反比例函数知识点及题型归纳(培优)练习题
九年级数学 反比例函数的专项 培优练习题含答案解析
九年级数学反比例函数的专项培优练习题含答案解析一、反比例函数1．已知：如图，正比例函数y=ax的图象与反比例函数y= 的图象交于点C（3，1）（1）试确定上述比例函数和反比例函数的表达式；（2）根据图象回答，在第一象限内，当x取何值时，反比例函数的值大于正比例函数的值？（3）点D（m，n）是反比例函数图象上的一动点，其中0＜m＜3，过点C作直线AC⊥x 轴于点A，交OD的延长线于点B；若点D是OB的中点，DE⊥x轴于点E，交OC于点F，试求四边形DFCB的面积．【答案】（1）解：将点C（3，1）分别代入y= 和y=ax，得：k=3，a= ，∴反比例函数解析式为y= ，正比例函数解析式为y= x；（2）解：观察图象可知，在第二象限内，当0＜x＜3时，反比例函数值大于正比例函数值；（3）解：∵点D（m，n）是OB的中点，又在反比例函数y= 上，∴OE= OA= ，点D（，2），∴点B（3，4），又∵点F在正比例函数y= x图象上，∴F（，），∴DF= 、BC=3、EA= ，∴四边形DFCB的面积为 ×（ +3）× = ．【解析】【分析】（1）利用待定系数法把C坐标代入解析式即可；（2）须数形结合，先找出交点，在交点的左侧与y轴之间，反比例函数值大于正比例函数值.（3）求出DF、BC、EA，代入梯形面积公式即可.2．如图，点P（ +1，﹣1）在双曲线y= （x＞0）上．（1）求k的值；（2）若正方形ABCD的顶点C，D在双曲线y= （x＞0）上，顶点A，B分别在x轴和y 轴的正半轴上，求点C的坐标．【答案】（1）解：点P（，）在双曲线上，将x= ，y= 代入解析式可得：k=2；（2）解：过点D作DE⊥OA于点E，过点C作CF⊥OB于点F，∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD=BC，∠CBA=90°，∴∠FBC+∠OBA=90°，∵∠CFB=∠BOA=90°，∴∠FCB+∠FBC=90°，∴∠FBC=∠OAB，在△CFB和△AOB中，，∴△CFB≌△AOB（AAS），同理可得：△BOA≌△AED≌△CFB，∴CF=OB=AE=b，BF=OA=DE=a，设A（a，0），B（0，b），则D（a+b，a）C（b，a+b），可得：b（a+b）=2，a（a+b）=2，解得：a=b=1．所以点C的坐标为：（1，2）．【解析】【分析】（1）由待定系数法把P坐标代入解析式即可；（2）C、D均在双曲线上，它们的坐标就适合解析式，设出C坐标，再由正方形的性质可得△CFB≌△AOB△BOA≌△AED≌△CFB，代入解析式得b（a+b）=2，a（a+b）=2，即可求出C坐标.3．如图1，经过原点的抛物线y=ax2+bx+c与x轴的另一个交点为点C；与双曲线y= 相交于点A，B；直线AB与分别与x轴、y轴交于点D，E．已知点A的坐标为（﹣1，4），点B在第四象限内且到x轴、y轴的距离相等．（1）求双曲线和抛物线的解析式；（2）计算△ABC的面积；（3）如图2，将抛物线平移至顶点在原点上时，直线AB随之平移，试判断：在y轴的负半轴上是否存在点P，使△PAB的内切圆的圆心在y轴上？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）解：把点A的坐标代入双曲线的解析式得：k=﹣1×4=﹣4．所以双曲线的解析式为y=﹣．设点B的坐标为（m，﹣m）．∵点B在双曲线上，∴﹣m2=﹣4，解得m=2或m=﹣2．∵点B在第四象限，∴m=2．∴B（2，﹣2）．将点A、B、C的坐标代入得：，解得：．∴抛物线的解析式为y=x2﹣3x．（2）解：如图1，连接AC、BC．令y=0，则x2﹣3x=0，∴x=0或x=3，∴C（3，0），∵A（﹣1，4），B（2，﹣2），∴直线AB的解析式为y=﹣2x+2，∵点D是直线AB与x轴的交点，∴D（1，0），∴S△ABC=S△ADC+S△BDC= ×2×4+ ×2×2=6；（3）解：存在，理由：如图2，由原抛物线的解析式为y=x2﹣3x=（x﹣）2﹣，∴原抛物线的顶点坐标为（，﹣），∴抛物线向左平移个单位，再向上平移个单位，而平移前A（﹣1，4），B（2，﹣2），∴平移后点A（﹣，），B（，），∴点A关于y轴的对称点A'（，），连接A'B并延长交y轴于点P，连接AP，由对称性知，∠APE=∠BPE，∴△APB的内切圆的圆心在y轴上，∵B（，），A'（，），∴直线A'B的解析式为y=3x﹣，∴P（0，﹣）．【解析】【分析】（1）首先将点A的坐标代入反比例函数的解析式求得k的值，然后再求得B的值，最后根据点A的坐标求出双曲线的解析式，进而得出点B的坐标，最后，将点A、B、O三点的坐标代入抛物线的解析式，求得a、b、c的值即可；（2）由点A和点B的坐标可求得直线AB的解析式，然后将y=0可求得点D的横坐标，最后用三角形的面积和求解即可；（3）先确定出平移后点A，B的坐标，进而求出点A关于y轴的对称点的坐标，求出直线BA'的解析式即可得出点P的坐标.4．理数学兴趣小组在探究如何求tan15°的值，经过思考、讨论、交流，得到以下思路：思路一如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，延长CB至点D，使BD=BA，连接AD．设AC=1，则BD=BA=2，BC= ．tanD=tan15°= = = ．思路二利用科普书上的和（差）角正切公式：tan（α±β）= ．假设α=60°，β=45°代入差角正切公式：tan15°=tan（60°﹣45°）= == ．思路三在顶角为30°的等腰三角形中，作腰上的高也可以…思路四…请解决下列问题（上述思路仅供参考）．（1）类比：求出tan75°的值；（2）应用：如图2，某电视塔建在一座小山上，山高BC为30米，在地平面上有一点A，测得A，C两点间距离为60米，从A测得电视塔的视角（∠CAD）为45°，求这座电视塔CD的高度；（3）拓展：如图3，直线与双曲线交于A，B两点，与y轴交于点C，将直线AB绕点C旋转45°后，是否仍与双曲线相交？若能，求出交点P的坐标；若不能，请说明理由．【答案】（1）解：方法一：如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，延长CB至点D，使BD=BA，连接AD．设AC=1，则BD=BA=2，BC= ．tan∠DAC=tan75°= = = = ；方法二：tan75°=tan（45°+30°）= = = =（2）解：如图2，在Rt△ABC中，AB= = = ，sin∠BAC= ，即∠BAC=30°．∵∠DAC=45°，∴∠DAB=45°+30°=75°．在Rt△ABD中，tan∠DAB= ，∴DB=AB•tan∠DAB= •（）= ，∴DC=DB﹣BC= = ．答：这座电视塔CD的高度为（）米（3）解：①若直线AB绕点C逆时针旋转45°后，与双曲线相交于点P，如图3．过点C 作CD∥x轴，过点P作PE⊥CD于E，过点A作AF⊥CD于F．解方程组：，得：或，∴点A（4，1），点B（﹣2，﹣2）．对于，当x=0时，y=﹣1，则C（0，﹣1），OC=1，∴CF=4，AF=1﹣（﹣1）=2，∴tan∠ACF= ，∴tan∠PCE=tan（∠ACP+∠ACF）=tan（45°+∠ACF）= = =3，即 =3．设点P的坐标为（a，b），则有：，解得：或，∴点P的坐标为（﹣1，﹣4）或（，3）；②若直线AB绕点C顺时针旋转45°后，与x轴相交于点G，如图4．由①可知∠ACP=45°，P（，3），则CP⊥CG．过点P作PH⊥y轴于H，则∠GOC=∠CHP=90°，∠GCO=90°﹣∠HCP=∠CPH，∴△GOC∽△CHP，∴．∵CH=3﹣（﹣1）=4，PH= ，OC=1，∴，∴GO=3，G（﹣3，0）．设直线CG的解析式为，则有：，解得：，∴直线CG的解析式为．联立：，消去y，得：，整理得：，∵△= ，∴方程没有实数根，∴点P 不存在．综上所述：直线AB绕点C旋转45°后，能与双曲线相交，交点P的坐标为（﹣1，﹣4）或（，3）．【解析】【分析】tan∠DAC=tan75°，tan∠DAC用边的比值表示.在Rt△ABC中，由勾股定理求出AB，由三角函数得出∠BAC=30°，从而得到∠DAB=75°，在Rt△ABD中，可求出DB，DC=DB﹣BC.分两种情况讨论，设点P的坐标为（a，b），根据tan∠PCE和P在图像上列出含有a，b的方程组，求出a，b.利用已知证明△GOC∽△CHP，根据相似三角形的性质可求出G的坐标，设出直线CG的解析式，与反比例函数组成方程组消元，△<0 点P不存在.5．如图，在矩形OABC中，OA=6，OC=4，F是AB上的一个动点（F不与A，B重合），过点F的反比例函数的图象与BC边交于点E.（1）当F为AB的中点时，求该函数的解析式；（2）当k为何值时，△EFA的面积最大，最大面积是多少？【答案】（1）解：∵在矩形OABC中，OA=6，OC=4，∴B（6，4），∵F为AB的中点，∴F（6，2），又∵点F在反比例函数（k＞0）的图象上，∴k=12，∴该函数的解析式为y= （x＞0）（2）解：由题意知E，F两点坐标分别为E（，4），F（6，），∴，==== ，∴当k=12时，S有最大值．S最大=3【解析】【分析】）当F为AB的中点时，点F的坐标为（3，1），由此代入求得函数解析式即可；根据图中的点的坐标表示出三角形的面积，得到关于k的二次函数，利用二次函数求出最值即可．6．如图，过原点的直线y=k1x和y=k2x与反比例函数y= 的图象分别交于两点A，C和B，D，连接AB，BC，CD，DA．（1）四边形ABCD一定是________四边形；（直接填写结果）（2）四边形ABCD可能是矩形吗？若可能，试求此时k1，k2之间的关系式；若不能，说明理由；（3）设P（x1，y1），Q（x2，y2）（x2＞x1＞0）是函数y= 图象上的任意两点，a=，b= ，试判断a，b的大小关系，并说明理由．【答案】（1）平行（2）解：∵正比例函数y=k1x（k1＞0）与反比例函数y= 的图象在第一象限相交于A，∴k1x= ，解得x= （因为交于第一象限，所以负根舍去，只保留正根）将x= 带入y=k1x得y= ，故A点的坐标为（，）同理则B点坐标为（，），又∵OA=OB，∴ = ，两边平方得： +k1= +k2，整理后得（k1﹣k2）（k1k2﹣1）=0，∵k1≠k2，所以k1k2﹣1=0，即k1k2=1；（3）解：∵P（x1， y1），Q（x2， y2）（x2＞x1＞0）是函数y= 图象上的任意两点，∴y1= ，y2= ，∴a= = = ，∴a﹣b= ﹣ = = ，∵x2＞x1＞0，∴＞0，x1x2＞0，（x1+x2）＞0，∴＞0，∴a﹣b＞0，∴a＞b．【解析】【解答】解：（1）∵直线y=k1x和y=k2x与反比例函数y= 的图象关于原点对称，∴OA=OC，OB=OD，∴四边形ABCD 是平行四边形；故答案为：平行；【分析】（1）由直线y=k1x和y=k2x与反比例函数y= 的图象关于原点对称，即可得到结论．（2）联立方程求得A、B点的坐标，然后根据OA=OB，依据勾股定理得出 = ，两边平分得 +k1= +k2，整理后得（k1﹣k2）（k1k2﹣1）=0，根据k1≠k2，则k1k2﹣1=0，即可求得；（3）由P（x1，y1），Q（x2，y2）（x2＞x1＞0）是函数y= 图象上的任意两点，得到y1= ，y2= ，求出a= = = ，得到a﹣b= ﹣ = = ＞0，即可得到结果．7．已知一次函数y1=x+m的图象与反比例函数y2= 的图象交于A、B两点，已知当x＞1时，y1＞y2；当0＜x＜1时，y1＜y2．（1）求一次函数的函数表达式；（2）已知反比例函数在第一象限的图象上有一点C到x轴的距离为2，求△ABC的面积．【答案】（1）解：∵当x＞1时，y1＞y2；当0＜x＜1时，y1＜y2，∴点A的横坐标为1，代入反比例函数解析式，=y，解得y=6，∴点A的坐标为（1，6），又∵点A在一次函数图象上，∴1+m=6，解得m=5，∴一次函数的解析式为y1=x+5（2）解：∵第一象限内点C到x轴的距离为2，∴点C的纵坐标为2，∴2= ，解得x=3，∴点C的坐标为（3，2），过点C作CD∥x轴交直线AB于D，则点D的纵坐标为2，∴x+5=2，解得x=﹣3，∴点D的坐标为（﹣3，2），∴CD=3﹣（﹣3）=3+3=6，点A到CD的距离为6﹣2=4，联立，解得（舍去），，∴点B的坐标为（﹣6，﹣1），∴点B到CD的距离为2﹣（﹣1）=2+1=3，S△ABC=S△ACD+S△BCD= ×6×4+ ×6×3=12+9=21．【解析】【分析】（1）首先根据x＞1时，y1＞y2，0＜x＜1时，y1＜y2确定点A的横坐标，然后代入反比例函数解析式求出点A的纵坐标，从而得到点A的坐标，再利用待定系数法求直线解析式解答；（2）根据点C到x轴的距离判断出点C的纵坐标，代入反比例函数解析式求出横坐标，从而得到点C的坐标，过点C作CD∥x轴交直线AB于D，求出点D 的坐标，然后得到CD的长度，再联立一次函数与双曲线解析式求出点B的坐标，然后△ABC的面积=△ACD的面积+△BCD的面积，列式进行计算即可得解．8．已知一次函数y=− x−12的图象分别交x轴，y轴于A，C两点。
九年级数学反比例函数的专项培优练习题含答案
