反比例函数与一次函数相结合常见大题简单题型
一次函数和反比例函数必考题
一次函数和反比例函数必考题
一次函数和反比例函数是高中数学中的基础知识，经常会出现在考试中。
下面是一些可能的必考题目：
1. 给定一次函数 y = ax + b，已知函数图像经过点 P(2, 4) 和Q(3, 7)，求函数的表达式。
2. 给定一反比例函数 y = k/x，已知函数图像经过点 P(4, 2) 和 Q(6, 1)，求函数的表达式。
3. 一次函数 y = 2x + 3 与 y = k/x 的图像相交于点 A 和 B，已知 A 的横坐标为 2，求 B 的坐标。
4. 反比例函数 y = k/x 的图像经过点 P(3, 2) 和 Q(6, 1)，求函数的表达式。
5. 若一次函数 y = ax + b 的图像经过点 P(2, 4) 和 Q(5, 7)，而反比例函数 y = k/x 的图像经过点 P(4, 2) 和 Q(8, 1)，求 a 和b 的值。
这些题目涉及到了一次函数和反比例函数的性质和应用，考察学生对这两种函数的理解和掌握程度。
解题过程需要运用函数的性质和方程的求解技巧，是对学生数学能力的综合考察。
一次函数与反比例函数十大考查题型
01反比例函数与不等式一．解答题（共50小题）1．如图，一次函数y＝k1x+b的图象与x轴、y轴分别交于A，B两点，与反比例函数y＝的图象分别交于C，D两点，点C（2，4），点B是线段AC的中点．（1）求一次函数y＝k1x+b与反比例函数y＝的解析式；（2）求△COD的面积；（3）直接写出当x取什么值时，k1x+b＜．02共点问题一．解答题（共1小题）1．在平面直角坐标系xOy中，直线y＝2x+b经过点A（1，m）、B（﹣1，﹣1）．（1）求b和m的值；（2）将点B向右平移到y轴上，得到点C，设点B关于原点的对称点为D，记线段BC 与AD组成的图形为G．①直接写出点C、D的坐标；②若双曲线y＝与图形G恰有一个公共点，结合函数图象，求k的取值范围．03代数式求值问题一．解答题（共3小题）1．如图已知函数y＝（k＞0，x＞0）的图象与一次函数y＝mx+5（m＜0）的图象相交不同的点A、B，过点A作AD⊥x轴于点D，连接AO，其中点A的横坐标为x0，△AOD 的面积为2．（1）求k的值及x0＝4时m的值；（2）记[x]表示为不超过x的最大整数，例如：[1.4]＝1，[2]＝2，设t＝OD•DC，若﹣＜m＜﹣，求[m2•t]值．004面积类问题如图，一次函数y＝k1x+b的图象与x轴、y轴分别交于A，B两点，与反比例函数y＝的图象分别交于C，D两点，点C（2，4），点B是线段AC的中点．（1）求一次函数y＝k1x+b与反比例函数y＝的解析式；（2）求△COD的面积；（3）直接写出当x取什么值时，k1x+b＜．05特殊图形的存在性问题1．如图所示，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b（k≠0）与反比例函数y＝（m≠0）的图象交于第二、四象限A、B两点，过点A作AD⊥x轴于D，AD＝4，sin∠AOD＝，且点B的坐标为（n，﹣2）．（1）求一次函数与反比例函数的解析式；（2）E是y轴上一点，且△AOE是等腰三角形，请直接写出所有符合条件的E点坐标．2．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝x+b的图象经过点A（﹣2，0），与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于B（a，4）．（1）求一次函数和反比例函数的表达式；（2）设M是直线AB上一点，过M作MN∥x轴，交反比例函数y＝（x＞0）的图象于点N，若A，O，M，N为顶点的四边形为平行四边形，求点M的坐标．3．如图，一次函数y＝x+b的图象与y轴交于点B（0，2），与反比例函数y＝（x＜0）的图象交于点D（m，n）．以BD为对角线作矩形ABCD，使顶点A，C落在x轴上（点A在点C的右边），BD与AC交于点E．（1）求一次函数和反比例函数的解析式；（2）求点A的坐标．4．如图，一次函数y＝ax+b的图象与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点P（m，4），与x轴交于点A（﹣3，0），与y轴交于点C，PB⊥x轴于点B，且AC＝BC．（1）求反比例函数与一次函数的解析式；（2）反比例函数图象上是否存在点D，使四边形BCPD为菱形？如果存在，求出点D 的坐标；如果不存在，说明理由．5．如图，正比例函数y＝2x的图象与反比例函数y＝的图象交于A、B两点，过点A作AC垂直x轴于点C，连结BC．若△ABC的面积为2．（1）求k的值；（2）x轴上是否存在一点D，使△ABD为直角三角形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．6．如图，已知反比例函数y＝的图象与正比例函数y＝kx的图象交于点A（m，﹣2）．（1）求正比例函数的解析式及两函数图象另一个交点B的坐标；（2）试根据图象写出不等式≥kx的解集；（3）在反比例函数图象上是否存在点C，使△OAC为等边三角形？若存在，求出点C 的坐标；若不存在，请说明理由．7．反比例函数y＝在第一象限的图象如图所示，过点A（1，0）作x轴的垂线，交反比例函数y＝的图象于点M，△AOM的面积为3．（1）求反比例函数的解析式；（2）设点B的坐标为（t，0），其中t＞1．若以AB为一边的正方形ABCD有一个顶点在反比例函数y＝的图象上，求t的值．06线段和差问题最值问题1．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的边BC交x轴于点D，AD⊥x轴，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点A，点D的坐标为（3，0），AB＝BD．（1）求反比例函数的解析式；（2）点P为y轴上一动点，当PA+PB的值最小时，求出点P的坐标．2．如图，一次函数y＝mx+n（m≠0）的图象与反比例函数y＝（k≠0）的图象交于第二、四象限内的点A（a，4）和点B（8，b）．过点A作x轴的垂线，垂足为点C，△AOC的面积为4．（1）分别求出a和b的值；（2）结合图象直接写出mx+n＜的解集；（3）在x轴上取点P，使PA﹣PB取得最大值时，求出点P的坐标．07线段间数量关系1．如图，在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y＝的图象与正比例函数y＝kx的图象的一个交点为M（1，b）．（1）求正比例函数y＝kx的表达式；（2）若点N在直线OM上，且满足MN＝2OM，直接写出点N的坐标．08周长问题1．如图，已知平行四边形OABC中，点O为坐标原点，点A（3，0），C（1，2），函数y ＝（k≠0）的图象经过点C．（1）求k的值及直线OB的函数表达式：（2）求四边形OABC的周长．09整点问题1．在平面直角坐标系xOy中，函数y＝（x＞0）的图象G经过点A（4，1），直线l：y＝+b与图象G交于点B，与y轴交于点C．（1）求k的值；（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记图象G在点A，B之间的部分与线段OA，OC，BC围成的区域（不含边界）为W．①当b＝﹣1时，直接写出区域W内的整点个数；②若区域W内恰有4个整点，结合函数图象，求b的取值范围．10新定义问题1．在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为（x1，y1），点Q的坐标为（x2，y2），且x1≠x2，y1≠y2．若P，Q为某个矩形的两个顶点，且该矩形的边均与某条坐标轴垂直，则称该矩形为点P，Q的“相关矩形”，下图①为点P，Q的“相关矩形”的示意图．已知点A的坐标为（1，0），（1）若点B的坐标为（3，1），求点A，B的“相关矩形”的面积；（2）点C在直线x＝3上，若点A，C的“相关矩形”为正方形，求直线AC的表达式；（3）若点D的坐标为（4，2），将直线y＝2x+b平移，当它与点A，D的“相关矩形”没有公共点时，求出b的取值范围．2．在直角坐标系中，我们不妨将横坐标，纵坐标均为整数的点称之为“中国结”．（1）求函数y＝x+2的图象上所有“中国结”的坐标；（2）若函数y＝（k≠0，k为常数）的图象上有且只有两个“中国结”，试求出常数k 的值与相应“中国结”的坐标；（3）若二次函数y＝（k2﹣3k+2）x2+（2k2﹣4k+1）x+k2﹣k（k为常数）的图象与x轴相交得到两个不同的“中国结”，试问该函数的图象与x轴所围成的平面图形中（含边界），一共包含有多少个“中国结”？3．定义运算max{a，b}：当a≥b时，max{a，b}＝a；当a＜b时，max{a，b}＝b．如max{﹣3，2}＝2．（1）max{，3}＝；（2）已知y1＝和y2＝k2x+b在同一坐标系中的图象如图所示，若max{，k2x+b}＝，结合图象，直接写出x的取值范围；（3）用分类讨论的方法，求max{2x+1，x﹣2}的值．。
与一次函数、反比例函数、二次函数有关问题的压轴题之五大题型(解析版)
与一次函数、反比例函数、二次函数有关问题的压轴题之五大题型目录【题型一 一次函数实际应用问题】【题型二 二次函数的实际应用问题】【题型三 一次函数与反比例函数综合问题】【题型四 二次函数的综合问题】【题型五 一次函数、反比例函数、二次函数综合问题】【题型一一次函数实际应用问题】1(2023·江苏南京·三模)A、B两地相距120km，甲车从A地驶往B地，乙车从B地以80km/h的速度匀速驶往A地，乙车比甲车晚出发mh．设甲车行驶的时间为x h ，甲、乙两车离A地的距离分别为y1km、y2 km，图中线段OP表示y1与x的函数关系．(1)甲车的速度为km/h；(2)若两车同时到达目的地，在图中画出y2与x的函数图像，并求甲车行驶几小时后与乙车相遇；(3)若甲、乙两车在距A地60km至72km之间的某处相遇，直接写出m的范围．【答案】(1)60(2)图象见解析，甲车出发后87h与乙车相遇；(3)14<m<35【分析】(1)根据路程除以时间即可得到甲车的速度；(2)求出乙车比甲车晚出发0.5h，即可画出图象，再求出y1=60x，y2=-80x+160，联立解析式解方程组即可得到答案；(3)求得y1=60x，y2=-80x+120+80m，联立解方程组可得y1=y2=6067+4 7m，根据甲、乙两车在距A地60km至72km之间的某处相遇，可列60<6067+4 7m<72，即可解得答案．【详解】(1)解：由图可得，甲车的速度为120÷2=60km/h，故答案为：60；(2)解：∵乙车从B地以80km/h的速度匀速驶往A地，两车同时到达目的地，∴乙车行驶时间为120÷80=1.5h ，∵m=2-1.5=0.5h ，∴乙车比甲车晚出发0.5h，画出y2与x的函数图象如下：图象CD即为y2与x的函数图象，由题意得y1=60x，设CD的函数表达式为y2=kx+b，将2，0，0.5,120代入y2=kx+b，得2k+b=00.5k+b=120 ，解得k=-80 b=160 ，∴y2=-80x+160，由-80x+160=60x，解得x=8 7，∴甲车出发后87h与乙车相遇，答：甲车出发后87h与乙车相遇；(3)解：根据题意得y1=60x，y2=120-80x-m=-80x+120+80m，由60x=-80x+120+80m得：x=67+47m，当x=67+47m时，y1=y2=6067+47m，∵甲、乙两车在距A地60km至72km之间的某处相遇，∴60<6067+4 7m<72，解得14<m<35，∴m的范围是14<m<35．【点睛】本题考查一次函数的应用，解一元一次不等式组，涉及待定系数法，解题的关键是数形结合的应用．【变式训练】1(2023·江苏南京·三模)甲、乙两车从A地驶往B地，甲车出发1小时后，乙车出发，乙车出发1.5小时追上甲．甲、乙两车离B地的距离y1，y2(单位：km)与甲出发的时间x(单位：h)的图像如图①所示．(1)乙车的速度为km/h；a=(2)求y1与x之间的函数表达式；(3)在图②中画出甲、乙两车之间的距离s(单位：km)与甲车出发的时间x(单位：h)之间的函数图像．【答案】(1)100；5(2)y1=-60x+300(3)见解析【分析】(1)用路程除以时间求出乙车的速度即可；根据乙车追上甲车时，乙车通过的距离，求出甲车的速度，然后用总路程除以甲车速度得出甲车到达B地所用时间，即可求出a的值；(2)用待定系数法求出y1与x之间的函数表达式即可；(3)分四段画出甲、乙两车之间的距离s与甲车出发的时间x之间的函数图像即可．【详解】(1)解：乙车的速度为3004-1=100km/h；乙车追上甲车时，乙车通过的距离为：100×1.5=150km，此时甲车通过的距离为150km，甲车的速度为：150 2.5=60km/h，则a=30060=5；故答案为：100；5．(2)解：设y1与x之间的函数表达式为y1=kx+b k≠0，把0,300，5,0代入得：b=300 5k+b=0，解得：k=-60 b=300，∴y1与x之间的函数表达式为y1=-60x+300．(3)解：当0≤x<1时，两车之间的距离逐渐增大，当x=1时，两车之间的距离s=60；当1<x≤2.5时，两车之间的距离逐渐减小，当x=2.5时，两车之间的距离为s=0；当2.5<x≤4时，两车之间的距离逐渐增大，当x=4时，两车之间的距离为s=100-60×4-2.5= 60；当4<x≤5时，两车之间的距离逐渐减小，当x=5时，两车之间的距离为s=0；∴函数图象如图所示：【点睛】本题主要考查了一次函数的应用，根据函数图像获得信息，求一次函数解析式，解题的关键是数形结合，注意分类．2(2023·江苏南京·二模)小明早晨从家里出发匀速步行去上学，中途没有停下来，小明的妈妈在小明出发后10分钟，发现小明的数学课本没带，于是她带上课本立即匀速骑车按小明上学的路线追赶小明，结果与小明同时到达学校．已知小明在整个上学途中，他出发后t 分钟时，他所在的位置与家的距离为s 千米，且s 与t 之间的函数关系的图象如图中的折线段OA -AB 所示．