华东师范大学2005年高等代数
华东师范大学1997-2015年高等代数考研真题及解答完整版
华东师范大学1997年攻读硕士学位研究生入学试题一.（10分）计算下列行列式：11222221122111112211...1(1)(1) (1)(1)(1)...(1)(1)(1)...(1)n n nn n n n n n x x x x x x x x x x x x x x x x x x ------------二.（15分）设5200200000520022A -⎛⎫ ⎪-⎪= ⎪- ⎪-⎝⎭，求正交矩阵T，使'1T AT T AT -=为对角形矩阵，并写出这个对角形矩阵.三.(15分)设200201A a b c ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭是复矩阵.1.求出A 的一切可能的Jordan 标准形；2.给出A 可对角化的一个充要条件.四.(15分)已知3阶实数矩阵()ij A a =满足条件(,1,2,3)ij ij a A i j ==，其中ij A 是ij a 的代数余子式，且331a =-，求： 1.A2.方程组123001x A x x ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的解.五.（15分）证明：一个非零复数α是某一有理系数非零多项式的根⇔存在一个有理系数多项式()f x 使得1().f αα=六.（15分）设A 是n 阶反对称阵。
证明：1.当n 为奇数时|A|=0.当n 为偶数时|A|是一实数的完全平方;2.A 的秩为偶数 .七.（15分）设V 是有限维欧氏空间.内积记为(,)αβ.又A 设是V 的一个正交变换。
记{}{}12|,,|V V V V ααααααα=A =∈=-A ∈，求证：1.12,V V 是v 的子空间;2. 12.V V V =⊕八.（15分）设n 阶实数方阵的特征值全是实数且A 的所有1阶主子式之和为0，2阶主子式之和也为0.求证：0n A =九.（15分）设A，B 均是正定矩阵，证明： 1 .方程0A B λ-=的根均大于0； 2 .方程0A B λ-=所有根等于1⇔A=B.华东师范大学1998年攻读硕士学位研究生入学试题一.（10分）计算下列行列式:131********...2223333 (336)...n n n n n n n n n n n n n n-------------二.(10分)证明：方程组111122121122221122...0...0(1) 0n n n ns s sn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩的解全是方程1122...0(2)n n b x b x b x +++=的解的充分必要条件是：12(,...,)n b b b β=可由向量组12,...,s ααα线性表示，其中12(,,...,)(1,2,...,).i i i in i s αααα==三（15分）设32()f x x ax bx c =+++是整系数多项式，证明：若ac+bc 为奇数，则f(x)在有理数域上不可约.四（15分）设A 是非奇异实对称矩阵，B 是反对称实方阵。
华师大 05年 高等代数
华东师范大学2005年功读硕士研究生入学考试试题考试科目：高等代数一填空，选择，是非题（共15小题，满分60分，每小题4分） 1. 设3阶方阵A 的特征值为2，3，5，则=-E A 2________ 2. 如果α是()x f '''的2重根，则α一定是多项式()x f 的5重根。
3. 设向量组s ααα,...,,21()2≥s 线性相关，且其中任意s-1个向量线性无关，则存在全不为零的数s k k k ,...,,21，使得0...2211=+++s s k k k ααα4. 设1W 与2W 分别是数域K 上8元齐次线性方程组AX=0与BX=0的解空间，如果rankA=3，rankB=2,821K W W =+那么()=⋂21dim W W __________ 5. 实反对称矩阵的非零特征值必为：（A ）正实数（B ）负实数（C ）1或0（D ）纯虚数6. 若三次实系数多项式()x f 恰有一个实根，∆为()x f 的判别式，则 A 。
∆>0 B 。
∆=0 C 。
∆<0 D 。
∆R ∉7. 3阶整系数的行列式等于-1的正交矩阵共有________个8. 设A 是行列式等于-1的正交变换，则________一定是A 的特征值。
9. 排列n n j j j j 121...-与排列121...j j j j n n -具有相同的奇偶性的充要条件是n=____(mod4) 10. 设0r 是数域K 上非齐次线性方程组AX=B 的特解，s ηηη,...,,21是该方程组的导出组的基础解系，则以下命题中错误的是： A ．s r r r r ηηη---020100,...,,,是AX=B 的一组线性无关解向量B ． A X=B 的每个解均可表为s s r ηηη,...,2,,210的线性组合。
C ． s r ηη+++...210是AX=B 的解。
D ．AX=B 的每个解均可表为001020,,,s γγηγηγη+++++ 的线性组合。
华东师范大学《数学分析》与《高等代数》考研真题(1997年-2013年)
续.