九年级数学反比例函数的专项培优练习题含答案一、反比例函数1．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y= 的图象与一次函数y=ax+b的图象交于点A（﹣2，3）和点B（m，﹣2）．（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）直线x=1上有一点P，反比例函数图象上有一点Q，若以A、B、P、Q为顶点的四边形是以AB为边的平行四边形，直接写出点Q的坐标．【答案】（1）解：∵点A（﹣2，3）在反比例函数y= 的图形上，∴k=﹣2×3=﹣6，∴反比例函数的解析式为y=﹣，∵点B在反比例函数y=﹣的图形上，∴﹣2m=﹣6，∴m=3，∴B（3，﹣2），∵点A，B在直线y=ax+b的图象上，∴，∴，∴一次函数的解析式为y=﹣x+1（2）解：∵以A、B、P、Q为顶点的四边形是以AB为边的平行四边形，∴AB=PQ，AB∥PQ，设直线PQ的解析式为y=﹣x+c，设点Q（n，﹣），∴﹣ =﹣n+c，∴c=n﹣，∴直线PQ的解析式为y=﹣x+n﹣，∴P（1，n﹣﹣1），∴PQ2=（n﹣1）2+（n﹣﹣1+ ）2=2（n﹣1）2，∵A（﹣2，3）．B（3，﹣2），∴AB2=50，∵AB=PQ，∴50=2（n﹣1）2，∴n=﹣4或6，∴Q（﹣4. ）或（6，﹣1）【解析】【分析】（1）先利用待定系数法求出反比例函数解析式，进而求出点B的坐标，再用待定系数法求出直线解析式；（2）先判断出AB=PQ，AB∥PQ，设出点Q的坐标，进而得出点P的坐标，即可求出PQ，最后用PQ=AB建立方程即可得出结论．2．如图，点P（x，y1）与Q（x，y2）分别是两个函数图象C1与C2上的任一点．当a≤x≤b 时，有﹣1≤y1﹣y2≤1成立，则称这两个函数在a≤x≤b上是“相邻函数”，否则称它们在a≤x≤b 上是“非相邻函数”．例如，点P（x，y1）与Q （x，y2）分别是两个函数y=3x+1与y=2x﹣1图象上的任一点，当﹣3≤x≤﹣1时，y1﹣y2=（3x+1）﹣（2x﹣1）=x+2，通过构造函数y=x+2并研究它在﹣3≤x≤﹣1上的性质，得到该函数值的范围是﹣1≤y≤1，所以﹣1≤y1﹣y2≤1成立，因此这两个函数在﹣3≤x≤﹣1上是“相邻函数”．（1）判断函数y=3x+2与y=2x+1在﹣2≤x≤0上是否为“相邻函数”，并说明理由；（2）若函数y=x2﹣x与y=x﹣a在0≤x≤2上是“相邻函数”，求a的取值范围；（3）若函数y= 与y=﹣2x+4在1≤x≤2上是“相邻函数”，直接写出a的最大值与最小值．【答案】（1）解：是“相邻函数”，理由如下：y1﹣y2=（3x+2）﹣（2x+1）=x+1，构造函数y=x+1，∵y=x+1在﹣2≤x≤0，是随着x的增大而增大，∴当x=0时，函数有最大值1，当x=﹣2时，函数有最小值﹣1，即﹣1≤y≤1，∴﹣1≤y1﹣y2≤1，即函数y=3x+2与y=2x+1在﹣2≤x≤0上是“相邻函数”（2）解：y1﹣y2=（x2﹣x）﹣（x﹣a）=x2﹣2x+a，构造函数y=x2﹣2x+a，∵y=x2﹣2x+a=（x﹣1）2+（a﹣1），∴顶点坐标为：（1，a﹣1），又∵抛物线y=x2﹣2x+a的开口向上，∴当x=1时，函数有最小值a﹣1，当x=0或x=2时，函数有最大值a，即a﹣1≤y≤a，∵函数y=x2﹣x与y=x﹣a在0≤x≤2上是“相邻函数”，∴﹣1≤y1﹣y2≤1，即，∴0≤a≤1（3）解：y1﹣y2= ﹣（﹣2x+4）= +2x﹣4，构造函数y= +2x﹣4，∵y= +2x﹣4∴当x=1时，函数有最小值a﹣2，当x=2时，函数有最大值，即a﹣2≤y≤ ，∵函数y= 与y=﹣2x+4在1≤x≤2上是“相邻函数”，∴﹣1≤y1﹣y2≤1，即，∴1≤a≤2；∴a的最大值是2，a的最小值1【解析】【分析】（1）y1﹣y2=（3x+2）﹣（2x+1）=x+1，构造函数y=x+1，因为y=x+1在﹣2≤x≤0，是随着x的增大而增大，所以当x=0时，函数有最大值1，当x=﹣2时，函数有最小值﹣1，即﹣1≤y≤1，所以﹣1≤y1﹣y2≤1，即函数y=3x+2与y=2x+1在﹣2≤x≤0上是“相邻函数”；（2）y1﹣y2=（x2﹣x）﹣（x﹣a）=x2﹣2x+a，构造函数y=x2﹣2x+a，因为y=x2﹣2x+a=（x﹣1）2+（a﹣1），所以顶点坐标为：（1，a﹣1），又抛物线y=x2﹣2x+a的开口向上，所以当x=1时，函数有最小值a﹣1，当x=0或x=2时，函数有最大值a，即a﹣1≤y≤a，因为函数y=x2﹣x与y=x﹣a在0≤x≤2上是“相邻函数”，所以﹣1≤y1﹣y2≤1，即0≤a≤1；（3）当x=1时，函数有最小值a﹣2，当x=2时，函数有最大值，因为函数y=与y=﹣2x+4在1≤x≤2上是“相邻函数”，﹣1≤y1﹣y2≤1，即1≤a≤2，所以a的最大值是2，a 的最小值1.3．如图，P1、P2（P2在P1的右侧）是y= （k＞0）在第一象限上的两点，点A1的坐标为（2，0）．（1）填空：当点P1的横坐标逐渐增大时，△P1OA1的面积将________（减小、不变、增大）（2）若△P1OA1与△P2A1A2均为等边三角形，①求反比例函数的解析式；②求出点P2的坐标，并根据图象直接写在第一象限内，当x满足什么条件时，经过点P1、P2的一次函数的函数值大于反比例函数y= 的函数值．【答案】（1）减小（2）解：①如图所示，作P1B⊥OA1于点B，∵A1的坐标为（2，0），∴OA1=2，∵△P1OA1是等边三角形，∴∠P1OA1=60°，又∵P1B⊥OA1，∴OB=BA1=1，∴P1B= ，∴P1的坐标为（1，），代入反比例函数解析式可得k= ，∴反比例函数的解析式为y= ；②如图所示，过P2作P2C⊥A1A2于点C，∵△P2A1A2为等边三角形，∴∠P2A1A2=60°，设A1C=x，则P2C= x，∴点P2的坐标为（2+x， x），代入反比例函数解析式可得（2+x） x= ，解得x1= ﹣1，x2=﹣﹣1（舍去），∴OC=2+ ﹣1= +1，P2C= （﹣1）= ﹣，∴点P2的坐标为（ +1，﹣），∴当1＜x＜ +1时，经过点P1、P2的一次函数的函数值大于反比例函数y= 的函数值【解析】【解答】解：（1）当点P1的横坐标逐渐增大时，点P1离x轴的距离变小，而OA1的长度不变，故△P1OA1的面积将减小，故答案为：减小；【分析】（1）当点P1的横坐标逐渐增大时，点P1离x轴的距离变小，而OA1的长度不变，故△P1OA1的面积将减小；（2）①由A1的坐标为（2，0），△P1OA1是等边三角形，求出P1的坐标，代入反比例函数解析式即可；②由△P2A1A2为等边三角形，求出点P2的坐标，得出结论.4．如图，Rt△ABO的顶点A是双曲线y= 与直线y=﹣x﹣（k+1）在第二象限的交点．AB⊥x轴于B，且S△ABO= ．（1）求这两个函数的解析式；（2）求直线与双曲线的两个交点A、C的坐标和△AOC的面积．【答案】（1）解：设A点坐标为（x，y），且x＜0，y＞0，则S△ABO= •|BO|•|BA|= •（﹣x）•y= ，∴xy=﹣3，又∵y= ，即xy=k，∴k=﹣3．∴所求的两个函数的解析式分别为y=﹣，y=﹣x+2；（2）解：由y=﹣x+2，令x=0，得y=2．∴直线y=﹣x+2与y轴的交点D的坐标为（0，2），A、C两点坐标满足∴交点A为（﹣1，3），C为（3，﹣1），∴S△AOC=S△ODA+S△ODC= OD•（|x1|+|x2|）= ×2×（3+1）=4．【解析】【分析】两解析式的k一样，根据面积计算双曲线中的k较易，由公式=2S△ABO,可求出k；（2）求交点就求两解析式联立的方程组的解，可分割△AOC为S△ODA+S△ODC，即可求出.5．已知：O是坐标原点，P（m，n）（m＞0）是函数y= （k＞0）上的点，过点P作直线PA⊥OP于P，直线PA与x轴的正半轴交于点A（a，0）（a＞m）．设△OPA的面积为s，且s=1+ ．（1）当n=1时，求点A的坐标；（2）若OP=AP，求k的值；（3）设n是小于20的整数，且k≠ ，求OP2的最小值．【答案】（1）解：过点P作PQ⊥x轴于Q，则PQ=n，OQ=m，当n=1时，s= ，∴a= = ．（2）解：解法一：∵OP=AP，PA⊥OP，∴△OPA是等腰直角三角形．∴m=n= ．∴1+ = •an．即n4﹣4n2+4=0，∴k2﹣4k+4=0，∴k=2．解法二：∵OP=AP，PA⊥OP，∴△OPA是等腰直角三角形．∴m=n．设△OPQ的面积为s1则：s1= ∴•mn= （1+ ），即：n4﹣4n2+4=0，∴k2﹣4k+4=0，∴k=2．（3）解：解法一：∵PA⊥OP，PQ⊥OA，∴△OPQ∽△OAP．设：△OPQ的面积为s1，则 =即： = 化简得：化简得：2n4+2k2﹣kn4﹣4k=0（k﹣2）（2k﹣n4）=0，∴k=2或k= （舍去），∴当n是小于20的整数时，k=2．∵OP2=n2+m2=n2+ 又m＞0，k=2，∴n是大于0且小于20的整数．当n=1时，OP2=5，当n=2时，OP2=5，当n=3时，OP2=32+ =9+ = ，当n是大于3且小于20的整数时，即当n=4、5、6…19时，OP2的值分别是：42+ 、52+ 、62+ …192+ ，∵192+ ＞182+ ＞32+ ＞5，∴OP2的最小值是5．【解析】【分析】（1）利用△OPA面积定义构建关于a的方程，求出A的坐标；（2）由已知OP=AP，PA⊥OP，可得△OPA是等腰直角三角形，由其面积构建关于n的方程，转化为k的方程，求出k;（3）利用相似三角形的面积比等于相似比的平方构建关于k的方程，最值问题的基本解决方法就是函数思想，利用勾股定理用m、n的代数式表达OP2,,在n的范围内求出OP2的最值.6．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A在x轴负半轴上，顶点在轴正半轴上，顶点B在第一象限，线段，的长是一元二次方程的两根，，．（1）直接写出点的坐标________点 C的坐标________；（2）若反比例函数的图象经过点，求k的值；（3）如图过点作轴于点；在轴上是否存在点，使以，，为顶点的三角形与以，，为顶点的三角形相似?若存在，直接写出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）；（2）解：如图，过点作，垂足为，∵，∴，设，∵ =12，∴EC=12-x，在RtΔBEC中，，∴整理得：，解得：（不合题意舍去），，∴，，∴，把代入，得（3）解：存在．如图2，若点P在OD上，若△PDB∽△AOP，则，即，解得：OP=2或OP=6，∴P（0，2）或P（0，6）；如图3，若点P在OD上方，△PDB∽△AOP，则，即，解得：OP=12，∴P（0，12）；如图4，若点P在OD上方，△BDP∽△AOP，则，即，解得：OP=4+2 或OP=4-2 （不合题意舍去），∴P（0，4+2 ）；如图5，若点P在y轴负半轴，△PDB∽△AOP，则，即，解得：OP=-4+2 或-4-2 （不合题意舍去），则P点坐标为（0，4-2 ）故点的坐标为：或或或或【解析】【解答】解：（1）解一元二次方程，解得：，所以，所以，；【分析】（1）首先利用直接开平方法求出方程的两根，从而得出OA=OC=6，进而得出A,C两点的坐标；（2）如图，过点作，垂足为，根据等腰直角三角形的性质得出，设，EC=12-x，在RtΔBEC中利用勾股定理建立方程，求解并检验即可得出BE,OE 的长从而得出B点的坐标，然后利用待定系数法即可求出反比例函数的解析式；（3）存在．如图2，若点P在OD上，若△PDB∽△AOP，根据相似三角形对应边成比例得出，根据比例式列出方程，求解即可得出P点的坐标；如图3，若点P在OD上方，△PDB∽△AOP，根据相似三角形对应边成比例得出则根据比例式列出方程，求解并检验即可得出P点的坐标；如图4，若点P在OD上方，△PDB∽△AOP，根据相似三角形对应边成比例得出，根据比例式列出方程，求解并检验即可得出P 点的坐标；如图5，若点P在y轴负半轴，△PDB∽△AOP，根据相似三角形对应边成比例得出，根据比例式列出方程，求解并检验即可得出P点的坐标，综上所述即可得出答案。
初三数学九下反比例函数所有知识点总结和常考题型练习题
反比例函数知识点1. 定义：一般地，形如xk y =（k 为常数，o k ≠）的函数称为反比例函数。
x ky =还可以写成kxy =1-，xy=k , （k 为常数，o k ≠）.2. 反比例函数解析式的特征：⑴等号左边是函数y ，等号右边是一个分式。
分子是不为零的常数k （也叫做比例系数k ），分母中含有自变量x ，且指数为1.⑵比例系数0≠k⑶自变量x 的取值为一切非零实数。
⑷函数y 的取值是一切非零实数。
3. 反比例函数的图像⑴图像的画法：描点法① 列表（应以O 为中心，沿O 的两边分别取三对或以上互为相反的数） ② 描点（有小到大的顺序） ③ 连线（从左到右光滑的曲线） ⑵反比例函数的图像是双曲线，xky =（k 为常数，0≠k ）中自变量0≠x ，函数值0≠y ，所以双曲线是不经过原点，断开的两个分支，延伸部分逐渐靠近坐标轴，但是永远不与坐标轴相交。
⑶反比例函数的图像是是轴对称图形（对称轴是x y =或x y -=）。
⑷反比例函数x k y =（0≠k ）中比例系数k 的几何意义是：过双曲线xky = （0≠k ）上任意引x 轴y 轴的垂线，所得矩形面积为k 。
4．反比例函数性质与k 的符号有关：5. 反比例函数解析式的确定：利用待定系数法（只需一组对应值或图像上一个点的坐标即可求出k ）6．“反比例关系”与“反比例函数”：成反比例的关系式不一定是反比例函数,但是反比例函数xky =中的两个变量必成反比例关系。
反比例函数练习一. 选择题1. 函数y m x m m =+--()2229是反比例函数，则m 的值是（ ） A. m =4或m =-2 B. m =4 C. m =-2 D. m =-12. 下列函数中，是反比例函数的是（ ） A. y x =-2B. y x =-12 C. y x=-11D. y x =123. 函数y kx =-与y k x=（k ≠0）的图象的交点个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 不确定 4. 函数y kx b =+与y kxkb =≠()0的图象可能是（ ）A B C D5. 若y 与x 成正比，y 与z 的倒数成反比，则z 是x 的（ ） A. 正比例函数 B. 反比例函数 C. 二次函数 D. z 随x 增大而增大6. 下列函数中y 既不是x 的正比例函数，也不是反比例函数的是（ ）A. y x=-19B. 105=-x y :C.y x=412D.152xy =- 7. 如图，直线y =x －2与y 轴交于点C ，与x 轴交于点B ，与反比例函数的图象在第一象限交于点A ，连接OA ，若S △AOB S △BOC = 1:2，则k 的值为（ ） A ．2 B ．3D ．68. 如图，A 、B 是双曲线y=上的两点，过A 点作AC⊥x 轴，交OB 于D 点，垂足为C ．若△ADO 的面积为1，D 为OB 的中点，则k 的值为（ ） A ．B ．C ． 3D ． 49. 如图，△AOB 是直角三角形，AOB ∠=︒90，OA OB 2=，点A 在反比例函数xy 1=的图象上．若点B 在反比例函数xky =的图象上，则k 的值为A ．4-B ．4C ．2-D ．2二. 填空题1. 已知y 是x 的反比例函数，当x ＞0时，y 随x 的增大而减小。