(1)试求线段OA 所对应的函数关系式；(2)请解释图中线段AB 的实际意义；(3)请在所给的图中画出小明的妈妈在追赶小明的过中，她所在位置与家的距离s (千米)与小明出发后的时间t (分钟)之间函数关系的图象．(注：请标注出必要的数据)【答案】(1)s =112t (0≤t ≤12)(2)小明出发12分钟后，沿着以他家为圆心，1千米为半径的圆弧形道路上匀速步行了8分钟(3)见解析【分析】(1)待定系数求线段解析式即可求解；(2)根据题意，结合图象即可求解；(3)根据题意可得小明妈妈的速度是小明的2倍，进而补充函数关系图象，即可求解．【详解】(1)解：设线段OA 的解析式为y =kx ，将点12,1 代入，1=12k解得：k =112线段OA 对应的函数关系式为：s =112t (0≤t ≤12)；(2)图中线段AB 的实际意义是：小明出发12分钟后，沿着以他家为圆心，1千米为半径的圆弧形道路上匀速步行了8分钟；(3)由图象可知，小明花20分钟到达学校，则小明的妈妈花20-10=10分钟到达学校，∴小明妈妈的速度是小明的2倍，即：小明花12分钟走1千米，则妈妈花6分钟走1千米，又∵小明的妈妈在小明出发后10分钟出发，∴函数图象为经过点10,0，16,1的一段线段，如图所示，【点睛】本题考查了从函数图象获取信息，求直线解析式，从函数图象获取信息是解题的关键．3(2023·江苏南京·一模)如图①，古代行军中传令兵负责传送命令．如图②，一支长度为600m的队伍AB，排尾A处的传令兵从甲地和队伍AB沿同一直道同时出发．队伍AB以v1m/min的速度行进，且队伍长度保持不变；出发时，传令兵接到命令，立即以v2m/min的速度赶赴排头B，到达排头B后立即返回排尾A，再次接到命令，立即赶赴排头B⋯⋯如此循环往复，且传令兵往返速度保持不变．行进过程中，传令兵离甲地的距离y1(单位：m)与出发时间x(单位：min)之间的函数关系部分图象如图③所示．(1)v1=m/min，v2=m/min；(2)求线段MN所表示的y1与x之间的函数表达式；(3)在图③中，画出排头B离甲地的距离y2(单位：m)与出发时间x之间的函数图象【答案】(1)75；125(2)y1=-125x+300012≤x≤15(3)见解析【分析】(1)由函数图象可知在第12分钟时传令兵到达排头B，此时传令兵比队伍多走600米，在第15分钟传令兵此时返回到排尾A，3分钟内队伍和传令兵的路程和为600米，由此建立方程组求解即可；(2)先求出M、N的坐标，再利用待定系数法求解即可；(3)y2(单位：m)与出发时间x之间的函数图象过图中两个拐点(点M和与点M类似的那个点)，由此画图即可．【详解】(1)解：12v2-v1=60015-12v2+v1=600，解得v1=75v2=125，故答案为：75；125；(2)解：125×12=1500，∴点M的坐标为12，1500，1500-125×3=1125，∴点N的坐标为15，1125，线段MN所表示的y1与x之间的函数表达式为y1=kx+b，∴12k+b=1500 15k+b=1125 ，∴k=-125 b=3000 ，∴段MN所表示的y1与x之间的函数表达式为y1=-125x+300012≤x≤15；(3)解：y2与x之间的函数图象如图所示．【点睛】本题主要考查了一次函数的实际应用，二元一次方程组的实际应用，正确读懂函数图象是解题的关键．4(2023·江苏南京·一模)如图①，小明家，妈妈的单位和超市在一条直线上，一天傍晚，小明从家步行去超市，与此同时妈妈从单位骑行回家拿东西，再以相同的速度骑行去超市．如图②，线段OD和折线ABCD 分别表示小明和妈妈离家的距离y(m)与出发时间x(min)的关系．(1)小明步行的速度是m min，妈妈的单位距离超市m；(2)求线段CD所表示的y与x之间的函数表达式；(3)当x=时，小明与妈妈相距400m．【答案】(1)100；800(2)y=200x-1400(7≤x≤14)(3)23或4或10【分析】(1)根据图示数据解答；(2)设解析式后，根据图示把(7,0),(14,1400)代入求出即可；(3)根据题意知，小明与妈妈相距400m 有三次，利用列方程分别求出即可．【详解】(1)解：由图可知：小明步行的速度是1400÷14=100m min ，妈妈的单位距离超市1400-600=800m ；故答案为：100；800．(2)解：设线段 CD 所表示的函数表达式为： y =kx +b (k ≠0)，把(7,0),(14,1400)代入 y =kx +b (k ≠0)得：7k +b =014k +b =1400解得：k =200,b =-1400，线段 CD 所表示的函数表达式为：y =200x -1400(7≤x ≤14)．(3)由图示知，小明妈妈从单位骑行回家拿东西共用时间是3min ，小明妈妈从单位骑行速度是：600÷3=200m min 当小明妈妈从单位骑行回家拿东西时，小明与妈妈相距400m ，由题意列方程为：100x +200x =600-400，解得：x =23；当小明妈妈回家拿东西并在家停留4min 时，小明与妈妈相距400m ，此时x =4；当小明妈妈回家拿东西后再以相同的速度骑行去超市时，由题意列方程为：100x -(200x -1400)=400，解得： x =10，综上所述：x =23或4或10时，小明与妈妈相距400m ．故答案为：23或4或10．【点睛】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是从图象中获取信息，利用数形结合的思想解答．【题型二二次函数的实际应用问题】1(2023·江苏南京·二模)某水果店出售一种水果，每箱定价58元时，每周可卖出300箱．试销发现：每箱水果每降价1元，每周可多卖出25箱；每涨价1元，每周将少卖出10箱．已知每箱水果的进价为35元，每周每箱水果的平均损耗费为3元．(1)若不进行价格调整，这种水果的每周销售利润为多少元？(2)根据以上信息，你认为应当如何定价才能使这种水果的每周销售利润最多？【答案】(1)若不进行价格调整，这种水果每周销售利润为6000元；(2)当每箱水果定价为54元时，这种水果的每周销售利润最大为6400元．【分析】(1)根据已知列式计算即可；(2)分两种情况：若每箱水果降价x 元，这种水果的每周销售利润为y 元，可得：y =(58-35-3-x )(300+25x )=-25(x -4)2+6400，若每箱水果涨价x '元，这种水果的每周销售利润为y '元，有y '=(58-35-3+x ')(300-10x ')=-10(x '-5)2+6250，由二次函数性质可得答案．【详解】(1)解：∵58-35-3=20，20×300=6000(元)，∴若不进行价格调整，这种水果每周销售利润为6000元；(2)若每箱水果降价x元，这种水果的每周销售利润为y元，根据题意得：y=(58-35-3-x)(300+25x)=-25(x-4)2+6400，由二次函数性质可知，当x=4时，y的最大值为6400元；若每箱水果涨价x'元，这种水果的每周销售利润为y'元，根据题意得：y'=(58-35-3+x')(300-10x')=-10(x'-5)2+6250，由二次函数性质可知，当x'=5时，y'的最大值为6250元；综上所述，当每箱水果定价为54元时，这种水果的每周销售利润最大为6400元．【点睛】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，分情况列出函数关系式．【变式训练】1(22-23九年级上·天津和平·阶段练习)俄罗斯世界杯足球赛期间，某商店销售一批足球纪念册，每本进价40元，规定销售单价不低于44元，且获利不高于30%．试销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300本，销售单价每上涨1元，每天销售量减少10本，现商店决定提价销售。
一次函数与反比例函数综合题型
一次函数与反比例函数综合题型：专题1 1、．（2010 济宁）如图，正比例函数12y x =的图象与反比例函数k y x =(0)k ≠在第一象限的图象交于A 点，过A 点作x 轴的垂线，垂足为M ，已知OAM ∆的面积为1. （1）求反比例函数的解析式；（2）如果B 为反比例函数在第一象限图象上的点（点B 与点A 不重合），且B 点的横坐标为1，在x 轴上求一点P ，使PA PB +最小.2．(2011 聊城)如图，已知一次函数y ＝kx ＋b 的图象交反比例函数42(0)my x x-=>的图象于点A 、B ，交x 轴于点C ．(1)求m 的取值范围；(2)若点A 的坐标是(2，－4)，且BC AB ＝ 13，求m 的值和一次函数的解析式．xA(第1题)3、．(2010年枣庄市)如图，一次函数y ＝a x ＋b 的图象与反比例函数y ＝ kx的图象交于A 、B 两点，与x轴交于点C ，与y 轴交于点D ，已知OA ＝10，点B 的坐标为(m ，－2)，t a n ∠AOC ＝ 13．(1)求反比例函数的解析式； (2)求一次函数的解析式；(3)在y 轴上存在一点P ，使△PDC 与△CDO 相似，求P 点的坐标．4、（2011•临沂）如图，一次函数y=kx+b 与反比例函数y=的图象相较于A （2，3），B （﹣3，n ）两点． （1）求一次函数与反比例函数的解析式；（2）根据所给条件，请直接写出不等式kx+b ＞的解集； （3）过点B 作BC⊥x 轴，垂足为C ，求S △ABC ．5、（2011•泰安）如图，一次函数y=k 1x+b 的图象经过A （0，﹣2），B （1，0）两点，与反比例函数的图象在第一象限内的交点为M ，若△OBM 的面积为2． （1）求一次函数和反比例函数的表达式；（2）在x 轴上是否存在点P ，使AM⊥MP？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．7． (德州市2010年)●探究 (1) 在图1中，已知线段AB ，CD ，其中点分别为E ，F ． ①若A (-1，0)， B (3，0)，则E 点坐标为__________； ②若C (-2，2)， D (-2，-1)，则F 点坐标为__________；(2)在图2中，已知线段AB 的端点坐标为A (a ，b ) ，B (c ，d )， 求出图中AB 中点D 的坐标（用含a ，b ，c ，d 的 代数式表示），并给出求解过程． ●归纳 无论线段AB 处于直角坐标系中的哪个位置， 当其端点坐标为A (a ，b )，B (c ，d )， AB 中点为D (x ，y ) 时， x =_________，y =___________．（不必证明） ●运用 在图2中，一次函数2-=x y 与反比例函数xy 3=的图象交点为A ，B ． y y =x3 B①求出交点A，B的坐标；②若以A，O，B，P为顶点的四边形是平行四边形，请利用上面的结论求出顶点P的坐标．一次函数与反比例函数综合题型：专题1答案：1、（2010 济宁．）解：（1）设A点的坐标为（a，b），则kba=.∴ab k=.∵112ab=,∴112k=.∴2k=.∴反比例函数的解析式为2yx=. ··································································3分(2) 由212yxy x⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩得2,1.xy=⎧⎨=⎩∴A为（2，1）. ·················································4分设A点关于x轴的对称点为C，则C点的坐标为（2，1-）.令直线BC 的解析式为y mx n =+.∵B 为（1，2）∴2,12.m n m n =+⎧⎨-=+⎩∴3,5.m n =-⎧⎨=⎩∴BC 的解析式为35y x =-+. ········································································ 6分 当0y =时，53x =.∴P 点为（53，0）. ····················································· 7分2、（2011 聊城24.） 解：(1)因为反比例函数42(0)my x x-=>的图象在第四象限， 所以420m -<，解得2m >． (2)因为点A(2，4-)在函数42my x-=图象上， 所以4242m--=，解得6m =． 过点A 、B 分别作AM ⊥OC 于点M ，BN ⊥OC 于点N ， 所以∠BNC=∠AMC=90°． 又因为∠BCN=∠ACM ，所以△BCN ∽△ACM ，所以BN BCAM AC=． 因为14BC AB =，所-以14BC AC =，即14BN AM =． 因为AM=4，所以BN=1所以点B 的纵坐标是1-因为点B 在反比例函数y 1y =-时，8x =． 所以点B 的坐标是(8．1-因为一次函数y kx b =+B(8，1-)．∴2481k b k b +=-⎧⎨+=-⎩，解得125k b ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩所以一次函数的解析式是152y x =--． 3、（2010年枣庄市）(1)过点A 作AE ⊥x 轴，垂足为E .221tan 3310101 3.AOE OE AE OA OE AE AE OE ∠=∴==+=∴==，.，， ∴点A 的坐标为(3，1)．………………………２分A 点在双曲线上，13k∴=，3k =．∴双曲线的解析式为3y x=． ………………………………………………………３分 (2)点(2)B m -，在双曲线3y x=上，3322m m ∴-==-，．∴点B 的坐标为322⎛⎫-- ⎪⎝⎭，． ………………………………………………………４分231332 1.2a b a a b b +=⎧⎧=⎪⎪∴∴⎨⎨-+=-⎪⎪=-⎩⎩，，∴一次函数的解析式为213y x =-． …………………………………………………７分(3)C D ，两点在直线213y x =-上，C D ∴，的坐标分别是30(01)2C D ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，，． ∴312OC OD ==，，DC =过点C 作CP AB ⊥，垂足为点C ．PDC CDO △∽△，2PD DC DC PD DC OD OD ∴===，又1314OP DP OD =-=-=P ∴点坐标为904⎛⎫⎪⎝⎭，． 分4、（2011•临沂）考点分析：（1）由一次函数y=kx+b 与反比例函数y=的图象相较于A （2，3），B （﹣3，n ）两点，首先求得反比例函数的解析式，则可求得B 点的坐标，然后利用待定系数法即可求得一次函数的解析式； （2）根据图象，观察即可求得答案；（3）因为以BC 为底，则BC 边上的高为3+2=5，所以利用三角形面积的求解方法即可求得答案． 解答：解：（1）∵点A （2，3）在y=的图象上， ∴m=6，∴反比例函数的解析式为：y=，∴n==﹣2，∵A（2，3），B（﹣3，﹣2）两点在y=kx+b上，∴，解得：，∴一次函数的解析式为：y=x+1；（2）﹣3＜x＜0或x＞2；（3）以BC为底，则BC边上的高为3+2=5，∴S△ABC=×2×5=5．点评：此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题．注意待定系数法的应用是解题的关键5、考点：反比例函数与一次函数的交点问题。
