2.f (a )＝a
－1a ＋1＝(a ＋1)－1a ＋1
－1，令t ＝a ＋1∈（1，32），则函数g (t )＝t －1t －1在1，32上是增函数，所以g (t )∈g (1)，
g （32）＝－1，－16，故所求值域为（－1，－16
）.
答案：（－1，－1
6
）.
三．解答题
从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下图频率分布
直方图：
（I ）求这500件产品质量指标值的样本平均值x 和样本方差2
s （同一组的数据用该组区间的中点值作代表）； （II ）由直方图可以认为，这种产品的质量指标
Z
服从正态分布
()2,N μσ，其中μ近似为样本平
均数x ，2
σ近似为样本方差2
s . （i ）利用该正态分布，求()187.8212.2P
Z <<；
（ii ）某用户从该企业购买了100件这种产品，记
X
表示这100件产品中质量指标值位于区间
()187.8,212.2的产品件数.利用（i ）的结果，求EX .
12.2，若()2
~,Z N
μσ则()0.6826P Z μσμσ-<<+=，()220.9544P Z μσμσ-<<+=.
【解析】：（I ）抽取产品的质量指标值的样本平均值x 和样本方差2
s 分别为
1700.021800.091900.22x =?+?+?+2000.332100.242200.08?+?+?+ 2300.02? 200=，
2222222(30)0.02(20)0.09(10)0.2200.33100.24200.08300.02
s =-?+-?+-?+?+?+?+?
150
=． （II ）（i ）由（I ）知，Z 服从正态分布(200,150)N ，
从而()187.8212.2P Z <<(20012.2Z 200P =-<<12.2)0.6826+=． （ii ）由（i ）可知，一件产品的质量指标值位于区间()187.8,212.2的概率为0.6826，
依题意知(100,0.6826)X B ，所以1000.682668.26EX =?=．
答案：（I ）x 200=，2s 分别为150=． （
II ）（i ）)0.6826+=．（ii ）668.26EX =?=．
【高考链接】
1.未来制造业对零件的精度要求越来越高.3D 打印通常是采用数字技术材料打印机来实现的，常在模具制造、工业设计等领域被用于制造模型，后逐渐用于一些产品的直接制造，已经有使用这种技术打印而成的零部件．该技术应用十分广泛，可以预计在未来会有广阔的发展空间．某制造企业向A 高校3D 打印实验团队租用一台3D 打印设备，用于打印一批对内径有较高精度要求的零件．该团队在实验室打印出了一批这样的零件，从中随机抽取10件零件，度量其内径的茎叶图如图所示（单位：μm ）．
（I ）计算平均值μ与标准差σ
（Ⅱ）假设这台3D 打印设备打印出品的零件内径Z 服从正态分布N （μ，σ）；该团队到工厂安装调试后，试打了5个零件．度量其内径分别为（单位：μm ）：86、95、103、109、118，试问此打印设备是否需要进一步调试，为什么？
参考数据：P （μ﹣2σ＜Z ＜μ+2σ）=0.9544，P （μ﹣3σ＜Z ＜μ+3σ）=0.9974，0.95443
=0.87，0.99744
=0.99，0.04562
=0.002． 【解析】：（I ）平均值μ==105μm
方差=
=36，标准差σ=6
（Ⅱ）需要进一步调试，Z 服从正态分布N （105，36），
P （μ﹣3σ＜Z ＜μ+3σ）=0.9974，∴内径在（87，123）之外的概率为0.0026， 而86?（87，123），根据3σ原则，需要进一步调试． 答案：（I ）μ=105，σ=6. （Ⅱ）需要进一步调试．
2.在某校举行的数学竞赛中，全体参赛学生的竞赛成绩近似服从正态分布(70,100)N 。已知成绩在90分以上（含90分）的学生有12名。 （1）、试问此次参赛学生总数约为多少人？
（2）、若该校计划奖励竞赛成绩排在前50名的学生，试问设奖的分数线约为多少分？ 可供查阅的（部分）标准正态分布表00()
()x P x x Φ=<
【解析】： (1)设参赛学生的分数为，因为～N(70，100)，由条件知，
P(ξ≥90)＝1－P （ξ<90）＝1－F(90)＝1－Φ)10
7090(-＝1－Φ(2)＝1－0.9772＝0.228.
这说明成绩在90分以上（含90分）的学生人数约占全体参赛人数的2.28％，因此， 参赛总人数约为
0228
.012≈526（人）。
(2)假定设奖的分数线为x 分，则P(ξ≥x)＝1－P(ξ＜x) )10
70(1-Φ-=x ＝526
50＝0.0951，即Φ)
10
70(-x ＝0.9049，查表得10
70-x ≈1.31，解得x ＝83.1.故设奖得分数线约为83.1分。
答案：(1) 526人. (2) 83.1.
