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吉林省长春市东北师范大学附属中学2023-2024学年七年级下学期期中数学试题(解析版)
2023-2024学年东北师大附中初中部初一年级数学学科试卷第二学期期中考试考试时长：120分钟试卷分值：120分一、选择题（共8小题，每题3分，共24分）1. 如图，下列四种通信标志中，其图案是轴对称图形的是（ ）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别，根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴．【详解】解：A 、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；B 、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；C 、是轴对称图形，故此选项符合题意；D 、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；故选：C ．2. 已知，下列不等式成立的是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】本题考查了不等式的基本性质，易错在不等式的基本性质3，不等式两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变．不等式性质：基本性质1．不等式两边同时加上或减去同一个整式，不等号的方向不变．基本性质2．不等式两边同时乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变．基本性质3．不等式两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变．根据性质逐一分析即可．【详解】解：A ．∵，∴，故不符合题意；B ． ∵，∴，a b >a b->-22a b -<-22a b <0a b -<a b >a b -<-a b >a b -<-∴，故符合题意；C ．∵，∴，故不符合题意；D ． ∵，∴，故不符合题意．故选：B ．3. 一副三角板，按如图所示叠放在一起，则图中的度数为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】本题考查了与三角板有关的运算以及三角形内角和性质，先得出，再运用三角形内角和进行列式，计算即可作答．【详解】解：如图所示：由题意得出，∴，∵，∴，故选：C ．4. 下列多边形材料中，不能单独用来铺满地面的是（ ）A. 三角形B. 四边形C. 正五边形D. 正六边形【答案】C【解析】【分析】一个多边形的镶嵌应该符合其内角度数可以整除360°【详解】A 、三角形内角和为180°，能整除360°，能密铺，故此选项不合题意；22a b -<-a b >22a b >a b >0a b ->α∠60︒65︒75︒85︒115ABD ABC ∠=∠-∠=︒6045ABD ABC ∠=︒∠=︒，1604515ABD ABC ∠=∠-∠=︒-︒=︒90D Ð=°180901575α∠=︒-︒-︒=︒B 、四边形内角和为360°，能整除360°，能密铺，故此选项不合题意；C 、正五边形每个内角是180°﹣360°÷5＝108°，不能整除360°，不能密铺，故此选项合题意；D 、正六边形每个内角为180°﹣360°÷6＝120°，能整除360°，能密铺，故此选项不合题意；故选C ．【点睛】本题主要考查图形的镶嵌问题，重点是掌握多边形镶嵌的原理．5. 已知是关于x ，y 的方程，x ＋ky ＝3的一个解，则k 的值为（ ）A. －1B. 1C. 2D. 3【答案】B【解析】【分析】把x 与y 的值代入方程计算即可求出k 的值．【详解】解：∵是关于x 、y 的方程x +ky ＝3的一个解，∴把代入到原方程，得1+2k ＝3，解得k ＝1，故选：B ．【点睛】本题主要考查了二元一次方程的解的定义，解一元一次方程，熟知方程的解是使方程两边相等的未知数的值是解题的关键．6. 一个三角形两边的长分别是3和5，则这个三角形第三边的长可能是（ ）A. 1B. C. 2 D. 4【答案】D【解析】【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，即任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．先根据三角形的三边关系求出x 的取值范围，再求出符合条件的x 的值即可．【详解】解：设三角形第三边的长为x ，则，即，只有选项D 符合题意．故选D ．7. 不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ）12x y =⎧⎨=⎩12x y =⎧⎨=⎩12x y =⎧⎨=⎩1.55353x -<<+28x <<53x -≥A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】本题考查的是解一元一次不等式，利用数轴表示不等式的解集．先求出不等式的解集，再在数轴上表示出来不等式的解集即可，注意大于小于用空心，大于等于小于等于用实心，大于大于等于开口向右，小于小于等于开口向左．【详解】解：，，数轴上表示：，故选：A ．8. 某学校为学生配备物理电学实验器材，一个电表包内装有1个电压表和2个电流表．某生产线共60名工人，每名工人每天可生产14个电压表或20个电流表．若分配名工人生产电压表，名工人生产电流表，恰好使每天生产的电压、电流表配成套，则可列出方程组（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解决本题的关键是得到电压表数量和电流表数量的等量关系．【详解】解：若分配名工人生产电压表，名工人生产电流表，由题意，得．故选：D ．二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）9. 已知二元一次方程，用含x 的代数式表示y ，则______．为53x -≥∴2x ≤x y 6022014x y y x+=⎧⎨⨯=⎩6014202x y x y +=⎧⎪⎨=⎪⎩601420x y x y +=⎧⎨=⎩6021420x y x y+=⎧⎨⨯=⎩x y 6021420x y y y +=⎧⎨⨯=⎩327x y +=y =【答案】【解析】【分析】本题考查了解二元一次方程，根据，将x 看成已知数，进行移项，再系数化1，即可作答．【详解】解：∵∴故答案为：10. 在通过桥洞时，往往会看到如图所示标志：这是限制车高的标志，表示车辆高度不能超过，通过桥洞的车高应满足的不等式为_____________．【答案】##【解析】【分析】根据不等式的定义列不等式即可．【详解】解：∵车辆高度不能超过，∴．故答案为．【点睛】本题主要考查列不等式，掌握不等式的定义是解答本题的关键．11. 不等式组的最小整数解为_________.【答案】【解析】【分析】本题考查的是一元一次不等式组的整数解，正确求出每一个不等式解集，根据“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．【详解】解：解不等式组得：，∴最小整数解为，故答案为：．的7322x -327x y +=327x y +=273y x=-7322y x =-7322x -5m m x 5x ≤5x≥5m 5x ≤5x ≤10{212x x -<-≥210{212x x -<-≥32x ≥2212. 如图，正五边形ABCDE 和正六边形EFGHMN 的边CD 、FG 在直线l 上，正五边形在正六边形左侧，两个正多边形均在l 的同侧，则的大小是___度．【答案】48【解析】【分析】利用正多边形的内角和，求出其中一个角的度数，进一步求出三角形DEF 的两个内角，最后由三角形内角和定理来求解．【详解】解：正五边形内角和为且在直线上，，正六边形内角和为且在直线上，，在中，，，，，故答案是：．【点睛】本题考查了正多边形的内角、三角形的内角和定理，解题的关键是：掌握正多边形内角和的求法．13. 我国传统数学名著九章算术记载：“今有牛五、羊二，直金十九两；牛二、羊五，直金十六两问牛、羊各一直金几何？”译文问题：“假设有头牛、只羊，值两银子；头牛、只羊，值两银子，问一头牛、一只羊一共值多少两银子？”则头牛、只羊一共值 ______ 两银子．【答案】【解析】【分析】设每头牛值两银子，每只羊值两银子，根据“头牛、只羊，值两银子；头牛、只羊，值两银子”，可得出关于，的二元一次方程组，利用，即可求出结论．DEF ∠ 540︒CD l 5401085EDC ︒∴∠==︒ 720︒FG l 7201206EFG ︒∴∠==︒EDF 180DEF EDF EFD ∠=︒-∠-∠18010872EDF ∠=︒-︒=︒ 18012060EFD ∠=︒-︒=︒48DEF ∴∠=︒48《》.52192516115x y 52192516x y ()7+÷①②【详解】解：设每头牛值两银子，每只羊值两银子，根据题意得：，得：，∴头牛、只羊一共值两银子，故答案为：．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及数学文化，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．14. 为了更好的开展大课间活动，某班级计划购买跳绳和呼啦圈两种体育用品，已知一个跳绳8元，一个呼啦圈12元．准备用120元钱全部用于购买这两种体育用品（两种都要买且钱全部用完），则该班级的购买方案有______种．【答案】4【解析】【分析】设购买个跳绳，个呼啦圈，利用总价单价数量，即可得出关于，的二元一次方程，结合，均为正整数，即可得出购买方案的数量．本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．【详解】解：设购买个跳绳，个呼啦圈，依题意得：，．，均为正整数，为3的倍数，或或或，该班级共有4种购买方案．故答案为：4．三、解答题（共10小题，共78分）15. 解方程组：（1）x y 52192516x y x y +=⎧⎨+=⎩①②()7+÷①②5x y +=1155x y =⨯x y x y x y 812120x y +=2103y x ∴=-x y x ∴∴38x y =⎧⎨=⎩66x y =⎧⎨=⎩94x y =⎧⎨=⎩122x y =⎧⎨=⎩∴23328y x x y =-⎧⎨+=⎩（2）【答案】（1） （2）【解析】【分析】本题主要考查了解二元一次方程组：（1）利用代入消元法解方程组即可；（2）利用加减消元法解方程组即可．【小问1详解】解：把①代入②得：，解得，把代入①得，∴方程组的解为；小问2详解】解：得：，解得，把代入①得：，解得，∴方程组解为．16. 解下列不等式（组）：（1）；（2）【的28452x y x y +=⎧⎨-=⎩21x y =⎧⎨=⎩32x y =⎧⎨=⎩23328y x x y =-⎧⎨+=⎩①②()32238x x +-=2x =2x =2231y =⨯-=21x y =⎧⎨=⎩28452x y x y +=⎧⎨-=⎩①②2⨯-①②714y =2y =2y =228x +=3x =32x y =⎧⎨=⎩()32723x +≥()313122x x x x ⎧->⎪⎨--≥⎪⎩【答案】（1） （2）无解【解析】【分析】本题考查了解一元一次不等式以及解一元一次不等式组，正确掌握相关性质内容是解题的关键．（1）先去括号，再移项合并同类项，系数化1，即可作答．（2）分别算出每个不等式组的解集，再取公共部分的解集，即可作答．【小问1详解】解：，，，；【小问2详解】解：，由，得，解得，由，得，解得，此时不等式组无解．17. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了以格点（网格线的交点）为顶点的，线段在网格线上．