高中数学解题方法梯度训练换元法
换元法在高中数学解题中的应用技巧
㊀㊀解题技巧与方法㊀㊀１１０㊀换元法在高中数学解题中的应用技巧换元法在高中数学解题中的应用技巧Һ梁茸茸㊀（甘肃省临夏中学，甘肃㊀临夏㊀７３１１００）㊀㊀ʌ摘要ɔ通过 换元 分析题目㊁梳理思路㊁简化运算㊁解决问题，是高中一种至关重要的解题技巧．文章参考２０１９年人教版高中数学教材核心知识点，从内涵㊁价值㊁方法㊁类型题等多个维度层层深入，探究换元法的具体应用，希望对一线教师的教学有一定启发，帮助学生在高中数学解题中全面掌握换元法．ʌ关键词ɔ高中数学；换元法；解题教学引㊀言换元法是一种数学解题方法，体现着重要的数学思想，在高中数学方程㊁不等式㊁函数等问题中有着十分广泛的应用．教师应使学生充分认识换元法在高中数学解题中的应用价值，掌握其应用技巧，以培养学生高中数学解题能力，使其数学思想㊁能力等实现良好的发展．这要求教师立足实际研究换元法在高中数学解题中的应用技巧，全面把握其基本方法与关联题型，为学生提供恰到好处的指导．一㊁换元法的内涵换元法也称 变量代换法 辅助元素法 ，是一种在数学解题过程中以新的变量取代原有变量的方法．展开来说，换元法是在数学解题过程中引入一个或多个新的变量代替题目中原有的某些复杂或干扰变量，从而将分散在题目中的已知条件准确联系起来，突出隐含条件，将题目变成学生更容易理解的形式，简化烦琐的运算过程．二㊁换元法在高中数学不同类型题中的应用掌握换元法在高中数学解题中的应用技巧，应准确理解其适用题型．这样，学生才能在面对换元法相关题目时，及时确定 换元 解题思路，节约思考时间．因此，教师还应引导学生归类典型题，探索换元法在高中数学不同类型题中的应用．比如，方程问题㊁函数问题㊁不等式问题㊁数列问题．（一）方程问题方程问题是高中数学最基础的一项知识，是学生解答高中数学函数㊁导数等其他问题的重要基础．以人教版高中数学教材为例（２０１９年版），其在高一必修第一册便编排了 一元二次方程 知识点，足见方程在整个高中数学学习过程中的重要性．而对于一些复杂的方程问题，只有通过换元才能顺利求解．例如，人教版高一必修第一册（２０１９年版）第二章 一元二次函数㊁方程和不等式 教学中，有下列题目：解方程：ｘ４＋２ｘ２＋１ｘ２＋ｘ２＋１ｘ－２＝０．方程最高次项为４次，使其具有较大难度，不能直接运用解一元二次方程的解题经验，由此可考虑应用换元法，将方程最高次 降次 ，具体思路和过程如下：观察方程未知数，可知ｘ４＋２ｘ２＋１ｘ２与ｘ２＋１ｘ为平方关系．因此可设ｘ２＋１ｘ为ｙ，则ｘ４＋２ｘ２＋１ｘ２可表示为ｙ２，原方程转化为ｙ２＋ｙ－２＝０，（ｙ＋２）（ｙ－１）＝０，ｙ值可取－２或１．当ｙ值取－２时，ｘ２＋１ｘ＝－２，ｘ２＋１＋２ｘ＝０，ｘ＝－１；当ｙ值取１时，ｘ２＋１ｘ＝１，ｘ２＋１－ｘ＝０，ｘ－１２æèçöø÷２＝－３４，无解．所以原方程解为ｘ＝－１．一方面，基于换元法在方程问题中的 降次 优势解题，将方程最高次项由４次转化为２次．另一方面，应用整体换元法，将方程中代数式ｘ２＋１ｘ视为一个整体，整体代入未知数ｙ．通过换元法在方程问题中的混合应用，非常见一元四次方程被转化为学生再熟悉不过的一元二次方程，解方程难度大大降低．此外，高中数学 圆锥曲线方程 解题中，也需要应用换元法解题技巧．例如，人教版高二选择性必修第一册（２０１９年版）第三章 椭圆 ，有下列题目：在椭圆ｘ２４＋ｙ２＝１上有一移动的点Ｐ，其坐标可表示为（ｘ，ｙ），求函数ｕ＝ｘ２＋２ｘｙ＋４ｙ２＋ｘ＋２ｙ的最大值．基于换元法，其解题思路与过程如下：设ｘ＝２ｃｏｓθ，ｙ＝ｓｉｎθ，θɪ［０，２π）．ｕ＝４ｃｏｓ２θ＋４ｓｉｎθｃｏｓθ＋４ｓｉｎ２θ＋２ｃｏｓθ＋２ｓｉｎθ＝２（ｓｉｎθ＋ｃｏｓθ）２＋２ｃｏｓθ＋２ｓｉｎθ＋２．㊀㊀㊀解题技巧与方法１１１㊀㊀再设ｇ＝ｃｏｓθ＋ｓｉｎθ＝２ｓｉｎπ４＋θæèçöø÷，ｇɪ［－２，２］ｕ＝２ｇ２＋２ｇ＋２＝２ｇ＋１２æèçöø÷２＋３２，ｇ＝２时，ｕ最大，值为６＋２２．某种意义上，圆锥曲线方程问题可以视为高一方程问题的升级，其复杂性更高，难度有显著提升，因此要求学生掌握更加灵活的解题方法．例题解题思路为三角换元法在圆锥曲线方程问题中的运用，是先根据椭圆参数方程ｘ＝ａｃｏｓθ，ｙ＝ｂｓｉｎθ特点还原，然后依据三角函数ｓｉｎ２ｘ＋ｃｏｓ２ｘ＝１等知识点化简方程，求出最终解．（二）函数问题高中数学函数问题可概括为 基础函数问题 与三角函数问题 ，前者还可细分为 二次函数基础问题 指数函数基础问题 对数函数基础问题 等，后者由于在 三角形 背景下，因此被单独归类．换元法不仅可以用于解决 二次函数 等基础函数问题，还在三角函数问题的解答中有特殊功能．教师应使学生全面掌握函数问题中的换元技巧．而 换元法在基础函数解题的应用 中，主要题型有 函数解析式问题 与 最值问题 ，下面将结合具体例题一一论述．１．函数解析式问题一般情况下，高中数学函数解析式问题可以通过待定系数法求解，若题中已知条件无法满足待定系数法解题需要，换元法便派上了用场．例如：已知函数，ｆ２ｘ＋１æèçöø÷＝ｌｇｘ，求ｆ（ｘ）．这是一个典型的求对数函数解析式问题，题目所给条件十分有限，不能直接套用待定系数法．换元法解题思路与过程如下：令２ｘ＋１＝ｕ，则ｘ＝２ｕ－１，ｆ（ｕ）＝ｌｇ２ｕ－１．结合题意ｆ２ｘ＋１æèçöø÷＝ｌｇｘ，可知ｘ＞０，则ｕ＞１，则ｆ（ｕ）＝ｌｇ２ｕ－１成立．以未知数ｘ表示ｕ，则ｆ（ｘ）＝ｌｇ２ｘ－１ｘ＞１()．直接将已知函数关系式中２ｘ＋１视为一个整体，用未知数ｕ进行表示，求出换元后的函数解析式．之后再次换元，代入新的未知数替换ｕ，解得原函数ｆ（ｘ）解析式．通过变量的多次替换，轻松求出原复杂函数解析式．但是需要注意的是，由于在多次换元中， 新元 取值范围存在变化，所以在最终确定函数解析式时，要着重关注ｘ的取值范围．此外，教师还可以视此题目为典型，引导学生归纳函数解析式问题换元规律：形如ｙ＝ｆｇ（ｘ）[]的函数中，求解其解析式，可以先对ｇ（ｘ）换元，再求解原函数解析式．学生由此形成对函数解析式问题换元技巧的规律性掌握，可在自主求解函数解析式问题时，更加自信㊁巧妙地应用换元法．２．