高三数学 正态分布和线性回归(知识点和例题)
正态分布和线性回归高考要求 1.了解正态分布的意义及主要性质 2.了解线性回归的方法和简单应用 知识点归纳 1．正态分布密度函数： 2 2 () 2 () 2 x f x e μ σ πσ - - =，（σ＞0，-∞＜x＜∞） 其中π是圆周率；e是自然对数的底；x是随机变量的取值；μ为正态分布的均值；σ是正态分布的标准差.正态分布一般记为) , (2 σ μ N 2．正态分布) , (2 σ μ N）是由均值μ和标准差σ唯一决定的分布 例1、下面给出三个正态总体的函数表示式，请找出其均值μ和标准差σ．（1）2 2 2 1 ) ( x e x f- = π ，（-∞＜x＜+∞) （2） 2 (1) 8 () 22 x f x e π - - =，（-∞＜x＜+∞) 解：(1)0,1 (2)1,2 3．正态曲线的性质：正态分布由参数μ、σ唯一确定，如果随机变量ξ～N(μ，σ2)，根据定义有：μ=Eξ，σ=Dξ。 正态曲线具有以下性质： （1）曲线在x轴的上方，与x轴不相交。 （2）曲线关于直线x =μ对称。 （3）曲线在x =μ时位于最高点。 （4）当x <μ时，曲线上升；当x >μ时，曲线下降。并且当曲线向左、
右两边无限延伸时，以x 轴为渐近线，向它无限靠近。 （5）当μ一定时，曲线的形状由σ确定。σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体越分散；σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中。 五条性质中前三条较易掌握，后两条较难理解，因此应运用数形结合的原则，采用对比教学 4．标准正态曲线:当μ=0、σ=l 时，正态总体称为标准正态总体，其 相应的函数表示式是2 221)(x e x f - = π ，（-∞＜x ＜+∞） 其相应的曲线称为标准正态曲线 标准正态总体N （0，1）在正态总体的研究中占有重要的地位任何正态分布的概率问题均可转化成标准正态分布的概率问题 5.标准正态总体的概率问题: 对于标准正态总体N （0，1），)(0x Φ是总体取值小于0x 的概率， 即 )()(00x x P x <=Φ， 其中00>x ，图中阴影部分的面积表示为概率0()P x x <只要有标准正态 分布表即可查表解决.从图中不难发现:当00高中数学正态分布知识点+练习
正态分布 要求层次 重难点 正态分布 A 利用实际问题的直方图，了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义． （一） 知识内容 1．概率密度曲线：样本数据的频率分布直方图，在样本容量越来越大时，直方图上面的折线所接近 的曲线．在随机变量中，如果把样本中的任一数据看作随机变量X ，则这条曲线称为X 的概率密度曲线． 曲线位于横轴的上方，它与横轴一起所围成的面积是1，而随机变量X 落在指定的两个数a b ，之间的概率就是对应的曲边梯形的面积． 2．正态分布 ⑴定义：如果随机现象是由一些互相独立的偶然因素所引起的，而且每一个偶然因素在总体的变化中都只是起着均匀、微小的作用，则表示这样的随机现象的随机变量的概率分布近似服从正态分布． 服从正态分布的随机变量叫做正态随机变量，简称正态变量． 正态变量概率密度曲线的函数表达式为22 ()2()2πx f x e μσσ --=?，x ∈R ， 其中μ，σ是参数，且0σ>，μ-∞<<+∞． 式中的参数μ和σ分别为正态变量的数学期望和标准差．期望为μ、标准差为σ的正态分布通常记作 2(,)N μσ． 正态变量的概率密度函数的图象叫做正态曲线． ⑵标准正态分布：我们把数学期望为0，标准差为1的正态分布叫做标准正态分布． 例题精讲 高考要求 正态分布 x=μ O y x
⑶重要结论： ①正态变量在区间(,)μσμσ-+，(2,2)μσμσ-+，(3,3)μσμσ-+内，取值的概率分别是68.3%，95.4%，99.7%． ②正态变量在()-∞+∞，内的取值的概率为1，在区间(33)μσμσ-+，之外的取值的概率是0.3%，故正态变量的取值几乎都在距x μ=三倍标准差之内，这就是正态分布的3σ原则． （二）典例分析： 【例1】 已知随机变量X 服从正态分布2(3)N a ， ，则(3)P X <=（ ） A ．1 5 B ． 1 4 C ．1 3 D ． 12 【例2】 在某项测量中，测量结果X 服从正态分布() ()210N σσ>，，若X 在()01， 内取值的概率为0.4，则X 在()02， 内取值的概率为 ． 【例3】 对于标准正态分布()01N ， 的概率密度函数()2 2 x f x -=，下列说法不正确的是（ ） A ．()f x 为偶函数 B ．()f x C ．()f x 在0x >时是单调减函数，在0x ≤时是单调增函数 D ．()f x 关于1x =对称 【例4】 已知随机变量X 服从正态分布2(2)N σ， ，(4)0.84P X =≤，则(0)P X =≤（ ） A ．0.16 B ．0.32 C ．0.68 D ．0.84 【例5】 某种零件的尺寸服从正态分布(04)N ，，则不属于区间(44)-，这个尺寸范围的零件约占总数 的 ． 【例6】 已知2(1)X N σ-， ~，若(31)0.4P X -=≤≤-，则(31)P X -=≤≤（ ） A ．0.4 B ．0.8 C ．0.6 D ．无法计算 【例7】 设随机变量ξ服从正态分布(29)N ，，若(2)(2)P c P c ξξ>+=<-，则_______c =．
高考数学百大经典例题 正态分布
