江苏省扬州市2020届高三上学期期末检测数学试题含附加题(学生版)
2019-2020学年度第一学期期末检测试题
高三数学Ⅰ
2020.01
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．
． 1.已知集合{}{}1,2,2,4A k B =-=，且{}2,A B =则实数k 的值为 . 2.设()2
13i a bi +=+，则a b += .
3.用分层抽样方法从某校三个年级学生中抽取一个容量为90的样本。
在高一抽40人，高二抽30人，若高三有400人，则该校共有 人
4.右图是一个算法流程图，如输入x 的值为1，则输出S 的值为 .
5.已知 ,a R ∈则“0a =”是“()2(sin )f x x a x =+”为偶函数的 条件
6.若一组样本数据21,19，x,20,18的平均数为20，则该组样本数据的方差为 .
7.在平面直角坐标系xOy 中，顶点在原点且以双曲线2
2
13
y x -=的右准线为准线的抛物线方程是 .
8.已知{}{}(,)|4,0,0,(,)|2,0,0x y x y x y A x y x y x y Ω=+<>>=<>->，若向区域Ω上随机投掷一点P ，则点P 落在区域A 的概率为 9.等差数列{}n a 的公差不为零，121,a a =是1a 和5a 的等比中项，则
159
246
a a a a a a ++=++
10.已知定义在（0,+∞）上的函数()f x 的导函数为(),f x '且()()0xf x f x '+<，则
(1)(1)
(3)3
x f x f -->的解集为
11.已知圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，圆台的高为23cm ，母线与轴的夹角为30︒，则这个圆台的轴截面的面积等于 3.cm
12.已知函数1
3,1
(),22
ln ,1
x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪>⎩若存在实数,()m n m n <满足()()f m f n =，则2n m -的
取值范围为
13.在ABC ∆中，若sin cos 2,B B +=则
sin 2tan tan A
B C
+的最大值为
14. 在平面直角坐标系xOy 中，A 和B 是圆()2
2:11C x y -+=上两点，且2AB =，点P 的坐标为（2,1），则2PA PB -的取值范围为
二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤
15. （本小题满分14分）
已知2()23cos 2cos 1.f x x x x =⋅+- （1）求函数()f x 的单调递增区间；
（2）若(0,)6πθ∈3
,(),2
f x =求sin 2θ的值。
16. （本小题满分14分）
如图，ABC ∆是以BC 为底边的等腰三角形，,DA EB 都垂直于平面ABC ，且线段DA 长度大于线段EB 的长度，M 是BC 的中点，N 是ED 的中点。
求证：（1）AM ⊥平面EBC ；
（2）//MN 平面DAC .
17. （本小题满分14分）
如图是一个半径为1千米的扇形景点的平面示意图，2.3
AOB π
∠=
原有观光道路OC,且OC OB ⊥。
为便于游客观赏，景点2部门决定新建两条道路PQ,PA,其中P 在原道路OC(不含端点O,C)上，Q 在景点边界OB 上，且OP=OQ,同时维修原道路OP 段。
因地形原因，新建PQ 段、PA 2a 万元，6a 元，维修OP 段的每千米费用是a 万元。
（1）设,APC θ∠=求所需总费用()f θ，并给出θ的取值范围； （2）当P 距离O 处多远时，总费用最小。
18. （本小题满分16分）
如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为1
2
，右准线的
方程为4x =，12,F F 分别为椭圆C 的左、右焦点，A,B 分别为椭圆C 的左右顶点。
（1）求椭圆C 的标准方程；
（2）过T(t,0)(t>a)作斜率为k(k<0)的 直线l 交椭圆C 与M,N 两点（点M 在点N 的左侧），且12//.F M F N 设直线AM ，BN 的斜率分别为12,k k ，求12k k ⋅的值。
19. （本小题满分16分）
已知函数()(ln 1),()(,).f x x x g x ax b a b R =-=+∈
（1）若1a =时，直线()y g x =是曲线()f x 的一条切线，求b 的值； （2）若
,b
e a
=-且()()f x g x ≥在[,)x e ∈+∞上恒成立，求a 的取值范围； （3）令()()()x f x g x ϕ=-，且()x ϕ在区间2[,]e e 上有零点，求24a b +的最小值.
20. （本小题满分16分） 对于项数为
(*,1)
m m N m ∈>的有穷正项数列
{}
n a ，记
{}12min ,,,(1,2,
,)k k b a a a k m ==，即k b 为12,,,k a a a 中的最小值，设由12,,
,m b b b 组
成数列{}n b 称为{}n a 的“新型数列”.
（1）若数列{}n a 为2019,2020,2019,2018,2017，请写出{}n a 的“新型数列” {}n b 的所有项；
（2）若数列{}n a 满足10
1,6,
222,7,n n n a n n -⎧⎛⎫≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭
⎪-≥⎩
且其对应的“新型数列” {}n b 的项数[21,30]m ∈，求{}n b 的所有项的和；
（3）若数列{}n a 的各项互不相等且所有项的和等于所有项的积，求符合条件的{}n a 及其对应的“新型数列” {}n b .
附加题
21. （本小题满分10分）
已知矩阵21 01M ⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦
（1）求矩阵M 的特征值及特征向量；
（2）21α⎡⎤
=⎢⎥-⎣⎦
，求3M α.
22. （本小题满分10分）
在极坐标系中，已知点,M N 的极坐标分别为(2,)2π，7)4π，直线l 的方程为3
π
θ=.
（1）求以线段MN 为直径的圆C 的极坐标方程； （2）求直线l 被（1）中的圆C 所截得的弦长.
23. （本小题满分10分）
甲、乙两人采用五局三胜制的比赛，即一方先胜，则三局比赛结束.甲每场比赛获胜的
概率均为2
3.设比赛局数为X .
（1）求3X =得概率；
（2）求X 的分布列和数学期望.
24. （本小题满分10分） 已知数列{}n a 满足*11
2()n n a n N a ++
=∈，且112
a =. （1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，求证：当2n ≥时，2114
5n n S S n --->-.