19
五、设 f ( x) 在 [a, b] 上二阶可导，且 f ( x) ≥ 0 ， f ′′( x) < 0 . 证明： f ( x) ≤
2 b f (t )dt ， x ∈ [ a, b] . b − a ∫a
六、设 f ( x , y ) 在 D = [ a, b] × [ c, d ] 上有二阶连续偏导数.
15
六、 （ 15 分）假设 σ 是 n 维欧氏空间 V 的线性变换， τ 是同一空间 V 的变换 . 且对
∀α , β ∈ V , 有 (σα , β ) = (α ,τβ ).
证明： 1) τ 是线性变换, 2) σ 的核等于 τ 的值域的正交补.
七、 （15 分）证明：任意方阵可表为两个对称方阵之积，其中一个是非奇异的。
n →∞ a≤ x≤ b a≤ x≤ b a≤ x≤ b n →∞
八、设 S ⊂ R 2 , P0 ( x0 , y0 ) 为 S 的内点， P 1 ( x1 , y1 ) 为 S 的外点. 证明：直线段 P0 P 1 至少与 S 的边界 ∂S 有一个交点.
华东师范大学 1997 年攻读硕士学位研究生入学试题
考试科目：数学分析
一、 （12 分）设 f ( x) 是区间 I 上的连续函数. 证明：若 f ( x) 为一一映射，则 f ( x) 在 区间 I 上严格单调.
二、 （12 分）设
⎧1, x为有理数 D ( x) = ⎨ ⎩0， x为无理数
证明：若 f ( x) ， D ( x) f ( x) 在点 x = 0 处都可导，且 f (0) = 0 ，则 f '(0) = 0.
二、(10 分)证明：方程组
⎧ a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn = 0 ⎪a x + a x + ... + a x = 0 ⎪ 21 1 22 2 2n n ⋯ (1) ⎨ ............ ⎪ ⎪ ⎩ as1 x1 + as 2 x2 + ... + asn xn = 0
2005年1月高数(一)应试指导
2005年1月高数(一)应试指导林士中（一）、考试的趋势：按考试大纲要求：.第一章、第二章大约15分，第三章、第四章大约40分，第五章大约30分，第六章大约15分，所以本课程考试的主体是一元函数的微分学，积分学及其应用，实际上多元函数微积分的基础还是一元函数微积分，所以学员在复习本课程时务必要掌握好第三、四、五章的内容，在比较熟练地掌握一元函数的微分法和积分法的基础上，进一步复习多元函数的微积分，重点在计算，同时注意多元函数微分学与一元函数微分学的区别。
从考试的难度看，中等偏易或中等偏难的考题约占70分，因此，学员在复习时务必将各章的基本题反复练习，达到熟练掌握，难度较高的题只占10分，只要基本题做熟练了，也就不难了。
（二）、历届考试的难点通常需要学员综合应用所学知识的考题属于难点，就历届考题看，难题大约有（1）用零值定理判别方程0)(=x F 在区间[a,b]内至少有一根典型题：已知)(x f 在[a,b]上连续，且a a f <)(,b b f >)(证明在（a,b ）内至少存在一点a ＜c ＜b ，使c c f =)(解：本题实际上需证明0)(=-c c f读者马上可以看出，本题实际上要证明某个函数在点c 处的函数值为0，因此可以考虑用零值定理去证明，关键在于这个函数怎样引入，读者可以看出该函数只要将c 换为x 便可生成 ∴令x x f x F -=)()(∵)(x f 在[a,b]上连续 ∴)(x F 在[a,b]上连续∵a a f <)( ∴0)()(<-=a a f a F∵b b f >)( ∴0)()(>-=b b f b F∴存在a ＜c ＜b ，使0)(=c F即0)(=-c c f 证毕〈注〉若)(x F 在[a,b]上单调，则方程0)(=x F 在[a,b]内最多有一根（2）用中值定理或用求函数的最值的方法证明不等式典型题二：证明0≤x 时，x x ≥arctan证：即需证0≤x 时，0arctan ≥-x x（方法一）用拉格朗日中值定理，引入x x x f -=arctan )(（1）∵)(x f 至少在(]0.