初三培优反比例函数辅导专题训练及答案
初三培优反比例函数辅导专题训练及答案一、反比例函数1．如图，已知直线y=ax+b与双曲线y= （x＞0）交于A（x1， y1），B（x2， y2）两点（A与B不重合），直线AB与x轴交于P（x0，0），与y轴交于点C．（1）若A，B两点坐标分别为（1，3），（3，y2），求点P的坐标．（2）若b=y1+1，点P的坐标为（6，0），且AB=BP，求A，B两点的坐标．（3）结合（1），（2）中的结果，猜想并用等式表示x1，x2，x0之间的关系（不要求证明）．【答案】（1）解：∵直线y=ax+b与双曲线y= （x＞0）交于A（1，3），∴k=1×3=3，∴y= ，∵B（3，y2）在反比例函数的图象上，∴y2= =1，∴B（3，1），∵直线y=ax+b经过A、B两点，∴解得，∴直线为y=﹣x+4，令y=0，则x=4，∴P（4，O）（2）解：如图，作AD⊥y轴于D，AE⊥x轴于E，BF⊥x轴于F，BG⊥y轴于G，AE、BG 交于H，则AD∥BG∥x轴，AE∥BF∥y轴，∴= ，= = ，∵b=y1+1，AB=BP，∴= ，= = ，∴B（，y1）∵A，B两点都是反比例函数图象上的点，∴x1•y1= • y1，解得x1=2，代入= ，解得y1=2，∴A（2，2），B（4，1）（3）解：根据（1），（2）中的结果，猜想：x1， x2， x0之间的关系为x1+x2=x0【解析】【分析】（1）先把A（1，3）），B（3，y2）代入y= 求得反比例函数的解析式，进而求得B的坐标，然后把A、B代入y=ax+b利用待定系数法即可求得直线的解析式，继而即可求得P的坐标；（2）作AD⊥y轴于D，AE⊥x轴于E，BF⊥x轴于F，BG⊥y轴于G，AE、BG交于H，则AD∥BG∥x轴，AE∥BF∥y轴，得出 = ， = = ，根据题意得出 = ， = = ，从而求得B（， y1），然后根据k=xy得出x1•y1= • y1，求得x1=2，代入 = ，解得y1=2，即可求得A、B的坐标；（3）合（1），（2）中的结果，猜想x1+x2=x0．2．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1=ax+b（a≠0）的图象与y轴相交于点A，与反比例函数y2= （c≠0）的图象相交于点B（3，2）、C（﹣1，n）．（1）求一次函数和反比例函数的解析式；（2）根据图象，直接写出y1＞y2时x的取值范围；（3）在y轴上是否存在点P，使△PAB为直角三角形？如果存在，请求点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）解：把B（3，2）代入得：k=6∴反比例函数解析式为：把C（﹣1，n）代入，得：n=﹣6∴C（﹣1，﹣6）把B（3，2）、C（﹣1，﹣6）分别代入y1=ax+b，得：，解得：所以一次函数解析式为y1=2x﹣4（2）解：由图可知，当写出y1＞y2时x的取值范围是﹣1＜x＜0或者x＞3．（3）解：y轴上存在点P，使△PAB为直角三角形如图，过B作BP1⊥y轴于P1，∠B P1 A=0，△P1AB为直角三角形此时，P1（0，2）过B作BP2⊥AB交y轴于P2∠P2BA=90，△P2AB为直角三角形在Rt△P1AB中，在Rt△P1 AB和Rt△P2 AB∴∴P2（0，）综上所述，P1（0，2）、P2（0，）．【解析】【分析】（1）利用待定系数法求出反比例函数解析式，进而求出点C坐标，最后用再用待定系数法求出一次函数解析式；（2）利用图象直接得出结论；（3）分三种情况，利用勾股定理或锐角三角函数的定义建立方程求解即可得出结论．3．已知点A，B分别是x轴、y轴上的动点，点C，D是某个函数图象上的点，当四边形ABCD（A，B，C，D各点依次排列）为正方形时，我们称这个正方形为此函数图象的“伴侣正方形”．例如：在图1中，正方形ABCD是一次函数y=x+1图象的其中一个“伴侣正方形”．（1）如图1，若某函数是一次函数y=x+1，求它的图象的所有“伴侣正方形”的边长；（2）如图2，若某函数是反比例函数（k＞0），它的图象的“伴侣正方形”为ABCD，点D（2，m）（m＜2）在反比例函数图象上，求m的值及反比例函数的解析式；（3）如图3，若某函数是二次函数y=ax2+c（a≠0），它的图象的“伴侣正方形”为ABCD，C，D中的一个点坐标为（3，4），请你直接写出该二次函数的解析式．【答案】（1）解：（I）当点A在x轴正半轴、点B在y轴负半轴上时：正方形ABCD的边长为．（II）当点A在x轴负半轴、点B在y轴正半轴上时：设正方形边长为a，易得3a= ，解得a= ，此时正方形的边长为．∴所求“伴侣正方形”的边长为或（2）解：如图，作DE⊥x轴，CF⊥y轴，垂足分别为点E、F，易证△ADE≌△BAO≌△CBF．∵点D的坐标为（2，m），m＜2，∴DE=OA=BF=m，∴OB=AE=CF=2﹣m．∴OF=BF+OB=2，∴点C的坐标为（2﹣m，2）．∴2m=2（2﹣m），解得m=1．∴反比例函数的解析式为y=（3）解：实际情况是抛物线开口向上的两种情况中，另一个点都在（3，4）的左侧，而开口向下时，另一点都在（3，4）的右侧，与上述解析明显不符合a、当点A在x轴正半轴上，点B在y轴正半轴上，点C坐标为（3，4）时：另外一个顶点为（4，1），对应的函数解析式是y=﹣ x2+ ；b、当点A在x 轴正半轴上，点 B在 y轴正半轴上，点D 坐标为（3，4）时：不存在，c、当点A 在 x 轴正半轴上，点 B在 y轴负半轴上，点C 坐标为（3，4）时：不存在d、当点A在x 轴正半轴上，点B在y轴负半轴上，点D坐标为（3，4）时：另外一个顶点C为（﹣1，3），对应的函数的解析式是y= x2+ ；e、当点A在x轴负半轴上，点B在y轴负半轴上，点C坐标为（3，4）时，另一个顶点D的坐标是（7，﹣3）时，对应的函数解析式是y=﹣ x2+ ；f、当点A在x轴负半轴上，点B在y轴负半轴上，点C坐标为（3，4）时，另一个顶点D 的坐标是（﹣4，7）时，对应的抛物线为y= x2+ ；故二次函数的解析式分别为：y= x2+ 或y=﹣ x2+ 或y=﹣ x2+ 或y= x2+【解析】【分析】（1）先正确地画出图形，再利用正方形的性质确定相关点的坐标从而计算正方形的边长.（2）因为ABCD为正方形，所以可作垂线得到等腰直角三角形，利用点D（2，m）的坐标表示出点C的坐标，可求出m的值，即可得到反比例函数的解析式．（3）由抛物线开口既可能向上，也可能向下．当抛物线开口向上时，正方形的另一个顶点也是在抛物线上，这个点既可能在点（3，4）的左边，也可能在点（3，4）的右边，过点（3，4）向x轴作垂线，利用全等三角形确定线段的长即可确定抛物线上另一个点的坐标；当抛物线开口向下时也是一样地分为两种情况来讨论，即可得到所求的结论．4．如图，一次函数y=kx+b的图象分别与反比例函数y= 的图象在第一象限交于点A（4，3），与y轴的负半轴交于点B，且OA=OB．（1）求函数y=kx+b和y= 的表达式；（2）已知点C（0，5），试在该一次函数图象上确定一点M，使得MB=MC，求此时点M 的坐标．【答案】（1）解：把点A（4，3）代入函数y= 得：a=3×4=12，∴y= ．OA= =5，∵OA=OB，∴OB=5，∴点B的坐标为（0，﹣5），把B（0，﹣5），A（4，3）代入y=kx+b得：解得：∴y=2x﹣5．（2）解：∵点M在一次函数y=2x﹣5上，∴设点M的坐标为（x，2x﹣5），∵MB=MC，∴解得：x=2.5，∴点M的坐标为（2.5，0）．【解析】【分析】（1）先求反比例函数关系式，由OA=OB，可求出B坐标，再代入一次函数解析式中求出解析式；（2）M点的纵坐标可用x 的式子表示出来，可套两点间距离公式，表示出MB、MC，令二者相等，可求出x .5．抛物线y= +x+m的顶点在直线y=x+3上，过点F（﹣2，2）的直线交该抛物线于点M、N两点（点M在点N的左边），MA⊥x轴于点A，NB⊥x轴于点B．（1）先通过配方求抛物线的顶点坐标（坐标可用含m的代数式表示），再求m的值；（2）设点N的横坐标为a，试用含a的代数式表示点N的纵坐标，并说明NF=NB；（3）若射线NM交x轴于点P，且PA•PB= ，求点M的坐标．【答案】（1）解：y= x2+x+m= （x+2）2+（m﹣1）∴顶点坐标为（﹣2，m﹣1）∵顶点在直线y=x+3上，∴﹣2+3=m﹣1，得m=2；（2）解：过点F作FC⊥NB于点C，∵点N在抛物线上，∴点N的纵坐标为： a2+a+2，即点N（a， a2+a+2）在Rt△FCN中，FC=a+2，NC=NB﹣CB= a2+a，∴NF2=NC2+FC2=（ a2+a）2+（a+2）2，=（ a2+a）2+（a2+4a）+4，而NB2=（ a2+a+2）2，=（ a2+a）2+（a2+4a）+4∴NF2=NB2，NF=NB（3）解：连接AF、BF，由NF=NB，得∠NFB=∠NBF，由（2）的思路知，MF=MA，∴∠MAF=∠MFA，∵MA⊥x轴，NB⊥x轴，∴MA∥NB，∴∠AMF+∠BNF=180°∵△MAF和△NFB的内角总和为360°，∴2∠MAF+2∠NBF=180°，∠MAF+∠NBF=90°，∵∠MAB+∠NBA=180°，∴∠FBA+∠FAB=90°，又∵∠FAB+∠MAF=90°，∴∠FBA=∠MAF=∠MFA，又∵∠FPA=∠BPF，∴△PFA∽△PBF，∴ = ，PF2=PA×PB= ，过点F作FG⊥x轴于点G，在Rt△PFG中，PG= = ，∴PO=PG+GO= ，∴P（﹣，0）设直线PF：y=kx+b，把点F（﹣2，2）、点P（﹣，0）代入y=kx+b，解得k= ，b= ，∴直线PF：y= x+ ，解方程 x2+x+2= x+ ，得x=﹣3或x=2（不合题意，舍去），当x=﹣3时，y= ，∴M（﹣3，）．【解析】【分析】（1）利用配方法将二次函数化成顶点式，写出顶点坐标，由顶点再直线y=x+3上，建立方程求出m的值。
九年级数学下册2023年中考专题培优训练 反比例函数(k的几何意义)
九年级数学下册2023年中考专题培优训练 反比例函数（k 的几何意义）一、单选题1．如图所示，点是反比例函数图象上一点，作轴，垂足为点．若A ky x =AB x ⊥B 的面积为3，则的值是（ ）AOB kA ．4B ．6C ．4或6D ．不确定2．如图，在平面直角坐标系中，函数与的图象交于、两点，过作轴y kx =2y x =-A B A y 的垂线，交函数的图象于点，连接，则的面积为( )4y x =C BC ABCA ．B ．C ．D ．23563．以正方形两条对角线的交点O 为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，反比ABCD 例函数的图象经过点D ，则正方形的面积为（ ）4y x =ABCDA ．12B ．16C ．18D ．204．点P ，Q ，R 在反比例函数图象上的位置如图所示，分别过这三个点作x 轴，y 轴12y x =的平行线．图中所构成的阴影部分面积从左到右依次为，，．若，1S 2S 3S OF FG GA ==则的值为（ ）123S S S ++A ．10B ．12C ．14D ．165．如图，点B 在反比例函数的图象上，点C 在反比例函数的图()60y x x =>()20y x x =->象上，轴，，垂足为点C ，交y 轴于点A ，则的面积为（ ）∥BC y AC BC ⊥AC ABCA ．3B ．4C ．6D ．86．如图，直角三角形的直角顶点在坐标原点，，若点A 在反比例函数30OAB ∠=︒的图象上，则经过点B 的反比例函数解析式为（ ）()120y x x =>A ．B ．C ．D ．6y x=-4y x=-2y x=-2y x=7．如图，在平面直角坐标系中，，点在反比例函数图像的图xOy (4,0),(4,0)A B -C ky x =像上，且，若线段与轴交于点，则的值为（ ）90ACB ∠=︒AC y (0,2)D kA ．B ．C ．D ．19225892458．如图，A 是双曲线上的一点，点C 是的中点，过点C 作y 轴的垂线，垂()0ky x x =>OA 足为D ，交双曲线于点B ，且的面积是4，则（ ）ABD △k =A ．4B ．6C ．8D ．109．反比例函数的图象如图所示，点M 是该函数图象上一点，垂直于x 轴，垂足ky x =MN 是点N ，如果，则k 的值为（ ）MON S π=△A ．B ．C ．D ．2π2π-ππ-10．已知点A 、B 分别在反比例函数，的图像上，且，()20=>y x x ()80y x x -=>OA OB ⊥则的值为（ ）OAOBA B ．C D ．31211．如图，点是函数图象上一点，过点作轴，轴，分别与A ()10y x x =>A AB x ⊥AC y ⊥函数的图象相交于点和点，则的面积是（ ）．2y x =-B C ABCA ．4B ．C ．6D ．9213212．如图，平面直角坐标系中，矩形的顶点B 在第一象限，点C 在x 轴上，点A 在OABC y 轴上，D ，E 分别是中点．过点D 的双曲线与交于点AB OA ，()00x kx k y >=>，BC G ．连接，F 在上，且，连接．若的面积为4，则k DC DC :2:1DF FC =DE EF ，DEF 的值为（ ）A ．8B ．16C ．24D ．32二、填空题13．如图，在平面直角坐标系中，点在函数的图象上，轴于点xOy A 6(0)y x x =>AC x ⊥，连接，则面积为________．C OA OAC14．点A 是反比例函数在第一象限内图象上的一点，过点A 作轴，垂足为点B ，AB x ⊥的面积是1，则下列结论中，正确的是_______（填序号）．OAB ①此反比例函数图象经过点；②此反比例函数的解析式为；③若点在此()1,12y x =(),a b 反比例函数图象上，则点也在此反比例函数图象上；④点在此()--，a b ()()1122,A x y B x y ，，反比例函数的图象上且，则．