2018-2019学年山西省大同市灵丘县高一下学期期中数学试题(解析版)
2018-2019学年山西省大同市灵丘县高一下学期期中数学试题一、单选题 1．tan α3=，则sin cos sin cos αααα+-=A ．2B ．1C ．3D ．4【答案】A【解析】将原式的分子分母同时除以cos α，化为关于tan α的三角式求解． 【详解】将原式的分子分母同时除以cos α，得到：tan 131=2tan 131sin cos sin cos αααααα+++==---；故答案选A 【点睛】本题考查同角三角函数关系，考查学生转化计算能力，属于基础题． 2．已知向量(2,1)a =--r ，(3,2)b =r ，则2a b =-r r （ ）A ．(6,4)--B ．(5,6)--C ．(8,5)--D ．(7,6)--【答案】C【解析】由已知向量的坐标运算直接求得2a b -r r 的坐标．【详解】∵向量a =r（-2，﹣1），b =r（3，2），∴2(2,1)2(3,2)(8,5)a b -=---=--r r.故选C. 【点睛】本题考查了向量坐标的运算及数乘运算，属于基础题. 3．5sin4π=（ ）A ．2-B ．2C ．12D ．12-【答案】A【解析】利用诱导公式以及特殊角的三角函数值即可求解.5sinsin 442ππ=-=-. 故选：A. 【点睛】本题考查了诱导公式以及特殊角的三角函数值，需熟记诱导公式以及常见的三角函数值，属于基础题.4．已知点(1,)(0)P m m >是角α终边上一点，且3cos 5α=，则m =（ ） A ．13B ．43C ．23D ．25【答案】B【解析】利用三角函数的定义即可求解. 【详解】由三角函数的定义可得3cos 5α==，解得43m =±，又0m >，得43m =.故选：B. 【点睛】本题考查了三角函数的定义，掌握余弦函数的定义是解题的关键，属于基础题. 5．函数()cos 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在区间[0,]π上的零点个数为（ ） A ．0 B ．3C ．1D ．2【答案】D【解析】根据零点与方程根的关系，令()cos 206f x x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，解方程即可求解. 【详解】令()cos 206f x x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭， 解得2()62x k k Z πππ+=+∈，即()62k x k Z ππ=+∈.∵[0,]x π∈，∴0k =，6x π=；1k =，23x π=.故选：D.本题主要了三角函数的值求角、函数零点的定义，属于基础题. 6．如图，在中，是的中点，若，则实数的值是（ ）A ．B ．1C ．D ．【答案】C 【解析】以 作为基底表示出，利用平面向量基本定理，即可求出．【详解】 ∵分别是的中点，∴.又，∴.故选C.【点睛】本题主要考查平面向量基本定理以及向量的线性运算，意在考查学生的逻辑推理能力． 7．函数()2sin()0,22f x x ππωϕωϕ⎛⎫=+>-<<⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则函数()f x 的解析式为（ ）A ．()2sin 3f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭B ．()2sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．2n 2)3(si f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D ．()2sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭【答案】B【解析】由图像求出周期,T π=再根据2||2T πω==可得ω，再由5()212f π=，代入可求ϕ，进而可求出解析式. 【详解】 由图象可知，22T π=，得2,||2T T ππω===， 又∵0w >，∴2w =. 当512x π=时，5()212f π=，即5sin 16⎛⎫+=⎪⎝⎭πϕ， 解得2()3k k Z πϕπ=-+∈.又22ππϕ-<<，则3πϕ=-，∴函数的解析式为()2sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭. 故选：B. 【点睛】本题主要考查了由三角函数的图像求函数解析式，需熟记正弦型三角函数的周期公式，属于基础题.8．《九章算术》是中国古代数学名著，其对扇形田面积给出“以径乘周四而一”的算法与现代数学的算法一致，根据这一算法解决下列问题：现有一扇形田，下周长（弧长）为30米，径长（两段半径的和）为14米，则该扇形田的面积为（ ） A ．150平方米 B ．210平方米C ．100平方米D ．105平方米【答案】D【解析】根据题意列出面积表达式即可求解. 【详解】 扇形田的面积为114301054⨯⨯=（平方米）. 故选：D. 【点睛】本题考查了扇形面积公式，解题的关键理解“径乘周四而一”的意义，属于基础题.9．已知向量(2,1),(1,3)a b ==-r r ，则a r 在b r方向上的投影为（ ）A B C ．1 D ．10【答案】A【解析】利用向量数量积的几何意义以及向量数量积的坐标运算，a r 在b r方向上的投影为||cos ||a ba b α⋅⋅=r rr r 即可求解.【详解】设向量a r 与b r的夹角为α，a r 在br 方向上的投影为||cos10||a b a b α⋅⋅===r rr r . 故选：A. 【点睛】本题主要考查了向量数量积的坐标运算以及向量数量积的几何意义，属于基础题.10．已知向量(,6)a x =r ，(3,4)b =r ，且a r 与b r的夹角为锐角，则实数x 的取值范围为（ ） A ．[8,)-+∞B ．998,,22⎛⎫⎛⎫-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．998,,22⎡⎫⎛⎫-⋃+∞⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭D ．(8,)-+∞【答案】B【解析】先排除a b rr∥时x 的值，再利用夹角为锐角的平面向量的数量积为正数即可求得结果. 【详解】若a b r r ∥，则418x =，解得92x =.因为a r 与b r的夹角为锐角，∴92x ≠.又324a b x ⋅=+r r ，由a r 与b r 的夹角为锐角，∴0a b ⋅>rr ，即3240x +>，解得8x >-.又∵92x ≠，所以998,,22x ⎛⎫⎛⎫∈-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.所以本题答案为B. 【点睛】本题考查利用平面向量的数量积判断角的类型，注意排除向量平行的可能，属基础题. 11．若函数()sin 3f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭在区间[,]a π上存在最小值1-，则a 的最小值为（ ） A ．116πB ．32π C ．2πD ．53π 【答案】A【解析】根据题意不妨设322()232k x k k πππππ+≤-≤+∈Z ，求出x 的范围，根据三角函数的单调性可得1116f π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，从而可求出a 的最小值. 【详解】对于函数()sin 3f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭， 令322()232k x k k πππππ+≤-≤+∈Z ，得51122()66k x k k ππππ+≤≤+∈Z ， 当0k =时，()f x 在511,66ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，当116x π=时，1116f π⎛⎫=- ⎪⎝⎭. 又因为()f x 在[,]a π上存在最小值1-，所以a 的最小值为116π. 故选：A. 【点睛】本题主要考查了三角函数的性质，掌握性质是解题的关键，属于基础题.12．定义a b c d =ad ﹣bc ，已知函数f （x ）22sin x mcosx =（x ∈[0，π]），若f （x ）的最大值与最小值的和为1，则实数m 的值是（ ）A ．4﹣B ．4﹣或﹣C ．4﹣D ．﹣【答案】B【解析】先根据定义化简函数，再根据三角函数关系转化为二次函数，根据二次函数性质求最值,最后根据最值和为1求结果. 【详解】2222sin ()2sin cos 22cos cos ,()22,cos cos 2x m f x x m x x m x g t t mt t xx ==-=--=--+=因为[0,]x π∈，所以[1,1]t ∈- ①当14m-≤-时，max min ()(1),()(1),f x g f x g =-= 因为f （x ）的最大值与最小值的和为1，所以(1)(1)101g g -+=∴=，舍去 ②当14m-≥时，max min ()(1),()(1),f x g f x g ==- 因为f （x ）的最大值与最小值的和为1，所以(1)(1)101g g -+=∴=，舍去 ③当104m -<-≤时，max min ()(),()(1),4mf xg f x g =-= 因为f （x ）的最大值与最小值的和为1，所以2()(1)121448m m g g m m -+=∴-+=∴=±，因为104m-<-≤，所以4m =-④当014m <-<时，max min ()(),()(1),4mf xg f x g =-=-因为f （x ）的最大值与最小值的和为1，所以2()(1)121448m m g g m m -+-=∴++=∴=-±因为014m<-<，所以4m =-+综上：4m =-+4m =-故选：B 【点睛】本题考查函数新定义以及二次函数最值，考查综合分析求解能力，属较难题.二、填空题13．设向量a r 与b r 的夹角为θ，定义a r 与b r 的“向量积”：a b ⨯r r是一个向量，它的模||||||sin a b a b θ⨯=⋅⋅r r r r，若12a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭r，12b ⎛= ⎝⎭r ，则||a b ⨯=r r __________. 【答案】12【解析】首先利用向量数量积的坐标运算求出向量的夹角，再根据向量的坐标求出向量的模即可求解. 【详解】∵12a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭r，12b ⎛= ⎝⎭r ，∴44cos 11||||a b a b θ-⋅===⨯⋅r r r r ， ∴1sin 2θ=，∴11||||||sin 1122a b a b θ⨯=⋅⋅=⨯⨯=r r r r .故答案为：12【点睛】本题主要考查了向量的数量积的坐标运算，向量模的求法，属于基础题. 14．若1sin cos (0)4θθθπ+=<<，则cos2θ=_________.【答案】 【解析】将1sin cos (0)4θθθπ+=<<平方，利用同角三角函数的基本关系求出15sin cos 32θθ=-，从而求出sin cos θθ-的值，利用余弦的二倍角公式即可求解. 【详解】∵1sin cos (0)4θθθπ+=<<， ∴21(sin cos )16θθ+=，即22sin 2sin cos cos θθθθ++=116，∴15sin cos 32θθ=-.由上知，θ为第二象限的角，∴sin θcos θ0->，∴sin cos θθ-=4==.∴cos2(sin cos )(sin cos )16θθθθθ=--⋅+=-.故答案为：16- 【点睛】本题主要考查了同角三角函数的基本关系、二倍角的余弦公式，需熟记公式，属于基础题.15．已知向量(6,8),(cos ,sin )()a b θθθ==-∈R r r ，则|2|a b +r r的取值范围是___________. 【答案】[8,12]【解析】利用向量线性坐标运算以及向量模的坐标运算可得|2|a b +=r r43cos ,sin 55ϕϕ⎫==⎪⎭，由三角函数的性质即可求解.【详解】由2(6,8)(2cos ,2sin )(62cos ,82sin )a b θθθθ+=+-=-+r r，所以|2|a b +==r r43cos ,sin 55ϕϕ⎫====⎪⎭，所以|2|a b +r r的取值范围是[8,12]. 故答案为：[8,12] 【点睛】本题主要考查了向量模的求法、辅助角公式以及三角函数的性质，属于基础题. 16．给出下列命题： ①函数tan 2y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的定义城是{x x R ∈且()}2x k k Z ππ≠+∈；②若2παβ+=，则22sin sin sin()αβαβ+=+；③若定义在R 上函数()f x 满足(1)()f x f x +=-，则()y f x =是周期为2的函数； ④函数1sin ((0,))2y x θθπ⎛⎫=+∈⎪⎝⎭图象的一条对称轴是23x π=-，则函数1sin 2y x θ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图象关于,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称.其中正确的命题是___________（填序号） 【答案】②③④【解析】根据正切函数的定义域整体代入即可判断①；由三角函数的诱导公式以及三角函数值可判断②；根据周期的定义可判断③；由正弦函数的对称轴可得()32k k ππθπ-+=+∈Z ，求出5()6k k πθπ=+∈Z ，再根据正弦函数的对称点，将θ代入即可验证.【详解】 对于①，令()22x k k πππ+≠+∈Z ，得()x k k π≠∈Z ，①错；对于②，若2παβ+=，则2222sin sin sin sin 2παβαα⎛⎫+=+-⎪⎝⎭22sin cos sin()αααβ=+=+，②正确；对于③，由(1)()f x f x +=-，得(2)(1)()f x f x f x +=-+=，故周期为2，③正确；对于④，当23x π=-时，sin 13y πθ⎛⎫=-+=± ⎪⎝⎭，()32k k ππθπ-+=+∈Z ，5()6k k πθπ=+∈Z ，又∵(0,)θπ∈， ∴515,sin 626y x ππθ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，当3x π=时，15sin 026y x π⎛⎫=+=⎪⎝⎭，④正确： 故正确的命题是②③④. 故答案为：②③④ 【点睛】本题考查了正切型函数的定义域、诱导公式、周期的定义以及正弦函数的对称轴与对称中心，属于基础题.三、解答题17．已知02παβ<<<，且tan ,tan αβ是方程2560x x -+=的两根.（1）求tan()αβ+的值；（2）求sin 2β的值.【答案】（1）-1；（2）35. 【解析】（1）利用韦达定理可得tan tan 5,tan tan 6a αββ+==，然后再利用两角和的正切公式即可求解.（2）由题意可得tan 3β=，再根据同角三角函数的平方关系可得sin β=，cos 10β=，由二倍角的正弦公式即可求解. 【详解】解：（1）依题意有：tan tan 5,tan tan 6,,0,2a παββαβ⎛⎫+==∈ ⎪⎝⎭， ∴tan tan 5tan()11tan tan 16αβαβαβ++===---. （2）由题意可得tan 3β=，又∵22sin cos 1,02πβββ+=<<，∴sin β=cos β=∴3sin 22sin cos 25βββ===. 【点睛】 本题主要考查了两角和的正切公式、同角三角函数的平方关系以及二倍角的正弦公式，属于基础题.18．已知向量12a ⎛= ⎝⎭r ，向量(1,0)b =-r .（1）当k 为何值时，向量ka b +r r 与3a b +r r 垂直？（2）当k 为何值时，向量ka b +r r 与3a b +r r 平行？【答案】（1）5k =；（2）13k =. 【解析】（1）利用向量垂直数量积等于0即可求解.（2）利用向量共线的坐标表示即可求解.