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东北师范大学附属中学2023-2024学年高一下学期期末数学试题(解析版)
东北师大附中2023-2024学年下学期高（一）年级期末考试（数学）科试卷注意事项：1．答题前，考生需将自己的姓名、班级、考场/座位号填写在答题卡指定位置上，并粘贴条形码．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．3．回答非选择题时，请使用0.5毫米黑色字迹签字笔将答案写在答题卡各题目的答题区域内，超出答题区域或在草稿纸、本试题卷上书写的答案无效．4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄皱、弄破，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀． 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知i 为虚数单位，复数i 12i z ⋅=+，则z =（ ）A.2i −− B.2i−+ C.2i+ D.2i−【答案】D 【解析】【分析】利用复数的四则运算求解即可. 【详解】因为i 12i z ⋅=+， 所以()()()12i i 12i2i ii i z +−+===−×−.故选：D.2.已知两条不同的直线m ，n 和两个不同的平面α，β，下列四个命题中正确的为（ ）A.若//m α，//n α，则//m n B.若//m n ，m α⊂，则//n α C.若//m α，//m β，则αβ∥ D.若//m α，m β⊥，则αβ⊥【答案】D 【解析】【分析】利用点、线、面的位置关系即可得出答案.【详解】对于A ，若//m α，//n α，则,m n 可能相交，故A 错误；对于B ，若//m n ，m α⊂，则可能n ⊂α，故B 错误；对于C ，若//m α，//m β，则可能αβ⊥，故C 错误； 对于D ，若//m α，在平面α内能找到直线a ，使得//a m ， 由m β⊥，可得a β⊥，又因为a α⊂，则αβ⊥，故D 正确. 故选：D .3. 高一年级某位同学在五次考试中的数学成绩分别为105，90，104，106，95，这位同学五次数学成绩的方差为（ ） A. 20.2 B. 40.4C. 50D. 50.2【答案】B 【解析】【分析】根据题中数据结合平均数、方差公式运算求解.【详解】由题意可得：数学成绩平均数为()110590104106951005x=++++=， 所以数学成绩的方差为()()()()()2222221105100901001041001061009510040.45s =−+−+−+−+−=. 故选：B.4. 在直三棱柱111ABC A B C 中，122AA AB AC ==，且AB AC ⊥，则异面直线1A B 与1AC 所成角的余弦值是（ ）A.45B.35C.D.12【答案】A 【解析】【分析】先找到异面直线1A B 与1AC 所成角为HGI ∠（或其补角）,再通过解三角形求出它的余弦值. 【详解】如图分别取111,,,A C AA AB AC 的中点,,,H G I M ， 连接,,,GI HI IM GH ，因为11//,//A B GI HG AC ，所以异面直线1A B 与1AC 所成角即为直线GI 与HG 所成角，即HGI ∠（或其补角）， 设1222AA AB AC ===，由AB AC ⊥，所以BC ==MI =HIHG GB==，所以由余弦定理可得：22224cos5252HG GI HIHGIHG GI+−−∠===−⋅.则异面直线1A B与1AC所成角余弦值是45.故选：A.5. 数据1，2，5，4，8，10，6的第60百分位数是（）A. 4.5B. 5.5C. 6D. 8【答案】C【解析】【分析】对这7个数按从小到大的顺序排列，然后根据百分位数的定义求解.【详解】这7个数从小到大排列为：1，2，4，5，6，8，10，因为760% 4.2×=，所以第60百分位数是第5个数6.故选：C6. 已知圆台的上、下底面圆的半径分别为1和3，高为1，则圆台的表面积为（）A.20π3B. 20πC. (10π+D. (11π+【答案】C【解析】【分析】根据题意求出圆台的母线长，再利用圆台的表面积公式求解即可.【详解】设圆台的母线长为l，则l=的所以圆台的表面积为221π1π3(2π12π3)2×+×+×+×10π+.故选：C7. 某学校高一年级学生有900人，其中男生500人，女生400人，为了获得该校高一全体学生的身高信息，现采用样本量按比例分配的分层随机抽样方法抽取了容量为180的样本，经计算得男生样本的均值为170，女生样本的均值为161，则抽取的样本的均值为是（ ） A. 165.5 B. 166C. 166.5D. 168【答案】B 【解析】【分析】由样本均值计算公式，代入数据即可求得； 【详解】抽取的样本的均值近似于总体的均值， 由题意可得：170,161xy =，500,400m n ==， 抽取的样本的均值为500400170161166500400500400m nx ym n m n ω=+=×+×=++++. 故选：B .8. 棱长为2的正方体内有一个棱长为a 的正四面体，且该正四面体可以在正方体内任意转动，则a 的最大值为（ ） A 1B.C.D. 2【答案】B 【解析】【分析】棱长为a 的正四面体的外接球的半径为1，设正四面体为−P ABC ，过P 作PO ⊥平面ABC ，垂足为O ，连接AO ，表示出,AO PO ，然后结合图形利用勾股定理列方程求解【详解】棱长为2的正方体内切球的半径为1，因为正四面体可以在正方体内任意转动，所以只需该正四面体为球的内接正四面体，换言之，棱长为a 的.正四面体的外接球的半径为1，设正四面体为−P ABC ，过P 作PO ⊥平面ABC ，垂足为O ，连接AO ，O 为底面正ABC 的中心，则23AO =，体高为PO ，由于外接球半径为1，利用勾股定理得：2211 −+=，解得a =或0a =(舍)， 故选：B二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得3分或4分，有选错的得0分．9. 某单位为了解员工参与一项志愿服务活动的情况，从800位员工中抽取了100名员工进行调查，根据这100人的服务时长（单位：小时），得到如图所示的频率分布直方图．则（ ）A. a 的值为0.018B. 估计员工平均服务时长为45小时C. 估计员工服务时长的中位数为48.6小时D. 估计本单位员工中服务时长超过50小时的有45人【答案】AC 【解析】【分析】对于A ，根据各组的频率和为1可求出a ，对于B ，利用平均数的定义求解判断，对于C ，先判断中位数的位置，然后列方程求解即可，对于D ，根据频率分布直方图求出服务时长超过50小时的频率，再乘以800进行判断.【详解】对于A ，由频率分布直方图得10(0.0020.0350.0250.020)1a ++++=， 解得0.018a =，所以A 正确，对于B ，员工平均服务时长为250.02350.18450.35550.25650.249.3×+×+×+×+×=小时，所以B 错误，对于C ，因为前2组的频率和为0.200.5<，前3组的频率和为0.550.5>，所以中位数在第3组，设中位数为m ，则0.200.035(40)0.5m +−=， 解得48.6m ≈，所以C 正确，对于D ，因为服务时长超过50小时的频率为10(0.0250.020)0.45×+=， 所以本单位员工中服务时长超过50小时的约有8000.45360×=人，所以D 错误. 故选：AC10. 正六边形ABCDEF 的边长为2，G 为正六边形边上的动点，则AD BG ⋅的值可能为（ ） A. 3− B. 1−C. 12D. 16【答案】ABC 【解析】【分析】利用投影向量求解向量数量积，得到AD BG ⋅的最小值和最大值，得到答案.【详解】连接BF 与AD 相交于点O ，由正六边形的几何性质，BF ⊥AD ，60FAO ∠=°， 正六边形ABCDEF 的边长为2，故sin 301AO AF =°=，24AD EF ==， 故413OD =−=，故点B 在AD 上的投影为O ，当点G 与点D 重合时，此时BG 的投影向量为OD ，OD 与AD方向相同 此时AD BG ⋅取得最大值，最大值为4312AD OD ⋅=×=，故当G 与A 重合时，BG的投影向量为OA ，OA 与AD 方向相反，此时AD BG ⋅取得最小值，最小值为4OA AD −⋅=−，故[]4,12AD BG ⋅∈−，ABC 正确，D 错误.故选：ABC11. 如图，正三棱锥A BCD −和正三棱锥E BCD −，2BD =．若将正三棱锥A BCD −绕BD 旋转，使得点A ，C 分别旋转至点M ，N 处，且M ，B ，D ，E 四点共面，点M ，E 分别位于BD 两侧，则（ ）A. MN BD ⊥B. MN CE ⊥C. MCD. 点C 与点A 【答案】ACD 【解析】【分析】对于A ，先作出图形，取BD 中点P ，证明BD ⊥平面ACP ，即可得到BD MN ⊥；对于B ，分别证明CE ⊥平面BDE ,MN ⊥平面MBD ，可推得//MN CE ，排除B ；对于C,先求得cos MPO ∠，再由余弦定理即可求得MC ，对于D ，只需求出两点的旋转半径即可求得.【详解】如图，取BD 中点P ，连接,AP CP ,依题意，,AB AD CB CD ==,则有,,BD AP BD CP ⊥⊥ 因,,AP CP P AP CP ∩=⊂平面ACP ,则BD ⊥平面ACP . 