120x x <<12y y <15．如图，平行四边形的顶点在坐标原点上，在轴上，顶点在上，OABC O B y A 5y x =-顶点在上，则平行四边形的面积是_____．C 7y x =OABC16．如图，已知在中，点在上，，，，反比例ABO C AB 3BC AC =CO CB =16AOB S =△函数的图象经过点，则的值为_____．ky x =C k17．如图，的边在x 轴上，且，反比例函数的图象与边AOB OB 90∠=︒ABO ()0ky x x =>、分别相交于点C 、D ，连接，已知，的面积为12，若，AO AB BC OC BC =BOC 6AD =直线的函数解析式为 _____．OA18．如图，，分别是反比例函数和在第四象限内的图像，点在1l 2l ()2k y k x =<-2y x =-N 上，线段交于点A ，作轴于点C ，交于点B ，延长OB 交于点M ，作1l ON 2l NC x ⊥2l 1l 轴于点F ，下列结论：MF x ⊥①；1OFM S =△②与是位似图形，面积比为；OBC △OMF 2k -③；OA OBON OM =④．AB NM 其中正确的是____________．三、解答题19．如图，一次函数与反比例函数的图像交于，()10y k x b k =+≠()20k y x x =>()1,6A 两点．()3,B m(1)求反比例函数和一次函数的解析式：(2)根据图象直接写出时，x 的取值范围：21k k x b x +<(3)求的面积．AOB 20．如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点在反比例函数的图象上，O A ()0ky k x =>过点作轴，垂足为，的面积为5．A AB x ⊥B AOB(1)求值；k (2)当时，求函数值的取值范围．<2x -y 21．通过构造适当的图形，可以对线段长度、图形面积大小等进行比较，直观地得到一些不等关系或最值，这是“数形结合”思想的典型应用．(1)【理解】如图①，，垂足分别为是的中点，连接，AC BC CD AB ⊥⊥，C D E 、，AB CE 已知，（）．AD a BD b ==，0a b <<①已知的代数式表示CE 的长；CD a b ，②比较大小： （填“”“”或“”），并用①中的结论证明该大小关系．CE CD <>=(2)【应用】如图②，在平面直角坐标系中，点在反比例函数（）的图像M N 、1y x =0x >上，横坐标分别为．设，，记．m n ，p m n =+11q m n =+14l pq =①当时， ，当时，；13m n ==，l =22m n ==，l =②通过归纳猜想，可得的最小值是 ．请利用图②构造恰当的图形，并说明你的猜l 想成立．22．已知，如图点P 是双曲线上的一点，轴于点，轴于点，24y x =PA x ⊥A PB y ⊥B 、分别交双曲线于点、．求的面积．PA PB 11y x =D C PCD23．如图，在x 轴的正半轴上依次截取，过点1122312n n OA A A A A A A -===⋯==分别作x 轴的垂线与反比例函数的图像相交于点得123n A A A A ⋯、、、10y x =123n P P P P ⋯、、、直角三角形并设其面积分别111222333441n n n OP A A P A A P A A P A A P A -⋯、、、、、，为．123nS S S S ⋯、、、(1)求的坐标23P P Pn 、、、(2)求的值；n S 24．如图，直线与轴、轴分别交于点，与反比例函数交于点3y kx =+x y B C 、my x =．过作轴于，连接，若，A D 、D DE x ⊥E ,OA OD ()2,A n -:1:2OAB ODE S S ∆∆=(1)求反比例函数的表达式；(2)求点的坐标；C (3)直接写出关于不等式：的解集为______．x 3mkx x >-25．如图，已知点，过点P 作轴于点M ，轴于点N ，反比例函数()6,3P PM x ⊥PN y ⊥的图象交于点A ，交于点B .若四边形的面积为12.ky x =PM PN OAPB(1)求k 的值；(2)设直线的解析式为，请直接写出不等式的解集.AB y ax b =+kax bx +。
初三数学 反比例函数的专项 培优练习题附详细答案
初三数学反比例函数的专项培优练习题附详细答案一、反比例函数1．如图，一次函数y=kx+b（k＜0）与反比例函数y= 的图象相交于A、B两点，一次函数的图象与y轴相交于点C，已知点A（4，1）（1）求反比例函数的解析式；（2）连接OB（O是坐标原点），若△BOC的面积为3，求该一次函数的解析式．【答案】（1）解：∵点A（4，1）在反比例函数y= 的图象上，∴m=4×1=4，∴反比例函数的解析式为y=（2）解：∵点B在反比例函数y= 的图象上，∴设点B的坐标为（n，）．将y=kx+b代入y= 中，得：kx+b= ，整理得：kx2+bx﹣4=0，∴4n=﹣，即nk=﹣1①．令y=kx+b中x=0，则y=b，即点C的坐标为（0，b），∴S△BOC= bn=3，∴bn=6②．∵点A（4，1）在一次函数y=kx+b的图象上，∴1=4k+b③．联立①②③成方程组，即，解得：，∴该一次函数的解析式为y=﹣x+3【解析】【分析】（1）由点A的坐标结合反比例函数系数k的几何意义，即可求出m的值；（2）设点B的坐标为（n，），将一次函数解析式代入反比例函数解析式中，利用根与系数的关系可找出n、k的关系，由三角形的面积公式可表示出来b、n的关系，再由点A在一次函数图象上，可找出k、b的关系，联立3个等式为方程组，解方程组即可得出结论．2．如图，一次函数y=x+4的图象与反比例函数y= （k为常数，且k≠0）的图象交于A （﹣1，a），B（b，1）两点．（1）求反比例函数的表达式；（2）在x轴上找一点P，使PA+PB的值最小，求满足条件的点P的坐标；（3）求△PAB的面积．【答案】（1）解：当x=﹣1时，a=x+4=3，∴点A的坐标为（﹣1，3）．将点A（﹣1，3）代入y= 中，3= ，解得：k=﹣3，∴反比例函数的表达式为y=﹣（2）解：当y=b+4=1时，b=﹣3，∴点B的坐标为（﹣3，1）．作点B关于x轴的对称点D，连接AD，交x轴于点P，此时PA+PB的值最小，如图所示．∵点B的坐标为（﹣3，1），∴点D的坐标为（﹣3，﹣1）．设直线AD的函数表达式为y=mx+n，将点A（﹣1，3）、D（﹣3，﹣1）代入y=mx+n中，，解得：，∴直线AD的函数表达式为y=2x+5．当y=2x+5=0时，x=﹣，∴点P的坐标为（﹣，0）（3）解：S△PAB=S△ABD﹣S△BDP= ×2×2﹣ ×2× =【解析】【分析】（1）由一次函数图象上点的坐标特征可求出点A的坐标，根据点A的坐标利用待定系数法，即可求出反比例函数的表达式；（2）利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点B的坐标，作点B关于x轴的对称点D，连接AD，交x轴于点P，此时PA+PB的值最小，由点B的坐标可得出点D的坐标，根据点A、D的坐标利用待定系数法，即可求出直线AB的函数表达式，再由一次函数图象上点的坐标特征即可求出点P的坐标；（3）根据三角形的面积公式结合S△PAB=S△ABD﹣S△BDP，即可得出结论．3．如图，已知点D在反比例函数y= 的图象上，过点D作x轴的平行线交y轴于点B （0，3）．过点A（5，0）的直线y=kx+b与y轴于点C，且BD=OC，tan∠OAC= ．（1）求反比例函数y= 和直线y=kx+b的解析式；（2）连接CD，试判断线段AC与线段CD的关系，并说明理由；（3）点E为x轴上点A右侧的一点，且AE=OC，连接BE交直线CA与点M，求∠BMC的度数．【答案】（1）解：∵A（5，0），∴OA=5．∵，∴，解得OC=2，∴C（0，﹣2），∴BD=OC=2，∵B（0，3），BD∥x轴，∴D（﹣2，3），∴m=﹣2×3=﹣6，∴，设直线AC关系式为y=kx+b，∵过A（5，0），C（0，﹣2），∴，解得，∴；（2）解：∵B（0，3），C（0，﹣2），∴BC=5=OA，在△OAC和△BCD中∴△OAC≌△BCD（SAS），∴AC=CD，∴∠OAC=∠BCD，∴∠BCD+∠BCA=∠OAC+∠BCA=90°，∴AC⊥CD；（3）解：∠BMC=45°．如图，连接AD，∵AE=OC，BD=OC，AE=BD，∴BD∥x轴，∴四边形AEBD为平行四边形，∴AD∥BM，∴∠BMC=∠DAC，∵△OAC≌△BCD，∴AC=CD，∵AC⊥CD，∴△ACD为等腰直角三角形，∴∠BMC=∠DAC=45°．【解析】【分析】（1）由正切定义可求C坐标，进而由BD=OC求出D坐标，求出反比例函数解析式；由A、C求出直线解析式；（2）由条件可判定△OAC≌△BCD，得出AC=CD，∠OAC=∠BCD，进而AC⊥CD；（3）由已知可得AE=OC，BD=OC，得出AE=BD，再加平行得四边形AEBD为平行四边形，推出△OAC≌△BCD，∴AC=CD，∵AC⊥CD，∴△ACD为等腰直角三角形，∴∠BMC=∠DAC=45°.4．已知点A，B分别是x轴、y轴上的动点，点C，D是某个函数图象上的点，当四边形ABCD（A，B，C，D各点依次排列）为正方形时，我们称这个正方形为此函数图象的“伴侣正方形”．例如：在图1中，正方形ABCD是一次函数y=x+1图象的其中一个“伴侣正方形”．（1）如图1，若某函数是一次函数y=x+1，求它的图象的所有“伴侣正方形”的边长；（2）如图2，若某函数是反比例函数（k＞0），它的图象的“伴侣正方形”为ABCD，点D（2，m）（m＜2）在反比例函数图象上，求m的值及反比例函数的解析式；（3）如图3，若某函数是二次函数y=ax2+c（a≠0），它的图象的“伴侣正方形”为ABCD，C，D中的一个点坐标为（3，4），请你直接写出该二次函数的解析式．【答案】（1）解：（I）当点A在x轴正半轴、点B在y轴负半轴上时：正方形ABCD的边长为．（II）当点A在x轴负半轴、点B在y轴正半轴上时：设正方形边长为a，易得3a= ，解得a= ，此时正方形的边长为．∴所求“伴侣正方形”的边长为或（2）解：如图，作DE⊥x轴，CF⊥y轴，垂足分别为点E、F，易证△ADE≌△BAO≌△CBF．∵点D的坐标为（2，m），m＜2，∴DE=OA=BF=m，∴OB=AE=CF=2﹣m．∴OF=BF+OB=2，∴点C的坐标为（2﹣m，2）．∴2m=2（2﹣m），解得m=1．∴反比例函数的解析式为y=（3）解：实际情况是抛物线开口向上的两种情况中，另一个点都在（3，4）的左侧，而开口向下时，另一点都在（3，4）的右侧，与上述解析明显不符合a、当点A在x轴正半轴上，点B在y轴正半轴上，点C坐标为（3，4）时：另外一个顶点为（4，1），对应的函数解析式是y=﹣ x2+ ；b、当点A在x 轴正半轴上，点 B在 y轴正半轴上，点D 坐标为（3，4）时：不存在，c、当点A 在 x 轴正半轴上，点 B在 y轴负半轴上，点C 坐标为（3，4）时：不存在d、当点A在x 轴正半轴上，点B在y轴负半轴上，点D坐标为（3，4）时：另外一个顶点C为（﹣1，3），对应的函数的解析式是y= x2+ ；e、当点A在x轴负半轴上，点B在y轴负半轴上，点C坐标为（3，4）时，另一个顶点D的坐标是（7，﹣3）时，对应的函数解析式是y=﹣ x2+ ；f、当点A在x轴负半轴上，点B在y轴负半轴上，点C坐标为（3，4）时，另一个顶点D 的坐标是（﹣4，7）时，对应的抛物线为y= x2+ ；故二次函数的解析式分别为：y= x2+ 或y=﹣ x2+ 或y=﹣ x2+ 或y= x2+【解析】【分析】（1）先正确地画出图形，再利用正方形的性质确定相关点的坐标从而计算正方形的边长.（2）因为ABCD为正方形，所以可作垂线得到等腰直角三角形，利用点D（2，m）的坐标表示出点C的坐标，可求出m的值，即可得到反比例函数的解析式．（3）由抛物线开口既可能向上，也可能向下．当抛物线开口向上时，正方形的另一个顶点也是在抛物线上，这个点既可能在点（3，4）的左边，也可能在点（3，4）的右边，过点（3，4）向x轴作垂线，利用全等三角形确定线段的长即可确定抛物线上另一个点的坐标；当抛物线开口向下时也是一样地分为两种情况来讨论，即可得到所求的结论．5．如图，一次函数y=kx+b的图象分别与反比例函数y= 的图象在第一象限交于点A（4，3），与y轴的负半轴交于点B，且OA=OB．（1）求函数y=kx+b和y= 的表达式；（2）已知点C（0，5），试在该一次函数图象上确定一点M，使得MB=MC，求此时点M的坐标．【答案】（1）解：把点A（4，3）代入函数y= 得：a=3×4=12，∴y= ．OA= =5，∵OA=OB，∴OB=5，∴点B的坐标为（0，﹣5），把B（0，﹣5），A（4，3）代入y=kx+b得：解得：∴y=2x﹣5．（2）解：∵点M在一次函数y=2x﹣5上，∴设点M的坐标为（x，2x﹣5），∵MB=MC，∴解得：x=2.5，∴点M的坐标为（2.5，0）．【解析】【分析】（1）先求反比例函数关系式，由OA=OB，可求出B坐标，再代入一次函数解析式中求出解析式；（2）M点的纵坐标可用x 的式子表示出来，可套两点间距离公式，表示出MB、MC，令二者相等，可求出x .6．在平面直角坐标系中，我们不妨把横坐标与纵坐标相等的点称为梦之点，例如，点（1，1），（﹣ 2，﹣ 2），（，），…，都是梦之点，显然梦之点有无数个．（1）若点P（2，b）是反比例函数 (n为常数，n≠0)的图象上的梦之点，求这个反比例函数解析式；（2）⊙O的半径是，①求出⊙O上的所有梦之点的坐标；②已知点M（m，3），点Q是（1）中反比例函数图象上异于点P的梦之点，过点Q的直线l与y轴交于点A，∠OAQ＝45°．若在⊙O上存在一点N，使得直线MN∥l或MN⊥l，求出m的取值范围．【答案】（1）解：∵P（2，b）是梦之点，∴b=2∴P（2，2）将P（2，2）代入中得n=4∴反比例函数解析式是（2）解：①设⊙O上梦之点坐标是（，）∴∴=1或 =-1∴⊙O上所有梦之点坐标是（1，1）或（-1，-1）②由（1）知，异于点P的梦之点Q的坐标为（-2，-2）由已知MN∥l或MN⊥l∴直线MN为y=-x+b或y=x+b当MN为y=-x+b时，m=b-3由图可知，当直线MN平移至与⊙O相切时，且切点在第四象限时，b取得最小值，此时MN记为，其中为切点，为直线与y轴的交点∵△O 为等要直角三角形，∴O =∴O =2∴b的最小值是-2，∴m的最小值是-5当直线MN平移至与⊙O相切时，且切点在第二象限时，b取得最大值，此时MN记为，其中为切点，为直线与y轴的交点。