`。
2020年江苏省扬州市江都高级中学高三数学文上学期期末试题含解析
2020年江苏省扬州市江都高级中学高三数学文上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知二次函数（），点。
若存在两条都过点且互相垂直的直线和，它们与二次函数（）的图像都没有公共点，则的取值范围为（）A．B．C．D．参考答案：A略2. 若点和点到直线的距离依次为和，则这样的直线有（）A.条B.条C.条D.条参考答案：C3. 设数列是等差数列，为其前项和.若，，则（）A．4 B.36 C.-74 D.80参考答案：C依题意，得：，解得：，所以，＝－744. 双曲线的焦点到渐近线的距离等于实轴的长，则该双曲线的离心率为A． B． C．2 D．参考答案：D5. 当时，，则a的取值范围是A． B．C． D．参考答案：B6. 下列命题中，错误的是A．在中，是的充要条件；B．在锐角中，不等式恒成立；C．在中，若，则必是等腰直角三角形；D．在中，若，，则必是等边三角形．参考答案：【知识点】命题的真假判断与应用．A2C 解析：对于A．在△ABC中，若A＞B，则a＞b，即由正弦定理有sinA＞sinB，反之也成立，故A正确；对于B．在锐角△ABC中，A+B＞，则A＞﹣B，由y=sinx在（0，）上递增，则sinA＞sin（﹣B）=cosB，故B正确；对于C．在中，，则,即,所以即或,所以是等腰或直角三角形,故C错误;对于D．在中，若，，所以,联立解得: ,,所以必是等边三角形．【思路点拨】对选项依此判断即可.7. 等差数列{a n}的前n项和为S n，若，则（）A．66 B．99 C．110 D．143参考答案：D8. 若函数的值域为[﹣1，1]，则实数a的取值范围是（）A．[1，+∞）B．（﹣∞，﹣1] C．（0，1] D．（﹣1，0）参考答案：A【考点】分段函数的应用．【分析】根据函数f（x）的解析式，讨论x≤a和x＞a时，f（x）∈[﹣1，1]，即可求出a的取值范围．【解答】解：函数的值域为[﹣1，1]，当x≤a时，f（x）=cosx∈[﹣1，1]，满足题意；当x＞a时，f（x）=∈[﹣1，1]，应满足0＜≤1，解得x≥1；∴a的取值范围是[1，+∞）．故选：A．9. 已知函数，的图像的相邻两对称中心的距离为，且，则函数是（）A. 偶函数且在处取得最大值B. 偶函数且在处取得最小值C. 奇函数且在处取得最大值D. 奇函数且在处取得最小值参考答案：B10. 给出计算的值的一个程序框图如图，其中判断框内应填入的条件是（）A．i＞10 B．i＜10 C．i＞20 D．i＜20参考答案：A【考点】循环结构．【分析】结合框图得到i表示的实际意义，要求出所需要的和，只要循环10次即可，得到输出结果时“i”的值，得到判断框中的条件．【解答】解：根据框图，i﹣1表示加的项数当加到时，总共经过了10次运算，则不能超过10次，i﹣1=10执行“是”所以判断框中的条件是“i＞10”故选A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 设，，是单位向量，且，则向量，的夹角等于．参考答案：设，的夹角为，因为，所以，即，即，所以，所以，的夹角为或。
2020届江苏省扬州市高三上学期期末检测数学(理)试题(PDF版含答案)
a5 a4
a9 a6
10. 已 知 定 义 在 （ 0, ） 上 的 函 数 f (x) 的 导 函 数 为 f (x ) ,且 xf (x) f (x) 0 ， 则 (x 1 )f (x 1 )f ( 3 的) 解集为
3 11.已知圆台的一个底面周长是另一个底面周长的 3 倍，圆台的高为 2 3cm ，母线与轴的夹角为 30 ，
19.已知函数 f (x) x(ln x 1), g(x) ax b(a,b R). （1）若 a 1时，直线 y g(x) 是曲线 f (x) 的一条切线，求 b 的值； （2）若 b e, 且 f (x) g(x) 在 x [e, ) 上恒成立，求 a 的取值范围；
a （3）令(x) f (x) g(x) ，且(x) 在区间[e, e2 ] 上有零点，求 a2 4b 的最小值.
人
4.右图是一个算法流程图，如输入 x 的值为 1，则输出 S 的值为
5.已知 a R, 则“ a 0 ”是“ f (x) 2x(a sin x) ”为偶函数的
条件 6.若一组样本数据 21,19，x,20,18 的平均数为 20，则该组样本数据的方差为
7.在平面直角坐标系 xOy 中，顶点在原点且以双曲线 x2 y2 1的右准线为准 3
线的抛物线方程是
8.已知 (x, y) | x y 4, x 0, y 0 , A (x, y ) | x 2, y 0,x y 0 ，若向区域 上随机
投掷一点 P，则点 P 落在区域 A 的概率为
9.等差数列
an
的公差不为零， a1
1,
a2
是
a1
和
a3
的等比中项，则
a1 a2
高三上学期期末考试
江苏省扬州市求知中学2020-2021学年高三数学理上学期期末试卷含解析
江苏省扬州市求知中学2020-2021学年高三数学理上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 设集合，，则为（）（A）（B）（C）（D）参考答案：C略2. 若集合，则A. B. C. D.参考答案：C【分析】先化简集合A,B，再判断得解.【详解】由题得，，所以.故选：C【点睛】本题主要考查集合的化简和关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.3. 一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积是( )A．B．C．D．参考答案：D4. 某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：cm3）是（）A．2 B．4 C．6 D．8参考答案：C5. 正方体中，点在上运动（包括端点），则与所成角的取值范围是（）A. B. C. D.参考答案：D6. 已知两点，点是圆上任意一点，则面积的最小值是（）A. B. C. D.