第四章平面一般力系
第四章平面一般力系
MC ( F ) 0
条件：A、B、C 不在同一直线上
C x
R B
A
§4-3
平面一般力系的平衡条件及其应用
二、平面平行力系的平衡方程
平面平行力系:各力的作用线在同一平面内且相互平行的力系。
Y 0 M (F ) 0
O i
y
一矩式
F2
Fn F3
M
A
(Fi ) 0
二矩式
第四章
力的平移定理 平面一般力系向作用面内任意点的简化 平面一般力系平衡条件及其应用 习题课
第四章
平面一般力系：各力的作用线在同一平面内， 既不完全汇交为一点又不完全相互平行的力 系。
[例]
第四章
当物体所受的力对称于某一平面时， 也可简化为在对称平面内的平面一般力系。
力系的简化：把未知力系（平面一般力系） 变成已知力系（平面汇交力系和 平面力偶系）
§4-2 平面一般力系向作用面内任一点的简化
一、力系向一点简化
一般力系（任意力系） 向一点简化 汇交力系+力偶系 （未知力系） （已知力系） 汇交力系 力偶系 力 ，R’ (主矢) ， (作用在简化中心) 力偶 ，MO (主矩) ， (作用在该平面上)
§4-2 平面一般力系向作用面内任一点的简化
A F´´
=
d
=
M O ( F ) Fd
MO ( F ) Fd
O
A
F F F
第四章
§4-1 力的平移定理
说明： ①力线平移定理揭示了力与力偶的关系： 力 力+力偶
②力平移的条件是附加一个力偶m，且m与d有关， m=F•d
③力线平移定理是力系简化的理论基础。
【2024版】工程力学课件-第四章-平面一般力系
擦均不计。试求A和B处的支座约束力。
y
q
q
Me
A
BA
C
D
2a
a
FAx FAy 2a
C a
4a
4a
Me Bx
D
FNB
(a)
(b)
解：(1) 选AB梁为研究对象。 (2) 画受力图如右图所示。 (3) 取坐标如图。
课程：工程力学
例题 4-4 (4) 列平衡方程
第4章 平面一般力系 38
矢。 FR′的大小和方向等于主矢，作用点在O点。 由此可见，主矢与简化中心的位置无关。
MO M1 M2 Mn
MO (F1) MO (F2 ) MO (Fn ) MO (F )
(4-2)
由此可见，MO一般与简化中心的位置有关，它反映 了原力系中各力的作用线相对于O点的分布情况， 称为原力系对O点的主矩。
例题 4-3 解：(1) 取AB梁为研究对象。
(2) 画受力图。
y FT
未知量三个：FAx、FAy、FT ，FAx A 独立的平衡方程数也是三个。
FAy
(3) 列平衡方程，选坐标如图所示。
300
B
DE x
PF
Fx 0
FA x FT cos 300 0
(1)
Fy 0
FA y FT sin 300 P F 0 (2)
且主矢和主矩都不为零，问是否可能？
F1
F2
A
B
Fn
FR
A
B
答：合力与两点连线平行时可能。
课程：工程力学
思考题 4-2
第4章 平面一般力系 17
在什么情况下，一平面力系向一点简化所得 的主矩为零？
F1
静力04章-平面一般力系.ppt
MA为限制转动。
11
§4-6 平面平行力系的平衡方程
平面平行力系:各力的作用线在同一平面内且相互平行的力系。
设有F1, F2 … Fn 各平行力系， 向O点简化得：
主矢R R'F O
主矩M O mO ( Fi )Fi xi
合力作用线的位置为：
xR
MO R'
Fi xi F
平衡的充要条件为
R' 0
Mo 0
1
§4-1 平面一般力系的概念
平面一般力系：
各力和各平面力偶都作用在同一平面内但是既 汇交也不平行的力系。
2
§4-2 力线平移定理
力线平移定理：可以把作用在刚体上点A的力F平行移到任一
点B，但必须同时附加一个力偶。这个力偶
[证] 力 F
Bd
A
的矩等于原来的力F 对新作用点B的矩。
力系 F ,F , F 力F 力偶（F，F ）
mO (F )0
SAcosRM 0 X 0
X O SAsin 0
Y 0
S Acos YO 0
M PR XO P tg YO P
[负号表示力的方向与图中所设方向相反]
26
[习题4－19] 起重机位于连续梁上，已知： P=10kN, Q=50kN, CE 铅垂, 不计梁重。 求：支座A ,B和D点的反力。
( mA 0 :