∞-上有意义∴)(x f 在[x,0]上连续 （x ≤0） (2)2221111)(xx x x f +-=-+=' ∴)(x f '至少在（x,0）内存在（3）根据拉氏定理有x ＜c ＜0，使)0)(()()0(x c f x f f -'=-∴)(1)(022x cc x f -+-=- ∴x c c x f ·1)(22+-= ∵x ＜0，∴0)(>x f∴0arctan >-x x当x=0时，0arctan =-x x 证毕方法二：用求最值的方法∵01111)(222<+-=-+='x x x x f ， ∴)(x f ↓ ∴)(x f 的最小值在(]0.∞-的右端x=0处∴)(x f 在(]0.∞-内的最小值为0)0(=f∴x ≤0时，0)(≥x f即x ≤0时，0arctan ≥-x x（3）用定理分的换元法证明两定积分相等，这时需要注意的是 （i ）换元（变量）时要换上下限（ii ）定积分大小与积分变量文字无关，即⎰⎰=ba ba dt t f dx x f )()(典型题三：证明⎰⎰-=-10101010)1()1(dx x x dx x x 证，需证明⎰⎰-=-10101010)1()1(dt t t dx x x 很明显应作变换x=1－t ∴dx=－dt当x=0时 t=1， x=1时 t=0∴⎰⎰--=-10011010)()1()1(dt t t dx x x ⎰-=10100)1(dt t t (4)会求面积的最值典型题：在区间[2,6]内求一点，使过该点曲线y=lnx 的切线与曲线y=lnx 及x=2，x=6所围图形的面积最解：图如上（1）求切线,设所求点为),(00y x ∴xy 1=' ∴切线为)(1ln 000x x x x y -=- ∴1ln 00-+=x x x y （2）求面积dx x x x x A ⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-=6200ln )1(ln ，)62(0<<x ⎰-+-=62622062620ln 21)(ln xdx x x x x x ⎰-+-=6200ln 164ln 4xdx x x（3）求驻点∵2002000)4(4164x x x x dx dA -=-= 在[2，6]内只有一个驻点40=x ∴它是最大值点（4）求最大面积最大面积为A(4)=⎰++-62ln 444ln 4xdx=⎰-+62)ln (4ln 4x x x=)22ln 2()66ln 6(4ln 4---+=42ln 24ln 46ln 6--+（5）会求旋转体的体积典型题：求圆222)2(R R y x =-+绕x 轴旋转而成的旋转体体积x V解：（1）图形见下，将等式222)2(R R y x =-+解出y 后得两支曲线 上曲线2222x R R y -+= 下曲线2212x R R y --=(2)计算x Vx V 等于上曲线的旋转体积2x V 减下曲线的旋转体积1x V∴12x x x V V V -=⎰⎰---=R RR R dx y dx y 2122ηη⎰--=R R dx y y )(2122η ()⎰-⎥⎦⎤⎢⎣⎡----+=R R dx x R R x R R 222222)2(2η ⎰⎰---=-=RR R R dx x R R dx x R R 222288ηη 由定积分的几何意义知⎰--R R dx x R 22是上半圆面积 ∴22221R dx x R RR η=-⎰- ∴322421·8R R R V x ηηη==（三）、考试时应注意的事项：（1）心态要平衡，不必紧张。
2005 高代上试卷及解答(华农)
1
。
f x , g x
g x
v x 1
2、五阶行列式中， a55 a12 a34 a23a41 这一项该带 负 号。
a12 a23a34 a41a55
2,3, 4,1,5 3
一、填空题（25=10分）
x1 x2 x3 1 2 3 3、若方程组 ax1 a x2 a x3 1 有且只有唯一解， 2 a x1 a 4 x2 a 6 x3 1
A. X A2 B C. X A2 B 1
B. X BA2 D. X A1BA1
A 0 2、设 A, B 均为 n 阶方阵，则 3 （ A ） 0 B
A. 3
2n
AB
B. 3 A B
n
C. 3 A B
2
D. 3 A B
3、设向量组 i ai1, ai 2 ,..., ain 则向量组
1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 r3 2r2 0 1 0 0 1 0 解： 0 1 2 0 1 0 c3 2c2 0 2 0 0 0 1 0 0 4 0 2 1 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 r3 1 2 r2 r3 0 1 0 0 1 1 2 0 1 0 0 1 0 c3 1 2 0 0 1 0 1 1 2 c2 c 0 0 1 0 1 0 3 1 0 0 令 C 0 1 1 ，作非退化线性变换 X CY 0 1 2 0
