球的小圆 。
3。
球面距离：在球面上，两点之间的最短距离，就是经过两点的 圆在这两点间的一段 ___弧的长度，我们把这个弧长叫两点间的_______________。
4。
球的截面性质：用一个平面去截球，截面是________,球面的截面有如下性质：(1)球心和截面圆心的连线__________截面;(2)球心到截面圆的距离d 与球的半径R 及截面圆半径r 有下列关系:________________5。
组合体：三、典型例题：自学14P例2 补充例3。
已知半径为5的球的两个平行截面圆的周长分别为π6和π8，则这两个截面间的距离为多少。
例4。
已知地球的半径为R ，在北纬︒60圈上有A 、B 两点它们的经度差为︒180，则A 、B 两点的球面距离为多少？例5圆台半径为1r ，下底半径为2r ，球内切于圆台上下底面及侧面，求球的半径。
四、学生练习：16P 练习A 、B补充：1。
过球面上两点可能做出球的大圆有( )个。
A.1B. 2C.0D.1个或无数2.已知球的两个平行截面的面积分别是π5和π8,它们位于球心的同一侧,且相距为1,那么这个球的半径为( )A. 4B. 3C. 2D. 53.设地球半径为R ，在北纬︒60圈上有甲、乙两地，它们的经度差为︒60，则这两地的纬度线长为（ ） A. R 6πB.R π63C.R3π D.R π334。
高中数学 第一章 解三角形 1.1.7 柱、锥、台和球的体积导学案(无答案)新人教A版必修5
——————————新学期新成绩新目标新方向——————————1.1.7 柱、锥、台和球的体积【基本知识】柱、锥、台、球的体积其中'S，S分别表示上、下底面的面积，h表示高，'r和r分别表示上、下底面的半径，【归纳·升华·领悟】柱体、锥体、台体的体积之间的关系.【典型例题】考点一柱体的体积例1.一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为.考点二 锥体的体积例2.某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的体积为.考点三 台体的体积例3.若正四棱台的上、下两底的底面边长分别为2cm 和4cm ，侧棱长为2cm ，求该棱台的体积.考点四 球的体积例 4.在球面上有四个点P 、A 、B 、C ，如果PA 、PB 、PC 两两垂直，且PA PB PC a===，求这个球的体积. 【习题跟踪】1.若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）A.13B.23C.1D.22.一张长为10cm ，宽为5cm 的纸，以它为侧面卷成一个圆柱，求该圆柱的体积.3.已知某三棱锥的三视图（单位：cm ）如图所示，则该三棱锥的体积等于cm 3.4.如图，梯形ABCD 中，AD BC ∥，90ABC ∠=︒，AD a =，2BC a =，60DCB ∠=︒，在平面ABCD 内过点C 作l CB ⊥，以l 为轴旋转一周.求旋转体的体积.5.某某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则此几何体的体积是（ ）A.3523cm 3B.33203cm C.2243cm 3D.1603cm 36.圆台上、下底面积分别为π、4π，侧面积为6π，求这个圆台的体积.7.某几何体的三视图如图所示，它的体积为（ ）A.72πB.48πC.30πD.24π8.已知一个正方体的所有顶点在一个球表面上.若球的体积为92π，则正方体的棱长为.【方法·规律·小结】1.计算柱体、锥体和台体的体积时，关键是根据条件找出相应的底面面积和高，要充分运用多面体的有关截面及旋转体的轴截图，将空间问题转化为平面问题.旋转体的轴截面是用过旋转轴的平面去截旋转体而得到的截面.例如，圆柱的轴截面是矩形，圆锥的轴截面是三角形，圆台的轴截面是梯形，球的轴截面是过球心的平面截球所得到的圆面.2.在求不规则的几何体的体积时，可利用分割几何体或补全几何体的方法转化为柱、锥、台、球的体积计算问题.。
2018版高中数学 第一章 立体几何初步 1.1.7 柱、锥、台和球的体积学案(含解析)新人教B版必