RB 3 Q 2 0
RB 20kN )
23
BC： R'B RB 20kN
X 0:
XC 0
Y 0 :
YC R'B 0
R’B m
mc
C
B
XC
YC 2m
YC 20kN
平面一般力系
A(x,y) Fx y
odx
X
=xFy-yFx
mo(F) =±Fd
例题 求图示力系合成的结果。
已知：F1 100N，F2 100 2N，F3 50N，M 500N.m
y
F2 450 (-3,2)
(2,1)
F1 5 β 12
O
x
cosβ=12/13 sinβ=5/13
M (0,-4)
YA MA
XA
示例：求力系的合力大小和作用点。
2kN/m 5kN 3kNm
A
xC
B R
2m 1m 1m
R 2 2 5 1kN RxC 2 21 5 2 3 3kNm xC 3m
M (0,-4)
F3
MO = mO(Fi)= - F1 cosβ × 1 + F1 sinβ ×2 + F2 cos 450 × 2- F2 sin 450 ×3+M+F3 ×4=580N.m
因为主矢、主矩均不为0，所以简化的最终结果 为一个合力，此合力的大小和方向与主矢相同。
4、求合力的作用线位置：
固定端（插入端）约束 雨搭
车刀
§4-3平面一般力系的简化结果分析
简化结果： 主矢 R ，主矩 MO 。 ① R =0， MO =0 原力系为平衡力系 力②偶R系=等0,效MO≠0 主矩与简化中心O无关。原力系与一平面 ③ R ≠0,MO =0, 简化结果就是合力 与简化中心有关，
（换个简化中心，主矩不为零） 原力系与一平面汇交力系等效
F3
解:1、取0点为简化中心，建立图示坐标系：
主矢： FR/= Fi 主矩： M0 = m0(Fi)
2、求力系的主矢
平面一般力系.ppt
A
2m
2F2 cos60 2F3 3F4 sin30 0.5
（2）、求合成结果：合成为一个
合力R，R的大小、方向与R’相同。 其作用线与O点的垂直距离为：
F1
O
3m
y A
d Mo 0.51m R
Lo O d
R/ R
B
F3
F4 C 30° x
B
C
x
例题 4-2 P 75 (N) Q 100 (N) S 80 (N) M 50 (N m) 求：该力系的最后的合成结果。
§4–3 平面一般力系的平衡
平面任意力系平衡的充要条件： 力系的主矢等于零 ，又力系对任一点的主矩也等于零。
平衡方程：
Fx 0 , Fy 0 , mo F 0
平衡方程其他形式：
Fx 0 , mAF 0 , mB F 0
A、B 的连线不和x 轴相垂直。
mAF 0 , mB F 0 , mC F 0
A、B、C 三点不共线。
§4–3 平面一般力系的平衡
例题 4-3 伸臂式起重机如图所示，匀质伸臂AB 重P=2200N， 吊车D、E 连同吊起重物各重QD=QE=4000N。有关尺寸为：l = 4.3m，a = 1.5m，b = 0.9m，c = 0.15m, α=25°。试求铰链 A 对臂AB 的水平和垂直反力，以及拉索BF 的拉力。
4、 R=0，而M=0，原力系平衡。
综上所述，可见：
⑴、平面一般力系若不平衡，则当主矢主矩均不为零时， 则该力系可以合成为一个力。
⑵、平面一般力系若不平衡，则当主矢为零而主矩不为零 时，则该力系可以合成为一个力偶。
§4–2 平面任意力系简化结果
合力矩定理 平面任意力系的合力对作用面内任一点的矩，等于
平面一般力系
A
l 2
求解结果相同：
a
y
FAx
FAy
A
P
B
Q
l
FT
l FT P Qa l sin 13.2kN 2
x
B
FAx T cos 11.43kN
FAy 2.1kN
P
Q
§4-4 平面一般力系的平衡条件与平衡方程
F 0 F 0 M F 0
l 2
F
y
0
M
A
l F 0 FT sin l P Qa 0 （3）
a
l
FAx
P
B
Q
2
3）解平衡方程 由（3）式
l FT P Qa l sin 13.2kN 2
y Ay F
A
FT
由（1）和（2）式得 FAx T cos 11.43kN
主矢
主矢与简化中心无关，而主矩一般与简化中心有关。
§4-2 平面一般力系向作用面内一点简化 主矢与主矩
三、主矢的计算
主矢的计算方法与汇交力系的计算方法相同。 主矢的计算：几何法，解析法。 解析法：
