【全国百强校首发】湖南省长沙市雅礼中学2019届高三上学期月考(三)数学(文)试题答案
0-" (% 91
由! " " " (+平面 ) . /% 1+平面 ) / .% 1 0 为三棱锥1!) ( / 的高% 90 " 又0 (0" (01 00槡 #% ) (0 ) .0槡 #% # " % %.) ) ( / .0 # / (0 # " #槡 # ! 分" 得三棱锥 )!1 ! " # ( / 的体积20 %.) 1 00 / ( ( ( & 解析' ! " 由题意可得" " % % " % ! " $ *0 " !! $ ! $ $ & 1 $ ! $ " 1 $ ! $ " & 1 $ ! $ # ; " $ 9 *0 $ ! $ & # $ ! 0 ) $ ! (分" 9 +0 $ & " $ ; $ ! ! " 由题意% 各组的频率分别为$ % % % % % # ! $ & $ ! # $ ! & $ ! " & $ ! "
# ! % 令& " % 令) 解析' 当&0 $ 0 &# &0!槡 4 2 5" ! /!& $ 时满足题意% $
% 在$ &# 上有 % )
两解% 从而有&解% 选 /! 解析' " " % 所以周期为 ) % 且 '! 为 上的奇函数% 故'! " % 又 '! " " " # ! ,!& &" &!# 0'! &1# $ 0 $ !# 0'! # 0 '! " % " % 所以'! " % # # 0 $ #$ " + 0 $ ! '! '! " " 所以 ! & ! & " " % " 时% % " 时% 又&&! &" 1 可知 && ! &" ! % # $ 0'! # $!) 0 ! " $ $ " 0 # 0!# 7 6 7 # # 8 8 '! '! '6 & &
+ * " 1 +0 ) 1 +! " ! ! " #分" 0 # + 1 "!
& 解析' ! ":) % " + ! " "0" .0 # ( 为) . 中点% (+) .% 9"
"+平面 " # / .% / .,平面 " # / .! :)
+ ! " ! * # ! '分" 9 +0 + +! ! " " " " % # , * ! " 6 7 * * ! " +! " +0 + 1! # +0 + 1! 8
" " " ) 9% ! $ 1 " 1! ! # 1 ( 1 1( !! # +! # 1 # +! " # +0 # + 1!
# #
" 则所求的整数解一定 " 而" " % 且有) % 故$ % 不等式的解集为 " % $ ! *( $ *% ) &% ! % % % % ) # # 1槡 * # !槡 * * # 1槡 " &% ) % 为" % % 所以( % 解得* 的取值范围为 # # ( ! ) ! % # % " ' * # !槡 文科数学参考答案! 雅礼版" !" !
& & " ) " ! 6 7 8 #) ! % 所以'! " 0! # 0! ! 0! " # $ 0! " ! 6 7 7 #$ " +" 1 # 8 # '6 '! 8 ) & & &
!
"
二# 填空题$ 本大题共)个小题% 每小题&分% 共# $分 ! ( " ( ! # " ) ! " + 解析' 设双曲线的右焦点为 ( % 则由双曲线的定义可知 " & ! % ) ( *1 ) ( ) ( 0 # 0 ) 1 !& ' ' ' ' ' ' "% " " 9 ) ( ) " ) ( ) " 1 0 ) 1 1 ! ' ' ' ' ' ' ' ' " 最小时% 最小! ) ( ) " ) ( ) " 1 1 9当满足 ' ' ' ' ' ' ' ' " 由双曲线的图象可知当点 "# 满足 最小% )# ( ) ( ) " 1 ' ' ' ' " 共线时 % " 易求得最小值为 % 故所求最小值为% " ( 0 & ! ' ' " " ' ! ) % # &% 解析' 因为不等式等价于! " % 其中 ! " ! *1 ) &! ) &1 " $ ! *1) & !) &1" 0$ 中的 0) *( !& % ! % " ')
9) "+ / .! 9 .+ / .% ) """ .0"% / .+平面 ) " .! :" :" (,平面 ) " .% (+ / .! 9" ! :) ." / .0.% (+平面 ) / .! '分" 9" " 连接 1 则0 ! " 取) / 的中点0% 0# 0 (% (/ .% 0 (0 / .% # # " 又1 "/ .% 1 "0 / .% 1-0 (% " 100 (% 1 0 ( 为平行四边形% 9" 9四边形 " #
!
)
三# 解答题$ 本大题共* 解答应写出文字说明# 证明过程或演算步骤! $分 ! & 解析' ! " % * " " * ! " : !% +0 + 1 "! 当+) #时 % % * " !% + ! "0 +! " % 又* % % 9当+&* 时% # * * * # * +) " % * " 9 * # * * # * !得 * +0 + 1 "! +% + 1 "0 +! "0 "0 #! #0 "% + 1 "0 +! 是首项为" % 公比为#的等比数列% 9数列 + * +,
雅礼中学 # 三" $ " % 届高三月考试卷 !
数学 ! 文科 " 参考答案
一# 选择题$ 本大题共" 每小题&分% 共' 在每小题给出的四个选项中% 只有一个选项是符合题目 #个小题% $分 ! 要求的! 题!号 答!案 " , # ( . ) . & ' / * , + , % , " $ , " " / " # ,
解析' 原式0 " ! ,!&
! " ! " ) 2 (1 2 " 1槡 ( 2 槡 2 ! 0 0 " ! " ) ! " !槡 ( 2 " 1槡 ( 2
解析' % ) % % ) % # ! "0( ! " " #0 ! !3% ""#0( ! " " ! ") !& 解析' 由题意% 圆心! % " 到直线的距离是" % 选& ! ( " ! !& 解析' 当$ * 当$ * 当$ * 当$ " $ ! ,!& 0 "时 % %0 " 0 #时 % %0 & 0 (时 % %0 " ) 0 )时 % %0 ( $ !
精品解析：【全国百强校】湖南省长沙市雅礼中学2019届高三上学期月考(五)数学(文)试题(解析版)
雅礼中学2019届高三月考试卷（五）数学（文科）第Ⅰ卷一、选择題：在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的1.设集合A＝，若，则集合AUB的子集的个数为（）A. 3B. 4C. 7D. 8【答案】D【解析】【分析】由确定m值，然后求出AUB，从而得到子集的个数.【详解】若，则m+2=3或当m+2=3时，m=1,此时=3，不符合集合的互异性，故舍去，当即m=1时同上舍去，故m=-1,此时，AUB=集合AUB的子集的个数为个.故选：D.【点睛】本题考查集合的交并运算，考查集合的子集个数问题，其中要注意集合中的元素满足互异性.2.已知复数，为的共轭复数，则（）A. -2iB. –iC. iD. 2i【答案】B【解析】【分析】由复数z写出共轭复数然后利用复数商的运算即可得到结果.【详解】复数则复数的共轭复数则故选：B.【点睛】本题考查复数的共轭复数的概念，考查复数的商的运算，属于基础题.3.下列命题中是假命题的是（）A. ，函数都不是偶函数B. ，C. ，使D. 若向量，则在方向上的投影为2【答案】A【解析】【分析】利用三角函数的奇偶性，单调性，向量投影概念等对四个选项逐一进行判断，可以得到正确的结论．【详解】选项A,当φ＝时，f（x）＝sin（2x+φ）＝cos2x是偶函数，故A错误；选项B,由0＜α＜，可得sinα、α、tanα都是正实数,设f（α）=α-sinα，求导f′（α）=1-cosα＞0,f（α）=α-sinα在α∈（0，）上是增函数，则有f（α）=α-sinα＞f（0）=0，即sinα＜α．同理，令g（α）=tanα-α，则g′（α）=,所以，g（α）=tanα-α在α∈（0，）上也是增函数，有g（α）=tanα-α＞g（0）=0，即tanα＞α．综上，当α∈（0，）时，sinα＜α＜tanα．故B正确；选项C，当β＝0时，sinβ＝0，cos（α+β）＝cosα=cosα+sinβ，故C正确；选项D,根据向量数量积的几何意义知，向量在上的投影为，故D正确；故选：A.【点睛】本题考查正弦函数的奇偶性，单调性，向量投影概念等知识的综合考查，属于基础试题．4.若x，y满足则x + 2y的最大值为A. 1B. 3C. 5D. 9【答案】D【解析】试题分析：如图，画出可行域，表示斜率为的一组平行线，当过点时，目标函数取得最大值，故选D.【名师点睛】本题主要考查简单的线性规划．解决此类问题的关键是正确画出不等式组表示的可行域，将目标函数赋予几何意义.求目标函数的最值的一般步骤为：一画、二移、三求．常见的目标函数类型有：（1）截距型：形如.求这类目标函数的最值时常将函数转化为直线的斜截式：，通过求直线的截距的最值间接求出的最值；（2）距离型：形如；（3）斜率型：形如，而本题属于截距形式.5.在△ABC中，“A＞60°”是“”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】因为为的内角，则，又由，则，而当时，，所以“”是“”的必要不充分条件，故选B.6.已知为长方形，，，为的中点，在长方形内随机取一点，取到的点到的距离大于1的概率为（ ）A. B. C. D.【答案】B 【解析】根据几何概型得：取到的点到O 的距离大于1的概率：.在长方形内随机取一点，取到的点到点的距离不大于的概率为.7.一个多面体的三视图如图所示，其中正视图是正方形，侧视图是等腰三角形，则该几何体的表面积为（ ）A. 168B. 98C. 108D. 88 【答案】D 【解析】 【分析】由三视图可知该几何体是直三棱柱，且三棱柱的高为4，底面是等腰三角形，三角形的底边边长为6，高为4，求出底面三角形的周长，利用侧面积公式与三角形的面积公式计算可得答案． 【详解】由三视图知该几何体是直三棱柱，且三棱柱的高为4， 底面是等腰三角形，三角形的底边边长为6，高为4， ∴腰长为5，∴底面三角形的周长为5+5+6＝16，∴几何体的表面积S ＝2××6×4+（5+5+6）×4＝24+64＝88． 故选：D ．【点睛】本题考查了由三视图求几何体的表面积，解答此类问题的关键是判断几何体的形状及数据所对应的几何量.8.《九章算术》中的“两鼠穿墙”问题为：“今有垣厚五尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢？”可用如图所示的程序框图解决此类问题，现执行该程序框图，若输入的d的值为17，则输出的i的值为（）A. 4B. 5C. 6D. 7【答案】B【解析】【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算S的值并输出相应变量i的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【详解】i＝0，S＝0，x＝1，y＝1开始执行，然后可得：i＝1，S＝1+1，x＝2，y＝i＝2，S＝1+1+2+，x＝4，y＝i＝3，S＝1+1+2+，x＝8，y＝i＝4，S＝1+1+2+<17,x＝16，y＝再执行一行满足S>17，然后输出i＝5．故选:B【点睛】本题考查程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．9.函数的大致图象是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】先求出函数的定义域，排除B,C，再根据函数值的变化趋势判断即可.