【详解】解：（1）5,322k ka b a b ⎛⎫⎛+=-+=- ⎪ ⎝⎭⎝⎭r r r r ， 若向量ka b +r r 与3a b +r r 垂直，则5()(3)102222k ka b a b k ⎛⎫⎛⎫+⋅+=-⋅-+⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭r r r r ， 解得5k =.（2）若向量ka b +r r 与3a b +r r 平行，则51022k ⎛⎫⎛--= ⎪ ⎝⎭⎝⎭，解得13k =. 【点睛】本题主要考查了向量垂直数量积等于0、向量共线的坐标表示，属于基础题.19．设函数()f x a b =⋅r r，其中(1,sin 21),(cos2,a x b x =--=r r .（1）求()f x 的解析式；（2）是否存在ABC V 使角A ，B 是方程()0f x =的两个不同的实根？若存在，求角C 的大小；若不存在，请说明理由.【答案】（1）()2sin 26f x x π⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭（2）存在，23C π=. 【解析】（1）利用向量数量积的坐标表示以及辅助角公式即可求解.（2）由（1）根据题意可得sin 262x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，求出A ，B ，根据三角形的内角和定理即可求解.【详解】 解：（1）∵(1,sin 21),(cos2,a x b x =--=r r ，∴()cos22f x a b x x =⋅=--+r r2sin 26x π⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭（2）()2sin 206f x x π⎛⎫=-++= ⎪⎝⎭，即sin 262x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，22()63x k k πππ+=+∈Z 或222()63x k k πππ+=+∈Z ， 即()12x k k ππ=+∈Z 或4x k (k Z )π=+π∈， ∵0,0A B ππ<<<<，∴当0k =时，,124A B ππ==或,412A B ππ==.即存在ABC V 使角A ，B 是方程()0f x =的两个不同的实根.∴23C A B ππ=--=. 【点睛】本题主要考查了向量数量积的坐标运算、辅助角公式以及根据三角函数值求角，属于基础题.20．如图，在ABC V 中，4,6,60AB AC BAC ==∠=︒，点D ，E 分别在边,AB AC 上，且2,3AB AD AC AE ==u u u r u u u r u u u r u u u r.（1）若1124BF AB AC =-+u u u r u u u r u u u r ，试用AD u u u r ，AE u u u r 线性表示AF u u u r ； （2）在（1）的条件下，求AD AF ⋅u u u r u u u r 的值.【答案】（1）34AF AD AE =+u u u r u u u r u u u r ；（2）112. 【解析】（1）利用向量减法的几何意义可得1124AF BF BA AB AC =-=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，将已知代入即可求解.（2）由（1）可得34AD AF AD AD AE ⎛⎫⋅=⋅+ ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，结合2,3AB AD AC AE ==u u u r u u u r u u u r u u u r ，代入利用向量数量积的定义即可求解.【详解】解：（1）∵1124BF AB AC =-+u u u r u u u r u u u r ，∴1124AF BF BA AB AC =-=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ， 又2,3AB AD AC AE ==u u u r u u u r u u u r u u u r ，∴34AF AD AE =+u u u r u u u r u u u r . （2）由（1）可得34AD AF AD AD AE ⎛⎫⋅=⋅+ ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ， ∵2,3AB AD AC AE ==u u u r u u u r u u u r u u u r ， ∴311448AD AF AD AD AE AB AB AB AC ⎛⎫⋅=⋅+=⋅+⋅ ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 11111646cos60482︒=⨯+⨯⨯⨯=. 【点睛】本题主要考查了向量减法的几何意义、向量数量积的定义，属于基础题.21．已知向量(cos ,sin ),(2sin ,cos ),,,||22m n m n πθθθθθπ⎛⎫==-∈-= ⎪⎝⎭u r r u r r . （1）求4cos πθ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值； （2）求sin 26πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值. 【答案】（1）4；（2）8-【解析】（1）根据向量线性的坐标运算以及向量模的求法即可求解.（2）由（1）利用同角三角函数的基本关系可得sin 44πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，再利用二倍角公式以及诱导公式可得sin 2,cos 2θθ，根据两角和的正弦公式即可求解.【详解】解：（1）由(cos ,sin ),(2sin ,cos )m n θθθθ==-u r r， 得(cos sin 2,sin cos )m n θθθθ-=+--u r r ，||2m n -=u r r2=，整理可得1cos sin 2θθ+=，即cos 44πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭. （2）∵,2πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴3444πππθ<-<，则sin 44πθ⎛⎫-== ⎪⎝⎭， 23cos 2sin 22cos 1244ππθθθ⎛⎫⎛⎫-==--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，sin 2cos22sin cos 2444πππθθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=--= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，∴131sin 22cos26242πθθθ⎛⎛⎫⎛⎫+=+=-+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 【点睛】本题主要考查了向量模的坐标求法、同角三角函数的基本关系、二倍角公式、两角和的正弦公式以及诱导公式，熟记公式是解题的关键，属于基础题.22．已知函数()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，将函数()f x 图象上所有的点向左平行移动2πθθπ⎛⎫<< ⎪⎝⎭个单位长度，得到函数()g x 的图象. （1）若23θπ=，求函数()g x 的解析式； （2）若()g x 在区间0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π上的单调增函数，求θ的取值范围. 【答案】（1）()2cos2g x x =-；（2）211,312ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 【解析】（1）先求出()f x 图象上所有的点向左平行移动2πθθπ⎛⎫<< ⎪⎝⎭个单位长度()g x 的解析式，23θπ=代入化简，即可求出结果； （2）先求出()g x 的单调递增区间，0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π是单调递增区间的子集，即可求出θ的取值范围.【详解】（1）将函数()f x 图象上所有的点向左平行移动θ个单位长度， 得到图象对应的函数解析式为()2sin 226g x x πθ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭. 当23θπ=时， 函数()432sin 22sin 22cos 2632g x x x x πππ⎛⎫⎛⎫=++=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. （2）由（1）可得()2sin 226g x x πθ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭， ∴令()2222262k x k k ππππθπ-≤++≤+∈Z ， 解得()36k x k k πππθπθ--≤≤-+∈Z ， 可得函数的单调递增区间为(),36k k k πππθπθ⎡⎤---+∈⎢⎥⎣⎦Z .∵函数()y g x =在0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π上的单调增函数， ∴0,3,64k k ππθπππθ⎧--≤⎪⎪⎨⎪-+≥⎪⎩解得()312k k k πππθπ-≤≤-∈Z . ∵2πθπ<<， ∴2111,,312k ππθ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦. ∴θ的取值范围为211,312ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题考查三角函数平移求解析式，以及利用单调区间求参数，属于中档题.。
2018-2019学年山西省高一下学期期中数学试题(解析版)
2018-2019学年山西省高一下学期期中数学试题一、单选题1．与角520︒终边相同的角是（ ） A ．520-︒ B ．160-︒C ．160︒D ．700︒【答案】C【解析】先写出角520︒终边相同的角的集合,再对k 赋值,进而判断选项即可. 【详解】与角520︒终边相同的角的集合为{}520360,k k Z αα=︒+⋅︒∈, 当1k =-时,160α=︒, 故选:C 【点睛】本题考查终边相同的角,属于基础题.2．已知tan 2α=，则2222sin cos sin cos αααα+=-（ ）. A ．5- B ．35C ．35D ．53【答案】D【解析】分子分母同除以2cos α即可. 【详解】222222sin cos tan 1415sin cos tan 1413αααααα+++===---. 故选：D. 【点睛】本题考查同角三角函数基本关系的应用，考查学生等价变形的能力，是一道基础题. 3．若1cos 22πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则()sin πα+=（ ）A ．B ．12-C ．D ．12【答案】B【解析】化简得到1sin 2α=，根据()sin sin ααπ+=-得到答案.【详解】1cos sin 22παα⎛⎫-== ⎪⎝⎭，()1sin sin 2παα+=-=-.故选：B . 【点睛】本题考查了诱导公式化简，意在考查学生对于诱导公式的理解应用.4．已知平面向量a ，b 满足15a b ⋅=，()3,4b =，则a 在b 方向上的投影为（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】a 在b 方向上的投影为cos a b a bθ⋅⋅=,进而求解即可.【详解】设a 与b 的夹角为θ,则a 在b 方向上的投影为2cos 33a b a b a a a bbθ⋅⋅⋅=⋅===+,故选:C 【点睛】本题考查向量的投影,考查数量积的应用,考查坐标法求向量的模. 5．已知扇形的圆心角为60︒，面积为6π，则该扇形的周长为（ ） A ．23π+B ．13π+C ．213π+ D ．223π+ 【答案】A【解析】通过面积计算得到1r =，再计算周长得到答案. 【详解】22112236S r r ππα==⨯=，故1r =，周长为：223r r πα+=+.故选：A . 【点睛】本题考查了扇形的面积和周长，计算扇形半径是解题的关键. 6．在ABC ∆中，14AD AB =，//DE BC ，且与边AC 相交于点E ，ABC ∆的中线AM 与DE 相交于点N ，设AB a =，AC b =，则MN =（ ）A ．()38a b -+ B ．()38a b -- C ．()34a b -+ D ．()34a b -- 【答案】A【解析】由题,画出图形,可知14AN AM =,则34MN AM =-,即可求解. 【详解】 由题,如图所示,因为14AD AB =,//DE BC , 所以14AN AM =, 因为()12AM AB AC =+, 所以()()33134428MN AM a b a b =-=-⨯+=-+,故选:A 【点睛】本题考查平面向量基本定理的应用,考查数形结合思想. 7．已知α，β都是锐角，3sin 5α=，()5cos 13αβ+=-，则sin β=（ ）A ．5665-B ．1665-C ．3365D ．6365【答案】D【解析】计算得到4cos 5α=，()12sin 13αβ+=，再根据()sin sin βαβα=+-展开得到答案. 【详解】α，β都是锐角，3sin 5α=，()5cos 13αβ+=-，故4cos 5α=，()12sin 13αβ+=.()()()63sin sin sin cos cos sin 65βαβααβααβα=+-=+-+=.故选：D . 【点睛】本题考查了同角三角函数关系，和差公式，意在考查学生的计算能力.8．函数()2sin cos f x x x =+的部分图象是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】确定函数为偶函数排除AC ，根据0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x >排除B 得到答案. 【详解】()2sin cos f x x x =+，则()()2sin cos f x x x f x -=+=，函数为偶函数，排除AC .当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x >排除B . 故选：D 【点睛】本题考查了函数图像的识别，意在考查学生的综合应用能力. 9．下列关于函数212sin 6y x π⎛⎫=-+⎪⎝⎭的说法正确的是（ ） A ．最小正周期是2πB ．在区间4,3ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减 C ．图象关于点,03π⎛⎫⎪⎝⎭成中心对称 D ．图象关于直线12x π=成轴对称【答案】B【解析】化简得到()cos 23y f x x π⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，再计算周期，单调性，对称得到答案.【详解】()212sin cos 263y f x x x ππ⎛⎫⎛⎫==-+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，函数周期为22T ππ==，故A 错误；当4,3x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，72,333x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，函数单调递减，故B 正确； 当3x π=时， 23x ππ+=，故,03π⎛⎫⎪⎝⎭不是对称中心，故C 错误； 当12x π=时，232x ππ+=，故12x π=不是对称轴，故D 错误；故选：B . 【点睛】本题考查了三角函数性质，意在考查学生对于三角函数性质的应用. 10．已知02πα<<，2πβπ<<，若tan α，tan β是方程2320x x +-=的两个实数根，则αβ+=（ ） A ．4πB ．34π C ．54π D ．74π 【答案】B 【解析】计算322ππαβ<+<，()tan tan tan 11tan tan αβαβαβ++==--，得到答案. 