一、填空题（25=10分）
5、若二次型
2 2 f x1, x2 , x3 2x12 x2 3x3 2 t x1x2 2x1x3
华东师范大学2000至2009年数学分析,高等代数试题
华东师范大学2000年攻读硕士学位研究生入学试题考试科目：数学分析一．（24分）计算题： （1）011lim();ln(1)x x x→-+（2）32cos sin ;1cos x xdx x⨯+⎰ （3）设(,)z z x y =是由方程222(,)0F xyz x y z ++=,所确定的可微隐函数，试求grad Z.二．（14分）二、设 n n ne )11(+=，*N n ∈；1)11(++=n n nE ，*N n ∈；证明： （1）}{n e 是严格递增的;（2）}{n E 是严格递减的; （3）用对数函数x ln 的严格递增性质证明：111ln 11n n n⎛⎫<+< ⎪+⎝⎭，对一切n ∈N *成立. 三．（12分）设f 在[],a b 中任意两点之间都具有介值性，而且f在(),a b 内可导，'|()|f x K ≤（正常数）, (,).x a b ∈证明f 在点a 右连续（同理在点b 左连续）. 四．（14分）设12(1).nn I x dx =-⎰证明:（1）1221n n nI I n -=+,n=2,3…;（2）2,3n I n≥n=1,2,3….五（12分）设S 为一旋转曲面，由平面光滑曲线{(),[,](()0)z y f x x a b f x ==∈≥饶x 轴旋转而成。
试用二重积分计算曲面面积的方法，导出S 的面积公式为'22()1()baA f x fx dx π=+⎰（提示：据空间解几知道S 的方程为222()y z f x +=）六（24分）级数问题：（1）设sin ,0()1,0xx f x x x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩,求()(0)k f。
（2）设1nn n a =∑收敛，lim 0n n na →∞=证明:111()nnn n n n n n a a a +==-=∑∑。
（3）设{()}n f x 为[],a b 上的连续函数序列，且()(),[,]n f x f x x a b ⇒∈证明：若()f x 在[],a b 上无零点。
华东师范大学数学系2005年数学分析直升考试题 .doc
华东师范大学数学系2005年数学分析直升考试题姓名______________学号 得分注: 本试卷包含三类19题, 总分150分, 答题时间为3小时.一.判别题 ( 正确的请证明, 错误的请举反例或说明理由; 每题5分，共30分 )1. 设 },2,1:),{( =n b a n n 是一列开区间, 满足条件(1) ,2,1,11=<<<++n b b a a n n n n ; (2) ).(,0∞→→-n a b n n则存在唯一的.,2,1),,( =∈n b a x n n2．设)(x f 在),(b a 上可微，且)('x f 在),(b a 上单调，则)('x f 在),(b a 上连续.3. 设n n n n n a x a x a x a x P ++++=--1110)( 是)(x f 在0=x 处的n 阶泰勒多项式, 则n n n n n a x a x a x a x Q ++++=--21)1(21202)( 是)(2x f 在0=x 处的n 2阶泰勒多项式.4. 设)(x f 在),(00δδ+-x x 上无限次可导. 若存在,0δη<<使),()(),,(),(00000x f x f x x x x x <+⋃-∈∀ηη 则存在,k 使,0)(,200)(=<<∀x fk i i 而.0)(0)2(<x f k5．设)(x f 是],[b a 上可积函数.若,0)(>⎰ba dx x f 则存在0>δ和],,[],[11b a b a ⊂使.)(],,[11δ>∈∀x f b a x 6．⎰∞++=11)sin()(dx yx xy y I 在),1(∞∈y 上一致收敛.二. 计算题 ( 请写出计算步骤. 每题6分，共36分 )7. 