最值问题高中数学最值问题包括 最大值 最小值 问题，在二次函数㊁指数函数等函数中均有应用．而且，在某种意义上，圆锥曲线方程问题也属于函数问题，上述 三角换元解椭圆方程最大值 问题，本质上也是换元法在函数最值问题中的应用．因此在本部分，将不再对圆锥曲线方程最值问题展开赘述，以二次函数为重点讨论对象．例如：求函数ｆ（ｘ）＝２ｘ－ｘ－１的最小值．题目只有寥寥一句话，却能困扰很大一部分学生．这并非常见的一元二次函数，应该采取何种方法求最小值？解题思路与过程如下：应用换元法可以将函数关系式 根号 部分的变量视为一个整体，令ｘ－１＝ｕ，则ｘ＝ｕ２＋１，函数ｆ（ｕ）＝２ｕ２＋２－ｕ（ｕȡ０）．此时，函数ｆ（ｘ）＝２ｘ－ｘ－１的求解问题，被顺利转化为函数ｆ（ｕ）＝２ｕ２＋２－ｕ（ｕȡ０）的求解问题．通过顶点式表达ｆ（ｕ）函数关系式，ｆ（ｕ）＝２ｕ－１４æèçöø÷２＋１５８，函数开口向上，在顶点处取最小值，ｕ＝１４，ｆ（ｕ）＝１５８．通过整体换元，函数由一次函数被转化为易于求最值的二次函数形式，然后将二次函数表达式转化为 顶点式 ，可根据二次函数顶点坐标特征顺利求解．但是在换元过程中，同样要明确与 元 相对应的变量取值范围变化情况．３．三角函数问题三角函数是特殊的一种高中数学函数问题，因此换元法在其实际解题过程中的应用也具有一定特殊性，包括角换元㊁三角式㊁ｓｉｎ２ｘ＋ｃｏｓ２ｘ＝１换元等．例如：求三角函数ｆ（ｘ）＝ｓｉｎｘ＋ｃｏｓｘ＋ｓｉｎｘｃｏｓｘ的值域．这是一个典型的 三角式换元 问题，可以通过三角式换元将三角函数转化为二次函数，使 求值域 更加简单，思路与过程如下：设ｓｉｎｘ＋ｃｏｓｘ＝ｔ，则ｓｉｎ２ｘ＋ｃｏｓ２ｘ＋２ｓｉｎｘｃｏｓｘ＝ｔ２，１＋２ｓｉｎｘｃｏｓｘ＝ｔ２，ｓｉｎｘｃｏｓｘ＝ｔ２－１２．根据三角函数诱导㊀㊀解题技巧与方法㊀㊀１１２㊀公式，ｓｉｎｘ＋ｃｏｓｘ＝ｔ＝２ｓｉｎｘ＋π４æèçöø÷，则ｔ取值范围为ｔɪ［－２，２］，ｆ（ｘ）＝ｔ＋ｔ２－１２＝ｔ＋１()２－２２，其对称轴为ｔ＝－１，因此在区间ｔɪ［－２，２］内，其值域为ｆ－１()，ｆ２()[]．ｆ－１()＝－１，ｆ２()＝２２＋１２，求得原函数值域为－１，２２＋１２éëêêùûúú．通过将三角函数中某一个三角函数关系式换元，引发原函数其他变量的相应变化，将原函数由三角函数转化为二次函数，根据 换元 后函数变量取值范围变化情况确定二次函数定义域，求出其值域，该值域也是原函数待求值域．在换元法与三角函数问题的紧密融合中，高中数学三角函数解题难度也大大降低．（三）不等式问题不等式问题同样是人教版高一必修第一册（２０１９年版）第二章 一元二次函数㊁方程和不等式 部分教学内容，其典型题目包括求不等式某一变量取值范围㊁证明不等式等．例如：求证－１２ɤｘ１－ｘ２ɤ１２．这是典型的证明不等式问题，初读题目，除待证不等式外，题目并未给出其他已知条件，使很多学生毫无头绪．但是应用换元法，将式中ｘ设为ｃｏｓθ，结果将天差地别，解题过程与思路如下：令ｘ＝ｃｏｓθ，且θɪ０，π[]，则ｘ１－ｘ２＝ｃｏｓθｓｉｎθ＝１２ｓｉｎ２θ．θɪ０，π[]，－１ɤｓｉｎ２θɤ１，则－１２ɤ１２ｓｉｎ２θɤ１２，－１２ɤｘ１－ｘ２ɤ１２．具体来说，此题应用三角换元法，通过设原不等式变量ｘ为三角函数ｃｏｓθ，同时设定角θ取值范围，将不等式转化为与ｓｉｎθ相关的关系式．之后，可根据角θ在特殊取值范围下的值域确定ｓｉｎθ取值范围，从而反证不等式，降低不等式证明难度．但是在应用此技巧时，还要注意换元的等价性，不仅要保持题目各个变量之间的关系不变，还要使各变量取值范围在换元前后保持一致．（四）数列问题换元法在数列解题中的应用，主要包括在数列的递推通项公式或前ｎ项和公式过程中，构造等差数列或等比数列；在关于数列的不等式问题中，求解数列最值．例如，人教版高二选择性必修第二册（２０１９年版）第四章 数列 教学中，有下列题目：已知在数列｛ａｎ｝中，ａ１＝１，当ｎȡ２时，数列前ｎ项和Ｓｎ满足Ｓｎ２＝ａｎＳｎ－１２æèçöø÷，求Ｓｎ的表达式．结合题意，解决此问题，需要根据ａ１＝１以及ｎȡ２时数列前ｎ项和Ｓｎ所满足条件逆推前ｎ项和公式，而逆推数列前ｎ项和公式，需要构造新的数列，由此可应用换元法．解题思路如下：任意一个数列中，都有ａｎ＝Ｓｎ－Ｓｎ－１，当ｎȡ２时，将其代入Ｓｎ２＝ａｎＳｎ－１２æèçöø÷，得到２ＳｎＳｎ－１＋Ｓｎ－Ｓｎ－１＝０．若题目成立，则Ｓｎʂ０，等式两边可同时除以ＳｎＳｎ－１，得到２＋１Ｓｎ－１－１Ｓｎ＝０，１Ｓｎ－１Ｓｎ－１＝２．应用换元法，可设Ｃｎ＝１Ｓｎ，则Ｃｎ－Ｃｎ－１＝２，Ｃｎ{}为首项为１㊁公差为２的等差数列，表达式为２ｎ－１．将Ｃｎ＝２ｎ－１代入Ｃｎ＝１Ｓｎ，则１Ｓｎ＝２ｎ－１，Ｓｎ＝１２ｎ－１．首先，根据题意以及数列特征消掉题目的ａｎ，使其只存在Ｓｎ与Ｓｎ－１两个变量，突出数列前ｎ项和与前ｎ－１项和的数学联系．其次，将Ｓｎ与Ｓｎ－１其中一个变量设为新的变量，通过还原构造新的数列，求出其表达式．最后，将新数列表达式代入之前所求得的数学关系式，求出数列｛ａｎ｝真正的前ｎ项和表达式．将换元法渗透在运算过程中，及时设元，减少无关运算，顺利逆推出数列问题答案．结㊀语综上所述，在高中数学解题中，换元法既可以保障解题效果，又可以使学生感悟数学思想，感悟换元法应用在高中数学解题中具有的极高现实意义．教师应使学生领会换元法在高中数学解题中的常见方法，同时区分适用于换元法的不同题型，使学生全面掌握换元法应用技巧．此外，教师还需让学生建立 勿忘换元 意识，使其 换元 有始有终．ʌ参考文献ɔ［１］李志明．巧妙换元㊀解决难题 换元法在高中数学解题中的应用［Ｊ］．数理化解题研究，２０２２（３６）：１４－１６．［２］刘延群．高中数学换元解题 六法 ［Ｊ］．中学数学，２０２２（９）：８１－８２，９５．［３］雷文发，张红霞．灵活换元㊀巧妙转换［Ｊ］．数学大世界（中旬），２０２１（６）：６８．。
换元法在高中数学解题中的应用
换元法在高中数学解题中的应用换元法是一种广泛应用于高中数学解题中的方法。
它的核心思想是通过一定的变换将问题转化为更易于解决的形式，从而得到问题的解。