1.1.7 柱、锥、台和球的体积1.了解柱、锥、台和球的体积计算公式.(重点)2.能够运用柱、锥、台、球的体积公式求简单几何体的体积.(重点)3.台体的体积及简单几何体的体积计算.(难点)[基础·初探]教材整理1 祖暅原理阅读教材P 28～P 29“中间”以上内容，完成下列问题.1.“幂势既同，则积不容异”，即“夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等”.2.作用：等底面积、等高的两个柱体或锥体的体积相等.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平面的某个平面所截，如果截得的两个截面面积相等，则这两个几何体的体积相等.( )(2)锥体的体积只与底面积和高度有关，与其具体形状无关.( ) (3)由V 锥体＝13S ·h ，可知三棱锥的任何一个面都可以作为底面.( )【答案】 (1)× (2)√ (3)√教材整理2 柱体、锥体、台体和球的体积公式 阅读教材P 29～P 31“第2行”以上内容，完成下列问题.其中S ′、S 分别表示上、下底面的面积，h 表示高，r ′和r 分别表示上、下底面圆的半径，R 表示球的半径.圆锥的母线长为5，底面半径为3，则其体积为( ) A.15π B.30 C.12πD.36π【解析】 圆锥的高h ＝52－32＝4，故V ＝13π×32×4＝12π.【答案】 C[小组合作型]某几何体的三视图(单位：cm)如图11100所示，则该几何体的体积是( )图11100A.72 cm 3B.90 cm3C.108 cm 3D.138 cm 3【精彩点拨】 三视图――→还原几何体――――――→是否分割计算体积【自主解答】 该几何体为一个组合体，左侧为三棱柱，右侧为长方体，如图所示.V ＝V 三棱柱＋V 长方体＝12×4×3×3＋4×3×6＝18＋72＝90(cm 3).【答案】 B1.解答此类问题的关键是先由三视图还原作出直观图，然后根据三视图中的数据在直观图中求出计算体积所需要的数据.2.若由三视图还原的几何体的直观图由几部分组成，求几何体的体积时，依据需要先将几何体分割分别求解，最后求和.[再练一题]1.一个几何体的三视图如图11101所示，该几何体的体积是( )图11101A.16＋4 2B.12＋4 2C.8D.4【解析】 由三视图可知，该几何体是一个平放的直三棱柱，棱柱的底面为等腰直角三角形，棱柱的高为2，所以该几何体的体积为12×2×2×2＝4，选D.【答案】 D如图11111A 1ABC ，三棱锥B A 1B 1C ，三棱锥C －A 1B 1C 1的体积之比.图11102【精彩点拨】 AB ∶A 1B 1＝1∶2―→S △ABC ∶S △A 1B 1C 1―→计算V A 1－ABC ―→计算V C －A 1B 1C 1―→计算V B －A 1B 1C【自主解答】 设棱台的高为h ，S △ABC ＝S ，则S △A 1B 1C 1＝4S .∴V A 1－ABC ＝13S △ABC ·h ＝13Sh ，V C －A 1B 1C 1＝13S △A 1B 1C 1·h ＝43Sh .又V 台＝13h (S ＋4S ＋2S )＝73Sh ，∴V B －A 1B 1C ＝V 台－V A 1－ABC －V C －A 1B 1C 1＝73Sh －Sh 3－4Sh 3＝23Sh ， ∴体积比为1∶2∶4.三棱柱、三棱台可以分割成三个三棱锥，分割后可求锥体的体积和柱体或台体的体积关系，割补法在立体几何中是一种重要的方法.[再练一题]2.在棱长为1的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体，则截去8个三棱锥后，剩下的凸多面体的体积是( )【导学号：45722032】A.23B.76C.45D.56【解析】 如图，去掉的一个棱锥的体积是13×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×12×12×12＝148，剩余几何体的体积是1－8×148＝56. 【答案】 D780 cm 2.求正四棱台的体积.【精彩点拨】 可以尝试借助四棱台内的直角梯形.求出棱台底面积和高，从而求出体积.