对于A ，因为将正三棱锥A BCD −绕BD 旋转，使得点A ，C 分别旋转至点M ，N 处，故MN ⊂平面ACP ,因BD ⊥平面ACP ，故BD MN ⊥即A 正确； 对于B，因2,BC CD BD EB ED EC ======,则由222ED EC CD +=可知，CE DE ⊥,同理CE BE ⊥,因,,DE BE E DE BE ∩=⊂平面BDE ,故得，CE ⊥平面BDE ,同理可证AC ⊥平面ABD , 依题意，因M ，B ，D ，E 四点共面，故MN ⊥平面MBD ,故//MN CE ,故B 错误； 对于C ，设连接AE ，交CP 于点O ，则EO PO ⊥,11233OP CP ===112EP BD =,则cos EPO ∠,,M P E三点共线，可得cos MPO ∠, 在MPC中，由余弦定理，MC ==故C 正确；对于D ，因点C 与点A 是同时旋转，故转动的轨迹长度之比即旋转的半径之比， 而点C转动的半径为2PC ==,点A 转动的半径为1PA =,故点C 与点A 旋转运动D 正确. 故选：ACD.【点睛】关键点点睛：本题主要考查余几何体旋转有关的线面关系问题，属于难题.问题的关键在于，正确作出图形，理解旋转前后的变与不变的量，通过线面关系的推理与证明，即可得到线面关系，借助于正、余弦定理进行相关计算，即可解决.三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知复数112z =−+，复数2z 满足123z z −=，则2z 的最小值为________． 【答案】2 【解析】【分析】设2i(,R)z a b a b =+∈，代入123z z −=中化简可得22192a b ++−=，则点(,)a b在以12 − 为圆心，3为半径的圆上，从而可求得结果. ,的【详解】设2i(,R)z a b a b =+∈，因为112z =−，123z z −=，所以1i 32a b −+−−=，所以22192a b++−=，所以点(,)a b 在以12 −为圆心，3为半径的圆上，所以2z =的最小值为3312−=−=. 故答案为：213. 设正方体1111ABCD A B C D −的棱长为1，E ，F 分别为AB ，1BD 的中点，点M 在正方体的表面上运动，且满足FM DE ⊥，则点M 轨迹的长度为________．【答案】2+ 【解析】【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量求解出点M 轨迹的长度.【详解】在正方体1111ABCD A B C D −中，棱长为1，以D 为坐标原点，分别以1,,DA DC DD 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，∴1111(0,0,0),(1,,0),(,,),2222D E F 设(,,)M x y z ，则1111(1,,0),(,,)2222DE FM x y z ==−−− ， ∵DE FM ⊥，∴11113()0022224x y x y −+−=⇒+−=，当0y =时，34x =，当1y =时，14x =，取3113(,0,0),(,1,0),(,1,1),(,0.1)4444G H R T ，连结,,,GH HR RT TG ，则1(,1,0),(0,0,1)2GH TR TG RH ==−== ，∴四边形GHRT 为矩形， 则111()20022DE GH ⋅=×−+×+= ，1100102DE TG ⋅×+×+× ，即,,,DE GH DE TG GH TG ⊥⊥为平面GHRT 中的两条相交直线，∴DE ⊥平面GHRT ，又111111(,,),(,,)422422GF FR =−=− ，又F 为1BD 的中点，则F ∈平面GHRT ， 为使DE FM ⊥，必有点M ∈平面GHRT ，又点M 在正方体表面上运动，所以点M 的轨迹为四边形GHRT ，因为1GH RT TG RH ，则点M 的轨迹不是正方形，则矩形GHRT 的周长为1222×+=+故答案为：2.14. 有两个相同的直三棱柱，高为2，底面三角形的三边长分别为3,4,5．用它们拼成一个三棱柱或四棱柱，在所有可能的情形中，拼成的几何体的表面积最小值是________． 【答案】52 【解析】【分析】先分情况分别求解组成三棱柱和四棱柱时的表面积，再比较大小得出最小值即可. ABC DEF −和直三棱柱111111A B C D E F −，如图所示：当拼成一个三棱柱时，表面积有三种情况： ①上下底面对接，其表面积为()112343454602S =×××+++×=；②边长为3的边合在一起时，表面积为()2122342542602S =××××++×=； ③边长为4的边合在一起时，表面积为()3122342532562S =××××++×=.当拼成一个四棱柱时，有四种情况，如图④、⑤、⑥、⑦：图④的表面积()4143454542602S =×××++++×=， 图⑤的表面积()5143453352562S =×××++++×=，图⑥的表面积()6143443432522S =×××++++×=， 图⑦的表面积()7143443342522S =×××++++×=. 综上所述，拼成的几何体的表面积最小值是52.故答案为：52.四、解答题：本大题共5小题，共55分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知a ，b ，c 分别为ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，120B =°．（1）若1a =，b =，求A ；（2）若b =，求ABC 周长的最大值．【答案】（1）30A =°（2）4+【解析】【分析】（1）利用正弦定理直接求解；（2）根据余弦定理结合基本不等式得4a c +≤，从而可求出ABC 周长的最大值．【小问1详解】由正弦定理知sin sin b a B A =1sin A=，解得1sin 2A =， 因为B 为钝角，所以30A =°．【小问2详解】解：由余弦定理得()2222222cos b a c ac B a c ac a c ac =+−=++=+−， 又由0a >，0c >，则22a c ac + ≤， 所以()()()222231224a c a c ac a c a c + =+−≥+−=+ ， 所以4a c +≤，当且仅当a c =时，等号成立，即a c +的最大值为4，所以ABC 周长的最大值为4+．16. 在四棱锥P ABCD −中，PA ⊥平面ABCD ，AB AD ⊥，AD ∥BC ，2PA AB AD ===，1BC =，E 为PD 中点．（1）求证：CE ∥平面P AB ；（2）求直线CE 与平面P AD 所成的角的正弦值．（要求用几何法解答）【答案】（1）证明见解析（2【解析】【分析】（1）取AD 中点G ，根据平行关系可证平面ECG ∥平面P AB ，结合面面平行的性质分析证明； （2）根据题意可证CG ⊥平面P AD ，可知CEG ∠为CE 与平面P AD 所成的角，即可得结果.【小问1详解】取AD 中点G ，连接EG ，CG ，因为E 、G 分别为PD 、AD 中点，则EG ∥PA ，112EG PA ==， 且PA ⊂平面P AB ，EG ⊄平面P AB ，可得EG ∥平面P AB ，由题意可知：BC ∥AG ，且BC AG =，可知ABCG 为平行四边形，则AB ∥CG ，2AB CG ==，且AB ⊂平面P AB ，CG ⊄平面P AB ，可得CG ∥平面P AB ，且CG EG G ∩=，,CG EG ⊂平面ECG ，所以平面ECG ∥平面P AB ，又因为EC ⊂平面ECG ，所以CE ∥平面P AB ．【小问2详解】因为PA ⊥平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，则PA AB ⊥又因为AD AB ⊥，PA AD A ∩=，,PA AD ⊂平面P AD ，可得AB ⊥平面P AD ，由（1）可知：AB ∥CG ，则CG ⊥平面P AD ，可知CEG ∠为CE 与平面P AD 所成角，在直角三角形CEG 中，由（1）可知：2,1,CG EG CE ====，则sin CG CEG CE ∠=的所以直线CE 与平面P AD . 17. 近年来，“直播带货”受到越来越多人的喜爱，目前已经成为推动消费的一种流行营销形式，某直播平台有1000个直播商家，对其进行调查统计，发现所售商品多为小吃、衣帽、生鲜、玩具、饰品类等，各类直播商家所占比例如图①所示，为了更好地服务买卖双方，该直播平台打算用分层抽样的方式抽取80个直播商家进行问询交流．（1）应抽取小吃类商家多少家？（2）在问询了解直播商家的利润状况时，工作人员对抽取的80个商家的平均日利润进行了统计（单位：元），所得频率直方图如图②所示．①估计该直播平台商家平均日利润的第75百分位数；②若将平均日利润超过480元的商家称为“优质商家”，估计该直播平台“优质商家”的个数．【答案】（1）28家 （2）① 487.5元；②280【解析】【分析】（1）根据分层抽样的定义结合图①求解即可；（2）①先根据频率和为1求出a ，然后列方程求解第75百分位数，②根据频率分布直方图求出平均均日利润超过480元的频率，然后乘以1000可得答案.【小问1详解】根据分层抽样知：应抽取小吃类()80130%15%10%5%5%28×−−−−−=家； 【小问2详解】①根据题意可得()0.002320.006501a ×++×=，解得0.004a =， 设75百分位数为x ，因为()0.0020.0040.006500.60.75++×=<，(0.002+0.004+0.006+0.004)×50=0.8>0.75，所以()4500.0040.60.75x −×+=，解得487.5x =， 所以该直播平台商家平均日利润的75百分位数为487.5元．