借助于标准正态分布表求值 例 设ξ服从)1,0(N ，求下列各式的值： （1）);35.2(≥ξP （2）);24.1(-<ξP （3）).54.1(<ξP 分析：因为ξ用从标准正态分布，所以可以借助于标准正态分布表，查出其值．但由于表中只列出)()(,0000x x P x Φ=<≥ξ的情形，故需要转化成小于非负值0x 的概率，公式：);()()();(1)(a b b a P x x Φ-Φ=<<Φ-=-Φξ和)(1)(00x P x P <-=≥ξξ有其用武之地． 解：（1）;0094.09906.01)35.2(1)35.2(1)35.2(=-=Φ-=<-=≥ξξP P （2）;1075.08925.01)24.1(1)24.1()24.1(=-=Φ-=-Φ=-<ξP （3）)54.1()54.1()54.154.1()54.1(-Φ-Φ=<-=<ξξP P .8764.01)54.1(2)]54.1(1[)54.1(=-Φ=Φ--Φ= 说明：要制表提供查阅是为了方便得出结果，但标准正态分布表如此简练的目的，并没有给查阅造成不便．相反其简捷的效果更突出了核心内容．左边的几个公式都应在理解的基础上记住它，并学会灵活应用． 求服从一般正态分布的概率 例 设η服从)2,5.1(2N 试求： （1）);5.3(<ηP （2）);4(-<ηP （3）);2(≥ηP （4）).3(<ηP 分析：首先，应将一般正态分布)2,5.1(N 转化成标准正态分布，利用结论：若),(~2σμηN ，则由)1,0(~N σμηξ-=知：,)(?? ? ??-Φ=<σμηx x P 其后再转化为非负标准正态分布情况的表达式，通过查表获得结果． 解：（1）;8413.0)1(25.15.3)5.3(=Φ=??? ??-Φ=<ηP
高考数学复习题库 正态分布
高考数学复习题库正态分布 正态分布 一.选择题 1.已知随机变量X服从正态分布N(3,1)，且P(2≤X≤4)＝ 0.6826，则P(X>4)＝( ) A.0.1588 B.0.1587 C.0.1586 D.0.1585 解析通过正态分布对称性及已知条件得 P(X＞4)＝＝＝0.1587，故选B. 答案 B 2. 设随机变量服从正态分布，则函数不存在零点的概率为( ) A. B. C. D. 解析函数不存在零点,则因为，所以答案 C 3.以Φ(x)表示标准正态总体在区间(－∞，x)内取值的概率，若随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，则概率P(|ξ－μ|＜σ)等于( ). A.Φ(μ＋σ)－Φ(μ－σ) B.Φ (1)－Φ(－1) C.Φ D.2Φ(μ＋σ) 解析由题意得，P(|ξ－μ|＜σ)＝P＝Φ (1)－Φ(－1). 答案 B 4.已知随机变量X～N(3,22)，若X＝2η＋3，则D(η)等于( ). A.0 B.1 C.2 D.4 解析由X＝2η＋3，得D(X)＝4D(η)，而D(X)＝σ2＝4，∴D(η)＝
1.答案 B 5.标准正态总体在区间(－3,3)内取值的概率为( ). A.0.9987 B.0.9974 C.0.944 D.0.8413 解析标准正态分布 N(0,1)，σ＝1，区间(－3,3)，即(－3σ，3σ)，概率 P＝0.997 4. 答案 B 6.已知三个正态分布密度函数φi(x)＝e－(x∈R，i＝1,2,3)的图象如图所示，则( ). A.μ1＜μ2＝μ3，σ1＝σ2＞σ3 B.μ1＞μ2＝μ3，σ1＝σ2＜σ3 C.μ1＝μ2＜μ3，σ1＜σ2＝σ3 D.μ1＜μ2＝μ3，σ1＝σ2＜σ3 解析正态分布密度函数φ2(x)和φ3(x)的图象都是关于同一条直线对称，所以其平均数相同，故μ2＝μ3，又φ2(x)的对称轴的横坐标值比φ1(x)的对称轴的横坐标值大，故有μ1＜μ2＝μ 3.又σ越大，曲线越“矮胖”，σ越小，曲线越“瘦高”，由图象可知，正态分布密度函数φ1(x)和φ2(x)的图象一样“瘦高”，φ3(x)明显“矮胖”，从而可知σ1＝σ2＜σ 3. 答案 D 7.在正态分布N中，数值前在(－∞，－1)∪(1，＋∞)内的概率为( ). A.0.097 B.0.046 C.0.03 D.0.0026 解析∵μ＝0，σ＝∴P(X＜1或x＞1)＝1－P(－1≤x≤1)＝1－P(μ－ 3σ≤X≤μ＋3σ)＝1－0.9974＝0.002 6. 答案 D 二.填空题
高考数学总复习经典测试题解析版12.7 正态分布
12.7 正态分布 一、选择题 1．已知随机变量X 服从正态分布N (3,1)，且P (2≤X ≤4)＝0.6826，则P (X >4)＝( ) A ．0.1588 B ．0.1587 C ．0.1586 D ．0.1585 解析 通过正态分布对称性及已知条件得 P(X ＞4)＝1－2＝1－0.6826 2 ＝0.1587，故选B . 答案 B 2. 设随机变量ξ服从正态分布 ),1(2σN ，则函数2()2f x x x ξ=++不存在零点的概率为( ) A.41 B. 31 C.21 D.32 解析 函数2()2f x x x ξ=++不存在零点,则440,1,ξξ?=-<> 因为2~(1,)N ξσ，所以1,μ=()11.2 P ξ>= 答案 C 3．以Φ(x )表示标准正态总体在区间(－∞，x )内取值的概率，若随机变量ξ 服从正态分布N (μ，σ2)，则概率P (|ξ－μ|＜σ)等于( )． A ．Φ(μ＋σ)－Φ(μ－σ) B ．Φ(1)－Φ(－1) C ．Φ? ?? ?? 1－μσ D ．2Φ(μ＋σ) 解析 由题意得，P (|ξ－μ|＜σ)＝P ? ???? |ξ－μσ|＜1＝Φ(1)－Φ(－1)． 答案 B 4．已知随机变量X ～N (3,22)，若X ＝2η＋3，则D (η)等于( )． A ．0 B ．1 C ．2 D ．4 解析 由X ＝2η＋3，得D (X )＝4D (η)，而D (X )＝σ2＝4，∴D (η)＝1. 答案 B 5．标准正态总体在区间(－3,3)内取值的概率为( )． A ．0.998 7 B ．0.997 4 C ．0.944 D ．0.841 3 解析 标准正态分布N (0,1)，σ＝1，区间(－3,3)，即(－3σ，3σ)，概率 P ＝0.997 4.