【自主解答】 如图所示，正四棱台ABCD －A 1B 1C 1D 1中，A 1B 1＝10 cm ，AB ＝20 cm.取A 1B 1的中点E 1，AB 的中点E ，则E 1E 是侧面ABB 1A 1的高.设O 1、O 分别是上、下底面的中心，则四边形EOO 1E 1是直角梯形.由S 侧＝4×12(10＋20)·E 1E ＝780，得EE 1＝13，在直角梯形EOO 1E 1中，O 1E 1＝12A 1B 1＝5，OE ＝12AB ＝10，∴O 1O ＝E 1E 2－OE －O 1E 12＝12，V 正四棱台＝13×12×(102＋202＋10×20)＝2 800 (cm 3).故正四棱台的体积为2 800 cm 3.求台体的体积关键是求出上、下底面的面积和台体的高.要注意充分运用棱台内的直角梯形或圆台的轴截面寻求相关量之间的关系.[再练一题]3.本例若改为“正四棱台的上、下两底的底面边长分别为2 cm 和4 cm ，侧棱长为2 cm ，求该棱台的体积.”【解】 如图，正四棱台ABCD A 1B 1C 1D 1中，上、下底面边长分别为2 cm 和4 cm ，则O 1B 1＝ 2 cm ，OB ＝2 2 cm ，过点B 1作B 1M ⊥OB 于点M ，那么B 1M 为正四棱台的高，在Rt△BMB 1中，BB 1＝2 cm ，MB ＝(22－2)＝ 2 (cm).根据勾股定理MB 1＝BB 21－MB 2＝22－22＝2(cm).S 上＝22＝4 (cm 2)， S 下＝42＝16(cm 2)，∴V 正四棱台＝13×2×(4＋4×16＋16)＝13×2×28＝2832 (cm 3).且AB ＝BC＝CA ＝3 cm ，求球的体积和表面积.【精彩点拨】 解决本题要充分利用已知条件，尤其是球半径，截面圆半径和球心距构成的直角三角形.【自主解答】 如图，设过A ，B ，C 三点的截面为圆O ′，连接OO ′、AO 、AO ′.∵AB ＝BC ＝CA ＝3 cm ， ∴O ′为正三角形ABC 的中心， ∴AO ′＝33AB ＝ 3 (cm). 设OA ＝R ，则OO ′＝12R ，∵OO ′⊥截面ABC ， ∴OO ′⊥AO ′，∴AO ′＝32R ＝ 3 (cm)，∴R ＝2 cm ， ∴V 球＝43πR 3＝323π(cm 3)，S 球＝4πR 2＝16π(cm 2).即球的体积为323π cm 3，表面积为16π cm 2.球的基本性质是解决与球有关的问题的依据，球半径、截面圆半径和球心到截面的距离所构成的直角三角形是把空间问题转化为平面问题的主要方法.[再练一题]4.如果三个球的半径之比是1∶2∶3，那么最大球的体积是其余两个球的体积之和的( )A.1倍B.2倍C.3倍D.4倍【解析】 半径大的球的体积也大，设三个球的半径分别为x,2x,3x ，则最大球的半径为3x ，其体积为43π×(3x )3，其余两个球的体积之和为43πx 3＋43π×(2x )3，∴43π×(3x )3÷⎣⎢⎡⎦⎥⎤43πx 3＋43πx3＝3.【答案】 C[探究共研型]探究1 121V 2.若它们的侧面积相等，且S 1S 2＝94，求V 1V 2的值.【提示】 设两个圆柱的底面半径和高分别为r 1，r 2和h 1，h 2，由S 1S 2＝94，得πr 21πr 22＝94，则r 1r 2＝32.由圆柱的侧面积相等，得2πr 1h 1＝2πr 2h 2，即r 1h 1＝r 2h 2，则h 1h 2＝23，所以V 1V 2＝πr 21h 1πr 22h 2＝32. 探究2 把长和宽分别为6和3的矩形卷成一个圆柱的侧面，求这个圆柱的体积. 【提示】 设圆柱的底面半径为r ，母线长为l ， 当2πr ＝6时，r ＝3π，l ＝3，所以V 圆柱＝πr 2·l ＝π·⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2·3＝27π.当2πr ＝3时，r ＝32π，l ＝6，所以V 圆柱＝πr 2·l ＝π·⎝⎛⎭⎪⎫32π2·6＝272π.所以这个圆柱的体积为27π或272π.如图11103所示，在长方体ABCD A ′B ′C ′D ′中，用截面截下一个棱锥C A ′DD ′，求棱锥C A ′DD ′的体积与剩余部分的体积之比.【导学号：45722033】图11103【精彩点拨】 先求出棱锥的体积，再求得剩余部分的体积，最后求得体积之比. 