【详解】函数f（x）＝ln（x+1）+ln（x﹣1）+cos x，则函数的定义域为x＞1，故排除C，B，∵﹣1≤cos x≤1，∴当x→+∞时，f（x）→+∞，故选：A．【点睛】本题考查函数的图象，考查学生对函数基础知识的把握程度以及数形结合的思维能力．10.已知等比数列的各项均为正数，且，则等于( )A. 2016B. 2017C. 2018D. 2019【答案】C【解析】【分析】由已知结合等比数列的性质可得a1009a1010＝4，再由对数的运算性质可得答案．【详解】由a1008a1011+a1009a1010＝8，可得2a1009a1010＝8，即a1009a1010＝4，∴＝＝log2（a1009a1010）1009＝log241009＝2018．故选：C．【点睛】本题考查等比数列的性质和通项公式，涉及对数的运算，属中档题．11.已知函数在上为减函数，则实数a的取值范围是( )A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先求导，由函数f（x）在[1，+∞）上为减函数，转化为f′（x）≤0在[1，+∞）上恒成立问题求解．【详解】函数在上为减函数,f’(x)＝，则f'（x）≤0在[1，+∞）上恒成立，即1﹣lna﹣lnx≤0在[1，+∞）上恒成立，∴lnx≥1-lna=恒成立，∴，即≤1，∴a≥e故选：D．【点睛】本题考查用导数研究函数单调性问题，基本思路是，当函数是增函数时，则f′（x）≥0在D上恒成立；当函数是减函数时，则f′（x）≤0在D上恒成立．12.已知直线l1，l2是双曲线C：的两条渐近线，点P是双曲线C上一点，若点P到渐近线l1的距离的取值范围是，则点P到渐近线l2的距离的取值范围是( )A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】设出点P坐标,写出双曲线渐近线方程，利用点到直线的距离公式和点P在双曲线上可得到点P到两渐近线的距离乘积为定值，利用点P到直线的距离的范围可得到距离的范围.【详解】设点，由题可设渐近线，渐近线，由点到直线的距离，点P到直线的距离，有，又，即，则，则，由与成反比.且，所以，故选A【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，点到直线的距离公式，双曲线上的点到渐近线的距离之积为定值，是中档题．第Ⅱ卷二、填空题.13.设向量，且⊥，则向量的模为_____【答案】【解析】【分析】由两个向量垂直可得x值，即得到，由向量的模的公式计算即可得到答案.【详解】向量，由⊥得=0即解得x=-3,则|，故答案为：【点睛】本题考查向量垂直的坐标公式和向量的模公式的应用，属于基础题.14.已知函数为奇函数，则＝_____【答案】0【解析】【分析】函数为奇函数，由f(-1)=-f(1)，计算即可得到答案.【详解】函数为奇函数且定义域为,可得f(-1)=-f(1),又f(-1)=0,故f(1)=0,故答案为：0【点睛】本题考查函数奇偶性定义的应用，属于简单题.15.已知长方体ABCD一A1B1C1D1中，AB＝3cm，BC＝2cm，AA1＝2cm，E为CC1的中点，则一质点自点A出发，沿着长方体的表面到达点E的最短路线的长为____cm【答案】【解析】【分析】首先将长方体沿C1C, C1B1, BC剪开，使面ABB1A1和面BCC1B1在同一个平面内，连接AE或将长方体沿C1D1, DD1, C1C剪开,使面ABCD和面CDD1C1在同一个平面内，连接AE,或将长方体沿B1C1, CC1, BB1剪开，使面ABCD和面BCC1B1在同一个平面内，连接AE,利用勾股定理求AE的长，比较即可求得需要爬行的最短路程．【详解】将长方体沿C1C, C1B1, BC剪开，使面ABB1A1和面BCC1B1在同一个平面内，连接AE,如图在Rt△ACE中，AC＝5，CE＝1,由勾股定理，得AE2＝AC2+CE2＝26,则AE＝．将长方体沿C1D1, DD1, C1C剪开,使面使面ABCD和面CDD1C1在同一个平面内，连接AE,如图,在Rt△ABE中，AB＝3，BE＝3, 由勾股定理，得AE2＝AB2+BE2＝32+32＝．将长方体沿B1C1, CC1, BB1剪开，使面ABCD和面BCC1B1在同一个平面内，连接AE,在Rt△AB1E中，AB1＝5，B1E＝1, 由勾股定理，得AE2＝AB12+B1E2＝52+12＝，则AE＝故沿着长方体的表面到达点E的最短路线的长为cm故答案为：【点睛】此题考查最短路径问题．解题的关键是将立体图形展为平面图形，利用勾股定理的知识求解．16.已知正项数列的前n项和为，,令,设的前n项和为，则在T1，T2，T3，…，T100中有理数的个数为____。
2024-2025学年湖南省长沙市雅礼中学高三上学期月考(三)数学试题(含答案)
2024-2025学年湖南省长沙市雅礼中学高三上学期月考（三）数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.命题“存在x∈Z，x2+2x+m≤0”的否定是( )A. 存在x∈Z，x2+2x+m>0B. 不存在x∈Z，x2+2x+m>0C. 任意x∈Z，x2+2x+m≤0D. 任意x∈Z，x2+2x+m>02.已知集合A={ i , i2 , i3 ,i4 }(i是虚数单位)，B={ 1 , −1 }，则A∩B=( )A. { −1 }B. { 1 }C. { 1 , −1 }D. ⌀3.已知奇函数f(x)=(2x+m⋅2−x)cos x，则m=( )A. −1B. 0C. 1D. 124.已知m，l是两条不同的直线，α,β是两个不同的平面，则下列可以推出α⊥β的是( )A. m⊥l,m⊂β,l⊥αB. m⊥l,α∩β=l,m⊂αC. m//l,m⊥α,l⊥βD. l⊥α,m//l,m//β5.已知函数f(x)=4cos(ωx+φ)(ω>0)图象的一个最高点与相邻的对称中心之间的距离为5，则f(−6φπ)=( )A. 0B. 2φC. 4D. φ26.已知M是圆C:x2+y2=1上一个动点，且直线l1:mx−ny−3m+n=0与直线l2:nx+my−3m−n=0(m,n∈R,m2+n2≠0)相交于点P，则|PM|的取值范围是( )A. [3−1,23+1]B. [2−1,32+1]C. [2−1,22+1]D. [2−1,33+1]7.P是椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)上一点，F1、F2是C的两个焦点，PF1⋅PF2=0;点Q在∠F1PF2的平分线上，O为原点，OQ//PF1，且|OQ|=b.则C的离心率为( )A. 12B. 33C. 63D. 328.设集合A={(x1,x2,x3,x4,x5)|x i∈{−1,0,1},i=1,2,3,4,5}，那么集合A中满足条件“1≤|x1|+|x2|+|x3|+ |x4|+|x5|≤3”的元素个数为( )A. 60B. 90C. 120D. 130二、多选题：本题共3小题，共18分。
2019届湖南省长沙市雅礼中学高三上学期月考(二)数学(文)试题
雅礼中学2019届高三月考试卷（二）数学（文科）★祝你考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考考查范围。
2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。
将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
4、主观题的作答：用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带等。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非主观题答题区域的答案一律无效。
5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
6、保持卡面清洁，不折叠，不破损。
7、本科目考试结束后，请将答题卡依序排列上交。
8、本科目考试结束后，请将试卷自行保管，以供教师讲评分析试卷使用。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题，毎小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的 1．已知命题p ：2,0x R x ∀∈>，则A ．命题p ⌝：2,0x R x ∀∈≤，为假命题 B ．命题p ⌝：2,0x R x ∀∈≤，为真命题C ．命题p ⌝：200,0x R x ∃∈≤，为假命题D ．命题p ⌝：200x ∃≤，为真命题2．已知i 是虚数单位，则41()1i i+-等于 A ．i B ．—i C ．1 D ．—1 3．“上医医国”出自《国语・晋语八》，比喻高贤能治理好国家．现把这四个字分别写在四张卡片上，其中“上”字已经排好，某幼童把剩余的三张卡片进行排列，则该幼童能将这句话排列正确的概率是 A ．13 B ．16 C ．14 D ．1124．中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的一条渐近线经过点（4，一2），则它的离心率为A B C D 5．已知△ABC 是边长为1的等边三角形，D 为BC 中点，则()()AB AC AB DB +⋅-的值为A ．32-B ．32C ．34-D ．346．已知0x 是11()()2x f x x=+的一个零点，1020(,),(,0)x x x x ∈-∞∈，则A ．f (x 1)<0,f (x 2)<0B ．f (x 1)>0,f (x 2)>0C ．f (x 1)>0,f (x 2)<0D ．f (x 1)<0,f (x 2)>07．已知等比数列{}n a 中，各项都是正数，且a 1、12a 3、2a 2成等差数列，则91078____a a a a +=+A ．3+B ．1C ．1D ．3-8．函数2sin 2xy x =的部分图象可能是9．正四棱锥的顶点都在同一球面上．若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为 A ．814π B ．16π C ．9π D ．274π10若函数()sin(2))()2f x x x πθθθ=+++<的图象关于点(,0)6π对称，则f （x ）的单调速增区间为A ．5[,],36k k k z ππππ++∈ B ．[,],63k k k z ππππ-++∈C ．7[,],1212k k k z ππππ-+-+∈D ．5[,],1212k k k z ππππ-++∈ 11．设函数22()()(),,()x f x x t e t x R f x b =-+-∀∈≥恒成立，则实数b 的最大值为A B ．12 C ．1 D ．e12．设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线y 2＝2px （p ＞0）上任意一点，M 是线段PF 上的点，且2PM MF =，则直线OM 的斜率的最大值为A ．3 B ．23 C ．1 D ．2第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13～21題为必考题，每个试题考生都必须作答．第22～23題为选考题，考生根据要求作答二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分13．已知函数2()2()log xa f x +=，若f （2）＝0，则a ＝_____。
湖南省长沙市雅礼中学2024-2025学年高三上学期月考(三)数学试题(含解析)