（1）画出边上的高线；（2）画出边上的中线；（3）在线段上任取一点P ，则的面积是______．【答案】（1）见详解 （2）见详解（3）513x ≥()32723x +≥62123x +≥62x ≥13x ≥()313122x x x x ⎧->⎪⎨--≥⎪⎩()31x x ->33x x ->32x >3122x x --≥243x x -≥-1x ≤ABC MN AB CD BC AE MN ABP【解析】【分析】本题考查了三角形的高，中线的定义，运用网格求面积，正确掌握相关性质内容是解题的关键．（1）过点C 作垂直于的延长线，交点为点，即可作答．（2）根据网格特征以及中线定义，进行作图即可；（3）根据平行线之间的距离处处相等的性质，得出与的距离为5，再结合三角形面积公式进行计算，即可作答．【小问1详解】解：边上的高线如图所示：【小问2详解】解： 边上的中线如图所示：【小问3详解】解：如图所示：∴的面积．CD BA D MN AB AB CD BC AE ABP 12552=⨯⨯=18. 如图，在中，是的角平分线，，，求的度数．【答案】【解析】【分析】根据三角形外角的性质，角平分线的定义以及三角形的内角和定理即可得到结论．此题主要考查了三角形外角的性质，角平分线的定义，关键是掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．【详解】解：∵．∴，∵是角平分线，∴，在中，．19.若一个多边形的内角和的比它的外角和多，那么这个多边形的边数是多少？【答案】12【解析】【分析】设这个多边形的边数是n ，根据题意,列方程求解即可．【详解】解：设这个多边形的边数是n ，由题意得：，解得：，答：这个多边形的边数是12．【点睛】本题考查了多边形的内角和和外角和定理，熟练掌握两个定理是解题的关键．20. 在长方形中，放入5个形状大小相同的小长方形（空白部分），其中，，求图中阴影部分图形的面积．ABC AN ABC 50B ∠=︒80ANC ∠=︒C ∠70︒5080ANC B BAN B ANC ∠=∠+∠∠=︒∠=︒，，805030BAN ANC B ∠∠∠=-=︒-︒=︒AN BAC ∠223060BAC BAN ∠=∠=⨯︒=︒ABC 180180506070C B BAC ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒1490︒1(2)180360904n -⨯︒=︒+︒1(2)180360904n -⨯︒=︒+︒12n =ABCD 8cm AB =12cm BC =【答案】【解析】【分析】设小长方形的长为，宽为，根据图形中大长方形的长和宽列二元一次方程组，求出和的值，即可解决问题．本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．【详解】解：设小长方形的长为，宽为，根据题意，得：，解得：，每个小长方形的面积为，阴影部分的面积．21. 阅读下列材料：小明同学在学习二元一次方程组时遇到了这样一个问题：解方程组．小明发现，如果用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，容易出错．如果把方程组中的看成一个整体，把看成一个整体，通过换元，可以解决问题．以下是他的解题过程：令，．原方程组化为，解得，把代入，，得，解得，236cm xcm ycm x y xcm ycm 3128x y x y +=⎧⎨+=⎩62x y =⎧⎨=⎩∴()22612cm ⨯=∴()281251236cm =⨯-⨯=23237432323832x y x yx y x y +-⎧+=⎪⎪⎨+-⎪+=⎪⎩()23x y +()23x y -23m x y =+23n x y =-743832m nm n ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩6024m n =⎧⎨=-⎩6024m n =⎧⎨=-⎩23m x y =+23n x y =-23602324x y x y +=⎧⎨-=-⎩914x y =⎧⎨=⎩原方程组的解为．（1）学以致用：运用上述方法解方程组：（2）拓展提升：已知关于x ，y 的方程组的解为，请直接写出关于m 、n 的方程组的解是______．【答案】（1） （2）【解析】【分析】本题主要考查了换元法解二元一次方程组：（1）结合题意，利用整体代入法求解，令，得，解得即即可求解；（2）结合题意，利用整体代入法求解，令，，则可化为，且解为则有，求解即可．【小问1详解】解：令，，原方程组化为，解得，∴914x y =⎧⎨=⎩()()()()213211224x y x y ⎧++-=⎪⎨+--=⎪⎩111222a xb yc a x b y c +=⎧⎨+=⎩34x y =⎧⎨=⎩()()1112222323a m b n c a m b n c ⎧+-=⎪⎨+-=⎪⎩11x y =⎧⎨=⎩143m n =⎧⎪⎨=-⎪⎩1m x =+2n y =-23124m n m n +=⎧⎨-=⎩21m n =⎧⎨=-⎩1221x y +=⎧⎨-=-⎩2x m =+3y n =-()()1212222323a m b n c a m b n c ⎧+-=⎪⎨+-=⎪⎩121222a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩34x y =⎧⎨=⎩2334m n +=⎧⎨-=⎩1m x =+2n y =-23124m n m n +=⎧⎨-=⎩21m n =⎧⎨=-⎩，解得：，∴原方程组的解为 ；【小问2详解】解：在中，令，，则可化为，∵方程组解为，∴，，故答案为：．22. “粮食生产根本在耕地、出路在科技”．为提高农田耕种效率，今年开春某农村合作社计划投入资金购进甲、乙两种农耕设备，已知购进2台甲种农耕设备和1台乙种农耕设备共需4.2万元；购进1台甲种农耕设备和3台乙种农耕设备共需5.1万元．（1）求甲种农耕设备和乙种农耕设备单价各是多少万元；（2）若该合作社决定购买甲、乙两种农耕设备共7台，且购进甲、乙两种农耕设备总资金不超过10万元，求最多可以购进甲种农耕设备多少台．【答案】（1）1台甲种农耕设备需1.5万元，1台乙种农耕设备需1.2万元； （2）5台【解析】【分析】（1）设购进1台甲种农耕设备需万元，1台乙种农耕设备需万元，根据“购进2台甲种农耕设1221x y +=⎧∴⎨-=-⎩11x y =⎧⎨=⎩11x y =⎧⎨=⎩()()1212222323a m b n c a m b n c ⎧+-=⎪⎨+-=⎪⎩2x m =+3y n =-()()1212222323a m b n c a m b n c ⎧+-=⎪⎨+-=⎪⎩121222a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩121222a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩34x y =⎧⎨=⎩2334m n +=⎧⎨-=⎩143m n =⎧⎪∴⎨=-⎪⎩143m n =⎧⎪⎨=-⎪⎩x y备和1台乙种农耕设备共需4.2万元；购进1台甲种农耕设备和3台乙种农耕设备共需5.1万元”，可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设购进甲种农耕设备台，则购进乙种农耕设备台，利用总价单价数量，结合总价不超过10万元，可得出关于的一元一次不等式，解之可得出的取值范围，再取其中的最大整数值，即可得出结论．本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．【小问1详解】解：设购进1台甲种农耕设备需万元，1台乙种农耕设备需万元，根据题意得：，解得：．答：购进1台甲种农耕设备需1.5万元，1台乙种农耕设备需1.2万元；【小问2详解】解：设购进甲种农耕设备台，则购进乙种农耕设备台，根据题意得：，解得：，又为正整数，的最大值为5．答：最多可以购进甲种农耕设备5台．23. 【探究】如图①，在中，点D 是延长线上一点，的平分线与的平分线相交于点P ．则有，请补全下面证明过程：证明：平分，平分，，______（______）．______（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和），．x y m ()7m -=⨯m m x y 2 4.23 5.1x y x y +=⎧⎨+=⎩1.51.2x y =⎧⎨=⎩m ()7m -()1.5 1.2710m m +-≤153m ≤m m ∴ABC BC ABC ∠BP ACD ∠CP 12P A ∠=∠BP ABC ∠CP ACD ∠2ABC PBC ∴∠=∠2ACD ∠=∠ACD A ∠=∠+∠ 22PCD A PBC ∴∠=∠+∠（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和），．【应用】如图②，在四边形中，设，，若，四边形的内角与外角的角平分线相交于点P ．为了探究的度数与和的关系，小明同学想到将这个问题转化图①的模型，因此，延长了边与交于点A ．如图③，若，，则，因此．【拓展】如图④，在四边形中，设，，若，四边形的内角与外角的角平分线所在的直线相交于点P ，请直接写出______．（用含有和的代数式表示）【答案】探究：；角平分线的定义；；；应用：；；拓展：【解析】【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的定义：探究：根据三角形外角的性质和角平分线的定义结合已给推理过程求解即可；应用：先利用平角的定义和三角形内角和定理求出的度数，再有探究的结论即可得到答案；拓展：延长交的延长线于A ，则由三角形内角和定理可得；再由题意可得分别平分，则．【详解】解：探究：证明：平分，平分，，（角平分线的定义）．（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和），．_____PCD PBC ∠=∠+∠ 12P A ∴∠=∠MNCB M α∠=N β∠=180αβ+>︒MBC ∠NCD ∠BP CP ，P ∠αβBM CN 106BMN∠=︒124MNC ∠=︒______A ∠=︒______P ∠=︒MNCB M α∠=N β∠=180αβ+<︒MBC ∠NCD ∠P ∠=αβPCD PBC P 50︒25︒121902αβ︒--A ∠MB NC 180A αβ=︒--∠PB PC ，ABH ACB ∠，∠11190222P A αβ==︒--∠BP ABC ∠CP ACD ∠2ABC PBC ∴∠=∠2ACD PCD ∠=∠ACD A ABC ∠=∠+∠Q 22PCD A PBC ∴∠=∠+∠（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和），，故答案为：；角平分线的定义；；；应用：延长了边与交于点A ．如图③，∵，，∴，∴，∴，故答案：；．拓展：如图，延长交的延长线于A ，∵，，∴；∵四边形的内角与外角的角平分线所在的直线相交于点P ，∴分别平分，∴，故答案为：．24. 如图①，点O 为数轴原点，，正方形的边长为6，点P 从点O 出发，沿射线方向运动，速度为每秒2个单位长度，设运动时间为t 秒，请回答下列问题．为PCD P PBC ∠=∠+∠ 12P A ∴∠=∠PCD PBC P BM CN 106BMN∠=︒124MNC ∠=︒1807418056AMN BMN ANM MNC =︒-=︒=︒-=︒∠∠，∠∠18050A AMN ANM =︒--=︒∠∠∠1252P A ∠=∠=︒50︒25︒MB NC M α∠=N β∠=180180A M N αβ=︒--=︒--∠∠∠MBC ∠NCD ∠PB PC ，ABH ACB ∠，∠11190222P A αβ==︒--∠121902αβ︒--3OA =ABCD OA（1）点A 表示的数为______，点D 表示的数为______．