8.2空间中的平行的判定和性质

N MB 1A 1C 1CBA直线、平面平行的判定与性质例1.如图，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，CC 1⊥底面ABC ，AC =BC =2，AB =CC 1=4，M 是棱CC 1上一点．（Ⅰ）若M ，N 分别为CC 1，AB 的中点，求证：CN //平面AB 1M ． （Ⅱ）若12C M MC =,在线段AB 上是否存在点N ，使得CN //平面AB 1M ，若存在说明点N 的位置，若不存在，说明理由例2 (2014·山东改编)如图，四棱锥P －ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝BC ＝12AD ，E ，F ，H 分别为线段AD ，PC ，CD 的中点，AC 与BE 交于O 点，G 是线段OF 上一点． (1)求证：AP ∥平面BEF ； (2)求证：GH ∥平面P AD .思维点拨 (2)中可证明平面OFH ∥平面P AD .证明 (1)连接EC ， ∵AD ∥BC ，BC ＝12AD ，∴BC 綊AE ，∴四边形ABCE 是平行四边形， ∴O 为AC 的中点． 又∵F 是PC 的中点， ∴FO ∥AP ，FO ⊂平面BEF ，AP ⊄平面BEF ， ∴AP ∥平面BEF . (2)连接FH ，OH ，∵F ，H 分别是PC ，CD 的中点， ∴FH ∥PD ，∴FH ∥平面P AD .又∵O 是BE 的中点，H 是CD 的中点， ∴OH ∥AD ，∴OH ∥平面P AD .又FH ∩OH ＝H ，∴平面OHF ∥平面P AD . 又∵GH ⊂平面OHF ，∴GH ∥平面P AD .思维升华 判断或证明线面平行的常用方法：(1)利用线面平行的定义(无公共点)；(2)利用线面平行的判定定理(a ⊄α，b ⊂α，a ∥b ⇒a ∥α)；(3)利用面面平行的性质定理(α∥β，a ⊂α⇒a ∥β)；(4)利用面面平行的性质(α∥β，a ⊄β，a ∥α⇒a ∥β)．例3.【2014高考安徽卷文第19题】如图，四棱锥ABCD P -的底面边长为8的正方形，四条侧棱长均为172.点H F E G ,,,分别是棱PC CD AB PB ,,,上共面的四点，平面⊥GEFH 平面ABCD ，//BC 平面GEFH . (1)证明：;//EF GH (2)证明：AB HF ⊥(3)若2=EB ，求四边形GEFH 的面积.考点：1.线面平行的性质定理；2.平行的传递性；3.四边形面积的求解.1．(2013·安徽)在下列命题中，不是公理的是()A．平行于同一个平面的两个平面相互平行B．过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面C．如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内D．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线答案 A解析选项A是面面平行的性质定理，是由公理推证出来的，而公理是不需要证明的．2．(2014·辽宁)已知m，n表示两条不同直线，α表示平面．下列说法正确的是() A．若m∥α，n∥α，则m∥nB．若m⊥α，n⊂α，则m⊥nC．若m⊥α，m⊥n，则n∥αD．若m∥α，m⊥n，则n⊥α答案 B解析方法一若m∥α，n∥α，则m，n可能平行、相交或异面，A错；若m⊥α，n⊂α，则m⊥n，因为直线与平面垂直时，它垂直于平面内任一直线，B正确；若m⊥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α，C错；若m∥α，m⊥n，则n与α可能相交，可能平行，也可能n⊂α，D错．方法二如图，在正方体ABCD－A′B′C′D′中，用平面ABCD表示α.A项中，若m为A′B′，n为B′C′，满足m∥α，n∥α，但m与n是相交直线，故A错．B项中，m⊥α，n⊂α，满足m⊥n，这是线面垂直的性质，故B正确．C项中，若m为AA′，n为AB，满足m⊥α，m⊥n，但n⊂α，故C错．D项中，若m为A′B′，n为B′C′，满足m∥α，m⊥n，但n∥α，故D错．3．设P表示一个点，a、b表示两条直线，α、β表示两个平面，给出下列四个命题，其中正确的命题是()①P∈a，P∈α⇒a⊂α；②a∩b＝P，b⊂β⇒a⊂β；③a∥b，a⊂α，P∈b，P∈α⇒b⊂α；④α∩β＝b，P∈α，P∈β⇒P∈b.A．①②B．②③C．①④D．③④答案 D解析当a∩α＝P时，P∈a，P∈α，但a⊄α，∴①错；a∩β＝P时，②错；如图，∵a∥b，P∈b，∴P∉a，∴由直线a与点P确定唯一平面α，又a∥b，由a与b确定唯一平面β，但β经过直线a与点P，∴β与α重合，∴b⊂α，故③正确；两个平面的公共点必在其交线上，故④正确．4．如图所示，平面α，β，γ两两相交，a，b，c为三条交线，且a∥b，则a与c，b与c的位置关系是________．答案a∥b∥c解析∵a∥b，a⊂α，b⊄α，∴b∥α.又∵b⊂β，α∩β＝c，∴b∥c.∴a∥b∥c.5．如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB∥CD，正方体的六个面所在的平面与直线CE，EF相交的平面个数分别记为m，n，那么m＋n＝________.