中考压轴题-反比例函数综合(八大题型+解题方法)—冲刺2024年中考数学考点(全国通用)(解析版)
中考压轴题反比例函数综合（八大题型+解题方法）1.求交点坐标联立反比例函数与一次函数图象的解析式进行求解，特别地，反比例函数与正比例函数图象的两个交点关于原点对称.2.结合图象比较函数值的大小如图，一次函数y=k1x+b与反比例函数图象交于A,B 两点，过点A,B分别作y 轴的平行线，连同y 轴，将平面分为I,Ⅱ,Ⅲ,IV 四部分，在I,Ⅲ区域内，y₁<y₂,自变量的取值范围为x<x B或0<x<x A;在Ⅱ,IV区域内，y1>y₂,自变量的取值范围为x B<x<0或x>x A.3.反比例函数系数k的几何意义及常用面积模型目录：题型1：反比例函数与几何的解答证明 题型2：存在性问题题型3：反比例函数的代数综合 题型4：动态问题、新定义综合 题型5：定值问题 题型6：取值范围问题 题型7：最值问题题型8：情景探究题（含以实际生活为背景题）题型1：反比例函数与几何的解答证明1．（2024·湖南株洲·一模）如图，在平面直角坐标系xOy 中，矩形OABC 的边OA 在x 轴上，OC 在y 轴上，4OA =，2OC =（不与B ，C 重合），反比例函数()0,0k y k x x=＞＞的图像经过点D ，且与AB 交于点E ，连接OD ，OE ，DE ．(1)若点D 的横坐标为1． ①求k 的值；②点P 在x 轴上，当ODE 的面积等于ODP 的面积时，试求点P 的坐标； (2)延长ED 交y 轴于点F ，连接AC ，判断四边形AEFC 的形状 【答案】(1)①2；②15,04⎛⎫ ⎪⎝⎭或15,04⎛⎫− ⎪⎝⎭(2)四边形AEFC 是平行四边形，理由见解析【分析】（1）①根据矩形的性质得到90BCO B AOC ∠=∠=∠=︒，得()1,2D ，把()1,2D 代入()0,0ky k x x=＞＞即可得到结论；②由D ，E 都在反比例函数ky x =的图像上，得到1COD AOE S S ==△△，根据三角形的面积公式得到1111315241243222224ODE S =⨯−⨯⨯−⨯⨯−⨯⨯=△，设(),0P x ，根据三角形的面积公式列方程即可得到结论；（2）连接AC ，根据题意得到,22k D ⎛⎫ ⎪⎝⎭，4,4k E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，设EF 的函数解析式为y ax b =+，解方程得到84k OF +=，求得24kCF OF AE =−==，根据平行四边形的判定定理即可得到结论．【解析】（1）解：①∵四边形ABCO 是矩形，4OA =， ∴90BCO B AOC ∠=∠=∠=︒，4BC OA ==， ∵2OC =，点D 的横坐标为1， ∴()1,2D ，2AB OC ==，∵反比例函数()0,0ky k x x =＞＞的图像经过点D ，∴122k =⨯=， ∴k 的值为2； ②∵()1,2D ，∴1CD =，∵D ，E 都在反比例函数2y x =的图像上，∴1COD AOE S S ==△△，∴111422AOE S OA AE AE==⋅=⨯△，∴12AE =，∴13222BE AB AE =−=−=， ∴1111315241243222224ODES =⨯−⨯⨯−⨯⨯−⨯⨯=△，∵点P 在x 轴上，ODE 的面积等于ODP 的面积， 设(),0P x ，∴115224ODP S x =⨯⨯=△， 解得：154x =或154x =−，∴点P 的坐标为15,04⎛⎫ ⎪⎝⎭或15,04⎛⎫− ⎪⎝⎭；（2）四边形AEFC AEFC 是平行四边形． 理由：连接AC ，∵4OA =，2OC =，D ，E 都在反比例函数()0,0ky k x x =＞＞的图像上，∴,22k D ⎛⎫ ⎪⎝⎭，4,4k E ⎛⎫⎪⎝⎭，设EF 的函数解析式为：y ax b =+，∴2244k a b k a b ⎧⨯+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得：1284a kb ⎧=−⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩， ∴EF 的函数解析式为：1824k y x +=−+， 当0x =时，得：84ky +=，∴84k OF +=， ∴24kCF OF AE =−==，又∵CF AE ∥，∴四边形AEFC 是平行四边形．【点睛】本题是反比例函数与几何的综合，考查待定系数法确定解析式，反比例函数图像上的点的坐标的特征，矩形的性质，平行四边形的判定，三角形的面积等知识点．掌握反比例函数图像上的点的坐标的特征，矩形的性质是解题的关键．题型2：存在性问题2．（2024·四川成都·二模）如图①，O 为坐标原点，点B 在x 轴的正半轴上，四边形OACB 是平行四边形，4sin 5AOB ∠=，反比例函数(0)ky k x =>在第一象限内的图象经过点A ，与BC 交于点F ．(1)若10OA =，求反比例函数解析式；(2)若点F 为BC 的中点，且AOF 的面积12S =，求OA 的长和点C 的坐标；(3)在（2）中的条件下，过点F 作EF OB ∥，交OA 于点E （如图②)，点P 为直线EF 上的一个动点，连接PA ，PO ．是否存在这样的点P ，使以P 、O 、A 为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请直接写出所有点P 的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)48(0)y x x =>C(3)存在，满足条件的点P 或(或或(【分析】（1）先过点A 作AH OB ⊥，根据4sin 5AOB ∠=，10OA =，求出AH 和OH 的值，从而得出A 点坐标，再把它代入反比例函数中，求出k 的值，即可求出反比例函数的解析式； （2）先设(0)OA a a =>，过点F 作FM x ⊥轴于M ，根据4sin 5AOB ∠=，得出45AH a =，35OH a=，求出AOHS △的值，根据12AOF S =△，求出平行四边形AOBC 的面积，根据F 为BC 的中点，求出6OBF S =△，根据12BF a =，FBM AOB ∠=∠，得出12BMFS BM FM =⋅，23650FOM S a =+△，再根据点A ，F 都在k y x =的图象上，12AOHSk=，求出a ，最后根据AOBC S OB AH =⋅平行四边形，得出OB AC ==C 的坐标；（3）分别根据当90APO ∠=︒时，在OA 的两侧各有一点P ，得出1P ，2P ；当90PAO ∠=︒时，求出3P ；当90POA ∠=︒时，求出4P 即可．【解析】（1）解：过点A 作AH OB ⊥于H ，4sin 5AOB ∠=，10OA =，8AH ∴=，6OH =，A ∴点坐标为(6,8)，根据题意得：86k=，可得：48k =，∴反比例函数解析式：48(0)y x x =>；（2）设(0)OA a a =>，过点F 作FM x ⊥轴于M ，过点C 作CN x ⊥轴于点N ， 由平行四边形性质可证得OH BN =，4sin 5AOB ∠=，45AH a ∴=，35OH a=， 2143625525AOHS a a a ∴=⋅⋅=△，12AOF S =△，24AOBC S ∴=平行四边形，F 为BC 的中点，6OBFS∴=，12BF a=，FBM AOB ∠=∠，25FM a ∴=，310BM a =，2112332251050BMF S BM FM a a a ∴=⋅=⋅⋅=△，23650FOMOBFBMFSSSa ∴=+=+，点A ，F 都在ky x =的图象上，12AOH FOM S S k ∴==△△，∴226362550a a =+，a ∴OA ∴=AH ∴=OH =24AOBC S OB AH =⋅=平行四边形，OB AC ∴==ON OB OH ∴=+=C ∴；（3）由（2）可知A ，B 0)，F ．存在三种情况：当90APO ∠=︒时，在OA 的两侧各有一点P ，如图，设PF 交OA 于点J ，则J此时，AJ PJ OJ ==，P ∴，(P '，当90PAO ∠=︒时，如图，过点A 作AK OB ⊥于点K ，交PF 于点L ．由AKO PLA △∽△，可得PLP ，当90POA ∠=︒时，同理可得(P ．综上所述，满足条件的点P 的坐标为或(或或(．【点睛】此题考查了反比例函数的综合，用到的知识点是三角函数、平行四边形、反比例函数、三角形的面积等，解题的关键是数形结合思想的运用．3．（2024·广东湛江·一模）【建立模型】（1）如图1，点B 是线段CD 上的一点，AC BC ⊥，AB BE ⊥，ED BD ⊥，垂足分别为C ，B ，D ，AB BE =．求证：ACB BDE ≌；【类比迁移】（2）如图2，点()3,A a −在反比例函数3y x=图象上，连接OA ，将OA 绕点O 逆时针旋转90︒到OB ，若反比例函数k y x =经过点B ．求反比例函数ky x=的解析式； 【拓展延伸】（3）如图3抛物线223y x x +−与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于C 点，已知点()0,1Q −，连接AQ ，抛物线上是否存在点M ，便得45MAQ ∠=︒，若存在，求出点M 的横坐标．【答案】（1）见解析；（2）3y x =−；（3）M 的坐标为39,24⎛⎫ ⎪⎝⎭或()1,4−−．【分析】（1）根据题意得出90C D ABE ︒∠=∠=∠=，A EBD ∠=∠，证明()AAS ACB BDE ≌，即可得证；（2）如图2，分别过点A ，B 作AC x ⊥轴，BD x ⊥轴，垂足分别为C ，D ．求解()3,1A −−，1AC =，3OC =．利用ACO ODB ≌△△，可得()1,3B −；由反比例函数ky x =经过点()1,3B −，可得3k =−，可得答案；（3）如图3，当M 点位于x 轴上方，且45MAQ ∠=︒，过点Q 作QD AQ ⊥，交MA 于点D ，过点D 作DE y⊥轴于点E ．证明AQO QDE ≌，可得AO QE =，OQ DE =，可得()1,2D ，求解1322AM y x =+：，令2132322x x x +=+−， 可得M 的坐标为39,24⎛⎫ ⎪⎝⎭；如图，当M 点位于x 轴下方，且45MAQ ∠=︒，同理可得()1,4D −−，AM 为26y x =−−．由22623x x x −−=+−，可得M 的坐标是()1,4−−．【解析】证明：（1）如图，∵AC BC ⊥，AB BE ⊥，ED BD ⊥， ∴90C D ABE ︒∠=∠=∠=，∴90,90ABC A ABC EBD ∠+∠=︒∠+∠=︒， ∴A EBD ∠=∠， 又∵AB BE =， ∴()AAS ACB BDE ≌．（2）①如图2，分别过点A ，B 作AC x ⊥轴，BD x ⊥轴，垂足分别为C ，D ．将()3,A a −代入3y x =得：1a =−，∴()3,1A −−，1AC =，3OC =．同（1）可得ACO ODB ≌△△， ∴1OD AC ==，3BD OC ==， ∴()1,3B −，∵反比例函数ky x =经过点()1,3B −，∴3k =−， ∴3y x =−；（3）存在；如图3，当M 点位于x 轴上方，且45MAQ ∠=︒，过点Q 作QD AQ ⊥，交MA 于点D ，过点D 作DE y ⊥轴于点E ．∵45MAQ ∠=︒，QD AQ ⊥， ∴45MAQ ADQ ∠=∠=︒， ∴AQ QD =，∵DE y ⊥轴，QD AQ ⊥，∴90AQO EQD EQD QDE ∠+∠=∠+∠=︒，90AOQ QED ∠=∠=︒， ∴AQO QDE ∠=∠， ∵AQ QD =， ∴AQO QDE ≌， ∴AO QE =，OQ DE =，令2230y x x =+−=，得13x =−，21x =，∴3AO QE ==，又()0,1Q −，∴1OQ DE ==， ∴()1,2D ，设AM 为y kx b =+，则230k b k b +=⎧⎨−+=⎩，，解得：1232k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴1322AM y x =+： 令2132322x x x +=+−，得132x =，23x =−(舍去)， 当32x =时，233923224y ⎛⎫=+⨯−= ⎪⎝⎭， ∴39,24M ⎛⎫⎪⎝⎭；如图，当M 点位于x 轴下方，且45MAQ ∠=︒，同理可得()1,4D −−，AM 为26y x =−−．由22623x x x −−=+−，得11x =−，23x =−(舍去)∴当=1x −时，()()212134y =−+⨯−−=−，∴()1,4M −−．综上：M 的坐标为39,24⎛⎫⎪⎝⎭或()1,4−−．