FRx Fix Fix FRy Fiy Fiy
x B P Q
FAy 2.1kN
M
B
4）其他形式平衡方程的求解 FAx FT cos 0 Fx 0 l M A F 0 FT sin l P 2 Qa 0
C
l Q l a P FAy l 0 F 0 2
工程力学—第四章平面一般力系
有什么特点？
各力的作用线
不汇交于一点
平面一般力系——各力的作用线都在同一平面内，但既不汇交
于一点，也不平行。
······
｛F1，F2 ，···Fn｝
平面汇交力系和平面力偶系是平面一
般力系的特例。平面一般力系是工程中最
常见的力系。
§4-1 力线平移定理
作用在刚体上的力F，可以平移到同一刚体上的任一点O，但必须同
例如，道路给轮子的力等。
FN
几种分布荷载：
体分布荷载：荷载（力）分布在整个构件内部各
点上。例如，构件的自重等。
面分布荷载：分布在构件表面上。例如，风
压力、雪压力等。
线分布荷载：荷载分布在狭长范围内，如沿构件
的轴线分布。
1、荷载的单位
(1) 集中荷载的单位，即力的单位 (N，kN)。
分布荷载的大小用集度表示，指密集程度。
合力偶，其力偶矩MO ，作用于刚体平面。
所得平面汇交力系（F1’ , F2’ , ··· Fn’ ）可以合成为一个作用于O点的合矢量F’：
F’=∑Fi’ =∑Fi
合矢量F’称为原平面一般力系对简化中心O的主矢（如图c）。
所得的平面附加力偶系（M1 , M2 , ·
·
·Mn）可以合成为一个的力偶,其力偶矩MO
a
例4-1 题图
m
(
a
b
)
50
(
3
1
.
5
)
1
例题 4-1 m
37
.
5
t
3
c
6
(2) 满载时, m2=25 t , x < a, 由(a) 式得
第四章平面一般(任意)力系
例1:图示连续梁,求A、B、C三处的约束反力。 q M 再研究AB：（或整体ABC） B l l C M
A
A
B
XA-XB=0 YA-YB=0
解：先以BC为研究对象，做受力图 q B C 列平衡方程
y x q2 B
q1 解：研究AB，受力如图：X 建坐标如图
A
A
YA
NB X 0 XA=0 q1l q2l =0 Y 0 YA+ NB 2 1 2 l m 0 o N B 2l q1l l q2l (l ) 0 A
2
3
2
下面讨论分布载荷合力Q的大小： c
Q
qx q1
O
x
x l dx
Q q x dx
q1 qx x l
l
q1l = 分布载荷的面积 2
0
q1 xdx l
分布载荷合力Q的作用位置：
Qc q x dx x
q1l 而Q 2
l
0
1 q1 2 2 q l x dx 1 3 l
mA 0 或 mB 0
o AB ∥ Fi
x
注意：不论采用哪种形式的平衡方程，其独立的 平衡方程的个数只有两个，对一个物体来讲,只能 解两个未知量,不得多列！
§6.静定与超静定问题, 物系的平衡 静定问题: 未知数全部能够由平衡方程来求得的问题 静不定问题: 未知数的个数多于(独立的)平衡方程的个数, 不能够由 平衡方程来求得全部的未知数的问题,也称之为超静定 问题. 超静定次数 = 未知量的总数－平衡方程的个数 例:
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第4章平面一般力系1、图示平面机构,正方形平板与直角弯杆ABC在C处铰接。
平板在板面内受矩为M=8N·m得力偶作用,若不计平板与弯杆得重量,则当系统平衡时,直角弯杆对板得约束反力大小为( C )。
A、2NB、4NC、2ND、4N2、悬臂梁承受均匀分布载荷,支座A处得反力有四种结果,正确得就是( B )。
A、R A=ql, M A=0B、R A=ql, M A=q l2C、R A=ql, M A=q l2D、R A=ql, M A=q l23、图示平面结构,由两根自重不计得直角弯杆组成,C为铰链。
不计各接触处摩擦,若在D处作用有水平向左得主动力,则支座A对系统得约束反力为( C )。
A、F,方向水平向右B、,方向铅垂向上C、F,方向由A点指向C点D、F,方向由A点背离C点4、图示平面直角弯杆ABC,AB=3m,BC=4m,受两个力偶作用,其力偶矩分别为M1=300N·m、M2=600N·m,转向如图所示。