答案8解析取CD的中点H，连接EH，HF.在四面体CDEF中，CD⊥EH，CD⊥FH，所以CD⊥平面EFH，所以AB⊥平面EFH，所以正方体的左、右两个侧面与EF平行，其余4个平面与EF 相交，即n＝4.又因为CE与AB在同一平面内，所以CE与正方体下底面共面，与上底面平行，与其余四个面相交，即m＝4，所以m＋n＝4＋4＝8.6．设α，β是两个不同的平面，m，n是平面α内的两条不同的直线，l1，l2是平面β内的两条相交直线，则α∥β的一个充分而不必要条件是()A．m∥β且l1∥αB．l1∥α且l2∥αC．m∥β且n∥βD．m∥l1且n∥l2答案 D解析m∥l1，且n∥l2⇒α∥β，但α∥β⇒/ m∥l1且n∥l2，∴“m∥l1，且n∥l2”是“α∥β”的一个充分不必要条件．7．若直线a平行于平面α，则下列结论错误的是()A．a平行于α内的所有直线B．α内有无数条直线与a平行C．直线a上的点到平面α的距离相等D．α内存在无数条直线与a成90°角答案 A解析若直线a平行于平面α，则α内既存在无数条直线与a平行，也存在无数条直线与a异面且垂直，所以A不正确，B、D正确．又夹在相互平行的线与平面间的平行线段相等，所以C正确．8．给出下列关于互不相同的直线l 、m 、n 和平面α、β、γ的三个命题： ①若l 与m 为异面直线，l ⊂α，m ⊂β，则α∥β； ②若α∥β，l ⊂α，m ⊂β，则l ∥m ；③若α∩β＝l ，β∩γ＝m .γ∩α＝n ，l ∥γ，则m ∥n . 其中真命题的个数为( ) A ．3 B ．2 C ．1 D ．0 答案 C解析 ①中当α与β不平行时，也可能存在符合题意的l 、m ；②中l 与m 也可能异面；③中⎩⎪⎨⎪⎧l ∥γl ⊂αα∩γ＝n⇒l ∥n ，同理，l ∥m ，则m ∥n ，正确．9．下列四个正方体图形中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，P 分别为其所在棱的中点，能得出AB ∥平面MNP 的图形的序号是( )A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④答案 B解析 ①中易知NP ∥AA ′，MN ∥A ′B ，∴平面MNP ∥平面AA ′B 可得出AB ∥平面MNP (如图)． ④中，NP ∥AB ，能得出AB ∥平面MNP .10．如图所示，ABCD —A 1B 1C 1D 1是棱长为a 的正方体，M 、N 分别是下底面的棱A 1B 1、B 1C 1的中点，P 是上底面的棱AD 上的一点，AP ＝a3，过P 、M 、N 的平面交上底面于PQ ，Q 在CD 上，则PQ ＝________. 答案223a解析 ∵平面ABCD ∥平面A 1B 1C 1D 1，∴MN ∥PQ . ∵M 、N 分别是A 1B 1、B 1C 1的中点，AP ＝a3，∴CQ ＝a 3，从而DP ＝DQ ＝2a 3，∴PQ ＝223a .12．如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝AC ＝5，BB 1＝BC ＝6，D ，E 分别是AA 1和B 1C 的中点．(1)求证：DE ∥平面ABC ； (2)求三棱锥E －BCD 的体积．(1)证明 取BC 中点G ，连接AG ，EG .因为E 是B 1C 的中点，所以EG ∥BB 1，且EG ＝12BB 1.由直棱柱知，AA 1綊BB 1，而D 是AA 1的中点，所以EG 綊AD ， 所以四边形EGAD 是平行四边形．所以ED ∥AG . 又DE ⊄平面ABC ，AG ⊂平面ABC ， 所以DE ∥平面ABC .(2)解 因为AD ∥EG ，EG ⊂平面BCE ，AD ⊄平面BCE ，所以AD ∥平面BCE ， 所以V E －BCD ＝V D －BEC ＝V A －BCE ＝V E －ABC ， 由(1)知，DE ∥平面ABC .所以V E －ABC ＝V D －ABC ＝13AD ·12BC ·AG＝16×3×6×4＝12.12．如图，E 、F 、G 、H 分别是正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱BC 、CC 1、C 1D 1、AA 1的中点．求证： (1)EG ∥平面BB 1D 1D ； (2)平面BDF ∥平面B 1D 1H .证明(1)取B1D1的中点O，连接GO，OB，易证四边形BEGO为平行四边形，故OB∥GE，由线面平行的判定定理即可证EG∥平面BB1D1D.(2)由题意可知BD∥B1D1.如图，连接HB、D1F，易证四边形HBFD1是平行四边形，故HD1∥BF.又B1D1∩HD1＝D1，BD∩BF＝B，所以平面BDF∥平面B1D1H.13. 【2014高考北京理第17题】（本小题满分13分）P-如图，正方体MADE的边长为2，B，C分别为AM，MD的中点，在五棱锥ABCDE 中，F为棱PE的中点，平面ABF与棱FD，PC分别交于G，H.AB//；（1）求证：FG=，求直线BC与平面ABF所成角的大小，并求线（2）若PA⊥底面ABCDE，且PA AE段PH的长.【答案】（1）详见解析；（2）2.考点：空间中线线、线面、面面的平行于垂直，用向量法求线面角，即空间距离.。