一、函数换元法1. 基本思想函数换元法是一种利用函数的运算性质，将复杂函数转化为较为简单的函数，从而帮助我们解决问题的方法。
例如，在求函数 $f(x)=\frac{1}{x-1}$ 的零点时，我们可以采用换元法将 $x-1$ 替换为 $t$，从而得到 $f(t)=\frac{1}{t}$，这样我们就可以较为容易地求得 $t=0$，进一步得到 $x=1$ 这一解。
2. 具体应用函数换元法在高中数学中广泛应用于函数的求导、求极限等方面。
例如，在求函数$f(x)=\sin(2x+\frac{\pi}{6})$ 的导数时，我们可以采用函数换元法将$2x+\frac{\pi}{6}$ 替换为 $t$，这样就可以得到$\frac{d}{dx}f(x)=\frac{d}{dt}\sin t \times\frac{d}{dx}(2x+\frac{\pi}{6})=\cos(2x+\frac{\pi}{6})\times2=\sqrt{3}\cos(2x+\frac{\pi}{6})$。
这样问题就被转化为了求 $\sin t$ 的导数，从而便于计算。
二、微分方程的换元法微分方程是一种描述物理现象的重要工具，但由于其求解的困难度较大，我们需要采用适当的方法来简化问题。
其中，微分方程的换元法就是其中一个重要的方法。
例如，在求解微分方程 $y'+y=e^x$ 时，我们可以采用换元法将 $y=e^{-x}u$，得到$\frac{dy}{dx}=e^{-x}\frac{du}{dx}-e^{-x}u$，代入原方程后得到$\frac{du}{dx}=e^x$，进一步得到 $u=e^x+C$，从而得到原方程的通解为$y=e^{-x}(e^x+C)$。
微分方程的换元法在高中数学的物理问题中经常被应用。
换元法在高中数学解题中的应用
换元法在高中数学解题中的应用王凤梅(山东省青岛市城阳区第一高级中学㊀２６６１０８)摘㊀要:换元法是高中生数学解题中较为常用的方法ꎬ对换元法进行灵活应用ꎬ将数学解题中的问题实施转化ꎬ以促使许多难题迎刃而解.因此ꎬ在高中数学的解题中运用换元法ꎬ将复杂结构实现简单化ꎬ混乱的思路清晰化ꎬ这不仅有助于学生思路的简化ꎬ而且还能使学生清晰的找到解题思路ꎬ从而实现高效解题.关键词:高中数学ꎻ换元法ꎻ解题ꎻ教学ꎻ应用中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２０)３３－００１６－０２收稿日期:２０２０－０８－２５作者简介:王凤梅(１９７０.８－)ꎬ女ꎬ山东省临沂人ꎬ中学高级教师ꎬ从事高中数学教学研究.㊀㊀换元法作为高中数学具体教学中ꎬ较为常见的一种解题方法ꎬ在数学的解题中ꎬ通常会出现较为复杂或存有两个及其以上的未知条件的相关数学题ꎬ在解题的时候ꎬ可依据知识之间存在的内在联系ꎬ对数学题中存有的数量关系实施转化ꎬ并通过各变量的条件转换ꎬ将一种问题转变成另种问题ꎬ以实现整个解题的简化.同时ꎬ换元方法有许多种ꎬ如函数换元㊁变量换元㊁不等量换元㊁三角函数的换元等.在具体解题的时候ꎬ教师通过换元法的灵活应用ꎬ不仅能够对学生自身的思维敏捷度进行锻炼ꎬ而且还能使学生自身的思维能力得到有效提高.㊀㊀一㊁换元法内涵及其应用技巧归纳１.换元法内涵所谓的换元法ꎬ其主要就是把数学题目中原先的部分变量通过另一些变量进行替代ꎬ经过换元ꎬ通常能够产生缩减变量㊁简化形式的效果.较为常见的换元方式包含三种ꎬ具体为:(１)整体换元ꎬ如将ｘ表达式的ｆ(ｘ)进行整体替换成ｔꎬ并通过ｔ表示成其他的与ｘ有关的表达式ꎻ(２)利用关系ꎬ其主要指将较为相似的表达式进行换元ꎬ其主要是通过已知代数式和三角知识的联系实施换元ꎬ也就是在解题的时候ꎬ通过相同的参数ꎬ对两个变量进行表示ꎬ以减少变元ꎬ促使问题简化ꎻ(３)均值换元ꎬ当能够确切求出两个变量和的时候ꎬ就能通过均值换元.不论是何种换元ꎬ在换元之后ꎬ都能够对新变量实施运算ꎬ在对变量完成计算后ꎬ再对原变量进行取值ꎬ通过这样的解题思路ꎬ需确保换元时的等效变换ꎬ特别是定义域转变ꎬ只有确保变换的等效ꎬ才能确保计算结构的有效性.２.应用技巧归纳首先ꎬ常规换元法的掌握.对于不同换元法ꎬ其通常具有相应的形式ꎬ特别是三角换元.因此ꎬ对于难度较低的题目ꎬ学生只要充分掌握较为常规化的换元规律ꎬ并做出迅速反应ꎬ就能实现迅速解题.其次ꎬ注重题目形式的观察.对于难度相对较高的数学题型ꎬ其题目的条件通常具有较强的隐藏性ꎬ此时ꎬ就需对题目条件实施相应的梳理与分析ꎬ并找到换元实施的突破点.需要注意的是ꎬ题型的难度通常不会对换元的相关条件造成影响ꎬ因此ꎬ对条件实施初步解算以及分析ꎬ不仅有利于学生打开解题思路ꎬ而且还能实现高效解题.最后ꎬ注意等效的条件.应用换元法的前后ꎬ其等效性通常是其正确应用的重要保证ꎬ但也是在解题中最容易被忽略的部分.不论是哪种题型ꎬ难度如何ꎬ都需对等效性进行牢固记忆.㊀㊀二㊁换元法在高中数学解题中的应用策略１.基于换元法的三角函数教学高中数学的解题中ꎬ三角换元已经得到广泛应用.三角换元的解题中ꎬ其主要是通过相应的三角换元ꎬ把代数表达转变成三角表达ꎬ也就是把代数式解答或者证明转变成三角式解答与证明ꎬ以达到简化题目㊁理顺思路的作用.可应用同角三角关系ꎬ或者辅助角公式ａｓｉｎｘ＋ｂｃｏｓｘ＝ａ２＋ｂ２ｓｉｎ(ｘ＋φ)ꎬ其中的ａ㊁ｂ均是非零实数ꎬφ角则能通过ｔａｎφ＝ｂａ进行确定ꎬ以此对解题过程进行简化ꎬ从而使解题效率得到有效提高.例１㊀已知ｘ㊁ｙ满足ｘ２－ｘｙ＋ｙ２＝１ꎬ求ｘ２－ｙ２的取值６１ Copyright©博看网 . All Rights Reserved.范围.解㊀设ｘ＝ρｃｏｓθꎬｙ＝ρｓｉｎθꎬ那么ꎬρ２－ρ２ｓｉｎθｃｏｓθ＝１ꎬ也就是ρ２＝２２－ｓｉｎ２θꎬ因此ꎬｘ２－ｙ２＝２ ｃｏｓ２θ２－ｓｉｎ２θ.设ｋ＝ｃｏｓ２θ２－ｓｉｎ２θꎬ由此可知ꎬｋｓｉｎ２θ＋ｃｏｓ２θ＝２ｋꎬｓｉｎ(２θ＋φ)＝２ｋｋ２＋１ꎬ其中ｔａｎφ＝１ｋꎬθɪ[０ꎬ２π).根据三角函数的有界性可得:２ｋｋ２＋１ɤ１ꎬ也就是－３３ɤｋɤ３３ꎬ因此ꎬｘ２－ｙ２的取值范围是－２３３ɤｘ２－ｙ２ɤ２３３.２.基于构造辅助的函数换元基于构造辅助的函数换元属于极其重要的一种解题方法.