高中数学正态分布测试题及答案
高中数学正态分布测试题及答案高二数学随机变量的数字特征；正态分布人教实验版（B） 【本讲教育信息】 一. 教学内容： 2.3 随机变量的数字特征 2.4 正态分布 二. 教学目的 1、能够求出随机变量的分布列，并利用分布列求出随机变量的均值和方差，能解决简单实际问题。 2、掌握正态分布的性质，能够计算有关概率值；了解假设检验的思想。 三. 教学重点、难点 利用分布列求出随机变量的均值和方差；正态分布的性质。 四. 知识分析 1、离散型随机变量的均值 一般地，若离散型随机变量X 的分布列为 X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 则称为随机变量X 的均值或数学期望．它反映了离散型随机变量取值的平均水平。 ①若X为随机变量，Y = aX + b（其中 a , b 为常数），则Y
也是随机变量，且有E（aX + b）= aE（X）+ b ②若X ～B （n , p ），则E（X）= np ③期望是算术平均值概念的推广，是概率意义下的平均。 ④E（X）是一个实数，由X的分布列惟一确定．即作为随机变量X是可变的，可取不同值，而E（X）是不变的，它描述X取值的平均状态． ⑤＋… 直接给出了E（X）的求法，即随机变量取值与相应概率值分别相乘后相加． 2、离散型随机变量的方差 设离散型随机变量X 的分布列为 X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 则[xi－E（X）]2描述了xi （i = 1,2,…,n）相对于均值E（X）的偏离程度．而 为这些偏离程度的加权平均，刻画了随机变量X 与其均值E（X）的偏离程度，我们称D（X）为随机变量X的方差，其算术平均根为随机变量X 的标准差。记作． 随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离于均 值的平均程度，方差或标准差越小，则随机变量偏离均值的平均程度越小。 设X 为离散型随机变量，则 （1）D（aX + b）＝a2D（X）
2019-2020年高三数学 1.5正态分布(第一课时)大纲人教版选修
2019-2020年高三数学 1.5正态分布(第一课时)大纲人教版选修 课时安排 2课时 从容说课 正态分布是很抽象的概念,如何使学生从抽象转化到具体、直观中的问题里来,是我们教学的一个重点和难点.要借助具体实例及多媒体课件演示,有条件的让学生也上机进行实习,通过实验了解一些概念的形成过程.具体的方法是：利用直方图来引进正态曲线与正态分布.具体的步骤如下：①先作出二项分布B(n,0.5)的直方图(n=10).对n进行变化;②如果用一条平滑的曲线把每个长方形的中点联结起来,就能得到一条钟形曲线(演示图形的形成过程),称为正态曲线;③给出其函数解析式为x∈R,其中μ=np,σ=npq,e≈2.71828.对于正态曲线,如果规定,试验的观察值x落在区间(a,b)内的概率P(a＜x＜b)就是由这条曲线、x轴、直线x=a及x=b 所围成的图形的面积,那么称这种概率分布为正态分布.一个平均数为μ,标准差为b的正态分布可以用公式将它变换成平均数为0,标准差为1的正态分布.平均数为0,标准差为1的正态分布称为标准正态分布(利用投影或多媒体,将其图象描绘出来),公式为,其中.一般的正态分布问题,能转化成标准正态分布问题来处理,即将正态分布中观察值x的概率P(a＜x＜b)表示成标准正态分布中的P(z1≤z≤z2),其中,.在教学中应多用多媒体进行教学,增强动态感觉. 第九课时 课题 正态分布(一) 教学目标 一、教学知识点 1.深刻理解并掌握正态分布和正态曲线的概念、意义及性质. 2.理解和掌握标准正态总体、标准正态曲线的概念、意义及性质. 二、能力训练要求 1.能用正态分布、正态曲线研究有关随机变量分布的规律. 2.会画有关正态分布的正态曲线和标准正态曲线. 3.会用函数的概念、性质解决有关正态分布的问题. 三、德育渗透目标 1.培养学生数形结合、函数与方程、分类讨论、等价转化等数学思想方法. 2.培养学生辩证唯物主义的观点(运动观、静止观). 3.培养学生的动手操作能力和概括归纳能力,让学生真正地学会学习,也就是让学生主动建构式地学习,真正掌握学习方法. 教学重点 正态分布的意义、正态分布的主要性质是本节课的教学重点.通过具体实例,结合研究函数的方法来研究正态分布的意义和性质.正态分布之所以成为概率统计中最重要的一种分布的原因有两方面：一方面,正态分布是自然界最常见的一种分布,若影响某一数量指标的随机因素很多,而每个因素所起的作用都不太大,则这个指标服从正态分布；另一方面,正态分布具有许多良好的性质,许多分布可以用正态分布来近似描述,另外一些分布又可以通过正态分布来推导. 教学难点 正态分布的意义及性质、标准正态总体、标准正态曲线的概念教学是难点,正态分布的性质的抽象与概括是难点,要利用函数的观点、函数与方程的思想方法研究正态曲线的五条性质.