【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，反比例函数的应用，二次函数的性质，一元二次方程的解法，熟练的利用类比的方法解题是关键．题型3：反比例函数的代数综合4．（2024·湖南长沙·一模）若一次函数y mx n =+与反比例函数ky x=同时经过点(),P x y 则称二次函数2y mx nx k +=-为一次函数与反比例函数的“共享函数”，称点P 为共享点．(1)判断21y x =−与3y x=是否存在“共享函数”，如果存在，请说明理由；(2)已知：整数m ，n ，t 满足条件8t n m ＜＜，并且一次函数()122=+++y n x m 与反比例函数2024y x=存在“共享函数”()()2102024y m t x m t x ++−=-，求m 的值．(3)若一次函数y x m =+和反比例函数213m y x+=在自变量x 的值满足的6m x m ≤≤+的情况下．其“共享函数”的最小值为3，求其“共享函数”的解析式．【答案】(1)3,22P ⎛⎫ ⎪⎝⎭或()1,3P −−，见解析 (2)2(3)2429y x x =+−或(29155y x x −−−=【分析】（1）判断21y x =−与3y x =是否有交点，计算即可；（2）根据定义，12210n m tm m t +=+⎧⎨+=−⎩，得到39869n m n t +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，结合8t n m ＜＜，构造不等式组解答即可． （3）根据定义，得“共享函数”为()22225131324m m y x mx m x ⎛⎫+−+=+−− ⎪⎝⎭=结合6m x m ≤≤+，“共享函数”的最小值为3，分类计算即可．本题考查了新定义，解方程组，解不等式组，抛物线的增减性，熟练掌握定义，抛物线的增减性是解题的关键．【解析】（1）21y x =−与3y x =存在“共享函数”，理由如下：根据题意，得213y x y x =−⎧⎪⎨=⎪⎩，解得322x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩，13x y =−⎧⎨=−⎩，故函数同时经过3,22P ⎛⎫ ⎪⎝⎭或()1,3P −−， 故21y x =−与3y x =存在“共享函数”．（2）∵一次函数()122=+++y n x m 与反比例函数2024y x =存在“共享函数”()()2102024y m t x m t x ++−=-，∴12210n m tm m t +=+⎧⎨+=−⎩，解得39869n m n t +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩， ∵8t n m ＜＜， ∴82489869n n m n n +⎧=⎪⎪⎨+⎪⎪⎩＜＞，解得24n 6＜＜， ∴327n +9＜＜， ∴339n +1＜＜，∴13m ＜＜， ∵m 是整数， ∴2m =．（3）根据定义，得一次函数y x m =+和反比例函数213m y x +=的“共享函数”为 ()22225131324m m y x mx m x ⎛⎫+−+=+−− ⎪⎝⎭=，∵()22225131324m m y x mx m x ⎛⎫+−+=+−− ⎪⎝⎭=．∴抛物线开口向上，对称轴为直线2mx =−，函数有最小值25134m −−，且点与对称轴的距离越大，函数值越大，∵6m x m ≤≤+，当62mx m =−+≥时，即4m ≤−时，∵11622m m m m ⎛⎫⎛⎫−−+−− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＞， ∴6x m =+时，函数取得最小值，且为2225613182324m m y m m m ⎛⎫=++−−=++ ⎪⎝⎭，又函数有最小值3，∴218233m m ++=，解得99m m =−=−故9m =− ∴“共享函数”为(29155y x x −−−=当2m x m =−≤时，即0m ≥时，∵11622m m m m ⎛⎫⎛⎫−−+−− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＜， ∴x m =时，函数取得最小值，且为2225131324m m y m m ⎛⎫=+−−=− ⎪⎝⎭，又函数有最小值3，∴2133m −=，解得4,4m m ==−（舍去）； 故4m =，∴“共享函数”为2429y x x =+−； 当62mm m −+＜＜时，即40m −＜＜时，∴2mx =−时，函数取得最小值，且为25134m y =−−，又函数有最小值3，∴251334m −−=， 方程无解，综上所述，一次函数y x m =+和反比例函数213m y x += 的“共享函数”为2429y x x =+−或(29155y x x −−−=5．（2024·江苏南京·模拟预测）若一次函数y mx n =+与反比例函数ky x=同时经过点(,)P x y 则称二次函数2y mx nx k =+−为一次函数与反比例函数的“共享函数”，称点P 为共享点．(1)判断21y x =−与3y x=是否存在“共享函数”，如果存在，请求出“共享点”．如果不存在，请说明理由； (2)已知：整数m ，n ，t 满足条件8t n m <<，并且一次函数(1)22y n x m =+++与反比例函数2024y x=存在“共享函数” 2()(10)2024y m t x m t x =++−−，求m 的值．(3)若一次函数y x m =+和反比例函数213m y x+=在自变量x 的值满足的6m x m ≤≤+的情况下．其“共享函数”的最小值为3，求其“共享函数”的解析式．【答案】(1)点P 的坐标为：3(2，2)或(1,3)−−；(2)2m =(3)222(13)(9(155y x mx m x x =+−+=+−−+或2429y x x =+−．【分析】（1）联立21y x =−与3y x =并整理得：2230x x −−=，即可求解；（2）由题意得12210n m t m m t +=+⎧⎨+=−⎩，解得39869n m n t +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，而8t n m <<，故624n <<，则9327n <+<，故13m <<，m 是整数，故2m =；（3）①当162m m +≤−时，即4m ≤−，6x m =+，函数取得最小值，即22(6)(6)133m m m m +++−−=，即可求解；②当162m m m <−<+，即40m −<<，函数在12x m=−处取得最小值，即22211()13322m m m −−−−=，即可求解；③当0m ≥时，函数在x m =处，取得最小值，即可求解． 【解析】（1）解：（1）21y x =−与3y x =存在“共享函数”，理由如下：联立21y x =−与3y x =并整理得：2230x x −−=，解得：32x =或1−， 故点P 的坐标为：3(2，2)或(1,3)−−；（2）解：一次函数(1)22y n x m =+++与反比例函数2024y x =存在“共享函数”2()(10)2024y m t x m t x =++−−，依据“共享函数”的定义得： 12210n m tm m t +=+⎧⎨+=−⎩，解得：39869n m n t +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩， 8t n m <<，∴8698249n n n n +⎧<⎪⎪⎨+⎪<⎪⎩， 解得：624n <<；9327n ∴<+<， 13m ∴<<，m 是整数，2m ∴=；（3）解：由y x m =+和反比例函数213m y x +=得：“共享函数”的解析式为22(13)y x mx m =+−+， 函数的对称轴为：12x m=−； ①当162m m+≤−时，即4m ≤−， 6x m =+，函数取得最小值，即22(6)(6)133m m m m +++−−=，解得9m =−9−②当162m m m <−<+，即40m −<<， 函数在12x m =−处取得最小值，即22211()13322m m m −−−−=，无解；③当0m ≥时，函数在x m =处，取得最小值，即222133m m m +−−=，解得：4m =±（舍去4)−，综上，9m =−4，故“共享函数”的解析式为222(13)(9(155y x mx m x x =+−+=+−−+或2429y x x =+−．【点睛】本题是一道二次函数的综合题，主要考查了一次函数与反比例函数的性质，一次函数与反比例函数图象上点的坐标的特征，二次函数的性质，一元一次不等式组的解法，一元二次方程的解法．本题是阅读型题目，理解题干中的定义并熟练应用是解题的关键．6．（2024·湖南长沙·模拟预测）我们规定：若二次函数2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，且0a ≠）与x 轴的两个交点的横坐标1x ，2x 满足122x x =−，则称该二次函数为“强基函数”，其中点()1,0x ，()2,0x 称为该“强基函数”的一对“基点”．(1)判断：下列函数中，为“强基函数”的是______（仅填序号）．①228y x x =−−；②21y x x =++．(2)已知二次函数()2221y x t x t t =−+++为“强基函数”，求：当12x −≤≤时，函数22391y x tx t =+++的最大值．(3)已知直线1y x =−+与x 轴交于点C ，与双曲线()20y x x=−<交于点A ，点B 的坐标为()3,0−．若点()1,0x ，()2,0x 是某“强基函数”的一对“基点”，()12,P x x 位于ACB △内部．①求1x 的取值范围；②若1x 为整数，是否存在满足条件的“强基函数”2y x bx c =++？若存在，请求出该“强基函数”的解析式；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)① (2)当23t =−时函数最大值为8或当13t =−时函数最大值为4；(3)①1x 的取值范围是：120x −<<或110x −<<；②21122y x x =+−【分析】（1）根据抛物线与x 轴的交点情况的判定方法分别判定①与②与x 轴的交点情况，再求解交点坐标，结合新定义，从而可得答案； （2）由()22210y x t x t t =−+++=时，可得1x t=，21x t =+，或11x t =+，2x t=，当122x x =−时，根据新定义可得23t =−或13t =−，再分情况求解函数的最大值即可；（3））①先得到点A 、B 、C 的坐标，然后分122x x =−或212x x =−两种情况，列出关于1x 的不等式组，然后解不等式组即可；②根据1x 为整数，先求出1x 的值，然后根据二次函数的交点式直接得到二次函数的解析式即可．【解析】（1）解：①∵228y x x =−−； ∴()()2Δ2418432360=−−⨯⨯−=+=>，∴抛物线与x 轴有两个交点，∵228=0x x −−，∴14x =，22x =−，∴122x x =−，∴228y x x =−−是“强基函数” ②∵21y x x =++， ∴214111430∆=−⨯⨯=−=−<，∴抛物线与x 轴没有交点，∴21y x x =++不是“强基函数” 故答案为：①； （2）∵二次函数()2221y x t x t t=−+++为“强基函数”，∴()()22Δ21410t t t ⎡⎤=−+−+=>⎣⎦，∵()22210y x t x t t =−+++=时， ∴1x t=，21x t =+，或11x t =+，2x t=，当122x x =−时，∴()21t t =−+或12t t +=−，解得：23t =−或13t =−，当23t =−时，函数为225y x x =−+，如图，∵12x −≤≤，此时当=1x −时，函数最大值为1258y =++=； 当13t =−时，函数为22y x x =−+，如图，∵12x −≤≤，此时当=1x −或2x =时，函数最大值为1124y =++=；（3）①联立()201y x x y x ⎧=−<⎪⎨⎪=−+⎩，解得：12x y =−⎧⎨=⎩， ∴点A 的坐标为：()1,2−，把0y =代入 1y x =−+得：10x −+=， 解得：1x =，∴点C 的坐标为()1,0， 设直线AB 为1y kx b =+，∴11302k b k b −+=⎧⎨−+=⎩，解得：113k b =⎧⎨=⎩，∴直线AB 的解析式为：3y x =+， ∵点()1,0x ，()2,0x 是某“强基函数”的一对“基点”， ()12,P x x 位于ACB △内部．当122x x =−时， ∴111,2P x x ⎛⎫− ⎪⎝⎭， ∴点P 在直线2xy =−上，∵点111,2P x x ⎛⎫− ⎪⎝⎭位于以A 、B 、C 三点所构成的三角形内部，如图，∴1111103212x x x x x ⎧⎪<⎪⎪−+⎨⎪⎪−−+⎪⎩＜＜， 解得：120x −<<；当212x x =−时，∵P 点坐标为()11,2x x −，∴点P 在直线2y x =−上，∵点P 位于以A 、B 、C 三点所构成的三角形内部，如图，∴1111102321x x x x x <⎧⎪−<+⎨⎪−<−+⎩，解得：110x −<<；综上分析可知，1x 的取值范围是：120x −<<或110x −<<；②存在；理由如下：∵1x 为整数，∴当120x −<<时，11x =−，∴此时212x =，此时，“强基函数”的一对“基点”为()1,0−，1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭， ∴“强基函数”为()21111222y x x x x ⎛⎫=+−=+− ⎪⎝⎭； 当110x −<<时，则没有符合条件的整数1x 的值，不存在符合条件的“强基函数”； 综上，“强基函数”为21122y x x =+−． 【点睛】本题考查的是一次函数，反比例函数，二次函数的综合应用，新定义的含义，本题难度大，灵活应用各知识点，理解新定义的含义是解题的关键．题型4：动态问题、新定义综合7．