对于函数而言ꎬ其作为高中数学具体教学中的核心知识ꎬ通常具有相应的导向性与工具性ꎬ大部分问题都能够以巧妙的构造进行函数辅助ꎬ促使复杂难解的问题转变为直观明了ꎬ转变为程序化.例２㊀已知函数ｆ(ｘ)＝ｍｘ－ａＩｎｘ－ｍꎬｇ(ｘ)＝ｅｘ/ｅｘꎬ其中的ｍꎬａ都是实数ꎬ设ｍ＝１ꎬａ<０ꎬ如果对任意的ｘ１ꎬｘ２ɪ[３ꎬ４](ｘ１ʂｘ２)ꎬ且ｆ(ｘ２)－ｆ(ｘ１)<１ｇ(ｘ２)－１ｇ(ｘ１)恒成立ꎬ求取ａ最小值.解㊀若ｍ＝１ꎬａ<０的时候ꎬｆ(ｘ)＝ｘ－ａＩｎｘ－１ꎬｘɪ(０ꎬ＋ɕ).由于ｆᶄ(ｘ)＝ｘ－ａｘ>０位于[３ꎬ４]上恒成立ꎬ那么ꎬｆ(ｘ)位于[３ꎬ４]区间内为增函数假设ｈ(ｘ)＝１ｇ(ｘ)＝ｅｘｅｘꎬ因此ꎬｈᶄ(ｘ)＝ｅｘ－１(ｘ－１)ｘ２>０位于[３ꎬ４]上恒成立ꎬ即ｈ(ｘ)位于[３ꎬ４]区间内为增函数.假设ｘ２>ｘ１ꎬ那么ꎬｆ(ｘ２)－ｆ(ｘ１)<１ｇ(ｘ２)－１ｇ(ｘ１)等价为ｆ(ｘ２)－ｆ(ｘ１)<ｈ(ｘ２)－ｈ(ｘ１)ꎬ即ｆ(ｘ２)－ｈ(ｘ２)<ｆ(ｘ１)－ｈ(ｘ１).构造函数ｕ(ｘ)＝ｆ(ｘ)－ｈ(ｘ)＝ｘ－ａｌｎｘ－１－１ｅｅｘｘꎬ那么ꎬｕ(ｘ)位于[３ꎬ４]区间内为减函数ꎬ因此ꎬｕᶄ(ｘ)＝１－ａｘ－１ｅ ｅｘ(ｘ－１)ｘ２ɤ０位于[３ꎬ４]区间恒成立ꎬ也就是ａȡｘ－ｅｘ－１＋ｅｘ－１ｘ恒成立.假设ｖ(ｘ)＝ｘ－ｅｘ－１＋ｅｘ－１ｘꎬ由于ｖᶄ(ｘ)＝１－ｅｘ－１＋ｅｘ－１(ｘ－１)ｘ２＝１－ｅｘ－１[(１ｘ－１２)２＋３４]ꎬｘɪ[３ꎬ４]ꎬ因此ꎬｅｘ－１[(１ｘ－１２)２＋３４]>３４ｅ２>１ꎬ那么ｖᶄ(ｘ)<０ꎬｖ(ｘ)是减函数ꎬ因此ꎬｖ(ｘ)位于[３ꎬ４]上的最大值是ｖ(３)＝３－２３ｅ２ꎬ由此可知ꎬａ的最小值是３－２３ｅ２.通过构造辅助函数方法ꎬ对具体问题进行分析ꎬ明确原问题和和辅助函数之间的联系ꎬ并通过相应的推理ꎬ构造出合理的辅助函数ꎬ从而对问题进行有效解决.３.基于换元法的不等式解题不等的证明与解答相关问题属于高中数学中的重要模块ꎬ通过换元法ꎬ对题实施新元替换ꎬ不仅有助于学生解题思路进行梳理ꎬ而且还能实现高效解题.例３㊀若(ｘ－１)２９＋(ｙ＋１)２１６＝１ꎬ不等式ｘ＋ｙ－ｋ>０恒成立ꎬ则ｋ值的取值范围是多少?解㊀首先进行换元ꎬ即ｘ－１３＝ｃｏｓαꎬ且ｙ＋１４＝ｓｉｎαꎬ由此可知ꎬｘ＝１＋３ｃｏｓαꎬｙ＝－１＋４ｓｉｎα.将其代入到不等式ｘ＋ｙ－ｋ>０当中ꎬ可得出ｋ<４ｓｉｎα＋３ｃｏｓα＝５ｓｉｎ(α＋φ)ꎬ而－５ɤ５ｓｉｎ(α＋φ)ɤ５ꎬ所以ｋ<－５.在实际解题中ꎬ经过换元法进行新不等式的构建ꎬ不仅使解题思路得到有效简化ꎬ而且还能促使解题方式实现简便化ꎬ这对不等式相关问题解答是个重要突破口ꎬ也是一种高效的解法.综上所述ꎬ高中数学的具体教学中ꎬ换元法属于较为常见的一种解题方法ꎬ其不仅指解题过程的简化ꎬ而且还有助于学生形成良好的解题思路ꎬ并形成发散思维ꎬ同时ꎬ灵活的应用各种换元法ꎬ还能使繁琐且复杂的数学问题实现简化计算.㊀㊀参考文献:[１]潘帅.换元法在高中数学解题中的应用[Ｊ].中国高新区ꎬ２０１９(０１):１３０.[２]钟文.高中数学解题中换元法的有效运用探析[Ｊ].读与写(教师)ꎬ２０１９(０２):２６４.[３]李京玉.高中数学解题思想方法之一 换元法[Ｊ].教育教学论坛ꎬ２０１７(５０):２０５－２０６.[４]程子祺.关于换元法在高中数学数列部分的应用讨论[Ｊ].中国高新区ꎬ２０１９(０１):１０５.[５]杜娟.换元法在高中数学中的应用[Ｊ].考试周刊ꎬ２０１８(２６):７２.[６]黄高乐.如何利用换元法解高中数学题[Ｊ].语数外学习(高中版中旬)ꎬ２０１９(０１):４２.[责任编辑:李㊀璟]７１ Copyright©博看网 . All Rights Reserved.。
换元法在高中数学解题中的应用
换元法在高中数学解题中的应用换元法是高中数学中常用的一种解题方法，它是基于函数代换的思想，可以将复杂的函数表达式转化成较简单的形式，从而简化计算过程和提高求解效率。
在这篇文章中，我们将介绍换元法在高中数学解题中的应用，涉及等式变形、积分计算、初等函数的求导等多个领域。
一、等式变形在高中数学中，有时需要通过等式变形来求解方程或证明某个恒等式。
在这个过程中，用到的代换过程就是一种换元法。
下面是一个简单的例子：解方程：3x + 1 = 2x + 5解法：将3x + 1中的x替换成y，则原方程变为3y + 1 = 2y + 5，移项化简可得y = 4，代回原方程求得x = 3。
在这个例子中，我们通过用y替换x的方式将原方程化简，从而达到了解方程的目的。
这种换元法可以通用于各种类型的方程解法中。
二、积分计算在高中数学中，积分是一个比较重要的概念。
有时我们需要通过代换的方式将积分式子变得容易计算。
下面是一个例子：求$\int x\sqrt{1-x^2}dx$解法：令$u=1-x^2$，则$du=-2xdx$，原式变为$\int -\frac{1}{2}\sqrt{u}du$，解得$\int x\sqrt{1-x^2}dx=-\frac{1}{3}(1-x^2)^{\frac{3}{2}}+C$。
在这个例子中，我们将积分的被积函数用代换的方式转化成了常见的积分形式，进而利用求导的性质直接求解积分。
三、复合函数的求导在高中数学中，我们经常需要求解一些复合函数的导数，例如$f(x)=\sin(2x^2+3x+1)$。
这个问题可以通过换元法来简化计算过程，下面是具体的解法：设$u=2x^2+3x+1$，则$f(x)=\sin u$，利用复合函数求导法则可得：$f'(x)=\cos u\cdot (2x^2+3x+1)'=\cos u\cdot (4x+3)$最终的导数可以表示成$x$和$u$的函数形式，这样就简化了计算过程，提高了求解效率。
高考数学解题方法-换元法-含答案