②5004800.0040.0020.00250100028050− ×++××=， 所以估计该直播平台“优秀商家”的个数为280．18. 如图，已知正方体1111ABCD A B C D −的棱长为2，M 分别为棱1BB 的中点．（1）证明：1AC D M ⊥；（2）求平面1AMD 与平面ABCD 所成二面角的余弦值．（要求用几何法解答）【答案】（1）证明见解析（2）23【解析】【分析】（1）连接BD ，则AC BD ⊥，由线面垂直的判定定理可证得AC ⊥平面1BDD ，从而可证得结论； （2）延长1D M 、DB 交于点E ，则直线AE 为平面1AMD 与平面ABCD 的交线，过点M ，作MN AE ⊥，垂足为N ，连接BN ，则可得∠MNB 为平面1AMD 与平面ABCD 所成二面角的平面角，然后在MNB 中求解即可.【小问1详解】证明：连接BD ，因为四边形ABCD 为正方形，所以AC BD ⊥，因为1DD ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，所以1DD AC ⊥，因为1DD BD D = ，1,DD BD ⊂平面1BDD ，所以AC ⊥平面1BDD ，因为1D M ⊂平面1BDD ，所以1AC D M ⊥．【小问2详解】延长1D M 、DB 交于点E ，则直线AE 为平面1AMD 与平面ABCD 的交线，过点M ，作MN AE ⊥，垂足为N ，连接BN ，因为BM ⊥平面ABCD ，AE ⊂平面ABCD ，所以BM AE ⊥，因为BM MN M = ，,BM MN ⊂BMN ，所以⊥AE 平面BMN ，因为BN ⊂平面BMN ，所以AE BN ⊥，所以∠MNB 为平面1AMD 与平面ABCD 所成二面角的平面角，因为BM ∥1DD ，所以MBE △∽1D DE △， 所以112MB BE D D DE ==，所以BE BD == 在ABE 中，2AB =，BE =，135ABE ∠=°所以2222cos13520AE AB BE AB BE =+−⋅°=，所以AE = 因为11sin 22ABE S AB BE ABE AE BN ∆=⋅∠=⋅，所以11222BN ××°=×，所以BN =MN === 所以2cos 3BN MNB MN ∠== 所以平面1AMD 与平面ABCD 所成二面角的余弦值为23．19.定义：球的直径的两个端点称为球的一对对径点；过球心的平面与球面的交线称为该球的大圆；对于球面上不在同一个大圆上的点A ，B ，C ，过任意两点的大圆上的劣弧AB ，劣弧BC ，劣弧CA 所组成的图形称为球面ABC ，记其面积为ABC S 球面△．易知：球的任意两个大圆均可交于一对对径点，如图1的A ，A ′；若球面上A ，B ，C 的对径点分别为A ′，B ′，C ′，则球面A B C ′′′ 与球面ABC 全等，如图2．已知球O 的半径为R ，圆弧AB 和圆弧AC 所在平面组成的锐二面角B AO C −−的大小为α，圆弧BA 和圆弧BC 所在平面组成的锐二面角的大小为β，圆弧CA 和圆弧CB 所在平面组成的锐二面角的大小为γ．记()AB C ABC A BC A B C S S S S S α′′′′′′=+++ 球面球面球面．（1）请写出()πS ，π2S ，π4S的值，并猜测函数()S α的表达式； （2）求ABC S 球面△（用α，β，γ，R 表示）．【答案】（1）()2π4πS R =，2π2π2S R = ，2ππ4S R =；猜测2()4S R αα= （2）()πABCS R αβγ++−球面△【解析】 【分析】（1）结合图形理解题意，根据()S α的计算公式，分别求出()πS ，π2S，π4S ，并按照规律猜出()S α的表达式即得；（2）分别计算,,S S S αβγ并相加，利用八块球面拼接成一个球面，以及ΔA B C ABC S S ′′′=球面球面，将其化简，代入（1）猜测的公式，即可求得ABC S 球面△的解析式.【小问1详解】()222221111π4π4π4π4π4π4444S R R R R R =×+×+×+×=， 22222π11114π4π4π4π2π28888S R R R R R =×+×+×+×= ，22222π11114π+4π4π4ππ416161616S R R R R R =××+×+×= ． 猜测2()4S R αα=．【小问2详解】S S S αβγ++=()ABC A BC AB C A B C S S S S ′′′′′′++++ 球面球面球面球面()ABC AB C A BC A B C SS S S ′′′′′′++++ 球面球面球面球面 ()ABCABC A B C A B C S S S S ′′′′′′+++ 球面球面球面球面 22ABC A B C S S S ′′′=++ 球球面球面因为ΔA B C ABC S S ′′′=球面球面，所以22224444π4ABC R R R R S αβγ++=+ 球面，即()2πABC S R αβγ++− 球面．【点睛】思路点睛：本题主要考查球面三角形表面积的新定义问题，属于难题.解题思路，即是结合图形，充分理解题意，正确列出关系式，并根据图形进行表面积合并整理，即可求得.。
东北师大附中2024年高一上学期期中考试物理试题
2024-2025学年上学期东北师大附中（物理）科试卷高一年级期中考试注意事项：1.答题前，考生须将自己的处名、班级、考场/座位号填写在答题卡指定位置上，并粘贴条形码。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
3.回答非选择题时，请使用0.5。
毫米黑色字迹签字笔将答案写在答题卡各题目的答题区域内，超出答题区域或在草稿纸、本试题卷上书写的答案无效。
4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄皱、弄破，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题（本题共13个小题，每个小题4分，共52分，每个小题的四个选项中，1-7题只有一个正确选项，8-13题至少有两个选项是正确的。
全部答对的得4分，选对但不全得2分，有错选的不得分）1. 下列有关力的说法，正确的是（）A. 物体所受重力施力物体是地球，方向总是垂直地面向下的B. 杆对物体的弹力一定是沿杆的方向C. 物体重心的位置与形状有关，形状规则的物体重心一定在几何中心上D. 箱子对地面的压力是由于箱子发生微小形变而产生的2. 下列说法正确的是（）A.B. 物体速度变化大，加速度一定大C. 加速度减小，速度可能增大D. 研究子弹穿过薄木板的时间，可以将子弹看成质点3. 某同学将一石子竖直向上抛出，经过2s落回抛出点，已知重力加速度g=10m/s2，忽略空气阻力。
关于石子在空中的运动，下列说法正确的是（）A. 上升的时间大于下降的时间B. 加速度先减小后反向增大C. 抛出瞬间的速度大小为20m/sD. 上升的最大高度为5m4. 两个力F1和F2间的夹角为θ，两力的合力为F．以下说法正确的是（）A. 若F1和F2的大小不变，θ角越小，合力越大B. 合力F总比分力F1和F2中的任何一个力都大C. 若夹角θ不变，F 1大小不变，只要F 2增大，合力F 就增大D. 若夹角θ不变，F 1和F 2同时增大，则合力F 一定增大5. 质点做匀变速直线运动，某过程用时为3t ，已知经过第一个t 时间内位移为3x ，后2t 时间内位移为5x ，该过程中物体的加速度为（ ） A. 22x t − B. 23x t C. 23x t − D. 223x t 6. 如图所示，某创新实验小组制作了一个半径为12cm 的圆环，将3个相同的轻弹簧一端等间距地连接在圆环上的A 、B 、C 三点，另外一端连接于同一点，结点恰好在圆心O 处。
吉林省长春市东北师范大学附属实验学校2023-2024学年九年级上学期期中数学试题
吉林省长春市东北师范大学附属实验学校2023-2024学年九年级上学期期中数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．若2x =是一元二次方程220x mx ++=的一个解，则m 的值为（ ） A ．0 B ．3 C ．2 D ．3- 2．一元二次方程()22x x x -=-的根是（ ）A ．=1x -B ．2x =C ．11x =，22x =D ．11x =-，22x = 3．已知抛物线2(3)1y m x =++开口向下，则m 的取值范围为（ ）A ．3m >-B ．3m <-C ．3m ≠-D ．任意实数 4．如图所示，在△ABC 中，90C ∠=︒，30A ∠=︒，DE 为AB 的中垂线，12AD =，则CD 的长是（ ）A ．3B ．4C ．6D ．8 5．体育老师对八年级（2）班学生“你最喜欢的体育项目是什么？（只写一项）”的问题进行了调查，把所得数据绘制成如图所示的折线统计图．由图可知，最喜欢篮球的学生的频率是（ ）A ．16%B ．24%C ．30%D ．40%6．已知点()12,A y 、()23,B y 、()31,C y -均在抛物线24(0)y ax ax c a =-+>上，则123,,y y y二、填空题13．如图，在45⨯的正方形网格中，点A 、B 、C 都在格点上，则sin ABC ∠=．14．如图①，“东方之门”通过简单的几何曲线处理，将传统文化与现代建筑融为一体，最大程度地传承了苏州的历史文化．如图②，“门”的内侧曲线呈抛物线形，已知其底部宽度为80米，高度为200米．则离地面150米处的水平宽度（即CD 的长）为．三、解答题15．公园原有一块正方形空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花（如图），原空地一边减少了1m ，另一边减少了2m ，剩余空地面积为212m ，求原正方形空地的边长．16．如图所示，甲、乙两个带指针的转盘分别被分成三个面积相等的扇形（两个转盘除表面数字不同外，其它完全相同），转盘甲上的数字分别是6-，1-，8，转盘乙上的数字分别是4-，5，7（规定：指针恰好停留在分界线上，则重新转一次）．(1)在上表x，y的数据中，发现有一对数据记录错误，在图2中，通过描点的方法，观察判断哪一对是错误的？如图1，画Rt ABC△并画出斜边AB上的中线CD，量一量，看看CD与AB有什么关系．相信你与你的同伴一定会发现，CD恰好是AB的一半，下面让我们用演绎推理证明这一猜想．已知：如图2，在Rt ABC△中，CD是斜边AB上的中线．求证：12CD AB=．。