雅礼中学2025届高三月考试卷（三）数学命题人：审题人：得分：________本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共8页.时量120分钟，满分150分.第Ⅰ卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.命题“存在，”的否定是A.存在，B.不存在，C.任意，D.任意，2.若集合（i 是虚数单位），，则等于A. B. C. D.3.已知奇函数，则A.-1B.0C.1D.4.已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列可以推出的是A.，， B.，，C.，， D.，，5.已知函数图象的一个最高点与相邻的对称中心之间的距离为5，则A.0B. C.4D.x ∈Z 220x x m ++…x ∈Z 220x x m ++>x ∈Z 220x x m ++>x ∈Z 220x x m ++…x ∈Z 220x x m ++>{}2341,i ,i ,i A ={}1,1B =-A B ⋂{}1-{}1{}1,1-∅()()22cos x x f x m x -=+⋅m =12m l αβαβ⊥m l ⊥m β⊂l α⊥m l ⊥l αβ⋂=m α⊂m l m α⊥l β⊥l α⊥m l m β()()4cos (0)f x x ωϕω=+>6f ϕπ⎛⎫-=⎪⎝⎭2ϕ2ϕ6.已知是圆上一个动点，且直线与直线（，，）相交于点，则的取值范围为A. B.C. D.7.是椭圆上一点，，是的两个焦点，，点在的角平分线上，为原点，，且.则的离心率为A.8.设集合，那么集合中满足条件“”的元素个数为A.60B.90C.120D.130二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.如图为某地2014年至2023年的粮食年产量折线图，则下列说法正确的是A.这10年粮食年产量的极差为16B.这10年粮食年产量的第70百分位数为35C.这10年粮食年产量的平均数为33.7D.前5年的粮食年产量的方差小于后5年粮食年产量的方差10.已知函数满足，，并且当时，，则下列关于函数说法正确的是M 22:1C x y +=1:30l mx ny m n --+=2:30l nx my m n +--=m n ∈R 220m n +≠P PM 1,1⎤-+⎦1⎤-⎦1,1⎤-+⎦1⎤+⎦P 2222:1(0)x y C a b a b+=>>1F 2F C 120PF PF ⋅= Q 12F PF ∠O 1OQPF OQ b =C 12(){}{}{}12345,,,,|1,0,1,1,2,3,4,5iAx x x x x x i ∈-=A 1234513x x x x x ++++……()f x ()()22f x f x ππ+=-()()0fx f x ππ++-=()0,x π∈()cos f x x =()f xA. B.最小正周期C.的图象关于直线对称D.的图象关于对称11.若双曲线，，分别为左、右焦点，设点是在双曲线上且在第一象限的动点，点为的内心，，则下列说法不正确的是A.双曲线的渐近线方程为B.点的运动轨迹为双曲线的一部分C.若，，则D.不存在点，使得取得最小值答题卡题号1234567891011得分答案第Ⅱ卷三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.的展开式中的系数为________.13.各角的对应边分别为，，，满足，则角的取值范围为________.14.对任意的，不等式（其中e 是自然对数的底）恒成立，则的最大值为________.四、解答题：本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（本小题满分13分）设为正项等比数列的前项和，，.（1）求数列的通项公式；（2）数列满足，，求数列的前项和.302f π⎛⎫=⎪⎝⎭2T π=()f x x π=()f x (),0π-22:145x y C -=1F 2F P I12PF F △()0,4A C 045x y±=I 122PF PF =12PI xPF yPF =+ 29y x -=P 1PA PF +523x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭4x ABC △a b c 1b ca c a b+++…A *n ∈N 11e 1nan n n ⎛⎫⎛⎫+⋅ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭…a n S {}n a n 21332S a a =+416a ={}n a {}n b 11b =1222log log n nn n b a b a ++={}n b n n T16.（本小题满分15分）如图，在四棱锥，，，，点在上，且，.（1）若为线段的中点，求证：平面；（2）若平面，求平面与平面所成夹角的余弦值.17.（本小题满分15分）已知函数有两个极值点为，，.（1）当时，求的值；（2）若（e 为自然对数的底数），求的最大值.18.（本小题满分17分）已知抛物线的焦点为，为上任意一点，且的最小值为1.（1）求抛物线的方程；（2）已知为平面上一动点，且过能向作两条切线，切点为，，记直线，，的斜率分别为，，，且满足.①求点的轨迹方程；②试探究：是否存在一个圆心为，半径为1的圆，使得过可以作圆的两条切线，，切线，分别交抛物线于不同的两点，和点，，且为定值？若存在，求圆的方程，不存在，说明理由.19.（本小题满分17分）对于一组向量，，，…，（且），令，如果存在，使得，那么称是该向量组的“长向量”.（1）设，且，若是向量组，，的“长向量”，求实数的取值范P ABCD -BCAD 1AB BC ==3AD =E AD PE AD ⊥2DE PE ==F PE BFPCD AB ⊥PAD PAB PCD ()21ln 2f x x x ax =+-1x ()212x x x <a ∈R 52a =()()21f x f x -21e x x …()()21f x f x -2:2(0)E x py p =>F H E HF E P P E M N PM PN PF 1k 2k 3k 123112k k k +=P ()0,(0)Q λλ>P Q 1l 2l 1l 2l E ()11,A s t ()22,B s t ()33,C s t ()44,D s t 1234s s s s Q 1a 2a 3a n a N n ∈3n …123n n S a a a a =++++{}()1,2,3,,p a p n ∈ p n p a S a - …p a(),2n a n x n =+n ∈N 0n >3a 1a 2a 3ax围；（2）若，且，向量组，，，…，是否存在“长向量”？给出你的结论并说明理由；（3）已知，，均是向量组，，的“长向量”，其中，.设在平面直角坐标系中有一点列，，，…，，满足为坐标原点，为的位置向量的终点，且与关于点对称，与（且）关于点对称，求的最小值.sin,cos 22n n n a ππ⎛⎫= ⎪⎝⎭n ∈N 0n >1a 2a 3a 7a 1a 2a 3a 1a2a3a()1sin ,cos a x x =()22cos ,2sin a x x = 1P 2P 3P n P 1P 2P 3a 21k P +2k P 1P 22k P +21k P +k ∈N 0k >2P10151016P P参考答案一、二、选择题题号1234567891011答案DCADCBCDACDADABD1.D2.C 【解析】集合，，.故选C.3.A【解析】是奇函数，，，，，.故选A.4.D 【解析】有可能出现，平行这种情况，故A 错误；会出现平面，相交但不垂直的情况，故B 错误；，，，故C 错误；，，又由，故D 正确.故选D.5.C 【解析】设的最小正周期为，函数图象的一个最高点与相邻的对称中心之间的距离为5，则有，得，则有，解得，所以，所以.故选C.6.B 【解析】依题意，直线恒过定点，直线恒过定点，显然直线，因此，直线与交点的轨迹是以线段为直径的圆，其方程为：，圆心，半径，而圆的圆心，半径，如图：，两圆外离，由圆的几何性质得：，{}i,1,1,i A =--{}1,1B =-{}1,1A B ⋂=-()f x ()()22cos x x f x m x -=+⋅()()()2222x x x xf x f x m --⎡⎤∴+-=+++⎣⎦cos 0x =()()122cos 0x x m x -∴++=10m ∴+=1m =-αβαβm l m α⊥l βαβ⊥⇒ l α⊥m l m α⇒⊥ m βαβ⇒⊥ ()f x T 224254T ⎛⎫+= ⎪⎝⎭12T =212πω=6πω=()4cos 6f x x πϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭664cos 4cos046f ϕϕπϕππ⎛⎫⎛⎫-=-⨯+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()1:310l m x n y ---=()3,1A ()()2:130l n x m y -+-=()1,3B 12l l ⊥1l 2l P AB 22(2)(2)2x y -+-=()2,2N 2r =C ()0,0C 11r =12NC r r =>+12min1PMNC r r =--=-，所以的取值范围为.故选B.7.C 【解析】如图，设，，延长交于点，由题意知，为的中点，故为中点，又，即，则，又由点在的角平分线上得，则是等腰直角三角形，故有化简得即代入得，即，又，所以，所以，.故选C.8.D 【解析】因为或，所以若，则在中至少有一个，且不多于3个.所以可根据中含0的个数进行分类讨论.①五个数中有2个0，则另外3个从1，-1中取，共有方法数为，②五个数中有3个0，则另外2个从1，-1中取，共有方法数为，③五个数中有4个0，则另外1个从1，-1中取，共有方法数为，所以共有种.故选D.9.ACD 【解析】将样本数据从小到大排列为26，28，30，32，32，35，35，38，39，42，这10年的粮食年产量极差为，故A 正确；，结合A 选项可知第70百分位数为第7个数和第812max1PMNC r r =++=+PM 1⎤-+⎦1PF m =2PF n =OQ 2PF A 1OQ PF O 12F F A 2PF 120PF PF ⋅= 12PF PF ⊥2QAP π∠=Q 12F PF ∠4QPA π∠=AQP △2222,4,11,22m n a m n c b n m ⎧⎪+=⎪+=⎨⎪⎪+=⎩2,2,m n b m n a -=⎧⎨+=⎩,,m a b n a b =+⎧⎨=-⎩2224m n c +=222()()4a b a b c ++-=2222a b c +=222b a c =-2223a c =223e =e =0i x =1i x =1234513x x x x x ++++……()1,2,3,4,5i x i =1i x =i x 2315C 2N =⋅3225C 2N =⋅435C 2N =⋅23324555C 2C 2C 2130N =⋅+⋅+⋅=422616-=1070%7⨯=个数的平均数，即，故B 不正确；这10年粮食年产量的平均数为，故C 正确；结合图形可知，前5年的粮食年产量的波动小于后5年的粮食产量波动，所以前5年的粮食年产量的方差小于后5年的粮食年产量的方差，故D 正确.故选ACD.10.AD 【解析】由于时，，并且满足，则函数的图象关于直线对称.由于，所以，故，故，故函数的最小正周期为，根据，知函数的图象关于对称.由于时，，，故A 正确，由于函数的最小正周期为，故B 错误；由函数的图象关于对称，易知的图象不关于直线对称，故C 错误；根据函数图象关于点对称，且函数图象关于直线对称，知函数图象关于点对称，又函数的最小正周期为，则函数图象一定关于点对称，故D 正确.