参考答案：A7. 己知定义在实数集R上的函数满足：①；②；③当时，，则f(2014)、f(2015)、f(2016)满足( )A. f(2014)> f(2015)> f(2016)B. f(2016)> f(2015)> f(2014)C. f(2016)= f(2014)> f(2015)D. f(2016)= f(2014)< f(2015)参考答案：C略8. 设x，y满足约束条件则的最小值为（）A．0 B．1 C．2 D．3参考答案：C绘制不等式组表示的平面区域如图所示，结合目标函数的几何意义可知目标函数在点处取得最小值，目标函数的最小值为：.本题选择C选项. 9. 若实数，满足则的最大值是（）A．-1 B． 1 C. 2 D．3参考答案：C10.过椭圆：的左焦点作直线轴，交椭圆C于A、B两点. 若△OAB（O为坐标原点）是直角三角形，则椭圆C的离心率e为（）A． B． C． D．参考答案：答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知函数在[a,b]上连续，定义；其中表示f()在D上的最小值，表示f(x)在D上的最大值.若存在最小正整数k使得对任意的成立，则称函数f(x)为[a，b]上的“k阶收缩函数”.有下列命题：①若，则；②若，则③为[1，2]上的1阶收缩函数；④为[1，4]上的5阶收缩函数其中你认为正确的所有命题的序号为__________参考答案：②③④12. 若实数满足，则目标函数的最大值是_____参考答案：1313. 直线l：（t为参数）与圆C：（θ为参数）相交所得的弦长的取值范围是．参考答案：[4，16]【考点】参数方程化成普通方程．【专题】直线与圆；坐标系和参数方程．【分析】把直线与圆的参数方程化为普通方程，画出图形，结合图形，求出直线被圆截得的弦长的最大值与最小值即可．【解答】解：直线l ：（t为参数），化为普通方程是=，即y=tanα?x+1；圆C的参数方程（θ为参数），化为普通方程是（x﹣2）2+（y﹣1）2=64；画出图形，如图所示；∵直线过定点（0，1），∴直线被圆截得的弦长的最大值是2r=16，最小值是2=2×=2×=4∴弦长的取值范围是[4，16]．故答案为：[4，16]．【点评】本题考查了直线与圆的参数方程的应用问题，解题时先把参数方程化为普通方程，再画出图形，数形结合，容易解答本题．14. 已知函数f（x）=sin2x+mcos2x的图象关于直线x=对称，则f（x）在区间[0，π]的单调递增区间为参考答案：[0，]和[，π]【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【分析】依题意，f（0）=f（），可求得m=1，利用辅助角公式可得f（x）=sin（2x+），从而可求得f（x）的单调递增区间．【解答】解：∵函数f（x）=sin2x+mcos2x的图象关于直线x=对称，∴f（0）=f（），∴m=1，∴f（x）=sin（2x+），由2kπ﹣≤2x+≤+2kπ，k∈Z得：kπ﹣≤x≤+kπ，k∈Z．又x∈[0，π]，∴f（x）在区间[0，π]的单调递增区间为[0，]和[，π]故答案为：[0，]和[，π]．15. 已知数列{a n}满足log3a n+1=log3a n+1（n∈N），且a2+a4+a6=9，则log b（a5+a7+a9）的值等于．参考答案：5考点：数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：由数列递推式可得数列{log3a n}为以log3a1为首项，以1为公差的等差数列，求出其通项公式后进一步得到数列{a n}是以a1为首项，以3为公比的等比数列，再由已知结合等比数列的性质求得log3（a5+a7+a9）的值．解答：解：∵log3a n+1=log3a n+1（n∈N），∴log3a n+1﹣log3a n=1，则数列{log3a n}为以log3a1为首项，以1为公差的等差数列，∴log3a n=log3a1+（n﹣1）=，则，即数列{a n}是以a1为首项，以3为公比的等比数列，又a2+a4+a6=9，∴a5+a7+a9=9×33=35，∴log3（a5+a7+a9）=．故答案为：5．点评：本题考查了数列递推式，考查了对数的运算性质，考查了等比数列的通项公式，是中档题．16. 若(为虚数单位)为纯虚数，则实数的值为．参考答案：2因为为纯虚数，所以，解得。
江苏省扬州市2020届高三数学上学期期末考试试题(含解析)
5, 2e2 1 ，即 2n m
5, 2e2 1 .
故答案为： 5, 2e2 1
【点睛】本题考查分段函数的图像与性质，利用导数研究函数的单调性与最值，属于中档题.
sin 2A 13.在 ABC 中，若 sin B cos B 2 ，则 tan B tan C 的最大值为________.
1.已知集合 A {1, k 2}, B {2, 4} ，且 A B {2} ，则实数 k 的值为________.
【答案】4 【解析】 【分析】
根据交集结果知 k 2=2 ，即可求得 k. 【详解】因为 A B {2}，所以 2 A ， k 2=2 ，解得 k 4 .
故答案为：4 【点睛】本题考查根据交集结果求参数的值，属于基础题.
已知不等式确定符号，从而确定单调性，这类新函数一般有 g(x) xf (x), g(x) ex f (x),
g(x) f (x) , g(x) f (x)
x
ex 等，属于中档题.
11.已知圆台的一个底面周长是另一个底面周长的 3 倍，圆台的高为 2 3cm ，母线与轴的夹 角为 30 ，则这个圆台的轴截面的面积等于________ cm2 .
故答案为：-2 【点睛】本题考查复数代数形式的四则运算，属于基础题. 3.用分层抽样方法从某校三个年级学生中抽取一个容量为 90 的样本，在高一抽 40 人，高二 抽 30 人，若高三有 400 人，则该校共有________人. 【答案】1800 【解析】 【分析】
首先求出高三抽取的人数，从而求出抽样比，根据样本总容量即可求出总人数.
因此“ a 0 ”是“函数 f (x) 2x(a sin x) 为偶函数”的充要条件.