【详解】02πα<<，2πβπ<<，故322ππαβ<+<. tan α，tan β是方程2320x x +-=的两个实数根，则tan tan 3αβ+=-，tan tan 2αβ+=-，故()tan tan tan 11tan tan αβαβαβ++==--.故34αβπ+=. 故选：B . 【点睛】本题考查了和差公式求角度，意在考查学生的计算能力.11．若点,16A π⎛⎫- ⎪⎝⎭，3,62B π⎛⎫ ⎪⎝⎭，,16C π⎛⎫⎪⎝⎭中只有一个点在函数()()cos 22f x x πϕϕ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭的图象上，为了得到函数()cos2y x x R =∈的图象，只需把曲线()f x 上所有的点（ ）A ．向左平行移动6π个单位长度 B ．向右平行移动6π个单位长度 C ．向左平行移动3π个单位长度 D ．向右平行移动3π个单位长度 【答案】A【解析】依次带入三个点计算得到3πϕ=-，再通过平移法则得到答案.【详解】 当,16A π⎛⎫- ⎪⎝⎭在函数()f x 的图象上时，即cos 163f ππϕ⎛⎫⎛⎫=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 即2,3πϕππ+=+∈k k Z ，即22,3k k Z πϕπ=+∈，不满足2πϕ<； 当3,62B π⎛⎫ ⎪⎝⎭在函数()f x 的图象上时，即3cos 632f ππϕ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，无解； 当,16C π⎛⎫⎪⎝⎭在函数()f x 的图象上时，即cos 163f ππϕ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 即2,3k k Z πϕπ+=∈，即2,3k k Z πϕπ=-+∈，当0k =时满足条件，故3πϕ=-.()cos 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，向左平移6π个单位得到()cos2y x x R =∈的图像.故选：A . 【点睛】本题考查了根据函数过点求参数，三角函数平移，意在考查学生的综合应用能力. 12．已知正方形ABCD 的边长为4，点E ，F 分别为CD ，BC 上的点，若13EA EB ⋅=，13FA FD ⋅=，则EF 的最小值是（ ）A ．1 BC ．D ．【答案】B【解析】如图所示，以AB 为x 轴，AD 为y 轴建立直角坐标系，计算得到1a =或3a =，1b =或3b =，再计算()()22244EF a b =-+-得到答案.【详解】如图所示，以AB 为x 轴，AD 为y 轴建立直角坐标系， 设(),4E a ，()4,F b ，[],0,4a b ∈.故()()2,44,441613EA EB a a a a ⋅=--⋅--=-+=，故2430a a -+=，故1a =或3a =.()()24,4,441613FA FD b b b b ⋅=--⋅--=-+=，故2430b b -+=，故1b =或3b =.()()22244EF a b =-+-，当3,3a b ==时，EF 有最小值为2. 故选：B .【点睛】本题考查了向量模的计算，建立直角坐标系是解题的关键.二、填空题13．已知向量()2,2a =-，(),1b x =，若a b ⊥，则x =______. 【答案】1【解析】由a b ⊥可得0a b ⋅=,进而求解即可 【详解】由题意知a b ⊥,所以0a b ⋅=,即220x -+=,解得1x =, 故答案为:1 【点睛】本题考查由向量垂直求参数,属于基础题 14．函数tan 3y x ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭的定义域是________.【答案】1,6x x k k Z ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭【解析】函数定义域满足32x k ππππ+≠+，计算得到答案.【详解】函数tan 3y x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的定义域满足：32x k ππππ+≠+，即1,6x k k Z ≠+∈.故答案为：1,6x x k k Z ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭. 【点睛】本题考查了三角函数的定义域，意在考查学生对于函数定义域的理解和掌握.15．已知平面向量,a b 满足4a =，,a b 的夹角为120︒，且()()23261a b a b -⋅+=，则b =________. 【答案】3【解析】化简得到()()2232648361a b a b b b -⋅+=+-=，解得答案. 【详解】()()222232443648361a b a b aa b b b b -⋅+=-⋅-=+-=，解得3b =或13b =-（舍去）. 故答案为：3. 【点睛】本题考查了向量模的计算，意在考查学生的计算能力.16．已知函数()2cos cos2f x x x =+，则()f x 的最大值是________. 【答案】3【解析】化简得到()22cos 2cos 1f x x x =+-，设[]cos ,1,1x t t =∈-，得到213222y t ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，计算得到答案.【详解】()22cos cos22cos 2cos 1f x x x x x =+=+-，设[]cos ,1,1x t t =∈-则2213221222y t t t ⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭，故当1t =，即cos 1x =时，函数有最大值为3.故答案为：3. 【点睛】本题考查了三角函数的最值计算，换元[]cos ,1,1x t t =∈-是解题的关键.三、解答题 17．求值：（1）sin 25sin 215sin 245cos35-︒︒︒︒；（2）5tantan41251tan12πππ+-.【答案】（1）12；（2） 【解析】（1）直接利用诱导公式和和差公式化简得到答案. （2）直接利用和差公式的逆运算得到答案. 【详解】 （1）sin 25sin 215sin 245cos35sin 25sin 35cos 25cos 351cos602︒︒︒︒=-︒︒+︒︒=︒=-.（2）55tantantan tan52412412tan tan 5541231tan 1tan tan12412ππππππππππ++⎛⎫==+== ⎪⎝⎭--⋅【点睛】本题考查了诱导公式，和差公式，意在考查学生的计算能力.18．在四边形ABCD 中，已知()0,0A ，()4,0B ，()3,2C ，()1,2D . （1）判断四边形ABCD 的形状； （2）求向量AC 与BD 夹角的余弦值. 【答案】（1）等腰梯形；（2）513- 【解析】（1）计算得到12AB DC =，且5AD BC ==，得到答案. （2）()3,2AC =，()3,2BD =-，利用夹角公式计算得到答案. 【详解】（1）()4,0AB =，()2,0DC =，故12AB DC =，()1,2AD =，()1,2BC =-，故5AD BC ==，故四边形ABCD 为等腰梯形.（2）()3,2AC =，()3,2BD =-，故5cos ,13AC BD AC BD AC BD⋅==-⋅. 【点睛】本题考查了根据向量判断四边形形状，向量夹角，意在考查学生的计算能力和应用能力. 19．已知函数()2sin cos f x x x =. （1）判断函数()f x 的奇偶性和周期性；（2）当[]0,x π∈时，若()1f x =，求x 的取值集合.【答案】（1）奇函数，周期为2π的周期函数；（2）3,44ππ⎧⎫⎨⎬⎩⎭【解析】（1）分别判断函数的奇偶性和周期性得到答案. （2）讨论0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦和,2x π⎛⎤∈π ⎥⎝⎦两种情况，分别计算得到答案. 【详解】（1）()2sin cos f x x x =，则()()()()2sin cos f x x x f x -=--=-，函数为奇函数；()()()()22sin 2cos 22sin cos f x x x x x f x πππ+=++==，函数周期为2π.（2）当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()2sin cos sin 21f x x x x ===，故22x π=，4x π=. 当,2x π⎛⎤∈π⎥⎝⎦时，()2sin cos sin 21f x x x x ==-=，故322x π=，34x π=.综上所述：4x π=或34x π=，即3,44x ππ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭.【点睛】本题考查了三角函数的奇偶性和周期性，根据函数值求x ，意在考查学生的综合应用能力.20．在等腰直角ABC ∆中，90ABC ∠=︒，点E 为BC 的中点，2AD DB =，设AC a =，AB b =.（1）用a ，b 表示DE ；（2）在AC 边上是否存在点F ，使得DF EF ，若存在，确定点F 的位置；若不存在，请说明理由.【答案】（1）1126DE a b =-（2）不存在点F 使得DF EF .见解析 【解析】（1）由1132DE DB BE AB BC =+=+,即可求解；（2）以边AC 所在的直线为x 轴,AC 的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系, 设2AB =,则22AC =,可得到,,,,A B C D E 的坐标,设(),0F x ,若DF EF ,则0DF EF ⋅=,进而求解即可.【详解】解:（1）1132DE DB BE AB BC =+=+()11113226b a b a b =+-=-. （2）不存在,如图,以边AC 所在的直线为x 轴,AC 的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系,设2AB =,则22AC =()2,0A -,(2B ,)2,0C,因为2AD DB =,所以22233D ⎛- ⎝⎭,22,22E ⎛ ⎝⎭,设(),0F x ,2,2x ⎡∈-⎣,所以22233DF x ⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭,2222EF x ⎛=-- ⎝⎭, 因为DFEF ,所以0DF EF ⋅=,即2220323x x ⎛+-+= ⎝⎭⎝⎭,化简得26220x x +=,因为2480∆=-<,所以方程无解,故不存在点F 使得DF EF .【点睛】本题考查平面向量分解定理的应用,考查利用数量积判断垂直关系,考查运算能力. 21．自出生之日起，人的情绪、体力、智力等心理、生理状况就呈周期变化，变化由线为sin y x ω=.根据心理学家的统计，人体节律分为体力节律、情绪节律和智力节律三种.这些节律的时间周期分别为23天、28天、33天.每个节律周期又分为高潮期、临界日和低潮期三个阶段.以上三个节律周期的半数为临界日，这就是说天、14天、天分别为体力节律、情绪节律和智力节律的临界日.临界日的前半期为高潮期，后半期为低潮期.生日前一天是起始位置（平衡位置），已知小英的生日是2003年3月20日（每年按365天计算）.（1）请写出小英的体力、情绪和智力节律曲线的函数；（2）试判断小英在2019年4月22日三种节律各处于什么阶段，当日小英是否适合参加某项体育竞技比赛【答案】（1）体力节律函数为：()12sin,023y x x π=>；情绪节律函数为：()2sin ,014y x x π=>；节律函数为：()32sin ,033y x x π=>；（2）处于体力节律高潮期，情绪节律低潮期，和智力节律临界日，适合参加体育竞技比赛 【解析】（1）根据三角函数周期直接得到答案. （2）求得5874x =，代入函数分别计算得到答案. 【详解】（1）小英的体力节律周期为23，故223πω=，故223πω=，故函数为：()12sin,023y x x π=>；同理可得情绪节律函数为：()2sin ,014y x x π=>；智力节律函数为：()32sin ,033y x x π=>. （2）时间共有：3651612225874⨯++=. 当5874x =时，1218sin5874sin 02323y ππ=⨯=>；211sin 5874sin 0147y ππ⎛⎫=⨯=< ⎪⎝⎭；32sin5874sin 0033y π=⨯==. 故处于体力节律高潮期，情绪节律低潮期，和智力节律临界日，适合参加体育竞技比赛. 【点睛】本题考查了三角函数的应用，意在考查学生的应用能力. 22．已知向量()sin ,cos a m x x =，()sin ,sin b x m x =，0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭. （1）若//a b ，1tan 4x =，求实数m 的值； （2）记()f x a b =⋅，若()12f x ≥-恒成立，求实数m 的取值范围.【答案】（1）-2或2.（2）)1⎡+∞⎣【解析】（1）由//a b 可得22sin sin cos 0m x x x -=,进而求解即可； （2）由()f x a b =⋅可得()242mf x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭,由0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭可得sin 242x π⎛⎤⎛⎫-∈- ⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦,若()12f x ≥-恒成立,则()min 12f x ≥-,再分类讨论0m ≥与0m <的情况,进而求解即可. 【详解】解:（1）因为//a b ,所以22sin sin cos 0m x x x -=,即()2sin sin cos 0x m x x -=, 因为0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,所以sin 0x >,故2sin cos 0m x x -=, 当0m =时,显然不成立,故0m ≠,所以211tan 4x m ==, 解得2m =-或2,所以实数m 的值为2-或2 （2）()2sin sin cos f x m x m x x =+1cos 2sin 2sin 222242x x mm x π-⎛⎫⎛⎫=+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,因为0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,所以32,444x πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭,所以sin 24x π⎛⎤⎛⎫-∈ ⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦, 因为()12f x ≥-恒成立,所以()min 12f x ≥-,当0m ≥时,()0f x ≥,显然成立；当0m <时,())min 1=2m f x ,所以)1122m ≥-,解得1m ≥所以10m ≤<,综上可得,实数m 的取值范围是)1⎡+∞⎣ 【点睛】本题考查共线向量的坐标表示,考查向量的数量积的应用,考查三角函数的最值的应用,考查不等式的恒成立问题.。
山西省大同市高一下学期数学期中考试试卷
D . ﹣
10. （2分） 已知R上的连续函数g(x)满足：①当x>0时，g'(x)>0恒成立(g'(x)为函数g(x)的导函数)；②对任意的x∈R都有g(x)=g(-x)，又函数f(x)满足：对任意的x∈R，都有 成立。当 时， 。若关于x的不等式 对 恒成立,则a的取值范围是（ ）
A . a∈R
B . 3n+2n
C . 3n
D . 3•2n﹣1
8. （2分） 若等比数列{an}的前n项和 ， 则a2=（ ）
A . 4
B . 12
C . 24
D . 36
9. （2分） (2017高一下·宜昌期中) 已知α是第二象限角，P（x， ）为其终边上一点，且cosα= x，则x=（ ）
A .
B . ±
B . 0≤a≤1
C .