求.cos sin 1lim 20xx x x x -+→ 8. 求21)(x xx f +=的麦克劳林展开式.9. 求=)(n I ⎰10ln xdx x n n .,2,1, =n10. 设)(u f z =，方程⎰+=xy dt t P u u )()(φ定义了隐函数),(y x u u =, 其中)(),(u u f φ可微,)('),(u t P φ连续, 且1)('≠u φ. 求y z x P x z y P ∂∂+∂∂)()(. 11. 求,)(22⎰⎰∑+dS z y 其中}.1:),,{(222=++=∑z y x z y x 12. 求⎰⎰+++-Sdxdy xz y dzdx x dydz z x y .)()(22 其中S 为曲面225y x z --=上1≥z 的部分, 取下侧.三. 证明题 ( 证明中, 不可用实变函数的结论; 每题12分，共84分 )13. 设)(x f 在),(+∞-∞上一致连续,)}.,(,:)()(sup{)(,0ηηη+-∈-=>∀x x z y z f y f x g求证：)(x g 在),(+∞-∞上一致连续.14. 设)(x f 是定义在),(∞-∞上的连续但非一致连续的函数, 且 .)(lim ∞=∞→x f x )(x g在),(∞-∞上可微且.0)('lim ≠=∞→a x g x求证:))((x f g 在),(∞-∞上非一致连续.15. 设非常值函数)(x f 在),(∞-∞上有任意阶导数, 且存在,0>M 使.)(,),,()(n n M x f n x ≤∀∞-∞∈∀ 求证:(1) ,0x ∀)(x f 在0x x =处的泰勒级数收敛于)(x f .(2) ),(∞-∞∈∀c ,c x f =)(在任意有限区间],[b a 内至多有有限多个解.16．设)}({x f n 是定义在],[b a 上的连续函数列，满足条件:（1）);()(,],,[1x f x f n b a x n n +<∀∈∀（2）.)(lim ],,[+∞=∈∀∞→x f b a x n n求证：)}({x f n 在],[b a 上一致收敛于,∞+ 即：M x f N n N M n >>∀∃>∀)(,,,0对一切],[b a x ∈成立.17. 设),(y x f 是定义在],[],[d c b a ⨯上的有二阶连续偏导的二元函数.（1）证明：⎰⎰⎰⎰=D Dyx xy dxdy y x f dxdy y x f),(),(； （2）用（1）证明：)..(),(],,[],[),(y x f y x f d c b a y x yx xy =⨯∈∀18. 若 )(x f 是]1,0[上连续. 求证：).1()(lim 101f dx x f nx n n ⎰=-∞→19. 设},1:),{(22≤+=y x y x D ),(y x f 在D 上有一阶连续的偏导数, 且在边界 122=+y x 上恒为.0求证:.3),(2122),(max ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂≤∈⎰⎰y f x f dxdy y x f D y x D π 提示: 可利用极坐标变换及等式0)sin ,(cos ≡θθf ;。
2005年度_国家精品课程_
2005年度“国家精品课程”
申报表
推荐单位上海市
所属学校华东师范大学（部属）
课程名称高等代数与解析几何
课程层次（本/专）本科
课程类型■理论课（不含实践）□理论课（含实践）□实践(验)课所属一级学科名称数学
所属二级学科名称基础数学
课程负责人陈志杰
申报日期 2005年7月
中华人民共和国教育部制
二○○五年七月
填写要求
一、以word文档格式如实填写各项。
二、表格文本中外文名词第一次出现时，要写清全称和缩写，
再次出现时可以使用缩写。
三、涉密内容不填写，有可能涉密和不宜大范围公开的内容，
请在说明栏中注明。
四、除课程负责人外，根据课程实际情况，填写1～4名主讲
教师的详细信息。
五、本表栏目未涵盖的内容，需要说明的，请在说明栏中注明。
1．课程负责人情况
课程类别：公共课、基础课、专业基础课、专业课课程负责人：主持本门课程的主讲教师。
课程类别：公共课、基础课、专业基础课、专业课
课程类别：公共课、基础课、专业基础课、专业课2. 主讲教师情况⑶
课程类别：公共课、基础课、专业基础课、专业课2. 主讲教师情况⑷
课程类别：公共课、基础课、专业基础课、专业课3. 教学队伍情况
