复变函数与积分变换(修订版-复旦大学)课后的习题答案
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复变函数与积分变换
（修订版）
主编：马柏林
（复旦大学出版社）——课后习题答案
习题一
1. 用复数的代数形式a +ib 表示下列复数
π/43513
;
;(2)(43);711i i e i i i i i
-++++
++.
①解i 4
πππe cos isin 44-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
⎝⎭ ②解： ()()()()
35i 17i 35i 1613i
7i 1
1+7i 17i 2525
+-+==-++-
③解： ()()2i 43i 834i 6i 510i ++=-++=+ ④解：
()31i 13
35=i i i 1i 222
-+-+=-+
2.求下列各复数的实部和虚部(z =x +iy )
(z a a z a -∈+
); 33
3;;;.n z i ①
：∵设z =x +iy
则()()()()()()()2
2
i i i i i i x a y x a y x y a x a y z a z a x y a x a y x a y -++-⎡⎤⎡⎤+--+-⎣⎦⎣⎦===+++++++ ∴()222
2
2
Re z a x a y z a x a y ---⎛⎫= ⎪+⎝⎭++,
()2
2
2Im z a xy z a x a y -⎛⎫
= ⎪+⎝⎭++． ②解： 设z =x +iy
∵()()()()()
()()()323222222223223i i i 2i i 22i
33i
z x y x y x y x y xy x y x x y xy y x y x y x xy x y y =+=++=-++⎡⎤=--+-+⎣⎦=-+- ∴()332Re 3z x xy =-, ()
323Im 3z x y y =-．
③解：
∵((
)(
){
}3
3
2
3
2
11
1313188
-+⎡⎤⎡⎤==
--⋅-⋅+⋅-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣
⎦
⎝⎭
()1
80i 18
=
+=
∴Re 1=⎝⎭
, Im 0=⎝⎭
． ④解：
∵()
(
)((
)2
3
3
2
3
13131i 8
⎡⎤--⋅-⋅+⋅-⎢⎥⎣⎦=⎝
⎭
()1
80i 18
=
+=
∴Re 1=⎝
⎭
, Im 0=⎝
⎭
．
⑤解： ∵()()1,2i 211i,
k
n
k
n k k n k ⎧-=⎪=∈⎨=+-⋅⎪⎩． ∴当2n k =时，()()Re i 1k n =-，()Im i 0n =；
当21n k =+时，()Re i 0n =，()
()Im i 1k
n =-．
3.求下列复数的模和共轭复数
12;3;(2)(32);
.2
i
i i i +-+-++
①解：2i -+=
2i 2i -+=--
②解：33-=
33-=-
③解：()(
)2i 32i 2i 32i ++=++=
()()()()()()2i 32i 2i 32i 2i 32i 47i ++=+⋅+=-⋅-=-
④解：
1i 1i 22++==
()1i 11i
222i ++-⎛⎫=
= ⎪⎝⎭
4、证明：当且仅当z z =时，z 才是实数．
证明：若z z =，设i z x y =+，
则有 i i x y x y +=-，从而有()2i 0y =，即y =0 ∴z =x 为实数．
若z =x ，x ∈ ，则z x x ==． ∴z z =．
命题成立．
5、设z ,w ∈ ，证明： z w z w ++≤
证明∵()()()()
2
z w z w z w z w z w +=+⋅+=++
(
)
()
2
2
2
2
2Re z z z w w z w w
z zw z w w z w
z w =⋅+⋅+⋅+⋅=++⋅+=++⋅
()
22
2
2
2
22z w z w
z w z w z w ++⋅=++⋅=+≤
∴z w
z w ++≤
．
6、设z ,w ∈ ，证明下列不等式． ()
2
2
2
2Re z w z z w w +=+⋅+ ()
2
2
2
2Re z w z z w w -=-⋅+
(
)22
22
2z w z w z w
++-=+
并给出最后一个等式的几何解释．
证明：()
22
2
2Re z w z z w w +=+⋅+在上面第五题的证明已经证明了． 下面证()
22
2
2Re z w z z w w -=-⋅+．
∵()()()()
2
2
2
z w z w z w z w z w z z w w z w
-=-⋅-=--=-⋅-⋅+
()
2
2
2Re z z w w =-⋅+．从而得证．
∴(
)2
2
22
2z w z w z w
++-=+
几何意义：平行四边形两对角线平方的和等于各边的平方的和． 7.将下列复数表示为指数形式或三角形式
3
352π2π;;1;8π(1);.cos sin 7199i i i i +⎛
⎫--+ ⎪+⎝
⎭ ①解：
()()()()
35i 17i 35i 7i 117i 17i +-+=++-
3816i 198i e 5025i θ⋅--=
==其中8
πarctan 19
θ=-． ②解：e i i θ⋅=其中π
2θ=．
π2
e i
i =
③解：ππi i 1e e -==
④解：()
2
8π116ππ3
θ-==-.
∴()
2πi 3
8π116πe
--+=⋅
⑤解：3
2π2πcos isin 99⎛
⎫+ ⎪⎝
⎭