D . a≤0或a≥1
11. （2分） 图给出的是计算 的值的一个程序框图，则判断框内应填入的条件是（ ）、 填空题 (共4题；共12分)
12. （1分） (2019高二上·温州期中) 已知数列 满足 ， ，若 为等差数列，其前 项和为 ，则 ________，若 为单调递减的等比数列，其前 项和为 ，则 ________．
A . 直角三角形
B . 等边三角形
C . 等腰直角三角形
D . 等腰三角形
6. （2分） 若A（3，﹣6），B（﹣5，2），C（6，y）三点共线，则y=（ ）
A . 13
B . -13
C . 9
D . -9
7. （2分） 设Sn为数列{an}的前n项的和，且 ， 则an=（ ）
A . 3（3n﹣2n）
（1） 化简f（x）并写出最大值与最小值
山西省大同市灵丘县2018-2019学年高一下学期期中数学试卷及解析
山西省大同市灵丘县2018-2019学年高一下学期期中数学试卷注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题1.tan α3=，则sin cos ααα-=A. 2B. 1C. 3D. 42.已知向量(2,1)a =--，(3,2)b =，则2a b =-（ ） A. (6,4)-- B. (5,6)--C. (8,5)--D. (7,6)--3.5sin4π=（ ）A.2-B.2C.12D.12-4.已知点(1,)(0)P m m >是角α终边上一点，且3cos 5α=，则m =（ ） A.13B.43C.23 D.255.函数()cos 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在区间[0,]π上的零点个数为（ ） A.0B.3C.1D.26.如图，在ABC ∆中，12AN AC P =，是BN 的中点，若14AP mAB AC =+，则实数m 的值是（ ）A.14B.1C.12D.327.函数()2sin()0,22f x x ππωϕωϕ⎛⎫=+>-<<⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则函数()f x 的解析式为（ ）A.()2sin 3f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭B.()2sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭C.2n 2)3(si f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭D.()2sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭8.《九章算术》是中国古代数学名著，其对扇形田面积给出“以径乘周四而一”的算法与现代数学的算法一致，根据这一算法解决下列问题：现有一扇形田，下周长（弧长）为30米，径长（两段半径的和）为14米，则该扇形田的面积为（ ） A.150平方米B.210平方米C.100平方米D.105平方米9.已知向量(2,1),(1,3)a b ==-，则a 在b 方向上的投影为（ ）C.1D.1010.已知向量(,6)a x =，(3,4)b =，且a 与b 的夹角为锐角，则实数x 的取值范围为（ ） A. [8,)-+∞B. 998,,22⎛⎫⎛⎫-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ C . 998,,22⎡⎫⎛⎫-⋃+∞⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭D . (8,)-+∞ 11.若函数()sin 3f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间[,]a π上存在最小值1-，则a 的最小值为（ ） A.116πB.32π C.2πD.53π 12.定义a b c d=ad ﹣bc ，已知函数f （x ）22sin x m cosx=（x ∈[0，π]），若f （x ）的最大值与最小值的和为1，则实数m 的值是（ ）A.4﹣B.4﹣或﹣C.4﹣D.﹣第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题13.设向量a 与b 的夹角为θ，定义a 与b 的“向量积”：a b ⨯是一个向量，它的模||||||sin a b a b θ⨯=⋅⋅，若31,2a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，13,22b ⎛= ⎝⎭，则||a b ⨯=__________. 14.若1sin cos (0)4θθθπ+=<<，则cos2θ=_________. 15.已知向量(6,8),(cos ,sin )()a b θθθ==-∈R ，则|2|a b +的取值范围是___________. 16.给出下列命题： ①函数tan 2y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的定义城是{x x R ∈且()}2x k k Z ππ≠+∈；②若2παβ+=，则22sin sin sin()αβαβ+=+；③若定义在R 上函数()f x 满足(1)()f x f x +=-，则()y f x =是周期为2的函数； ④函数1sin ((0,))2y x θθπ⎛⎫=+∈⎪⎝⎭图象的一条对称轴是23x π=-，则函数1sin 2y x θ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图象关于,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称.其中正确的命题是___________（填序号）三、解答题17.已知02αβ<<<，且tan ,tan αβ是方程2560x x -+=的两根.（1）求tan()αβ+的值； （2）求sin 2β的值.18.已知向量13,22a ⎛= ⎝⎭，向量(1,0)b =-.（1）当k 为何值时，向量ka b +与3a b +垂直？ （2）当k 为何值时，向量ka b +与3a b +平行？19.设函数()f x a b =⋅，其中(1,sin 21),(cos2,3)a x b x =--=-. （1）求()f x 的解析式；（2）是否存在ABC 使角A ，B 是方程()0f x =的两个不同的实根？若存在，求角C的大小；若不存在，请说明理由.20.如图，在ABC 中，4,6,60AB AC BAC ==∠=︒，点D ，E 分别在边,AB AC 上，且2,3AB AD AC AE ==.（1）若1124BF AB AC =-+，试用AD ，AE 线性表示AF ； （2）在（1）的条件下，求AD AF ⋅的值.21.已知向量(cos ,sin ),(2sin ,cos ),,,||22m n m n πθθθθθπ⎛⎫==-∈-= ⎪⎝⎭. （1）求4cos πθ⎛⎫-⎪⎝⎭的值； （2）求sin 26πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值.22.已知函数()2sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，将函数()f x 图象上所有的点向左平行移动2πθθπ⎛⎫<<⎪⎝⎭个单位长度，得到函数()g x 的图象. （1）若23θπ=，求函数()g x 的解析式； （2）若()g x 在区间0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π上的单调增函数，求θ的取值范围.参考答案1.A【解析】1.将原式的分子分母同时除以cos α，化为关于tan α的三角式求解。
2018-2019学年高一数学下学期期中试题(含解析)
2018-2019学年高一数学下学期期中试题（含解析）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己所在的班级、姓名、学号填写在答题卡上.2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡.上对应题目选项的答案信息涂黑，答案不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置上.考试结束后，将答题卡交回.一、选择题（本题共12个小题,每小题5分,共60分，每小题的四个选项中，只有一个是正确的）1.已知，，且，则（）A. 2B. 1C. 0D. -1【答案】D【解析】∵，∴∵∴∴故选D2.在中，角，，所对边分别是，，，若，，，则角（）A. B. C. D.【答案】C【解析】根据余弦定理，，选C.3.是顶角为的等腰三角形，且，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用已知条件求出向量的长度以及向量的夹角，然后求解向量的数量积即可．【详解】解：是顶角为的等腰三角形，且，则，则．故选：．【点睛】本题考查向量的数量积的应用及运算，是基本知识的考查．4.在数列中，，且，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】当时，可求出，当时，得，即可得数列为等比数列．【详解】解：当时，则，当时，由得故数列是以为首项等比数列故选【点睛】本题考查由数列的递推公式求数列的通项公式，属于基础题．5.记等差数列的前项和为，若，则该数列的公差（）A. 2B. 3C. 6D. 7【答案】B【解析】【详解】,6.等比数列中，，则等于( )A. 16B. ±4C. -4D. 4【答案】D【解析】分析：利用等比中项求解．详解：，因为为正，解得．点睛：等比数列的性质：若，则．7.已知平面向量满足，且，则向量的夹角为A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由，结合可得，利用平面向量的数量积公式可得结果.【详解】，，所以，可得，即，，设两向量夹角为，则，，，即为，故选A.【点睛】本题主要考查向量的模、夹角及平面向量数量积公式，属于中档题.平面向量数量积公式有两种形式，一是，二是，主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角，（此时往往用坐标形式求解）；（2）求投影，在上的投影是；（3）向量垂直则;(4)求向量的模（平方后需求）.8.数列的前项和为，若，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用裂项相消法求数列的前项和为．【详解】解：故选【点睛】本题考查裂项相消法求数列的前项和为，属于基础题．9.中，角，，对边分别为，，，，，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用正弦定理边化角求得，再利用余弦定理求边．【详解】，，，又，由余弦定理得故选【点睛】本题考查正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．10.若两个等差数列，的前项和分别为，且满足，则的值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】把转化为，然后借助于已知得答案．【详解】解：等差数列、前项和分别为，，且，得．故选．【点睛】本题考查等差数列的性质，考查等差数列的前项和，考查数学转化思想方法，是中档题．11.在中，，，，在边的中线上，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本题可设，然后将用向量作为基底向量表示出来，再根据向量的运算，即可将问题转化为二次函数求最值问题．【详解】解：由题意，画图如下：可设，，，．，．．由二次函数的性质，可知：当时，取得最小值．故选：．【点睛】本题主要考查基底向量的设立以及用基底向量表示所求向量，最后转化为二次函数求最值问题，本题属基础题．12.古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数.如将一定数目的点在等距离的排列下可以形成一个等边三角形，这样的数被称为三角形数.如图所示，三角形数,，，……在这个自然数中三角形数的个数是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】求出这一列数的通项，即可求出在中三角形数的个数．【详解】解：由题意知，，……可归纳为则，故在中三角形数的个数为个．故选【点睛】本题考查数列的通项公式，及数列的项的计算，属于基础题．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题：本大共4小题，每小题5分，满分20分.13.在ΔABC中，已知a=1，b=, A=30°，则B等于____________；【答案】或【解析】分析：根据正弦定理求解即可．详解：由正弦定理可知，解得，故解得或点睛：本题为易错题，根据大角对大边，正弦值在一、二象限均有取值，只要角大于角即可．14.如果数列的前项和，则此数列的通项公式__________．【答案】【解析】【分析】利用数列中与关系，得出，但，由此判定数列从第项起为等比数列，通项公式可求．【详解】解：当时，，得．当时，，得，当时，不成立，故数列为从第项起为等比数列．故答案为【点睛】本题考查利用数列中与关系求数列通项，考查等比数列判定，通项公式求解．需具有转化、变形、计算能力．15.某人为测出所住小区的面积，进行了一些测量工作，最后将所住小区近似地画成如图所示的四边形，测得的数据如图所示，则该图所示的小区的面积是______.【答案】【解析】【分析】连结，由余弦定理可求，在中由正弦定理可求，利用面积公式分别求出，，即可求出四边形的面积．【详解】解：如图，连结，由余弦定理可知，故，，，，在中由正弦定理得：，即，故.故答案为【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理及三角形面积公式，属于基础题．16.已知等差数列中，，公差d>0，则使得前n项和取得最小值时的正整数n的值是______．【答案】6或7【解析】【分析】将转化为的形式，得到，即，由此判断前或项的和最小.详解】]由且得，，且，即，即，即，故且最小.【点睛】本题主要考查利用基本元的思想，求等差数列的前项和取得最小值时的值.直接用等差数列的通项公式，将已知条件转化为的形式，由此得到为零，从而求得使等差数列的前项和取得最小值时的值.属于中档题.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.记为等差数列的前项和，已知，．（1）求的通项公式；（2）求，并求的最小值．【答案】（1）an=2n–9，（2）Sn=n2–8n，最小值为–16．【解析】分析：（1）根据等差数列前n项和公式，求出公差，再代入等差数列通项公式得结果，（2）根据等差数列前n项和公式得的二次函数关系式，根据二次函数对称轴以及自变量为正整数求函数最值.详解：（1）设{an}的公差为d，由题意得3a1+3d=–15．由a1=–7得d=2．所以{an}的通项公式为an=2n–9．（2）由（1）得Sn=n2–8n=（n–4）2–16．所以当n=4时，Sn取得最小值，最小值为–16．点睛：数列是特殊的函数，研究数列最值问题，可利用函数性质，但要注意其定义域为正整数集这一限制条件.18.如图，在中，，是边上一点，，，，为锐角.(1)求角大小；(2)求的长.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）在三角形中，利用正弦定理表示出，求出，确定出的度数；（2）在中，设，由余弦定理可得，即可求出的长．【详解】（1）在中，，，由正弦定理可得，，即，，为锐角，，（2）在中，设，由正弦定理可得，，即，，即.【点睛】考查了正弦、余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理是解本题的关键．19.数列满足，，.(1)设，证明是等差数列；(2)求的通项公式.