（2）的面积为6时，求t 的值．（3）如图②，当点P 运动至D 点时，立即以原速返回，到O 点后停止．在点P 运动过程中，作线段，点E 在数轴上点P 右侧，以为边向上作正方形，当与面积和为16时，直接写出t 的值．【答案】（1）3，9（2）t的值为秒或秒 （3）或或或．【解析】【分析】（1）根据线段的长和正方形的边长可以求解．（2）根据点的运动速度与运动时间得出运动路程，对应数数轴得出结论．（3）根据点运动确定正方形的位置再去讨论与面积和为16时的值．本题考查了数轴与动点的结合，表示出点的运动距离是本题的解题关键．【小问1详解】解： ，且为数轴原点，在的右侧，表示的数为3，正方形的边长为6，，表示的数为9．故答案是3，9；【小问2详解】解：∵的面积为6，∴，解得，点从点开始运动且速度为每秒2个单位长度，，APC △3PE =PE PEFG DPF ABG 12521318t =23631614918OA P P DPF ABG t P 3OA = O O A ∴ 639OD ∴=+=D ∴APC △116622APC S AP CD AP =⨯=⨯⨯=△2AP =P O 2OP t ∴=∵，∴当点在之间时，则，解得，∴当点在的延长线上时，则，解得，∴的面积为6时，t 的值为秒或秒；【小问3详解】解：①当P 点在A 点左侧时，，由题意得：连接，如图所示：∵，∴，∵速度为每秒2个单位长度，设运动时间为t 秒，∴，∴，∴，，∵与面积和为16，∴，解得，当P 点在A 点右侧时，连接，如图所示：3OA =P AO 3322AP OP t =-=-=12t =P OA 3232AP OP t =-=-=52t =APC △12522OP t =BG AG PF FD ，，，36OA AD ==，9OD =902t ≤≤32PA OA OP t =-=-()11279233222DPF S PD EF t t =⨯⨯=-⨯=- ()116329622ABGS AB AP t t =⨯⨯=⨯⨯-=- DPF ABG 27396162DPF ABG S S t t +=-+-= 1318t =BG AG PF FD ，，，同理得，，∵与面积和为16，∴，解得，②点从向运动时，则，连接，如图所示：∴此时，，∵与面积和为16，∴，()11279233222DPF S PD EF t t =⨯⨯=-⨯=- ()116236922ABGS AB AP t t =⨯⨯=⨯⨯-=- DPF ABG 27369162DPF ABG S S t t +=-+-= 236t =P D O 9999222t <≤+=BG AG PF FD ，，，9926222PD t AP AD PD t ⎛⎫⎛⎫=⨯-=-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，119272332222DPF S PD EF t t ⎛⎫=⨯⨯=⨯-⨯=- ⎪⎝⎭ 119662456222ABG S AB AP t t ⎡⎤⎛⎫=⨯⨯=⨯⨯--=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ DPF ABG 273456162DPF ABG S S t t +=-+-=解得，当P 点在A 点左侧时，由题意得：连接，如图所示：∴，此时，，∵与面积和为16，∴，解得，综上：或或或．316t =BG AG PF FD ，，，92292962152PD t t AP PD AD t t ⎛⎫=⨯-=-=-=--=- ⎪⎝⎭，119272332222DPF S PD EF t t ⎛⎫=⨯⨯=⨯-⨯=- ⎪⎝⎭ ()11621564522ABG S AB AP t t =⨯⨯=⨯⨯-=- DPF ABG 273645162DPF ABG S S t t +=-+-= 14918t =1318t =23631614918。
吉林省长春市东北师范大学附属中学2023-2024学年高三上学期第一次摸底考试数学试题(含答案解析)
吉林省长春市东北师范大学附属中学2023-2024学年高三上学期第一次摸底考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题8．定义域为R 的函数()f x 的导函数记作()f x '，满足()()3e x f x f x >'-，()226e f =，则不等式()3e xf x x >的解集为（）A ．(2,)+∞B ．(,2)-∞C ．(3,)+∞D ．(3),-∞二、多选题三、填空题四、解答题(1)求证：PA PB ⊥；(2)点F 在线段PB 上，当二面角F AE P --大小为π4时，求四棱锥21．椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>的离心率为32，过椭圆焦点并且垂直于长轴的弦长度为1．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，与y 轴相交于得34OA OB OM+=，求m 的取值范围．22．已知函数()ln 1f x x kx =-+．(1)讨论函数()f x 的单调性；(2)若函数()e xg x ax =，求证：当2e 0,2a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()g x >参考答案：对C ：直线:10l kx y k +--=可化为直线，如图，1l 为过()1,1A 与()0,1-两点的直线，其斜率为当l 位于1l 时，直线l 与()y f x =2l 为过()1,1A 且与0:1l y x =-平行的直线，当l 位于2l 时，直线l 与()y f x =3l 为过()1,1A 的水平直线，其斜率为当l 位于3l 时，直线l 与()y f x =结合图象可知01b a <<<，故由01b a <<<，3a a b +=+故35a b b a +<+，C 正确；令ln (),(0)x f x x x =>，则f 当0e x <<时，()0f x '>，当e x >时，()0f x '<，(f x 由于01b a <<<，故()f b <故ln ln b a a b >，D 正确，故选：BCD 12．ACD【分析】根据所给性质，利用函数对称性判断对称性求解析式判断D.【详解】由()(2)f x f x -=+由()(2)f x f x -=--可得f 所以()()f x f x -=-，故函数因为()(2)f x f x =-+，所以又(1)(2)(3)(4)f f f f +++=所以20241(1)()506[k f f k ==+⨯∑由(2)(2)f x f x +=--知函数关于当(3,4)x ∈时，设(,)P x y 为函数则(4,)P x y '--在函数()f x 图象上，且所以2log (41)y x -=-+，即故选：ACD）如图，取AE 的中点O ，AB 的中点G 由题意可得,,OP OG OA 两两互相垂直，为坐标原点，以OA ，OG ，OP )1,0,0，()1,0,0E -，()1,2,0B -PB λ=，则(),2,1F λλλ--，设平面FAE 的一个法向量为(,m x y =00AE AF ⋅=⋅= ，()2012x x y λλ-=⎧∴⎨--++⎩1，得21z λλ=-，20,1,1λλ⎛⎫⎪-⎝⎭，⊥平面PAE ，(0,2,0n EB ∴==222,4212m n m n m nλλλ⋅==⨯+-222224121λλλ=+-+，解得λ=【点睛】关键点睛：本题的关键是由向量等式3OA +22．(1)答案见解析(2)证明见解析【分析】（1）求导后，分别在0k ≤和0k >的情况下，由（2）通过分析法将所证不等式转化为e ln x ax x >；当成立；当1x >时，采用放缩法将所证不等式转化为2()()22e ln 1x g x x x x-=->，利用导数，结合零点存在定理的知识，值，由此可得结论.【详解】（1）由题意知：()f x 的定义域为()0,∞+，①当0k ≤时，()10f x k x'=->在()0,∞+上恒成立，()f x \在()0,∞+上单调递增；1。
2023届吉林省长春市东北师范大学附属中学高三第二次摸底考试数学试题
2023届吉林省长春市东北师范大学附属中学高三第二次摸底考试数学试题一、选择题：（本题8小题，每小题5分，共计40分，在每小题中给出四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1．（5分）若集合A＝{x|﹣2＜x＜1}，B＝{x|0＜x＜2}，则集合A∩B＝（）A．{x|﹣1＜x＜1}B．{x|﹣2＜x＜1}C．{x|﹣2＜x＜2}D．{x|0＜x＜1} 2．（5分）“（kπ，0）（k∈Z）”是“函数f（x）＝tan x的对称中心”的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件3．（5分）已知函数f（x）满足2f（x）+f（﹣x）＝3x2+2x+6，则（）A．f（x）的最小值为2B．∃x∈R，＜2C．f（x）的最大值为2D．∀x∈R，＞24．（5分）函数f（x）＝ln（x2﹣ax﹣3）在[2，+∞）单调递增，则实数a的取值范围是（）A．a≤4B．a＜4C．a≤D．a＜5．（5分）已知函数f（x）＝2sin（2x+），现将y＝f（x）的图象向右平移个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数y＝g（x）的图象，则g（x）在[0，]的值域为（）A．[﹣1，2]B．[0，1]C．[0，2]D．[﹣1，] 6．（5分）若tan（α﹣）＝，则sin2α的值为（）A．﹣B．C．﹣D．7．（5分）已知a＝e0.1，b＝+1，c＝，则（）A．a＞b＞c B．c＞b＞a C．b＞a＞c D．a＞c＞b 8．（5分）已知函数f（x）＝，g（x）＝﹣x2+2x（其中e是自然对数的底数），若关于x的方程F（x）＝g（f（x））﹣m恰有三个不同的零点x1，x2，x3，且x1＜x2＜x3，则3x1﹣x2+3x3的最大值为（）A．1+ln B．1+ln C．3﹣ln3D．3+ln3二.选择题：（本题4小题，每小题'5分，共计20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，有选错得0分，部分选对的得2分）（多选）9．（5分）设函数f（x）＝sin（ωx+φ）+cos（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤）的最小正周期为π，且过点（0，），则下列正确的为（）A．f（x）在（0，）单调递减B．f（x）的一条对称轴为x＝C．f（|x|）的最小正周期为πD．把函数f（x）的图像向左平移个长度单位得到函数g（x）的解析式为g（x）＝cos （2x+）（多选）10．（5分）已知幂函数f（x）＝x a图像经过点（3，），则下列命题正确的有（）A．函数f（x）为增函数B．函数f（x）为偶函数C．若x＞1，则f（x）＞1D．若0＜x1＜x2，则＞f（）11．（5分）将函数的图象向左平移个单位长度，向下平移个单位长度后，得到h（x）的图象，若对于任意的实数，h（ωx）都单调递增，则正数ω的最大值为（）A．3B．C．D．（多选）12．（5分）已知函数f（x）＝x2lnx若＜x1＜x2，则下列结论正确的是（）A．若x f（x1）＜x f（x2）B．x1+＜x2+C．＜0D．当＜x1＜x2时，＞三.填空题：（（本题4小题，每小题5分，共计20分）13．（5分）求值＝．14．（5分）已知函数f（x）＝a x（a＞0且a≠1）的反函数f（x）过点（4，2），设g（x）＝f（x）+f﹣1（x），则不等式g（2x﹣1）﹣g（4﹣x）＜0的解集是．15．（5分）在△ABC中，M，N分别是边AB，AC上的点，且＝，＝；AB 点O是线段MN上异于端点的一点，且满足λ+3+4＝（λ≠0），则λ＝．16．（5分）已知函数f（x）＝sin|x|﹣cos x，若关于x的方程f（x）＝m在（﹣，2π]上有三个不同的实根，则实数m的取值范围是．