函数单调性经典题目含解析及答案

解析：（1）根据对称轴与区间端点的关系与二次函数的性质（2）二
次函数专题的最小值的三点三分法
17 10a, a 4
答案：（1） a 6或a 4 （2） a2 2a 1,4 a 6
37 10a, a 6
23、已知函数
f
(x)


x2
x
解析：利用函数单调性
答案：20。 20、函数 f (x) 2x2 mx 1在区间[1,4]上是单调函数，则实数 m 的取值
范围
解析：二次函数对称轴与区间关系
答案： m 4或m 16
21、若 f (x) x2 bx c ， f (1) 0, f (3) 0
（1）求 b,c 的值
x
解析：利用函数单调性求最值 答案：最大值为 1，最小值为 1
2
5、求 f (x) x2 3x 2 在区间 (5,5) 的最大值、最小值。
解析：利用函数图像法及单调性
答案：无最大值，最小值为 1
4
6、画出函数
f
(x)


2 , x (,0) x
，求函数的单调区间和最小值
g(x) x2 2x, x [1,) 的最小值问题。
答案： (,3)
15、当 0 x 2 时， a x2 2x 恒成立，则实数 a 的取值范围是
解析：转化为求最值问题
答案： (,0)
16、
y

1 x2
在[1
2
,2] 的最大值
解析：利用单调性的常用结论
答案：4
17、函数
2
f
(x)

1 x 1
在区间 [a, b]
上的最大值是
1，最小值是
1 3
，则，
ab
解析：根据函数的单调性
答案：6
18、函数 y (x 3) | x |的单调增区间
解析：将函数去掉绝对值变为分段函数，画函数图像确定
答案：[0, 3]
2
19、 y k (k 0) 在[2,4] 上的最小值为 5，求 k 的值。
（2）证明 y f (x) 在区间 (2,) 是增函数。
解析：（1）代入法，（2）定义法
答案 b 4, c 3
22、已知函数 f (x) x2 2(a 1)x 2, x [5,5]
（1）求实数 a 的取值范围，使 y f (x) 在区间[5,5]是单调函数
（2）求 f (x) 的最小值。

x
x
1
(x

2)
的最大值
解析：分离常数，利用函数单调性
答案：2
27、设函数 f (x) 是定义在 R 上的增函数，且 f (xy) f (x) f ( y), f (3) 1则
不等式 f (x) f (2) 1 的解集
解析： f (x) f (2) f (2x) ，利用函数单调性 答案： x 3
x2 2x 1, x [0,)
解析：利用函数图像法求单调区间及最小值
答案：函数的单调增区间为 (,0), (0,) ，最小值为 f (0) 1
7、函数 f (x) ax2 2(a 1)x 2 在区间 (,4] 为减函数，则 a 的取值范围
解析：利用一元两次函数的开口方向及对称轴或一元一次函数
答案： (3,)或[3,)
3、已知 f (x) x2 2x 3, g(x) f (5 x2 ) ，试求 g(x) 的单调区间
解析：复合函数的单调性，当复合函数内外层单调区间不同时，以外
层函数为界限。
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答案：单调减区间为 (,2), (0,2) ，单调增区间 (2,0), (2,) 4、函数 y 2 在区间[2,4] 上的最大值和最小值
2
10、函数 y ax2 bx 3在 (,1]上是增函数，[1,) 是减函数，则判 断 a,b 的正负号以及 a,b 的关系。 解析：二次函数的开口方向、单调性、对称轴 答案： a 0,b 2a 11、函数 f (x) x2 bx c 的图像关于 x 2 对称，试比较 f (1), f (2), f (4) 的 大小 解析：二次函数的开口方向，单调性、对称轴 答案： f (2) f (1) f (4) 12、已知 f (x) 是定义在区间[1,1] 上的增函数，且 f (x 2) f (1 x) ，求 x 的取值范围 解析：函数的定义域及函数的单调性 答案：[1, 3)
2
28、已知函数 f (x) x2 2x a , x [1,)
x
（1）当 a 1 ，求函数 f (x) 的最小值
2
（2）若对任意的 x [1,), f (x) 0 恒成立，试求 a 的取值范围
解析：（1）利用函数单调性（2）转换为最值问题 答案：（1） 7 （2） (3,)
解析：转换为求最值为
答案： (1 ,)
2
25、已知函数 f (x)
4 x2
，若 0
x1

x2

x3 ，则比较
f (x1) , x1
f (x2 ) , x2
f (x3 ) x3
解析：根据函数的单调性
答案： f (x1) f (x2 ) f (x3 )
x1
x2
x3
26、函数
f
(x)
1、求函数 f (x) 8 2x x2 的单调区间
解析：定义域优先原则，复合函数的单调性。
答案：单调增区间为 (4,1) ，单调减区间为 (1,2) 。
2、已知函数 y f (x) 在 R 上是减函数，则 y f (| x 3 |) 的单调减区间是
解析：利用图形法或复合函数的单调性
ax 5, a,x 1 x
x

1
是
R
上的增函数，则
a
的取值范围
解析：分段函数单调性，分别求各段的单调性，再比较分界点的大小
答案： 3 a 2 24、已知函数 f (x) ax2 2x 2 ，若对一切 x [1 ,2] ， f (x) 0 都成立，
2
则实数 a 的取值范围
答案：[0, 1]
5
8、已知 f (x) | x a |在 (,1) 上是单调函数，则 a 的取值范围 解析： f (x) | x |是偶函数，可以画图像利用图像平移的特点来判断 答案： (,1] 9、若 y (2k 1)x b 是 R 上的减函数，则 K 的取值范围。 解析：利用一元一次函数的图像 答案： (, 1)
2
13、函数 y f (x) 是定义在 R 上的增函数，且 f (2m) f (m 9) ，则实数 m 的取值范围 解析：函数的单调性。
答案： (3,)
14、对任意的 x [1,) ，不等式 x2 2x a 0 恒成立，求实数 a 的取值
范围
解 析 ： 将 不 等 式 转 化 为 a x2 2x, x [1,) 恒 成 立 ， 即 求