（2024·山东济南·一模）如图1，直线14y ax =+经过点()2,0A ，交反比例函数2k y x=的图象于点()1,B m −，点P 为第二象限内反比例函数图象上的一个动点．(1)求反比例函数2y 的表达式；(2)过点P 作PC x ∥轴交直线AB 于点C ，连接AP ，BP ，若ACP △的面积是BPC △面积的2倍，请求出点P 坐标；(3)平面上任意一点(),Q x y ，沿射线BA Q '，点Q '怡好在反比例函数2k y x=的图象上；①请写出Q 点纵坐标y 关于Q 点横坐标x 的函数关系式3y =______；②定义}{()()min ,a a b a b b a b ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，则函数{}13min ,Y y y =的最大值为______． 【答案】(1)26y x =−(2)点P 坐标为1,122⎛⎫− ⎪⎝⎭或3,42⎛⎫− ⎪⎝⎭ (3)①3621y x =−++；②8【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，坐标与图形，解题的关键是运用分类讨论的思想．（1）先根据点()2,0A 求出1y 的解析式，然后求出点B 的坐标，最后将点B 的坐标代入2y 中，求出k ，即可求解；（2）分两种情况讨论：当点P 在AB 下方时，当点P 在AB 上方时，结合“若ACP △的面积是BPC △面积的2倍”，求出点C 的坐标，将点C 的纵坐标代入反比例函数解析式，即可求解；（3）①根据题意可得：(),Q x y 向右平移1个单位，再向下平移2个单位得到点Q '，则()1,2Q x y +'−，将其代入26y x =−中，即可求解；②分为：当{}131min ,Y y y y ==时，13y y ≤；当{}133min ,Y y y y ==时，13y y >；分别解不等式即可求解．【解析】（1）解：直线14y ax =+经过点()2,0A ，，∴240x +=， 解得：2a =−，∴124y x =−+，点()1,B m −在直线124y x =−+上，∴()2146m =−⨯−+=，∴()1,6B −，∴166k =−⨯=−， ∴26y x =−；（2）①当点P 在AB 下方时，2ACP BPC S S =，∴:2:1AC BC =，过点C 作CH x ⊥轴于点H ，过点B 作BR x ⊥轴于点R ，∴23AC CH AB BR ==， ∴23C B y y =，()1,6B −，∴4C y =，把4C y =代入26y x =−中， 得：32C x =−， ∴3,42P ⎛⎫− ⎪⎝⎭； ②当点P 在AB 上方时，2ACP BPC S S =，∴:1:1AB BC =，∴B 为AC 的中点，()2,0A ，()1,6B −，∴()4,12C −，把12y =代入26y x =−中，得：12x =−， ∴1,122P ⎛⎫− ⎪⎝⎭，综上所述，点P 的坐标为1,122⎛⎫− ⎪⎝⎭或3,42⎛⎫− ⎪⎝⎭；（3）① 由(),Q x y ，沿射线BA Q '， 得：(),Q x y 向右平移1个单位，再向下平移2个单位得到点Q '，∴()1,2Q x y +'−，点()1,2Q x y +'−恰好在反比例函数26y x =−的图象上， ∴621y x −=−+， ∴3621y x =−++；②a ．当{}131min ,Y y y y ==时，13y y ≤， 即62421x x −+≤−++， 当1x >−时，()()()2141621x x x x −+++≤−++，解得：2x ≥或2x ≤−（舍去），∴2x =时，函数{}131min ,Y y y y ==有最大值，最大值为2240−⨯+=；当1x <−时，()()()2141621x x x x −+++≥−++，解得：21x −≤<−，∴2x =−时，函数{}131min ,Y y y y ==有最大值，最大值为()2248−⨯−+=；b ．当{}133min ,Y y y y ==时，13y y >， 即62421x x −+>−++，当1x >−时，()()()2141621x x x x −+++>−++，解得：2x >或<2x −（舍去）， ∴362021y >−+=+，即0Y >；当1x <−时，()()()2141621x x x x −+++<−++，解得：2<<1x −−，∴328y <<，即28Y <<；综上所述，函数{}13min ,Y y y =的最大值为8，故答案为：8．8．（2024·四川成都·一模）如图，矩形OABC 交反比例函数k y x=于点D ，已知点()0,4A ，点()2,0C −，2ACD S =△．(1)求k 的值；(2)若过点D 的直线分别交x 轴，y 轴于R ，Q 两点，2DRDQ =，求该直线的解析式； (3)若四边形有一个内角为60︒，且有一条对角线平分一个内角，则称这个四边形为“角分四边形”．已知点P在y 轴负半轴上运动，点Q 在x 轴正半轴上运动，若四边形ACPQ 为“角分四边形”，求点P 与点Q 的坐标．【答案】(1)4k =−；(2)26y x =+或22y x =−+；(3)(()020P ,,Q ,−或 ()()04320P ,,−或()()040P ,,Q −【分析】（1）利用面积及矩形的性质，用待定系数法即可求解；（2）分两种情况讨论求解：R 在x 轴正半轴上和在负半轴上两种情况分别求解即可；（3）分三种情况：当AO 平分CAQ ∠，60CPQ ∠=︒时，当CO 平分ACP ∠，60CPQ ∠=︒时，当CO 平分ACP ∠，60AQP ∠=︒时，分别结合图形求解. 【解析】（1）解：2ACD S =△， 即122AD OA ⨯⨯=， ()0,4A ，1422AD ∴⨯=，1AD ∴=，()1,4D ∴−， 41k∴=−，4k ∴=−；（2）①如图，当2DR DQ =时，13DQ RQ =，AD OR ，13DQ AD RQ OR ∴==，1AD =，3OR ∴=，()3,0R ∴−，设直线RQ 为11y k x b =+， 把()3,0R −，()1,4D −代入11y k x b =+，得1111304k b k b −+=⎧⎨−+=⎩，解得1126k b =⎧⎨=⎩，直线RQ 为26y x =+，②如图，当2DR DQ =时，1DQ RQ =，AD OR ，1DQ AD RQ OR ∴==，1AD =，1OR ∴=，()1,0R ∴，设直线RQ 为22y k x b =+，把()1,0R ，()1,4D −代入22y k x b =+，得222204k b k b +=⎧⎨−+=⎩，解得2222k b =−⎧⎨=⎩，直线RQ 为22y x =−+，综上所述，直线RQ 的表达式为26y x =+或22y x =−+；（3）解：①当AO 平分CAQ ∠，60CPQ ∠=︒时，CAO QAO AO AOAOC AOQ ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=⎩，()ASA AOC AOQ ∴≌， CO QO ∴=即AP 垂直平分CQ ，()2,0Q ∴，60CPQ ∠=︒，30CPO ∴∠=︒，tan30OC OP ∴===︒，(0,P ∴−，②当CO 平分ACP ∠，60CPQ ∠=︒时，同理ACO PCO ≌，得4OA OP ==，()0,4P ∴−，PC == 作CM PQ ⊥于M ，60CPQ ∠=︒，1cos602PM PC ∴=⨯︒==sin60CM PC =⨯︒== 90POQ CMQ ,PQO PQO ∠=∠=︒∠=∠，CMQ POQ ∴∽，MQ CM OQ OP ∴=，即MQ OQ =，)2222OQ OP PQ MQ +==② ，联立①，②，解得32OQ =或32OQ =(舍），()32,0Q ∴，③当CO 平分ACP ∠，60AQP ∠=︒时，同理 ACO PCO ≌，得4OA OP ==，AC CP = 同理ACQ PCQ ≌，得AQ PQ =∴APQ 是等边三角形()0,4P ∴−，8AP AQ PQ ,===OQ =， ()Q ∴，综上所述，P 、Q 的坐标为(()0,,2,0P Q −或 ()()0,4,32,0P Q −或()()0,4,P Q −.【点睛】此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，解直角三角形，求一次函数解析式，相似三角形的性质和判定，正确作出辅助线，解方程组，灵活运用待定系数法求函数解析式是解本题的关键． 题型5：定值问题9．（2024·山东济南·模拟预测）如图①，已知点()1,0A −，()0,2B −，ABCD Y 的边AD 与y 轴交于点E ，且E 为AD 的中点，双曲线k y x=经过C 、D 两点．(1)求k 的值；(2)点P 在双曲线k y x=上，点Q 在y 轴上，若以点A 、B 、P 、Q 为顶点的四边形是平行四边形，直接写出满足要求的所有点Q 的坐标；(3)以线段AB 为对角线作正方形AFBH （如图③），点T 是边AF 上一动点，M 是HT 的中点，MN HT ⊥，交AB 于N ，当点T 在AF 上运动时，MN HT 的值是否发生改变？若改变，求出其变化范围：若不改变，请求出其值，并给出你的证明．【答案】(1)4k =(2)()0,6或()0,2或()0,6− (3)12MN HT =，其值不发生改变，证明见解析【分析】（1）根据中点坐标公式可得，1D x =，设()1,D t ，由平行四边形对角线中点坐标相同可知()2,2C t −，再根据反比例函数的性质求出t 的值即可；（2）由（1）知4k =可知反比例函数的解析式为4y x =，再由点P 在双曲线4y x =上，点Q 在y 轴上，设()0,Q q ，4P p p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，再分以AB 为边和以AB 为对角线两种情况求出x 的值，故可得出P 、Q 的坐标；（3）连NH 、NT 、NF ，易证NF NH NT ==，故NTF NFT AHN ∠=∠=∠，90TNH TAH ∠=∠=︒，12MN HT =由此即可得出结论．【解析】（1）解：∵()1,0A −，E 为AD 中点且点E 在y 轴上，1D x ∴=， 设()1,D t ，()C m n ，，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AC BD 、的中点坐标相同， ∴101222022m t n +−⎧=⎪⎪⎨−+⎪=⎪⎩， ∴22m n t ==−，()22C t ∴−，，∵C 、D 都在反比例函数4y x =的图象上，()22k t t ∴==−，4t ∴=， 4k ∴=；（2）解：由（1）知4k =，∴反比例函数的解析式为4y x =，点P 在双曲线4x 上，点Q 在y 轴上，∴设()0,Q q ，4P p p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，①当AB 为边时：如图1，若ABPQ 为平行四边形，则1002240422p q p −++⎧=⎪⎪⎨−⎪−=⎪⎩，解得16p q =⎧⎨=⎩，此时()11,4P ，()10,6Q ；如图2，若ABQP 为平行四边形，则1002242022p q p −++⎧=⎪⎪⎨−+⎪+=⎪⎩，解得16p q =−⎧⎨=−⎩，此时()21,4P −−，()20,6Q −；②如图3，当AB 为对角线时，则010*******p q p +−+⎧=⎪⎪⎨+⎪−=⎪⎩解得12p q =−⎧⎨=⎩，()31,4P ∴−−，()30,2Q ；综上所述，满足题意的Q 的坐标为()0,6或()0,2或()0,6−；（3）解：12MN HT =，其值不发生改变，证明如下： 如图4，连NH 、NT 、NF ，∵M 是HT 的中点，MN HT ⊥，∴MN 是线段HT 的垂直平分线，NT NH ∴=，四边形AFBH 是正方形，45ABF ABH ∴∠=∠=︒，在BFN 与BHN △中，BF BH NBF NBH BN BN =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()SAS BFN BHN ∴≌，NF NH NT ∴==，BFN BHN ∠=∠，∵90BFA BHA ==︒∠∠，NTF NFT AHN ∴∠=∠=∠，∵180ATN NTF ∠+∠=︒，∴180ATN AHN ∠+∠=︒，∴3601809090TNH ∠=︒−︒−︒=︒．12MN HT ∴=， ∴12MN HT =．三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等相关知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题.10．（2024·山东济南·二模）如图①，已知点(1,0)A −，(0,2)B −，ABCD Y 的边AD 与y 轴交于点E ，且E 为AD 的中点，双曲线k y x=经过C 、D 两点．(1)求k 的值；(2)点P 在双曲线k y x=上，点Q 在y 轴上，若以点A 、B 、P 、Q 为顶点的四边形是平行四边形，直接写出满足要求的所有点Q 的坐标；(3)以线段AB 为对角线作正方形AFBH （如图③)，点T 是边AF 上一动点，M 是HT 的中点，MN HT ⊥，交AB 于N ，当点T 在AF 上运动时，MN HT的值是否发生改变？若改变，求出其变化范围：若不改变，请求出其值，并给出你的证明．【答案】(1)4k =(2)1(0,6)Q ，2(0,6)Q −，3(0,2)Q(3)结论：MN HT 的值不发生改变，12MN HT =证明见解析【分析】（1）设(1,)D t ，由DC AB ∥，可知(2,2)C t −，再根据反比例函数的性质求出t 的值即可；（2）由（1）知4k =可知反比例函数的解析式为4y x =，再由点P 在双曲线4y x =上，点Q 在y 轴上，设(0,)Q y ，4(,)P x x ，再分以AB 为边和以AB 为对角线两种情况求出x 的值，故可得出P 、Q 的坐标；（3）连NH 、NT 、NF ，易证NF NH NT ==，故NTF NFT AHN ∠=∠=∠，90TNH TAH ∠=∠=︒，12MN HT =由此即可得出结论．