四.解答题：（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）已知{a n}是公差为1的等差数列，且a1，a2，a4成等比数列．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{}的前n项和T n．18．（12分）已知函数f（x）＝•（+），其中向量＝（sin x；﹣3cos x），＝（sin x，﹣cos x），＝（﹣cos x，sin x），x∈R．（Ⅰ）求f（x）的解析式及对称中心和单调减区间．（Ⅱ）不等式|f（x）﹣m|＜3在x∈[，]上恒成立，求实数m的取值范围．19．（12分）已知f（x）＝x2﹣x+a sin x．（1）若在x＝π处的切线的斜率是π﹣2，求当λ≤f（x）在[0，+∞）恒成立时的λ的取值范围；（2）设g（x）＝f（x）﹣x2+2x﹣ln（x+1），当x∈（0，π）时g（x）有唯一零点，求a的取值范围．20．（12分）某种机械设备随着使用年限的增加，它的使用功能逐渐减退，使用价值逐年减少，通常把它使用价值逐年减少的“量”换算成费用，称之为“失效费”．某种机械设备的使用年限x（单位年）与失效费y（单位：万元）的统计数据如表所示：使用年限x（单位：年）24568失效费y（单位：万元）34567（Ⅰ）根据上表数据，计算y与x的相关系数r，并说明y与x的线性相关性的强弱；（已知：0.75≤|r|≤1，则认为y与x线性相关性很强；0.3≤|r|＜0.75，则认为y与x线性相关性一般；|r|＜0.3，则认为y与x线性相关性较弱）（Ⅱ）求y关于x的线性回归方程，并估算该种机械设备使用10年的失效费．参考公式和数据：r＝＝，＝＝，＝﹣．21．（12分）已知f（x）＝．（1）求函数f（x）的值域；（2）若方程f（x）＝在[0，]上的所有实根按从小到大的顺序分别记为x1，x2，⋯，x n．求x1+2x2+2x3+⋯+2x n﹣1+x n的值．22．（12分）已知函数f（x）＝1+﹣ae x+，a≥．（1）当x+lnx＞0时，求证f（x）＜0；（2）求证：++⋯++＞ln（n∈N*）．2023届吉林省长春市东北师范大学附属中学高三第二次摸底考试数学试题参考答案与试题解析一、选择题：（本题8小题，每小题5分，共计40分，在每小题中给出四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1．（5分）若集合A＝{x|﹣2＜x＜1}，B＝{x|0＜x＜2}，则集合A∩B＝（）A．{x|﹣1＜x＜1}B．{x|﹣2＜x＜1}C．{x|﹣2＜x＜2}D．{x|0＜x＜1}【分析】由于两个集合已知，故由交集的定义直接求出两个集合的交集即可．【解答】解：A∩B＝{x|﹣2＜x＜1}∩{x|0＜x＜2}＝{x|0＜x＜1}．故选D．【点评】常用数轴图、函数图、解析几何中的图或文恩图来解决集合的交、并、补运算．2．（5分）“（kπ，0）（k∈Z）”是“函数f（x）＝tan x的对称中心”的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件【分析】根据充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可．【解答】解：函数f（x）＝tan x的对称中心为（，0）（k∈Z），所以“（kπ，0）（k∈Z）”是“函数f（x）＝tan x的对称中心”的充分不必要条件．故选：B．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键．3．（5分）已知函数f（x）满足2f（x）+f（﹣x）＝3x2+2x+6，则（）A．f（x）的最小值为2B．∃x∈R，＜2C．f（x）的最大值为2D．∀x∈R，＞2【分析】先求得f（x），然后结合二次函数的性质确定正确选项．【解答】解：因为2f（x）+f（﹣x）＝3x2+2x+6，（i），所以用﹣x代换x得：2f（﹣x）+f（x）＝3x2﹣2x+6，（ii），（i）×2﹣（ii）得：3f（x）＝3x2+6x+6，即f（x）＝x2+2x+2＝（x+1）2+1，从而f（x）只有最小值，没有最大值，且最小值为1，＝＝2﹣＜2，＝＝2+＞2，故选：D．【点评】本题主要考查根据函数解析式求最值，属于中档题．4．（5分）函数f（x）＝ln（x2﹣ax﹣3）在[2，+∞）单调递增，则实数a的取值范围是（）A．a≤4B．a＜4C．a≤D．a＜【分析】由复合函数的单调及对数函数的性质可得关于a的不等式组，即可求解．【解答】解：函数f（x）＝ln（x2﹣ax﹣3）在[2，+∞）单调递增，由复合函数的性质可得y＝x2﹣ax﹣3）在[2，+∞）单调递增，且函数值为正，所以，解得a＜．故选：D．【点评】本题主要考查复合函数的单调性，考查运算求解能力，属于基础题．5．（5分）已知函数f（x）＝2sin（2x+），现将y＝f（x）的图象向右平移个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数y＝g（x）的图象，则g（x）在[0，]的值域为（）A．[﹣1，2]B．[0，1]C．[0，2]D．[﹣1，]【分析】首先利用三角函数的关系式的平移变换和伸缩变换的应用求出函数的关系式为g （x）＝2sin（4x﹣），进一步利用函数的定义域求出函数的值域．【解答】解：函数f（x）＝2sin（2x+），现将y＝f（x）的图象向右平移个单位，得到函数y＝2sin（2x﹣）的图象，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数y＝g（x）＝2sin（4x﹣）的图象；由于，故，故，故g（x）∈[﹣1，2]．故选：A．【点评】本题考查的知识要点：三角函数的关系式的变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．6．（5分）若tan（α﹣）＝，则sin2α的值为（）A．﹣B．C．﹣D．【分析】利用二倍角公式，即可解出．【解答】解：sin2α＝cos2（）＝＝＝﹣，故选：C．【点评】本题考查了三角函数的运算，学生的数学运算能力，属于基础题．7．（5分）已知a＝e0.1，b＝+1，c＝，则（）A．a＞b＞c B．c＞b＞a C．b＞a＞c D．a＞c＞b【分析】直接利用构造函数的应用和函数的导数与函数的单调性的关系判断a、b、c的大小关系．【解答】解：设函数f（x）＝e x﹣x﹣1（x＞0），则f′（x）＝e x﹣1，当x＝0时，f′（0）＝0，故函数在（0，+∞）上单调递增，即f（x）＞f（0）＝0，即e x＞x+1，故e0.2＞1.2，进一步整理得，所以a＞c；设g（x）＝lnx﹣x+1，（x＞0），所以，当x∈（0，1）时，g′（x）＞0，故函数g（x）在（0，1）上单调递增，所以g（x）≤g（1）＝0；所以lnx≤x﹣1，故，即，故，即，故b≤c，综上所述：a＞c＞b．故选：D．【点评】本题考查的知识要点：构造函数，函数的导数和函数的单调性的关系，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．8．（5分）已知函数f（x）＝，g（x）＝﹣x2+2x（其中e是自然对数的底数），若关于x的方程F（x）＝g（f（x））﹣m恰有三个不同的零点x1，x2，x3，且x1＜x2＜x3，则3x1﹣x2+3x3的最大值为（）A．1+ln B．1+ln C．3﹣ln3D．3+ln3【分析】作出f（x）的图象，然后对F（x）＝0中的f（x）换元，结合f（x）的图象以及题意，找到三个不同的零点x1，x2，x3之间的关系，最终将3x1﹣x2+3x3表示为x2的函数，利用导数求其最大值即可．【解答】解：作出函数f（x）的图象：令f（x）＝t，则方程F（x）＝g（f（x））﹣m恰有三个不同的零点，只需g（t）＝﹣t2+2t ﹣m＝0有两个实数根t1，t2，且t1∈（0，1]，t2∈（1，+∞），t1+t2＝2，故结合f（x）图象可知，＝t1，3x3＝t2，所以3x1＝ln3x2，3x3＝2﹣3x2，所以3x1﹣x2+3x3＝ln3x2﹣x2+2﹣3x2＝ln3x2﹣4x2+2，x2＞1，令h（x）＝ln3x﹣4x+2，x＞1，则，显然该函数递减，令h′（x）＝0，得x＝是h（x）的极大值点，也是h（x）的最大值点，故h（x）max＝h（）＝，即3x1﹣x2+3x3的最大值为．故选：A．【点评】本题考查函数的零点与方程的根、函数图象间的关系，同时考查了学生的逻辑推理能力，属于中档题．二.选择题：（本题4小题，每小题'5分，共计20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得50分，部分选对的得2分）（多选）9．（5分）设函数f（x）＝sin（ωx+φ）+cos（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤）的最小正周期为π，且过点（0，），则下列正确的为（）A．f（x）在（0，）单调递减B．f（x）的一条对称轴为x＝C．f（|x|）的最小正周期为πD．把函数f（x）的图像向左平移个长度单位得到函数g（x）的解析式为g（x）＝cos （2x+）【分析】首先利用关系式的变换和函数的最小正周期以及函数所经过的定点求出函数的解析式，进一步利用函数的性质和函数的图像的平移变换的应用判断A、B、C、D的结论．【解答】解：函数f（x）＝sin（ωx+φ）+cos（ωx+φ）＝，由于函数的最小正周期为π，所以ω＝2，故f（x）＝；由于函数的图象经过点（0，），且|φ|≤，所以：φ＝；故f（x）＝＝．对于A：函数在时，2x∈（0，π），故函数在该区间上单调递减，故A正确；对于B：当x＝时，f（）＝0，故B错误；对于C：f（|x|）＝＝cos2x，故函数的最小正周期为π，故C正确；对于D：函数的图像向左平移个长度单位得到函数g（x）的解析式为g（x）＝cos （2x+），故D错误．故选：AC．【点评】本题考查的知识要点：函数的解析式的确定，正弦型函数的性质的应用，函数的图象的平移变换，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．（多选）10．（5分）已知幂函数f（x）＝x a图像经过点（3，），则下列命题正确的有（）A．函数f（x）为增函数B．函数f（x）为偶函数C．若x＞1，则f（x）＞1D．若0＜x1＜x2，则＞f（）【分析】由已知求出幂函数的解析式，即可判断出函数的单调性以及奇偶性，由此即可判断选项A，B，C，画出图象，进而判断出D的正误．【解答】解：∵幂函数f（x）＝x a图像经过点（3，），∴＝3a，解得a＝﹣2，∴f（x）＝x﹣2＝，x∈（﹣∞，0）∪（0，+∞），∴函数f（x）在（﹣∞，0）上单调递增，在（0，+∞）上单调递减，为偶函数，x＜1时，f（x）＜f（1）＝1．可知：A不正确，B正确，C正确．画出图象，可知：0＜x1＜x2，则＞f（），因此D正确．故选：BCD．【点评】本题考查了幂函数的图象与性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．11．（5分）将函数的图象向左平移个单位长度，向下平移个单位长度后，得到h（x）的图象，若对于任意的实数，h（ωx）都单调递增，则正数ω的最大值为（）A．3B．C．D．【分析】首先利用三角函数关系式的变换，平移变换和伸缩变换的应用求出函数h（x）的关系式进一步利用整体思想的应用和余弦函数的性质求出结果．【解答】解：函数的图象向左平移个单位长度，得到y＝+，向下平移个单位长度后，得到h（x）＝的图象，所以h（ωx）＝ωx+），令2kπ﹣π≤4ωx+（k∈Z），解得（k∈Z），由于对于任意的实数，h（ωx）都单调递增，所以：（k∈Z），所以，解得，当k＝1时，ω．故ω的最大值为．故选：B．【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．（多选）12．