学缘结构：即学缘构成，这里指本教学队伍中，从不同学校或科研单位取得相同（或相近）学历（或
学位）的人的比例。
5．自我评价
6．课程建设规划
7. 学校的政策措施
8. 说明栏。
【精品】高代空解华东师范大学
高等代数与解析几何习题精解《高等代数与解析几何习题精解》已于2002年2月正式出版.该书系大学数学习题精解系列书中的一本，由陈志杰，陈咸平，林磊，瞿森荣和韩士安编写，科学出版社出版。
ISBN7—03-009804—8。
字数:65万。
定价：39元.用B5纸印刷。
页数:563。
内容简介本书以复习思考题的形式帮助学生理解、掌握高等代数与解析几何的基本概念，以大量的例题介绍并讲解常用的各种方法、技巧与解题思路。
把例题分为基本、普遍和提高三个层次,以适合不同情况的教学与学习的需要。
本书包括向量代数、行列式、线性方程组与线性空间、矩阵、平面和直线、线性空间与欧几里得空间、曲面与曲线、线性变换、线性空间上的函数、坐标变换与点变换、多项式、若尔当典范型及其应用等内容.各章均有习题、自测题，书后附部分考研试题,并有详细的解答。
各章节目录第一章向量代数1.1向量的线性运算1.2向量的共线,共面与线性关系1。
3标架,向量和点的坐标1.4向量的线性关系与线性方程组1。
5n维向量空间1.6几何空间中向量的内积1。
7几何空间向量的外积1。
8几何空间向量的混合积1.9平面曲线的方程自测题练习答案第二章行列式2.1映射与变换2。
2置换的奇偶性2.3行列式的定义2。
4矩阵2。
5行列式的性质2。
6行列式按行(列)展开与行列式的计算2.7克拉默法则自测题练习答案第三章线性方程组与线性自空间3。
1用消元法解线性方程组3.2线性方程组的解的情况3.3向量组的线性相关性3。
4线性子空间及其基、维数3。
5齐次线性方程组的解的结构3.6非齐次线性方程组的解的结构自测题练习答案第四章矩阵的秩与矩阵的运算4。
1向量组的秩4。
2矩阵的秩4。
3用矩阵秩判断线性方程组解的情况4.4线性映射及矩阵的运算4.5矩阵的逆4.6分块矩阵4.7线性映射的象空间与核空间自测题练习答案第五章几何空间中的平面和直线5.1平面的仿射性质5。
2直线的仿射性质5.3平面的度量性质5。
华东师大《高等代数与解析几何》课程与教材介绍
《高等代数与解析几何》课程与教材介绍线性代数是高等代数的主要内容，具有深刻的几何背景。
而解析几何则是用代数方法研究空间的几何问题。
因此把高等代数与解析几何合并成一门课具有其内在的合理性。
按目前的教学计划，解析几何与高等代数这两门课往往在大学第一学期齐头并进，由于高等代数课的进度跟不上，经常会出现在解析几何课中提前讲授以后在高等代数课中要讲的内容的尴尬场面。
这样既浪费了宝贵的课时，又使本该是统一的内容被人为地割裂开。
事实上，把这两门课合而为一的的尝试早已有之。
可是为什么这种尝试往往不能持久呢？我们觉得任课老师对这门课的认识起着决定性的作用。
如果不能处理好代数与几何的平衡，使得本该是相辅相成的关系由于教师个人的喜好而变成一方“吃”掉另一方的结局，那么合并的尝试就会以失败告终。
而这种可能性是始终存在的。
因此用正确的指导思想编写的合并两科目的好教材可以有效预防这种不愉快现象的出现。
从历史上看，代数与几何的发展从来就是互相联系、互相促进的。
它们的关系可以归纳为“代数为几何提供研究方法，几何为代数提供直观背景”这两句话。
第一句话是明显的事实，代数的发展确实可以帮助许多几何问题的解决。
而后一句话更重要，甚至可以改为“代数要在几何中寻找直观”，以强调几何对代数发展的促进作用。
有很多具体的实例支持这个观点。
例如Grothendieck发展的概形理论就是一个典型的例子。
“交换环”本来是一个纯代数的概念，但是如果把环中的素理想看成点，再建立适当的拓扑，就产生了“仿射概形”这个几何对象。
这不但给抽象的环提供了几何直观，使得交换代数中原本抽象难解的结论有了十分自然的几何含义，而且又从几何直观的角度给交换代数提出了大量新的研究课题。
类似地，像整数环这样一个纯代数的对象也可以被看成是一条代数曲线，使得Fermat方程的解可以被看成一个算术曲面，并具有到整数曲线上的一个纤维化。
把复代数曲面的已经建立的结果和方法推广到算术曲面上去就形成了一个新的研究方向。
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华东师大2005高代试题