故答案为：充要条件
江苏省扬州市树人中学2020年高三数学理期末试题含解析
江苏省扬州市树人中学2020年高三数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 函数的图象大致是A．B．C. D．参考答案：D2. 已知复数，其中i是虚数单位，则z的模|z|=（）A．B．3 C．4 D．5参考答案：D3. 如图可能是下列哪个函数的图象（）A．y=2x﹣x2﹣1 B．y=C．y=（x2﹣2x）e x D．y=参考答案：C【考点】函数的图象与图象变化．【专题】函数的性质及应用．【分析】A中y=2x﹣x2﹣1可以看成函数y=2x与y=x2+1的差，分析图象是不满足条件的；B中由y=sinx是周期函数，知函数y=的图象是以x轴为中心的波浪线，是不满足条件的；C中函数y=x2﹣2x与y=e x的积，通过分析图象是满足条件的；D中y=的定义域是（0，1）∪（1，+∞），分析图象是不满足条件的．【解答】解：A中，∵y=2x﹣x2﹣1，当x趋向于﹣∞时，函数y=2x的值趋向于0，y=x2+1的值趋向+∞，∴函数y=2x﹣x2﹣1的值小于0，∴A中的函数不满足条件；B中，∵y=sinx是周期函数，∴函数y=的图象是以x轴为中心的波浪线，∴B中的函数不满足条件；C中，∵函数y=x2﹣2x=（x﹣1）2﹣1，当x＜0或x＞2时，y＞0，当0＜x＜2时，y＜0；且y=e x＞0恒成立，∴y=（x2﹣2x）e x的图象在x趋向于﹣∞时，y＞0，0＜x＜2时，y＜0，在x趋向于+∞时，y趋向于+∞；∴C中的函数满足条件；D中，y=的定义域是（0，1）∪（1，+∞），且在x∈（0，1）时，lnx＜0，∴y=＜0，∴D中函数不满足条件．故选：C．【点评】本题考查了函数的图象和性质的应用问题，解题时要注意分析每个函数的定义域与函数的图象特征，是综合性题目．4. 已知满足，则关于的说法，正确的是（）A.有最小值1B.有最小值C.有最大值D.有最小值参考答案：B略5. 已知f（x）的定义域是（0，+∞），f'（x）为f（x）的导函数，且满足f（x）＜f'（x），则不等式f(x2+x)＞f（2）的解集是（）A．（﹣∞，2）∪（1，+∞）B．（﹣2，1）C．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）D．（﹣1，2）参考答案：A【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】构造新函数g（x）=，通过求导得到g（x）的单调性，所解的不等式转化为求g（x2+x）＞g（2），结合函数的单调性得到不等式，求解得答案．【解答】解：设g（x）=，（x＞0），∵f（x）＜f'（x），∴g′（x）=＞0，∴g（x）在（0，+∞）单调递增，由f（2），得，即g（x2+x）＞g（2），∴x2+x＞2，解得：x＜﹣2或x＞1．∴不等式f（2）的解集是（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）．故选：A．6. 已知函数（其中），其部分图像如图所示，将的图像纵坐标不变，横坐标变成原的2倍，再向右平移1个单位得到的图像，则函数的解析式为（）A. B.C. D.参考答案：B7. 《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何？”其意思为：“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）．这个问题中，甲所得为（）A．钱 B．钱 C．钱 D．钱参考答案：D设等差数列的首项为，公差为，因为，所以有，解得：，故选D．8. 一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿东偏南的方向直线航行，30分钟后到达B 处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是东偏南，在B处观察灯塔，其方向是北偏东，那么B、C两点间的距离是（）A、10海里B、10海里C、20里D、20海里参考答案：A试题分析：如下图所示，由题意可知，，，，所以，由正弦定理得，所以，故选A.考点：正弦定理. 9. 设a ，b 为实数，若复数，则（ ）A ．B ． a=3，b=1C ．D ． a=1，b=3参考答案：A考点： 复数相等的充要条件．分析： 先化简，然后用复数相等的条件，列方程组求解．解答： 解：由可得1+2i=（a ﹣b ）+（a+b ）i ，所以，解得，，故选A ．点评： 本题考查了复数相等的概念及有关运算，考查计算能力．是基础题．10. 设圆锥曲线的两个焦点分别为，，若曲线上存在点满足::=4:3:2，则曲线的离心率等于A. 或B.或2 C. 或2 D. 或参考答案： A二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 在平面直角坐标系xOy 中，已知A 、B 分别是双曲线的左、右焦点，的顶点C 在双曲线的右支上，则的值是．参考答案：12. 已知向量，满足||=1，||=2，，则向量与向量的夹角为 ．参考答案：120°考点：数量积表示两个向量的夹角． 专题：平面向量及应用．分析：本题是一个求夹角的问题，条件中给出了两个向量的模长，要求夹角只要求出向量的数量积，需要运用，数量积为零，得到关于与数量积的方程，解出结果代入求夹角的公式，注意夹角的范围．解答： 解：∵||=1，||=2，，∴（）=0，∴=0，∴=﹣=﹣1，∴cos＜，＞==﹣，∵＜，＞∈，∴两个向量的夹角是120°， 故答案为120°．点评：本题表面上是对向量数量积的考查，根据两个向量的夹角和模，用数量积列出式子，但是这步工作做完以后，题目的重心转移到求角的问题．注意解题过程中角的范围．13. 已知，则的展开式中x 的系数为．参考答案：15014.已知奇函数满足，且当时，，则的值为 参考答案：由得，所以周期是4，所以，又当时，，所以，所以.15. 已知下图（1）中的图像对应的函数y= f (x )，则下图（2）的图像对应的函数在下列给出的四个式子中，只可能是 。
2020届江苏省扬州市高三上学期期末检测数学(文)试题(word版)
2019-2020学年度第一学期期末检测试题高三数学文科2020.01一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1.已知集合{}{}1,2,2,4A k B =-=，且{}2,A B =I 则实数k 的值为 . 答案：42.设()213i a bi +=+，则a b += . 答案：2-3.用分层抽样方法从某校三个年级学生中抽取一个容量为90的样本，在高一抽40人，高二抽30人，若高三有400人，则该校共有 人 答案：18004.右图是一个算法流程图，如输入x 的值为1，则输出S 的值为 . 答案：355.已知 ,a R ∈则“0a =”是“()2(sin )f x x a x =+”为偶函数的 条件 答案：充要6.若一组样本数据21,19，x,20,18的平均数为20，则该组样本数据的方差为 . 答案：27.在平面直角坐标系xOy 中，顶点在原点且以双曲线2213y x -=的右准线为准线的抛物线方程是 . 答案：22y x =-8.已知{}{}(,)|4,0,0,(,)|2,0,0x y x y x y A x y x y x y Ω=+<>>=<>->，若向区域Ω上随机投掷一点P ，则点P 落在区域A 的概率为 答案：149.