（5分）已知函数f（x）＝x2lnx若＜x1＜x2，则下列结论正确的是（）A．若x f（x1）＜x f（x2）B．x1+＜x2+C．＜0D．当＜x1＜x2时，＞【分析】对于A：令F（x）＝＝＝lnx，求导分析单调性，即可判断A是否正确；对于B：令G（x）＝x+＝x+xlnx，求导分析单调性，即可判断B是否正确；对于C：求导分析f（x）的单调性，即可判断C是否正确；对于D：由上可知x1f（x1）+x1f（x2）﹣2x2f（x1）＞x1f（x1）+x1f（x2）﹣x2f（x1）﹣x2f （x2）＝（x1﹣x2）（f（x1）+f（x2）），即可判断D是否正确．【解答】解：对于A：令F（x）＝＝＝lnx，所以F（x）在（0，+∞）上单调递增，因为＜x1＜x2，所以F（x1）＜F（x2），所以＜，所以x22f（x1）＜x12f（x2），故A正确；对于B：令G（x）＝x+＝x+xlnx，G′（x）＝1+x•+lnx＝2+lnx，令G′（x）＝0，得x＝，所以在（0，）上，G′（x）＜0，G（x）单调递减，在（，+∞）上，G′（x）＞0，G（x）单调递增，因为＜x1＜x2，所以G（x1）＜G（x2），所以x1+＜x2+，故B正确；对于C：f′（x）＝2xlnx+x2•＝2xlnx+x＝x（2lnx+1），令f′（x）＝0，得x＝，所以在（0，）上，f′（x）＜0，f（x）单调递减，在（，+∞）上，f′（x）＞0，f（x）单调递增，因为＜x1＜x2，所以f（x1）＜f（x2），所以＞0，故C正确；对于D：x1f（x1）+x1f（x2）﹣2x2f（x1）＝x1f（x1）+x1f（x2）﹣x2f（x1）﹣x2f（x1）＞x1f（x1）+x1f（x2）﹣x2f（x1）﹣x2f（x2）＝（x1﹣x2）f（x1）+（x1﹣x2）f（x2）＝（x1﹣x2）（f（x1）+f（x2）），由上可知当当＜x1＜x2时，﹣＜f（）＜f（x1）＜f（x2），所以f（x1）+f（x2）符号无法确定，故D错误，故选：ABC．【点评】本题考查导数的综合应用，解题中需要理清思路，属于中档题．三.填空题：（（本题4小题，每小题5分，共计20分）13．（5分）求值＝．【分析】将正切化成正弦与余弦的比，再利用二倍角公式，即可解出．【解答】解：原式＝＝＝＝＝，故答案为：．【点评】本题考查了三角函数的运算，学生的数学运算能力，属于基础题．14．（5分）已知函数f（x）＝a x（a＞0且a≠1）的反函数f（x）过点（4，2），设g（x）＝f（x）+f﹣1（x），则不等式g（2x﹣1）﹣g（4﹣x）＜0的解集是[]．【分析】根据反函数的定义得出f（x）的图象过点（2，4），由此即可求出a的值，再根据反函数的定义即可求出g（x）的解析式，由此得出函数的单调性，然后根据单调性建立不等式组，由此即可求解．【解答】解：因为函数f（x）＝a x（a＞0且a≠1）的反函数f（x）过点（4，2），所以函数f（x）的图象过点（2，4），即a2＝4，解得a＝2或﹣2（舍去），所以f（x）＝2x，则f﹣1（x）＝log2x，所以g（x）＝2x+log2x，且函数g（x）在（0，+∞）上单调递增，所以不等式g（2x﹣1）﹣g（4﹣x）＜0转化为：，解得，所以不等式的解集为[]，故答案为：[]．【点评】本题考查了反函数的定义的应用，涉及到求解函数不等式，属于中档题．15．（5分）在△ABC 中，M ，N 分别是边AB ，AC 上的点，且＝，＝；AB点O 是线段MN 上异于端点的一点，且满足λ+3+4＝（λ≠0），则λ＝8．【分析】将等式中的向量都用，，来表示，最后利用M ，O ，N 三点共线列出λ满足的方程求解．【解答】解：M ，N 分别是边AB ，AC 上的点，且＝，＝，＝﹣＝﹣，＝﹣＝3﹣，代入λ+3+4＝（λ≠0），得λ+3（3﹣）+4（﹣）＝，整理得＝+，因为M ，O ，N 三点共线，故+＝1，解得λ＝8．故答案为：8．【点评】本题考查平面向量的线性运算以及三点共线的条件，属中档题．16．（5分）已知函数f （x ）＝sin|x |﹣cos x ，若关于x 的方程f （x ）＝m 在（﹣，2π]上有三个不同的实根，则实数m 的取值范围是[﹣，0]．【分析】易知该函数是偶函数，然后画出x ＞0时，f （x ）的图象，再结合对称性得到整个函数图象，将问题转化为y ＝m 与y ＝f （x ）的交点问题求解．【解答】解：f （﹣x ）＝sin|﹣x |﹣cos （﹣x ）＝sin|x |cos x ＝f （x ），故函数f （x ）是偶函数，当x≥0时，＝，画出f（x）的图象如图：当y＝m与y＝f（x）产生三个不同交点时，f（x）＝m在（﹣，2π]上有三个不同实根，故只需即可．故答案为：[﹣，0]．【点评】本题考查了函数的零点与函数图象之间的关系，属于中档题．四.解答题：（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）已知{a n}是公差为1的等差数列，且a1，a2，a4成等比数列．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{}的前n项和T n．【分析】（Ⅰ）利用等比中项和等差数列的通项公式，即可求解；（Ⅱ）利用裂项相消求和即可求解．【解答】解：（Ⅰ）因为{a n}是公差为1的等差数列，且a1，a2，a4成等比数列，所以，即，解得a1＝1，所以{a n}的通项公式为a n＝n；（Ⅱ）∵＝＝﹣，∴T n＝（1﹣）+（﹣）+（﹣）+…+（﹣）＝1﹣＝．【点评】本题考查了等差数列的通项公式和裂项相消求和，属于中档题．18．（12分）已知函数f（x）＝•（+），其中向量＝（sin x；﹣3cos x），＝（sin x，﹣cos x），＝（﹣cos x，sin x），x∈R．（Ⅰ）求f（x）的解析式及对称中心和单调减区间．（Ⅱ）不等式|f（x）﹣m|＜3在x∈[，]上恒成立，求实数m的取值范围．【分析】（Ⅰ）先根据向量的数量积的坐标运算，三角函数公式化简f（x）的解析式，再根据三角函数的性质即可求解；（Ⅱ）先求出f（x）在[，]上的值域，再将恒成立问题转化为最值，从而建立不等式即可求解．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）＝•（+）＝（sin x，﹣cos x）•（sin x﹣cos x，sin x﹣3cos x）＝sin2x﹣sin x cos x﹣sin x cos x+3cos2x＝1﹣2sin x cos x+2cos2x＝cos2x﹣sin2x+2＝cos（2x+）+2，令2x+＝，可得x＝，k∈Z，∴f（x）的对称中心为（，2），k∈Z，令2kπ≤2x+≤2kπ+π，解得，k∈Z，∴f（x）的单调减区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z；（Ⅱ）∵x∈[，]，，∴cos（2x+）∈[﹣1，0]，∴cos（2x+）∈[﹣，0]，∴f（x）∈[2﹣，2]，又根据题意可得：∀x∈[，]，﹣3＜f（x）﹣m＜3，∴∀x∈[，]，m﹣3＜f（x）＜m+3，∴，解得﹣，∴实数m的取值范围为（﹣1，）．【点评】本题考查向量的数量积的坐标运算，三角函数公式，三角函数的性质，恒成立问题，属中档题．19．（12分）已知f（x）＝x2﹣x+a sin x．（1）若在x＝π处的切线的斜率是π﹣2，求当λ≤f（x）在[0，+∞）恒成立时的λ的取值范围；（2）设g（x）＝f（x）﹣x2+2x﹣ln（x+1），当x∈（0，π）时g（x）有唯一零点，求a的取值范围．＝f′（π）＝π﹣1﹣a，解得a，分析【分析】（1）求导得f′（x）＝x﹣1+a cos x，则k切f（x）的单调性，进而只需λ≤f（x）min，即可得出答案．（2）根据题意可得g（x）＝x+a sin x﹣ln（x+1），求导得g′（x）＝1+a cos x﹣，分两种情况：当a≥0时，当a＜g（x）的单调性，最值，即可得出答案．【解答】解：（1）f′（x）＝x﹣1+a cos x，＝f′（π）＝π﹣1+a cosπ＝π﹣1﹣a，所以k切因为在x＝π处的切线的斜率是π﹣2，所以π﹣1﹣a＝π﹣2，所以a＝1，所以f（x）＝x2﹣x+sin x，f′（x）＝x﹣1+cos x，令μ（x）＝x﹣1+cos x，μ′（x）＝1﹣sin x≥0，所以μ（x）在（0，+∞）上单调递增，当x＞0时，μ（x）＞μ（0）＝0，所以f′（x）＞0，所以f（x）在（0，+∞）上的单调递增，所以f（x）＞f（0）＝0，若当λ≤f（x）在[0，+∞）恒成立，则λ≤f（x）min，所以λ≤0，所以λ的取值范围为（﹣∞，0]．（2）g（x）＝f（x）﹣x2+2x﹣ln（x+1）＝x2﹣x+a sin x﹣x2+2x﹣ln（x+1）＝x+a sin x ﹣ln（x+1），g′（x）＝1+a cos x﹣，当a≥0时，由x∈（0，π）得g（x）≥x﹣ln（x+1），令h（x）＝x﹣ln（x+1），h′（x）＝1﹣＝，所以当x∈（0，π）时，h′（x）＞0，h（x）单调递增，所以h（x）＞h（0）＝0，所以g（x）＞0在（0，π）上恒成立，所以g（x）在（0，π）上无零点，不满足题意，当a＜0时，g′（x）在（0，π）上单调递增，g′（0）＜0，g′（π）＝1﹣a﹣＞0，所以存在x0∈（0，π）使得g′（x0）＝0，所以在（0，x0）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，在（x0，π）时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，又g（0）＝0，g（π）＝π﹣ln（π+1）＞0，所以存在唯一的t∈（x0，π），使得g（t）＝0，满足题意，综上所述，a的取值范围为（﹣∞，0）．【点评】本题考查导数的综合应用，解题中需要理清思路，属于中档题．20．（12分）某种机械设备随着使用年限的增加，它的使用功能逐渐减退，使用价值逐年减少，通常把它使用价值逐年减少的“量”换算成费用，称之为“失效费”．某种机械设备的使用年限x（单位年）与失效费y（单位：万元）的统计数据如表所示：使用年限x（单位：年）24568失效费y（单位：万元）34567（Ⅰ）根据上表数据，计算y与x的相关系数r，并说明y与x的线性相关性的强弱；（已知：0.75≤|r|≤1，则认为y与x线性相关性很强；0.3≤|r|＜0.75，则认为y与x线性相关性一般；|r|＜0.3，则认为y与x线性相关性较弱）（Ⅱ）求y关于x的线性回归方程，并估算该种机械设备使用10年的失效费．参考公式和数据：r＝＝，＝＝，＝﹣．【分析】（Ⅰ）根据相关系数公式，分别求出变量的均值及和值，代入公式求得相关系数，并判断相关性强弱即可；（Ⅱ）根据第一问求得的值，结合线性回归方程求解公式求得参数，写出回归方程，并预测10年的失效费即可．【解答】解：（Ⅰ）由表知，，，，，故0.75＜r＜1，认为y与x线性相关性很强；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，又，故y关于x的线性回归方程为y＝0.7x+1.5，当x＝10时，y＝0.7×10+1.5＝8.5，即10年的失效费用为8.5万元．【点评】本题利用相关性计算公式及回归方程参数求解公式求解参数及估算预测值，属于中档题．21．（12分）已知f（x）＝．（1）求函数f（x）的值域；（2）若方程f（x）＝在[0，]上的所有实根按从小到大的顺序分别记为x1，x2，⋯，x n．求x1+2x2+2x3+⋯+2x n﹣1+x n的值．【分析】（1）函数的解析式化简，换元，由均值不等式的性质可得函数的最小值；（2）利用sin（x+）对称性，周期性计算可求解．