考生注意：无论以下试题中是否有答题位置，均应将答案做在考场另发的答题纸上（写明题号）
一．填空、选择、是非题（共15小题，满分60分，每小题4分）
1．设3阶方阵A 的特征值为2，3，5，则=-E A 2
2．如果α是()x f '''的2重根，则α一定是多项式()x f 的5重根。
3．设向量组,,21αa …，()2≥s s α线性相关，且其中任意1-s 个向量线性无关，则存在全不为0的 数,,21k k …，s k ，使得
02211=+++s s k k k ααα
4．设1W 与2W 分别是数域K 上8元齐次线性方程组0=AX 与0=BX 的解空间，如果3=r a n k A ，821,2K W W rankB =+=，那么()=21d i m
W W 5．实反对称矩阵的非零特征值必为：
A. 正实数
B.负实数
C.1或-1
D.纯虚数
6．若三次实系数多项式()x f 恰有一个实根，∆为()x f 的判别式，
则 A. 0>∆ B.0=∆ C.0<∆ D.R ∉∆
7. 3阶整系数的行列式等于-1的正交矩阵共有 个
8．设A 是行列式等于-1的正交变换，则 一定是A 的特征值。
9．排列n n j j j j 121- 与排列121j j j j n n -具有相同的奇偶性的充要条件
是≡n ()4m o d
10．设0γ是数域K 上非齐次线性方程组B AX =的特解，
s ηηη,,,21 是该方程组的导出组的基础解系，则以下命题中错误的是：
A.s ηγηγηγγ---020100,,,, 是B AX =的一组线性无关解向量；
B.B AX =的每个解均可表为s s ηηηγ,,2,,210 的线性组合。
C.s ηηηγ++++ 2102是B AX =的解；
D.B AX =的每个解均可表为s ηγηγηγγ+++020100,,,, 的线性组合。
11．以下各向量组中线性无关的向量组为：
A.()()();5,5,3,1,1,7,2,5,1,4,3,2---
B.()()()();16,78,4,1,2,3,1,1,1,2,0,12
C.(2,3,1,4),(3,1,2,4),(0,0,0,0);
D.(1,2,-3,1),(3,6,-9,3),(3,0,7,7)
12. 由标准欧几里得空间4R 中的向量组)1,1,0,1(1=α，)0,1,1,1(2--=α，)1,1,0,2(3--=α，张成的子空间W 的一组规范正交基为
13．设V 是n 维欧几里得空间，W 是V 的子空间，则⊥⊥)(W = W
（A ）⊂ （B ）⊃ （C ） = （D ）≠
14．⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛----=1100210011112121A 的逆矩阵=-1A 15．设上的线性变换是有限维线性空间V A ,如果A K e r A V Im +≠，则}0{Im ≠⋂A KerA
二、计算题
16．（12分）求实二次型
)(22),,(1132211221x x x x x x x x x x x x f n n n n
i i n ++++-=-=∑ 的正惯性指数、负惯性指数、符号差以及秩。
17．（18分）讨论)2(,,21≥n b b b n 满足什么条件时下列方程有解，并求解
⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=+/=+=+--n
n n n n b x x b x x b x x b x x 111
232121
18．（12分）试在有理数域、实数域以及复数域上将
1)(789+++++=x x x x x f 分解为不可约因式的乘积（结果用根式表示）
，并简述理由。
19．（18分）已知)1()22()(22-+-=λλλλg 是六阶方阵A 的极小多项式，且Tr(A)=6,试求（1）A 的特征多项式)(λf 及其若尔当典范型；
（2）A 的伴随矩阵*A 的若尔当典范型。
三、证明题
20．（10分）设n n n n a a a f ++++=--λλλλ111)( 是实对称矩阵A 的特征多项式，证明：A 是负定矩阵的充要条件是0,,,,121均大于n n a a a a - 。
21．（10分）证明：如果n 阶行列式n D 中所有元素都为1或-1，则当3≥n 时，)!1)(1(--≤n n D n
22．（10分）证明：每个秩为r 的n 阶（r<n ）实对称矩阵均可表为 n-r 个秩为n-1的实对称矩阵的乘积。