高中数学 典型例题 正态分布 新课标
借助于标准正态分布表求值 例 设ξ服从)1,0(N ，求下列各式的值： （1）);35.2(≥ξP （2）);24.1(-<ξP （3）).54.1(<ξP 分析：因为ξ用从标准正态分布，所以可以借助于标准正态分布表，查出其值．但由于表中只列出)()(,0000x x P x Φ=<≥ξ的情形，故需要转化成小于非负值0x 的概率，公式：);()()();(1)(a b b a P x x Φ-Φ=<<Φ-=-Φξ和)(1)(00x P x P <-=≥ξξ有其用武之地． 解：（1）;0094 .09906.01)35.2(1)35.2(1)35.2(=-=Φ-=<-=≥ξξP P （2）;1075 .08925.01)24.1(1)24.1()24.1(=-=Φ-=-Φ=-<ξP （3）)54.1()54.1()54.154.1()54.1(-Φ-Φ=<-=<ξξP P .8764.01)54.1(2)]54.1(1[)54.1(=-Φ=Φ--Φ= 说明：要制表提供查阅是为了方便得出结果，但标准正态分布表如此简练的目的，并没有给查阅造成不便．相反其简捷的效果更突出了核心内容．左边的几个公式都应在理解的基础上记住它，并学会灵活应用． 求服从一般正态分布的概率 例 设η服从)2,5.1(2N 试求： （1）);5.3(<ηP （2）);4(-<ηP （3）);2(≥ηP （4）).3(<ηP 分析：首先，应将一般正态分布)2,5.1(N 转化成标准正态分布，利用结论：若),(~2σμηN ，则由)1,0(~N σμηξ-=知：,)(?? ? ??-Φ=<σμηx x P 其后再转化为非负标准正态分布情况的表达式，通过查表获得结果． 解：（1）;8413.0)1(25.15.3)5.3(=Φ=??? ??-Φ=<ηP （2）;0030.0)75.2(1)75.2(25.14)4(=Φ-=-Φ=??? ? ?--Φ=-<ηP
(原创)最新高中数学正态分布练习及解析
最新高中数学正态分布练习及解析 【2020年高考考查】 利用实际问题的直方图，了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义． 【复习指导】 掌握好正态密度曲线的特点，尤其是其中的参数μ、σ的含义，会由其对称性求解随机变量在特定区间上的概率． 基础梳理 1．正态曲线及性质 (1)正态曲线的定义 函数φμ，σ(x )＝12πσ e －(x －μ)2 2σ2， x ∈(－∞，＋∞)，其中实数μ和σ(σ>0)为参数，我们称φμ，σ(x )的图象(如图)为正态分布密度曲线，简称正态曲线． (2)正态曲线的解析式 ①指数的自变量是x 定义域是R ，即x ∈(－∞，＋∞)． ②解析式中含有两个常数：π和e ，这是两个无理数． ③解析式中含有两个参数：μ和σ，其中μ可取任意实数，σ＞0这是正态分布的两个特征数． ④解析式前面有一个系数为 12πσ，后面是一个以e 为底数的指数函数的形式，幂指数为－(x －μ)2 2σ2.