等差数列{}n a 的公差不为零，121,a a =是1a 和5a 的等比中项，则159246a a a a a a ++=++答案：9710.已知定义在（0,+∞）上的函数()f x 的导函数为(),f x '且()()0xf x f x '+<，则(1)(1)(3)3x f xf-->的解集为答案：{|14}x x<<11.已知圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，圆台的高为23cm，母线与轴的夹角为30︒，则这个圆台的轴截面的面积等于3.cm12.已知函数13,1(),22ln,1x xf xx x⎧+≤⎪=⎨⎪>⎩若存在实数,()m n m n<满足()()f m f n=，则2n m-的取值范围为13.在ABC∆中，若sin cos2,B B+=则sin2tan tanAB C+的最大值为14. 在平面直角坐标系xOy中，A和B是圆()22:11C x y-+=上两点，且2AB=，点P的坐标为（2,1），则2PA PB-u u u r u u u r的取值范围为二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15.（本小题满分14分）已知2()23cos2cos 1.f x x x x=⋅+-（1）求函数()f x的单调递增区间；（2）若(0,)6πθ∈3,(),2f x=求sin2θ的值。
江苏省扬州市2020届高三上学期期末检测数学试题含附加题 Word版含答案
扬州市2020届高三上学期期末考试数学一、填空题：1.已知集合{}{}1,2,2,4A k B =-=，且{}2,A B ⋂=则实数k 的值为2.设()213i a bi +=+，则a+b=3.用分层抽样方法从某校三个年级学生中抽取一个容量为90的样本。
在高一抽40人，高二抽30人，若高三有400人，则该校共有 人4.右图是一个算法流程图，如输入x 的值为1，则输出S 的值为5.已知 ,a R ∈则“0a =”是“()2(sin )f x x a x =+”为偶函数的 条件6.若一组样本数据21,19，x,20,18的平均数为20，则该组样本数据的方差为7.在平面直角坐标系xOy 中，顶点在原点且以双曲线2213y x -=的右准线为准线的抛物线方程是8.已知{}{}(,)|4,0,0,(,)|2,0,0x y x y x y A x y x y x y Ω=+<>>=<>->，若向区域Ω上随机投掷一点P ，则点P 落在区域A 的概率为 9.等差数列{}n a 的公差不为零，121,a a =是1a 和3a 的等比中项，则159246a a a a a a ++=++10.已知定义在（0,+∞）上的函数()f x 的导函数为(),f x '且()()0xf x f x '+<，则(1)(1)(3)3x f x f -->的解集为11.已知圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，圆台的高为23cm ，母线与轴的夹角为30︒，则这个圆台的轴截面的面积等于 3.cm12.已知函数13,1(),22ln ,1x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪>⎩若存在实数,()m n m n <满足()()f m f n =，则2n m -的取值范围为 13.在ABC ∆中，若sin cos 2,B B +=则sin 2tan tan AB C+的最大值为14. 在平面直角坐标系xOy 中，A 和B 是圆()22:11C x y -+=上两点，且2AB =，点P的坐标为（2,1），则2PA PB -u u u r u u u r的取值范围为二、解答题：15.已知2()23sin cos 2cos 1.f x x x x =⋅+-（1）求函数()f x 的单调递增区间； （2）若(0,)6πθ∈3,(),2f x =求sin 2θ的值。
最新江苏省扬州市高三上学期期末考试数学试题及答案
江苏省扬州市20xx 届高三上学期期末考试数学试题20xx 年2月第I 卷一、填空题 （70分）1、集合A ＝{－1,0，2}，B ＝{x ｜｜x ｜＜1}，则A B ＝＿＿＿＿＿＿2、已知i 是虚数单位，则21(1)ii +－的实部为＿＿＿＿＿ 3、命题P ：“2,230x Rx x ∀∈+-≥”，命题P 的否定：＿＿＿＿＿ 4、在三张奖券中有一、二等奖各一张，另一张无奖，甲乙两人各抽取一张（不放回），两人都中奖的概率为＿＿5、如图是一个算法流程图，输出的结果为＿＿＿＿＿6、已知样本6，7，8，9，m 的平均数是8，则标准差是＿＿＿＿7、实数x ，y 满足24011x y x y +-≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩，则2z x y =-的最小值为＿＿＿8、已知4(0,),cos 5απα∈=-，则tan()4πα+＝＿＿＿＿ 9、已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线与直线l：x ＝0垂直，且C 的一个焦点到l 的距离为2，则C 的标准方程为＿＿＿＿10、设函数22,2(),2x a x f x x a x ⎧+>⎪=⎨+≤⎪⎩，若f （x ）的值域为R ，是实数a 的取值范围是＿＿＿＿ 11、已知A （,A A x y ）是单位圆（圆心为坐标极点O ，半径为1）上任一点，将射线OA 绕点O 逆时针旋转3π到OB 交单位圆于点B （,B B x y ），已知m ＞0，若2A B my y -的最大值为3，则m ＝＿＿＿＿12、设实数x ，y 满足x 2＋2xy －1＝0，则x 2＋y 2的最小值是＿＿＿＿13、设数列{n a }的前n 项和为Sn ，且114()2n n a -=+-，若对任意*n N ∈，都有1(4)3n p S n ≤-≤，则实数p 的取值范围是＿＿＿＿＿ 14、已知A （0,1），曲线C ：y ＝log a x 恒过点B ，若P 是曲线C 上的动点，且AB AP 学科网的最小值为2，则a ＝＿＿＿＿＿ 二、解答题（90分）15、（14分）已知函数()sin()(0,0,0)2f x A x A πωϕωϕ=+>><<部分图象如图所示。
江苏省扬州市2020届高三上学期期末检测数学试题含附加题(教师版)