【自主解答】 法一 设AB ＝a ，AD ＝b ，DD ′＝c ， 则长方体ABCD A ′B ′C ′D ′的体积V ＝abc ， 又S △A ′DD ′＝12bc ，且三棱锥C A ′DD ′的高为CD ＝a . ∴V 三棱锥C A ′DD ′＝13S △A ′D ′D ·CD ＝16abc .则剩余部分的几何体体积V 剩＝abc －16abc ＝56abc .故V 棱锥C A ′DD ′∶V 剩＝16abc ∶56abc ＝1∶5.法二 已知长方体可以看成侧棱垂直于底面的四棱柱ADD ′A ′BCC ′B ′，设它的底面ADD ′A ′面积为S ，高为h ，则它的体积为V ＝Sh .而棱锥C A ′DD ′的底面面积为12S ，高为h ，因此棱锥C A ′DD ′的体积V C A ′DD ′＝13×12Sh ＝16Sh .剩余部分的体积是Sh －16Sh ＝56Sh .所以棱锥C A ′DD ′的体积与剩余部分的体积之比为16Sh ∶56Sh ＝1∶5.1.常见的求几何体体积的方法 (1)公式法：直接代入公式求解.(2)等积法：如四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面积和高都易求的形式即可.(3)分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积. 2.求几何体体积时需注意的问题柱、锥、台体的体积的计算，一般要找出相应的底面和高，要充分利用截面、轴截面，求出所需要的量，最后代入公式计算.[再练一题]5.如图11104所示，正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，过顶点B ，D ，A 1截下一个三棱锥.图11104(1)求剩余部分的体积； (2)求三棱锥A A 1BD 的高.【解】 (1)V 三棱锥A 1ABD ＝13S △ABD ·A 1A＝13×12·AB ·AD ·A 1A ＝16a 3. 故剩余部分的体积V ＝V 正方体－V 三棱锥A 1ABD＝a 3－16a 3＝56a 3.(2)由(1)知V 三棱锥A A 1BD ＝V 三棱锥A 1ABD ＝16a 3，设三棱锥A A 1BD 的高为h ， 则V 三棱锥A A 1BD ＝13·S △A 1BD ·h＝13×12×32(2a )2h ＝36a 2h ，故36a 2h ＝16a 3，解得h ＝33a .1.如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是4π，那么圆柱的体积等于( ) A.π B.2π C.4πD.8π【解析】 设轴截面正方形的边长为a ， 由题意知S 侧＝πa ·a ＝πa 2. 又∵S 侧＝4π，∴a ＝2. ∴V 圆柱＝π×2＝2π. 【答案】 B2.如图11105，某几何体的主视图与左视图都是边长为1的正方形，且体积为12，则该几何体的俯视图可以是( )图11105【解析】 由三视图的概念可知，此几何体高为1，其体积V ＝Sh ＝S ＝12，即底面积S＝12，结合选项可知，俯视图为三角形. 【答案】 C3.已知圆锥SO 的高为4，体积为4π，则底面半径r ＝________. 【解析】 由已知得4π＝13πr 2×4，解得r ＝ 3.【答案】34.一个几何体的三视图如图11106所示(单位：m)，则该几何体的体积为________m 3.11图11106【解析】 此几何体是由一个长为3，宽为2，高为1的长方体与底面直径为2，高为3的圆锥组合而成的，故V ＝V 长方体＋V 圆锥＝3×2×1＋13π×12×3＝(6＋π)m 3. 【答案】 6＋π5.一个正三棱锥底面边长为6，侧棱长为15，求这个三棱锥体积.【解析】 如图所示，正三棱锥S ABC.设H 为正三角形ABC 的中心，连接SH ，则SH 的长即为该正三棱锥的高.连接AH 并延长交BC 于E ，则E 为BC 的中点，且AH ⊥BC .∵△ABC 是边长为6的正三角形，∴AE ＝32×6＝33.∴AH ＝23AE ＝2 3. 在△ABC 中，S △ABC ＝12BC ·AE ＝12×6×33＝9 3.在Rt△SHA 中，SA ＝15，AH ＝23，∴SH ＝SA 2－AH 2＝15－12＝ 3.∴V 正三棱锥＝13S △ABC ·SH ＝13×93×3＝9.。