六条性质 正态曲线的性质 正态曲线φμ，σ(x)＝12πσ e －(x －μ)2 2σ2，x ∈R 有以下性质： (1)曲线位于x 轴上方，与x 轴不相交； (2)曲线是单峰的，它关于直线x ＝μ对称； (3)曲线在x ＝μ处达到峰值1σ2π； (4)曲线与x 轴围成的图形的面积为1； (5)当σ一定时，曲线随着μ的变化而沿x 轴平移； (6)当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散． 三个邻域 会用正态总体在三个特殊区间内取值的概率值结合正态曲线求随机变量的概率．落在三个邻域之外是小概率事件，这也是对产品进行质量检测的理论依据． 双基自测 1．设有一正态总体，它的概率密度曲线是函数f (x )的图象，且f (x )＝18πe －(x －10)2 8，则这个正态总体的平均数与标准差分别是( )． 2．正态分布 (1)正态分布的定义及表示 如果对于任何实数a ，b (a 2020届高考数学一轮复习条件概率、二项分布及正态分布练习含解析
专题10.6 条件概率、二项分布及正态分布 【考试要求】 1.了解条件概率，能计算简单随机事件的条件概率，了解条件概率与独立性的关系； 2.会利用乘法公式计算概率，会利用全概率公式计算概率； 3.了解伯努利试验，掌握二项分布及其数字特征，并能解决简单的实际问题； 4.了解服从正态分布的随机变量，通过具体实例，借助频率直方图的几何直观，了解正态分布的特征. 【知识梳理】 1.条件概率 2.事件的相互独立性 (1)定义：设A ，B 为两个事件，如果P (AB )＝P (A )P (B )，则称事件A 与事件B 相互独立. (2)性质：若事件A 与B 相互独立，则A 与B －，A －与B ，A －与B － 也都相互独立，P (B |A )＝P (B )，P (A |B )＝P (A ). 3.全概率公式 (1)完备事件组： 设Ω是试验E 的样本空间，事件A 1，A 2，…，A n 是样本空间的一个划分，满足： ①A 1∪A 2∪…∪A n ＝Ω. ②A 1，A 2，…，A n 两两互不相容，则称事件A 1，A 2，…，A n 组成样本空间Ω的一个完备事件组. (2)全概率公式 设S 为随机试验的样本空间，A 1，A 2，…，A n 是两两互斥的事件，且有P (A i )>0，i ＝1，2，…，n ，∪n i ＝1 A i ＝S ，则对任一事件 B ，有P (B )＝∑n i ＝1 P (A i )P (B |A i )称满足上述条件的A 1，A 2，…，A n 为完备事件组. 4.独立重复试验与二项分布 (1)独立重复试验 在相同条件下重复做的n 次试验称为n 次独立重复试验，其中A i (i ＝1，2，…，n )是第i 次试验结果，则 P (A 1A 2A 3…A n )＝P (A 1)P (A 2)P (A 3)…P (A n ).
高三数学知识点：正态分布
德智答疑 https://www.360docs.net/doc/6e6179770.html,/shuxue
高三数学知识点：正态分布
正态分布 [高三数学] 题型:解答题 已知某次数学考试的成绩服从正态分布 N（116,64），则成绩在140分以上的考生所占的百分比？
问题症结：找不到突破口，请老师帮我理一下思路
考查知识点：
正态分布的性质 正态分布曲线
难度:中 解析过程：
规律方法： 熟悉正态分布密度函数，主要还是把课本上讲的正态分布函数的性质掌握住，才能灵活运用。 正态分布应用题 [高三数学] 题型:解答题 已知某次数学考试的成绩服从正态分布 N（116,64），则成绩在140分以上的考生所占的百分比？
问题症结：找不到突破口，请老师帮我理一下思路
考查知识点：
正态分布的性质
难度:中 解析过程：
德智知识点 https://www.360docs.net/doc/6e6179770.html,/knowledge
德智答疑 https://www.360docs.net/doc/6e6179770.html,/shuxue
规律方法： 熟悉正态分布密度函数，主要还是把课本上讲的正态分布函数的性质掌握住，才能灵活运用。
知识点：正态分布
所属知识点： [随机变量及其分布列] 包含次级知识点：
正态分布曲线、 正态分布的定义、 正态分布的性质、 标准正态分布 知识点总结
德智知识点 https://www.360docs.net/doc/6e6179770.html,/knowledge
德智答疑 https://www.360docs.net/doc/6e6179770.html,/shuxue
常见考法
在段考中，多以选择题和填空题的形式考查正态分布的性质和标准正态分布，属于容易题。在高考中，考 的很少。
误区提醒
把正态分布曲线的性质要记准。 【典型例题】
德智知识点 https://www.360docs.net/doc/6e6179770.html,/knowledge
高中数学必修正态分布
2．4 正态分布 1．问题导航 (1)什么是正态曲线和正态分布？ (2)正态曲线有什么特点？曲线所表示的意义是什么？ (3)怎样求随机变量在某一区间范围内的概率？ 2．例题导读 请试做教材P 74练习1题． 1．正态曲线 函数φμ，σ(x )＝12πσ e －（x －μ）22σ2，x ∈(－∞，＋∞)，其中实数μ和σ(σ＞0)为参数，φμ，σ(x )的图象为__________________正态分布密度曲线，简称正态曲线． 2．正态分布 一般地，如果对于任何实数a ，b (a ＜b )，随机变量X 满足P (a ＜X ≤b )＝??a b φμ，σ(x)d x ，则称随机变量X 服从正态分布．正态分布完全由参数________μ和________σ确定，因此正态分布常记作____________N(μ，σ2)，如果随机变量X 服从正态分布，则记为________X ～N (μ，σ2)． 3．正态曲线的性质 正态曲线φμ，σ(x)＝1 2πσe －（x －μ）2 2σ2，x ∈R 有以下性质： (1)曲线位于x 轴________上方，与x 轴________不相交； (2)曲线是单峰的，它关于直线________x ＝μ对称；