吉林省东北师范大学附属中学2024-2025学年高三上学期第一次摸底考试数学试卷
东北师大附中高三年级（数学）科试卷2024—2025学年上学期第一次摸底考试出题人：高三备课组审题人：高三备课组考试时长：120分钟满分：150分一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.已知集合{}213A x x =-≤，{}240B x xx =∈-≤N ，则A B = （）A.0,2B.0,2C.{}0,1,2 D.{}1,22.已知1tan 2α=，则sin cos sin 3cos αααα-=+（）A.23 B.17-C.12D.12-3.已知角α的终边经过点5π5πsin ,cos 66⎛⎫ ⎪⎝⎭，则tan α=（）A. B.C.33-D.334.若函数()3ln f x a x x x=+-既有极大值也有极小值，则实数a 的取值范围为（）A.(0, B.((),-∞-⋃+∞C.(,-∞- D.()+∞5.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x <时，()3e 1e 1x x f x -=-，则下列说法正确的是（）A.函数()f x 有两个零点B.当0x >时，()e 3e 1x xf x -=-C.()0f x >的解集是(),ln 3-∞-D.m ∀∈R ，0x ∃∈R ，使得()0f x m=6.定义在R 上的函数()f x 的导函数为()f x '，若()10f =，()()f x f x '>，则不等式()0f x >的解集为（）A.()0,∞+ B.()1,+∞ C.()0,1 D.()()0,11,+∞ 7.已知34m =，44m a -=，22m b -=，则下列说法正确的是（）A.a b <B.a b >C.a b= D.a b=-8.若关于x 不等式()ln ax x b ≤+恒成立，则当1e ea ≤≤时，1e lnb a +-的最小值为（）A.11e+ B.e 1- C.1D.e二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.若0b a >>，则下列不等式成立的是（）A.2a ba b +<<< B.11a b<C.222log log log 22a b a b++< D.()22b a b a ->-10.已知π2sin 33α⎛⎫+=⎪⎝⎭，则下列说法正确的是（）A.πcos 63α⎛⎫-=⎪⎝⎭ B.π1cos 239α⎛⎫-=- ⎪⎝⎭C.5π2cos 63α⎛⎫+=- ⎪⎝⎭ D.若()0,πα∈，cos 6α=11.定义在R 上的偶函数()f x ，满足()()=2f x f x --，当(]1,0x ∈-时，()1f x x =--，则下列说法正确的是（）A.()10f =B.2027122f ⎛⎫=⎪⎝⎭C.函数()()31y f x x =--的所有零点之和为5D.()0.11e1ln 1.1f f ⎛⎫-> ⎪⎝⎭三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知某扇形的圆心角为120°，弧长为2πcm ，则此扇形的面积为________2cm .13.已知函数2231,0()ln(3),0x x f x x ax x +⎧-<⎪=⎨++≥⎪⎩，()()30f f -=，则实数a 的值为______.14.对于函数()f x ，若在定义域内存在实数x 满足()()f x f x -=-，则称函数()f x 为“局部奇函数”.若函数()14972xx f x m +=-⋅-在定义域R 上为“局部奇函数”，则实数m 的取值范围为________.四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.已知数列{}n a 满足：11a =，()*12n n a a n +=+∈N，数列{}nb 为单调递增等比数列，22b=，且1b ，2b ，31b -成等差数列.（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）设2log n n n c a b =+，求数列{}n c 的前n 项和n T .16.已知函数()2ee xx f x x =+-.（1）求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程；（2）当[]1,0x ∈-时，求函数()f x 的最大值与最小值.17.师大附中考入北大的学生李聪毕业后帮助某地打造“生态果园特色基地”，他决定为该地改良某种珍稀水果树，增加产量，提高收入，调研过程中发现：此珍稀水果树的单株产量W （单位：千克）与投入的成本30x（单位：元）满足如下关系：()2343,02,332,2 5.1x x W x x x x x ⎧+≤≤⎪⎪=⎨⎪+<≤⎪+⎩，已知这种水果的市场售价为10元/千克，且供不应求.水果树单株获得的利润为()f x （单位：元）.（1）求()f x 的函数关系式；（2）当投入成本为多少时，该水果树单株获得的利润最大?最大利润是多少?18.已知函数()()e ln xf x x a a x =--，a ∈R .（1）当e a =时，求函数()f x 的单调区间与极值；（2）若函数()f x 有2个不同的零点1x ，2x ，满足2121e 2e x xx x >，求a 的取值范围.19.对于数列{}n x ，若0M ∃>，对任意的*n ∈N ，有n x M ≤，则称数列{}n x 是有界的.当正整数n 无限大时，若n x 无限接近于常数a ，则称常数a 是数列{}n x 的极限，或称数列{}n x 收敛于a ，记为lim n n x a →+∞=.单调收敛原理：“单调有界数列一定收敛”可以帮助我们解决数列的收敛性问题.（1）证明：对任意的1x ≥-，*n ∈N ，()11nx nx +≥+恒成立；（2）已知数列{}n a ，{}n b 的通项公式为：11nn a n ⎛+⎫ ⎪⎝⎭=，111n n b n +⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，*n ∈N .（i ）判断数列{}n a ，{}n b 的单调性与有界性，并证明；（ii ）事实上，常数e lim lim n n n n a b →+∞→+∞==，以e 为底的对数称为自然对数，记为ln x .证明：对任意的*n ∈N ，()1111ln 11nnk k n k k ==<+<+∑∑恒成立.东北师大附中高三年级（数学）科试卷2024—2025学年上学期第一次摸底考试出题人：高三备课组审题人：高三备课组考试时长：120分钟满分：150分一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的【1题答案】【答案】C【2题答案】【答案】B【3题答案】【答案】A【4题答案】【答案】D【5题答案】【答案】D【6题答案】【答案】B【7题答案】【答案】B【8题答案】【答案】C二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.【9题答案】【答案】AC【10题答案】【答案】BCD【11题答案】【答案】ABD三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.【12题答案】【答案】3π【13题答案】【答案】3-【14题答案】【答案】1,7⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.【15题答案】【答案】（1）21n a n =-，12n n b -=；（2）232n n n T -=【16题答案】【答案】（1）22y x =+（2）函数()f x 的最大值为2，最小值3ln 24+【17题答案】【答案】（1）()23403030,02332020,251x x x f x x x x x ⎧-+≤≤⎪⎪=⎨⎪-<≤⎪+⎩（2）当投入成本为90元时，该水果树单株获得的利润最大，最大利润是180元【18题答案】【答案】（1）()f x 单调递减区间为()0,1；()f x 单调递増区间为()1,+∞；()f x 有极小值0，无极大值.（2）2ln 2a >【19题答案】【答案】（1）证明见解析；（2）（i ）{}n a 是递增数列，是有界的，{}n b 是递减数列，也是有界的，（ii ）证明见解析．。
东北师范大学附属中学2024年高一上学期9月阶段性考试数学试题(解析版)