2019-2020学年度第一学期期末检测试题高三数学Ⅰ2020.01一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1.已知集合{}{}1,2,2,4A k B =-=，且{}2,A B =则实数k 的值为 .答案：4解析：由{}2,A B =则22k -=，解得4k = 2.设()213i a bi +=+，则a b += . 答案：2-解析：()22131+6986i i i i +=+=-+，则8,6a b =-=，所以2a b +=- 3.用分层抽样方法从某校三个年级学生中抽取一个容量为90的样本，在高一抽40人，高二抽30人，若高三有400人，则该校共有 人 答案：1800解析：由题意得高三学生抽取了20人，设该校总人数为x 人，则9020400x =，解得1800x = 所以该校共有1800人.4.右图是一个算法流程图，如输入x 的值为1，则输出S 的值为 . 答案：35解析：模拟演示：0,1S x == 1,3S x == 10,5S x ==35,7S x ==，此时结束循环，输出S 的值35.5.已知 ,a R ∈则“0a =”是“()2(sin )f x x a x =+”为偶函数的 条件 答案：充要解析：充分性：0a =时，()2sin f x x x =为偶函数；必要性：()2(sin )f x x a x =+为偶函数时，可求得0a =6.若一组样本数据21,19，x,20,18的平均数为20，则该组样本数据的方差为 . 答案：2 解析：21192018205x ++++=，解得22x =，222222(2120)(1920)(2220)(2020)(1820)25S -+-+-+-+-==7.在平面直角坐标系xOy 中，顶点在原点且以双曲线2213y x -=的右准线为准线的抛物线方程是 . 答案：22y x =-解析：双曲线2213y x -=的右准线为12x =，故可设抛物线方程22y px =，则122p -=，1p =-，所以所求抛物线方程为22y x =-.8.已知{}{}(,)|4,0,0,(,)|2,0,0x y x y x y A x y x y x y Ω=+<>>=<>->，若向区域Ω上随机投掷一点P ，则点P 落在区域A 的概率为答案：14解析：画出线性规划可行域，通过几何概型可求得点P 落在区域A 的概率为149.等差数列{}n a 的公差不为零，121,a a =是1a 和5a 的等比中项，则159246a a a a a a ++=++答案：97解析：由题意得：2215a a a =⋅，则2111()(4)a d a a d+=⋅+，整理得：12d a =，15951124641134993377a a a a a d a a a a a a d a +++====+++10.已知定义在（0,+∞）上的函数()f x 的导函数为(),f x '且()()0xf x f x '+<，则(1)(1)(3)3x f x f -->的解集为答案：{|14}x x <<解析：构造()()g x xf x =，则'()()()g x xf x f x '=+，因为()()0xf x f x '+<，则'()0g x <对于（0,+∞）恒成立，所以()g x 在区间（0,+∞）上单调递减，因为(1)(1)(3)3x f x f -->，则(1)(1)3(3)x f x f -->，所以(1)(3)g x g ->，所以1013x x ->⎧⎨-<⎩，解得14x <<，过答案为{|14}x x <<11.已知圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，圆台的高为23cm ，母线与轴的夹角为30︒，则这个圆台的轴截面的面积等于 3.cm12.已知函数13,1(),22ln ,1x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪>⎩若存在实数,()m n m n <满足()()f m f n =，则2n m -的取值范围为13.在ABC ∆中，若sin cos 2,B B +=则sin 2tan tan AB C+的最大值为14. 在平面直角坐标系xOy 中，A 和B 是圆()22:11C x y -+=上两点，且2AB =，点P 的坐标为（2,1），则2PA PB -的取值范围为二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15. （本小题满分14分）已知2()23sin cos 2cos 1.f x x x x =⋅+- （1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）若(0,)6πθ∈3,(),2f x =求sin 2θ的值。
江苏省扬州市2020届高三数学第一学期期末调研测试试题参考答案
扬州市 2019—2020 学年度第一学期期末检测试题高三数学参考答案一、填空题：1. 42. 23. 18004. 355. 充要6. 27. y 2 2x8. 149.9710. x 1x411. 8 3 12.5, 2e 113.2二、解答题：2 1214. 5 2, 5215．解：(1) f (x ) 3 sin 2x cos 2 2sin(2 )x x ，………………3 分6∵函数y sin x 的单调递增区间为2k,2k2 2，k Z .令 2 2 ,2x k k6 2 2，∴,x k k.3 6∴ f (x) 的单调递增区间为k,k3 6，k Z . …………7 分(2) ∵ f3 ，∴sin(2) 3( ) 2sin(2 ).6 2 6 4∵(0, ) ，∴ 2 , ，6 6 6 2∴ cos(2 ) 1 sin2 (2 ) 1 (3)2 7，…………9 分6 6 4 4∴sin 2 sin 2 sin(2 ) cos cos(2 )sin6 6 6 6 6 63 3 7 1 3 3 7. …………14 分4 2 4 2 816.(1) 因为△ABC 是以BC 为底边的等腰三角形，M 是BC 的中点，所以AM BC .因为EB 平面ABC ，AM 平面ABC ，所以EB AM .又BC 、EB 平面EBC ，EB BC B ，所以AM 平面EBC . ……6 分(2)证法一：如图 16-1，连结BN 并延长，交AD 的延长线于I ，连结IC .因为EB 平面ABC ，DA 平面ABC ，所以EB∥DA，所以EN BN，……9 分ND NI又N 为ED 的中点，所以BN NI ，即N 为BI 的中点.又M 是BC 的中点，所以在△BCI 中，MN∥CI .……11 分又MN 平面DAC ，CI 平面DAC ，所以MN∥平面DAC . ……14 分数学参考答案第 1 页（共 9 页）ID D DQN N NPE E EHA A AB B BOM M MC C C图 16-1 图 16-2 图 16-3证法二：如图 16-2，因为EB 平面ABC ，DA平面ABC ，所以EB∥DA，所以A, B, E, D 四点共面.在平面ABED 中，分别过E,N 作EP∥BA，NQ∥BA ，分别交AD 于P,Q .取AC 的中点O ，连结MO,OQ .因为EP∥BA，EB∥PA，所以四边形ABEP为平行四边形，所以EP∥BA .上面三行也可以叙述为：在AD 上取一点P ，使AP BE . 在平面ABED 中，过N 作NQ∥BA ，交AD 于Q .取AC 的中点O ，连结MO,OQ .因为EB∥DA，AP BE ，所以四边形ABEP为平行四边形. 所以EP∥BA .因为EP∥BA，NQ∥BA ，所以NQ∥EP ，又N 是ED 的中点，所以1NQ∥EP ，所以21NQ∥BA.2因为M ,O 分别为BC,CA 的中点，所以在△ABC 中，1 MO∥BA .2所以MO∥NQ，所以四边形MOQN 为平行四边形，所以MN∥OQ，又MN 平面DAC ，OQ 平面DAC ，所以MN∥平面DAC . ……14 分法三：如图 16-3，取AB 的中点H ，连结MH 、NH .在△ABC 中，因为M , H 分别为BC,BA 的中点，所以MH∥BA.又MH 平面DAC ，BA 平面DAC ，所以MH∥平面DAC .……9 分因为EB 平面ABC ，DA 平面ABC ，所以EB∥DA，又EB DA ，所以四边形ADEB 为梯形.又N, H 分别为ED,BA 的中点，所以NH∥DA.