【解答】解：（1）f（x）＝＝＝，设t＝sin x+cos x，x∈R，t＝sin x+），t∈[﹣，]，则g（t）＝＝＝（t+2）+﹣4≥2﹣4＝2，当且仅当t+2＝，即t＝1时等号成立，∴g（t）的最小值为2，又g（﹣）＝＝7+，g（）＝＝7﹣，故g（t）的值域是[2，7+]，即f（x）的值域是[2，7+]；（2）由（1）得g（t）＝，t∈[﹣，]，则f（x）＝，即＝，化简得3t2﹣8t﹣1＝0，解得t＝（4﹣）或t＝（4+）（不合题意，舍去）；∴sin x+cos x＝（4﹣），得sin（x+）＝（4﹣），解得sin（x+）＝，∵x∈[0，]，∴x+∈[，10π]由x+＝kπ+，得x＝kπ+（k∈Z），得函数y＝sin（x+）图象在[0，]区间且确保sin（x+）＝成立，对称轴为x＝kπ+，（k∈N*，k≤10），sin（x+）＝在区间[0，]内有10个根x1，x2⋯，x10，数列{x i+x i+1}（i∈N*，i≤10）构成以x1+x2＝为首项，2π为公差的等差数列，x1+2x2+2x3+⋯+2x9+x10＝（x i+x i+1）＝×10+×9×8•2π＝97π．【点评】本题考查利用换元法求函数的值域，合理利用对应函数的对称性是解决问题的关键，考查方程的解，属于难题．22．（12分）已知函数f（x）＝1+﹣ae x+，a≥．（1）当x+lnx＞0时，求证f（x）＜0；（2）求证：++⋯++＞ln（n∈N*）．【分析】（1）问题转化为证明恒成立，令t＝xe x，进一步转化为当t＞1时，，设，再利用导数即可得证；（2）由（1）可得当时，恒成立，再令，由此可得，再通过累加即可得证．【解答】证明：（1）函数的定义域为（0，+∞），要证f（x）＜0，即证x2+xlnx﹣ax2e x+ae﹣x＜0，即证，即证，令t＝xe x，由于x+lnx＝ln（xe x）＞0，则t＝xe x＞1，即证当t＞1时，，设，则，又，则方程﹣at2+t﹣a＝0中Δ＝1﹣4a2≤0，则h′（t）≤0在[1，+∞）上恒成立，所以h（t）在[1，+∞）上单调递减，则，即，即得证；（2）由（1）可知，当时，恒成立，令，则，所以，则，，……，以上各式相加可得，，所以，又，则，即得证．【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查不等式的证明，考查逻辑推理能力以及运算求解能力，属于较难题目．。
吉林省长春市东北师范大学附属实验学校2023-2024学年九年级上学期期中数学试题
吉林省长春市东北师范大学附属实验学校2023-2024学年九年级上学期期中数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．若2x =是一元二次方程220x mx ++=的一个解，则m 的值为（ ） A ．0 B ．3 C ．2 D ．3- 2．一元二次方程()22x x x -=-的根是（ ）A ．=1x -B ．2x =C ．11x =，22x =D ．11x =-，22x = 3．已知抛物线2(3)1y m x =++开口向下，则m 的取值范围为（ ）A ．3m >-B ．3m <-C ．3m ≠-D ．任意实数 4．如图所示，在△ABC 中，90C ∠=︒，30A ∠=︒，DE 为AB 的中垂线，12AD =，则CD 的长是（ ）A ．3B ．4C ．6D ．8 5．体育老师对八年级（2）班学生“你最喜欢的体育项目是什么？（只写一项）”的问题进行了调查，把所得数据绘制成如图所示的折线统计图．由图可知，最喜欢篮球的学生的频率是（ ）A ．16%B ．24%C ．30%D ．40%6．已知点()12,A y 、()23,B y 、()31,C y -均在抛物线24(0)y ax ax c a =-+>上，则123,,y y y二、填空题13．如图，在45⨯的正方形网格中，点A 、B 、C 都在格点上，则sin ABC ∠=．14．如图①，“东方之门”通过简单的几何曲线处理，将传统文化与现代建筑融为一体，最大程度地传承了苏州的历史文化．如图②，“门”的内侧曲线呈抛物线形，已知其底部宽度为80米，高度为200米．则离地面150米处的水平宽度（即CD 的长）为．三、解答题15．公园原有一块正方形空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花（如图），原空地一边减少了1m ，另一边减少了2m ，剩余空地面积为212m ，求原正方形空地的边长．16．如图所示，甲、乙两个带指针的转盘分别被分成三个面积相等的扇形（两个转盘除表面数字不同外，其它完全相同），转盘甲上的数字分别是6-，1-，8，转盘乙上的数字分别是4-，5，7（规定：指针恰好停留在分界线上，则重新转一次）．(1)在上表x，y的数据中，发现有一对数据记录错误，在图2中，通过描点的方法，观察判断哪一对是错误的？如图1，画Rt ABC△并画出斜边AB上的中线CD，量一量，看看CD与AB有什么关系．相信你与你的同伴一定会发现，CD恰好是AB的一半，下面让我们用演绎推理证明这一猜想．已知：如图2，在Rt ABC△中，CD是斜边AB上的中线．求证：12CD AB=．。
吉林省东北师范大学附属中学2024-2025学年高三上学期第一次摸底考试数学试卷
东北师大附中高三年级（数学）科试卷2024—2025学年上学期第一次摸底考试出题人：高三备课组审题人：高三备课组考试时长：120分钟满分：150分一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.已知集合{}213A x x =-≤，{}240B x xx =∈-≤N ，则A B = （）A.0,2B.0,2C.{}0,1,2 D.{}1,22.已知1tan 2α=，则sin cos sin 3cos αααα-=+（）A.23 B.17-C.12D.12-3.已知角α的终边经过点5π5πsin ,cos 66⎛⎫ ⎪⎝⎭，则tan α=（）A. B.C.33-D.334.若函数()3ln f x a x x x=+-既有极大值也有极小值，则实数a 的取值范围为（）A.(0, B.((),-∞-⋃+∞C.(,-∞- D.()+∞5.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x <时，()3e 1e 1x x f x -=-，则下列说法正确的是（）A.函数()f x 有两个零点B.当0x >时，()e 3e 1x xf x -=-C.()0f x >的解集是(),ln 3-∞-D.m ∀∈R ，0x ∃∈R ，使得()0f x m=6.定义在R 上的函数()f x 的导函数为()f x '，若()10f =，()()f x f x '>，则不等式()0f x >的解集为（）A.()0,∞+ B.()1,+∞ C.()0,1 D.()()0,11,+∞ 7.已知34m =，44m a -=，22m b -=，则下列说法正确的是（）A.a b <B.a b >C.a b= D.a b=-8.若关于x 不等式()ln ax x b ≤+恒成立，则当1e ea ≤≤时，1e lnb a +-的最小值为（）A.11e+ B.e 1- C.1D.e二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.若0b a >>，则下列不等式成立的是（）A.2a ba b +<<< B.11a b<C.222log log log 22a b a b++< D.()22b a b a ->-10.已知π2sin 33α⎛⎫+=⎪⎝⎭，则下列说法正确的是（）A.πcos 63α⎛⎫-=⎪⎝⎭ B.π1cos 239α⎛⎫-=- ⎪⎝⎭C.5π2cos 63α⎛⎫+=- ⎪⎝⎭ D.若()0,πα∈，cos 6α=11.定义在R 上的偶函数()f x ，满足()()=2f x f x --，当(]1,0x ∈-时，()1f x x =--，则下列说法正确的是（）A.()10f =B.2027122f ⎛⎫=⎪⎝⎭C.函数()()31y f x x =--的所有零点之和为5D.()0.11e1ln 1.1f f ⎛⎫-> ⎪⎝⎭三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知某扇形的圆心角为120°，弧长为2πcm ，则此扇形的面积为________2cm .13.已知函数2231,0()ln(3),0x x f x x ax x +⎧-<⎪=⎨++≥⎪⎩，()()30f f -=，则实数a 的值为______.14.对于函数()f x ，若在定义域内存在实数x 满足()()f x f x -=-，则称函数()f x 为“局部奇函数”.若函数()14972xx f x m +=-⋅-在定义域R 上为“局部奇函数”，则实数m 的取值范围为________.四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.已知数列{}n a 满足：11a =，()*12n n a a n +=+∈N，数列{}nb 为单调递增等比数列，22b=，且1b ，2b ，31b -成等差数列.（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）设2log n n n c a b =+，求数列{}n c 的前n 项和n T .16.已知函数()2ee xx f x x =+-.（1）求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程；（2）当[]1,0x ∈-时，求函数()f x 的最大值与最小值.17.师大附中考入北大的学生李聪毕业后帮助某地打造“生态果园特色基地”，他决定为该地改良某种珍稀水果树，增加产量，提高收入，调研过程中发现：此珍稀水果树的单株产量W （单位：千克）与投入的成本30x（单位：元）满足如下关系：()2343,02,332,2 5.1x x W x x x x x ⎧+≤≤⎪⎪=⎨⎪+<≤⎪+⎩，已知这种水果的市场售价为10元/千克，且供不应求.水果树单株获得的利润为()f x （单位：元）.（1）求()f x 的函数关系式；（2）当投入成本为多少时，该水果树单株获得的利润最大?最大利润是多少?18.已知函数()()e ln xf x x a a x =--，a ∈R .（1）当e a =时，求函数()f x 的单调区间与极值；（2）若函数()f x 有2个不同的零点1x ，2x ，满足2121e 2e x xx x >，求a 的取值范围.19.对于数列{}n x ，若0M ∃>，对任意的*n ∈N ，有n x M ≤，则称数列{}n x 是有界的.当正整数n 无限大时，若n x 无限接近于常数a ，则称常数a 是数列{}n x 的极限，或称数列{}n x 收敛于a ，记为lim n n x a →+∞=.单调收敛原理：“单调有界数列一定收敛”可以帮助我们解决数列的收敛性问题.（1）证明：对任意的1x ≥-，*n ∈N ，()11nx nx +≥+恒成立；（2）已知数列{}n a ，{}n b 的通项公式为：11nn a n ⎛+⎫ ⎪⎝⎭=，111n n b n +⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，*n ∈N .（i ）判断数列{}n a ，{}n b 的单调性与有界性，并证明；（ii ）事实上，常数e lim lim n n n n a b →+∞→+∞==，以e 为底的对数称为自然对数，记为ln x .证明：对任意的*n ∈N ，()1111ln 11nnk k n k k ==<+<+∑∑恒成立.东北师大附中高三年级（数学）科试卷2024—2025学年上学期第一次摸底考试出题人：高三备课组审题人：高三备课组考试时长：120分钟满分：150分一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的【1题答案】【答案】C【2题答案】【答案】B【3题答案】【答案】A【4题答案】【答案】D【5题答案】【答案】D【6题答案】【答案】B【7题答案】【答案】B【8题答案】【答案】C二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.【9题答案】【答案】AC【10题答案】【答案】BCD【11题答案】【答案】ABD三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.【12题答案】【答案】3π【13题答案】【答案】3-【14题答案】【答案】1,7⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.【15题答案】【答案】（1）21n a n =-，12n n b -=；（2）232n n n T -=【16题答案】【答案】（1）22y x =+（2）函数()f x 的最大值为2，最小值3ln 24+【17题答案】【答案】（1）()23403030,02332020,251x x x f x x x x x ⎧-+≤≤⎪⎪=⎨⎪-<≤⎪+⎩（2）当投入成本为90元时，该水果树单株获得的利润最大，最大利润是180元【18题答案】【答案】（1）()f x 单调递减区间为()0,1；()f x 单调递増区间为()1,+∞；()f x 有极小值0，无极大值.（2）2ln 2a >【19题答案】【答案】（1）证明见解析；（2）（i ）{}n a 是递增数列，是有界的，{}n b 是递减数列，也是有界的，（ii ）证明见解析．。