知识点练习一、填空题1. 求函数的解析式：（1）已知，则．（2）已知，则．2. 设实数，，，满足，则的取值范围是．3. 已知函数，则的解析式为．4. 若函数，则的解析式为．5. 函数满足，则．6. 函数的值域是．7. 已知，则．8. 若，则的解析式为．9. 方程的解是．10. 对于问题："已知关于的不等式的解集为，解关于的不等式 "，给出如下一种解法：参解：由的解集为，得的解集为，即关于的不等式的解集为．参考上述解法，若关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为．11. 设，则函数的值域是．12. 为正实数，且，则的最大值为．13. 函数，其中，则其值域为．14. 已知的三边长，，满足，，则的取值范围为．15. 如图，矩形中，、分别为线段、上的点，且满足，若，则的最小值为．16. 正方形的四个顶点分别是、、、，点在正方形内，且点到各边的距离的平方和为，并与直线的距离最短，则点坐标是．17. 在三角形中，，，，点，分别在边，上，且，则的最大值为．18. 已知各项均为正数的等比数列，若，则的最小值为．19. 已知，，满足则的最大值为．20. 已知正数满足：，，则的取值范围是．二、解答题21. 已知，则．已知，则．22. 求下列函数的值域(1) ；(2)23. 求函数的最小值．24. 函数，求在上的最小值．25. 若有最大值和最小值，求实数，的值．26. 学校食堂改建一个开水房，计划用电炉或煤炭烧水，但用煤时也要用电鼓风及时排气，用煤烧开水每吨开水费为元，用电炉烧开水每吨开水费为元，，．其中为毎吨煤的价格，为每百度电的价格，如果烧煤时的费用不超过用电炉时的费用，则仍用原备的锅炉使用煤炭烧水，否则就用电炉烧水．(1)如果两种方法烧水费用相同，试将每吨煤的价格表示为每百度电价的函数；(2)如果每百度电价不低于元，则用煤烧水时每吨煤的最高价是多少？27. 已知点是圆上任意一点．(1)求点到直线的距离的最大值和最小值；(2)求的最大值和最小值；(3)求的最大值和最小值．28. 已知函数有且仅有一个零点，求的取值范围，并求出该零点．29. 已知，求．30. 若函数且在上的最大值为，求的值．31. 已知实数满足，求的最小值．32. 已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，椭圆的短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，两准线间的距离为．(1)求椭圆的方程；(2)直线过点且与椭圆相交于、两点，当面积取得最大值时，求直线的方程．33. 一动圆与圆：外切，与圆：内切．(1)求动圆圆心的轨迹的方程；(2)设过圆心的直线：与轨迹相交于，两点，请问（为圆的圆心）的内切圆的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及直线的方程；若不存在，请说明理由．34. 函数，．(1)若，求的最大值；(2)设时，若对任意，都有恒成立，且的最大值为，求的表达式．35. 已知椭圆的焦点坐标为，，过垂直于长轴的直线交椭圆于，两点，且，(1)求椭圆的方程；(2)过的直线与椭圆交于不同的两点，，则的内切圆的面积是否存在最大值？若存在求出这个最大值及此时的直线方程；若不存在，请说明理由．36. 知函数，实数，满足，设，．(1)当函数的定义域为时，求的值域；(2)求函数关系式，并求函数的定义域；(3)求的取值范围．37. 已知，，且，求证：．38. 已知函数的一系列对应值如下表：(1)根据表格提供的数据求函数的一个解析式；(2)根据（1）的结果，若函数的周期为，当时，方程恰有两个不同的解，求实数的取值范围．39. 已知函数在处取得极值．(1)求的值；(2)当时，求证：．40. 已知椭圆，过作互相垂直的两直线，，分别与椭圆交于，两点．(1)若直线经过点，求线段的长；(2)求面积的最大值．答案第一部分1 （1）；（2）234567891011121314151617181920第二部分21 ；22 (1) 设，则，且．于是．由，得的值域为．(2) 令，则，．所以．因为，所以．所以原函数的值域为．23 设，所以因为当时，函数递增，所以，函数的最小值为24 令，则．，，，即在上的最小值为．25 ．令，，则，的对称轴为．①当时，函数在为减函数，，，解得：，．②当时，函数在为增函数，，，，．③当时，．（i）当时，．解得：，与矛盾；（ii）当时，．解得：，与矛盾．综合上述：，或，．26 (1) 依题意，得，即．(2) 由，得．不妨令，则，则．因为，所以，即．所以当时，，此时．答：每吨煤的最高价为元．27 (1) 圆心到直线的距离为．所以点到直线的距离的最大值为，最小值为．(2) 设，则直线与圆有公共点．所以．所以．所以，．即的最大值为．最小值为．(3) 设，则直线与圆有公共点，所以．所以．所以，．即的最大值为，最小值为．28 因为有且仅有一个零点，所以方程仅有一个实根．设，则方程仅有一个正根．当时，即，当时，；时，（不合题意，舍去），所以，解得，符合题意．当时，即或时，方程有两正或两负根，即有两个零点或没有零点，此时不适合题意．综上，时，有唯一零点，且该零点为．29 设，则，所以所以30 令，则，该二次函数在上是增函数．①若，，故当时，，解得（舍去）．②若，，故当时，．所以或（舍去）．综上可得或．31 可将改写为，令，可得，，，则．因为，所以，当时，，所以的最小值为．32 (1) 设椭圆的方程为（）．由题意，得所以所求椭圆的方程为．(2) 由题意知直线的斜率存在，设直线的方程为．由消去，得．由直线与椭圆相交于两点，得，解得．设，，则，．原点 到直线 的距离为 ．所以．令 ，则． 当且仅当，即 时，． 此时从而直线 的方程为．33 (1) 设动圆圆心为 ，半径为 ．由题意，得 ， ， 所以 ．由椭圆定义知 在以 ， 为焦点的椭圆上，且 ， ， 所以 ． 于是动圆圆心 的轨迹 的方程为．(2)如图，设 内切圆 的半径为 ，与直线 的切点为 ，则三角形 的面积当 最大时， 也最大， 内切圆的面积也最大． 设 ， ，则．由得 ， 解得，．所以．令 ，则，且 ，从而．令，则．当时，，在上单调递增，则有，从而，即当，时，有最大值，即得，这时所求内切圆的面积为，所以存在直线：，的内切圆的面积最大值为．34 (1) 令，，则，所以等价于求，的最大值．因为，的图象的对称轴为，结合函数图象可知故的最大值为．(2) 令，则，由恒成立可得，，．因为，所以，而，所以，即，所以．又时，，所以，结合可知二次函数的图象的顶点坐标为，所以，，所以．