故选AD.11.ABD 【解析】双曲线，可知其渐近线方程为，A 错误；设，，的内切圆与，，分别切于点，，，可得，，，由双曲线的定义可得：，即，又，解得，则点的横坐标为，由点与点的横坐标相同，即点的横坐标为，故在定直线上运动，B 错误；由，且，解得，，，，则，同理可得：，设直线，直线，联立方程得，设的内切圆的半径为，则，解得，即，353836.52+=()13232302835384239263533.710⨯+++++++++=()0,x π∈()cos f x x =()()22f x f x ππ+=-()f x 2x π=()()0fx f x ππ++-=()()fx f x ππ+=--()()()()()22f xf x f x f x ππππ--+=+=--=-()()()24f x f x f x ππ=-+=+4π()()0fx f x ππ++-=()f x (),0π()0,x π∈()cos f x x =3cos 022222f f ff πππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=--=-=-=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭4π()f x (),0π()f x x π=(),0π2x π=()3,0π4π(),0π-22:145x y C -=02x =1PF m =2PF n =12PF F △1PF 2PF 12F F S K T PS PK =11F S FT =22F T F K =2m n a -=12122F S F K FT F T a -=-=122FT F T c +=2F T c a =-T a I T I 2a =I 2x =122PF PF =1224PF PF a -==18PF =24PF =1226F F c ==126436167cos 2868PF F ∠+-∴==⨯⨯12sin PF F ∠==12tan PF F ∠∴=21tan PF F ∠=)1:3PF y x =+)2:3PF y x =-(P 12PF F △r ()12118684622PF F S r =⨯⨯=⨯++⋅△r =I ⎛ ⎝，，，由，可得解得，，故，C 正确；，，当且仅当，，三点共线取等号，易知，故存在使得取最小值，D 错误.故选ABD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.90 【解析】展开式的通项公式为，令，解得，所以展开式中的系数为.13. 【解析】从所给条件入手，进行不等式化简，观察到余弦定理公式特征，进而利用余弦定理表示，由可得，可得.14. 【解析】对任意的，不等式（其中e 是自然对数的底）恒成立，只需恒成立，只需恒成立，只需恒成立，2,PI ⎛∴=- ⎝ (17,PF =- (21,PF =- 12PI xPF yPF =+ 27,,x y -=--⎧⎪⎨=⎪⎩29x =49y =29y x -=1224PF PF a -== 12244PA PF PA PF AF ∴+=+++…A P 2F ()1min549PA PF +=+=P 1PA PF +523x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭()()521031553C C 3rr rrr r r T x x x --+⎛⎫=⋅⋅=⋅⋅ ⎪⎝⎭1034r -=2r =4x 225C 310990⋅=⨯=0,3π⎛⎤⎥⎝⎦()()1b c b a b c a c a c a b+⇒+++++……()()222a c a b b c a bc ++⇒++…cos A 222b c a ac +-…2221cos 22b c a A bc +-=…0,3A π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦11ln2-*n ∈N 11e 1n an n n ⎛⎫⎛⎫+⋅ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭…11e n an +⎛⎫+ ⎪⎝⎭…()1ln 11n a n ⎛⎫++ ⎪⎝⎭…11ln 1a n n -⎛⎫+ ⎪⎝⎭…构造，，，.下证，再构造函数，，，，设，，，令，，，，在时，，单调递减，，即，所以递减，，即，所以递减，并且，所以有，，所以，所以在上递减，所以的最小值为.，即的最大值为.四、解答题：本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.【解析】（1）因为是正项等比数列，所以，公比，因为，所以，即，则，解得（舍去）或，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（3分）又因为，所以，所以数列的通项公式为.∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（6分）（2）依题意得，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（7分）当时，，所以，因为，所以，当时，符合上式，所以数列的通项公式为.∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（10分）()()11ln 1m x x x =-+(]0,1x ∈()()()()()22221ln 11ln 1x x x m x x x x ++-=++'(]0,1x ∈()(]22ln 1,0,11x x x x+<∈+()()22ln 11x h x x x =+-+(]0,1x ∈()()()2221ln 12(1)x x x xh x x ++-'-=+(]0,1x ∈()()()221ln 12F x x x x x =++--()()2ln 12F x x x =+-'(]0,1x ∈()()2ln 12G x x x =+-(]0,1x ∈()21xG x x=-+'(]0,1x ∈(]0,1x ∈()0G x '<()G x ()()00G x G <=()0F x '<()F x ()()00F x F <=()0h x '<()h x ()00h =()22ln 11x x x+<+(]0,1x ∈()0m x '<()m x (]0,1x ∈()m x ()111ln2m =-11ln2a ∴-…a 11ln2-{}n a 10a >0q >21332S a a =+()121332a a a a +=+21112320a q a q a --=22320q q --=12q =-2q =3411816a a q a ===12a ={}n a 2n n a =1222222log log 2log log 22n n n n n n b a nb a n +++===+2n …()324123112311234511n n b b b b n b b b b n n n --⨯⋅⋅⋅=⨯⨯⨯⨯=++ ()121n b b n n =+11b =()21n b n n =+1n =1n b ={}n b ()21n b n n =+因为，所以.∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（13分）16.【解析】（1）设为的中点，连接，，因为是中点，所以，且，因为，，，，所以四边形为平行四边形，，且，所以，且，即四边形为平行四边形，所以，因为平面平面，所以平面.∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（6分）（2）因为平面，所以平面，又，所以，，相互垂直，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（7分）以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，所以，，，，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（9分）设平面的一个法向量为，则取，则，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（11分）设平面的一个法向量为，()211211n b n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭1111112212221223111n n T n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-=⎪ ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭M PD FM CM F PE FMED 12FM ED =AD BC 1AB BC ==3AD =2DE PE ==ABCE BC ED 12BC ED =FM BC FM BC =BCMF BFCM BF ⊄,PCD CM ⊂PCD BF PCD AB ⊥PAD CE ⊥PAD PE AD ⊥EP ED EC E ()0,0,2P ()0,1,0A -()1,1,0B -()1,0,0C ()0,2,0D ()1,0,0AB = ()0,1,2AP = ()1,0,2PC =- ()1,2,0CD =-PAB ()111,,m x y z =1110,20,m AB x m AP y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=+=⎪⎩ 11z =-()0,2,1m =- PCD ()222,,n x y z =则取，则，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（13分）设平面与平面所成夹角为，则∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（15分）17.【解析】（1）函数的定义域为，则，当时，可得，，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（2分）当或时，；当时，；所以在区间，上单调递增，在区间上单调递减；∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（4分）所以和是函数的两个极值点，又，所以，；所以，即当时，.∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（6分）（2）易知，又，所以，是方程的两个实数根，则且，，所以，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（9分）所以，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（11分）设，由，可得，令，，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（13分）则，所以在区间上单调递减，222220,20,n PC x z n CD x y ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ 21z =()2,1,1n = PAB PCD θcos θ=()21ln 2f x x x ax =+-()0,+∞()211x ax f x x a x x -+=+-='52a =()()2152122x x x x f x x x'⎛⎫---+ ⎪⎝⎭==10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()2,x ∈+∞()0f x '>1,22x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()0f x '<()f x 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭()2,+∞1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭12x =2x =()f x 12x x <112x =22x =()()()211115152ln225ln 2ln222848f x f x f f ⎛⎫⎛⎫-=-=+--+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭52a =()()21152ln28f x f x -=-()()()()22221212111ln2x f x f x x x a x x x -=+---()21x ax f x x-+='1x 2x 210x ax -+=2Δ40a =->120x x a +=>121x x =2a >()()()()()()()2222222121212112211111lnln 22x x f x f x x x a x x x x x x x x x x -=+---=+--+-()()222222221212111121121111lnln ln 222x x x x x x x x x x x x x x x x ⎛⎫=--=-⋅-=-- ⎪⎝⎭21x t x =21e x x (21)e x t x =…()11ln 2g t t t t ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭e t …()222111(1)1022t g t t t t-⎛⎫=-+=-< ⎪⎝⎭'()g t [)e,+∞得，故的最大值为.∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（15分）18.【解析】（1）设抛物线的准线为，过点作直线于点，由抛物线的定义得，所以当点与原点重合时，，所以，所以抛物线的方程为.∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（4分）（2）①设，过点且斜率存在的直线，联立消去，整理得：，由题可知，即，所以，是该方程的两个不等实根，由韦达定理可得∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（6分）又因为，所以，，由，有，所以，因为，，，所以点的轨迹方程为.②由①知，设，，且，∙∙∙∙∙∙∙∙∙（9分）联立消去，整理得，又，，，，由韦达定理可得，同理可得，所以，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（11分）又因为和以圆心为，半径为1的圆相切，，即.同理，所以，是方程的两个不等实根，()()11e 1e 1e 12e 22eg t g ⎛⎫=--=-+ ⎪⎝⎭…()()21f x f x -e 1122e -+E l 2py =-H 1HH ⊥l 1H 1HF HH =H O 1min 12pHH ==2p =E 24x y =(),P m n P ():l y k x m n =-+()24,,x y y k x m n ⎧=⎪⎨=-+⎪⎩y 24440x kx km n -+-=()2Δ164440k km n =--=20k mk n -+=1k 2k 1212,,k k m k k n +=⎧⎨=⎩()0,1F 31n k m -=0m ≠123112k k k +=121232k k k k k +=21m m n n =-0m ≠12n n -=1n ∴=-P ()10y x =-≠(),1P m -()14:1l y k x m =--()25:1l y k x m =--1m ≠±0m ≠()244,1,x y y k x m ⎧=⎪⎨=--⎪⎩y 2444440x k x k m -++=()11,A s t ()22,B s t ()33,C s t ()44,D s t 12444s s k m =+34544s s k m =+()()()212344515454444161616s s s s k m k m k k m m k k =++=+++1l ()0,(0)Q λλ>1()()2224412120m k m k λλλ-++++=()()2225512120m k m k λλλ-++++=4k 5k ()()22212120m k m k λλλ-++++=所以由韦达定理可得∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（14分）所以，若为定值，则，又因为，所以，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（16分）所以圆的方程为.∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（17分）19.【解析】（1）由题意可得：，解得.∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（3分）（2）存在“长向量”，且“长向量”为，，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（5分）理由如下：由题意可得，若存在“长向量”，只需使，又，故只需使，即，即，当或6时，符合要求，故存在“长向量”，且“长向量”为，.∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（8分）（3）由题意，得，，即，即，同理，，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（10分）三式相加并化简，得，即，，所以，设，由得∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（12分）设，则依题意得：∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（13分）()452245221,12,1m k k m k k m λλλ⎧++=-⎪⎪-⎨+⎪=⎪-⎩()()()22222123445452216161616162221621611m m s s s s k k m m k k m m λλλλ=+++=+--+=-+--1234s s s s 220λ-=0λ>λ=Q 22(1x y +=312a a a +…40x -……2a 6a1n a ==p a1n p S a - …()()712371010101,01010100,1S a a a a =++++=+-+++--+++-+=-71p S a -=== 022cos12p π+ (1)1cos 22p π--……2p =2a 6a123a a a + (2)2123a a a + …()22123a a a +...222123232a a a a a ++⋅ (2)22213132a a a a a ++⋅ …222312122a a a a a ++⋅…2221231213230222a a a a a a a a a +++⋅+⋅+⋅…()21230a a a ++…1230a a a ++ …1230a a a ++=()3,a u v = 1220a a a ++= sin 2cos ,cos 2sin ,u x x v x x =--⎧⎨=--⎩(),n n n P x y ()()()()()()212111222222222121,2,,,,2,,,k k k k k k k k x y x y x y x y x y x y ++++++⎧=-⎪⎨=-⎪⎩得，故，，所以，，当且仅当时等号成立，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（16分）故.∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（17分）()()()()2222221122,2,,,k k k k x y x y x y x y ++⎡⎤=-+⎣⎦()()()()2222221122,2,,,k k x y k x y x y x y ++⎡⎤=-+⎣⎦()()()()2121221122,2,,,k k x y k x y x y x y ++⎡⎤=--+⎣⎦()()()212222212221221112,4,,4k k k k k k P P x x y y k x y x y k PP ++++++⎡⎤=--=-=⎣⎦22212(sin 2cos )(cos 2sin )58sin cos 54sin21PP x x x x x x x =--+--=+=+ …()4x t t ππ=-∈Z 10151016min1014420282P P =⨯=。
【100所名校】2019届湖南省长沙市雅礼中学高三上学期11月月考(三)数学(文)试题(含详细解析)
好教育云平台 名校精编卷 第1页（共6页） 好教育云平台 名校精编卷 第2页（共6页） 2019届湖南省长沙市雅礼中学 高三上学期11月月考（三）数学（文）试题 数学 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、单选题 1．复数√3+i 1−√3i (i 为虚数单位)等于 A ．1 B ．−1 C ．i D ．−i 2．若集合A ={y |y =x 13,−1≤x ≤1},B ={x |y =√1−x}，则A ∩B = A ．(−∞，1] B ．[−1，1] C ．∅ D ．{1} 3．已知向量a =(1,2)，向量b =(x,−2),且a ⊥(a −b )，则实数x 等于 A ．9 B ．4 C ．0 D ．−4 4．已知数列{}n a 为等差数列，若159a a a π++=，则()28cos a a +的值为 A ．12- B ．32- C ．12 D ．32 5．若圆226260x y x y +--+=上有且仅有三个点到直线10ax y -+=（a 是实数）的距离为1，则a = A ．1± B ．24± C ．2± D ．32± 6．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别是a,b,c ，若角B =π3,a,b,c 成等差数列，且ac =6，则b 的值是 A ．√2 B ．√3 C ．√5 D ．√6 7．如图，函数y =f (x )的图象在点P(5,f (5))处的切线方程是y =−x +8，则f (5)+f ′(5)=A ．12B ．1C ．2D ．0 8．把函数y =cosx −√3sinx 的图象向左平移m(m >0)个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是 A ．π6 B ．π3 C ．2π3 D ．5π6 9．不等式组{x ≥0,x +3y ≥4,3x +y ≤4 所表示的平面区域的面积等于 A ．32 B ．23 C ．43 D ．34 10．阅读右面的程序框图，则输出的S= A ．14 B ．20 C ．30 D ．55 11．函数f (x )={x 2,x ≤0,4sinx,0<x ≤π, 则集合{x |f(f (x ))=0}中元素的个数有 A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个 12．