曲线和方程练习题

曲线和方程练习题

一、选择题

1、（2014·安徽高考文科·Ｔ3）抛物线2

14

y x =

的准线方程是（ ） A. 1-=y B. 2-=y C. 1-=x D. 2-=x 【解题提示】 将抛物线化为标准形式即可得出。 【解析】选A 。22

144

y x x y =

?，所以抛物线的准线方程是y=-1.

2. (2014·新课标全国卷Ⅱ高考文科数学·T10) (2014·新课标全国卷Ⅱ高考文科数学·T10)设F 为抛物线C :y 2

=3x 的焦点,过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ,B 两点,则错误！未找到引用源。= ( )

A.

3

B.6

C.12

D. 【解题提示】画出图形,利用抛物线的定义求解. 【解析】选C.设AF=2m ,BF=2n ,F 3,04⎛⎫

⎪⎝⎭

.则由抛物线的定义和直角三角形知识可得,

2m=2·

34,2n=2·34,解得m=32 (n=3

2

(所以m+n=6. AB=AF+BF=2m+2n=12.故选C.

3. (2014·新课标全国卷Ⅱ高考理科数学·T10)设F 为抛物线C :y 2

=3x 的焦点,过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ,B 两点,O 为坐标原点,则△OAB 的面积为( )

A.

B. C . 6332 D. 94

【解题提示】将三角形OAB 的面积通过焦点“一分为二”,设出AF ,BF ,利用抛物线的定义求得面积. 【解析】选D.设点A ,B 分别在第一和第四象限,AF=2m ,BF=2n ,则由抛物线的定义和直角三角形知识可

得,2m=2·3

4,2n=2·34,解得m=32 (n=32 (所以m+n=6.所以S △OAB =1324⋅·(m+n )=94

.故选D.

4. （2014·四川高考理科·Ｔ10）已知F 为抛物线x y =2

的焦点，点A ，B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，2OA OB ⋅=（其中O 为坐标原点），则ABO ∆与AFO ∆面积之和的最小值是（ ）

A.

2 B.

3 C.

8

【解题提示】

【解析】选B. 可设直线AB 的方程为：x ty m =+，点11(,)A x y ，22(,)B x y ，又1(,0)4

F ，则直线AB

与x 轴的交点(,0)M m ，由22

0x ty m

y ty m y x

=+⎧⇒--=⎨=⎩，所以12y y m =-，又21212121222()20OA OB x x y y y y y y ⋅=⇒+=⇒+-=，因为点A ，B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，所以122y y =-，故2m =，于是

122111211111112224224ABO AFO S S x y x y y y y y ∆

∆+=

-+⨯⨯=⨯⨯-+⨯⨯=11121

8

y y y ++119238y y =

+≥=，当且仅当111924

83

y y y =⇔=时取“=”， 所以ABO ∆与AFO ∆面积之和的最小值是3.

5. （2014·四川高考文科·Ｔ

10）与（2014·四川高考理科·Ｔ10）相同

已知F 为抛物线x

y =2

的焦点，点A ，B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，2OA OB ⋅=（其中O 为坐标原点），则ABO ∆与AFO ∆面积之和的最小值是（ ） A.

2 B.

3 C.

8

【解题提示】

【解析】选B.可设直线AB 的方程为：x ty m =+，点11(,)A x y ，22(,)B x y ，又1(,0)4

F ，则直线AB 与

x 轴的交点(,0)M m ，由22

0x ty m

y ty m y x

=+⎧⇒--=⎨=⎩，所以12y y m =-，又21212121222()20OA OB x x y y y y y y ⋅=⇒+=⇒+-=，因为点A ，B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，所以122y y =-，故2m =，于是

122111211111112224224ABO AFO S S x y x y y y y y ∆∆+=

-+⨯⨯=⨯⨯-+⨯⨯=111218

y y y +

+119238y y =

+≥=，当且仅当111924

83

y y y =⇔=时取“=”， 所以ABO ∆与AFO ∆面积之和的最小值是3.

6. （2014·辽宁高考理科·Ｔ10）已知点(2,3)A -在抛物线2:2C y px =的准线上,过点A 的直线与C 在第一象限相切于点B ,记C 的焦点为F ,则直线BF 的斜率为 1134()()()()2343

A B C D

【解题提示】由抛物线的定义知p 的值，也就确定了抛物线的方程和焦点坐标；进而结合导数的几何意义求出切点Ｂ的坐标，利用直线的斜率公式求出直线BF 的斜率 【解析】选Ｄ.

根据已知条件得22p

-=-，所以 4.p =从而抛物线方程为28y x =，其焦点(2,0)F ．

设切点00(,)B x y

，由题意，在第一象限内28y x y =⇒=

线的斜率为0

AB x x k y ='

==

003(2)

AB y k x -=-- 又因为切点00(,)B x y 在曲线上，所以2008y x =．由上述条件解得008x y ==． 即(8,8)B ．从而直线BF 的斜率为

804

823

-=-． 二、填空题

1. （2014·湖南高考理科·Ｔ15）

如图，

正方形ABC D DEFG 和正方形的边长分别为,()a b a b <，原点O 为AD 的中点，抛物线22(0)y px p =>经过,b

C F a

=两点，则

【解题提示】有正方形的边长给出点C,F 的坐标带入抛物线方程求解。