35 (1) 设椭圆方程为，由焦点坐标可得．由，可得，解得故椭圆方程为．(2) 设，，设的内切圆的径，则的周长为，．因此最大，就最大．由题知，直线的斜率不为零，可设直线的方程为，由得，得则令，则，则当且仅当，时，，所以，这时所求内切圆面积的最大值为．36 (1) 若，令，在上为增函数，，，所以的值域为．(2) 实数，满足，则则，而，，所以，．由题意，，则，所以．又，即，所以，当且仅当时取等号．综上所述，的定义域为．(3)令，，在上恒成立，所以在上单调递增．又，，所以，所以．37 ，可设，则，，又，且，而指数函数是减函数，所以，即注：式“ ”当，时成立．同理，并结合式，得（当且仅当或时取“ ”）38 (1) 的最小正周期为，由，得．又由解得由，即，解得，所以．(2) 由的周期为及，得．令，由，得．如图所示，若在上有两个不同的解，则，所以方程当时恰好有两个不同的解，则，因此，实数的取值范围是．39 (1) 由已知，得．由在处取得极值，得，即，解得．经验证，得适合题意．(2) 由（1）知，．令，则．令，则．令，则．当时，，则函数在上为增函数；当时，，则函数在上为减函数，所以，即对任意，恒成立，即．由，得当时，由得．当时，以代换式中的，得．当时，，由得，，所以，从而函数在上为增函数，于是，当时，，即当时，．再由，得，则函数在上为增函数，所以当时，，即当时，，因此．40 (1) 不妨设的方程为，则的方程为．由得，从而．同理可得．直线的斜率为．由点斜式，得的方程为，即，从而直线过定点．又因为直线过，所以直线的方程为．由得．由弦长公式，得(2) 由（1），得，．由弦长公式，得于是令，则当且仅当时，面积的最大值为．。
高中数学解题技巧方法
高中数学解题技巧方法数学习题无非就是数学概念和数学思想的组合应用，弄清数学基本概念、基本定理、基本方法是推断题目类型、学问范围的前提，是正确把握解题方法的依据。
下面是我为大家整理的关于高中数学解题技巧方法，盼望对您有所关心!高中数学常考题型答题技巧与方法1、解决肯定值问题主要包括化简、求值、方程、不等式、函数等题，基本思路是：把含肯定值的问题转化为不含肯定值的问题。
详细转化方法有：①分类争论法:依据肯定值符号中的数或式子的正、零、负分状况去掉肯定值。
②零点分段争论法：适用于含一个字母的多个肯定值的状况。
③两边平方法：适用于两边非负的方程或不等式。
④几何意义法：适用于有明显几何意义的状况。
2、因式分解依据项数选择方法和根据一般步骤是顺当进行因式分解的重要技巧。
因式分解的一般步骤是：提取公因式选择用公式十字相乘法分组分解法拆项添项法3、配方法利用完全平方公式把一个式子或部分化为完全平方式就是配方法，它是数学中的重要方法和技巧。
配方法的主要依据有：4、换元法解某些简单的特型方程要用到“换元法”。
换元法解方程的一般步骤是：设元→换元→解元→还元5、待定系数法待定系数法是在已知对象形式的条件下求对象的一种方法。
适用于求点的坐标、函数解析式、曲线方程等重要问题的解决。
其解题步骤是：①设②列③解④写6、简单代数等式简单代数等式型条件的使用技巧：左边化零，右边变形。
①因式分解型：(-----)(----)=0两种状况为或型②配成平方型：(----)2+(----)2=0两种状况为且型7、数学中两个最宏大的解题思路(1)求值的思路列欲求值字母的方程或方程组(2)求取值范围的思路列欲求范围字母的不等式或不等式组8、化简二次根式基本思路是：把√m化成完全平方式。
即：9、观看法10、代数式求值方法有：(1)直接代入法(2)化简代入法(3)适当变形法(和积代入法)留意：当求值的代数式是字母的“对称式”时，通常可以化为字母“和与积”的形式，从而用“和积代入法”求值。
高考数学中的梯度问题解决技巧
高考数学中的梯度问题解决技巧在高考数学中，有经常出现的一类题目——梯度问题。
这类题目比较麻烦，需要考生具备一定的数学推导能力和思考能力。
下面，本文将详细介绍高考数学中的梯度问题解决技巧。
一、梯度问题的概念梯度问题是指在空间中任意一点处的切向量，又称为梯度。
在数学上，梯度本身是一个向量，它能够描述某一点处的变化率和变化方向。
二、梯度问题的解决方法1. 利用方向导数计算梯度方向导数对于梯度问题的求解是十分有用的。
具体方法是，设函数z=f(x,y)，则在(x0,y0)点处，偏导数分别为fx和fy。
那么，函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处沿着向量v=(cosα,sinα)的方向导数为：Dv(z)=(fx(x0,y0)cosα+fy(x0,y0)sinα）由此，根据梯度的定义，可以得到函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处的梯度为：gradz(x0,y0)=(fx(x0,y0),fy(x0,y0))2. 利用二元函数的等值线图在解决梯度问题时，如果求出了函数的等值线图，则可以通过等值线图来直观地了解梯度的情况。
具体方法是，将函数z=f(x,y)转化为等值线图，然后在等值线图上寻找梯度的变化情况。
一般来说，等值线图上的等高线与梯度的变化情况是相互关联的。
3. 利用极值点和拐点计算梯度极值和拐点在梯度问题的求解中也有着重要的作用。
根据函数的极值和拐点，可以判断梯度的变化情况。
具体方法是，先计算函数的一阶偏导数和二阶偏导数，并将它们的取值代入函数的临界点中进行分析。
根据分析结果，可以得到梯度的变化情况。
三、梯度问题的实际运用1. 求解函数最大值和最小值在实际生活中，常常需要求解一个函数的最大值和最小值。
这时，可以通过求解函数在某一点处的梯度来解决问题。
具体方法是，找到函数的所有临界点，并比较它们的函数值，即可得到函数的最大值和最小值。
2. 计算函数的频率、渐进线和局部最优解等在工程和经济领域，梯度问题的解决方法也有一定的应用。
换元法在高中数学解题中的应用
换元法在高中数学解题中的应用
换元法是一种常用的数学解题方法，特别是在高中数学中，它广泛应用于函数的求导、不定积分、定积分等问题的解答中。
本文将从函数的定义、基本思想和具体应用三个方面