若不计杆重及各接触处摩擦,则A、C支座得约束反力得大小为( D )。
A、F A=300N,F C=100NB、F A=300N,F C=300NC、F A=100N,F C=300ND、F A=100N,F C=100N5、力系向某点平移得结果,可以得到( D )。
A、一个主矢量B、一个主矩C、一个合力D、一个主矢量与一个主矩6、平面一般力系向一点O简化结果,得到一个主矢量R′与一个主矩m0,下列四种情况,属于平衡得应就是( B )。
A、R′≠0 m0=0B、R′=0 m0=0C、R′≠0 m0≠0D、R′=0 m0≠07、以下有关刚体得四种说法,正确得就是( D )。
A、处于平衡得物体都可视为刚体B、变形小得物体都可视为刚体C、自由飞行得物体都可视为刚体D、在外力作用下,大小与形状瞧作不变得物体就是刚体8、力得作用线都相互平行得平面力系称(D )力系。
A、空间平行 B:空间一般C:平面一般 D:平面平行9、力得作用线既不汇交于一点,又不相互平行得力系称(B )力系。
A:空间汇交 B:空间一般 C:平面汇交 D:平面一般10、平面力偶系合成得结果就是一个(B )。
A:合力 B:合力偶 C:主矩 D:主矢与主矩11、平面汇交力系合成得结果就是一个(A )。
A:合力 B:合力偶 C:主矩 D:主矢与主矩12、平面平行力系合成得结果就是(D )。
A:合力 B:合力偶 C:主矩 D:主矢与主矩13、图示力F=2KN对Ａ点之矩为(A )kN·m。
A:2 B:4 C:－2 D:－414、只限物体任何方向移动,不限制物体转动得支座称( B )支座。
Ａ:固定铰Ｂ:可动铰Ｃ:固定端Ｄ:光滑面15、力得作用线都相互平行得力系称( C )力系。
Ａ:空间平行Ｂ:空间一般Ｃ:平行力系Ｄ:平面平行16、作用与反作用就是作用在( B )个物体上得一对等值、反向、共线得力。
Ａ:一Ｂ:二Ｃ:三Ｄ:四、17、平面一般力系得二力矩式平衡方程得附加使用条件就是( B )。
Ａ:二个矩心连线与投影轴垂直Ｂ:二个矩心连线与投影轴不垂直Ｃ:投影轴通边一个矩心Ｄ:二个矩心连线与投影轴无关18、平面一般力系得三力矩式平衡方程得附加使用条件就是( D )。
Ａ:二个矩心连线与投影轴垂直Ｂ:二个矩心连线与投影轴不垂直Ｃ:投影轴通边一个矩心Ｄ:三个矩心不共线19、合力与分力之间得关系,不正确得说法为( A )。
Ａ:合力一定比分力大Ｂ:两个分力夹角越小合力越大Ｃ:合力不一定比分力大Ｄ:两个分力夹角(锐角范围内)越大合力越小20、一个静定得平面物体系它由三个单个物体组合而成,则该物体系能列出( A )个独立平衡方程。
Ａ:3 Ｂ:6 Ｃ:9 Ｄ:1221、一个静定得平面物体系它由四个单个物体组合而成,则该物体系能列出( A )个独立平衡方程。
Ａ:3 Ｂ:6 Ｃ:9 Ｄ:1222、一个静定得平面物体系它由五个单个物体组合而成,则该物体系能列出( A )个独立平衡方程。
Ａ:3 Ｂ:6 Ｃ:9 Ｄ:1223、一个静定得平面物体系它由六个单个物体组合而成,则该物体系能列出( A )个独立平衡方程。
Ａ:3 Ｂ:6 Ｃ:9 Ｄ:1224、平面汇交力系平衡得几何条件就是( D )A、B、C、 D 、力多边形自行闭合25、平面汇交力系平衡得解析条件就是( A )A、B、C、 D 、力多边形自行闭合26.平面一般力系得平衡方程数为( C )A.1个; B、2个; C、3个; D、427.图示ABC杆,固定端A得反力就是(D )A、XA=P, YA=0B、YA=P, mA=PaC、XA=P, YA=0D、XA=P, YA=0,mA=Pa28.图示三铰拱架中,若将作用于构件AC上得力偶M平移至构件BC上,则A、B、C三处得约束反力( D )A、只有C处得不改变B、只有C处得改变C、都不变D、都改变29.某简支梁AB受载荷如图所示,现分别用RA、RB表示支座A、B处得约束反力,则它们得关系为(C )。