初三数学反比例函数的专项培优练习题(含答案)及详细答案
初三数学反比例函数的专项培优练习题(含答案)及详细答案一、反比例函数1．如图，反比例函数y= 的图象经过点A（﹣1，4），直线y=﹣x+b（b≠0）与双曲线y= 在第二、四象限分别相交于P，Q两点，与x轴、y轴分别相交于C，D两点．（1）求k的值；（2）当b=﹣2时，求△OCD的面积；（3）连接OQ，是否存在实数b，使得S△ODQ=S△OCD？若存在，请求出b的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）解：∵反比例函数y= 的图象经过点A（﹣1，4），∴k=﹣1×4=﹣4；（2）解：当b=﹣2时，直线解析式为y=﹣x﹣2，∵y=0时，﹣x﹣2=0，解得x=﹣2，∴C（﹣2，0），∵当x=0时，y=﹣x﹣2=﹣2，∴D（0，﹣2），∴S△OCD= ×2×2=2（3）解：存在．当y=0时，﹣x+b=0，解得x=b，则C（b，0），∵S△ODQ=S△OCD，∴点Q和点C到OD的距离相等，而Q点在第四象限，∴Q的横坐标为﹣b，当x=﹣b时，y=﹣x+b=2b，则Q（﹣b，2b），∵点Q在反比例函数y=﹣的图象上，∴﹣b•2b=﹣4，解得b=﹣或b= （舍去），∴b的值为﹣．【解析】【分析】（1）根据反比例函数的图象上点的坐标特征易得k=﹣4；（2）当b=﹣2时，直线解析式为y=﹣x﹣2，则利用坐标轴上点的坐标特征可求出C（﹣2，0），D（0，﹣2），然后根据三角形面积公式求解；（3）先表示出C（b，0），根据三角形面积公式，由于S△ODQ=S△OCD，所以点Q和点C到OD的距离相等，则Q的横坐标为（﹣b，0），利用直线解析式可得到Q（﹣b，2b），再根据反比例函数的图象上点的坐标特征得到﹣b•2b=﹣4，然后解方程即可得到满足条件的b的值．2．一次函数y=ax+b（a≠0）的图象与反比例函数y= （k≠0）的图象相交于A，B两点，与y轴交于点C，与x轴交于点D，点D的坐标为（﹣1，0），点A的横坐标是1，tan∠CDO=2．过点B作BH⊥y轴交y轴于H，连接AH．（1）求一次函数和反比例函数的解析式；（2）求△ABH面积．【答案】（1）解：∵点D的坐标为（﹣1，0），tan∠CDO=2，∴CO=2，即C（0，2），把C（0，2），D（﹣1，0）代入y=ax+b可得，，解得，∴一次函数解析式为y=2x+2，∵点A的横坐标是1，∴当x=1时，y=4，即A（1，4），把A（1，4）代入反比例函数y= ，可得k=4，∴反比例函数解析式为y=（2）解：解方程组，可得或，∴B（﹣2，﹣2），又∵A（1，4），BH⊥y轴，∴△ABH面积= ×2×（4+2）=6．【解析】【分析】（1）先由tan∠CDO=2可求出C坐标，再把D点坐标代入直线解析式，可求出一次函数解析式，再由直线解析式求出A坐标，代入双曲线解析式，可求出双曲线解析式；（2）△ABH面积可以BH为底，高=y A-y B=4-(-2)=6.3．已知：O是坐标原点，P（m，n）（m＞0）是函数y= （k＞0）上的点，过点P作直线PA⊥OP于P，直线PA与x轴的正半轴交于点A（a，0）（a＞m）．设△OPA的面积为s，且s=1+ ．（1）当n=1时，求点A的坐标；（2）若OP=AP，求k的值；（3）设n是小于20的整数，且k≠ ，求OP2的最小值．【答案】（1）解：过点P作PQ⊥x轴于Q，则PQ=n，OQ=m，当n=1时，s= ，∴a= = ．（2）解：解法一：∵OP=AP，PA⊥OP，∴△OPA是等腰直角三角形．∴m=n= ．∴1+ = •an．即n4﹣4n2+4=0，∴k2﹣4k+4=0，∴k=2．解法二：∵OP=AP，PA⊥OP，∴△OPA是等腰直角三角形．∴m=n．设△OPQ的面积为s1则：s1= ∴•mn= （1+ ），即：n4﹣4n2+4=0，∴k2﹣4k+4=0，∴k=2．（3）解：解法一：∵PA⊥OP，PQ⊥OA，∴△OPQ∽△OAP．设：△OPQ的面积为s1，则 =即： = 化简得：化简得：2n4+2k2﹣kn4﹣4k=0（k﹣2）（2k﹣n4）=0，∴k=2或k= （舍去），∴当n是小于20的整数时，k=2．∵OP2=n2+m2=n2+ 又m＞0，k=2，∴n是大于0且小于20的整数．当n=1时，OP2=5，当n=2时，OP2=5，当n=3时，OP2=32+ =9+ = ，当n是大于3且小于20的整数时，即当n=4、5、6…19时，OP2的值分别是：42+ 、52+ 、62+ …192+ ，∵192+ ＞182+ ＞32+ ＞5，∴OP2的最小值是5．【解析】【分析】（1）利用△OPA面积定义构建关于a的方程，求出A的坐标；（2）由已知OP=AP，PA⊥OP，可得△OPA是等腰直角三角形，由其面积构建关于n的方程，转化为k的方程，求出k;（3）利用相似三角形的面积比等于相似比的平方构建关于k的方程，最值问题的基本解决方法就是函数思想，利用勾股定理用m、n的代数式表达OP2,,在n的范围内求出OP2的最值.4．如图，已知正比例函数y=2x和反比例函数的图象交于点A（m，﹣2）.（1）求反比例函数的解析式；（2）观察图象，直接写出正比例函数值大于反比例函数值时自变量x的取值范围；（3）若双曲线上点C（2，n）沿OA方向平移个单位长度得到点B，判断四边形OABC 的形状并证明你的结论.【答案】（1）解：设反比例函数的解析式为（k＞0）∵A（m，﹣2）在y=2x上，∴﹣2=2m，∴解得m=﹣1。
专题. 反比例函数(对称性问题)(培优篇)(专项练习)八年级数学下册基础知识专项讲练(苏科版)
专题11.25反比例函数（对称性问题）（培优篇）（专项练习）一、单选题1．如图，若双曲线(0)ky k x=>与它的一条对称轴y x =交于A 、B 两点，则线段AB 称为双曲线(0)k y k x =>的“对径”．若双曲线(0)ky k x=>的对径长是k 的值为（）A ．2B ．4C ．6D ．2．如图，OABC 是平行四边形，对角线OB 在y 轴正半轴上，位于第一象限的点A 和第二象限的点C 分别在双曲线y=和y=的一支上，分别过点A 、C 作x 轴的垂线，垂足分别为M 和N ，则有以下的结论：①=；②阴影部分面积是（k 1+k 2）；③当∠AOC=90°时，|k 1|=|k 2|；④若OABC 是菱形，则两双曲线既关于x 轴对称，也关于y 轴对称．其中正确的结论是（）A ．①②③B ．②④C ．①③④D ．①④3．如图，点A 与点B 关于原点对称，点C 在第四象限，∠ACB=90°．点D 是x 轴正半轴上一点，AC 平分∠BAD ，E 是AD 的中点，反比例函数ky x=（0k >）的图象经过点A,E ．若△ACE 的面积为6，则k 的值为（）A ．4B ．6C ．8D ．124．已知某函数的图象C 与函数3y x=的图象关于直线2y =对称．下列命题：①图象C与函数3y x =的图象交于点3,22⎛⎫⎪⎝⎭；②点1,22⎛⎫- ⎪⎝⎭在图象C 上；③图象C 上的点的纵坐标都小于4，④()11,A x y ，()22,B x y 是图象C 上任意两点，若12x x >，则12y y >．其中真命题是（）A ．①②B ．①③④C ．②③④D ．①②④5．如图，反比例函数y ＝kx（x ＜0）的图象经过点A （﹣2，2），过点A 作AB ⊥y 轴，垂足为B ，在y 轴的正半轴上取一点P （0，t ），过点P 作直线OA 的垂线l ，以直线l 为对称轴，点B 经轴对称变换得到的点B '在此反比例函数的图象上，则t 的值是（）A ．5B ．2C ．42-D ．56．点()1,3-关于y 轴的对称点在反比例函数ky x=的图像上，下列说法不正确的是（）A ．y 随x 的增大而减小B ．点()1,3在该函数的图像上C ．当1x ≥时，03y <≤D ．该函数图像与直线y x =33337．如图，矩形AOBC 的顶点坐标分别为(0,3),(0,0),(4,0),(4,3)A O B C ，动点F 在边BC 上（不与B C 、重合），过点F 的反比例函数ky x=的图象与边AC 交于点E ，直线EF 分别与y 轴和x 轴相交于点D 和G ．给出下列命题：①若4k =，则OEF 的面积为163；②若218=k ，则点C 关于直线EF 的对称点在x 轴上；③满足题设的k 的取值范围是012k <<；④若2512DE EG ⋅=，则1k =．其中正确的命题个数是（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个8．已知某函数的图象C 与函数3y x=的图象关于直线2y =对称下列命题：①图象C 与函数3y x =的图象交于点3,22⎛⎫⎪⎝⎭；②1,22⎛⎫- ⎪⎝⎭在图象C 上；③图象C 上的点的纵坐标都小于4；④()11,A x y ，()22,B x y 是图象C 上任意两点，若12x x >，则12y y >，其中真命题是（）A ．①②B ．①③④C ．②③④D ．①②③④9．如图，一次函数1y x =+和2y x =与反比例函数2y x=的交点分别为点A 、B 和C ，下列结论中，正确的个数是（）①点A 与点B 关于原点对称；②OA OC =；③点A 的坐标是(1,2)；④ABC ∆是直角三角形．A ．1B ．2C ．3D ．410．如图，矩形AOBC 的边3OA =，4OB =，动点F 在边BC 上（不与B 、C 重合），过点F 的反比例函数ky x=的图象与边AC 交于点E ，直线EF 分别与y 轴和x 轴相交于点D和G ．给出以下命题：①若6k =，则OEF 的面积为92；②若218=k ，则点C 关于直线EF 的对称点在x 轴上；③满足题设的k 的取值范围是012k <≤；④若256DE EG ⋅=，则2k =；其中正确的命题个数是（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题11．已知A 、B 两点为反比例函数()0ky k x=<的图像上的动点，他们关于y 轴的对称点恰好落在直线21y x m =++上，若点A 、B 的坐标分别为1122(,),(,)x y x y 且120x x +≠，则1212y yx x +=+________．12．如图反比例函数ky x=的图像经过点A ，点B 与点A 关于x 轴对称，点C 是y 轴上一点，若ABC ∆的面积为2，则该反比例函数的解析式为_____________13．如图，将一块直角三角板OAB 放在平面直角坐标系中，B (2，0)，∠AOB =60°，点A 在第一象限，过点A 的双曲线为ky x=.在x 轴上取一点P ，过点P 作直线OA 的垂线l ，以直线l 为对称轴，线段OB 经轴对称变换后的像是O ´B ´．（1）当点O ´与点A 重合时，点P 的坐标是；（2）设P (t ，0)，当O ´B ´与双曲线有交点时，t 的取值范围是．14．如图，在平面直角坐标系中，正六边形ABCDEF 的对称中心P 在反比例函数(0,0)ky k x x=>>的图象上，边CD 在x 轴上，点B 在y 轴上，已知2CD =．若该反比例函数图象与DE 交于点Q ，则点的Q 横坐标是_________．15．如图，P 是反比例函数12(0)y x x=>上的一个动点，过P 作PA x ⊥轴，PB y ⊥轴．（1）若矩形的对角线10AB =，则矩形OAPB 周长为________；（2）如图，点E 在BP 上，且2BE PE =，若E 关于直线AB 的对称点F 恰好落在坐标轴上，连结,,AE AF EF ，则AEF △的面积为___________．16．如图，Rt △AOB 的顶点O 是坐标原点，点B 在x 轴上，∠OAB =90°，反比例函数7y x=（0x >）的图象关于AO 所在的直线对称，且与AO 、AB 分别交于D 、E 两点，过点A 作AH ⊥OB 交x 轴于点H ，过点E 作EF //OB 交AH 于点G ，交AO 于点F ，则四边形OHGF 的面积为_________17．如图，矩形AOBC 的顶点坐标分别为(03)A ，、00O (，)、(40)B ，、(43)C ，，动点F 在边BC 上（不与B 、C 重合），过点F 的反比例函数ky x=的图象与边AC 交于点E ，直线EF 分别与y 轴和x 轴相交于点D 和G ，给出下列命题：①若4k =，则OEF 的面积为163；②若218=k ，则点C 关于直线EF 的对称点在x 轴上；③满足题设的k 的取值范围是012k <≤；④若2512DE EG ⋅=，则2k =．其中正确的命题的序号是________．（写出所有正确命题的序号）18．如图，在平面直角坐标系xOy 中，菱形ABCD 与菱形GFED 关于点D 成中心对称，点C ，G 在x 轴的正半轴上，点A ，F 在反比例函数y ＝kx（k ＞0，x ＞0）的图象上，延长AB 交x 轴于点P （1，0），若∠APO ＝120°，则k 的值是_____________．三、解答题19．综合与探究如图1，反比例函数的图象8y x=-经过点A ，点A 的横坐标是－2，点A 关于坐标原点O 的对称点为点B ，作直线AB ．(1)判断点B 是否在反比例函数8y x=-的图象上，并说明理由；(2)如图1，过坐标原点O 作直线交反比例函数8y x=-的图象于点C 和点D ，点C 的横坐标是4，顺次连接AD ，DB ，BC 和CA ．求证：四边形ACBD 是矩形；(3)已知点P 在x 轴的正半轴上运动，点Q 在平面内运动，当以点O ，B ，P 和Q 为顶点的四边形为菱形时，请直接写出此时点P 的坐标．20．如图，一次函数(0)y kx b k =+>的图像与反比例函数8(0)y x x=>的图像交于点A ，与x 轴交于点B ，与y 轴交于点C ，AD x ⊥轴于点D ，CB CD =，点C 关于直线AD 的对称点为点E ．