来介绍换元法在高中数学解题中的应用。
一、函数的定义
在解析几何中，我们知道函数可以看作是平面坐标系中一个个有序的点。
而在数学分
析中，函数被定义为一个集合关系，即对于给定的定义域上的每一个自变量，函数给出了
唯一的依赖变量。
换句话说，函数就是一个输入与输出之间的对应关系。
二、基本思想
换元法的基本思想是将原问题转化为一个新的问题，通过变量的代换，将原问题转化
为处理起来更加方便的形式。
具体而言，就是通过代换变量的方式使得原问题的求解变得
容易或者更加直观。
换元法的核心就在于合适的代换，这需要根据具体的问题来确定。
三、具体应用
1. 函数的求导
在高中数学中，函数的求导是一个常见的问题。
利用换元法可以简化求导的过程。
对
于多项式函数y = f(x) = x^n来说，可以通过变量变换x = t^k，将其转化为y = g(t) = t^m的形式。
然后再求导也就更加容易了。
2. 函数的不定积分
不定积分是求原函数的过程。
换元法可以使得不定积分的计算更加简单。
对于一个复
杂的函数，通过合适的变量代换，可以将其转化为一个更简单的形式，从而使得求不定积
分的过程更加容易。
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换元法解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法。
换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理。
换元法又称辅助元素法、变量代换法。
通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来。
或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化。
它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式，在研究方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用。
换元的方法有：局部换元、三角换元、均值换元等。
局部换元又称整体换元，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现。
例如解不等式：4x＋2x－2≥0，先变形为设2x＝t（t>0），而变为熟悉的一元二次不等式求解和指数方程的问题。
三角换元，应用于去根号，或者变换为三角形式易求时，主要利用已知代数式中与三角知识中有某点联系进行换元。
如求函数y＝x＋1-x的值域时，易发现x∈[0,1]，设x＝sin2α，α∈[0,π2]，问题变成了熟悉的求三角函数值域。
为什么会想到如此设，其中主要应该是发现值域的联系，又有去根号的需要。
如变量x、y适合条件x2＋y2＝r2（r>0）时，则可作三角代换x＝rcosθ、y＝rsinθ化为三角问题。
均值换元，如遇到x＋y＝S形式时，设x＝S2＋t，y＝S2－t等等。
我们使用换元法时，要遵循有利于运算、有利于标准化的原则，换元后要注重新变量范围的选取，一定要使新变量范围对应于原变量的取值范围，不能缩小也不能扩大。
如上几例中的t>0和α∈[0,π2]。
一、再现性题组：1.y＝sinx·cosx＋sinx+cosx的最大值是_________。
2.设f(x2＋1)＝loga(4－x4) （a>1），则f(x)的值域是_______________。
3.已知数列{an }中，a1＝－1，an+1·an＝an+1－an，则数列通项an＝___________。
4.设实数x、y满足x2＋2xy－1＝0，则x＋y的取值范围是___________。
5.方程1313++-xx＝3的解是_______________。
6.不等式log 2(2x －1) ·log 2(2x +1－2)〈2的解集是_______________。
【简解】1小题：设sinx+cosx ＝t ∈[－2,2]，则y ＝t 22＋t －12，对称轴t ＝－1，当t ＝2，y max ＝12＋2； 2小题：设x 2＋1＝t (t ≥1)，则f(t)＝log a [-(t-1)2＋4]，所以值域为(－∞,log a 4]； 3小题：已知变形为11a n +－1a n ＝－1,设b n ＝1a n，则b 1＝－1,b n ＝－1＋(n －1)(-1)＝－n ，所以a n ＝－1n； 4小题：设x ＋y ＝k ，则x 2－2kx ＋1＝0, △＝4k 2－4≥0,所以k ≥1或k ≤－1； 5小题：设3x ＝y ，则3y 2＋2y －1＝0,解得y ＝13，所以x ＝－1； 6小题：设log 2(2x －1)＝y ，则y(y ＋1)<2，解得－2<y<1，所以x ∈(log 254,log 23)。
二、示范性题组：例1. 实数x 、y 满足4x 2－5xy ＋4y 2＝5 （ ①式） ，设S ＝x 2＋y 2，求1S max＋1S min的值。
【分析】 由S ＝x 2＋y 2联想到cos 2α＋sin 2α＝1,于是进行三角换元，设x S y S ==⎧⎨⎪⎩⎪cos sin αα代入①式求S max 和S min 的值。
【解】设x S y S ==⎧⎨⎪⎩⎪cos sin αα代入①式得： 4S －5S ·sin αcos α＝5解得 S ＝10852-sin α；∵ -1≤sin2α≤1 ∴ 3≤8－5sin2α≤13 ∴1013≤1085-sinα≤103∴1Smax＋1Smin＝310＋1310＝1610＝85此种解法后面求S最大值和最小值，还可由sin2α＝810SS-的有界性而求，即解不等式：|810SS-|≤1。
这种方法是求函数值域时经常用到的“有界法”。
【另解】由S＝x2＋y2，设x2＝S2＋t，y2＝S2－t，t∈[－S2，S2]，则xy＝±St224－代入①式得：4S±5St224－=5，移项平方整理得 100t2+39S2－160S＋100＝0 。