吉林省东北师范大学附属中学2024-2025学年高三上学期第一次摸底考试英语试卷(含答案)
东北师大附中2024—2025学年上学期第一次摸底考试高三年级(英语) 科试卷考试时长：120 分钟满分: 150分第Ⅰ卷选择题(满分95分)第一部分听力(共两节，满分30分)第一节(共5小题; 每小题1.5分, 满分7.5分)听下面5段对话。
每段对话后有一个小题，从题中所给的A、B、C 三个选项中选出最佳选项，并标在试卷的相应位置。
听完每段对话后，你将有10秒钟的时间来回答有关小题和阅读下一小题。
每段对话仅读一遍。
1. What are the speakers doingA. Studying a book.B. Reading a letter.C. Collecting money.2. What is the woman looking forA. Her hat.B. Her coat.C. Her gloves.3. What kind of paper are the speakers going to writeA. A historical one.B. A biological one.C. A geographical one.4." What will the weather be like tomorrow morningA. Windy.B. Rainy.C. Sunny.5. Why does Fred decide to quitA. He often works overtime.B. He needs to earn more money.C. He doesn't get on well with his colleagues.第二节(共15小题; 每小题1.5分, 满分22.5分)听下面5段对话或独白。
每段对话或独白后有几个小题，从题中所给的A、B、C三个选项选出最佳选项，并标在试卷的相应位置。
听每段对话或独白前，你将有时何阅读各个小题，每题5秒钟：听完后，各小题将给出5秒钟的作答时间。
2024-2025学年吉林省长春市东北师范大学附属中学高二上学期10月期中考试数学试题(含答案)
2024-2025学年吉林省长春市东北师范大学附属中学高二上学期10月期中考试数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线x +3y +1=0的倾斜角是( )A. 30°B. 60°C. 120°D. 150°2.已知α,β是两个平面，l,m 是两条不同的直线，则下列说法正确的是( )A. 若m ⊥α,l ⊥m ，则l ⊥α B. 若m//β,n//β，则m//n C. 若m//α,l ⊥α，则l ⊥mD. 若α//β,m//α，则m//β3.已知两直线l 1:3x +4y−14=0,l 2:(a−2)x +4y +a =0，若l 1//l 2，则l 1与l 2间的距离为( )A. 95B. 125C. 175D. 1954.某同学参加学校组织的化学竞赛，比赛分为笔试和实验操作测试，该同学参加这两项测试的结果相互不受影响.若该同学在笔试中结果为优秀的概率为34，在实验操作中结果为优秀的概率为23，则该同学在这次测试中仅有一项测试结果为优秀的概率为( )A. 712B. 12C. 512D. 135.在平行四边形ABCD 中，点E,F,G 分别满足DE =EC ,BC =2BG ,AF =2FE ，则FG =( )A. 23AB−16ADB. 23AB +16ADC. 16AB−23ADD. 16AB +23AD6.已知圆M 经过P (1,1),Q (2,−2)两点，且圆心M 在直线l:x−y +1=0，则圆M 的标准方程是( )A. (x−2)2+(y−3)2=5 B. (x−3)2+(y−4)2=13C. (x +3)2+(y +2)2=25D. (x +3)2+(y−2)2=257.如图，在直三棱柱ABC−A 1B 1C 1中，AB ⊥BC,AB =BC =AA 1=2,P 为线段A 1B 1的中点，Q 为线段C 1P 上一点，则▵BCQ 面积的取值范围为( )A. [2,6] B. [2,5] C. [ 3,5] D. [ 2,5]8.已知点A,B是圆C:(x−2)2+y2=1上的两个动点，点P是直线l:x+y=0上动点，且PA⋅CA=0,PB⋅CB =0，下列说法正确的是( )A. 圆C上恰有一个点到直线l的距离为12B. PA长的最小值为2−1C. 四边形ACBP面积的最小值为2D. 直线AB恒过定点(32,−12)二、多选题：本题共3小题，共18分。
东北师范大学附属中学2024年高一上学期9月阶段性考试数学试题(解析版)
2024-2025学年东北师大附中 高一年级数学科试卷上学期阶段性考试考试时长：90分钟 试卷总分：120分一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．）1. 下列元素的全体可以组成集合的是（ ） A. 人口密度大的国家 B. 所有美丽的城市 C. 地球上四大洋 D. 优秀的高中生【答案】C 【解析】【分析】根据集合的确定性，互异性和无序性即可得出结论.详解】由题意，选项ABD ，都不满足集合元素的确定性，选项C 的元素是确定的，可以组成集合. 故选：C.2. 若全集R U =，集合{}0,1,2,3,4,5,6A =，{|3}B x x =<，则图中阴影部分表示的集合为（ ）A. {3,4,5,6}B. {0,1,2}C. {0,1,2,3}D. {4,5,6}【答案】A 【解析】【分析】根据图中阴影部分表示()U A B 求解即可. 【详解】由题知：图中阴影部分表示()U A B ，{}|3U Bx x =≥ ，则(){}3,4,5,6U B A = .故选：A3. 命题“[1,3]x ∀∈−，2320x x −+<”的否定为（ ）的【A. []1,3x ∃∈−，2320x x −+≥B. []1,3x ∃∈−，2320x x −+>C. []1,3x ∀∈−，2320x x −+≥D. []1,3x ∃∉−，2320x x −+≥【答案】A 【解析】【分析】根据给定条件，利用全称量词命题的否定直接写出结论即可.【详解】命题“[1,3]x ∀∈−，2320x x −+<”是全称量词命题，其否定是存在量词命题， 因此命题“[1,3]x ∀∈−，2320x x −+<”的否定是[]1,3x ∃∈−，2320x x −+≥. 故选：A4. 已知集合{}240A x x=−>，{}2430B x xx =−+<，则A B = （ ）A. {}21x x −<< B. {}12x x <<C. {}23x x −<<D. {}23x x <<【答案】D 【解析】【分析】解出集合,A B ，再利用交集含义即可.【详解】{}{2402A x xx x =−>=或}2x <−，{}{}2430|13B x xx x x =−+<=<<，则{}23A Bx x ∩=<<.故选：D.5. 若,,a b c ∈R ，0a b >>，则下列不等式正确的是（ ） A.11a b> B. a c b c >C. 2ab b >D. ()()2211a c b c −>−【答案】C 【解析】【分析】对BD 举反例即可，对AC 根据不等式性质即可判断. 【详解】对A ，因为0a b >>，则11a b<，故A 错误； 对B ，当0c =时，则a c b c =，故B 错误；对C ，因为0a b >>，则2ab b >，故C 正确； 对D ，当1c =时，则()()2211a c b c −=−，故D 错误. 故选：C.6. “2a <−”是“24a >”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】解出不等式24a >，根据充分不必要条件的判定即可得到答案. 【详解】24a >，解得2a >或2a <−，则“2a <−”可以推出“24a >”，但“24a >”无法推出“2a <−”， 则“2a <−”是“24a >”的充分不必要条件. 故选：A .7. 关于x 的一元二次方程(1)(4)x x a −−=有实数根12,x x ，且12x x <，则下列结论中错误的说法是（ ） A. 当0a =时，11x =，24x = B. 当0a >时，1214x x << C. 当0a >时，1214x x <<< D. 当904a −<<时，122544x x <<【答案】B 【解析】【分析】根据给定条件，借助二次函数的图象，逐项分析判断即可.【详解】对于A ，当0a =时，方程(1)(4)0x x −−=的二实根为121,4x x ==，A 正确； 对于B ，方程(1)(4)x x a −−=，即2540x x a −+−=，254(4)0a ∆=−−>，解得94a >−， 当0a >时，1244x x a =−<，B 错误；对于C ，令()(1)(4)f x x x =−−，依题意，12,x x 是函数()y f x =的图象与直线y a =交点的横坐标， 在同一坐标系内作出函数()y f x =的图象与直线y a =，如图，观察图象知，当0a >时，1214x x <<<，C 正确； 对于D ，当904a −<<时，12254(4,)4x x a =−∈，D 正确.故选：B8. 已知[]x 表示不超过x 的最大整数，集合[]{}03A x x =∈<<Z ，()(){}2220Bx xax x x b =+++=，且 R A B ∩=∅ ，则集合B 的子集个数为（ ）．A. 4B. 8C. 16D. 32【答案】C 【解析】【分析】由新定义及集合的概念可化简集合{}1,2A =，再由()A B ∩=∅R 可知A B ⊆，分类讨论1,2的归属，从而得到集合B 的元素个数，由此利用子集个数公式即可求得集合B 的子集的个数. 【详解】由题设可知，[]{}{}Z |31,2A x x =∈<<=，又因为()A B ∩=∅R ，所以A B ⊆， 而()(){}22|20B x xax x x b =+++=，因为20x ax 的解为=0x 或x a =−，220x x b ++=的两根12,x x 满足122x x +=−， 所以1,2分属方程20x ax 与220x x b ++=的根，若1是20x ax 的根，2是220x x b ++=的根，则有221+1=02+22+=0a b × × ，解得=1=8a b −− ， 代入20x ax 与220x x b ++=，解得=0x 或=1x 与=2x 或4x =−，故{}0,1,2,4B=−；若2是20x ax 的根，1是220x x b ++=的根，则有222+2=01+21+=0a b × × ，解得=2=3a b −− ，代入20x ax 与220x x b ++=，解得=0x 或=2x 与=1x 或3x =−，故{}0,1,2,3B=−；所以不管1,2如何归属方程20x ax 与220x x b ++=，集合B 总是有4个元素， 故由子集个数公式可得集合B 的子集的个数为42=16. 