第20课时反比例函数在中考中的常见题型(含答案)

第20课时《反比例函数在中考中的常见题型》◆知识讲解：1．反比例函数的图像是双曲线，故也称双曲线y=kx（k≠0）．2．反比例函数y=kx（k≠0）的性质（1）当k>0时⇔函数图像的两个分支分别在第一，三象限内⇔在每一象限内，y随x的增大而减小．（2）当k<0时⇔函数图像的两个分支分别在第二，四象限内⇔在每一象限内，y随x的增大而增大．（3）在反比例函数y=kx中，其解析式变形为xy=k，故要求k的值，•也就是求其图像上一点横坐标与纵坐标之积，•通常将反比例函数图像上一点的坐标当作某一元二次方程的两根，运用两根之积求k的值．（4）若双曲线y=kx图像上一点（a，b）满足a，b是方程Z2－4Z－2=0的两根，求双曲线的解析式．由根与系数关系得ab=－2，又ab=k，∴k=－2，故双曲线的解析式是y=2x-．（5）由于反比例函数中自变量x和函数y的值都不能为零，所以图像和x轴，y•轴都没有交点，但画图时要体现出图像和坐标轴无限贴近的趋势．◆经典例题：例1（2006，上海市）如图，在直角坐标系中，O为原点，点A在第一象限，它的纵坐标是横坐标的3倍，反比例函数y=12x的图像经过点A，（1）求点A的坐标；（2）如果经过点A的一次函数图像与y轴的正半轴交于点B，且OB=AB，•求这个一次函数的解析式．例2 如图，已知Rt△ABC的顶点A是一次函数y=x+m与反比例函数y=mx的图像在第一象限内的交点，且S△AOB=3．（1）该一次函数与反比例函数的解析式是否能完全确定？如能确定，•请写出它们的解析式；如不能确定，请说明理由．（2）如果线段AC的延长线与反比例函数的图像的另一支交于D点，过D作DE⊥x•轴于E，那么△ODE的面积与△AOB的面积的大小关系能否确定？（3）请判断△AOD为何特殊三角形，并证明你的结论．◆强化训练：一、填空题1．（2006，南通）如图1，直线y=kx（k>0）与双曲线y=4x 交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，•则2x1y2－7x2y1的值等于_______．图1 图2 图3 2．（2006，重庆）如图2，矩形AOCB的两边OC，OA分别位于x轴，y轴上，点B的坐标为B（－203，5），D是AB边上的一点，将△ADO沿直线OD翻折，使A 点恰好落在对角线OB上的点E处，若点E在一反比例函数的图像上，那么该函数的解析式是______．3．近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（m）成反比例，已知400•度近视眼镜镜片的焦距为0.25m，则y与x的函数关系式为_______．4．若y=2131a aax--+中，y与x为反比例函数，则a=______．若图像经过第二象限内的某点，则a=______．5．反比例函数y=kx的图像上有一点P（a，b），且a，b是方程t2－4t－2=0的两个根，则k=_______；点P到原点的距离OP=_______．6．已知双曲线xy=1与直线y=－x+b 无交点，则b 的取值范围是______． 7．反比例函数y=kx的图像经过点P （a ，b ），其中a ，b 是一元二次方程x 2+kx+4=0的两个根，那么点P 的坐标是_______．8．（2008，咸宁）两个反比例函数y=k x 和y=1x在第一象限内的图像如图3所示，•点P 在y=k x 的图像上，PC ⊥x 轴于点C ，交y=1x 的图像于点A ，PD ⊥y 轴于点D ，交y=1x 的图像于点B ，•当点P 在y=kx的图像上运动时，以下结论：①△ODB 与△OCA 的面积相等；②四边形PAOB 的面积不会发生变化； ③PA 与PB 始终相等④当点A 是PC 的中点时，点B 一定是PD 的中点．其中一定正确的是_______（把你认为正确结论的序号都填上，•少填或错填不给分）． 二、选择题9．（2008，济南）如图4所示，等腰直角三角形ABC 位于第一象限，AB=AC=2，直角顶点A 在直线y=x 上，其中A 点的横坐标为1，且两条直角边AB ，AC 分别平行于x 轴，y 轴，•若双曲线y=kx（k≠0）与△ABC 有交点，则k 的取值范围是（ ） A ．1<k<2 B ．1≤k≤3 C ．1≤k≤4 D ．1≤k<4图4 图5 图610．反比例函数y=k x（k>0）的第一象限内的图像如图5所示，P 为该图像上任意一点，PQ 垂直于x 轴，垂足为Q ，设△POQ 的面积为S ，则S 的值与k 之间的关系是（ ） A ．