(1)点E 是否在这个反比例函数的图像上？请说明理由；(2)连接AE 、DE ，若四边形ACDE 为正方形．①求k 、b 的值；②若点P 在y 轴上，当PE PB -最大时，求点P 的坐标．21．如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线2y x =与双曲线ky x=与相交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧）．(1)当25AB =k 的值；(2)点B 关于y 轴的对称点为C ，连接AC BC ，；①判断ABC 的形状，并说明理由；②当ABC 的面积等于16时，双曲线上是否存在一点P ，连接AP BP ，，使PAB 的面积等于ABC 面积？若存在，求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由．22．如图，矩形ABCD 的面积为8，它的边CD 位于x 轴上．双曲线4y x=经过点A ，与矩形的边BC 交于点E ，点B 在双曲线4ky x+=上，连接AE 并延长交x 轴于点F ，点G 与点О关于点C 对称，连接BF ，BG ．(1)求k 的值；(2)求BEF △的面积；(3)求证：四边形AFGB 为平行四边形．23．如图，直线y x m =-+与反比例函数ky x=的图象相交于点()2A n -，，与x 轴交于点()20B ，．(1)求m 和k 的值．(2)若点()P t t ，与点O 关于直线AB 对称，连接AP ．①求点P 的坐标；②若点M在反比例函数kyx=的图象上，点N在x轴上，以点A P M N，，，为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，直接写出点M的坐标；若不能，请说明理由．24．如图，菱形OABC的点B在y轴上，点C坐标为（12，5），双曲线kyx=的图象经过点A．(1)菱形OABC的边长为____；(2)求双曲线的函数关系式；(3)①点B关于点O的对称点为D点，过D作直线l垂直于y轴，点P是直线l上一个动点，点E在双曲线上，当P、E、A、B四点构成平行四边形时，求点E的坐标；②将点P绕点A逆时针旋转90°得点Q，当点Q落在双曲线上时，求点Q的坐标．参考答案1．B【分析】根据题中的新定义：可得出对径AB=OA+OB=2OA ，由已知的对径长求出OA 的长，过A 作AM 垂直于x 轴，设A （a ，a ）且a>0，在直角三角形AOM 中，利用勾股定理列出关于a 的方程，求出方程的解得到a 的值，确定出A 的坐标，将A 的坐标代入反比例解析式中，即可求出k 的值．解：过A 作AM ⊥x 轴，交x 轴于点M，如图所示：设A (a ,a )，a >0，可得出AM =OM =a ，又∵双曲线的对径AB=，∴OA =OB=在Rt △AOM 中,根据勾股定理得：AM 2+OM 2=OA 2，则a 2+a 2=()2，解得：a =2或a =−2(舍去)，则A (2,2)，将x =2,y =2代入反比例解析式得：2=2k，解得：k =4故选B 2．D解：试题分析：过点C 作CD ⊥y 轴于点D ，过点A 作AE ⊥y 轴于点E ．∵111··222ABCD CD OB AE OB S ==四边形，∴CD=AE ．由题意，易得四边形ONCD 与四边形OMAE 均为矩形，∴CD=ON ，AE=OM ，∴ON=OM ．∵，CN·ON=2k ，AM·OM=1k ∴12k AMCN k =，结论①正确．由题意1k ＞0，2k ＜0，∴阴影部分的面积为121211()()22k k k k +=-，∴结论②错误．当∠AOC=90°时，易得△CON ∽△OAM ，要使12k k =成立，则需△CON ≌△OAM ，而△CON 与△OAM 不一定全等，故结论③错误．若四边形OABC 为菱形，则OA=OC ，∵ON=OM ，∴Rt △ONC ≌Rt △OMA （HL ），∴1k =2k ，即1k =－2k ，∴两双曲线既关于x 轴对称，也关于y 轴对称，结论④正确．考点：反比例函数的性质、三角形全等．3．C【分析】过A 作,AF OD EG OD ⊥⊥,连接OC 、OE ，根据点A 与点B 关于原点对称，∠ACB=90°，AC 平分∠BAD 得出//AE OC ，从而得出三角形AEC 的面积与三角形AOE的面积相等，设,k A m m ⎛⎫⎪⎝⎭，根据E 是AD 的中点得出2,2k E m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭得出三角形OAE 的面积等于四边形AFGE 的面积建立等量关系求解．解：过A 作,AF OD EG OD ⊥⊥,连接OC ，连接OE ：∵点A 与点B 关于原点对称，∠ACB=90°∴,OA OB OC OCA OAC ==∠=∠又∵AC 平分∠BAD ∴OAC CAD =∠∠∴//AE OC ∴AEO AECS S ∆∆=设,k A m m ⎛⎫⎪⎝⎭，根据E 是AD 的中点得出:2,2k E m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭∴1622AEO AFGE kk S S m m m ∆⎛⎫==+⨯⨯= ⎪⎝⎭四解得：8k =故答案选：C ．【点拨】本题考查反比例函数与几何综合，有一定的难度．将三角形AEC 的面积转化与三角形AOE 的面积相等是解题关键．4．A【分析】根据轴对称的性质和图象点的特征可知①正确；根据点1,22⎛⎫- ⎪⎝⎭关于y=2的对称点坐标在函数3y x =图象上，即可判定②正确；由3y x =上任意一点为(),x y ，则点(),x y 与2y =对称点的纵坐标为34x-可判断③错误；由关于2y =对称点性质可判断④不正确；解： 点3(2，2)是函数3y x =的图象的点，也是对称轴直线2y =上的点，∴点3(2，2)是图象C 与函数3y x =的图象交于点；∴①正确；点1(2，2)-关于2y =对称的点为点1(2，6)，1(2，6)在函数3y x =上，∴点1(2，2)-在图象C 上；∴②正确；3y x=中0y ≠，0x ≠，取3y x=上任意一点为(),x y ，则点(),x y 与2y =对称点的纵坐标为34x-；∴图象C 上的点的纵坐标不一定小于4.故③错误；1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y 关于2y =对称点为1(x ，14)y -，2(B x ，24)y -在函数3y x=上，1134y x ∴-=，2234y x -=，若120x x >>，则12y y >；若120x x >>或120x x >>，则12y y <；∴④不正确；故选A ．【点拨】本题考查反比例函数图象及性质及轴对称的性质；熟练掌握函数关于直线的对称时，对应点关于直线对称是解题的关键．5．A【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征由A点坐标为（-2，2）得到k=-4，即反比例函数解析式为y=-4x，且OB=AB=2，则可判断△OAB为等腰直角三角形，所以∠AOB=45°，再利用PQ⊥OA可得到∠OPQ=45°，然后轴对称的性质得PB=PB′，BB′⊥PQ，所以∠BPQ=∠B′PQ=45°，于是得到B′P⊥y轴，则点B的坐标可表示为（-4t，t），于是利用PB=PB′得t-2=|-4t|=4t，然后解方程可得到满足条件的t的值．解：如图，∵点A坐标为（-2，2），∴k=-2×2=-4，∴反比例函数解析式为y=-4 x，∵OB=AB=2，∴△OAB为等腰直角三角形，∴∠AOB=45°，∵PQ⊥OA，∴∠OPQ=45°，∵点B和点B′关于直线l对称，∴PB=PB′，BB′⊥PQ，∴∠B′PQ=∠OPQ=45°，∠B′PB=90°，∴B′P⊥y轴，∴点B′的坐标为（-4t，t），∵PB=PB′，∴t-2=|-4t |=4t，整理得t 2-2t-4=0，解得t1=1，（不符合题意，舍去），∴t的值为1．故选A ．【点拨】本题是反比例函数的综合题，解决本题要掌握反比例函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形的性质和轴对称的性质及会用求根公式法解一元二次方程．6．A【分析】先确定对称点坐标为（-1，-3），将其代入反比例函数ky x=中求得k=3，得到函数解析式，根据函数的性质解答.解：点()1,3-关于y 轴的对称点坐标为（-1，-3），将（-1，-3）代入ky x=，得k=(1)(3)3-⨯-=，∴反比例函数解析式为3y x=，∵k=3>0，∴在每个象限内y 随着x 的增大而减小，故A 错误；当x=1时，y=3，故B 正确；当1x ≥时，03y <≤，故C 正确；解方程组3y x y x =⎧⎪⎨=⎪⎩，得x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩故函数3y x=图像与直线y x =故D 正确，故选：A.【点拨】此题考查待定系数法求反比例函数解析式，轴对称的性质，反比例函数的性质，函数图象交点问题.7．D【分析】①若4k =，则计算163OEF S ∆=，故命题①正确；②如答图所示，若218=k ，可证明直线EF 是线段CN 的垂直平分线，故命题②正确；③因为点F 不经过点(4,3)C ，所以12k ≠，即可得出k 的范围；④求出直线EF 的解析式，得到点D 、G 的坐标，然后求出线段DE 、EG 的长度；利用算式2512DE EG =，求出1k =，故命题④正确．解：命题①正确．理由如下：4k = ，4(3E ∴，3)，(4,1)F ，48433CE ∴=-=，312CF =-=．1111411843341222223223OEF AOE BOF CEF AOBC AOBC S S S S S S OA AE OB BF CE CF ∆∆∆∆∴=---=-⋅-⋅-⋅=⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=矩形矩形，故①正确；命题②正确．理由如下：218k =，7(8E ∴，3)，21(4,)32F ，725488CE ∴=-=，217533232CF =-=．如答图，过点E 作EM x ⊥轴于点M ，则3EM =，78OM =；在线段BM 上取一点N ，使得258EN CE ==，连接NF ．在Rt EMN ∆中，由勾股定理得：78MN =，7794884BN OB OM MN ∴=--=--=．在Rt BFN ∆中，由勾股定理得：7532NF ==．NF CF ∴=，又EN CE = ，∴直线EF 为线段CN 的垂直平分线，即点N 与点C 关于直线EF 对称，故②正确；命题③正确．理由如下：由题意，点F 与点(4,3)C 不重合，所以4312k ≠⨯=，012k ∴<<，故③正确；命题④正确．理由如下：设12k m =，则(4,3)E m ，(4,3)F m ．设直线EF 的解析式为y ax b =+，则有4343ma b a b m +=⎧⎨+=⎩，解得3433a b m ⎧=-⎪⎨⎪=+⎩，3334y x m ∴=-++．令0x =，得33y m =+，(0,33)D m ∴+；令0y =，得44x m =+，(44,0)G m ∴+．如答图，过点E 作EM x ⊥轴于点M ，则4OM AE m ==，3EM =．在Rt ADE ∆中，3AD OD OA m =-=，4AE m =，由勾股定理得：5DE m =；在Rt MEG ∆中，(44)44MG OG OM m m =-=+-=，3EM =，由勾股定理得：5EG =．25552512DE EG m m ∴=⨯==，解得112m =，121k m ∴==，故命题④正确．综上所述，正确的命题是：①②③④，共4个，故选：D．【点拨】此题是反比例函数综合题，主要考查了函数的图象与性质、反比例函数图象上点的坐标特征、比例系数k 的几何意义、待定系数法、矩形及勾股定理等多个知识点，有一定的难度．本题计算量较大，解题过程中注意认真计算．8．A【分析】根据题意画出图形，①将32x =代入3y x =得2y =，从而可判断①正确；②令12x =时，16y =，即162⎛⎫ ⎪⎝⎭，关于2y =时的对称点为122⎛⎫- ⎪⎝⎭，从而可判断②正确；③根据图形分析可得C 右侧图与x 轴间距离小于4，但y 轴左侧与x 轴距离大于4，从而可判断③错误；④由图像即可判断④错误．解：由图像C与反比例函数3yx=关于2y=对称可得如下图，①当32x=时，2y=，故①正确；②当12x=时，16y=，即162⎛⎫⎪⎝⎭，关于2y=时的对称点为122⎛⎫-⎪⎝⎭，，故②正确；③如图：3yx=与2y=之间距离小于2，即C与x轴间距离小于4（C右侧图），但y 轴左侧与x轴距离大于4，故③错误；④当0x>时，12x x>，则124y y>>；当0x<时，12x x>，则124y y>>；∴当x1＞0＞x2时，y2＞y1故④错误．故答案为：A．【点拨】本题考查了反比例函数图象及性质；熟练掌握函数关于直线对称时，对应点关于直线对称是解题的关键．9．D【分析】根据题意，由反比例函数的性质和一次函数的性质分别求出点A、B、C的坐标，然后通过计算，分别进行判断，即可得到答案．解：根据题意，由22yxy x⎧=⎪⎨⎪=⎩，解得：12xy=⎧⎨=⎩或12xy=-⎧⎨=-⎩，∴点A为（1，2），点B为（1-，2-），∴点A与点B关于原点对称；故①③正确；由21y x y x ⎧=⎪⎨⎪=+⎩，解得：12x y =⎧⎨=⎩或21x y =-⎧⎨=-⎩，∴点C 为（2-，1-）；∴OA ==OC ==∴OA OC =，故②正确；∵AC ==，AB ==，BC =∵222=+，∴222AB AC BC =+，∴ABC ∆是直角三角形，故④正确；故选：D ．【点拨】本题考查了反比例函数的性质，一次函数的性质，勾股定理求两点间的长度，以及两直线的交点问题，解题的关键是熟练掌握所学的性质进行解题．10．