又NH 平面DAC ，DA 平面DAC ，所以NH∥平面DAC .因为NH,MH 平面NHM ，NH MH H ，所以平面NHM∥平面DAC ，……11 分又MN 平面NHM ，所以MN∥平面DAC .……14分17．解：(1) 因为AOB ，OC OB ，所以AOC .3 6数学参考答案第 2 页（共 9 页）AP AO OP，又△ABC 中，sin AOP sin APO sinOAPAO sin AOP 1所以APsin APO2sin……4 分sinOPAO OAPsin 6 3 sincossin APO sin 2sin所以f ＝ 3 sin cos 2 2 3 sin cos 6a a2sin 2sin 2sina， 7 .…7 分3 sin cos6a 3 3a 2 cos3a 3a2sin 2sin 2 2sin 6 12(2)f ' 3a 3a ，sin cos 2 cos 1 2cos22sin 2sin2 2由f ' 0 得 cos 1 ，又 7，所以……9 分2 6 12 3上单调递减当时，f ' 0 ，f在,6 3 6 3上单调递增当时，f ' 0 ，f在, 773 12 3 12时，f 取最小值．此时3 所以当OP ……13 分3 3答：当点P 距离O 处 33千米时，总费用的最小．……14 分18．(1) 因为椭圆C 的离心率为12，所以ca1.2因为椭圆C 的右准线的方程为x 4，所以a2c4.解之得a 2，c 1，所以a 2 4 ，b 2 a 2 c 2 3 . 所以椭圆C 的标准方程为x y . (4)分2 214 3(2) 设M(x , y ) ，1 1 N(x , y ) .2 2因为过T(t,0)(t a)作斜率为k (k 0) 的直线l 交椭圆C 于M, N 两点，所以l : y k(x t).由y k x t( ),得(3 4k2 )x 2 8k2tx 4k2t 2 120，3x 4y 122 2所以 28k tx x ,1 2 23 4k……6 分4 12k t2 2x x .1 2 23 4k因为F，1 (1, 0) F ，所以2 (1, 0)F M xy ，1 ( 1 1, 1)F N xy .2 ( 2 1, 2 )因为F M∥F N ，所以 (x 1)y (x 1)y ，即1 2 1 2 2 1 k(x 1)(x t ) k(x 1)(x t) ，1 2 2 1数学参考答案第 3 页（共 9 页）整理得t x x xx t ，所以() () 22112又 (xx )2(xx )24x x ，12211 2xxk862xx 2 1222122t 3 4k 34k，8k 2t64k 2t 2 12 所以 ()( ) 4 22 3 43 43 4k 2k 2k2，即 64k 4t 236 44(k 2t 2 3)(3 4k 2 ) ，即16k 4t 2 9 4(k 2t 2 3)(3 4k 2 ) ，整理得 4k 2 (t 24) 9(*).……10 分因为直线 AM ， BN 的斜率分别为 k k ，且 A (2, 0) ， B (2,0) ， 1, 2所以y y k (x t )(x t ) k [x x t (x x ) t ]222kk12121 21212x 2 x2 (x 2)(x2)x x2(xx ) 412121 2214 12 8 k tk t2 22k [tt ]223 4k3 4k2 24k t 12 62 2243 4k3 4k22k [4k t 12 8k tt (34k )]22 22 2224k t12 12 4(3 4k )2 229 3k (3t 12)3k (t4)4922224k t16k 12 4k (t 4) 12 9 12 42 222 2.……16 分 19.解：(1) 当 a1时， g xx b ， f 'xln x ，设切点A x 0 , f x 0 ，因为 g x x b 是 f x 的一条切线，所以 f x x ，解得ln1xe ，所以f xf e又切点 A e ,0在切线 y x b 上，所以 0 e b 得 b e ． ……4 分(2) 当ba时，令h x f x g x x ln x 1a x ee则h 'x ln x a若a 1，则当x e时，h 'x 0恒成立，h x 在e ,上单调递增，h x h e 0 ，即f x g x符合题意．……6 分若a 1时，由h 'x 0，得x e ea当e x e a 时，h 'x 0 ，h x在,e ea 上单调递减，h x h e 0与已知h x在x e ,上恒成立矛盾，舍去……9 分综上，a 1 ……10 分(3) 法一：x x ln x 1ax b ， 'x ln x a若a 1，则 'x 0在区间 e e 上恒成立，x在区间, 222e,e 上单调递增因为x在区间2上有零点，e,e所以e ae be e ae b2 2 2，解得ae b e 2ae2所以a 2 4b a 2 4ae a 2e 4e 2 1 4e ，2当a 1时，等号成立，此时b ae……12 分数学参考答案第 4 页（共 9 页）若1 a 2 时，当e x e a 时， 'x 0 ，x 在1,e 上单调递减a当e a x e2 时， 'x 0，x 在1,e 上单调递增a因为x在区间2上有零点，e,e所以10，所以b e a ，所以a 2 4b a 2 4e ae e a ae b e ba a a a令h a a 2 4e a ，1 a 2则' 2 4 2 2 0h a a e a a e a ，所以h a在1, 2上单调递减所以 2 2 2h a e e ……14 分2 4 4 4若a 2 ，则 'x 0 在区间e e 上恒成立，x在区间,22e,e 上单调递减因为x在区间 2e,e 上有零点，所以e aeb 0e e ae b2 2 2，解得e 2 ae 2 bae所以 2a 2 4b a 2 4ae 2 4e 2 a 2e 2 4e 2 4e 4 4e 2 4e4 ，当a 2e2 时，等号成立，此时b e 2 2e4 ；综上，a 2 4b的最小值是 4e 2 4e4 ……16 分法二：x x ln x 1ax b ，设x在e,e 2上的一个零点为x ，则，x0 x0 ln x0 1 ax0 b 0 0 ln 0 1 0b x x axa 4b a 4x ln x 1 4ax a 2x 4x ln x 1 4x2 2 220 0 0 0 0 0 04x ln x 14x ，当20 0 0 a 2x 时等号成立 (12)分令t x x x x ，e x e2 ，则t 'x 4ln x 8x24 ln 1 4因为e x e2 ，则1 ln x 2, 4ln x 8x 4 2 8e 0 ，即t 'x 0所以t x的区间2e,e 上单调递减，所以t x的最小值为t e 2 4e 2 4e4故a 2 4b的最小值为 4e 2 4e4 ……16 分20.解：(1) 数列{b }为2019, 2019, 2019, 2018, 2017；…………3 分n(2) 由已知得:当n 6时， a 关于n 递减；当n 7 时，a 关于n 递减，n n又 a a ，n N* 时，a 关于 n 递减.6 7 na m 又m21, 30m21N* 21n共 21 项,且各项分别与b a 中各项相同, …………5 分n n2 61 1 1其和为1024 1024 1024 15 14 1T212 2 2数学参考答案第 5 页（共 9 页）1 1(1) 15(151) 2 261024 1128. …………8 分1 212(3) 先不妨设数列a 单调递增.n当m 2时，a a N* ,1, 2 1 2 1 2 2 2a a a a aa 1 2,a 1 1，此时无解，不满足题意；…………9 分当m 3 时，由a a a a aa 得1 2 3 1 2 3 a 1 a 2 a 3 a1a2a 3 3a3a1a 2 3,又a1 <a 2 a 1 1,a 2 2 .