S=4k B ．S=2kC ．S=kD ．S>k11．如图6，已知点A 是一次函数y=x 的图像与反比例函数y=2x的图像在第一象限内的交点，点B 在x 轴的负半轴上，且OA=OB ，那么△AOB 的面积为（ ） A ．2 B ．22C ．2D ．22 12．函数y=mx与y=mx －m （m≠0）在同一平面直角坐标系中的图像可能是（ ）13．如果不等式mx+n<0的解集是x>4，点（1，n ）在双曲线y=2x上，那么函数y=（n －1）x+2m 的图像不经过（ ）A ．第一象限 B ．第二象限 C 第三象限 D ．第四象限 14．（2006，攀枝花）正比例函数y=2kx 与反比例函数y=1k x在同一坐标系中的图像不可能是（ ）15．已知P 为函数y=2x的图像上一点，且P 到原点的距离为3，则符合条件的P 点数为（ ）A ．0个 B ．2个 C ．4个 D ．无数个 16．如图，A ，B 是函数y=1x的图像上关于原点O 对称的任意两点，AC 平行于y 轴，•交x 轴于点C ，BD 平行于y 轴，交x 轴于点D ，设四边形ADBC 的面积为S ，则（ ）A ．S=1B ．1<S<2C ．S=2D ．S>2三、解答题17．已知：如图，反比例函数y=－8 x与一次函数y=－x+2的图像交于A，B两点，求：（1）A，B两点的坐标；（2）△AOB的面积．18．（2006，广州白云区）如图，已知一次函数y=kx+b的图像与反比例函数y=－8x的图像交于A，B两点，且点A的横坐标和点B的纵坐标都是－2，求：（1）一次函数的解析式；（2）△AOB的面积．19．已知函数y=kx的图像上有一点P（m，n），且m，n是关于x方程x2－4ax+4a2－6a－8=0•的两个实数根，其中a是使方程有实根的最小整数，求函数y=kx的解析式．20．（2006，北京市）在平面直角坐标系Oxy中，直线y=－x绕点O顺时针旋转90•°得到直线L．直线L与反比例函数y=kx的图像的一个交点为A（a，3），试确定反比例函数的解析式．21．（2008，南通）如图所示，已知双曲线y=kx与直线y=14x相交于A，B两点．第一象限上的点M（m，n）（在A点左侧）是双曲线y=kx上的动点．过点B作BD∥y 轴交x轴于点D．•过N（0，－n）作NC∥x轴交双曲线y=kx于点E，交BD于点C．（1）若点D的坐标是（－8，0），求A，B两点的坐标及k的值；（2）若B是CD的中点，四边形OBCE的面积为4，求直线CM的解析式；（3）设直线AM，BM分别与y轴相交于P，Q两点，且MA=pMP，MB=qMQ，求p－q的值．22．如图，在等腰梯形ABCD中，CD∥AB，CD=6，AD=10，∠A=60°，以CD•为弦的弓形弧与AD相切于D，P是AB上的一个动点，可以与B重合但不与A重合，DP•交弓形弧于Q．（1）求证：△CDQ∽△DPA；（2）设DP=x，CQ=y，试写出y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（3）当DP之长是方程x2－8x－20=0的一根时，求四边形PBCQ的面积．第20课时《反比例函数在中考中的常见题型》（答案）◆经典例题 例1 （2006，上海市）如图，在直角坐标系中，O 为原点，点A 在第一象限，它的纵坐标是横坐标的3倍，反比例函数y=12x的图像经过点A ，（1）求点A 的坐标；（2）如果经过点A 的一次函数图像与y 轴的正半轴交于点B ，且OB=AB ，•求这个一次函数的解析式． 【分析】（1）用含一个字母a 的代数式表示点A 的横坐标，纵坐标，把点A 的坐标代入y=12x可求得a 的值，从而得出点A 的坐标．（2）设点B 的坐标为（0，m ），根据OB=AB ，可列出关于m 的一个不等式，•从而求出点B 的坐标，进而求出经过点A ，B 的直线的解析式．【解答】（1）由题意，设点A 的坐标为（a ，3a ），a>0．∵点A 在反比例函数y=12x 的图像上，得3a=12a，解得a 1=2，a 2=－2，经检验a 1=2，a 2=－2•是原方程的根，但a 2=－2不符合题意，舍去．∴点A 的坐标为（2，6）．（2）由题意，设点B 的坐标为（0，m ）．∵m>0，∴22(6)2m -+m=103，经检验m=103是原方程的根，∴点B 的坐标为（0，1013）．设一次函数的解析式为y=kx+1013．由于这个一次函数图像过点A （2，6），∴6=2k+103，得k=43．∴所求一次函数的解析式为y=43x+103．例2 如图，已知Rt △ABC 的顶点A 是一次函数y=x+m 与反比例函数y=mx的图像在第一象限内的交点，且S △AOB =3．