B【分析】①若6k =，则计算92OEF S = ，故命题①正确；②如答图所示，若218=k ，可证明直线EF 是线段CN 的垂直平分线，故命题②正确；③因为点F 不经过点()4,3C ，所以12k ≠，即可得出k 的范围；④求出直线EF 的解析式，得到点D 、G 的坐标，然后求出线段DE 、EG 的长度；利用算式256DE EG ⋅=，求出1k =，故命题④错误．解：命题①正确．理由如下：6k =Q ，()2,3E ∴，34,2F ⎛⎫⎪⎝⎭，422CE ∴=-=，33322CF =-=，111222OEF AOE BOF CEF AOBC AOBC S S S S S S OA AE OB BF CE CF∴=---=-⋅-⋅-⋅矩形矩形 113139433242222222=⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=，故①正确；命题②正确．理由如下：218k =，7,38E ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，214,32F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，725488CE ∴=-=，217533232CF =-=．如答图，过点E 作EM x ⊥轴于点M ，则3EM =，78OM =；在线段BM 上取一点N ，使得258EN CE ==，连接NF ．在Rt EMN △中，由勾股定理得：78MN ==，7794884BN OB OM MN ∴=--=--=．在Rt BFN △中，由勾股定理得：7532NF =．NF CF ∴=，又EN CE = ，∴直线EF 为线段CN 的垂直平分线，即点N 与点C 关于直线EF 对称，故②正确；命题③错误．理由如下：由题意，点F 与点()4,3C 不重合，所以4312k ≠⨯=，012k ∴<<，故③错误；命题④错误．理由如下：设12k m =，则()4,3E m ，()4,3F m ．设直线EF 的解析式为y ax b =+，则有4343ma b a b m +=⎧⎨+=⎩，解得3433a b m ⎧=-⎪⎨⎪=+⎩，3334y x m ∴=-++．令0x =，得33y m =+，()0,33D m ∴+；令0y =，得44x m =+，()44,0G m ∴+．如答图，过点E 作EM x ⊥轴于点M ，则4OM AE m ==，3EM =．在Rt ADE △中，3AD OD OA m =-=，4AE m =，由勾股定理得：5DE m =；在Rt MEG 中，()4444MG OG OM m m =-=+-=，3EM =，由勾股定理得：5EG =．25552512DE EG m m ∴⋅=⨯==，解得112m =，121k m ∴==，故命题④错误．综上所述，正确的命题是：①②，共2个，故选：B．【点拨】本题属于反比例函数综合题，考查勾股定理，待定系数法求一次函数解析式，反比例函数图象上点的坐标特征等，综合性比较强，难度较大．11．1【分析】设点11k A x x ⎛⎫⎪⎝⎭，，关于y 轴得对称点11'(,)k A x x -，设点22(,)k B x x ，关于y 轴得对称点22’,k B x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，代入21y x m =++，求出k ，再求1212y y x x ++即可．解：A 、B 两点为反比例函数()0ky k x=<的图像上，点A 、B 的坐标分别为1122(,),(,)x y x y ，则点11k A x x ⎛⎫⎪⎝⎭，，关于y 轴得对称点11'(,)k A x x -，设点22(,)k B x x ，关于y 轴得对称点22,k B x x '⎛⎫- ⎪⎝⎭，把A ′、B ′坐标分别代入21y x m =++得，1121k x m x =-++和2221kx m x =-++，两式相减得，1212k kx x x x -=-+，解得12k x x =，则12y x =，21y x =122112121y y x x x x x x ++==++，故答案为1．【点拨】本题考查了一次函数和反比例函数的综合，解题关键是熟练运用一次函数和反比例函数知识，通过设坐标建立等量关系，表示出比例系数．12．2y x=-【分析】根据题意，设点A 为（x ，y ），则AB=2y ，由点C 在y 轴上，则△ABC 的AB 边上的高为x ，结合面积公式，即可求出k 的值.解：∵反比例函数ky x=的图像经过点A ，∴设点A 为（x ，y ），且点A 在第二象限，∵点B 与点A 关于x 轴对称，∴AB=2y ，∵点C 在y 轴上，∴△ABC 的AB 边上的高为x ，∴1222S y x =⨯⨯=，∴2x y =g ，∵点A 在第二象限，则0x <，∴2x y xy =-=g ，∴2xy =-，即2k =-，∴反比例函数的解析式为：2y x =-.故答案为：2y x=-.【点拨】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征和反比例函数的几何意义，能根据三角形的面积求出xy 的值是解此题的关键．13．（1）（4，0）；（2）4≤t ≤-t ≤－4【分析】（1）当点O′与点A 重合时，即点O 与点A 重合，进一步解直角三角形AOB ，利用轴对称的现在解答即可；（2）分别求出O′和B′在双曲线上时，P 的坐标即可．解：（1）当点O´与点A 重合时，∵∠AOB=60°，过点P 作直线OA 的垂线l ，以直线l 为对称轴，线段OB 经轴对称变换后的像是O´B´．AP′=OP′，∴△AOP′是等边三角形，∵B （2，0），∴BO=BP′=2，∴点P 的坐标是（4，0），（2）∵∠AOB=60°，∠P′MO=90°，∴∠MP′O=30°，∴OM=12t ，OO′=t ，过O′作O′N ⊥X 轴于N ，∠OO′N=30°，∴ON=12t ，，∴O′（12tt ），根据对称性可知点P 在直线O′B′上，设直线O′B′的解析式是y=kx+b，代入得1220tk b tk b ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩，解得：k b ⎧=⎪⎨=⎪⎩∴y=①，∵∠ABO=90°，∠AOB=60°，OB=2，∴OA=4，∴A （2，∴2，即x 2﹣tx+4=0③，b 2﹣4ac=t 2﹣4×1×4≥0，解得：t≥4，t≤﹣4．又O′B′=2，根据对称性得B′点横坐标是1+12 t，当点B′为直线与双曲线的交点时，由③得，（x﹣12t）2﹣24t+4=0，代入，得（1+12t﹣12t）2﹣24t+4=0，解得而当线段O′B′与双曲线有交点时，t≥﹣综上所述，t的取值范围是﹣4．【点拨】本题主要考查对用待定系数法求一次函数、反比例函数的解析式，勾股定理，解二元一次方程组，解不等式，含30度角的直角三角形的性质，三角形的内角和定理，根的判别式等知识点的理解和掌握，能综合运用这些性质进行计算是解此题的关键，此题是一个拔高的题目，有一定的难度．14【分析】过点P作x轴垂线PG，连接BP，可得BP＝2，G是CD的中点，所以P（2，D（3，0），E，待定系数法求出DE的解析式为y-，联立反比例函数与一次函数即可求点Q的坐标．解：过点P作x轴垂线PG，连接BP，∵P是正六边形ABCDEF的对称中心，CD＝2，∴BP＝2，G是CD的中点，∴CG=1，CP=2，∴PG∴P （2∵P 在反比例函数ky x=上，∴k ＝∴y =∵OD=OC+CD=3,BE=2BP=4,∴D （3，0），E （4设DE 的解析式为y ＝mx ＋b ，∴304m b m b +=⎧⎪⎨+=⎪⎩∴m b ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，∴y -，联立方程y y x ⎧=-⎪⎨=⎪⎩解得x =∵Q 点在第一象限，∴Q【点拨】本题考查反比例函数的图象及性质，正六边形的性质；将正六边形的边角关系与反比例函数上点的坐标将结合是解题的关系．15．4或163【分析】（1）设矩形OAPB 的两边为m 、n ，利用反比例函数k 的几何意义得到6mn =，再根据勾股定理得到22210m n +=，根据完全平分公式变形得到2()2100m n mn +-=，则可计算出m n +=OAPB 的周长；（2）当E 关于直线AB 的对称点F 恰好落在x 轴上，如图2，AB 与EF 相交于点Q ，利用三角形面积公式得到4ABE S ∆=，再根据对称轴的性质得AB 垂直平分EF ，EQ FQ =，接着证明FQ 垂直平分AB 得到BQ AQ =，所以122AQE ABE S S ∆∆==，则24AEF AQE S S ∆∆==；当E 关于直线AB 的对称点F 恰好落在y 轴上，如图3，证明四边形OAPB 为正方形得到P ，则可计算出83BEF S ∆=，而2AOE APE S S ∆∆==，于是得到163AEF S ∆=．解：（1）设矩形OAPB 的两边为m 、n ，则12mn =，矩形的对角线10AB =，22210m n ∴+=，2()2100m n mn ∴+-=，2()100212m n ∴+=+⨯，m n ∴+=，∴矩形OAPB 的周长为，故答案为；（2）当E 关于直线AB 的对称点F 恰好落在x 轴上，如图2，AB 与EF 相交于点Q ，矩形OAPB 的面积12=，而2BE PE =，4ABE S ∆∴=，点E 与点F 关于AB 对称，AB ∴垂直平分EF ，EQ FQ =，AE AF ∴=，AEF AFE ∴∠=∠，//PB OA ，AFE BEF ∴∠=∠，BEF AEF ∴∠=∠，FQ ∴垂直平分AB ，BQ AQ ∴=，122AQE ABE S S ∆∆∴==，24AEF AQE S S ∆∆∴==；当E 关于直线AB 的对称点F 恰好落在y 轴上，如图3，点E 与点F 关于AB 对称，BE BF ∴=，AB EF ⊥，BEF ∴∆为等腰直角三角形，AB ∴平分OBP ∠，∴四边形OAPB 为正方形，P ∴，BE BF ∴=1823BEF S ∆∴==，而2AOF APE S S ∆∆==，816122233AEF S ∆∴=---=，综上所述，AEF ∆的面积为4或163，故答案为4或163．【点拨】本题考查了反比例函数的综合题：熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数k 的几何意义和轴对称的性质；灵活运用矩形的性质进行几何计算；理解坐标与图形性质．16．72【分析】先根据反比例函数的性质可得直线AO 的解析式为y x =，从而可得45AOB ∠=︒，再根据等腰直角三角形的判定可得Rt AEF △是等腰直角三角形，从而可得AG EG FG ==，然后设点A 的坐标为(,)(0)A a a a >，点E 的坐标为7(,)(0)E b b b>，由此可得AG FG EG b a ===-，AH OH a ==，7AG AH GH a b =-=-，从而可得72a b b-=，最后利用Rt AOH 面积减去Rt AFG 面积即可得．解： 反比例函数7y x=的图象关于AO 所在的直线对称，∴直线AO 的解析式为y x =，45AOB ∴∠=︒，AH OB ⊥ ，//EF OB ，,45AH EF AFE AOB ∴⊥∠=∠=︒，Rt AEF ∴ 是等腰直角三角形，AG EG FG ∴==（等腰三角形的三线合一），设点A 的坐标为(,)(0)A a a a >，点E 的坐标为7(,0)E b b b>，AG FG EG b a ∴===-，AH OH a ==，7AG AH GH a b=-=-，7b a a b ∴-=-，即72a b b-=，则四边形OHGF 的面积为1122Rt AOH Rt AFG S S AH OH FG AG -=⋅-⋅ ，2211()22a b a =--，1(2)2b a b =-，72=，故答案为：72．【点拨】本题考查了反比例函数与几何综合、等腰直角三角形的三线合一等知识点，熟练掌握反比例函数的性质是解题关键．17．①②【分析】①若k ＝4，则计算S △OEF ＝163，故命题①正确；②若218=k ，可证明直线EF 是线段CN 的垂直平分线，故命题②正确；③因为点F 不经过点C （4，3），所以k ≠12，故命题③错误；④求出直线EF 的解析式，得到点D 、G 的坐标，然后求出线段DE 、EG 的长度；利用算式2512DE EG ⋅=，求出k ＝1，故命题④错误．解：命题①正确．理由如下：∵k ＝4，∴E （43，3），F （4，1），∴CE ＝4−43＝83，CF ＝3−1＝2．∴S △OEF ＝S 矩形AOBC −S △AOE −S △BOF −S △CEF＝S 矩形AOBC −12OA •AE −12OB •BF −12CE •CF ＝4×3−12×3×43−12×4×1−12×83×2＝12−2−2−83＝163，故命题①正确；命题②正确．理由如下：∵218=k ，∴E （78，3），F （4，2132），∴CE ＝4−78＝258，CF ＝3−2132＝7532．如图，过点E 作EM ⊥x 轴于点M ，则EM ＝3，OM ＝78；在线段BM 上取一点N ，使得EN ＝CE ＝258，连接NF ．在Rt △EMN 中，由勾股定理得：MN 2＝EN 2−EM 2=2225()38-，∴MN ＝78，∴BN ＝OB −OM −MN ＝4−78−78＝94．在Rt △BFN 中，由勾股定理得：NF 2＝BN 2＋BF 2=22921432⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴NF ＝7532．∴NF ＝CF ，又EN ＝CE ，∴直线EF 为线段CN 的垂直平分线，即点N 与点C 关于直线EF对称，故命题②正确；命题③错误．理由如下：由题意，得点F 与点C （4，3）不重合，所以k ≠4×3＝12，故命题③错误；命题④正确．理由如下：设k ＝12m ，则E （4m ，3），F （4，3m ）．设直线EF 的解析式为y ＝ax ＋b ，则4343ma b a b m ⎧⎨⎩＋＝＋＝，解得3433a b m ⎧-⎪⎨⎪+⎩＝＝，∴y ＝34-x ＋3m ＋3．令x ＝0，得y ＝3m ＋3，令y ＝0，得x ＝4m ＋4，∴D （0，3m ＋3），G （4m ＋4，0）．