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）要证是等差数列，即证，即由已知可得．（2）由（1）可得，利用累加法，求出数列的通项公式．【详解】（1）由得，又，所以是首项为，公差为的等差数列；（2）由（1）得，，由得，，则，，，，，所以，又，所以的通项公式.【点睛】本题考查：①用定义法证明等差数列；②等差数列的通项公式；③累加法求数列的通项公式；形如“”的递推关系式，求通项时一般利用累加法，属于中档题．20.的内角，，的对边分别为，，，且.(1)求；(2)若，求【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由正弦定理化简已知等式可得：，由余弦定理可得，结合范围，可求的值．（2）可设，，由余弦定理可得，再由余弦定理，得，利用同角三角函数基本关系式可求的值．【详解】（1）由及正弦定理可得：，即.由余弦定理可得，又，.（2），所以可设，，则由余弦定理可得，，再由余弦定理得，故，.【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角函数恒等变换的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．21.已知是等差数列，是各项为正数的等比数列，且，，.⑴求数列和的通项公式；⑵若，求数列的前项和.【答案】(1) ，;(2) .【解析】【分析】设等差数列的公差为，等比数列的公比为，根据等差数列和等比数列的通项公式，结合已知条件，，.可列出关于的方程组，解方程组求出的值，最后求出数列和的通项公式；(2)用错位相消法，结合等比数列前项和公式，可以求出数列的前项和.【详解】(1)设等差数列的公差为，等比数列的公比为，因为，，所以有，所以，.(2)因为，.，所以，因此①，②，①—②得：，.【点睛】本题考查了等比数列和等差数列的通项公式，考查了用错位相消法求数列前项和.22.已知、、、为同一平面上的四个点，且满足，，设，的面积为，的面积为.（1）当时，求的值；（2）当时，求的值.【答案】（1）.（2）.【解析】试题分析：（I）在中，由余弦定理得，在中，由余弦定理得到，即可求解的值；（II）由，得到，从而，由此能求出．试题解析：（Ⅰ）在中，由余弦定理得所以在中，由余弦定理得所以所以.（Ⅱ）因为，所以所以解得考点：余弦定理；三角函数的恒等变换.【方法点晴】本题主要考查了三角形的面积的求法等问题，其中解答中涉及到三角形的面积，余弦定理，三角恒等变换等知识点综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，同时考查了转化与化归思想，解题是要认真审题，注意余弦定理的合理运用，试题有一定的难度，属于中档试题.2018-2019学年高一数学下学期期中试题（含解析）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己所在的班级、姓名、学号填写在答题卡上.2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡.上对应题目选项的答案信息涂黑，答案不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置上.考试结束后，将答题卡交回.一、选择题（本题共12个小题,每小题5分,共60分，每小题的四个选项中，只有一个是正确的）1.已知，，且，则（）A. 2B. 1C. 0D. -1【答案】D【解析】∵，∴∵∴∴故选D2.在中，角，，所对边分别是，，，若，，，则角（）A. B. C. D.【答案】C【解析】根据余弦定理，，选C.3.是顶角为的等腰三角形，且，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用已知条件求出向量的长度以及向量的夹角，然后求解向量的数量积即可．【详解】解：是顶角为的等腰三角形，且，则，则．故选：．【点睛】本题考查向量的数量积的应用及运算，是基本知识的考查．4.在数列中，，且，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】当时，可求出，当时，得，即可得数列为等比数列．【详解】解：当时，则，当时，由得故数列是以为首项等比数列故选【点睛】本题考查由数列的递推公式求数列的通项公式，属于基础题．5.记等差数列的前项和为，若，则该数列的公差（）A. 2B. 3C. 6D. 7【答案】B【解析】【详解】,6.等比数列中，，则等于( )A. 16B. ±4C. -4D. 4【答案】D【解析】分析：利用等比中项求解．详解：，因为为正，解得．点睛：等比数列的性质：若，则．7.已知平面向量满足，且，则向量的夹角为A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由，结合可得，利用平面向量的数量积公式可得结果.【详解】，，所以，可得，即，，设两向量夹角为，则，，，即为，故选A.【点睛】本题主要考查向量的模、夹角及平面向量数量积公式，属于中档题.平面向量数量积公式有两种形式，一是，二是，主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角，（此时往往用坐标形式求解）；（2）求投影，在上的投影是；（3）向量垂直则;(4)求向量的模（平方后需求）.8.数列的前项和为，若，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用裂项相消法求数列的前项和为．【详解】解：故选【点睛】本题考查裂项相消法求数列的前项和为，属于基础题．9.中，角，，对边分别为，，，，，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用正弦定理边化角求得，再利用余弦定理求边．【详解】，，，又，由余弦定理得故选【点睛】本题考查正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．10.若两个等差数列，的前项和分别为，且满足，则的值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】把转化为，然后借助于已知得答案．【详解】解：等差数列、前项和分别为，，且，得．故选．【点睛】本题考查等差数列的性质，考查等差数列的前项和，考查数学转化思想方法，是中档题．11.在中，，，，在边的中线上，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本题可设，然后将用向量作为基底向量表示出来，再根据向量的运算，即可将问题转化为二次函数求最值问题．【详解】解：由题意，画图如下：可设，，，．，．．由二次函数的性质，可知：当时，取得最小值．故选：．【点睛】本题主要考查基底向量的设立以及用基底向量表示所求向量，最后转化为二次函数求最值问题，本题属基础题．12.古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数.如将一定数目的点在等距离的排列下可以形成一个等边三角形，这样的数被称为三角形数.如图所示，三角形数,，，……在这个自然数中三角形数的个数是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】求出这一列数的通项，即可求出在中三角形数的个数．【详解】解：由题意知，，……可归纳为则，故在中三角形数的个数为个．故选【点睛】本题考查数列的通项公式，及数列的项的计算，属于基础题．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题：本大共4小题，每小题5分，满分20分.13.在ΔABC中，已知a=1，b=, A=30°，则B等于____________；【答案】或【解析】分析：根据正弦定理求解即可．详解：由正弦定理可知，解得，故解得或点睛：本题为易错题，根据大角对大边，正弦值在一、二象限均有取值，只要角大于角即可．14.如果数列的前项和，则此数列的通项公式__________．【答案】【解析】【分析】利用数列中与关系，得出，但，由此判定数列从第项起为等比数列，通项公式可求．【详解】解：当时，，得．当时，，得，当时，不成立，故数列为从第项起为等比数列．故答案为【点睛】本题考查利用数列中与关系求数列通项，考查等比数列判定，通项公式求解．需具有转化、变形、计算能力．15.某人为测出所住小区的面积，进行了一些测量工作，最后将所住小区近似地画成如图所示的四边形，测得的数据如图所示，则该图所示的小区的面积是______.【答案】【解析】【分析】连结，由余弦定理可求，在中由正弦定理可求，利用面积公式分别求出，，即可求出四边形的面积．【详解】解：如图，连结，由余弦定理可知，故，，，，在中由正弦定理得：，即，故.故答案为【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理及三角形面积公式，属于基础题．16.已知等差数列中，，公差d>0，则使得前n项和取得最小值时的正整数n 的值是______．【答案】6或7【解析】【分析】将转化为的形式，得到，即，由此判断前或项的和最小.详解】]由且得，，且，即，即，即，故且最小.【点睛】本题主要考查利用基本元的思想，求等差数列的前项和取得最小值时的值.直接用等差数列的通项公式，将已知条件转化为的形式，由此得到为零，从而求得使等差数列的前项和取得最小值时的值.属于中档题.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.记为等差数列的前项和，已知，．（1）求的通项公式；（2）求，并求的最小值．【答案】（1）an=2n–9，（2）Sn=n2–8n，最小值为–16．【解析】分析：（1）根据等差数列前n项和公式，求出公差，再代入等差数列通项公式得结果，（2）根据等差数列前n项和公式得的二次函数关系式，根据二次函数对称轴以及自变量为正整数求函数最值.详解：（1）设{an}的公差为d，由题意得3a1+3d=–15．由a1=–7得d=2．所以{an}的通项公式为an=2n–9．（2）由（1）得Sn=n2–8n=（n–4）2–16．所以当n=4时，Sn取得最小值，最小值为–16．点睛：数列是特殊的函数，研究数列最值问题，可利用函数性质，但要注意其定义域为正整数集这一限制条件.18.如图，在中，，是边上一点，，，，为锐角.(1)求角大小；(2)求的长.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）在三角形中，利用正弦定理表示出，求出，确定出的度数；（2）在中，设，由余弦定理可得，即可求出的长．【详解】（1）在中，，，由正弦定理可得，，即，，为锐角，，（2）在中，设，由正弦定理可得，，即，，即.【点睛】考查了正弦、余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理是解本题的关键．19.数列满足，，.(1)设，证明是等差数列；(2)求的通项公式.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）要证是等差数列，即证，即由已知可得．（2）由（1）可得，利用累加法，求出数列的通项公式．【详解】（1）由得，又，所以是首项为，公差为的等差数列；（2）由（1）得，，由得，，则，，，，，所以，又，所以的通项公式.【点睛】本题考查：①用定义法证明等差数列；②等差数列的通项公式；③累加法求数列的通项公式；形如“”的递推关系式，求通项时一般利用累加法，属于中档题．20.的内角，，的对边分别为，，，且.(1)求；(2)若，求【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由正弦定理化简已知等式可得：，由余弦定理可得，结合范围，可求的值．（2）可设，，由余弦定理可得，再由余弦定理，得，利用同角三角函数基本关系式可求的值．【详解】（1）由及正弦定理可得：，即.由余弦定理可得，又，.（2），所以可设，，则由余弦定理可得，，再由余弦定理得，故，.【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角函数恒等变换的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．21.已知是等差数列，是各项为正数的等比数列，且，，.⑴求数列和的通项公式；⑵若，求数列的前项和.【答案】(1) ，;(2) .【解析】【分析】设等差数列的公差为，等比数列的公比为，根据等差数列和等比数列的通项公式，结合已知条件，，.可列出关于的方程组，解方程组求出的值，最后求出数列和的通项公式；(2)用错位相消法，结合等比数列前项和公式，可以求出数列的前项和.【详解】(1)设等差数列的公差为，等比数列的公比为，因为，，所以有，所以，.(2)因为，.，所以，因此①，②，①—②得：，.【点睛】本题考查了等比数列和等差数列的通项公式，考查了用错位相消法求数列前项和.22.已知、、、为同一平面上的四个点，且满足，，设，的面积为，的面积为.（1）当时，求的值；（2）当时，求的值.【答案】（1）.（2）.【解析】试题分析：（I）在中，由余弦定理得，在中，由余弦定理得到，即可求解的值；（II）由，得到，从而，由此能求出．试题解析：（Ⅰ）在中，由余弦定理得所以在中，由余弦定理得所以所以.（Ⅱ）因为，所以所以解得考点：余弦定理；三角函数的恒等变换.【方法点晴】本题主要考查了三角形的面积的求法等问题，其中解答中涉及到三角形的面积，余弦定理，三角恒等变换等知识点综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，同时考查了转化与化归思想，解题是要认真审题，注意余弦定理的合理运用，试题有一定的难度，属于中档试题.。
2018-2019学年高一数学下学期期中试题(含解析)_1