已知定义在R 上的函数f (x )满足f (−x )=−f (x ),f (x −2)= f (x +2), 且x ∈(−1,0)时，f (x )=2x +15，则f (2018)+f (log 220)= A ．1 B ．45 C ．−1 D ．−45 二、填空题 此卷只装订不密封班级姓名准考证号考场号座位号好教育云平台 名校精编卷 第3页（共6页）好教育云平台 名校精编卷 第4页（共6页） 13．已知一个几何体的三视图如下图所示(单位：cm)，其中正视图是直角梯形，侧视图和俯视图都是矩形，则这个几何体的体积是________cm 3.14．已知2x +8y =1(x ＞0，y ＞0)，则x +y 的最小值为________．15．已知点A(1,4)，又F 是双曲线x 24−y 212=1的左焦点，P 是双曲线右支上的动点，则|PF|+|PA|的最小值为__________．16．若关于 x 的不等式 (2x −1)2<ax 2 的解集中的整数恰有 3 个，则实数 a 的取值范围是________________．三、解答题17．设数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1=1,S n =a n+1−1(n ∈N ∗)．(1)证明数列{a n }是等比数列，并求{a n }的通项公式；(2)若b n =a n +(−1)n log 2a n ，求数列{b n }的前2n 项的和T 2n ．18．如图，PA 垂直于矩形ABCD 所在的平面，AD =PA =2,CD =2√2,E 、F 分别是AB 、PD 的中点．(1)求证：AF ⊥平面PCD ．(2)求三棱锥P −EFC 的体积．19．为了了解某学校高三年级学生的数学成绩，从中抽取n 名学生的数学成绩(百分制)作为样本；按成绩分成5组：[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]，频率分布直方图如图所示．成绩落在[70，80)中的人数为20．(1)求a 和n 的值；(2)根据样本估计总体的思想，估计该校高三学生数学成绩的平均数x 和中位数m ； (3)成绩在80分以上(含80分)为优秀，样本中成绩落在[50，80)中的男、女生人数比为1：2，成绩落在[80，100]中的男、女生人数比为3：2，完成2×2列联表，并判断是否有95％的把握认为数学成绩优秀与性别有关．参考公式和数据：K 2=n (ad−bc)2a+b c+d a+c b+d ,n =a +b +c +d ． 20．已知抛物线的顶点在原点，焦点在x 轴的正半轴上，过抛物线的焦点且斜率为1的直线与抛物线交于A 、B 两点，若|AB |=16． (1)求抛物线的方程； (2)若AB 的中垂线交抛物线于C 、D 两点，求过A 、B 、C 、D 四点的圆的方程． 21．已知函数f (x )=alnx +1x ． (1)若x =12是f (x )的极值点，求a 的值，并求f (x )的单调区间； (2)在（1）的条件下，当0<m <n 时，求证：f (m +n )−f (2n )<2m−2n−12n +1m+n .． 22．（本小题10分）选修4—4：坐标系与参数方程 已知某圆的极坐标方程为 （I ）将极坐标方程化为普通方程，并选择恰当的参数写出它的参数方程；（II）若点P(x,y)在该圆上，求x+y的最大值和最小值．23．（本小题满分12分）已知函数f(x)=|x−a|.（1）若不等式f(x)≤3的解集为{x|−1≤x≤5}，求实数a的值；（2）在（1）的条件下，若f(x)+f(x+5)≥m对一切实数恒成立，求实数的取值范围.好教育云平台名校精编卷第5页（共6页）好教育云平台名校精编卷第6页（共6页）2019届湖南省长沙市雅礼中学高三上学期11月月考（三）数学（文）试题数学答案参考答案1．C【解析】【分析】利用复数的四则运算计算可得结果.【详解】√3+i 1−√3i =√3+i)(1+√3i)(1−√3i)(1+√3i)=4i4=i，故选C.【点睛】本题考查复数的四则运算，属于基础题.2．B【解析】【分析】算出A,B后可计算A∩B.【详解】A={y|−1≤y≤1}，B={x|x≤1}，故A∩B=[−1,1]，选B.【点睛】一般地，在考虑集合的交、并、补时，要认清集合中元素的含义，如{x|y=f(x),x∈D}表示函数的定义域，而{y|y=f(x),x∈D}表示函数的值域，{(x,y)|y=f(x),x∈D}表示函数的图像.3．A【解析】【分析】算出a⃑−b⃑⃑的坐标利用a⃑·(a⃑−b⃑⃑)=0可得x的值.【详解】a⃑−b⃑⃑=(1−x,4)，又a⃑·(a⃑−b⃑⃑)=0，故1−x+2×4=0，所以x=9，故选A.【点睛】向量的数量积有两个应用：（1）计算长度或模长，通过用|a⃑|=√a⃑·a⃑；（2）计算角，cos⟨a⃑,b⃑⃑⟩=a⃑⃑·b⃑⃑|a⃑⃑||b⃑⃑|.特别地，两个非零向量a⃑,b⃑⃑垂直的充要条件是a⃑·b⃑⃑=0.4．A【解析】试题分析：159553,3a a a a aππ++===，()()28521cos cos2cos32a a aπ+===-.考点：数列，三角函数．5．B【解析】试题分析：圆心为()3,1，半径为2，由于圆上有3个点到直线的距离等于1，所以圆心到直线的距离等于1，即1,4d a===±.考点：直线与圆锥曲线位置关系.6．D【解析】【分析】利用余弦定理可得b2=a2+c2−ac，结合a,b,c成等差数列可得a=b=c，从而a=c=√6.【详解】由余弦定理可以得打b2=a2+c2−ac，又a,b,c成等差数列，故2b=a+c，所以(a+c2)2=a2+c2−ac，(a+c)2=4a2+4c2−4ac，a2+c2−2ac=0，所以a=c=√6，因B=π3，所以ΔABC为等边三角形，故b=√6，选D.【点睛】三角形中共有七个几何量（三边三角以及外接圆的半径），一般地，知道其中的三个量（除三个角外），可以求得其余的四个量.（1）如果知道三边或两边及其夹角，用余弦定理；（2）如果知道两边即一边所对的角，用正弦定理（也可以用余弦定理求第三条边）；（3）如果知道两角及一边，用正弦定理.7．C【解析】略8．C好教育云平台名校精编卷答案第1页（共12页）好教育云平台名校精编卷答案第2页（共12页）【解析】y=cosx−√3sinx=2cos(x+π3)，将其图像向左平移m(m>0)个单位长度后得到函数y=2cos(x+π3+m)的图象，则其对称轴为x+π3+m=kπ(k∈Z)即x=−π3−m+kπ(k∈Z)，所以−π3−m+kπ(k∈Z)=0，则m=−π3+kπ(k∈Z)。
湖南省长沙市雅礼中学2018-2019学年高三上学期第三次月考试卷数学含答案
增，所以1
h(x)
Hale Waihona Puke e2．当k
1
时，
g
'( x)
0
，
g(x)
在 [0,
]上递增，
g(x)
g (0)
0
，符合题意；当
2
k
e2
时，
g
'( x)
0
，
g(x)
在 [0,
] 上递减，
g(x)
g (0)
0
，与题意不合；当1
k
e2
时，
g ( x)
为一
2
个递增函数，而
g
'(0)
1
k
0
，
g
'( )
2
e2
k
0
，由零点存在性定理，必存在一个零点
2． 【答案】D 【解析】
考 点：函数导数与不等式．1
【思路点晴】本题主要考查导数的运用，涉及划归与转化的数学思想方法.首先令 f x 0 将函数变为两个函 数 g x ex 2x 1 , h x ax a ，将题意中的“存在唯一整数，使得 g t 在直线 h x 的下方”，转化为 存在唯一的整数，使得 g t 在直线 h x ax a 的下方.利用导数可求得函数的极值，由此可求得 m 的取值
湖南省长沙市雅礼中学 2018-2019 学年高三上学期第三次月考试卷数学含答案（参考答案） 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的.）
1． 【答案】C
【解析】由已知等式，得 c 3b cos C 3c cos B ，由正弦定理，得 sin C 3(sin B cos C sin C cos B) ，则 sin C 3sin(B C) 3sin A ，所以 sin C : sin A 3 :1 ，故选 C．
湖南省长沙市雅礼中学2019届高三数学上学期月考试题(一)文
长沙市雅礼中学2019届高三月考试巻（一）数学（文科）第I 卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个 选项中，只有一个选项是符合题目要求的1．已知集合{}{}2lg(4),2,0,1,2A x y x B ==-=-，则A B =A ．{}0,1B ．{}1,0,1-C ．{}2,0,1,2-D ．{}1,01,2-2．在复平面内，复数121i i-+的共轭复数对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3执行如图所示的程序图，如果输入1a =，2b =，则输出的a 的值为A ．7B ．8C ．12D ．164．若变量x ，y 满足约束条件30101x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，则2z x y =+的最大值为A ．1B ．3C ．4D ．55．已知回归直线的斜率的估计值是1．23，样本点的中心为（4，5），则回归直线的方程是A ． 1.234y x ∧=+B ． 1.230.8y x ∧=+C ． 1.230.08y x ∧=+D ． 1.230.08y x ∧=-6．在数列{}n a 中，11a =，数列{}n a 是以3为公比的等比数列，则20193log a 等于 A ．2017 B ．2018 C ．2019 D ．20207．设()s i n ()c o s ()5f x a x b x παπβ=++++，且(2018)2f =，则(2019)f 等于A ．2B ．2-C ．8D ．8-8．某几何体的三视图如图所示，其中俯视图是个半圆，则该几何体的表面积为A ．32π B．π．52π+．32π+9．将函数sin 2y x =的图象向右平移16π个单位后得到的函数为()f x ，则函数()f x 的图象 A ．关于点（12π，0）对称 B ．关于直线12x π=对称 C ．关于直线512x π=对称 D ．关于点（5,012π）对称 10．若函数6,2()(03log ,2x a x x f x a x -+≤⎧=>⎨+>⎩且1a ≠）的值域是［4，＋∞），则实数a 的取值范围是A ．(1,2]B ．(0,2]C ．[2,)+∞ D．(111．已知点F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点，点E 是该双曲线的右顶点，过F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A 、B 两点，若△ABE 是饨角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围是A ．(1,)+∞B ．(1,2) C．[1,1 D ．(2,)+∞12．已知△ABC 是边长为2的等边三角形，P 为△ABC 所在平面内一点，则()PA PB PC ⋅+的最小值是A ．32-B ．2-C ．43- D ．1- 第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13～21题为必考题，每个试題考生都必须作答．第22～23题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本大题共4小題，每小题5分，共20分13．锐角△ABC 中，AB ＝4，AC ＝3，△ABC的面积为BC ＝_______。
最新2019届雅礼中学第三次月考文数(试题)
姓!名!