如图，过点E 作EM ⊥x 轴于点M ，则OM ＝AE ＝4m ，EM ＝3．在Rt △ADE 中，AD ＝OD −OA ＝3m ，AE ＝4m ，由勾股定理得：DE ＝5m ；在Rt △MEG 中，MG ＝OG −OM ＝（4m ＋4）−4m ＝4，EM ＝3，由勾股定理得：EG ＝5．∴DE •EG ＝5m ×5＝25m ＝2512，解得m ＝112，∴k ＝12m ＝1，故命题④错误．综上所述，正确的命题是：①②，故答案为：①②．【点拨】本题综合考查函数的图象与性质，反比例函数图象上点的坐标特征、比例系数k 的几何意义、待定系数法求解析式、矩形的性质及勾股定理等知识点，本题计算量较大，正确的计算能力是解决问题的关键．18．【分析】连接AB 、BD 交于点N ，作BM x ⊥轴于点M ，设线段PM a =，得BM ，由菱形ABCD 和菱形GFED 关于点D 成中心对称结合120APO ∠=︒可得点A 和点F 的坐标，再结合反比例函数图象上点的坐标特征列出方程，求a ，最后求得k ．解：连接AB 、BD 交于点N ，作BM x ⊥轴于点M ，设PM a =，120APO ∠=︒ ，BM ∴，2PB a =，菱形ABCD 和菱形GFED 关于点D 成中心对称，点C ，G 在x 轴的正半轴上，AC x ∴⊥轴，AB BC =，30PAC ∴∠=︒，60BAD =∴∠︒，60BCP ∴∠=︒，CM BN ND PM a ∴====，2AC BM ==，∴点(12A a +，)，(15)F a +，点A 和点F 在反比例函数图象上，(12)(15)a a ∴+=+，解得：0a =（舍)或1a =，(3A ∴，，3k ∴=⨯=故答案为：【点拨】本题考查了菱形的性质、含30︒角的直角三角形三边关系、反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是利用菱形的性质表达出点A 和点F 的坐标．19．(1)点B 在反比例函数8y x=-的图象上，理由见分析；(2)见分析；(3)()4,0，()和()5,0【分析】（1）求出点B 的坐标，判断即可；（2）证明OA =OB ，OC =OD ，推出四边形ADBC 是平行四边形，再证明AB =CD ，可得结论；（3）当四边形OBPQ 是菱形时，对图形进行分类讨论，设点P 的坐标为(,0)m ，然后根据邻边相，用两点间距离公式表示线段长度列方程即可．解：（1）结论：点B 在反比例函数8y x=-的图象上，理由如下：∵反比例函数8y x=-的图象经过点A ，点A 的横坐标是－2，∴把2x =-代入8y x=-中，得842y =-=-，∴点A 的坐标是()2,4-，∵点A 关于坐标原点O 的对称点为点B ，∴点B 的坐标是()2,4-，把2x =代入8y x=-中，得842y =-=-，∴点B 在反比例函数8y x=-的图象上；（2）证明：在反比例函数8y x=-中令x =4则y =-2，∵过坐标原点O 作直线交反比例函数8y x=-的图象于点C 和点D ，∴C ，D 关于原点对称，∴C （4，-2），D （-4，2），OC =OD ，∵A ，B 关于原点对称，∴OA =OB ，∴四边形ACBD 是平行四边形，∵∴AB =CD ，∴四边形ACBD 是矩形；（3）设点P 的坐标为(,0)m ，如图，当四边形OBP 1Q 1是菱形时，可得1OB OP =，∴22m +=，解得4m =，∴P 1()4,0；当四边形OBQ 2P 2是菱形时，可得2OB OP =，∴2OB OP =∴P 2()；当四边形OP 3BQ 3是菱形时，可得33OP BP =,∴m =，解得5m =，∴P 3()5,0，综上所述，满足条件的点P 的坐标分别为()4,0，()和()5,0．【点拨】本题属于反比例函数综合题，考查了反比例函数的性质，一次函数的性质，矩形的判定和性质，菱形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．20．(1)点E 在这个反比例函数的图像上，理由见分析；(2)①1k =，2b =；②点P 的坐标为(0,2)-【分析】（1）设点A 的坐标为8(,)m m，根据轴对称的性质得到AD CE ⊥，AD 平分CE ，如图，连接CE 交AD 于H ，得到CH EH =，再结合等腰三角形三线合一得到CH 为ACD ∆边AD 上的中线，即AH HD =，求出4,H m m ⎛⎫⎪⎝⎭，进而求得4(2,E m m ，于是得到点E 在这个反比例函数的图像上；（2）①根据正方形的性质得到AD CE =，AD 垂直平分CE ，求得12CH AD =，设点A 的坐标为8(,m m，得到2m =（负值舍去），求得(2,4)A ，(0,2)C ，把(2,4)A ，(0,2)C 代入y kx b =+得，解方程组即可得到结论；②延长ED 交y 轴于P ，根据已知条件得到点B 与点D 关于y 轴对称，求得PE PD PE PB -=-，则点P 即为符合条件的点，求得直线DE 的解析式为2y x =-，于是得到结论．（1）解：点E 在这个反比例函数的图像上．理由如下：一次函数(0)y kx b k =+>的图像与反比例函数8(0)y x x=>的图像交于点A ，∴设点A 的坐标为8(,m m， 点C 关于直线AD 的对称点为点E ，AD CE ∴⊥，AD 平分CE ，连接CE 交AD 于H ，如图所示：CH EH ∴=，AD x ⊥ 轴于D ，CE x ∴∥轴，90ADB ∠=︒，90CDO ADC ∴∠+∠=︒，CB CD = ，CBO CDO ∴∠=∠，在Rt ABD ∆中，90ABD BAD ∠+∠=︒，CAD CDA ∴∠=∠，CH ∴为ACD ∆边AD 上的中线，即AH HD =，4,H m m ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，4(2,)E m m∴，428m m⨯= ，∴点E 在这个反比例函数的图像上；（2）解：① 四边形ACDE 为正方形，AD CE ∴=，AD 垂直平分CE ，12CH AD ∴=，设点A 的坐标为8(,)m m，CH m ∴=，8AD m=，182m m∴=⨯，2m ∴=（负值舍去），(2,4)A ∴，(0,2)C ，把(2,4)A ，(0,2)C 代入y kx b =+得242k b b +==⎧⎨⎩，∴12k b =⎧⎨=⎩；②延长ED 交y 轴于P ，如图所示：CB CD = ，OC BD ⊥，∴点B 与点D 关于y 轴对称，PE PD PE PB ∴-=-，则点P 即为符合条件的点，由①知，(2,4)A ，(0,2)C ，(2,0)D ∴，(4,2)E ，设直线DE 的解析式为y ax n =+，∴2042a n a n +=+=⎧⎨⎩，解得12a n ==-⎧⎨⎩，∴直线DE 的解析式为2y x =-，当0x =时，=2y -，即()0,2-，故当PE PB -最大时，点P 的坐标为(0,2)-．【点拨】本题考查了反比例函数的综合题，正方形的性质，轴对称的性质，待定系数法求一次函数的解析式，正确地作出辅助线是解题的关键．21．(1)2k =；(2)①ABC 为直角三角形，理由见分析；②点P 的坐标为(2-++或(2---或()24+-或()24---．【分析】（1）设点B 的坐标为(2)m m ，，则点(2)A m m --，，则22AB =，即可求解；（2）①点A 、C 的横坐标相同，AC y 轴，点B 关于y 轴的对称点为C ，故BC y ⊥轴，即可求解；②过点C 作直线m AB ，交反比例函数于点P ，则点P 符合题设要求，同样在AB。
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例题分析
1．反比例函数的概念
（1）下列函数中，y是x的反比例函数的是（）．
A．y=3x B．C．3xy=1 D．
（2）下列函数中，y是x的反比例函数的是（）．
A．B．C．D．
2．图象和性质
（1）已知函数是反比例函数，
①若它的图象在第二、四象限内，那么k=___________．
②若y随x的增大而减小，那么k=___________．
（2）已知一次函数y=ax+b的图象经过第一、二、四象限，则函数的图象位于第________象限．
（3）若反比例函数经过点（，2），则一次函数的图象一定不经过第_____象限．
（4）已知a·b＜0，点P（a，b）在反比例函数的图象上，
则直线不经过的象限是（）．
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
（5）若P（2，2）和Q（m，）是反比例函数图象上的两点，则一次函数y=kx+m的图象经过（）．
A．第一、二、三象限B．第一、二、四象限
C．第一、三、四象限D．第二、三、四象限
（6）已知函数和（k≠0），它们在同一坐标系内的图象大致是（）．A．B．C．D．
3．函数的增减性
（1）在反比例函数的图象上有两点，，且，则的值为（）．
A．正数B．负数C．非正数D．非负数
（2）在函数（a为常数）的图象上有三个点，，，则函数值、、的大小关系是（）．
A．＜＜B．＜＜C．＜＜D．＜＜
（3）下列四个函数中：①；②；③；④．
y随x的增大而减小的函数有（）．
A．0个B．1个C．2个D．3个
（4）已知反比例函数的图象与直线y=2x和y=x+1的图象过同一点，则当x＞0时，这个反比例函数的函数值y随x的增大而（填“增大”或“减小”）．
4．解析式的确定
（1）若与成反比例，与成正比例，则y是z的（）．
A．正比例函数B．反比例函数C．一次函数D．不能确定
（2）若正比例函数y=2x与反比例函数的图象有一个交点为（2，m），则
m=_____，k=________，它们的另一个交点为________．
（3）已知反比例函数的图象经过点，反比例函数的图象在第二、四象限，求的值．
（4）已知一次函数y=x+m与反比例函数（）的图象在第一象限内的交点为P （x 0，3）．
①求x 0的值；②求一次函数和反比例函数的解析式．
（5）为了预防“非典”，某学校对教室采用药薰消毒法进行消毒．已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y （毫克）与时间x （分钟）成正比例，药物燃烧完后，y与x 成反比例（如图所示），现测得药物8分钟燃毕，此时室内空气中每立方米的含药量为6毫克．请根据题中所提供的信息解答下列问题：
①药物燃烧时y关于x的函数关系式为___________，自变量x 的取值范围是
_______________；药物燃烧后y关于x的函数关系式为_________________．
②研究表明，当空气中每立方米的含药量低于1.6毫克时学生方可进教室，那么从消毒开始，至少需要经过_______分钟后，学生才能回到教室；
③研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于3毫克且持续时间不低于10 分钟时，才能有效杀灭空气中的病菌，那么此次消毒是否有效？为什么？
5．面积计算
（1）如图，在函数的图象上有三个点A、B、C，过这三个点分别向x轴、y 轴作垂线，过每一点所作的两条垂线段与x轴、y轴围成的矩形的面积分别为、、，则（）．
A．B．C．D．
第（1）题图第（2）题图
（2）如图，A、B是函数的图象上关于原点O对称的任意两点，AC//y轴，BC//x 轴，△ABC的面积S，则（）．
A．S=1 B．1＜S＜2C．S=2 D．S＞2
（3）如图，Rt△AOB的顶点A在双曲线上，且S△AOB=3，求m的值．
第（3）题图第（4）题图
（4）已知函数的图象和两条直线y=x，y=2x在第一象限内分别相交于P1和P2两点，过P1分别作x轴、y轴的垂线P1Q1，P1R1，垂足分别为Q1，R1，过P2分别作x 轴、y轴的垂线P2 Q 2，P2 R 2，垂足分别为Q 2，R 2，求矩形O Q 1P1 R 1和O Q 2P2 R 2的周长，并比较它们的大小．
（5）如图，正比例函数y=kx（k＞0）和反比例函数的图象相交于A、C两点，过A作x轴垂线交x轴于B，连接BC，若△ABC面积为S，则S=_________．
第（5）题图第（6）题图（6）如图在Rt△ABO中，顶点A是双曲线与直线在第四象限
的交点，AB⊥x轴于B且S△ABO=．
①求这两个函数的解析式；
②求直线与双曲线的两个交点A、C的坐标和△AOC的面积．
（7）如图，已知正方形OABC的面积为9，点O为坐标原点，点A、C分别在x轴、
y轴上，点B在函数（k＞0，x＞0）的图象上，点P （m，n）是函数（k＞0，x＞0）的图象上任意一点，过P分别作x轴、y轴的垂线，垂足为E、F，设矩形OEPF在正方形OABC以外的部分的面积为S．
①求B点坐标和k的值；②当时，求点P的坐标；③写出S关于m的函数关系式．
6．综合应用
（1）若函数y=k1x（k1≠0）和函数（k2 ≠0）在同一坐标系内的图象没有公共点，则k1和k2（）．
A．互为倒数B．符号相同C．绝对值相等D．符号相反
（2）如图，一次函数的图象与反比例数的图象交于A、B两点：A （，1），B（1，n）．
①求反比例函数和一次函数的解析式；
②根据图象写出使一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围．
（3）如图所示，已知一次函数（k≠0）的图象与x 轴、y轴分别交于A、B
两点，且与反比例函数（m≠0）的图象在第一象限交于C点，CD垂直于x轴，垂足为D，若OA=OB=OD=1．
①求点A、B、D的坐标；
②求一次函数和反比例函数的解析式．
（4）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第一象限C、D
两点，坐标轴交于A、B两点，连结OC，OD（O是坐标原点）．
①利用图中条件，求反比例函数的解析式和m的值；
②双曲线上是否存在一点P，使得△POC和△POD的面积相等？若存在，给出证明并求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
（5）不解方程，判断下列方程解的个数．
①；②．。