(3)曲线在________x＝μ处达到峰值________1 σ2π ； (4)曲线与x轴之间的面积为________1； (5)当________σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移，如图①； (6)当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ________越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ________越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散，如图②. 4．正态总体在三个特殊区间内取值的概率值 P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝________0.682_________6； P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)＝________0.954_________4； P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)＝________0.997_________4． 1．判断(对的打“√”，错的打“×”) (1)函数φμ，σ(x)中参数μ，σ的意义分别是样本的均值与方差．() (2)正态曲线是单峰的，其与x轴围成的面积是随参数μ，σ的变化而变化的．() (3)正态曲线可以关于y轴对称．() 答案：(1)×(2)×(3)√ 2．设随机变量X～N(μ，σ2)，且P(X≤C)＝P(X＞C)，则C＝() A．0 B．σ C．－μD．μ 答案：D
(新课改省份专用)2020版高考数学一轮复习 二项分布与正态分布(含解析)
课时跟踪检测（六十三） 二项分布与正态分布 1．用电脑每次可以自动生成一个(0,1)内的实数，且每次生成每个实数都是等可能的，若用该电脑连续生成3个实数，则这3个实数都大于1 3 的概率为( ) A.1 27 B.23 C. 827 D.49 解析：选C 由题意可得，用该电脑生成1个实数，且这个实数大于13的概率为P ＝1－ 1 3＝23，则用该电脑连续生成3个实数，这3个实数都大于13的概率为? ????233＝8 27 .故选C. 2．(2019·汕头模拟)甲、乙两人参加“社会主义价值观”知识竞赛，甲、乙两人能荣获一等奖的概率分别为23和3 4，甲、乙两人是否获得一等奖相互独立，则这两个人中恰有一人 获得一等奖的概率为( ) A.34 B.23 C.57 D.512 解析：选D 根据题意，恰有一人获得一等奖就是甲获得乙没有获得或甲没有获得乙获得，则所求概率是23×? ????1－34＋34×? ????1－23＝5 12，故选D. 3．(2018·厦门二模)袋中装有2个红球，3个黄球，有放回地抽取3次，每次抽取1球，则3次中恰有2次抽到黄球的概率是( ) A.2 5 B.35 C.18125 D.54125 解析：选D 袋中装有2个红球，3个黄球，有放回地抽取3次，每次抽取1球，每次取到黄球的概率为35，∴3次中恰有2次抽到黄球的概率是P ＝C 23? ????352? ????1－35＝54125 . 4．(2018·唐山二模)甲、乙等4人参加4×100米接力赛，在甲不跑第一棒的条件下，乙不跑第二棒的概率是( ) A.2 9 B.49 C.23 D.79 解析：选D 甲不跑第一棒共有A 1 3·A 3 3＝18种情况，甲不跑第一棒且乙不跑第二棒共有
考点38 正态分布和条件概率——2021年高考数学专题复习真题练习
考点38 正态分布与条件概率 【题组一 条件概率】 1．一个袋中装有大小相同的5个白球和3个红球，现在不放回的取2次球，每次取出一个球，记“第1次拿出的是白球”为事件A ，“第2次拿出的是白球”为事件B ，则事件A 发生的条件下事件B 发生的概率是（ ） A ． B ． C ． D ． 4751658514 2．一个袋中装有大小相同的3个白球和3个黑球，若不放回地依次取两个球，设事件为“第一次取出A 白球”，事件为“第二次取出黑球”，则概率（ ） B ()P B A =A ． B ． C ． D ． 56351225 3．从中不放回地依次取个数，事件“第一次取到的是奇数”，事件“第二次1,2,3,4,5,6,7,8,92A =B =取到的是奇数”，则（ ） () P B A =A ． B ． C ． D ． 122531015 4．下图展现给我们的是唐代著名诗人杜牧写的《清明》，这首诗不仅意境极好，而且还准确地描述出了清明时节的天气状况，那就是“雨纷纷”，即天气多阴雨．某地区气象监测资料表明，清明节当天下雨的概率是0.9，连续两天下雨的概率是0.63，若该地某年清明节当天下雨，则随后一天也下雨的概率是（ ）
A ．0.63 B ．0.7 C ．0.9 D ．0.567 5．袋中装有完全相同的5个小球，其中有红色小球3个，黄色小球2个，如果不放回地依次摸出2个小球，则在第一次摸出红球的条件下，第二次摸出红球的概率是（ ） A ． B ． C ． D ． 310351214 【题组二 正态分布】 1．已知随机变量服从正态分布，且，则的值为( ) X ()5,4N ()()4P X k P X k >=<-k A ．6 B ．7 C ．8 D ．9 2．随机变量服从正态分布，若，则的值（ ） ξ()21,N σ()20.8P ξ<=()01P ξ<高三数学正态分布
正态分布 教学目的： 1 掌握正态分布在实际生活中的意义和作用 2．结合正态曲线，加深对正态密度函数的理理 3．通过正态分布的图形特征，归纳正态曲线的性质 德育目标： 教育学生尊敬师长 教学重点： 正态分布曲线的性质、标准正态曲线N(0，1) 教学难点： 内容分析： 1．在实际遇到的许多随机现象都服从或近似服从正态分布 们研究了当样本容量无限增大时，频率分布直方图就无限接近于一条总体密度曲线，总体密度曲线较科学地反映了总体分布 象，学生不易理解，因此在总体分布研究中我们选择正态分布作为研究的突破口 正态分布在统计学中是最基本、最重要的一种分布 2．正态分布是可以用函数形式来表述的 其密度函数可写成： 22 2)(21 )(σμπσ--=x e x f ， （σ＞0，-∞＜x ＜+∞） 由此可见，正态分布是白它的平均数μ和标准差σ唯一决定的 ),(2σμN 3．