（1）该一次函数与反比例函数的解析式是否能完全确定？如能确定，•请写出它们的解析式；如不能确定，请说明理由．（2）如果线段AC 的延长线与反比例函数的图像的另一支交于D 点，过D 作DE ⊥x•轴于E ，那么△ODE 的面积与△AOB 的面积的大小关系能否确定？（3）请判断△AOD 为何特殊三角形，并证明你的结论．【分析】△AOB 是直角三角形，所以它的面积是两条直角边之积的12，•而反比例函数图像上任一点的横坐标，纵坐标之积就是反比例函数中的系数．由题意不难确定m ，则所求一次函数，反比例函数的解析式就确定了． 由反比例函数的定义可知，过反比例函数图像上任一点作x 轴，y 轴的垂线，•该点与两垂足及原点构成的矩形的面积都是大小相等的．【解答】（1）设B （x ，0），则A （x 0，0m x ），其中0>0，m>0． 在Rt △ABO 中，AB=0mx ，OB=x 0． 则S △ABO =12·x 0·0m x =3，即m=6．所以一次函数的解析式为y=x+6；反比例函数的解析式为y=6x ．（2）由66y x y x=+⎧⎪⎨=⎪⎩得x 2+6x －6=0，解得x 1=－15x 2=－315∴A （－1515，D （－315315．由反比例函数的定义可知，对反比例函数图像上任意一点P （x ，y ），有 y=6x．即xy=6． ∴S △DEO =12│x D y D │=3，即S △DEO =S △ABO ．（3）由A （－1515和D （－315315可得33即AO=DO ．由图可知∠AOD>90°，∴△AOD 为钝角等腰三角形．【点评】特殊三角形主要指边的关系和角的关系．通过对直观图形的观察，借助代数运算验证，便不难判断． ◆强化训练答案:1．20 2．y=－12x 3．y=100x4．2或－1；－1 5．－2；5 6．0≤b<4 7．（－2，－2），8．①②④ 9．C 10．B 11．C 12．C 13．B 14．D 15．A 16．C17．（1）由82y x y x ⎧=-⎪⎨⎪=-+⎩，解得1142x y =⎧⎨=-⎩，1124x y =-⎧⎨=⎩ ∴A （－2，4），B （4，－2）．（2）当y=0时，x=2，故y=－x+2与x 轴交于M （2，0），∴OM=2．∴S △AOB =S △AOM +S △BOM =12OM·│y A │+12OM·│y B │=12·2·4+12·2·2=4+2=6．18．（1）y=－x+2 （2）S △AOB =619．由△=（－4a ）2－4（4a 2－6a －8）≥0得a≥－43， 又∵a 是最小整数，∴a=－1． ∴二次方程即为x 2+4x+2=0，又mn=2，而（m ，n ）在y=k x 的图像上，∴n=k m ，∴mn=k ，∴k=2，∴y=2x． 20．依题意得，直线L 的解析式为y=x ．∵A （a ，3）在直线y=x 上， 则a=3．即A （3，3）．又∵A （3，3）在y=k x 的图像上，可求得k=9．∴反比例函数的解析式为y=9x．21．（1）∵D （－8，0），∴B 点的横坐标为－8，代入y=14x 中，得y=－2．∴B 点坐标为（－8，－2），而A ，B 两点关于原点对称，∴A （8，2）． 从而k=8×2=16．（2）∵N （0，－n ），B 是CD 的中点，A ，B ，M ，E 四点均在双曲线上，∴mn=k ，B （－2m ，－2n），C （－2m ，－n ），E （－m ，－n ）． S 矩形DCNO =2mn=2k ，S △DBO =12mn=12k ，S △OEN =12mn=12k ，∴S 四边形OBCE =S 矩形DCNO －S △DBO －S △OEN =k ． ∴k=4． 由直线y=14x 及双曲线y=4x，得A （4，1），B （－4，－1）， ∴C （－4，－2），M （2，2）． 设直线CM 的解析式是y=ax+b ，由C ，M 两点在这条直线上，得 42,2 2.a b a b -+=-⎧⎨+=⎩解得a=b=23．∴直线CM 的解析式是y=23x+23． （3）如图所示，分别作AA 1⊥x 轴，MM 1⊥x 轴，垂足分别为A 1，M 1．设A 点的横坐标为a ，则B 点的横坐标为－a ，于是p=111A M MA a m MP M O m -==． 同理q=MB MQ =m am+， ∴p －q=a m m -－m am+=－2． 22．（1）证∠CDQ=∠DPA ，∠DCQ=∠PDA ． （2）y=60x（185．（3）S 四边形PBCQ =48－3。