代入原式得 3 3a ……10分当m 4 时，a a a a a a ma ，1 2 m 1 2 m m而a1a2 a m (m 1)!a m ma m ，矛盾!所以不存在满足题意的数列a .…………12分n综上，满足题意的数列a ：1,2,3；1,3,2；2,1,3；2,3,1；3,1,2；3,2,1. ……14分n所以对应的“新型数列”{b }分别为：1,1,1；1,1,1；2,1,1；2,2,1；3,1,1；3,2,1.…16分n21.(1) 矩阵M 的特征多项式为f2 1() (2)(1)0 1，f () 0 M 1令，得矩阵的特征值为或 2，……2分x y 0x y 0 x 1 y 1当时由二元一次方程1 得，令，则，0x 0y 01所以特征值 1 对应的特征向量为；……4分110x y当=2 时由二元一次方程0x y 0 得y=0 ，令x1 ，所以特征值=2 对应的特征向量为=21；……6分0(2)2=1 2-1……7分1 19M M M 33 3 3 3 31 2 1 1 2 2 = 2-1 0 -1……10分22.解法一：以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，则点 M，N 的直角坐标分别为0，2，2， 2，直线l 的直角坐标方程为y 3x ，(1) ∵线段 MN 为圆 C 的直径，∴圆 C 的圆心为 C1，0，半径为 5 ，∴圆 C 的直角坐标方程为 2 2x y ，即x 2 y 2 2x 4 ，1 5化为极坐标方程为： 2 2 cos 4 . ……5 分(2)∵圆 C 的直角坐标方程为x y ，直线l 的直角坐标方程为y 3x ，1 52 2数学参考答案第 6 页（共 9 页）∴圆心 C 到直线l 的距离为 3d ，2∴所求弦长为232 5172.……10 分解法二：(1) ∵线段 MN 为圆 C 的直径，点 M，N 的极坐标分别为2，π， 2 2 7π，，2 4∴圆心 C 的极坐标为 C1，0，半径为 5 ，设点P ，为圆 C 上任一点，则在△POC 中，由余弦定理得25 1 2 cos（P、O、C 共线此式也成立），2 2∴圆 C 的极坐标方程为： 2 2 cos 4 . ……5 分(2) 在圆 C 的极坐标方程 2 2 cos 4 中，令，得32 4 0，显然该方程0 ，且1 21，，1 2 4∴所求弦长为1 2 1 2 4 1 2 17 . ……10 分223.解：(1)因为X 3即甲连胜三局或乙连胜三局，所以( 3) (2)3 (1)3 9 1P X ；……2 分3 3 27 3答：X 3的概率为1.3……3 分(2) X 可能取值为 3,4,5，所以( 3) (2)3 (1)3 9 1P X ；3 3 27 31 2 2 1 10( 4) 1( )( )3 1( )( )33 3 3 3 27P X C C ；3 31 2 2 1 8P(X 5) C ( ) ( ) C ( ) ( ) .2 23 2 2 34 43 3 3 3 27所以X 的分布列为X 3 4 5P 9271027827……8 分所以9 10 8 107 E(X ) 3 4 5．27 27 27 2710727答：X 的期望为．……10 分124. 解：(1) 法一：∵a = ，且a1 n21 2，∴an 11 12 2，∴a= ，2 a 232同样可求得 3a = ，344a = ，猜想：a =4 n5n，……1 分n 1以下用数学归纳法证明:1 1 n 1°当n 1时，a= ，符合a = ，1 n2 1 1 n12°假设n k 时，=akkk1（k N），数学参考答案第 7 页（共 9 页）则n k 1时，ak1+ 2 ，即ak 1k 1+ 2，k 1 ak 1∴ 1 2 k = k 2a k k11k 1 ，∴a =k 1kk 12符合a =nn，n 1综上：a =nn．……4 分n 1法二：由an1 2得an 11 a1 1 1，∴n 1aan an 1 1n1a ，na1 ∴ 1n1 a 1an 1 n ，即 1 111 a 1an 1 n，∴是等差数列，首项为 2，公差为 1，1 1 1，∴ 11 a 1 a1 an 1 n n∴ 1 1n ，∴a=1 annn．……4 分n 1(2) 当n≥2 时，n n 1 2n 1 S S a a a，2n 1 n 1 n n 1 2n 1n 1 n 2 2n法一：先证明x(0,1) 时，x 1 ln x令f (x) x 1 ln x, x(0,1) ，则f (x) 1 1 x 1 0，x x∴ f (x) x 1 ln x, x(0,1) 为减函数，∴ f (x) f (1) 0，∴x(0,1) 时，x 1 ln x ．∴n≥2 时，n n 1 2n 1 n n 1 2n 11 ln 1 ln 1nnn n n n1 2 2 122 =1ln n ln n 11ln n1ln n 21 ln 2n 1 ln 2n=nln n ln2nnln2 ，又∵ e 4 2.54 >6.252 >36>25 ，∴ 4 5ln 2 ，∴ 2< 4ln，∴ 54 n ln 2>n ，5∴ n ≥2 时， nn 12n 14n ， n1 n2 2n 5∴当 n ≥2 时，4 S Sn ．……10 分2n 1n 15法二：∵n n 1 2n 11 1 11 11n 1 n 2 2n n 1n 22n1 1 1n，n 1 n 2 2n∴要证明 121 4 2nn nn nn 1 n 2 2n 5，即证 1 11 4n 1 n 2 2n5，设 s 11 1 n 1 n2 2n ，则 s 1 1 1 12n 2n 1 n 2 n 1，∴ 2s1 1 1 1 1 1 n 1 2n n2 2n 1 2n n 12nn1 2n 1 n 2n 1 2nn 12nn22n 1 2n n 1数学参考答案第 8 页（共 9 页）1 1 13n 1n 1 2n n 2 2n 1 2n n 1由n k +12n k 2n n +1 2n k k n k +1 2n n +1 k n k 1得：当1 k n 1时，n k +12n k 2n n +1，∴ 1 1 1 nn n n n n nn n1 2 2 2 1 2 1 1 2，n 3n 1 3n 33∴2s 3n 1∴1 2 2121 2n n n n，∴ 3 4s，4 5∴当n≥2 时， 4S S n．……10 分2n 1 n 15法三：由法二知即证 1 1 1 4 2n 1 n 2 2n 5n ，设s1 1 1n 1 n 22n1 1 1 1 1 11 12 n n 1 2n 2 n1 1 1 1 1 1 11 22 n n 1 2n 2 4 2n1 1 1 1 112 3 4 2n 1 2n当n=2 时，1 1 4s + 成立，3 4 5当n 3时，s 1 1 1 1 1 1 1 1 1 12 3 4 5 6 7 2n 2 2n12n1 1 1 1 47 4<1< ，2 3 4 5 60 5∴当n≥2 时， 4S S n．……10 分2n 1 n 15数学参考答案第 9 页（共 9 页）。