2018-2019学年高一数学下学期期中试题（含解析）一.选择题:(每题5分,共60分)1.下列结论正确的是（）．A. 若，则B. 若，则C. 若，，则D. 若，则【答案】C【解析】分析：根据不等式性质逐一分析即可.详解：A. 若，则 ,因为不知道c的符号，故错误；B. 若，则可令a=-1，b=-2，则结论错误；D. 若，则，令a=1，b=2，可得结论错误，故选C.点睛：考查不等式的基本性质，做此类题型最好的方法就是举例子注意排除即可.属于基础题.2.△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知，，，则b=A. B. C. 2 D. 3【答案】D【详解】由余弦定理得，解得（舍去），故选D.【考点】余弦定理【名师点睛】本题属于基础题,考查内容单一,根据余弦定理整理出关于b一元二次方程,再通过解方程求b.运算失误是基础题失分的主要原因,请考生切记！3.《九章算术》“竹九节”问题：现有一根九节的竹子，自上而下各节的容积成等比数列，上面节的容积共升，下面节的容积共升，则第五节的容积为（）A. 升B. 升C. 升D. 升【答案】C【解析】由题设可得，由此可得，故应选答案C ．4.在中分别为角所对的边,若,则此三角形一定是( )A. 等腰直角三角形B. 直角三角形C. 等腰三角形D. 等腰三角形或直角三角形【解析】在中，，，此三角形一定是等腰三角形，故选C.【方法点睛】本题主要考查利用余弦定理判断三角形形状，属于中档题.判断三角形状的常见方法是：（1）通过正弦定理和余弦定理，化边为角，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断；(2)利用正弦定理、余弦定理，化角为边，通过代数恒等变换，求出边与边之间的关系进行判断；（3）根据余弦定理确定一个内角为钝角进而知其为钝角三角形.5.已知数列满足，，则数列的前6项和等于（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由得数列是以为公比的等比数列，所以，故6.函数的最大值为( )A. 1B.C. 2D.【解析】【分析】化简得到，得到答案.【详解】，故当时，函数有最大值.故选：.【点睛】本题考查了三角函数的最值，意在考查学生的计算能力.7.已知关于x的不等式ax2-x+b≥0的解集为[-2，1]，则关于x 的不等式bx2-x+a≤0的解集为（）A. [-1，2]B. [-1， ]C. [- ，1]D. [-1，-]【答案】C【解析】由题意得为方程的根,且 ,所以,因此不等式bx2-x+a≤0为,选C.8.已知等比数列满足，则=A. 1B.C.D. 4【解析】依题意有，故.9.在△ABC中，a=1，B=45°，S△ABC=2，则△ABC的外接圆的直径为（）A. B. 5 C. D.【答案】C【解析】【分析】利用三角形面积公式列出关系式，将a，sinB以及已知面积代入求出c的值，再利用余弦定理求出b的值，最后利用正弦定理求出外接圆直径即可．【详解】∵在△ABC中，a＝1，B＝45°，S△ABC＝2，∴acsinB＝2，即c＝4，∴由余弦定理得：﹣2accosB＝1+32﹣8＝25，即b＝5，则由正弦定理得：2R5．故选C．【点睛】本题考查了正弦、余弦定理，以及三角形的面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．10.当时，不等式恒成立，则k的取值范围是（）A. B. C. D. （0，4）【答案】C【解析】当时，不等式可化为，显然恒成立；当时，若不等式恒成立，则对应函数的图象开口朝上且与轴无交点，则解得：，综上的取值范围是，故选C.11.已知等差数列的前项为，且，，则使得取最小值时的为（）．A. 1B. 6C. 7D. 6或7【答案】B【解析】试题分析：由等差数列的性质，可得，又，所以，所以数列的通项公式为，令，解得，所以数列的前六项为负数，从第七项开始为正数，所以使得取最小值时的为，故选B．考点：等差数列的性质.12.化简的值为（）A. 1B. 2C. -1D. -2【答案】C【解析】原式===二.填空题(每题5分,共20分)13.已知，并且成等差数列，则的最小值为_________.【答案】16【解析】由题可得：，故14.在等差数列{an}中,若a1+a7+a13 = 6,则S13 = ______ .【答案】26【解析】【分析】根据得到，，得到答案.【详解】，故，.故答案为：.【点睛】本题考查了等差数列求和，意在考查学生对于数列性质的灵活运用.15.如图，正三棱柱的主视图面积为2a2，则左视图的面积为________．【答案】【解析】已知正三棱柱的主视图的底边长为，正三棱柱的主视图面积为，所以该正三棱柱的高为.因为正三棱柱的底面为边长为的正三角形，所以左视图的底边长为，所以左视图的面积为.16.在数列{an}中,a1=3, ,则通项公式an = ______.【答案】【解析】【分析】变换得到，利用累加法计算得到答案.【详解】，故..故答案为：.【点睛】本题考查了裂项相消法，累加法，意在考查学生对于数列方法的灵活运用.三.解答题(6个小题,共70分)17.解不等式:.【答案】答案不唯一，详见解析【解析】【分析】变换得到(x-k)(x-1)>0，讨论三种情况，计算得到答案.【详解】x2>(k+1)x-k变形为(x-k)(x-1)>0,当k>1时,不等式的解集是{x|x<1或x>k}；当k=1时,不等式的解集是{x|x≠1}；当k<1时,不等式的解集是{x|x<k或x>1}；综上所述：时，解集为{x|x<1或x>k}；时，解集是{x|x≠1}；时，解集是{x|x<k或x>1}.【点睛】本题考查了解不等式，分类讨论是常用的数学方法，需要熟练掌握.18.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且ccosB+bcosC＝2acosA．（1）求A；（2）若a＝2，且△ABC的面积为，求△ABC的周长．【答案】（1）；（2）6.【解析】试题分析：（1）由根据正弦定理可得，利用两角和的正弦公式及诱导公式可得，∴；（2）由的面积为，可得，再利用余弦定理可得，从而可得的周长.试题解析：（1）∵，∴.∴，∴.∵，∴，∴，∴.（2）∵的面积为，∴，∴.由，及，得，∴.又，∴.故其周长为.19.已知公差不为零的等差数列{an}满足：，且是与的等比中项．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设数列{bn}满足，求数列{bn}的前n项和Sn .【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）根据等差数列通项公式列方程组，求出首项和公差即可得出通项公式；（2）利用裂项法求和.试题解析：（1）设等差数列{an}的公差为d，∵a3+a8=20，且a5是a2与a14的等比中项，∴，解得a1=1，d=2，∴an=1+2（n-1）=2n-1．（2）bn==（），∴Sn=b1+b2+b3+…+bn=（1-+-+…+）=（1-）=．点睛：本题主要考查了等差数列，以及数列的求和，属于高考中常考知识点，难度不大；常见的数列求和的方法有公式法即等差等比数列求和公式，分组求和类似于，其中和分别为特殊数列，裂项相消法类似于，错位相减法类似于，其中为等差数列，为等比数列等.20.在我校高二年段即将准备开展数学竞赛活动中，规定评选一等奖和二等奖的人数之和不超过10人，一等奖人数比二等奖人数少2人或2人以上，一等奖人数不少于3人，且一等奖奖品价格为30元，二等奖奖品价格为20元，怎样合理安排可以使得本次活动购买奖品的费用最少？【答案】本次活动购买奖品最小费用为190元.【解析】【分析】先根据条件列出线性约束条件，再根据条件画出可行域，根据目标函数画直线，找出最优解，求出最值．【详解】设一等奖人数为x，二等奖人数为y，本次活动购买奖品的费用为，目标函数为：，约束条件为画出满足条件的平面区域，联立，得设直线：，通过平移直线，易知z在点处取得最小值190，本次活动购买奖品的最小费用为190元．【点睛】本题考查的是线性规划问题，还考查了学生分析问题的能力和数学建模的能力已知两个变量间的关系，求它们的线性和最小，根据条件列出线性约束条件，再根据条件画出可行域，根据目标函数画直线，找出最优解，求出最值找最优解时注意斜率和倾斜角大小关系．21.设．（1）求的单调递增区间；（2）在锐角中，的对边分别为，若，求面积的最大值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用二倍角和两角和与差以及辅助角公式基本公式将函数化为的形式，将内层函数看作整体，放到正弦函数的增区间上，解不等式得函数的单调递增区间；（2）根据，求出，可得，利用余弦定理，利用基本不等式的性质求出的最大值，可得面积的最大值．【详解】解：（1）．，由．可得：，函数的单调递增区间是：（2）由，即，可得，．由余弦定理：，可得．，当且仅当时等号成立．，．面积的最大值．故得三角形面积最大值为．【点睛】本题主要考查对三角函数的化简能力和三角函数的图题的关键．同时考查了余弦定理和不等式的性质的运用，属于中档题．22.已知数列的前项和为，．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）求数列的前项和.【答案】（Ⅰ）（）；（Ⅱ）（）．【解析】试题分析：（Ⅰ）由写出当时，，两式相减可得数列的递推式，再求得，从而确定数列是等比数列，得通项公式；（Ⅱ）数列可以看作是一个等差数列和等比数列相乘所得，其前项和可用错位相减法求得．试题解析：（Ⅰ）由，①得，，②①②，得，即（，），所以数列是以3为首项，2为公比的等比数列，所以（）．（Ⅱ），，作差得，∴（）．点睛：本题考查错位相减法求和，对一个等差数列与一个等比数列相乘所得数列，其前项和可用错位相减法求解，首先写出和，然后在此式两边乘以等比数列的仅比，并错位，两式相减，可把和式转化为中间部分项是等比数列的和，应用等比数列求和公式可得结论．数列求和方法除直接应用等差数列和等比数列前项和公式外还有分组求和法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等等．2018-2019学年高一数学下学期期中试题（含解析）一.选择题:(每题5分,共60分)1.下列结论正确的是（）．A. 若，则B. 若，则C. 若，，则D. 若，则【答案】C分析：根据不等式性质逐一分析即可.详解：A. 若，则 ,因为不知道c的符号，故错误；B. 若，则可令a=-1，b=-2，则结论错误；D. 若，则，令a=1，b=2，可得结论错误，故选C.点睛：考查不等式的基本性质，做此类题型最好的方法就是举例子注意排除即可.属于基础题.2.△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知，，，则b=A. B. C. 2 D. 3【答案】D【解析】【详解】由余弦定理得，解得（舍去），故选D.【考点】余弦定理【名师点睛】本题属于基础题,考查内容单一,根据余弦定理整理出关于b一元二次方程,再通过解方程求b.运算失误是基础题失分的主要原因,请考生切记！3.《九章算术》“竹九节”问题：现有一根九节的竹子，自上而下各节的容积成等比数列，上面节的容积共升，下面节的容积共升，则第五节的容积为（）A. 升B. 升C. 升D. 升【答案】C【解析】由题设可得，由此可得，故应选答案C ．4.在中分别为角所对的边,若,则此三角形一定是( )A. 等腰直角三角形B. 直角三角形C. 等腰三角形D. 等腰三角形或直角三角形【答案】C在中，，，此三角形一定是等腰三角形，故选C.【方法点睛】本题主要考查利用余弦定理判断三角形形状，属于中档题.判断三角形状的常见方法是：（1）通过正弦定理和余弦定理，化边为角，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断；(2)利用正弦定理、余弦定理，化角为边，通过代数恒等变换，求出边与边之间的关系进行判断；（3）根据余弦定理确定一个内角为钝角进而知其为钝角三角形.5.已知数列满足，，则数列的前6项和等于（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由得数列是以为公比的等比数列，所以，故6.函数的最大值为( )A. 1B.C. 2D.【答案】A【解析】【分析】化简得到，得到答案.【详解】，故当时，函数有最大值.故选：.【点睛】本题考查了三角函数的最值，意在考查学生的计算能力.7.已知关于x的不等式ax2-x+b≥0的解集为[-2，1]，则关于x的不等式bx2-x+a≤0的解集为A. [-1，2]B. [-1， ]C. [- ，1]D. [-1，-]【答案】C【解析】由题意得为方程的根,且 ,所以 ,因此不等式bx2-x+a≤0为 ,选C.8.已知等比数列满足，则=A. 1B.C.D. 4【答案】B【解析】依题意有，故.9.在△ABC中，a=1，B=45°，S△ABC=2，则△ABC的外接圆的直径为（）A. B. 5 C. D.【答案】C【解析】【分析】利用三角形面积公式列出关系式，将a，sinB以及已知面积代入求出c的值，再利用余弦定理求出b的值，最后利用正弦定理求出外接圆直径即可．【详解】∵在△ABC中，a＝1，B＝45°，S△ABC＝2，∴acsinB＝2，即c＝4，∴由余弦定理得：﹣2accosB＝1+32﹣8＝25，即b＝5，则由正弦定理得：2R5．故选C．【点睛】本题考查了正弦、余弦定理，以及三角形的面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题10.当时，不等式恒成立，则k的取值范围是（）A. B. C. D. （0，4）【答案】C【解析】当时，不等式可化为，显然恒成立；当时，若不等式恒成立，则对应函数的图象开口朝上且与轴无交点，则解得：，综上的取值范围是，故选C.11.已知等差数列的前项为，且，，则使得取最小值时的为（）．A. 1B. 6C. 7D. 6或7【答案】B【解析】试题分析：由等差数列的性质，可得，又，所以，所以数列的通项公式为，令，解得，所以数列的前六项为负数，从第七项开始为正数，所以使得取最小值时的为，故选B．考点：等差数列的性质.12.化简的值为（）A. 1B. 2C. -1D. -2【答案】C【解析】原式===二.填空题(每题5分,共20分)13.已知，并且成等差数列，则的最小值为_________.【答案】16【解析】由题可得：，故14.在等差数列{an}中,若a1+a7+a13 = 6,则S13 = ______ .【答案】26【解析】【分析】根据得到，，得到答案.【详解】，故，.故答案为：.【点睛】本题考查了等差数列求和，意在考查学生对于数列性质的灵活运用.15.如图，正三棱柱的主视图面积为2a2，则左视图的面积为________．【答案】【解析】已知正三棱柱的主视图的底边长为，正三棱柱的主视图面积为，所以该正三棱柱的高为.因为正三棱柱的底面为边长为的正三角形，所以左视图的底边长为，所以左视图的面积为.16.在数列{an}中,a1=3, ,则通项公式an = ______.【答案】【解析】【分析】变换得到，利用累加法计算得到答案.【详解】，故..故答案为：.【点睛】本题考查了裂项相消法，累加法，意在考查学生对于数列方法的灵活运用.三.解答题(6个小题,共70分)17.解不等式:.【答案】答案不唯一，详见解析【解析】【分析】变换得到(x-k)(x-1)>0，讨论三种情况，计算得到答案.【详解】x2>(k+1)x-k变形为(x-k)(x-1)>0,当k>1时,不等式的解集是{x|x<1或x>k}；当k=1时,不等式的解集是{x|x≠1}；当k<1时,不等式的解集是{x|x<k或x>1}；综上所述：时，解集为{x|x<1或x>k}；时，解集是{x|x≠1}；时，解集是{x|x<k 或x>1}.【点睛】本题考查了解不等式，分类讨论是常用的数学方法，需要熟练掌握.18.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且ccosB+bcosC＝2acosA．（1）求A；（2）若a＝2，且△ABC的面积为，求△ABC的周长．【答案】（1）；（2）6.【解析】试题分析：（1）由根据正弦定理可得，利用两角和的正弦公式及诱导公式可得，∴；（2）由的面积为，可得，再利用余弦定理可得，从而可得的周长.试题解析：（1）∵，∴.∴，∴.∵，∴，∴，∴.（2）∵的面积为，∴，∴.由，及，得，∴.又，∴.故其周长为.19.已知公差不为零的等差数列{an}满足：，且是与的等比中项．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设数列{bn}满足，求数列{bn}的前n项和Sn .【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）根据等差数列通项公式列方程组，求出首项和公差即可得出通项公式；（2）利用裂项法求和.试题解析：（1）设等差数列{an}的公差为d，∵a3+a8=20，且a5是a2与a14的等比中项，∴，解得a1=1，d=2，∴an=1+2（n-1）=2n-1．（2）bn==（），∴Sn=b1+b2+b3+…+bn=（1-+-+…+）=（1-）=．点睛：本题主要考查了等差数列，以及数列的求和，属于高考中常考知识点，难度不大；常见的数列求和的方法有公式法即等差等比数列求和公式，分组求和类似于，其中和分别为特殊数列，裂项相消法类似于，错位相减法类似于，其中为等差数列，为等比数列等.20.在我校高二年段即将准备开展数学竞赛活动中，规定评选一等奖和二等奖的人数之和不超过10人，一等奖人数比二等奖人数少2人或2人以上，一等奖人数不少于3人，且一等奖奖品价格为30元，二等奖奖品价格为20元，怎样合理安排可以使得本次活动购买奖品的费用最少？【答案】本次活动购买奖品最小费用为190元.【解析】【分析】先根据条件列出线性约束条件，再根据条件画出可行域，根据目标函数画直线，找出最优解，求出最值．【详解】设一等奖人数为x，二等奖人数为y，本次活动购买奖品的费用为，目标函数为：，约束条件为画出满足条件的平面区域，联立，得设直线：，通过平移直线，易知z在点处取得最小值190，本次活动购买奖品的最小费用为190元．【点睛】本题考查的是线性规划问题，还考查了学生分析问题的能力和数学建模的能力已知两个变量间的关系，求它们的线性和最小，根据条件列出线性约束条件，再根据条件画出可行域，根据目标函数画直线，找出最优解，求出最值找最优解时注意斜率和倾斜角大小关系．21.设．（1）求的单调递增区间；（2）在锐角中，的对边分别为，若，求面积的最大值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用二倍角和两角和与差以及辅助角公式基本公式将函数化为的形式，将内层函数看作整体，放到正弦函数的增区间上，解不等式得函数的单调递增区间；（2）根据，求出，可得，利用余弦定理，利用基本不等式的性质求出的最大值，可得面积的最大值．【详解】解：（1）．化简可得：，由．可得：，函数的单调递增区间是：（2）由，即，可得，．由余弦定理：，可得．，当且仅当时等号成立．，．面积的最大值．故得三角形面积最大值为．【点睛】本题主要考查对三角函数的化简能力和三角函数的图象和性质的运用，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．同时考查了余弦定理和不等式的性质的运用，属于中档题．22.已知数列的前项和为，．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）求数列的前项和.【答案】（Ⅰ）（）；（Ⅱ）（）．【解析】试题分析：（Ⅰ）由写出当时，，两式相减可得数列的递推式，再求得，从而确定数列是等比数列，得通项公式；（Ⅱ）数列可以看作是一个等差数列和等比数列相乘所得，其前项和可用错位相减法求得．试题解析：（Ⅰ）由，①得，，②①②，得，即（，），所以数列是以3为首项，2为公比的等比数列，所以（）．（Ⅱ），，作差得，∴（）．点睛：本题考查错位相减法求和，对一个等差数列与一个等比数列相乘所得数列，其前项和可用错位相减法求解，首先写出和，然后在此式两边乘以等比数列的仅比，并错位，两式相减，可把和式转化为中间部分项是等比数列的和，应用等比数列求和公式可得结论．数列求和方法除直接应用等差数列和等比数列前项和公式外还有分组求和法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等等．。