【解析】（1）解：(1,0)A −，(0,2)B −，E 为AD 中点， 1D x ∴=，设(1,)D t ，又DC AB ∥，(2,2)C t ∴−，24t t ∴=−，4t ∴=，4k ∴=；（2）解：由（1）知4k =，∴反比例函数的解析式为4y x =，点P 在双曲线4x 上，点Q 在y 轴上，∴设(0,)Q y ，4(,)P x x ， ①当AB 为边时：如图1，若ABPQ 为平行四边形，则102x −+=，解得1x =，此时1(1,4)P ，1(0,6)Q ；如图2，若ABQP 为平行四边形，则122x −=， 解得=1x −，此时2(1,4)P −−，2(0,6)Q −；②如图3，当AB 为对角线时，AP BQ =，且AP BQ ∥； ∴122x −=，解得=1x −，3(1,4)P ∴−−，3(0,2)Q ；故1(1,4)P ，1(0,6)Q ；2(1,4)P −−，2(0,6)Q −；3(1,4)P −−，3(0,2)Q ；（3） 解：结论：MNHT 的值不发生改变，理由：如图4，连NH 、NT 、NF ，MN 是线段HT 的垂直平分线，NT NH ∴=，四边形AFBH 是正方形，ABF ABH ∴∠=∠，在BFN 与BHN △中，BF BH ABF ABH BN BN =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()BFN BHN SAS ∴≌，NF NH NT ∴==， NTF NFT AHN ∴∠=∠=∠，四边形ATNH 中，180ATN NTF ∠+∠=︒，而NTF NFT AHN ∠=∠=∠，所以，180ATN AHN ∠+∠=︒，所以，四边形ATNH 内角和为360︒，所以3601809090TNH ∠=︒−︒−︒=︒．12MN HT ∴=， ∴12MN HT =．【点睛】此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法求反比例函数的解析式、正方形的性质、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等相关知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题.题型6：取值范围问题11．（2024·江苏宿迁·二模）中国象棋棋盘上双方的分界处称为“楚河汉界”，以“楚河汉界”比喻双方对垒的分界线．在平面直角坐标系中，为了对两个图形进行分界，对“楚河汉界线”给出如下定义：点()11,P x y 是图形1G 上的任意一点，点()22,Q x y 是图形2G 上的任意一点，若存在直线()0l y kx b k =+≠∶满足11y kx b ≤+且22y kx b ≥+，则直线(0)y k b k =+≠就是图形1G 与2G 的“楚河汉界线”．例如：如图1，直线4l y x =−−∶是函数6(0)y x x=<的图像与正方形OABC 的一条“楚河汉界线”．(1)在直线①2y x =−，②41y x =−，③23y x =−+，④31y x =−−中，是图1函数6(0)y x x=<的图像与正方形OABC 的“楚河汉界线”的有______；（填序号） (2)如图2，第一象限的等腰直角EDF 的两腰分别与坐标轴平行，直角顶点D 的坐标是()2,1，EDF 与O 的“楚河汉界线”有且只有一条，求出此“楚河汉界线”的表达式；(3)正方形1111D C B A 的一边在y 轴上，其他三边都在y 轴的右侧，点(2,)M t 是此正方形的中心，若存在直线2y x b =−+是函数2)304(2y x x x =−++≤≤的图像与正方形1111D C B A 的“楚河汉界线”，求t 的取值范围．【答案】(1)①④；(2)25y x =−+；(3)7t ≤−或9t ≥．【分析】（1）根据定义，结合图象，可判断出直线为3y x =−或31y x =−−与双曲线6(0)y x x =<及正方形ABCD最多有一个公共点，即可求解；（2）先作出以原点O 为圆心且经过EDF 的顶点D 的圆，再过点D 作O 的切线，求出该直线的解析式即可；（3）先由抛物线与直线组成方程组，则该方程组有唯一一组解，再考虑直线与正方形有唯一公共点的情形，数形结合，分类讨论，求出t【解析】（1）解：如图，从图可知，2y x =−与双曲线6(0)y x x =<和正方形OABC 只有一个公共点，31y x =−−与双曲线6(0)y x x =<和正方形OABC 没有公共点，41y x =−、23y x =−+不在双曲线6(0)y x x =<及正方形ABCD 之间， 根据“楚河汉界线”定义可知，直线2y x =−，31y x =−−是双曲线6(0)y x x =<与正方形OABC 的“楚河汉界线”， 故答案为：①④；（2）解：如图，连接OD ，以O 为圆心，OD 长为半径作O ，作DG x ⊥轴于点G ，过点D 作O 的切线DM ，则MD OD ⊥，∵MD OD ⊥，DG x ⊥轴， ∴90ODM OGD ∠=∠=︒， ∴90MOD OMD ∠+∠=︒， ∵90MOD DOG ∠+∠=︒， ∴OMD DOG ∠=∠， ∴tan tan OMD DOG ∠=∠， ∵()2,1D ，∴1DG =，2OG =，∴1tan tan 2DG OMD DOG OG ∠=∠==，OG ==∵tan ODOMD DM ∠=，∴12=，∴1122MN DM ∴==⨯=∴5OM =，∴()0,5M ，设直线MD 的解析式为y mx n =+，把()0,5M 、()2,1D 代入得，521n m n =⎧⎨+=⎩，解得25m n =−⎧⎨=⎩，∴25y x =−+，∴EDF 与O 的“楚河汉界线”为25y x =−+； （3）解：由2223y x b y x x =−+⎧⎨=−++⎩得，2430x x b −+−=， ∵直线与抛物线有唯一公共点， ∴0=，∴164120b −+=，解得7b =， ∴此时的“楚河汉界线”为27y x =−+，当正方形1111D C B A 在直线27y x =−+上方时，如图，∵点()2,M t 是此正方形的中心，∴顶点()10,2A t −，∵顶点()10,2A t −不能在直线27y x =−+下方，得27t −≥，解得9t ≥；当正方形1111D C B A 在直线27y x =−下方时，如图，对于抛物线223y x x =−++，当0x =时，3y =；当4x =时，5y =−； ∴直线23y x =−+恰好经过点()0,3和点()4,5−；对于直线23y x =−+，当4x =时，5y =−，由()12,2C t +不能在直线23y x =−+上方，得25t ≤−+， 解得7t ≤−；综上所述，7t ≤−或9t ≥．【点睛】此题考查了一次函数、正方形的性质、三角函数、一次函数的应用、二元二次方程组，一元二次方程的根的判别式等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题．题型7：最值问题12．（2024·辽宁·一模）【发现问题】随着时代的发展，在现代城市设计中，有许多街道是设计的相互垂直或平行的，因此往往不能沿直线行走到目的地，只能按直角拐弯的方式行走．我们可以按照街道的垂直和平行方向建立平面直角坐标系xOy ，对两点()11,A x y 和()22,B x y ，用以下方式定义两点间的“折线距离”：()1212,d A B x x y y =−+−．【提出问题】（1）①已知点()4,1A ，则(),d O A =______；②函数()2630y x x =+−≤≤的图象如图1，B 是图象上一点，若(),5d O B =，则点B 的坐标为______； （2）函数()30y x x=>的图象如图2，该函数图象上是否存在点C ，使(),2d O C =？若存在，求出其坐标；若不存在，请说明理由； 【拓展运用】（3）已知函数()21460y x x x =−+≥和函数()2231y x x =+≥−的图象如图3，D 是函数1y 图象上的一点，E是函数2y 图象上的一点，当(),d O D 和(),d O E 分别取到最小值的时候，请求出(),d D E 的值．【答案】（1）①5；②()14，（2）不存在，理由见解析（3）()15,4d D E =【分析】本题在新定义下考查了一次方程和分式方程的解法，二次函数的最值，关键是紧靠定义来构造方程和函数．（1）①代入定义中的公式求； ②设出函数()2630y x x =+−≤≤的图象上点B 的坐标，通过(),5d O B =建立方程，解方程；（2）设出函数()30y x x =>的图象上点C 的坐标，通过(),2d O C =建立方程，看方程解的情况；（3）设出函数()21460y x x x =−+≥的图象上点D 的坐标，将()d O D ，表示成函数，利用二次函数的性质求函数最值，可求得点D 的坐标；设出函数()2231y x x =+≥−的图象上点E 的坐标，利用一次函数的性质，可求得点E 的坐标；再按定义求得(),d D E 的值即可．【解析】 解：（1）①∵点()4,1A ，点()00O ，，∴()40105d O A =−+−=，；故答案为：5； ②设点()26B x x +，，∵(),5d O B =， ∴265x x ++=，∵30x −≤≤， ∴265x x −++=， ∴=1x −， ∴点()14B ，．故答案为：()14，； （2）不存在，理由如下：设点3C m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，， ∵(),2d O C =，∴32m m +=，∵0m >， ∴32m m +=，∴2230m m −+=，∵80∆=−<，∴此方程没有实数根， ∴不存在符合条件的点C ；（3）设点D 为()246n nn −+，，∴()246d O D n n n =+−+，，∵0n ≥，()2246220n n n −+=−+>，∴()222315463624d O D n n n n n n ⎛⎫=+−+=−+=−+⎪⎝⎭，， ∴当32n =时，()d O D ，最小，最小值为154，此时点D 坐标为3924⎛⎫ ⎪⎝⎭，． 设点E 为()23e e +，，∴()23d O Ee e =++，，当10e −≤<时，()233d O Ee e e =−++=+，，∴当1e =−时，()d O E ，最小，最小值为2；当0e ≥时，()2333d O Ee e e =++=+，，∴当0e =时，()d O E ，最小，最小值为3；∴此时点E 坐标为()11−，．∴()395515,1124244d D E =−−+−=+=．13．（2024·四川成都·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，已知直线132y x =−与反比例函数ky x=的图象交于点()8,Q t ，与y 轴交于点R ，动直线()08x m m =<<与反比例函数的图象交于点K ，与直线QR 交于点T ．(1)求t 的值及反比例函数的表达式；(2)当m 为何值时，RKT △的面积最大，且最大值为多少？ (3)如图2，ABCO 的顶点C 在反比例函数()0ky x x=>的图象上，点P 为反比例函数图象上一动点，过点P 作MN x ∥轴交OC 于点N ，交AB 于点M ．当点P 的纵坐标为2，点C 的横坐标为1且8OA =时，求PNPM的值．【答案】(1)1t =，反比例函数的表达式为8y x =； (2)当3m =时，RKT △的面积最大，且最大值为254；(3)1517PN PM =【分析】（1）将()8,Q t 代入直线132y x =−，求出t 的值，再将点Q 的坐标代入反比例函数，求出k 的值，即可得到反比例函数解析式；（2）设8,K m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，1,32T m m ⎛⎫− ⎪⎝⎭，则81813322KT m m m m ⎛⎫=−−=−+ ⎪⎝⎭，进而表示出 RKT RTKQTKS SS=+△()2125344m =−−+，结合二次函数的性质，即可求出最值；（3）先求出P 、C 两点的坐标，再利用待定系数法求出直线OC 的解析式，进而得到点N 的坐标，得出PN的长，然后利用平行四边形的性质，得出PM 的长，即可求出PNPM 的值．【解析】（1）解：()8,Q t 在直线132y x =−上，18312t ∴=⨯−=，()8,1Q ∴，()8,1Q 在反比例函数ky x =上，818k ∴=⨯=，。
一次函数与反比例函数的相关题型及方法
变式2：正方形ABP1P2的顶点P1、P2在 反比例函数y=2/x(x＞0)图象上，顶点A、 B分别在x轴和y轴的正半轴上，求点P2的 坐标．
E P2的坐标为（2，1）
F
变式3：如图，正方形A1B1P1P2的顶点P1、P2 在反比例函数y＝2/x（x＞0）的图像上，顶点 A1、B1分别在x轴和y轴的正半轴上，再在其右 侧作正方形P2P3A2B2，顶点P3在反比例函数y ＝2/x（x＞0）的图象上，顶点A3在x轴的正半 轴上，则点P3的坐标为 .
变式1：（2013•内江）如图，反比例函数y＝ k/x（x＞0）的图象经过矩形OABC对角线的 交点M，分别于AB、BC交于点D、E，若四边 形ODBE的面积为9，则k的值为 .
变式2： （2013•烟台）如图，在直角坐标系 中，矩形OABC的顶点O与坐标原点重合，A、 C分别在坐标轴上，点B的坐标为（4，2）， 直线y=-x+3交AB，BC分别于点M，N，反比 例函数y=k/x的图象经过点M，N． （1）求反比例函数的解析式； （2）若点P在y轴上，且 △OPM的面积与四边形 BMON的面积相等， 求点P的坐标．
象限图象上的点（点B与点A不重 合）, 且B点的横坐标为-2,在x轴上 求一点P,使PA+PB最小．
3.如图，OA、OB的长分别是关于x的方程 x2﹣12x+32=0的两根，且OA＞OB．请解答 下列问题： （1）求直线AB的解析式； （2）若P为AB上一点，且PA:PB=1:3，求过 点P的反比例函数的解析式；
x(Biblioteka )求不等式 kx b m 0 的解集.