∴ 39S2－160S＋100≤0 解得：1013≤S≤103∴1Smax＋1Smin＝310＋1310＝1610＝85【注】此题第一种解法属于“三角换元法”，主要是利用已知条件S＝x2＋y2与三角公式cos2α＋sin2α＝1的联系而联想和发现用三角换元，将代数问题转化为三角函数值域问题。
第二种解法属于“均值换元法”，主要是由等式S＝x2＋y2而按照均值换元的思路，设x2＝S2＋t、y2＝S2－t，减少了元的个数，问题且容易求解。
另外，还用到了求值域的几种方法：有界法、不等式性质法、分离参数法。
和“均值换元法”类似，我们还有一种换元法，即在题中有两个变量x、y时，可以设x＝a＋b，y＝a－b，这称为“和差换元法”，换元后有可能简化代数式。
本题设x＝a＋b，y＝a－b，代入①式整理得3a2＋13b2＝5 ，求得a2∈[0,53]，所以S＝(a－b)2＋(a＋b)2＝2(a2＋b2)＝1013＋2013a2∈[1013,103]，再求1Smax＋1Smin的值。
例2． △ABC 的三个内角A 、B 、C 满足：A ＋C ＝2B ，1cos A ＋1cos C＝－2cos B ，求cosA C-2的值。
【分析】 由已知“A ＋C ＝2B ”和“三角形内角和等于180°”的性质，可得A CB +=⎧⎨⎩12060°＝°；由“A ＋C ＝120°”进行均值换元，则设A C ＝°α＝°－α6060+⎧⎨⎩ ，再代入可求cos α即cosA C-2。
【解】由△ABC 中已知A ＋C ＝2B ，可得 A C B +=⎧⎨⎩12060°＝°,由A ＋C ＝120°，设A C ＝°α＝°－α6060+⎧⎨⎩，代入已知等式得：1cos A ＋1cos C ＝160cos()︒+α＋160cos()︒-α＝11232cos sin αα-＋11232cos sin αα+＝cos cos sin ααα143422-＝cos cos αα234-＝－22, 解得：cos α＝22， 即：cos A C -2＝22。
【另解】由A ＋C ＝2B ，得A ＋C ＝120°，B ＝60°。
所以1cos A ＋1cos C＝－2cos B＝－22，设1cos A ＝－2＋m ，1cos C＝－2－m ，所以cosA ＝12-+m ，cosC ＝12--m，两式分别相加、相减得：cosA ＋cosC ＝2cosA C +2cos A C -2＝cos A C-2＝2222m -，cosA－cosC＝－2sin A C+2sinA C-2＝－3sinA C-2＝222mm-，即：sin A C-2＝－2322mm()-，＝－2222m-，代入sin2A C-2＋cos2A C-2＝1整理得：3m4－16m－12＝0,解出m2＝6，代入cos A C-2＝2222m-＝22。
【注】本题两种解法由“A＋C＝120°”、“1cos A＋1cos C＝－22”分别进行均值换元，随后结合三角形角的关系与三角公式进行运算，除由已知想到均值换元外，还要求对三角公式的运用相当熟练。
假如未想到进行均值换元，也可由三角运算直接解出：由A＋C＝2B，得A＋C＝120°，B＝60°。
所以1cos A＋1cos C＝－2cos B＝－22，即cosA＋cosC＝－22cosAcosC，和积互化得：2cos A C+2cosA C-2＝－2[cos(A+C)＋cos(A-C)，即cosA C-2＝22－2cos(A-C)＝22－2(2cos2A C-2－1)，整理得：42cos2A C-2＋2cosA C-2－32＝0,解得：cos A C-2＝22例3.设a>0，求f(x)＝2a(sinx＋cosx)－sinx·cosx－2a2的最大值和最小值。
【解】设sinx＋cosx＝t，则t∈[-2,2]，由(sinx＋cosx)2＝1＋2sinx·cosx得：sinx·cosx＝t21 2-∴ f(x)＝g(t)＝－12(t－2a)2＋12（a>0），t∈[-2,2]t＝-2时，取最小值：－2a2－22a－1 2当2a ≥2时，t ＝2，取最大值：－2a 2＋22a －12； 当0<2a ≤2时，t ＝2a ，取最大值：12。
∴ f(x)的最小值为－2a 2－22a －12，最大值为1202222212222()()<<-+-≥⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪a a a a 。
【注】 此题属于局部换元法，设sinx ＋cosx ＝t 后，抓住sinx ＋cosx 与sinx ·cosx的内在联系，将三角函数的值域问题转化为二次函数在闭区间上的值域问题，使得容易求解。
换元过程中一定要注意新的参数的范围（t ∈[-2,2]）与sinx ＋cosx 对应，否则将会出错。
本题解法中还包含了含参问题时分类讨论的数学思想方法，即由对称轴与闭区间的位置关系而确定参数分两种情况进行讨论。
一般地，在遇到题目已知和未知中含有sinx 与cosx 的和、差、积等而求三角式的最大值和最小值的题型时，即函数为f(sinx ±cosx ，sinxcsox)，经常用到这样设元的换元法，转化为在闭区间上的二次函数或一次函数的研究。
例4. 设对所于有实数x ，不等式x 2log 241()a a +＋2x log 221aa +＋log 2()a a +1422>0恒成立，求a 的取值范围。
【分析】不等式中log 241()a a +、 log 221a a +、log 2()a a +1422三项有何联系？进行对数式的有关变形后不难发现，再实施换元法。
【解】 设log 221a a +＝t ，则log 241()a a +＝log 2812()a a +＝3＋log 2a a+12＝3－log 221a a +＝3－t ，log 2()a a +1422＝2log 2a a+12＝－2t ， 代入后原不等式简化为（3－t ）x 2＋2tx －2t>0，它对一切实数x 恒成立，所以：3048302->=+-<⎧⎨⎩t t t t ∆()，解得t t t <<>⎧⎨⎩306或 ∴ t<0即log 221a a +<0 0<21aa +<1，解得0<a<1。