2024-2025学年东北师大附中 高一年级数学科试卷上学期阶段性考试考试时长：90分钟 试卷总分：120分一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．）1. 下列元素的全体可以组成集合的是（ ） A. 人口密度大的国家 B. 所有美丽的城市 C. 地球上四大洋 D. 优秀的高中生【答案】C 【解析】【分析】根据集合的确定性，互异性和无序性即可得出结论.详解】由题意，选项ABD ，都不满足集合元素的确定性，选项C 的元素是确定的，可以组成集合. 故选：C.2. 若全集R U =，集合{}0,1,2,3,4,5,6A =，{|3}B x x =<，则图中阴影部分表示的集合为（ ）A. {3,4,5,6}B. {0,1,2}C. {0,1,2,3}D. {4,5,6}【答案】A 【解析】【分析】根据图中阴影部分表示()U A B 求解即可. 【详解】由题知：图中阴影部分表示()U A B ，{}|3U Bx x =≥ ，则(){}3,4,5,6U B A = .故选：A3. 命题“[1,3]x ∀∈−，2320x x −+<”的否定为（ ）的【A. []1,3x ∃∈−，2320x x −+≥B. []1,3x ∃∈−，2320x x −+>C. []1,3x ∀∈−，2320x x −+≥D. []1,3x ∃∉−，2320x x −+≥【答案】A 【解析】【分析】根据给定条件，利用全称量词命题的否定直接写出结论即可.【详解】命题“[1,3]x ∀∈−，2320x x −+<”是全称量词命题，其否定是存在量词命题， 因此命题“[1,3]x ∀∈−，2320x x −+<”的否定是[]1,3x ∃∈−，2320x x −+≥. 故选：A4. 已知集合{}240A x x=−>，{}2430B x xx =−+<，则A B = （ ）A. {}21x x −<< B. {}12x x <<C. {}23x x −<<D. {}23x x <<【答案】D 【解析】【分析】解出集合,A B ，再利用交集含义即可.【详解】{}{2402A x xx x =−>=或}2x <−，{}{}2430|13B x xx x x =−+<=<<，则{}23A Bx x ∩=<<.故选：D.5. 若,,a b c ∈R ，0a b >>，则下列不等式正确的是（ ） A.11a b> B. a c b c >C. 2ab b >D. ()()2211a c b c −>−【答案】C 【解析】【分析】对BD 举反例即可，对AC 根据不等式性质即可判断. 【详解】对A ，因为0a b >>，则11a b<，故A 错误； 对B ，当0c =时，则a c b c =，故B 错误；对C ，因为0a b >>，则2ab b >，故C 正确； 对D ，当1c =时，则()()2211a c b c −=−，故D 错误. 故选：C.6. “2a <−”是“24a >”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】解出不等式24a >，根据充分不必要条件的判定即可得到答案. 【详解】24a >，解得2a >或2a <−，则“2a <−”可以推出“24a >”，但“24a >”无法推出“2a <−”， 则“2a <−”是“24a >”的充分不必要条件. 故选：A .7. 关于x 的一元二次方程(1)(4)x x a −−=有实数根12,x x ，且12x x <，则下列结论中错误的说法是（ ） A. 当0a =时，11x =，24x = B. 当0a >时，1214x x << C. 当0a >时，1214x x <<< D. 当904a −<<时，122544x x <<【答案】B 【解析】【分析】根据给定条件，借助二次函数的图象，逐项分析判断即可.【详解】对于A ，当0a =时，方程(1)(4)0x x −−=的二实根为121,4x x ==，A 正确； 对于B ，方程(1)(4)x x a −−=，即2540x x a −+−=，254(4)0a ∆=−−>，解得94a >−， 当0a >时，1244x x a =−<，B 错误；对于C ，令()(1)(4)f x x x =−−，依题意，12,x x 是函数()y f x =的图象与直线y a =交点的横坐标， 在同一坐标系内作出函数()y f x =的图象与直线y a =，如图，观察图象知，当0a >时，1214x x <<<，C 正确； 对于D ，当904a −<<时，12254(4,)4x x a =−∈，D 正确.故选：B8. 已知[]x 表示不超过x 的最大整数，集合[]{}03A x x =∈<<Z ，()(){}2220Bx xax x x b =+++=，且 R A B ∩=∅ ，则集合B 的子集个数为（ ）．A. 4B. 8C. 16D. 32【答案】C 【解析】【分析】由新定义及集合的概念可化简集合{}1,2A =，再由()A B ∩=∅R 可知A B ⊆，分类讨论1,2的归属，从而得到集合B 的元素个数，由此利用子集个数公式即可求得集合B 的子集的个数. 【详解】由题设可知，[]{}{}Z |31,2A x x =∈<<=，又因为()A B ∩=∅R ，所以A B ⊆， 而()(){}22|20B x xax x x b =+++=，因为20x ax 的解为=0x 或x a =−，220x x b ++=的两根12,x x 满足122x x +=−， 所以1,2分属方程20x ax 与220x x b ++=的根，若1是20x ax 的根，2是220x x b ++=的根，则有221+1=02+22+=0a b × × ，解得=1=8a b −− ， 代入20x ax 与220x x b ++=，解得=0x 或=1x 与=2x 或4x =−，故{}0,1,2,4B=−；若2是20x ax 的根，1是220x x b ++=的根，则有222+2=01+21+=0a b × × ，解得=2=3a b −− ，代入20x ax 与220x x b ++=，解得=0x 或=2x 与=1x 或3x =−，故{}0,1,2,3B=−；所以不管1,2如何归属方程20x ax 与220x x b ++=，集合B 总是有4个元素， 故由子集个数公式可得集合B 的子集的个数为42=16. 故选：C二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．）9. 已知关于x 的不等式20ax bx c ++<的解集为(1,6)−，则（ ） A. 0a < B. 不等式0ax c +>的解集是{|6}x x > C. 0a b c ++< D. 不等式20cx bx a −−<的解集为11(,)32【答案】BC 【解析】【分析】利用一元二次不等式的解集用a 表示,b c ，再逐项分析判断即得.【详解】对于A ，由不等式20ax bx c ++<的解集为(1,6)−，得1,6−是方程20ax bx c ++=的两个根，且0a >，A 错误；对于B ，16,16b ca a−+=−−×=，则5,6b a c a =−=−， 不等式0ax c +>，即60ax a −>，解得6x >，B 正确； 对于C ，56100a b c a a a a ++=−−=−<，C 正确；对于D ，不等式20cx bx a −−<，即2650ax ax a −+−<，整理得()()31210x x −−>，解得13x <或12x >，D 错误. 故选：BC10. 已知x y 、都是正数，且满足2x y +=，则下列说法正确的是（ ）A. xy 的最大值为1B.+的最小值为2C. 11x y+的最小值为2D. 2211x y x y +++的最小值为1【答案】ACD【解析】【分析】根据给定条件，借助基本不等式及“1”的妙用逐项计算判断即得.【详解】对于A ，由0,0x y >>，2x y +=，得2()12x y xy +≤=，当且仅当1xy ==时取等号，A 正确；对于B2+≤，当且仅当1xy ==时取等号，B 错误； 对于C，1111111()()(2)(22222y x x y x y x y x y +=++=++≥+=， 当且仅当1xy ==时取等号，C 正确； 对于D ，222211111111111111x y x y x y x y x y x y −+−++=+=−++−+++++++ 11111111[(1)(1)]()(2)11411411y x x y x y x y x y ++=+=++++=++++++++1(214≥+=，当且仅当1111y x x y ++=++，即1x y ==时取等号，D 正确. 故选：ACD11. 用()C A 表示非空集合A 中元素的个数，定义()()()()()()()(),,C A C B C A C B A B C B C A C A C B −≥ ∗=−< ，已知集合222{0},{R |()(1)0}A x x x B x x ax x ax =+==∈+++=|，则下面正确结论正确的是（ ）A. a ∃∈R ，()3C B =B. a ∀∈R ，()2C B ≥C. “0a =”是“1A B ∗=”的充分不必要条件D 若{}R1S a A B =∈∗=∣，则()4C S = 【答案】AC 【解析】【分析】根据集合新定义，结合一元二次方程，逐项分析判断即可. 【详解】对于A ，当2a =时，{}0,2,1B =−−，此时()3C B =，A 正确；对于B ，当0a =时，{}0B =，此时()1C B =，B 错误；.