从形态上看，正态分布是一条单峰、对称呈钟形的曲线，其对称轴为x=μ，并在x=μ时取最大值 从x=μ点开始，曲线向正负两个方向递减延伸，不断逼近x 轴，但永不与x 轴相交，因此说曲线在正负两个方向都是以x 轴为渐近线的 4．通过三组正态分布的曲线，可知正态曲线具有两头低、中间高、左右对称的基本特征 5．由于正态分布是由其平均数μ和标准差σ唯一决定的，因此从某种意义上说，正态分布就有好多好多，这给我们深入研究带来一定的困难 但我们也发现，许 多正态分布中，重点研究N （0，1），其他的正态分布都可以通过)()(σ μ-Φ=x x F 转化为N （0，1），我们把N （0，1）称为标准正态分布，其密度函数为2 2121 )(x e x F -=π，x ∈（-∞，+∞），从而使正态分布的研究得以 简化 6．结合正态曲线的图形特征，归纳正态曲线的性质 教科书没做要求，授课时可以借助几何画板作图，学生只要了解大致的情形就行了，关键是能通过正态曲线，引导学生归纳其性质 教学过程： 一、复习引入：
高中数学必修正态分布
2．4正态分布 1．问题导航 (1)什么是正态曲线和正态分布？ (2)正态曲线有什么特点？曲线所表示的意义是什么？ (3)怎样求随机变量在某一区间范围内的概率？ 2．例题导读 请试做教材P74练习1题． 1．正态曲线 函数φμ，σ(x)＝e－，x∈(－∞，＋∞)，其中实数μ和σ(σ＞0)为参数，φμ，σ(x)的图象为__________________正态分布密度曲线，简称正态曲线． 2．正态分布 一般地，如果对于任何实数a，b(a＜b)，随机变量X满足P(a＜X≤b)＝φμ，σ(x)d x，则称随机变量X服从正态分布．正态分布完全由参数________μ和________σ确定，因此正态分布常记作 ____________N(μ，σ2)，如果随机变量X服从正态分布，则记为________X～N(μ，σ2)． 3．正态曲线的性质 正态曲线φμ，σ(x)＝e－，x∈R有以下性质： (1)曲线位于x轴________上方，与x轴________不相交； (2)曲线是单峰的，它关于直线________x＝μ对称；
(3)曲线在________x＝μ处达到峰值________； (4)曲线与x轴之间的面积为________1； (5)当________σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移，如图①； (6)当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ________越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ________越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散，如图②. 4．正态总体在三个特殊区间内取值的概率值 P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝________0.682_________6； P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)＝________0.954_________4； P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)＝________0.997_________4． 1．判断(对的打“√”，错的打“×”) (1)函数φμ，σ(x)中参数μ，σ的意义分别是样本的均值与方差．() (2)正态曲线是单峰的，其与x轴围成的面积是随参数μ，σ的变化而变化的．() (3)正态曲线可以关于y轴对称．() 答案：(1)×(2)×(3)√ 2．设随机变量X～N(μ，σ2)，且P(X≤C)＝P(X＞C)，则C＝() A．0 B．σ C．－μD．μ 答案：D
正态分布-人教版高中数学
知识图谱 -正态分布正态分布的概念正态分布的性质与应用第04讲_正态分布 错题回顾 正态分布 知识精讲 一. 正态分布密度函数 如果随机变量的概率密度函数，，我们称其图象为正态分布密度曲线. 其中是圆周率；是自然对数的底；是随机变量的取值；为正态分布的均值；是正态分布的标准差. 正态分布一般记为． 二. 正态分布 如果随机变量落在区间上的概率为，则称随机变量满足正态分布. 正态分布由参数唯一确定，如果随机变量，根据定义有：.
三. 正态曲线的性质 正态曲线具有以下性质： （1）曲线在轴的上方，与轴不相交． （2）曲线关于直线对称． （3）曲线在时位于最高点． （4）当时，曲线上升；当时，曲线下降．并且当曲线向左、右两边无限延伸时，以轴为渐近线，向它无限靠近． （5）当一定时，曲线的形状由确定．越大，曲线越“矮胖”，表示总体越分散；越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中． 四. 标准正态曲线 当时，正态总体称为标准正态总体，其相应的函数表示式是，，其相应的曲线称为标准正态曲线，标准正态分布记做. 记，指总体取值小于的概率，则. 任何正态分布的概率问题均可利用公式转化为标准正态分布的概率问题.
五. 正态分布在三个特殊区间的概率值 1. 原则 在实际应用中，通常认为服从正态分布的随机变量只取 之间的值，并简称为原则. 在此区间以外取值的概率只有 0.0026，此为小概率事件. 2. 三个特殊区间的概率值 三点剖析 一. 注意事项
1. 参数是反映随机变量取值的平均水平的特征数，可以用样本均值去估 计；是衡量随机变量总体波动大小的特征数，可以用样本标准差去估计．把的正态分布叫做标准正态分布； 2. 正态分布是自然界中最常见的一种分布，许多现象都近似地服从正态分 布，如长度测量误差，正常生产条件下各种产品的质量指标等； 3. 一般的，一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素 作用结果之和，它就服从或近似地服从正态分布． 题模精讲 题模一正态分布的概念 例1.1、 设随机变量，若，则=（） A、B、p C、D、 例1.2、 设随机变量X～N（μ，62），Y～N（μ，82）．记p1=p（X≤μ-6），p2=p （Y≥μ+8），则有（） A、p1=p2 B、p1＞p2 C、p1＜p2 D、p1，p2大小关系无法判断 例1.3、