2018-2019学年山西省大同市灵丘县高一第二学期期中数学试卷 含解析
2018-2019学年高一第二学期期中数学试卷一、选择题（共12小题）.1．已知tanα＝3，则＝（）A．1B．2C．﹣1D．﹣22．已知向量，，则＝（）A．（﹣6，﹣4）B．（﹣5，﹣6）C．（﹣8，﹣5）D．（﹣7，﹣6）3．＝（）A．B．C．D．4．已知点P（1，m）（m＞0）是角α终边上一点，且，则m＝（）A．B．C．D．5．函数在区间[0，π]上的零点个数为（）A．0B．3C．1D．26．如图，在△ABC中，，P是BN的中点，若，则实数m的值是（）A．B．1C．D．7．函数的部分图象如图所示，则函数f （x）的解析式为（）A．B．C．D．8．《九章算术》是中国古代数学名著，其对扇形田面积给出“以径乘周四而一”的算法与现代数学的算法一致，根据这一算法解决下列问题：现有一扇形田，下周长（弧长）为30米，径长（两段半径的和）为14米，则该扇形田的面积为（）A．150平方米B．210平方米C．100平方米D．105平方米9．已知向量，则在方向上的投影为（）A．B．C．1D．10．已知向量，且与的夹角为锐角，则实数x的取值范围为（）A．[﹣8，+∞）B．C．D．（﹣8，+∞）11．若函数在区间[π，a]上存在最小值﹣1，则a的最小值为（）A．B．C．2πD．12．定义＝ad﹣bc，已知函数f（x）＝（x∈[0，π]），若f（x）的最大值与最小值的和为1，则实数m的值是（）A．4+2或﹣4﹣2B．4﹣2或﹣4+2C．4﹣2D．﹣4+2二、填空题13．设向量与的夹角为θ，定义与的“向量积”：是一个向量，它的模，若，，则＝．14．若，则cos2θ＝．15．已知向量，则的取值范围是．16．给出下列命题：①函数的定义城是{x|x∈R且；②若，则sin2α+sin2β＝sin（α+β）；③若定义在R上函数f（x）满足f（x+1）＝﹣f（x），则y＝f（x）是周期为2的函数；④函数图象的一条对称轴是，则函数图象关于对称．其中正确的命题是．（填序号）三、解答题：共70分.17．已知，且tanα，tanβ是方程x2﹣5x+6＝0的两根．（1）求tan（α+β）的值；（2）求sin2β的值．18．已知向量，向量．（1）当k为何值时，向量与垂直？（2）当k为何值时，向量与平行？19．设函数，其中．（1）求f（x）的解析式；（2）是否存在△ABC使角A，B是方程f（x）＝0的两个不同的实根？若存在，求角C 的大小；若不存在，请说明理由．20．如图，在△ABC中，AB＝4，AC＝6，∠BAC＝60°，点D，E分别在边AB，AC上，且．（1）若，试用，线性表示；（2）在（1）的条件下，求的值．21．已知向量．（1）求的值；（2）求的值．22．已知函数，将函数f（x）图象上所有的点向左平行移动个单位长度，得到函数g（x）的图象．（1）若，求函数g（x）的解析式；（2）若g（x）在区间上是单调增函数，求θ的取值范围．参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知tanα＝3，则＝（）A．1B．2C．﹣1D．﹣2【分析】原式分子分母除以cosα，利用同角三角函数间的基本关系弦化切后，将tanα的值代入计算即可求出值．解：∵tanα＝3，∴原式＝＝＝2．故选：B．2．已知向量，，则＝（）A．（﹣6，﹣4）B．（﹣5，﹣6）C．（﹣8，﹣5）D．（﹣7，﹣6）【分析】由向量坐标形式的数乘运算，减法运算法则直接计算即可．解：因为．故选：C．3．＝（）A．B．C．D．【分析】利用诱导公式，特殊角的三角函数值即可求解．解：．故选：A．4．已知点P（1，m）（m＞0）是角α终边上一点，且，则m＝（）A．B．C．D．【分析】直接利用任意角的三角函数，求解即可．解：由三角函数的定义可得，解得，又m＞0，∴，故选：B．5．函数在区间[0，π]上的零点个数为（）A．0B．3C．1D．2【分析】直接利用余弦型函数性质的应用和整体思想的应用求出结果．解：令，解得，即．∵x∈[0，π]，∴k＝0，；k＝1，．故选：D．6．如图，在△ABC中，，P是BN的中点，若，则实数m的值是（）A．B．1C．D．【分析】题目隐含的等量关系是B，P，N三点共线（若A、B、C三点共线，则），若将中的用表示，就可得到关于m的方程．解：∵，，所以，∴＝，因为B，P，N三点共线，∴，∴，故选：C．7．函数的部分图象如图所示，则函数f （x）的解析式为（）A．B．C．D．【分析】由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式．解：由图象可知，•＝﹣，求得ω＝2．再根据五点法作图可得2×+φ＝，则，∴函数的解析式为，故选：B．8．《九章算术》是中国古代数学名著，其对扇形田面积给出“以径乘周四而一”的算法与现代数学的算法一致，根据这一算法解决下列问题：现有一扇形田，下周长（弧长）为30米，径长（两段半径的和）为14米，则该扇形田的面积为（）A．150平方米B．210平方米C．100平方米D．105平方米【分析】利用扇形面积计算公式即可得出．解：由题意可得：弧长l＝30，半径r＝7，扇形田的面积为（平方米）．故选：D．9．已知向量，则在方向上的投影为（）A．B．C．1D．【分析】根据向量在方向上的投影的计算公式即可求出投影的值．解：设向量与的夹角为α，则在方向上的投影为．故选：A．10．已知向量，且与的夹角为锐角，则实数x的取值范围为（）A．[﹣8，+∞）B．C．D．（﹣8，+∞）【分析】根据题意，分析可得：若与的夹角为锐角，则有且、不同向，据此可得关于x的不等式，解可得x的取值范围，即可得答案．解：根据题意，向量，与的夹角为锐角，则有且、不同向，若，即3x+24＞0，解可得x＞﹣8，若，则4x＝18，∴．故x的取值范围为（﹣8，）∪（，+∞）；故选：B．11．若函数在区间[π，a]上存在最小值﹣1，则a的最小值为（）A．B．C．2πD．【分析】对于函数，令，解出，对k取值，进而得出a的最小值．解：对于函数，令，得，当k＝0时，f（x）在上单调递减，当时，．又因为f（x）在[π，a]上存在最小值﹣1，所以a的最小值为．故选：A．12．定义＝ad﹣bc，已知函数f（x）＝（x∈[0，π]），若f（x）的最大值与最小值的和为1，则实数m的值是（）A．4+2或﹣4﹣2B．4﹣2或﹣4+2C．4﹣2D．﹣4+2【分析】本题先求行列式，然后化简整理得到f（x）＝﹣2cos2x﹣m cos x+2．再令t＝cos x，则y＝﹣2t2﹣mt+2，（﹣1≤t≤1）．则转化成二次函数的问题，针对对称轴不确定而定义域确定对对称轴进行分类讨论，在各个具体情况下求出m的值，综合各种情况即可得到结果．解：由题意，f（x）＝＝2sin2x﹣m cos x＝2（1﹣cos2x）﹣m cos x＝﹣2cos2x﹣m cos x+2．令t＝cos x，则∵x∈[0，π]，∴﹣1≤t≤1．∴y＝﹣2t2﹣mt+2＝﹣2（t+）2++2（﹣1≤t≤1），①当﹣≤﹣1，即m≥4时，y max＝y|t＝﹣1＝﹣2+m+2＝m，y min＝y|t＝1＝﹣2﹣m+2＝﹣m，此时f（x）max+f（x）min＝m﹣m＝0，不符合题意．②当﹣≥1，即m≤﹣4时，y max＝y|t＝1＝﹣2﹣m+2＝﹣m，y min＝y|t＝﹣1＝﹣2+m+2＝m，此时f（x）max+f（x）min＝﹣m+m＝0，不符合题意．③当﹣＝0，即m＝0时，y max＝y|t＝0＝2，y min＝y|t＝1＝﹣2+2＝0，此时f（x）max+f（x）min＝2，不符合题意．④当﹣1＜﹣＜0，即0＜m＜4时，y max＝y|t＝﹣＝﹣2•（﹣）2﹣m•（﹣）+2＝+2，y min＝y|t＝1＝﹣2﹣m+2＝﹣m，此时f（x）max+f（x）min＝+2﹣m＝1，解得m＝4﹣2，或m＝4+2（舍去）．⑤当0＜﹣＜1，即﹣4＜m＜0时，y max＝y|t＝﹣＝﹣2•（﹣）2﹣m•（﹣）+2＝+2，y min＝y|t＝﹣1＝﹣2+m+2＝m，此时f（x）max+f（x）min＝+2+m＝1，解得m＝﹣4﹣2（舍去），或m＝﹣4+2．综上所述，可知：m＝﹣4+2，或m＝4﹣2．故选：B．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．设向量与的夹角为θ，定义与的“向量积”：是一个向量，它的模，若，，则＝．【分析】由向量的数量积公式先求出cosθ，进而求得sinθ即可求解结论．【解答】解∵，，∴，∴，∴．故答案为：．14．若，则cos2θ＝．【分析】将已知等式两边平方后利用同角三角函数基本关系式可求．可得θ为第二象限的角，利用平方差公式可求sinθ﹣cosθ，进而根据二倍角的余弦函数公式即可求解．解：∵，∴，即sin2θ+2sinθcosθ+cos2θ＝，∴．由上知，θ为第二象限的角，∴sinθ﹣cosθ＞0，∴＝．∴．故答案为：．15．已知向量，则的取值范围是[8，12]．【分析】根据的坐标，求得的坐标表示，通过模长公式求解即可．解：由，∴＝＝＝．∴的取值范围是[8，12]．故答案是：[8，12]．16．给出下列命题：①函数的定义城是{x|x∈R且；②若，则sin2α+sin2β＝sin（α+β）；③若定义在R上函数f（x）满足f（x+1）＝﹣f（x），则y＝f（x）是周期为2的函数；④函数图象的一条对称轴是，则函数图象关于对称．其中正确的命题是②③④．（填序号）【分析】求出函数的定义域判断①；通过诱导公式化简表达式判断②；求出函数的周期判断③；通过函数的对称轴，求出θ，然后判断函数的对称中心，判断④，即可．解：令，得x≠kπ（k∈Z），①错；若，则，②正确；由f（x+1）＝﹣f（x），得f（x+2）＝﹣f（x+1）＝f（x），故周期为2，③正确；当时，，，，又∵θ∈（0，π），∴，当时，，④正确：故正确的命题是②③④．故答案为：②③④．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．已知，且tanα，tanβ是方程x2﹣5x+6＝0的两根．（1）求tan（α+β）的值；（2）求sin2β的值．【分析】（1）由题意结合方程的根与系数关系及两角和的正切公式即可求；（2）由已知结合同角平方关系及二倍角的正弦公式可求．解：（1）依题意有：，∴．（2）由题意可得tanβ＝3，又∵，∴，．∴．18．已知向量，向量．（1）当k为何值时，向量与垂直？（2）当k为何值时，向量与平行？【分析】（1）由题意利用两个向量的数量积公式，两个向量垂直的性质，求得k的值．（2）由题意利用两个向量的数量积公式，两个向量平行的性质，求得k的值．解：（1）∵，若向量与垂直，则，解得k＝5．（2）若向量与平行，则，解得．19．设函数，其中．（1）求f（x）的解析式；（2）是否存在△ABC使角A，B是方程f（x）＝0的两个不同的实根？若存在，求角C 的大小；若不存在，请说明理由．【分析】（1）直接根据向量的数量积以及三角函数的有关知识即可求解结论；（2）求解三角方程，得到对应的A，B即可求解结论．解：（1）∵，∴＝．（2），即，或，即或，∵0＜A＜π，0＜B＜π，∴当k＝0时，或．即存在△ABC使角A，B是方程f（x）＝0的两个不同的实根．∴．20．如图，在△ABC中，AB＝4，AC＝6，∠BAC＝60°，点D，E分别在边AB，AC上，且．（1）若，试用，线性表示；（2）在（1）的条件下，求的值．【分析】（1）直接利用三角形法则以及线性运算求解即可；（2）直接把（1）的结论代入数量积即可求解．解：（1）∵，∴，又，∴．（2）由（1）可得，∵，∴＝．21．已知向量．（1）求的值；（2）求的值．【分析】（1）由已知结合向量数量积的性质的坐标表示可求；（2）由已知结合同角平方关系及和差角公式即可求解．解：（1）由，得，，即，整理可得，即．（2）∵，∴，则，，，∴．22．已知函数，将函数f（x）图象上所有的点向左平行移动个单位长度，得到函数g（x）的图象．（1）若，求函数g（x）的解析式；（2）若g（x）在区间上是单调增函数，求θ的取值范围．【分析】（1）由题意利用函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．（2）由题意利用正弦函数的单调性可得，由此求得θ的取值范围．解：（1）将函数f（x）图象上所有的点向左平行移动θ个单位长度，得到图象对应的函数解析式为的图象．当时，函数．（2）由（1）可得，∴令，解得，可得函数的单调递增区间为．∵函数y＝g（x）在上是单调增函数，∴，解得．∵，∴．∴θ的取值范围为．。
2019学年山西省高一下期中理科数学试卷【含答案及解析】