对于C ，当0a =时，{}0B =，则()1C B =，而{}0,1A =−，()2C A =，因此1A B ∗=；当1A B ∗=时，而()2C A =，则()1C B =或3，若()1C B =，满足2Δ40a a ==−< ，解得0a =； 若()3C B =，则方程20x ax 的两个根120,x x a ==−都不是方程210x ax ++=的根，且20Δ40a a ≠ =−=，解得2a =±，因此“0a =”是“1A B ∗=”的充分不必要条件，C 正确； 对于D ，由1A B ∗=，而()2C A =，得()1C B =或3，由C 知：0a =或2a =±，因此{}0,2,2S =−， 3C S ，D 错误.故选：AC三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．）12. 已知集合{}A x x a =<，{}13B x x =<<，若A B B = ，则实数a 的取值范围是______．【答案】3a ≥ 【解析】【分析】根据给定条件，利用交集的定义，结合集合的包含关系求解即得.【详解】由A B B = ，得B A ⊆，而{}A x x a =<，{}13B x x =<<，则3a ≥，所以实数a 的取值范围是3a ≥. 故答案：3a ≥13.若一个直角三角形的斜边长等于，当这个直角三角形周长取最大值时，其面积为______． 【答案】18 【解析】【分析】由题意画出图形，结合勾股定理并通过分析得知当()2722AB AC AB AC +=+⋅最大值，这个直角三角形周长取最大值，根据基本不等式的取等条件即可求解. 【详解】如图所示：为在Rt ABC △中，90,A BC ==而直角三角形周长l AB BC CA AB CA =++=++，由勾股定理可知(222272AB CA BC +===，若要使l 最大，只需+AB AC 即()2222722AB AC AB AC AB AC AB AC +=++⋅=+⋅最大即可， 又22272AB AC AB AC ⋅≤+=，等号成立当且仅当6AB AC ==， 所以()2722144AB AC AB AC +=+⋅≤，12AB AC +≤，12l ≤+， 等号成立当且仅当6AB AC ==， 此时，其面积为11661822S AB AC =⋅=××=. 故答案为：18.14. 若不等式22x x a ax +−>+对(]0,1a ∀∈恒成立，则实数x 取值范围是______． 【答案】(]),2∞∞−−∪+【解析】【分析】根据主元法得()2120x a x x +−−+<对(]0,1a ∀∈恒成立，再利用一次函数性质即可得到答案.【详解】由不等式22x x a ax +−>+对(]0,1a ∀∈恒成立， 得()2120x a x x +−−+<对(]0,1a ∀∈恒成立，令()()212g a x a x x =+−−+，得22(0)20(1)120g x x g x x x =−−+≤ =+−−+< ， 解得(]),2x ∈−∞−+∞，∴实数x的取值范围是(.故答案为：(]),2∞∞−−∪+.四、解答题（本题共3小题，共47分）15. 设集合U =R ，{}05Ax x =≤≤，{}13B x m x m =−≤≤． （1）3m =，求()U A B ∪ ；（2）若“x B ∈”是“x A ∈”的充分不必要条件，求m 的取值范围．的【答案】（1）{|5x x ≤或}9x > （2）12m <−或513m ≤≤. 【解析】【分析】（1）根据 集合的补集定义以及集合的交集运算，即可求得答案；（2）依题意可得B A ，讨论集合B 是否为空集，列出相应的不等式，即可求得结果. 【小问1详解】当3m =时，可得{}|29B x x =≤≤，故可得{|2U B x x =< 或}9x >，而{}|05A x x =≤≤， 所以(){|5U A B x x ∪=≤ 或}9x >. 【小问2详解】由“x B ∈”是“x A ∈”的充分不必要条件可得B A ； 当B =∅时，13m m −>，解得12m <−，符合题意； 当B ≠∅时，需满足131035m m m m −≤−≥ ≤，且10m −≥和35m ≤中的等号不能同时取得，解得513m ≤≤； 综上可得，m 的取值范围为12m <−或513m ≤≤. 16. （1）已知03x <<，求y =的最大值； （2）已知0x >，0y >，且5x y xy ++=，求x y +的最小值； （3）解关于x 的不等式()2330ax a x −++<（其中0a ≥）． 【答案】（1）92；（2）2+；（3）答案见解析 【解析】【分析】（1）化简得y，再利用基本不等式即可；（2）利用基本不等式构造出252x y x y + ++≤，解出即可；（3）因式分解为(3)(1)0ax x −−<，再对a 进行分类讨论即可.【详解】（1）()229922x x y +−=≤=，当且仅当229x x =−，即229x x =−，即x =时等号成立.则y =的最大值为92. （2）因为 0,0x y >>, 且 5x y xy ++=, 则252x y x y xy + ++≤，解得2x y +≥ 或 2x y +≤−（舍去），当且仅当1x y ==时等号成立，则x y +的最小值为2+.（3）不等式()2330ax a x −++<化为(3)(1)0ax x −−<，（其中0a ≥）， 当0a =时，解得1x >；当0a >时，不等式化为3()(1)0x x a−−<，若0<<3a ，即31a>，解得31x a <<；若3a =，x 无实数解； 若3a >，即31a <，解得31x a<<， 所以当0a =时，原不等式的解集为{|1}x x >； 当0<<3a 时，原不等式的解集为3{|1}x x a<<； 当3a =时，原不等式的解集为∅； 当3a >时，原不等式的解集为3{|1}x x a<<. 17. 已知方程()220,x mx n m n −+−=∈R（1）若1m =，0n =，求方程220x mx n −+−=的解；（2）若对任意实数m ，方程22x mx n x −+−=恒有两个不相等的实数解，求实数n 的取值范围；（3）若方程()2203x mx n m −+−=≥有两个不相等的实数解12,x x ，且()2121248x x x x +−=，求221221128x x x x x x +−+的最小值． 【答案】（1）2x =或1−；（2）2n <（3）【解析】【分析】（1）由题意得到220x x −−=，求出方程的根；（2）由根的判别式大于0得到()21124n m <++，求出()211224m ++≥，从而得到2n <； （3）由韦达定理得到1212,2x x m x x n +==−，代入()2121248x x x x +−=中得到24m n =，结合立方和公式化简得到2212211288328x x m x x x x m m m+−=−++−，令8t m m =−，由单调性得到81333t −=≥，结合基本不等式求出22122112832x x t x x x x t +−=+≥+，得到答案. 【小问1详解】1m =，0n =时，220x x −−=，解得2x =或1−；【小问2详解】()222120x mx n x x m x n −+−=⇒−++−=，故()()2Δ1420m n =+−−>，所以()21124n m <++， 其中()211224m ++≥，当且仅当1m =−时，等号成立， 故2n <；【小问3详解】()2203x mx n m −+−=≥有两个不相等的实数解12,x x ，()2Δ420m n =−−>，由韦达定理得1212,2x x m x x n +==−，故()2212124488x x x x m n +−=−+=，所以24m n =，此时80∆=>， 所以()()2222331211221212211212121212888x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x +−+++−=−=−+++ ()()()221212121212336882x x x x x x m m n x x x x n m ++−−+ −=−+−，因为24m n =， 所以2222122221126284488883282244m m m m x x m m m x x x x m m m m m +−+ +−=−=−=−++−−−， 令8t m m =−，其在3m ≥上单调递增，故81333t −=≥，故22122112832x x t x x x x t +−=+≥+ 当且仅当32t t=，即=t 时，等号成立， 故221221128x x x x x x +−+的最小值为【点睛】关键点点睛：变形得到2212211288328x x m x x x x m m m+−=−++−，换元后，由函数单调性和基本不等式求最值.。
吉林省长春市东北师范大学附属中学2023-2024学年高三上学期第二次模拟考试英语试题
东北师大附中高三年级第二次摸底考试英语科试题本试卷分第I卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
满分150分，答题时间120分钟。
考试结束后，将答题卡交回。
注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
5．听力试题的录音将在考试结束前20分钟播放。
第I卷选择题（满分100分）第一部分听力（共两节，满分30分）做题时，先将答案标在试卷上。
录音内容结束后，你将有两分钟的时间将试卷上的答案转涂到答题卡上。
第一节（共5小题；每小题1. 5分，满分7. 5分）听下面5段对话。
每段对话后有一个小题，从题中所给的A、B、C 三个选项中选出最佳选项，并标在试卷的相应位置。
听完每段对话后，你都有10秒钟的时间来回答有关小题和阅读下一小题。
每段对话仅读一遍。