x
9、 (益阳中考)如图，反比例函数的图象与经 过原点的直线 相交于A、B两点，已知A点坐 标为，那么B点的坐标为 . 10、（衢州中考）若点（4，m）在反比例函 数 (x≠0)的图象上，则m的值 是 ． 11、（衡阳中考）如图，已知双曲线经过直角 三角形OAB斜边OB的中点D，与直角边AB 相交于点C．若△OBC的面积为3，则k＝ ____________．
反比例函数与一次函数专项练习30题(有答案)ok
反比例函数和一次函数专项练习30题（有答案）1．如图，已知一次函数与反比例函数的图象交于A，B两点，且点A的横坐标为4．（1）求k的值；（2）根据正比例函数与反比例函数的性质直接写出B点坐标；（3）根据图象写出使一次函数的值小于反比例函数的值的x的取值范围．2．正比例函数y=kx和反比例函数的图象相交于A，B两点，已知点A的横坐标为1，纵坐标为3．（1）写出这两个函数的表达式；（2）求B点的坐标；（3）在同一坐标系中，画出这两个函数的图象．3．反比例函数与一次函数y=2x+1的图象都过点（1，a）．（1）确定a的值以及反比例函数解析式；（2）求反比例函数和一次函数的图象的另一个交点坐标．4．已知一次函数y=kx+b的图象经过点A（0，1）和点B（a，﹣3a）（a＞0），且点B在反比例函数的图象上，求a的值和一次函数的解析式．5．如图正比例函数与反比例函数的图象在第一象限内的交点A的横坐标为4．（1）求k值；（2）求它们另一个交点B的坐标；（3）利用图象直接写出：当x在什么范围内取值时，y1＞y2．6．已知一次函数y=kx+b与反比例函数的图象交于点（﹣1，﹣1），求这两个函数的解析式及它们图象的另一个交点的坐标．7．如图所示，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数的图象交于M、N两点．（1）根据图中条件求出反比例函数和一次函数的解析式；（2）当x为何值时一次函数的值大于反比例函数的值．8．如图，已知反比例函数的图象与一次函数y2=k2x+b的图象交于A，B两点，且A（2，n），B（﹣1，﹣2）．（1）求反比例函数和一次函数的关系式；（2）利用图象直接写出当x在什么范围时，y1＞y2．9．如图，正比例函数y1=k1x的图象与反比例函数的图象相交于A、B两点，其中点A的坐标为（1，2）．（1）分别求出这两个函数的表达式；（2）请你观察图象，写出y1＞y2时，x的取值范围；（3）在y轴上是否存在点P，使△AOP为等腰三角形？若存在，请你直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．10．已知反比例函数y=﹣和一次函数y=kx﹣2都经过点A（m，﹣3）．（1）求m的值和一次函数的关系式．（2）若点M（a，y1）和N（a+2，y2）都在这个反比例函数的图象上，试通过计算或利用反比例函数的图象性质比较y1与y2的大小．11．如图，函数y=3x的图象与反比例函数的图象的一个交点为A（1，m），点B（n，1）在反比例函数的图象上．（1）求反比例函数的解析式；（2）求n的值；（3）若P是y轴上一点，且满足△POB的面积为6，求P点的坐标．12．如图，已知反比例函数的图象经过点A（﹣2，1），一次函数y2=kx+b（k≠0）的图象经过点C（0，3）与点A，且与反比例函数的图象相交于另一点B．（1）分别求出反比例函数与一次函数的解析式；（2）求点B的坐标．（3）根据图象写出使y1＞y2的x的取值范围．13．直线y1=2x﹣7与反比例函数的图象相交于点P（m，﹣3）．（1）求反比例函数的解析式．（2）试判断点Q是否在这个反比例函数的图象上？14．如图，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=的图象相交于A（1，a）、B（﹣2，1）两点．（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）求△AOB的面积．15．如图，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数的图象相交于A、B两点．（1）根据图象，分别写出点A、B的坐标；（2）求出反比例函数的解析式；（3）求出线段AB的长度．16．如图，已知A（n，2），B（2，﹣4）是一次函数y1=kx+b的图象和反比例函数y2=的图象的两个交点．（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）当x取何值时，y1＜y2？17．已知反比例函数的图象，经过一次函数y=x+1与的交点，求反比例函数的解析式．18．如图，一次函数y=kx+2与x轴交于点A（﹣4，0），与反比例函数y=的图象的一个交点为B（2，a）．（1）分别求出一次函数与反比例函数的解析式；（2）作BC⊥x轴，垂足为C，求S△ABC．19．如图，一次函数y1=kx+b与反比例函数．（m、k≠0）图象交于A（﹣4，2），B（2，n）两点．（1）求m、n的值及反比例函数的表达式；（2）当x取非零的实数时，试比较一次函数值与反比例函数值的大小．20．一次函数y1=kx+b与反比例函数的图象相交于点A（﹣1，4）、B（﹣4，n），（1）求n的值；（2）连接OA、OB，求△OAB的面积；（3）利用图象直接写出y1＞y2时x的取值范围．21．已知：如图，一次函数y=ax+b的图象与反比例函数的图象交于点A（m，4）和点B（﹣4，﹣2）．（1）求一次函数y=ax+b和反比例函数的解析式；（2）求△AOB的面积；（3）根据图象，直接写出不等式的解集．22．如图，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数的图象相交于A、B两点．（1）利用图中条件，求反比例函数和一次函数的解析式；（2）根据图象写出使一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围；（3）你能求出图中△AOB的面积吗？若不能，请说明理由；若能，请写出求解过程．23．如图，直线y=kx+2k（k≠0）与x轴交于点B，与双曲线y=交于点A、C，其中点A在第一象限，点C在第三象限．（1）求点B的坐标；（2）若，求点A的坐标．24．已知一次函数与反比例函数y=﹣的图象交于点P（﹣3，m），Q（2，﹣3）．求一次函数的解析式．25．已知正比例函数y=k1x（k1≠0）的图象经过A（2，﹣4）、B（m，2）两点．（1）求m的值；（2）如果点B在反比例函数（k2≠0）的图象上，求反比例函数的解析式．26．如图，已知正比例函数y=﹣3x与反比例函数的图象相交于A和B两点，如果有一个交点A的横坐标为2．（1）求k的值；（2）求A，B两点的坐标；（3）当_________时，．27．如图，已知A（﹣4，2）、B（n，﹣4）是一次函数y=kx+b的图象与反比列函数的图象的两个交点．（1）求m、n的值；（2）求一次函数的关系式；（3）根据图象写出使一次函数的值小于反比例函数的值的x的取值范围．28．如图，一次函数y=x+3的图象与x轴、y轴分别交于点A、点B，与反比例函数的图象交于点C，CD⊥x轴于点D，求四边形OBCD的面积．29．如图，已知反比例函数的图象与一次函数y=k2+b的图象交于A、B两点，A（2，n），B（﹣l，﹣2）．（1）求反比例函数和一次函数的关系式；（2）试证明线段AB分别与x轴、y轴分成三等分；（3）利用图象直接写出不等式的解集．30．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+b（k≠0）的图象与反比例函数的图象交于二、四象限内的A、B两点，点B的坐标为（6，n）．线段OA=5，E为x轴负半轴上一点，且sin∠AOE=，求该反比例函数和一次函数的解析式．参考答案：1．（1）由x=4，得y=2；则k=xy=4×2=8；（2）∵A，B两点是正比例函数和反比例函数的交点，点A（4，2），∴B（﹣4，﹣2）；（3）由图象可得在两个交点的左边，一次函数的值小于反比例函数的值，∴x＜﹣4或0＜x＜42．（1）∵正比例函数y=kx 与反比例函数，的图象都过点A（1，3），则k=3，∴正比例函数是y=3x ，反比例函数是．（2）∵点A与点B关于原点对称，∴点B的坐标是（﹣1，﹣3）．（3）∵正比例函数的图象过原点，所以令x=1，则y=3，图象过（1，3），描出此点即可；∵反比例函数的图象是双曲线，∴应在每一个双曲线上描出3各点，即可画出函数图象．3．（1）由题意得，2+1=a，解得，a=3，（1分）由题意得，，解得，k=3．（2分）反比例函数解析式为．（3分）（2）由题意得，，（4分）解得，，∴反比例函数和一次函数图象的另一个交点坐标是（﹣4．∵点B（a，﹣3a）在反比例函数图象上，∴﹣=﹣3a，解得a=1，a=﹣1（舍去），∴点B的坐标为（1，﹣3），∵一次函数y=kx+b图象经过点A（0，1），B（1，﹣3），∴，解得，∴一次函数解析式为y=﹣4x+1．5．（1）将A的横坐标4代入y1=x，得y1=×4=2，由题意可得A点坐标为（4，2），由于反比例函数y=的图象经过点A，∴k=2×4=8．（5分）（2）将两个函数的解析式组成方程组得：，解得，．所以A（4，2），B（﹣4，﹣2）．所以B点坐标为B（﹣4，﹣2）．（3分）（3）由于A点横坐标4，B点横坐标为﹣4，由图可知：当x＞4或﹣4＜x＜0时，y1＞y2．6．由已知得，（2分）解得．（4分）∴一次函数的解析式为y=2x+1，（5分）反比例函数的解析式为．（6分）由，解得x=﹣1或．（7分）当时，y=2．∴函数图象的另一个交点的坐标为（）∴m=6，a=﹣6即N（﹣1，﹣6）且，解得∴反比例函数和一次函数的解析式的解析式分别为y=．y=2x﹣4．（2）由图象可知，当﹣1＜x＜0或x＞3时一次函数的值大于反比例函数的值．8．（1）∵双曲线过点（﹣1，﹣2），∴k1=﹣1×（﹣2）=2．∵双曲线y1=，过点（2，n），∴n=1．由直线y2=k2x+b过点A，B 得，解得．∴反比例函数关系式为y1=，一次函数关系式为y2=x﹣1．（2）当x＜﹣1或0＜x＜2时，y1＞y2．9．（1）解：∵y1=k1x过点A（1，2），∴k1=2．（2分）∴正比例函数的表达式为y1=2x．（3分）∵反比例函数过点A（1，2），∴k2=2．（5分）∴反比例函数的表达式为y=．（6分）（2）﹣1＜x＜0或x＞1．（8分）（3）∵点A的坐标为（1，2），∴OA=，当OA为腰时，OA=OP2=，P2点坐标为（0，4），当AP1=OA=，可知P1坐标为（0，），当OA=OP3=时，可得P3坐标为（0，﹣）由图可知，P1（0，），P2（0，﹣），P3（0，4），当OA为底时，OP4==，故P1（0，），P2（0，﹣），P3（0，4），P4（0，）．10．（1）∵反比例函数y=﹣经过点A（m，﹣3）．∴﹣3m=﹣6，∴m=2；∵一次函数y=kx﹣2经过点A（m，﹣3）．∴2k﹣2=﹣3，∴k=﹣，∴一次函数的关系式为y=﹣x﹣2．（2）当a＞0时，则a＜a+2，∵反比例函数y=﹣的图象在第四象限内是增函数，∴y1＜y2；当﹣2＜a＜0时，则a+2＞0，由图象知y1＞y2；当a＜﹣2时，则a＜a+2，∵反比例函数y=﹣的图象在第二象限内是增函数，∴y1＜y211．（1）∵函数y=3x的图象过点A（1，m），∴m=3，∴A（1，3）；∵点A（1，3）在反比例函数的图象上，∴k=1×3=3，∴反比例函数的解析式为y=；（2）∵点B（n，1）在反比例函数的图象上，（3）依题意得PO•3=6∴OP=4，∴P点坐标为（0，4）或（0，﹣4）．12．（1）∵点A（﹣2，1）在反比例函数y1=mx的图象上，∴1=m﹣2，即m=﹣2，又A（﹣2，1），C（0，3）在一次函数y2=kx+b图象上，∴即k=1，b=3，∴反比例函数与一次函数解析式分别为：y=与y=x+3；（2）由得x+3=﹣，即x2+3x+2=0，∴x=﹣2或x=﹣1，∴点B的坐标为（﹣1，2）．（3）当x＜﹣2或﹣1＜x＜0时，反比例函数在一次函数图象的上方，即y1＞y2…13．（1）把（m，﹣3）分别代入和y1=2x﹣7，得，解得m=2，k=﹣6，∴反比例函数的解析式．（2）把点Q代入反比例函数的解析式中，即=﹣=．故点Q在反比例函数的图象上14．（1）把B（﹣2，1）代入得：m=﹣2×1=﹣2，∴y=﹣，把A（1，a）代入得：a=﹣2，∴A（1，﹣2），把A（1，﹣2），B（﹣2，1）代入得：，解得：k=﹣1，b=﹣1，∴y=﹣x﹣1，答：一次函数和反比例函数的解析式分别是y=﹣，y=﹣x﹣1．（2）令y=0，则0=﹣x﹣1，∴x=﹣1，∴C（﹣1，0），∴OC=1，∴S△AOB=S△AOC+S△BOC =×1×2+×1×1=1.5 15．（1）A点坐标为（﹣6，﹣2），B点坐标为（4，3）；（2）把B（4，3）代入y=得m=3×4=12，所以反比例函数的解析式为y=；（3）分别过点A、点B作y轴、x轴的垂线，两线交于点C，即AC⊥BC，如图，则点C的坐标为C（4，﹣2），在Rt△ACB中，AC=10，BC=5，∵AB2=BC2+AC2，∴AB==5．16．（1）∵B（2，﹣4）在函数y2=的图象上，∴m=﹣8．∴反比例函数的解析式为：y2=﹣．∵点A（n，2）在函数y2=﹣的图象上∴n=﹣4∴A（﹣4，2）∵y1=kx+b经过A（﹣4，2），B（2，﹣4），∴，解得．∴一次函数的解析式为：y1=﹣x﹣2（2）由交点坐标和图象可知，当﹣4＜x＜0或x＞2取何值时，y1＜y217．把y=x+1代入得：x+1=x+，解得：x=1，把x=1代入y=x+1得：y=2，把（1，2）代入y=得：k=2，即反比例函数的解析式是y=18．