2019学年山西省高一下期中理科数学试卷【含答案及解析】姓名___________ 班级____________ 分数__________一、选择题1. 已知全集，且，，则（________ ）A．_________ B．_________ C．___________D．2. 设向量，， .若，则等于（________ ）A．_________ B．_________________ C．________________ D．3. 已知，，等于（________ ）A．_________ B．________ C． ________D．4. 若，且，则的值为（________ ）A．____________________ B．_________________________ C．__________________ D．5. 函数的一条对称轴方程为，则（________ ）A． 1________________ B． _________________ C． 2 ________ D． 36. 已知向量，，对任意，恒有，则（________ ）A．______________ B．______________ C．______________ D．7. 函数的图象大致是（________ ）8. 已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是（________ ）A．的最小正周期为B．的图象关于直线对称C．的图象关于点对称D．当时，方程在上有两个不相等的实数根9. 设函数，则在下面区间中函数不存在零点的是（________ ）A．_________ B．________ C．________ D．10. 如图所示程序框图中，输出（________ ）A． 45____________________________ B．________________________ C．__________________ D． 6611. 已知是所在平面内一点，，现将一粒红豆随机撒在内，则红豆落在内的概率是（________ ）A．____________________ B．________________ C．___________________ D．12. 函数的定义域为，若函数满足：（1）在上为单调函数；（2）存在区间，使得在上的值域为，则称函数为“取半函数”.若，且为“取半函数”，则的取值范围是（________ ）A．______________ B．___________ C．______________D．二、填空题13. 设定义域为上的单调函数，对于任意的，都有,则____________________ .14. 已知，函数在单调递减，则的取值范围是____________________ .15. 等于____________________ .16. 设，其中， .若对一切恒成立，则① ；② ；③ 既不是奇函数也不是偶函数；④ 的单调递增区间是；⑤存在经过点的直线与函数的图象不相交.以上结论正确的是____________________ （写出所有正确结论的编号） .三、解答题17. 已知函数为奇函数，且相邻两对称轴间的距离为 .（1）当时，求的单调递减区间；（2）将函数的图象沿轴方向向右平移个单位长度，再把横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），得到函数的图象.当时，求函数的值域 .18. 已知函数（）是偶函数.（1）求的值；（2）设，若函数与的图象有且只有一个公共点，求实数的取值范围 .19. 某电视台举办了“中华好声音”大型歌手选修活动，过程分为初赛、复赛和决赛，经初赛进入复赛的40名选手被平均分成甲、乙两个班，由组委会聘请两位导师各负责一个班进行声乐培训.下面是根据40名选手参加复赛时获得的100名大众评审的支持票数制成的茎叶图：赛制规定：参加复赛的40名选手中，获得的支持票数排在前5名的选手可进入决赛，若第5名出现并列，则一起进入决赛；另外，票数不低于95票的选手在决赛时拥有“优先挑战权”.求：从进入决赛的选手中随机抽出3名，求其中恰有1名拥有“优先挑战权”的概率.20. 某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健产品的收益与投资成正比，投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比.已知投资1万元时两类产品的收益分别为万元和万元.（1）分别写出两类产品的收益与投资的函数关系；（2）该家庭有20万元资金，全部用于理财投资，问，怎么分配资金能使投资获得最大收益，其最大收益是多少万元？21. 已知函数 .（1）若且时，求的最大值和最小值；（2）当且时，方程有两个不相等的实数根，求的取值范围及的值 .22. 已知函数的最大值为1 . （1）求函数的单调递增区间；（2）将的图象向左平移个单位，得到函数的图象，若方程在上有解，求实数的取值范围.参考答案及解析第1题【答案】第2题【答案】第3题【答案】第4题【答案】第5题【答案】第6题【答案】第7题【答案】第8题【答案】第9题【答案】第10题【答案】第11题【答案】第12题【答案】第13题【答案】第14题【答案】第15题【答案】第16题【答案】第17题【答案】第18题【答案】第19题【答案】第20题【答案】第21题【答案】第22题【答案】。
2018-2019学年度高一下学期期中考试数学试卷(解析版)
2018-2019学年度第二学期期中考试高一数学一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】直接利用两角差的正弦公式计算即可.【详解】由两角差的正弦公式可得故选A.【点睛】本题考查两角差的正弦公式的应用，属基础题.2.下列函数中，以为周期且在区间上为增函数的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】试题分析：A选项周期为，不满足条件；B选项周期为；C选项周期为，且在区间为减函数，不满足条件；D选项周期为，且在区间为增函数；故选D．考点：（1）正弦函数的单调性（2）函数的周期性3.已知向量.若为实数，，则（）A. B. C. 1 D. 2【答案】B【解析】试题分析：因为，，所以，又因为，所以，故选B．考点：1、向量的坐标运算；2、向量平行的性质．视频4.给出下面四个命题：①；②；③；④.其中正确的个数为A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】B【解析】①；②；③；④,所以正确的为①②，选B.5.已知，，与的夹角为，则在方向上的投影为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由条件及投影的计算公式便可得出向量在方向上的投影为，从而得出该投影的值．【详解】根据条件，在方向上的投影为：故选C.【点睛】本题考查一个向量在另一个向量方向上的投影的定义及计算公式，向量夹角的概念．6.已知函数的部分图象如下图所示，则函数的解析式（）学|科|网...学|科|网...学|科|网...学|科|网...学|科|网...学|科|网...学|科|网...学|科|网...A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据函数的图象求出A，ω 和φ的值即可．【详解】由函数的图象得即则，则，则则则∵，∴当k=0时，则函数．故选D.【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，根据图象求出A，ω和φ的值是解决本题的关键．7.将函数y=sin2x的图象向左平移（＞0）个单位，得到的图象恰好关于直线对称，则的一个值是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据左加右减，写出三角函数平移后的解析式，根据平移后图象的对称轴，把对称轴代入使得函数式的值等于±1，写出自变量的值，根据求最小值得到结果．【详解】∵把函数y=sin2x的图象向左平移（＞0）个单位，∴平移后函数的解析式是，∵所得图象关于直线对称，∴由正弦函数的图象和性质可得：解得：∴当时，的最小值是．故选：A．【点睛】本题考查由三角函数图象的平移求函数的解析式，本题解题的关键是先表示出函数的解析式，再根据题意来写出结果，属于基础题．8.在中，，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用平面向量数量积的定义进行运算即可【详解】故选D.【点睛】本题考查平面向量数量积的运算，属基础题.9.若是锐角，且满足，则的值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】是锐角，且，所以也为锐角，所以..故选B.点睛：在三角化简求值类题目中，常常考“给值求值”的问题，遇见这类题目一般的方法为——配凑角：即将要求的式子通过配凑，得到与已知角的关系，进而用两角和差的公式展开求值即可，再利用公式求解前，需将每一个三角函数值确定下来，尤其是要利用角的终边确定好正负.10.中，，，分别是的中点，则（）A. 4B. -4C.D.【答案】B【解析】【分析】利用平面向量的加法表示，再利用平面向量数量积的运算法则计算即可.【详解】由题中，，，分别是的中点，则，则故选B.【点睛】本题考查面向量的加法法则及平面向量数量积的运算，属基础题.11.在△ABC中,设=2,那么动点M的轨迹必通过△ABC的()A. 垂心B. 内心C. 外心D. 重心【答案】C【解析】【分析】假设BC的中点是O,先化简已知得2=2,即()·=0, 所以, 所以动点M的轨迹必通过△ABC的外心.【详解】假设BC的中点是O,则=()·()=2=2,即()·=0,所以,所以动点M在线段BC的中垂线上,所以动点M的轨迹必通过△ABC的外心.故答案为：C【点睛】（1）本题主要考查平面向量的数量积运算和向量的减法法则，考查向量垂直的表示，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)解答本题的关键是在于熟练掌握向量的运算法则.12.函数（）的图象经过、两点，则（）A. 最小值为B. 最大值为C. 最小值为D. 最大值为【答案】A【解析】【分析】当A、B为函数的图象的相邻的两个顶点时，函数的周期最小，最大，此时，由，求得的值【详解】由题意可得A、B为函数的图象的顶点，故当A、B为函数的图象的相邻的两个顶点时，周期最大小，最小，此时，，，故选：A．【点睛】本题主要考查函数的图象和性质，属于基础题．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13.若扇形的弧长为，圆心角为弧度，则扇形的面积为_________。
2018~2019学年度第二学期高一年级期中测试数学试题
2018~2019学年度第二学期高一年级期中测试数学试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．4．参考公式： （1）椎体体积：13V Sh =椎体，其中S 为底面积，h 为高；（2）球体体积：24π3V R =球，其中R 为球的半径．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1．已知扇形的圆心角为2rad ，弧长为6，则该扇形的面积为（ ）．A ．6B ．9C ．12D ．362．若直线经过(0,0),O A 两点，则直线OA 的倾斜角为（ ）．A ．π6 B ．π3C D 3．设ABC △中角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ．若已知,,a b A 解三角形，则ABC △的解的个数可能为（ ）．A ．0B ．1C ．2D ．以上都有可能 4．已知平面α截正方体得到一个多边形，则这个多边形不可能是（ ）．A ．正三角形B ．正方形C ．正五边形D ．正六边形5．在异面直线所成角、直线与平面所成角、二面角、直线的倾斜角、两个非零向量的夹角这五种角中，有两种角的范围相同，则这个相同的范围是（ ）．A ．π(0,]2B ．π[0,]2C ．[0,π)D ．[0,π]6．已知a,b,c 为平面向量，①若a b ，b c ，则a c ；②若≠0a 且⋅⋅a b =a c ，则b=c ；③若=-a+b a b ，则⊥a b ；④若0⋅a b >，则,a b 夹角为锐角．上面四个说法中正确的个数为（ ）．A ．0B ．1C ．2D ．37．若m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列判断中正确的是（ ）．A ．若m ⊂β，α⊥β，则m ⊥αB ．若m ⊥β，m ∥α，则α⊥βC ．若α⊥γ，α⊥β，则α∥γD ．若m ∥α，α∥β，则m ∥β8．已知函数()sin()(0,0,π)f x A x A ωϕωϕ=+>><的部分图象如图所示，则函数()cos()g x A x ϕω=+的图象的一个对称中心可能为（ ）． A ．5(,0)6B ．1(,0)6C ．5(,0)2-D ．(1,0)9．已知集合{(,)20}A x y kx y =+-=，1{(,)2}2y B x y x -==-，若A B =∅，则实数k 的值为（ ）．A ．2-B ．12C ．2-或12D ．2或1210．已知三角形三边上的高分别为111,,357，则该三角形的最大角为（ ）．A ．90B ．120 C ．150 D ．不能确定11．设两个不共线的向量a ,b 的夹角为θ，若对任意实数λ，1λ+≥a b 恒成立，则（ ）．A ．任给a ，θ都有最大值B ．任给θ，a 都有最小值C ．任给b ，θ都有最大值D ．任给θ，b 都有最小值122x =+有两个不同的实数根，则实数a 的取值范围为（ ）．A．(2 B．(22-- C．(2 D．[2)-- 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．如图，在某个海域，一艘渔船以60海里/小时的速度，沿方位角为150的方向航行，行至A 处发现一个小岛C 在其东偏南15方向，半小时后到达B 处，发现小岛C 在其东北方向，则B 处离小岛C 的距离为 ▲ 海里．14．设球O 与圆锥1SO 的体积分别为1V ，2V ．若球O 的表面积与圆锥1SO 的表面积相等，且圆锥1SO 的轴截面为正三角形，则12VV 的值是 ▲ ．15．已知直线10ax y +-=与圆22:28130C x y x y +--+=交于A ，B 两点，当ABC △的面积最大时，则实数a 的值是 ▲ ．16．若△ABC 外接圆的圆心为O ，半径为1，且345OA OB OC +=，则CA CB ⋅的取值范围为 ▲ ．（第13题）北 33-2 6 O （第9题）三、解答题：本题共6小题，第17题为10分，第18~22每题12分，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．如图，在平面直角坐标系xOy 中，以x 轴正半轴为始边的锐角α和钝角β的终边与单位圆分别交于点A ，B ，x 轴正半轴与单位圆交于点M ，且310MOB S =△． （1）求+OM OB ；（2）若5cos 13AOB ∠=，求点A 的坐标．18 . 已知向量3(sin ,),(cos ,1)2x x ==-a b ．（1）当ab 时，求tan 2x 的值；（2）求()()f x =-⋅a b b 在π[,0]2-上的值域．19．在ABC △中，边AB ，AC 所在直线的方程分别为240x y --=，320x y ++=，已知(1,2)M 为BC 边上一点．（1）若AM 为BC 边上的高，求直线BC 的方程； （2）若AM 为BC 边的中线，求ABC △的面积．（第17题）20．如图，在四棱锥P ABCD -中，AB PCD 平面，平面PAC ⊥平面ABCD ，PAC △是正三角形，BC PC ⊥． （1）求证：CDPAB 平面；（2）求证：BC ⊥平面PAC ；（3）若4AB =，2AC =，求四面体PABC 的体积V .21．在锐角．．△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且22a c bc =+． （1）若1cos 8A =，求sin sin AC 的值；（2）求11tan tan C A-的取值范围是．22．已知圆C 与圆221:5516320C x y mx y +--+=外切于点84(,)55P ，且与y 轴相切．（1）求圆C 的方程．（2）过点O 作直线12,l l 分别交圆C 于A 、B 两点，若12,l l 斜率之积为2-，求弦AB 长度的范围．BDPC A（第20题）。
2018-2019高一下学期期中考试数学试卷(20201013195936)
2
D.
2
3．已知
，则
1
的值为
cos
sin
6
3
3
A. 1 3
B. 1 3
C. 2 2 3
4．设 a ， b 是两个非零向量，下列结论一定成立的是 ( )
A．若 |a ＋b| ＝ |a |－ | b |，则 a ⊥ b
B．若 a ⊥b，则 |a ＋b| ＝ |a |－ |b |
C．若 |a ＋ b|＝ |a |－ | b| ，则存在实数 λ ，使得 a＝ λ b
其中真命题的序号为 ________． ( 写出所有真命题的序号 )
15. 函数 y 1 的图象与函数 y 2 sin x( 2 x 4) 的横坐标之和等于 ______． 1x
16． 设 D , E 分别是△ ABC的边 AB，BC上的点，AD= 1 AB，BE= 2 BC，若 DE
2
3
1 AB
2 AC
（ I ）求函数 f ( x) 的最小正周期及函数 f (x) 的单调递增区间；
0, （II ）求函数 f ( x) 在 2 上的最值。
20. 已知 | a | 2 ， |b | 1 ， a 与 b 的夹角为 ． 4
( Ⅰ) 求 | a 2b | ；
( Ⅱ ) 若 a b 与 a b 的夹角为钝角，求实数 的取值范围 .
1
∵ a 与 b 不共线，∴
得
1，
∵ a b 与 a b 的夹角为钝角，
∴3 5 2
35
且
1，
2
即3 5 2
1或 1
35
． …… 12 分
2
21. 解：
所以
．………３分 的最大值为 1，最小正周期为