例：How much is the shirt?A. £ 19. 15.B. £ 9. 18.C. £ 9. 15.答案是C。
How many children does the woman have?A. Two. A daughter and a son.B. Three. Two sons and a daughter.C. Three. Two daughters and a son.2. Where does the dialogue most probably take place?A. In the office building.B. In the hospitalC. In the department store.3. How does the man like the skirt?A. He doesn't like it very much.B. He likes it very much.C. He has no idea about it.4. What is the woman most possibly?A. A clerk.B. A librarian.C. A waitress.5. What's the most probable relationship between the two speakers?A. Shop assistant and customer.B. Teacher and student.C. Mother and son.第二节（共15小题；每小题1. 5分，满分22. 5分）听下面5段对话或独白。
东北师范大学附属中学2024-2025学年高一上学期月考(三)数学试题(解析版)
2024-2025学年吉林省长春市东北师大附中高一（上）月考数学试卷（三）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 集合(){},|0,R,R Mx y xy x y =<∈∈表示平面直角坐标系中（ ）A. 第一象限内的点集B. 第三象限内的点集C. 第一、三象限内的点集D. 第二、四象限内的点集【答案】D 【解析】【分析】根据集合M 的条件，确定x ，y 的正负，从而确定正确答案. 【详解】由0xy <，可得0x <，0y >或者0x >，0y <， 所以M 是第二、四象限内的点集． 故选：D2. 代数式22568x xy y +−=（ ） A. ()()254+−x y x y B. ()()254x y x y −+ C. ()()524x y x y +− D. ()()524x y x y −+【答案】A 【解析】【分析】利用“十字相乘法”因式分解可得答案． 【详解】()()22568254x xy y x y x y +−=+−故选：A.3. 下列表示同一个集合的是（ ） A. (){}1,2M =，(){}2,1N =B. {}1,2M =，{}2,1N =C. {|Mx y ==，{|Ny y ==【答案】B 【解析】【分析】根据集合相等的定义逐项判断即可．【详解】对A ：()1,2与()2,1不同，M ，N 不是同一个集合，故A 错误； 对B ：根据集合元素的无序性知{}{}1,22,1=，故B 正确；对C ：{}|1M x x =≥，{}|0N y y =≥，M ，N 不是同一个集合，故C 错误； 对D ：(){,|M x y y x ==且}0x ≠，(){},|N x y y x ==， 故M ，N 不是同一个集合，故D 错误． 故选：B.4. 设全集{}1,2,3,4,5,6,7,8U =，集合{}1,2,3,5A =，{}2,4,6B =，则图中阴影部分表示的集合为（ ）A. {}2B. {}4,6C. {}1,3,5D. {}4,6,7,8【答案】B 【解析】【分析】由韦恩图可知阴影部分表示的集合为()U A B ，根据集合的运算求解即可． 【详解】由韦恩图可知阴影部分表示的集合为()U A B ， ∵{}4,6,7,8U A = ，∴(){}{}{}4,6,7,82,4,64,6U A B==． 故选：B ．5. 学校举办运动会，高一某班共有30名同学参加比赛，有16人参加游泳比赛，有9人参加田径比赛，有15人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有4人，同时参加游泳比赛和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛．则只参加球类一项比赛的人数为（ ） A. 8 B. 9 C. 12 D. 2的【分析】根据题意，设同时参加球类与田径类的人数为x 人，然后画出韦恩图，根据图建立方程求出x 的值，进而可以求解．【详解】根据题意，设同时参加球类与田径类的人数为x 人，如图所示， 所以94351230x x x +++−++−=，解得3x =， 则只参加球类比赛的人数有1239−=人．故选：B.6. 设集合{}0,1,2A =,则集合{}|,B x y x A y A =−∈∈中元素的个数是 A. 1 B. 3C. 5D. 9【答案】C 【解析】【详解】∵A={0，1，2}，B={x ﹣y|x ∈A ，y ∈A}，∴当x=0，y 分别取0，1，2时，y 的值分别为0，﹣1，﹣2； 当x=1，y 分别取0，1，2时，x ﹣y 的值分别为1，0，﹣1； 当x=2，y 分别取0，1，2时，x ﹣y 的值分别为2，1，0； ∴B={﹣2，﹣1，0，1，2}，∴集合B={x ﹣y|x ∈A ，y ∈A}中元素的个数是5个． 故选C ．7. 若x ∈A ，则1A x ∈，就称A 是伙伴关系集合，集合11,0,,2,32M=−的所有非空子集中具有伙伴关系的集合的个数是（ ） A. 1 B. 3 C. 7 D. 31【分析】根据题中所给的定义，结合子集的定义进行求解即可. 【详解】根据题意可知：当1B −∈，要想具有伙伴关系，则必满足11B ∈−，所以集合{}1B =−符合题意；当12C ∈，要想具有伙伴关系，则必满足112C ∈，即2C ，所以集合1,22C =符合题意； 显然集合11,,22D =−也符合题意，故一共三个集合具有伙伴关系.故选：B【点睛】本题考查了新定义理解的问题，考查了数学阅读能力，考查了子集的应用，属于基础题.8. 已知集合{}220|A x mxx m =−+=仅有两个子集，则实数m 的取值构成的集合为（ ）A. {}1,1−B. {}1,0,1−C. {}0,1D. ∅【答案】B 【解析】【分析】因为集合A 仅有两个子集,可知集合A 仅有一个元素.对m 分类讨论,即可求得m 的值. 【详解】由集合A 仅有两个子集 可知集合A 仅有一个元素.当0m =时,可得方程的解为0x =此时集合{}0A =,满足集合A 仅有两个子集 当0m ≠时,方程220mx x m −+=有两个相等实数根,则()22240m ∆=−−=,解得1m =或1m =−,代入可解得集合{}1A =或{}1A =−.满足集合A 仅有两个子集综上可知, m 的取值构成的集合为{}1,0,1− 故选:B【点睛】本题考查了集合的元素的特征,子集个数的计算,属于基础题.二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.设集合{},,A x x m m n N ∗=+∈，若1x A ∈，2x A ∈，12x x A ⊕∈，则运算⊕可能是（ ）A. 加法B. 减法C. 乘法D. 除法的【分析】先由题意设出111x m =+，222x m =+，然后分别计算12x x +，12x x −，21x x ，12x x ，即可得解.【详解】由题意可设111x m =，222x m =，其中1m ，2m ，1n ，2n N ∗∈， 则()1212x x m m +=+)12n n +，12x x A +∈，所以加法满足条件，A 正确；())121212x x m m n n −−+−，当12n n =时，12x x A −∉，所以减法不满足条件，B 错误；)12121212213x x m m n n m n m n =++，12x x A ∈，所以乘法满足条件，C正确；12x x =()11220m n m n λλ==>时，12xA x ∉，所以除法不满足条件，D 错误. 故选：AC .10. 下列表示图形中的阴影部分的是（ ）A. ()()A C B CB. ()()A B A CC. ()()A B B CD. ()A B C 【答案】AD 【解析】【分析】根据Venn 图观察阴影部分的元素属于C ，属于A B ∩，再分析选项得到答案. 【详解】由已知的Venn 图可得：阴影部分的元素属于C ，属于A B ∩， 故阴影部分表示的集合为()()()A B C A C B C ∩∪=∪∩∪，11. 给定数集A ，对于任意,a b A ∈，有a b A +∈且a b A −∈，则称集合A 为闭集合．则以下结论中，不正确的是（ ）A. 集合{}4,2,0,2,4A =−−为闭集合B. 集合{}|3,A n n k k ==∈Z 为闭集合C. 若集合12,A A 为闭集合，则12A A ∪为闭集合D. 若集合12,A A 为闭集合，且1A ⊆R ，2A ⊆R ，则存在c ∈R ，使得()12c A A ∉∪ 【答案】ACD 【解析】【分析】根据定义，A 选项，可以验证当2a =，4b =时，6a b A +=∉，故A 错误；B 选项，整数加减结果还是整数，由闭集合定义可得B 正确；CD 选项，举两个集合特例验证即可得． 【详解】A 选项，{}4,2,0,2,4A =−−， 当2a =，4b =时，a A b A ∈∈,，但6a b A +=∉，不满足闭集合的定义，故A 错误；B 选项，{}|3,A n n k k ==∈Z ，任意a A b A ∈∈,，可设3a m =，3b n =，,m n ∈Z ，则()3a bm n +=+，()3a b m n −=−， 由m n +∈Z ，m n −∈Z ， 所以a b A +∈，且a b A −∈，故集合A 为闭集合．