高一必修二数学学案1.1.7 柱、锥、台和球的体积
第一章 立体几何 1.1.7 柱、锥、台和球的体积【学习目标】1. 会求空间几何体、简单组合体的体积；2. 能解决与空间几何体体积有关的综合问题；3. 进一步体会把空间问题转化为平面问题的思想.自主预习案 自主复习 夯实基础【双基梳理】1.祖暅原理是指 。
2.体积公式：柱体 ，圆柱 。
锥体 ，圆锥 。
台体 ，圆台 。
球 。
考点探究案 典例剖析 考点突破考点一 简单几何体与体积考向1 柱体与体积【例1】长方体的过一个顶点的三条棱长的比是1∶2∶3，对角线长为214，则这个长方体的体积是( ) A.6 B.12 C.24 D.48考向2 锥体与体积【例2】在正方体ABCD A B C D ''''-中，三棱锥A BC D ''-的体积是正方体体积的几分之几？变式训练：考点二 组合体与体积【例5】如图所示，已知正四棱锥S —ABCD 中，底面边长为a,侧棱长为 a.（1）求它的外接球的体积；（2）求它的内切球的表面积.第一章 立体几何变式训练：一个正方体和一个圆柱等高，并且侧面积相等，求这个正方体和圆柱的体积之比。
巩固提高案 日积月累 提高自我1.已知正方体外接球的体积为332π,那么正方体的棱长等于 ( ) A.22 B.332 C.324 D.3342.长方体的过一个顶点的三条棱长的比是1∶2∶3，对角线长为214，则这个长方体的体积是( )A.6B.12C.24D.48.3.在棱长为1的正方体上，分别用过顶点的三条棱中点的平面截该正方体，则截去8个三棱锥后，剩下多面体的体积为（ ）. A.23 B.76 C.45 D.564.如图所示，长方体ABCD —''''D C B A 中，用截面截下一个棱锥C —''DD A ，求棱锥C —''DD A 的体积与剩余部分的体积之比.第一章立体几何。
原创1：1.1.7 柱、锥、台和球的体积（讲授式）
2
所以V圆锥∶V球∶V圆柱＝( πr h)∶( πr3)∶(πr2h)
3
＝( πr )∶( πr3)∶(2πr3)＝1∶2∶3.
典例精析
球的表面积与体积的求法
例4 已知球的两平行截面的面积为5π和8π，它们位于球心的同一侧，且相距为1，求
这个球的表面积．
解：要求球的表面积，只需求出球的半径，因此要抓住球的截面(过直径的球的平面)．
课堂小结
总结本节课的学习内容
课时小结：（师生互动，共同归纳）
本节课我们学习了哪些知识内容？
柱体、锥体、台体的体积
柱体 V Sh
S S'
柱体、锥体、
台体的体积
1
台体 V 3 ( S S S S )h
S ' 0
1
锥体V Sh
3
球的体积V= π ，表面积S=4π .
第
一
章
：
空
间
几
何
体
2．过程与方法
(1)让学生通过几何体侧面展开图的形状，感知几何体的结构；
(2)让学生通过对照比较，理顺柱体、锥体、台体、三者间的体积的关系.
学习目标
三维目标及重难点分析
3．情感、态度与价值观
通过和谐对称的图形，给予学生以数学美的享受，同时培养学生
求知、求实、勇于探索的情感与态度．
4.重点与难点
重点：了解柱体、锥体、台体、球的体积与球的计算公式及其应用．
球的表面积．
解：如图，设O′为截面圆圆心，则OO′⊥O′A，
O′A为截面圆半径，OA为球半径．
∵48π＝π·AO′2,∴AO′2＝48.
07课题：1.1.7柱、锥、台、球的体积
3.找出自己的疑惑和需要讨论的问题准备课上讨论质疑；
4.必须记住的内容：柱锥台球的体积公式.
预习案
1.祖暅原理的内容是什么？
思考：等底面积、等高的两个柱体或锥体的体积有什么关系？
2.柱体（棱柱、圆柱）的体积公式是？圆柱体的体积又可表示为？
A.6 B.12 C.24 D.48
3.一个正方体和一个圆柱等高，并且侧面积相等，则这个正方体和圆柱的体积之比为
4.一个球的大圆的面积增为原来的100倍，则这个球的体积增为原来的倍.
【我的疑惑】
பைடு நூலகம்探究案
探究点一:体积公式的应用
【例1】 如图所示，在长方体 中，用截面截下一个棱锥 ,求棱锥 的体积与剩余部分的体积之比.