故选：C二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．）9. 已知关于x 的不等式20ax bx c ++<的解集为(1,6)−，则（ ） A. 0a < B. 不等式0ax c +>的解集是{|6}x x > C. 0a b c ++< D. 不等式20cx bx a −−<的解集为11(,)32【答案】BC 【解析】【分析】利用一元二次不等式的解集用a 表示,b c ，再逐项分析判断即得.【详解】对于A ，由不等式20ax bx c ++<的解集为(1,6)−，得1,6−是方程20ax bx c ++=的两个根，且0a >，A 错误；对于B ，16,16b ca a−+=−−×=，则5,6b a c a =−=−， 不等式0ax c +>，即60ax a −>，解得6x >，B 正确； 对于C ，56100a b c a a a a ++=−−=−<，C 正确；对于D ，不等式20cx bx a −−<，即2650ax ax a −+−<，整理得()()31210x x −−>，解得13x <或12x >，D 错误. 故选：BC10. 已知x y 、都是正数，且满足2x y +=，则下列说法正确的是（ ）A. xy 的最大值为1B.+的最小值为2C. 11x y+的最小值为2D. 2211x y x y +++的最小值为1【答案】ACD【解析】【分析】根据给定条件，借助基本不等式及“1”的妙用逐项计算判断即得.【详解】对于A ，由0,0x y >>，2x y +=，得2()12x y xy +≤=，当且仅当1xy ==时取等号，A 正确；对于B2+≤，当且仅当1xy ==时取等号，B 错误； 对于C，1111111()()(2)(22222y x x y x y x y x y +=++=++≥+=， 当且仅当1xy ==时取等号，C 正确； 对于D ，222211111111111111x y x y x y x y x y x y −+−++=+=−++−+++++++ 11111111[(1)(1)]()(2)11411411y x x y x y x y x y ++=+=++++=++++++++1(214≥+=，当且仅当1111y x x y ++=++，即1x y ==时取等号，D 正确. 故选：ACD11. 用()C A 表示非空集合A 中元素的个数，定义()()()()()()()(),,C A C B C A C B A B C B C A C A C B −≥ ∗=−< ，已知集合222{0},{R |()(1)0}A x x x B x x ax x ax =+==∈+++=|，则下面正确结论正确的是（ ）A. a ∃∈R ，()3C B =B. a ∀∈R ，()2C B ≥C. “0a =”是“1A B ∗=”的充分不必要条件D 若{}R1S a A B =∈∗=∣，则()4C S = 【答案】AC 【解析】【分析】根据集合新定义，结合一元二次方程，逐项分析判断即可. 【详解】对于A ，当2a =时，{}0,2,1B =−−，此时()3C B =，A 正确；对于B ，当0a =时，{}0B =，此时()1C B =，B 错误；.对于C ，当0a =时，{}0B =，则()1C B =，而{}0,1A =−，()2C A =，因此1A B ∗=；当1A B ∗=时，而()2C A =，则()1C B =或3，若()1C B =，满足2Δ40a a ==−< ，解得0a =； 若()3C B =，则方程20x ax 的两个根120,x x a ==−都不是方程210x ax ++=的根，且20Δ40a a ≠ =−=，解得2a =±，因此“0a =”是“1A B ∗=”的充分不必要条件，C 正确； 对于D ，由1A B ∗=，而()2C A =，得()1C B =或3，由C 知：0a =或2a =±，因此{}0,2,2S =−， 3C S ，D 错误.故选：AC三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．）12. 已知集合{}A x x a =<，{}13B x x =<<，若A B B = ，则实数a 的取值范围是______．【答案】3a ≥ 【解析】【分析】根据给定条件，利用交集的定义，结合集合的包含关系求解即得.【详解】由A B B = ，得B A ⊆，而{}A x x a =<，{}13B x x =<<，则3a ≥，所以实数a 的取值范围是3a ≥. 故答案：3a ≥13.若一个直角三角形的斜边长等于，当这个直角三角形周长取最大值时，其面积为______． 【答案】18 【解析】【分析】由题意画出图形，结合勾股定理并通过分析得知当()2722AB AC AB AC +=+⋅最大值，这个直角三角形周长取最大值，根据基本不等式的取等条件即可求解. 【详解】如图所示：为在Rt ABC △中，90,A BC ==而直角三角形周长l AB BC CA AB CA =++=++，由勾股定理可知(222272AB CA BC +===，若要使l 最大，只需+AB AC 即()2222722AB AC AB AC AB AC AB AC +=++⋅=+⋅最大即可， 又22272AB AC AB AC ⋅≤+=，等号成立当且仅当6AB AC ==， 所以()2722144AB AC AB AC +=+⋅≤，12AB AC +≤，12l ≤+， 等号成立当且仅当6AB AC ==， 此时，其面积为11661822S AB AC =⋅=××=. 故答案为：18.14. 若不等式22x x a ax +−>+对(]0,1a ∀∈恒成立，则实数x 取值范围是______． 【答案】(]),2∞∞−−∪+【解析】【分析】根据主元法得()2120x a x x +−−+<对(]0,1a ∀∈恒成立，再利用一次函数性质即可得到答案.【详解】由不等式22x x a ax +−>+对(]0,1a ∀∈恒成立， 得()2120x a x x +−−+<对(]0,1a ∀∈恒成立，令()()212g a x a x x =+−−+，得22(0)20(1)120g x x g x x x =−−+≤ =+−−+< ， 解得(]),2x ∈−∞−+∞，∴实数x的取值范围是(.故答案为：(]),2∞∞−−∪+.四、解答题（本题共3小题，共47分）15. 设集合U =R ，{}05Ax x =≤≤，{}13B x m x m =−≤≤． （1）3m =，求()U A B ∪ ；（2）若“x B ∈”是“x A ∈”的充分不必要条件，求m 的取值范围．的【答案】（1）{|5x x ≤或}9x > （2）12m <−或513m ≤≤. 【解析】【分析】（1）根据 集合的补集定义以及集合的交集运算，即可求得答案；（2）依题意可得B A ，讨论集合B 是否为空集，列出相应的不等式，即可求得结果. 【小问1详解】当3m =时，可得{}|29B x x =≤≤，故可得{|2U B x x =< 或}9x >，而{}|05A x x =≤≤， 所以(){|5U A B x x ∪=≤ 或}9x >. 【小问2详解】由“x B ∈”是“x A ∈”的充分不必要条件可得B A ； 当B =∅时，13m m −>，解得12m <−，符合题意； 当B ≠∅时，需满足131035m m m m −≤−≥ ≤，且10m −≥和35m ≤中的等号不能同时取得，解得513m ≤≤； 综上可得，m 的取值范围为12m <−或513m ≤≤. 16. （1）已知03x <<，求y =的最大值； （2）已知0x >，0y >，且5x y xy ++=，求x y +的最小值； （3）解关于x 的不等式()2330ax a x −++<（其中0a ≥）． 【答案】（1）92；（2）2+；（3）答案见解析 【解析】【分析】（1）化简得y，再利用基本不等式即可；（2）利用基本不等式构造出252x y x y + ++≤，解出即可；（3）因式分解为(3)(1)0ax x −−<，再对a 进行分类讨论即可.【详解】（1）()229922x x y +−=≤=，当且仅当229x x =−，即229x x =−，即x =时等号成立.则y =的最大值为92. （2）因为 0,0x y >>, 且 5x y xy ++=, 则252x y x y xy + ++≤，解得2x y +≥ 或 2x y +≤−（舍去），当且仅当1x y ==时等号成立，则x y +的最小值为2+.（3）不等式()2330ax a x −++<化为(3)(1)0ax x −−<，（其中0a ≥）， 当0a =时，解得1x >；当0a >时，不等式化为3()(1)0x x a−−<，若0<<3a ，即31a>，解得31x a <<；若3a =，x 无实数解； 若3a >，即31a <，解得31x a<<， 所以当0a =时，原不等式的解集为{|1}x x >； 当0<<3a 时，原不等式的解集为3{|1}x x a<<； 当3a =时，原不等式的解集为∅； 当3a >时，原不等式的解集为3{|1}x x a<<. 17. 已知方程()220,x mx n m n −+−=∈R（1）若1m =，0n =，求方程220x mx n −+−=的解；（2）若对任意实数m ，方程22x mx n x −+−=恒有两个不相等的实数解，求实数n 的取值范围；（3）若方程()2203x mx n m −+−=≥有两个不相等的实数解12,x x ，且()2121248x x x x +−=，求221221128x x x x x x +−+的最小值． 【答案】（1）2x =或1−；（2）2n <（3）【解析】【分析】（1）由题意得到220x x −−=，求出方程的根；（2）由根的判别式大于0得到()21124n m <++，求出()211224m ++≥，从而得到2n <； （3）由韦达定理得到1212,2x x m x x n +==−，代入()2121248x x x x +−=中得到24m n =，结合立方和公式化简得到2212211288328x x m x x x x m m m+−=−++−，令8t m m =−，由单调性得到81333t −=≥，结合基本不等式求出22122112832x x t x x x x t +−=+≥+，得到答案. 【小问1详解】1m =，0n =时，220x x −−=，解得2x =或1−；【小问2详解】()222120x mx n x x m x n −+−=⇒−++−=，故()()2Δ1420m n =+−−>，所以()21124n m <++， 其中()211224m ++≥，当且仅当1m =−时，等号成立， 故2n <；【小问3详解】()2203x mx n m −+−=≥有两个不相等的实数解12,x x ，()2Δ420m n =−−>，由韦达定理得1212,2x x m x x n +==−，故()2212124488x x x x m n +−=−+=，所以24m n =，此时80∆=>， 所以()()2222331211221212211212121212888x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x +−+++−=−=−+++ ()()()221212121212336882x x x x x x m m n x x x x n m ++−−+ −=−+−，因为24m n =， 所以2222122221126284488883282244m m m m x x m m m x x x x m m m m m +−+ +−=−=−=−++−−−， 令8t m m =−，其在3m ≥上单调递增，故81333t −=≥，故22122112832x x t x x x x t +−=+≥+ 当且仅当32t t=，即=t 时，等号成立， 故221221128x x x x x x +−+的最小值为【点睛】关键点点睛：变形得到2212211288328x x m x x x x m m m+−=−++−，换元后，由函数单调性和基本不等式求最值.。