" "
炎德英才大联考雅礼中学#$!%届高三月考试卷!三"
"
"
" "
数!学!文科"
"
"
"
命题人#李武辉!!审题人#滕晓军!汤!灏
"
"
得分#!!!!!!!
"
" "
!!本试卷分第卷!选 择 题 "和 第 卷 !非 选 择 题 "两 部 分$共 " 页% 时 量
" !#$分钟%满分!&$分%
" "
&!若圆$#)##+'$+##)'0$上有且仅有三个点到直线&$+#)!0$!&
"
是实数"的距离为!$则&等于
"
"
,!6!
"
-!6槡2#
.!6槡#
/!6槡#(
" "
'!在("%( 中$角"$%$( 所对的边长分别是&$)$*$若角%0($&$)$*成等
"பைடு நூலகம்
差数列$且&*0'$则)的值是
"
"
,!槡#
-!槡(
.!槡&
/!槡'
" 7!如图$函数#0+!$"的图象在点 ,!&$+!&""处的切
" "
线方程是#0+$)"$则+!&")+-!&"0
湖南省长沙市雅礼中学近年届高三数学上学期月考试题(一)文(扫描版,无答案)(2021年整理)
湖南省长沙市雅礼中学2019届高三数学上学期月考试题（一）文（扫描版，无答案）
编辑整理：
尊敬的读者朋友们：
这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（湖南省长沙市雅礼中学2019届高三数学上学期月考试题（一）文（扫描版，无答案））的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为湖南省长沙市雅礼中学2019届高三数学上学期月考试题（一）文（扫描版，无答案）的全部内容。
湖南省长沙市雅礼中学2019届高三上学期入学考试数学(文)试题
雅礼中学2019届高三上学期入学考试试卷数学(文科)一、选择题本大题共12小题每小题5分共即分在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的 1．已知全集U ＝{x |﹣1≤x ≤6}，A ＝{x |0＜x ＜4}，B ＝{x ∈U |x ≥3}，则下列结论正确的是（ ） A ．∁U A ＝[4，6] B ．A ∩B ＝[3，4）C ．A ∪B ＝UD ．∁U B ＝[﹣1，3]2．已知复数1﹣i =2+4iz（i 为虚数单位），则z 等于（ ） A ．﹣1+3iB ．﹣1+2iC ．1﹣3iD ．1﹣2i3．已知甲，乙两组数据如茎叶图所示，若他们的中位数相同，平均数也相同，则图中的m ，n 的比值m n=（ ）A ．1B ．13C ．38D ．294．若双曲线E ：x 22m−2−y 2m=1（m ＞1）的焦距为10，则该双曲线的离心率为（ ） A ．43B ．53C ．54D ．25165．若a ＞b ＞0，0＜c ＜1，则（ ） A ．log a c ＜log b c B ．log c a ＜log c b C ．a c ＜b cD ．c a ＞c b6．函数y ＝cos （12x −π3）的图象的一条对称轴方程为（ ） A ．x =2π3B ．x =5π3C ．x =π2D ．x ＝π7．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行数里，请公仔细算相还．”其意思为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”请问从第几天开始，走的路程少于20里（ ） A ．3B ．4C ．5D ．68．已知f （x ）是定义域为R 的奇函数，且f （x ）={e 2x −1，0≤x ＜1lnx ，1≤x ≤2.5f(x −5)，x ＞2.5，则f （f （2019）＝（ ）A ．ln 3B ．3C ．ln 2D ．09．直线x +y +2＝0分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆（x ﹣2）2+y 2＝2上，则△ABP 面积的取值范围是（ ） A ．[2，6]B ．[4，8]C ．[√2，3√2]D ．[2√2，3√2]10．设点A 是不等式组{x ≥1x −2y +3≥0y ≥x ，所表示的平面区域内的一点，点B 在直线3x ﹣4y ﹣9＝0上，则|AB |的最小值等于（ ） A ．4B ．2C ．125D ．14511．如图是正三棱锥V ﹣ABC 的正视图、侧视图和俯视图，则其侧视图的面积是（ ）A ．4B ．5C ．6D ．712．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且（a 2+b 2﹣c 2）•（a cos B +b cos A ）＝abc ，若a +b ＝2，则c 的取值范围为（ ） A ．（0，2）B ．[1，2）C ．[12，2）D ．（1，2]二、本卷包括必考题和选考题两部分，第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22～23题为选考题，考生根据要求作答填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分 13．已知|a →|＝4，|b →|＝2，且a →与b →夹角为120°，则（a →−2b →）•（a →+b →）＝ ．14．如图，在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱AB ﹣CD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ＝2，则异面直线A 1B 与AD 1所成角的余弦值为 ．15．设抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过F 且斜率为k （k ＞0）的直线l 与C 交于A ，B 两点，且|AB |＝8，则直线l 的方程为 ．16．函数f （x ）＝cos x 与g （x ）＝|log 2|x ﹣1||的图象所有交点的横坐标 ． 三、解答題：本大题共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝2，a 2＝8，a 3＝24，{a n +1﹣2a n }为等比数列． （1）求证：{a n 2n}是等差数列；（2）求数列{a n }的前n 项和S n ．18．《中华人民共和国道路交通安全法》第47条的相关规定：机动车行经人行道时，应当减速慢行；遇行人正在通过人行道，应当停车让行，俗称“礼让斑马线”，《中华人民共和国道路交通安全法》第90条规定：对不礼让行人的驾驶员处以扣3分，罚款50元的处罚．下表是某市一主干路口监控设备所抓拍的5个月内驾驶员“礼让斑马线”行为统计数据：月份 1 2 3 4 5 违章驾驶员人数1201051009085（1）请利用所给数据求违章人数y 与月份x 之间的回归直线方程y ^=b ^x +a ^，并预测该路口9月份的不“礼让斑马线”违章驾驶员人数；（2）若从表中1月份和4月份的违章驾驶员中，采用分层抽样方法抽取一个容量为7的样本，再从这7人中任选2人进行交规调查，求抽到的两人恰好来自同一月份的概率． 参考公式：b ^=∑ n i=1x i y i −nxy ∑ ni=1x i2−nx 2=∑ n i=1(x i −x)(y i −y)∑ ni=1(x i −x)2，a ^=y −b ^x ．19．如图，已知四棱锥P ﹣ABCD 的底面ABCD 是菱形，∠BAD ＝60°，P A ＝PD ，O 为AD 边的中点，点M 在线段PC 上．（1）证明：平面POB ⊥平面P AD ；（2）若AB ＝2√3，P A =√7，PB =√13，P A ∥平面MOB ，求四棱锥M ﹣BODC 的体积．20．如图，椭圆x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的左右顶点分别为A （﹣2，0），B （2，0），离心率e =√32，P ，M ，N 为椭圆上非顶点的三点，设直线P A ，PB 的斜率分别为k 1，k 2． （1）求椭圆C 的方程，并求k 1，k 2的值；（2）若AP ∥ON ，BP ∥OM ，判断△OMN 的面积是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由21．函数f （x ）＝alnx +1x−2x （a ∈R ）． （1）当a ＝3时，求f （x ）的极值； （2）当a ＝1时，证明：f （x ）＞1e x −2x ．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分（本小题满分10分）22．[选修4-4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中，⊙O 的参数方程为{x =cosθy =sinθ，（θ为参数），过点（0，−√2）且倾斜角为α的直线l 与⊙O 交于A ，B 两点． （1）求α的取值范围；（2）求AB 中点P 的轨迹的参数方程． 23．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分） 已知函数f （x ）＝|2x ﹣a |+a ．