【变式】在△ABC中，AB=2，AC=1.5，∠BAC= .若将△ABC绕直线AC旋转一周，求形成的旋转体的体积．
【小结】
探究点二：实际问题
【例2】有一堆相同规格的六角螺帽毛坯共重5.8kg．已知底面六边形的边长是12mm，高是10mm，内孔直径是10mm．那么约有毛坯多少个？(铁的比重为7.8g/cm3)
3.锥体（棱锥、圆锥）的体积公式是什么？圆锥的体积公式又可表示为？
思考：同底等高的三棱柱和三棱锥的体积有什么关系？
4.棱台、圆台、球体的体积公式分别是什么？
【预习自测】
1.正四棱锥的侧棱长为 ，侧棱与底面正方形对角线夹角为 ，则该棱锥的体积是( )
A.3 B.6 C.9 D.18
2.长方体的过一个顶点的三条棱长的的比是1:2:3，体对角线的长为 ，则这个长方体的体积是（）
【变式】有一个正四棱台形状的油槽，最多装油190L,假如它的两底面边长分别等于60cm和40cm.求它的深度。
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1.1.7 柱、锥、台和球的体积
一、复习：长方体的体积公式是什么？
二、自主学习：自学3028P P -回答：
1。
.祖暅原理： 。
这就是说：夹在两个 平面间的几何体，被 于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两
个截面的面积 ，那么这两个几何体的体积 。
2。
由.祖暅原理可得： 的两个柱体或锥体的体积相等。
3。
柱体的体积：柱体（棱柱、圆柱）的体积等于它的 和 的积。
即：=柱体V 。
底面半径为r ，高为h 的圆柱体的体积公式是=圆柱V 。
4。
锥体的体积：如果一个锥体（棱锥、圆锥）的底面积为S ，高是h ，则=锥体V 。
特别地，如果圆锥的底面半径为r ，高为h ，则=圆锥
V 。
5。
台体的体积：如果一个台体的上、下底面面积分别为'S ，S ，高为h
则=台体
V 。
特别地，如果圆台的上、下底面半径分别为'r ，r ，高为h 则=圆台V 。
6。
球的体积：设球的半径为R ，则=球V 。
三、典型例题：自学31P 例1、例2
补充例3。
已知一个圆柱去掉两个底面，沿任意一条母线割开，然后放在平面上展平后得到平面图形是
一个矩形，它的对角线长为m ，对角线与底边成α角（ 0<2πα<
）．
求：圆柱的体积．
例4。
一个正四棱台的斜高为１２cm ，侧棱长为１３cm ，侧面积为７２０cm 2．
求：它的体积.
例5。
已知正方体的棱长为a ，分别求出它的内切球，外接球及与各棱相切的球的体积。
四、学生练习：32P 练习A 、B 33P 习题1-1A8-11
五、小节：
六、作业：
1.侧棱和底面边长都为1的正三棱锥的体积是 ( )
A
42 B 122 C 2411 D 24
13 2.棱长为a 的正方体的所有顶点都在同一个球面上,这个球的体积是 ( ) A
π233a B π3
23a C π343a D π3a 3．已知圆柱的侧面展开图矩形的面积为S ，底面周长为C ，其体积是（ ） A S C π43 B 34C
S π C π2CS D π4CS 4. 体积为52的圆台，一个底面积是另一个底面的面积的9倍，那么截得这个圆台的原圆锥的体积是（ ） A 54 B 54 π C 58 D 58π
5. 等体积球与正方体,它们的表面积的大小关系是( )
A S 球< S 正方体
B S 球> S 正方体
C S 球= S 正方体
D 不能确定
6. 已知正三棱锥ABC S -,D 、E 分别是底面边AB 、AC 的中点,则四棱锥BCED S -与三棱锥
ABC S -的体积之比是( )
A 1 : 2
B 2 : 3
C 3 : 4
D 1 : 4
7. 作一个圆柱的内接正三棱柱,再作此正三棱柱的内切圆柱, 那么这两个圆柱的体积之比是( ) A 2 : 1 B 3 ：2 C 3 ：4 D 4 : 1
8. 若球膨胀后表面积为原来的2倍,则体积变为原来的 倍.
9．在棱长为1的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该证方体，则截去8个三棱锥后，剩
下的凸多面体的体积是 。
10. 圆柱有一个内接长方体1AC ,长方体的对角线是102
cm ,圆柱的侧面展开图为矩形,此矩形的面积为100π
cm 2.求：圆柱的体积.。