故B 正确；C 选项，设{}1|2,A n n k k ==∈Z ，任意11,a A b A ∈∈，可设2a m =，2b n =，,m n ∈Z ，则()2a bm n +=+，()2a b m n −=−， 由m n +∈Z ，m n −∈Z ， 所以1a b A +∈，且1a b A −∈，则集合1A 为闭集合．由B 选项分析可知{}2|3,A n n k k ==∈Z 也为闭集合．{}12,6,4,3,2,0,2,3,4,6A A ∪=−−−− ，当2a =，3b =时，()(),a A A b A A ∈∪∈∪，D 选项，设12A A ==R ，若,a b ∈R ，则a b +∈R ，a b −∈R ， 则12,A A 都为闭集合，又12A A ==⊆R R ，且12A A ∪=R ， 不存在c ∈R ，使得c ∉R ，即不存在c ∈R ，使得()12c A A ∉∪，故D 错误； 故选：ACD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 定义集合运算：{*|AB x x A =∈且}x B ∉，若集合{}1,3,4,6A =，{}2,4,5,6B =，则集合*A B 的子集个数为______． 【答案】4 【解析】【分析】根据定义先求出集合*A B ，再用子集定义求子集个数． 【详解】集合{}1,3,4,6A =，{}2,4,5,6B =， 由*A B 的定义可得，{}*1,3A B =， 所以子集有∅，{}1，{}3，{}1,3，共4个． 故答案：4．13 设全集{},9U x x x ∗=∈≤N ，(){}1,3U A B ∪=，(){}2,4U A B = ，则B =________. 【答案】{}5,6,7,8,9 【解析】【分析】根据集合间的运算逐步分析即可得所求结果． 【详解】{}{},91,2,3,4,5,6,7,8,9U x x x ∗=∈≤=N ，(){}1,3UA B ∪=， {}2,4,5,6,7,8,9A B ∴= ，又(){}2,4U A B = ，2A ∴∈，4A ∈，2∉B ，4B ∉，{}5,6,7,8,9B ∴=. 故答案为：{}5,6,7,8,9.14. 设集合{}1,2A=−，{}|10,B x ax a =−=∈R ，若B A ⊆，则a 的值为______．【答案】0或1或12− 为.【详解】由{}|10,Bx ax a =−=∈R ，方程10ax −=至多1个解，故{}1,2B ≠−.B A ⊆ ，B ∴=∅或{}2−或{}1，①若B =∅，则0a =； ②若{}1B =，则1a =； ③若{}2B =−，则210a −−=，解得12a =−； 综上可得，0a =或1或12−. 故答案为：0或1或12−. 四、解答题：本题共4小题，共47分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15. 已知{|23}A x a x a =≤≤+，{|1B x x =<−或5}x >，若A B φ= ，求a 的取值范围． 【答案】1232[,](,)−∪+∞ 【解析】【分析】根据题意，可分A φ=和A φ≠两种情况，结合集合交集的概念及运算，列出不等式（组），即可求解.【详解】由题意，集合{|23}A x a x a =≤≤+，{|1B x x =<−或5}x >，且A B φ= ， 当A φ=时，可得23a a >+，解得3a >，此时满足A B φ= ；当A φ≠时，则满足232135a a a a ≤+≥− +≤，解得122a −≤≤，综上可得，实数a 的取值范围是1232[,](,)−∪+∞. 16. 设全集U ＝R ，集合A ＝{x ∈N |x 2＋px ＋12＝0}，B ＝{x ∈N |x 2－5x ＋q ＝0}．若(∁U A )∩B ＝{2}，A ∩(∁U B )＝{4}，试求： （1）p ＋q 的值；（2）满足S ⊆(A ∪B )的集合S 的个数．【分析】（1）利用已知(){2}U A B = ，得到2B ∈，进而求出q ，再由(){4}U A B = ，得到4A ∈，进而求出p ，从而求出p q +的值；（2）利用（1）可得集合,A B ，进而写出A B ，从而求得集合S 的个数. 【详解】（1）依题意，知2∈B ，所以22－5×2＋q ＝0，所以q ＝6. 又由4∈A ，所以42＋4p ＋12＝0，所以p ＝－7， 所以p ＋q ＝－7＋6＝－1.（2）由（1）知A ＝{x |x 2－7x ＋12＝0}＝{3，4}，B ＝{x |x 2－5x ＋6＝0}＝{2，3}，所以A ∪B ＝{2，3，4}．因为S ⊆(A ∪B )，所以S 的个数为23＝8.17. 设实数集R 为全集，{}|0215A x x =≤−≤，{}2|0B x x a =+< （1）当4a =−时，求A B ∩及A B ；（2）若()B A B ∩=R ，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）1|22∩=≤<A B x x ，{}|23A B x x =−<≤（2）1,4−+∞【解析】【分析】（1）当4a =−时，根据集合的基本运算即可求A B ∩及A B ；（2）根据条件()B A B ∩=R ，得到B A ⊆R ，然后建立条件方程即可求实数a 的取值范围． 【小问1详解】由条件知1|32A x x=≤≤， 当4a =−时，{}{}2|40|22Bx xx x =−<=−<<，1|22A B x x∴∩=≤<，{}|23A B x x ∪=−<≤；【小问2详解】由()B A B ∩=R ，即B A ⊆R ， 当B =∅时，即0a ≥时成立， 当B ≠∅，即0a <时，则{|Bx x =<<12≤， 解得104a >≥−， 综上a 的取值范围是：1,4∞−+. 18. 已知集合(){}2,2,A x y y xx m x ==++∈R ，(){},1,B x y y x x ==+∈R ，(){},31,02C x y y x x ==+≤≤.（1）若A B =∅ ，求实数m 的取值范围； （2）若A C ∩≠∅，求实数m 的取值范围． 【答案】（1）5|4m m>（2）51,4−【解析】【分析】（1）若A B =∅ ，则221x x m x ++=+，没有实数解，结合二次方程根的存在条件即可求解；（2）若A C ∩≠∅，则2231x x m x ++=+在02x ≤≤上有解，分离参数后结合二次函数性质即可求解．【小问1详解】 因为集合(){}2,2,A x y y xx m x ==++∈R ，(){},1,B x y y x x ==+∈R ，若A B =∅ ，则221x x m x ++=+，没有实数解， 即210x x m ++−=没有实数解，5第11页/共11页 故m 范围为�mm |mm >54�； 【小问2详解】 (){}2,2,A x y y x x m x ==++∈R ，(){},31,02C x y y x x ==+≤≤， 若A C ∩≠∅，则2231x x m x ++=+在02x ≤≤上有解， 即21m x x =−++在[0,2]上有解， 结合二次函数的性质可知，当02x ≤≤时，2511,4x x−++∈−， 故m 的范围为51,4 −. 的。
吉林省长春市东北师范大学附属中学2023-2024学年高二上学期期末考试语文试题
吉林省长春市东北师范大学附属中学2023-2024学年高二上学期期末考试语文试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、现代文阅读阅读下面的文字，完成小题。
材料一：中国故事说明的是中国人自我现状的丰富性，反映的是面对整个宇宙、社会和自然的多种境遇。
要想更好地沟通世界、触动他者心灵．势必要让中国故事能够多的度提出和回答宇宙观、人生观、道德观等层面的问题，多层次展现中国人面向全人类的坚守与胸怀。
讲故事作为文化行为是要传达价值。
一个民族、一个国家、必须要有积极的思想价值、道德力量，讲中国故事．就是沿着中国人宇宙观、人生观、道德观的鲜明传统．表达中国人独特的价值诉求，书写中国人价值实现的积极努力，鲜明反映倡导什么、弘扬什么、坚守什么。
但强调讲好中国故事，不单单指向中国人生活不可或缺的价值维度，还应与人类命运共同体的生活价值理念发生密切联系．注重表达那些更具普遍性、更具恒久意义的价值，并增强其说服力。
正如学者刘梦溪所说，有一些价值“不仅适用于一个时期、一个朝代、一段历史，而是适用于所有的历史时期，所有的历史段落，既适用于传统社会，也适用于当今社会；全世界各个国家都有一些永恒的价值理念，在表述上、概念的使用上不一定相同，但是这些价值理念可以通过互相阐释，达到理解和沟通”。
如果离开价值观表达上的共通性，中国故事的辐射力就不足以很好地与世界沟通。
当前不少文艺作品思想内容承载量有限，价值支撑不足，缺乏对普遍人性尺度的发掘，尤其是不少以玄幻、字越等为主题的网络文学，似乎在努力传递一些是非诉求，但缺少真正富于世界性的、恒久的价值理念，能引起共鸣或产生深刻影响的作品凤毛麟角。
问题是时代最鲜明的声音。
人类都生活在不断缩减的时间阴影之下，不同民族不同地域的人们同样经历着生存、发展等诸多根本性问题，对宇宙、自然、人生不断提出一些根本性疑问。
地球上的人们在与自然、社会、他人不断较量中成长与发展，经历着同样的根本性生存发展难题，提出一些共同的根本性疑问，这是从人类共同体生活的根源处自动流溢而出的，正像泉水是从泉眼里涌出来的一样。