（1）将A（﹣4，0）代入y=kx+2得：﹣4k+2=0，即k=0.5，∴一次函数解析式为y=0.5x+2，将B（2，a）代入一次函数解析式得：a=1+2=3，即B （2，3），将B（2，3）代入反比例解析式得：m=2×3=6，则反比例解析式为y=；（2）∵OC=2，OA=4，∴AC=OC+OA=2+4=6，∵BC=3，∴S△ABC =AC•BC=919．（1）∵A（﹣4，2）在上，∴m=﹣8，∴反比例函数的解析式是y=﹣，∵B（2，n ）在上，∴n=﹣4．（2）当x＜﹣4或0＜x＜2时，y1＞y2；当x=﹣4或x=2时，y1=y2；当﹣4＜x＜0或x＞2时，y1＜y2．20．（1）根据题意，反比例函数y2=的图象过（﹣1，4），（﹣4，n），易得m=﹣4，n=1；则y1=kx+b的图象也过点（﹣1、4），（﹣4，1）；代入解析式可得k=1，b=5；∴y1=x+5；（2）设直线AB交x轴于C点，由y1=x+5得，∴C（﹣5，0），∵S△AOC =×5×4=10，S△BOC =×5×1=2.5，∴S△AOB=S△AOC﹣S△BOC=10﹣2.5=7.5；（3）根据图象，两个图象只有两个交点，根据题意，找一次函数的图象在反比例函数图象上方的部分；易得当x＞0或﹣4＜x＜﹣1时，有y1＞y2，故当y1＞y2时，x的取值范围是x＞0或﹣4＜x＜﹣1 21．（1）∵点B（﹣4，﹣2）在反比例函数的图象上，∴，k=8．∴反比例函数的解析式为．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（1分）∵点A（m，4）在反比例函数的图象上，∴，m=2．∵点A（2，4）和点B（﹣4，﹣2）在一次函数y=ax+b 的图象上，∴解得∴一次函数的解析式为y=x+2．（2）设一次函数y=x+2的图象与y轴交于点C，分别作AD⊥y轴，BE⊥y轴，垂足分别为点D，E．（如图）∵一次函数y=x+2，当x=0时，y=2，∴点C的坐标为（0，2）．∴S△AOB=S△AOC+S△BOC ===6（3）﹣4＜x＜0或x＞2．阅卷说明：第（3）问两个范围各（1分）22．（1）设反比例函数的解析式是y=（a≠0），把A（﹣2，1）代入得：k=﹣2，即反比例函数的解析式是y=﹣；把B（1，n）代入反比例函数的解析式得：n=﹣2，即B的坐标是（1，﹣2），把A（﹣2，1）和B（1，﹣2）代入y=kx+b得：，解得：k=﹣1，b=﹣1．即一次函数的解析式是y=﹣x﹣1；（2）根据图象可知：一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围是x＜﹣2或0＜x＜1；（3）能求出△AOB的面积，把y=0代入y=﹣x﹣1得：0=﹣x﹣1，x=﹣1，即C的坐标是（﹣1，0），OC=1，∵A（﹣2，1），B（1，﹣2），∴△AOB的面积S=S△AOC+S△BOC=×1×1+×1×|﹣2|=1.523．（1）当y=0时，则kx+2k=0，又∵k≠0∴x=﹣2，∴点B坐标为（﹣2，0）；（2）设点A的坐标为（x、y），∴S△AOB =•|﹣2|•|y|=，∴y=±，∵点A在第一象限，∴y=，把y=代入y=得x=，∴点A 的坐标为（，）24．∵把P（﹣3，m）代入反比例函数y=﹣得：m=2，∴点P的坐标为（﹣3，2），设一次函数的关系式为y=kx+b，∴把Q和P 的坐标代入得：，解得：k=﹣1，b=﹣1．故所求一次函数的关系式为y=﹣x﹣125．（1）因为函数图象经过点A（2，﹣4），所以2k1=﹣4，得k1=﹣2．（2分）所以，正比例函数解析式：y=﹣2x．（1分）（2）根据题意，当y=2时，﹣2m=2，得m=﹣1．（1分）于是，由点B 在反比例函数的图象上，得，解得k2=﹣2．所以，反比例函数的解析式是．26．（1）把x=2代入y=﹣3x得：y=﹣6，即A的坐标是（2，﹣6），把A的坐标代入y=得：﹣6=，解得：k=﹣13；（2）解方程组得：，，即A的坐标是（2，﹣6），B的坐标是（﹣2，6）；（3）当﹣2＜x＜0或x＞2时，＞﹣3x，故答案为：﹣2＜x＜0或x＞227．（1）把A（﹣4，2）代入y=得：m=﹣8，即反比例函数的解析式为y=﹣，把B（n，﹣4）代入得：n=2，即B（2，﹣4），即m=﹣8，n=2；（2）把A、B的坐标代入一次函数的解析式得：解得：k=﹣1，b=﹣2，即一次函数的解析式是y=﹣x﹣2；（3）一次函数的值小于反比例函数的值的x的取值范围是x＞2或﹣4＜x＜028．解方程组得或，∴C点坐标为（1，4），∵CD⊥x轴，∴D点坐标为（1，0）对y=x+3，令x=0，y=3，∴B点坐标为（0，3），∴四边形OBCD的面积=（OB+CD）•OD=（3+4）×1=29．1）解：把B（﹣1，﹣2）分别代入反比例函数∴k1=﹣1×（﹣2）=2，∴反比例函数的解析式为y=；把A（2，n）代入上式，得n=1，∴A点坐标为（2，1），把A（2，1）和B（﹣l，﹣2）分别代入一次函数y=k2x+b 得，2k2+b=1，﹣k2+b=﹣2，解得k2=1，b=﹣1，∴一次函数的关系式为y=x﹣1；（2）证明：过A作AE⊥x轴于E，BF⊥y轴与F，AB 与坐标轴相交于C、D，如图，对于y=x﹣1，令x=0，y=﹣1；令y=0，x=1，∴C（1，0），D（0，﹣1），AC===，CD===，BD===，∴AC=CD=BD，∴线段AB分别与x轴、y轴分成三等分；（3）解：x＜﹣1或0＜x＜230．过点A作AC⊥x轴于点C．∵sin∠AOE=，OA=5，∴AC=OA•sin∠AOE=4，由勾股定理得：CO==3，∴A（﹣3，4），把A（﹣3，4）代入到中得m=﹣12，∴反比例函数解析式为，∴6n=﹣12，∴n=﹣2，∴B（6，﹣2），∴有，解得：，∴，一次函数的解析式为。
一次函数与反比例函数相结合
3、直线y=﹣x﹣2与反比例函数y= 的图象交 于A、B两点，且与x、y轴交于C、D两点，A点的 坐标为（﹣3，k+4）．（1）求反比例函数的解析 式（2）把直线AB绕着点M（﹣1，﹣1）顺时针旋 转到MN，使直线MN⊥x轴，且与反比例函数的图 象交于点N，求旋转角大小及线段MN的长．
4、已知一次函数y1=ax+b的 图象与反比例函数y2= 的图 象相交于A、B两点，坐标分 别为（﹣2，4） （4﹣2）．（1）求两个函数 的解析式；（2）结合图象写 出y1＜y2时，x的取值范围； （3）求△AOB的面积； （4）是否存在一点P，使以点 A﹑B﹑O﹑P为顶点的四边形 为菱形？若存在，求出顶点P 的坐标；若不存在，请说明理 由．
A M
B
O
C
N
8．（2012年衡阳市）在一次远足活动中，某班学生分成 两组，第一组由甲地匀速步行到乙地后原路返回，第二组 由甲地匀速步行经乙地继续前行到丙地后原路返回，两组 同时出发，设步行的时间为t（h），两组离乙地的距离分 别为S1（km）和S2(km)，图中的折线分别表示S1、S2 与t之间的函数关系.（1）甲、乙两地之间的距离为___， 乙、丙两地之间的距离为____；（2）求第二组由甲地出 发首次到达乙地及由乙地到达丙地所用的时间分别是多少？ （3）求图中线段AB所表示的S2与t间的函数关系式，并 写出自变量t的取值范围． S/km
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
5. 如图，已知反比例函数 y1
k1 x
（k1＞0）与一次函数
y2
k2x 1(k2
0) 相交于 A、
B 两点， AC⊥x 轴于点 C. 若△ OAC的面积为 1，且 tan ∠AOC＝2 .
（ 1）求出反比例函数与一次函数的解析式；
（ 2）请直接写出 B 点的坐标，并指出当 x 为何值时，反比例函数 y1 的值大于一
文案大全
标准实用
OBAC 是正方形，求一次函数的关系式．
A C
x
O
B
2
15. 如图， 反比例函数 y
的图像与一次函数 y kx b 的图像交于点 A( ｍ，2) ，点 B( －
x
2, n ) ，一次函数图像与 y 轴的交点为 C。
（1）求一次函数解析式；
（2）求 C点的坐标；
（3）求△ AOC的面积。
次函数 y2 的值？
6. 如图，四边形 ABCD为菱形，已知 A（0，4），B（-3 ，0）。
文案大全
标准实用
⑴求点 D 的坐标； ⑵求经过点 C 的反比例函数解析式 .
7. 如图，一次函数 y
kx 3 的图象与反比例函数 y
m （x>0）的图象交于点 P，
x
PA⊥x 轴于点 A，PB⊥ y 轴于点 B，一次函数的图象分别交 x 轴、 y 轴于点 C、点
9. 如图，一次函数 y＝kx＋ b 与反比例函数 y＝ m 的图象交于 A（2，3），B（－ 3， x
n）两点．
文案大全
标准实用
（1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）根据所给条件，请直接写出不等式 kx＋b＞ m 的解集 ______________；
x （3）过点 B 作 BC⊥x 轴，垂足为 C，求 S△ ． ABC
10. 如图，一次函数 y x b 的图象经过点 B（ 1，0），且与反比例函数 y
为不等于 0 的常数）的图象在第一象限交于点 A （1， n ）．求： （ 1）一次函数和反比例函数的解析式；
k（ k x
（ 2）当 1 x 6 时，反比例函数 y 的取值范围．
y
A
BO
x
11. 已知直线 y 3x 与双曲线 y m 5 交于点 P（－ 1， n） .
16. 如图 7 ，已知一次函数 y1 x m（ m为常数） 的图象与反比例函数
k 0 ）的图象相交于点 A（ 1， 3）．
（1）求这两个函数的解析式及其图象的另一交点
B 的坐标；
（2）观察图象，写出使函数值 y1 ≥ y2 的自变量 x 的取值范围．
y 3 A（ 1， 3） 2 1
1 123 x
B
x
（ 1）求 m的值； （ 2）若点 A(x1, y1 ) ， B( x2 , y 2 ) 在双曲线 y m 5 上，且 x1 x2
x
的大小 .
0 ，试比较 y 1 ， y2
12. 如图 , 在平面直角坐标系中，一次函数 y kx b (k ≠ 0) 的图象与反比例函数
文案大全
标准实用
y m ( m≠ 0) 的图象相交于 A、B 两点． x
x
（1）求 a 的值； （2）直接写出点 P′的坐标； （3）求反比例函数的解析式．
y
P
P
1 O1
k y
x
x
y 2x
（第 19 题）
3. 已知：如图，在平面直角坐标系 xOy 中，直线 AB分别与 x、 y 轴交于点 B、 A，与反比例
文案大全
标准实用
函数的图象分别交于点
C、D， CE ⊥ x 轴于点 E， tan ABO
标准实用
1. 若反比例函数 y
k 与一次函数 y
2x
4 的图象都经过点 A（ a,2 ）
x
(1) 求反比例函数 y k 的解析式； x
(2) 当反比例函数 y k 的值大于一次函数 y 2x 4 的值时，求自变量 x 的 x
取值范围．
2. 如图，已知直线 y 2x 经过点 P（ 2 ， a ），点 P 关于 y 轴的对称 点 P′在反比 例函数 y k （ k 0 ）的图象上．
1
k y2 （ k 为常数，
x
图7
17. 反比例函数 y
2m 1
的图象如图所示，
A( 1，b1 ) ， B( 2， b2 ) 是该图象上的两点．
x
文案大全
标准实用
y
O
x
（1）比较 b1 与 b2 的大小； （2）求 m 的取值范围．
18. 若反比例函数 y
k
与一次函数
y
2x
4 的图象都经过点 A（ a,2 ）
x
(1) 求反比例函数 y
k
的解析式；
x
(2) 当反比例函数 y
k 的值大于一次函数 y
x
2 x 4 的值时，求自变量
x 的取值范围．
19. 如图，已知反比例函数
y1
k1 x
（k1＞ 0）与一次函数
y2
k2 x 1(k 2
0) 相交于 A、B 两点， AC⊥ x 轴
于点 C. 若△ OAC的 面积为 1，且 tan ∠ AOC＝2 .
D，且 S△DBP=27， OC 1 。 CA 2
（ 1）求点 D 的坐标；
（ 2）求一次函数与反比例函数的表达式；
（ 3）根据图象写出当 x 取何值时，一次函数的值小于反比例函数的值？
y
D
CA
O
x
B
P
8. 如图，已知 A（ 4， a），B（－ 2，－ 4）是一次函数 y＝ kx＋b 的图象 和反比例 函数 y m 的图象的交点 . x (1) 求反比例函数和一次函数的解析式； (2) 求△ AOB的面积 .
mm x
0 的图像在第一象限交于 C 点，
⑴ 求一次函数的解析式；
⑵ 求 C 点坐标及反比例函数的解析式 . y
C
OA
x
B
14. 如图所示， 在平面直角坐标系中， 一次函数 y
kx 1 的图象与反比例函数
y
9
的图象
x
在第一象限相交于点 A ．过点 A 分别作 x 轴、 y 轴的垂线，垂足为点 B 、 C ．如果四边形
求：（1）根据图象写出 A、B 两点的坐标并分别求出反比例函数和一次函数的 解析式；
（ 2）根据图象写出：当 x 为何值时，一次函数值大于反比例函数值 .
y
1 2 1O
B
1
A
2
x
23题图
13. 如图，已知一次函数 y kx b k 0 的图像与 x 轴， y 轴分别交于 A（1，0）、
B（0，－1）两点，且又与反比例函数 y C点的横坐标为 2.
1 ， OB
4， OE
2．
2
（1）求该反比例函数的解析式； （2）求直比例函数 y
k ，其中一次函数 y
x
经过点 P( k ， 5) ．
①试确定反比例函数的表达式；
②若点 Q是上述一次函数与反比例函数图象在第三象限的交点，
标
x 2 的图象 求点 Q的坐