（1）当a ＝2时，求不等式f （x ）≤6的解集；（2）设函数g （x ）＝|2x ﹣1|，当x ∈R 时，f （x ）+g （x ）≥3，求实数a 的取值范围．一、选择题本大题共12小题每小题5分共即分在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的1．B 2．A 3．C 4．C 5．B 6．A 7．C 8．D 9．A 10．B 11．C 12．B二、本卷包括必考题和选考题两部分，第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22～23题为选考题，考生根据要求作答填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分 13． 12． 14．45．15． y ＝x ﹣1． 16．4．三、解答題：本大题共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17．（1）a 1＝2，a 2＝8，a 3＝24，{a n +1﹣2a n }为等比数列，设公比为q ， 可得q =a 3−2a 2a 2−2a 1=24−168−4=2，即有a n +1﹣2a n ＝2n +1，则a n+12−a n 2=1，可得{a n 2}是首项为1，公差为1的等差数列； （2）a n 2=1+n ﹣1＝n ，即a n ＝n •2n ，前n 项和S n ＝1•2+2•4+3•8+…+n •2n ， 2S n ＝1•4+2•8+3•16+…+n •2n +1， 相加可得﹣S n ＝2+4+8+…+2n ﹣n •2n +1=2(1−2n)1−2−n •2n +1，化简可得S n ＝2+（n ﹣1）•2n +1． 18．（1）由表中数据知，x =3，y =100， ∴a ^=y −b ^x =125.5，∴所求回归直线方程为y ^=−8.5x +125.5． 令x ＝9，则y ^=−8.5×9+125.5=49人．（2）由已知可得：1月份应抽取4位驾驶员，设其编号分别为a 1，a 2，a 3，a 4， 4月份应抽取3位驾驶员，设其编号分别为b 1，b 2，b 3， 从这7人中任选2人包含21个基本事件，分别为：（a 1，a 2），（a 1，a 3），（a 1，a 4），（a 1，b 1），（a 1，b 2），（a 2，b 3），（a 2，b 4）， （a 2，b 1），（a 2，b 2），（a 3，a 4），（a 3，b 1），（a 1，b 3），（a 2，b 3），（a 3，b 3）， （a 4，b 3），（b 1，b 3），（b 2，b 3），（a 3，b 2），（a 4，b 1），（a 4，b 2），（b 1，b 2），设“其中两个恰好来自同一月份”为事件A ，则事件A 包含的基本事件有9个，分别是：（a 1，a 2），（a 1，a 3），（a 1，a 4），（a 2，a 3），（a 2，a 4），（a 3，a 4），（b 1，b 2），（b 1，b 3），（b 2，b 3），∴抽到的两人恰好来自同一月份的概率P(A)=921=37．19．（1）证明：连接BD ，因为底面ABCD 是菱形，∠BAD ＝60°， 所以△ABD 是正三角形，…（1分） 因为O 为AD 边的中点，P A ＝PD ， 所以AD ⊥PO ，AD ⊥BO ，PO ∩BO ＝O ， 所以AD ⊥平面POB ，… 因为AD ⊂平面P AD ，所以平面POB ⊥平面P AD ． …（2）连接AC ，交OB 于点N ，连接MN ， 因为P A ∥平面MOB ，所以P A ∥MN ，…（6分） 易知点N 为ABD 的重心，所以AN =13AC ， 故PM =13PC ，…（7分）因为AB =2√3，PA =PD =√7，所以OB ＝3，OP ＝2，因为PB =√13， 所以∠POB ＝90°，即OP ⊥OB ，且AD ⊥PO ， 所以OP ⊥平面BODC ，…由PM =13PC 知CM =23CP ，故点M 到平面BODC 的距离为23PO =43，…（9分）因为S BODC =34S ABCD =34×2×12×(2√3)2×sin60°=9√32，… 所以四棱锥M ﹣BODC 的体积为13×9√32×43=2√3． …20．（1）由题意：a ＝2，ca =√32，b 2＝a 2﹣c 2，解得a 2＝4，b 2＝1， 所以椭圆的方程为：x 24+y 2=1；设P （x 0，y 0），又A （﹣2，0），B （2，0），所以k 1k 2=−y 02(2−x 0)(2+x 0)=−1−x 0244−x 02=−14；（2）设直线MN 的方程为：y ＝kx +t ，M （x ，y ），N （x '，y '），联立直线与椭圆的方程整理得： （1+4k 2）x 2+8ktx +4t 2﹣4＝0，x +x '=−8kt 1+4k2，xx '=4t 2−41+4k2，k AP •k BP =−14，y x ⋅y′x′=−14，即xx '+4yy '＝0，所以4•（kx +t ）（kx '+t ）+xx '＝0， 即（1+4k 2）xx '+4kt （x +x '）+4t 2＝0， 所以（1+4k 2）⋅4t 2−41+4k2−4kt ⋅8kt 1+4k2+4t 2＝0，解得：2t 2＝1+4k 2， |MN |=√1+k 2•√(x+x′)2−2xx′=√1+k 2⋅√(8kt 1+4k2)2−4⋅4t 2−41+4k2=2√2√1+k 21+4k2， O 到直线MN 的距离d =√1+k，所以S △OMN =12|MN|⋅d =12⋅2√2√1+k 21+4k 2√1+k =√2⋅√2t =1．21．（1）当a ＝3时，f(x)=3lnx +1x−2x(x ＞0)，则f′(x)=3x −1x 2−2=2x 2−3x+1x 2=(2x−1)(x−1)x 2， 当x ∈(0，12)时，f ′（x ）＜0，f （x ）在(0，12)上单调递减； 当x ∈(12，1)时，f ′（x ）＞0，f （x ）在(12，1)上单调递增； 当x ∈（1，+∞）时，f ′（x ）＜0，f （x ）在（1，+∞）上单调递减． ∴f(x)极小值=f(12)=1−3ln2，f （x ）极大值＝f （1）＝﹣1； （2）证明：当a ＝1时，f(x)=lnx +1x −2x(x ＞0)， ∴不等式f （x ）＞1e x −2x 可变形为lnx +1x ＞1e x ， 要证上述不等式成立，即证明xlnx +1＞xe x ， 设g(x)=xlnx +1，ℎ(x)=x e x ，则g ′（x ）＝lnx +1，令g ′（x ）＝0，得x =1e， 在(0，1e )上，g ′（x ）＜0，g （x ）是减函数，在(1e ，+∞)上，g （x ）是增函数， ∴g(x)≥g(1e)=1−1e； 又ℎ′(x)=1−xe x ，令h ′（x ）＝0，得x ＝1， 在（0，1）上，h ′（x ）＞0，h （x ）是增函数，在（1，+∞）上，h ′（x ）＜0，h （x ）是减函数， ∴ℎ(x)≤ℎ(1)=1e ＜1−1e ，∴h （x ）＜g （x ），即xlnx +1＞x e x ，所以lnx +1x ＞1e x ， 由此可得f （x ）＞1e x −2x ．22．（1）∵⊙O 的参数方程为{x =cosθy =sinθ（θ为参数），∴⊙O 的普通方程为x 2+y 2＝1，圆心为O （0，0），半径r ＝1，当α=π2时，过点（0，−√2）且倾斜角为α的直线l 的方程为x ＝0，成立； 当α≠π2时，过点（0，−√2）且倾斜角为α的直线l 的方程为y ＝tanα•x −√2， ∵倾斜角为α的直线l 与⊙O 交于A ，B 两点， ∴圆心O （0，0）到直线l 的距离d =√2|√1+tan α1，∴tan 2α＞1，∴tanα＞1或tanα＜﹣1，∴π4＜α＜π2或π2＜α＜3π4，综上α的取值范围是（π4，3π4）．（2）l 的参数方程为{x =tcosαy =−√2+tsinα，（t 为参数，π4＜α＜3π4），设A ，B ，P 对应的参数分别为t A ，t B ，t P ，则t P =t A +t B2， 且t A ，t B 满足t 2−2√2tsinα+1=0， ∴t A +t B =2√2sinα，t P =√2sinα， ∵P （x ，y ）满足{x =t P cosαy =−√2+t p sinα，∴AB 中点P 的轨迹的参数方程为：{x =√22sin2αy =−√22−√22cos2α，（α为参数，π4＜α＜3π4）．23．（1）当a ＝2时，f （x ）＝|2x ﹣2|+2， ∵f （x ）≤6，∴|2x ﹣2|+2≤6， |2x ﹣2|≤4，|x ﹣1|≤2， ∴﹣2≤x ﹣1≤2， 解得﹣1≤x ≤3，∴不等式f （x ）≤6的解集为{x |﹣1≤x ≤3}．（2）不等式f （x ）+g （x ）≥3可化为|2x ﹣1|+|2x ﹣a |≥3﹣a ， 即|x −12|+|x −a2|≥3−a2， 当a ≥3时，原不等式成立．当a ＜3时，由绝对值三角不等式可得|x −12|+|x −a2|≥12|a −1|， ∴12|a −1|≥3−a 2＞0，平方得（a ﹣1）2≥（3﹣a ）2， 解得2≤a ＜3，∴实数a 的取值范围是[2，+∞）。