A、RA<RBB、RA>RBC、RA=RBD、无法比较30、如右图A支座处弯矩值为(D )A、－4KN·mB、－8KN·mC、－10KN·mD、－12KN·m31、求静力平衡问题时最首先得关键一步就是( A )A、正确画出支座反力B、选好坐标系C、正确画出受力图D、列出平衡方程式32、平衡状态就是指物体相对于地球保持静止或(B )A、转动B、匀速直线运动C、匀变速直线运动D、匀加速直线运动33、在同一坐标轴上投影相等得两个力( C )A、一定相等B、一定不相等C、可能相等可能不相等D、无法判断34、两物体间得作用与反作用力总就是(C )A、大小相等,方向相反B、大小相等,方向相反,作用在同一物体上C、大小相等,方向相反,沿同一直线分别作用在两个物体上D、大小相等,方向相同,沿同一直线分别作用在两个物体上35、构件与支撑物固定在一起,构件在固定端既不能沿任何方向移动,也不能转动,这种支座称为 (B )A.固定铰支座B.固定端支座C.可动铰支座D.二力杆36、平面一般力系向作用面内任一点简化得结果就是 ( A)A.一个力与力偶B.一个合力C.力偶D.力矩37、“力系中所有各力在两个坐标轴上得投影得代数与分别为零”就是平面汇交力系平衡得 (D )A.充分条件B.必要条件C.充分必要条件D.无关系38、平面一般力系得三力矩式平衡方程得附加使用条件就是( D )。
Ａ:二个矩心连线与投影轴垂直Ｂ:二个矩心连线与投影轴不垂直Ｃ:投影轴通边一个矩心Ｄ:三个矩心不共线39、合力与分力之间得关系,不正确得说法为( A )。
Ａ:合力一定比分力大Ｂ:两个分力夹角越小合力越大Ｃ:合力不一定比分力大Ｄ:两个分力夹角(锐角范围内)越大合力越小40、平面汇交力系平衡得解析条件就是( A )A、B、C、 D 、力多边形自行闭合41.平面一般力系得平衡方程数为(C )A.1个; B、2个; C、3个; D、4个。
42、平面一般力系合成得结果就是(C )。
A:合力 B:合力偶 C:主矩 D:主矢与主矩二、填空题1、平面一般力系向平面内任意点简化结果有四种情况,分别就是________________________ 、____________________________ 、____________________________、____________________________。
【答案】主矢与主矩都不为零、主矢为零主矩不为零、主矢不为零主矩为零、主矢与主矩都为零2、平面一般力系得三力矩式平衡方程得附加条件就是________________________。
【答案】A、B、C三点不共线3、物体受到得力一般可分为与两类。
【答案】外力与内力4、图示梁固定端A得支座反力为________、________、________。
【答案】0、-p、2pa5、力得平移定理与力得可传性原理只适用于。
【答案】刚体6、力得平移定理只适用于。
【答案】刚体7、力得可传性原理只适用于。
【答案】刚体8、力就是物体间得一种相互作用,这种相互作用得效果使物体得发生变化,或使物体产生___________。
【答案】机械、运动状态、形变9、加上或去掉任何一个平衡力系,并不改变原力系对刚体得作用效果,这个公理叫做___________。
【答案】加减平衡力系公理10、作用于刚体上得力可沿其作用线移动到刚体内任意一点,而不会改变___________得作用,这个原理称为___________。
【答案】该力对刚体得作用效应、力得可传递性原理11、在三力矩式方程中,要求三矩心___________。
【答案】不共线12、平面一般力系向平面内任一点简化得结果就是: 、平面一般力系平衡得解析条件就是: 。
【答案】一个力与一个力偶、主失与主矩都等于零13、合力在坐标轴上得投影,等于各分力在同一坐标轴上投影得代数与。
这就就是。
【答案】合力投影定理14、如图所示外伸梁,求B点得约束反15、悬臂梁承受均匀分布载荷,支座A处得反力为【答案】R A=ql, M A=q l2三、计算题1、支座受力Ｆ,已知Ｆ＝１０ｋＮ,方向如图所示,求力Ｆ沿ｘ、ｙ轴及沿ｘ′、ｙ′轴分解得结果,并求力Ｆ在各轴上得投影。
解:(1)求力Ｆ沿ｘ、ｙ轴分解得结果力三角形为直角三角形。
(2)求力Ｆ沿ｘ′、ｙ′轴分解得结果力三角形为等腰三角形。
(3)力Ｆ在各轴上得投影2、已知F1＝１００Ｎ, F2＝５０Ｎ, F3＝６０Ｎ,F4＝８０Ｎ,各力方向如图所示,试分别求各力在ｘ轴与ｙ轴上得投影。
解:3、一钢结构节点,在沿OA、OB、OC得方向受到三个力得作用,已知F1＝1KN,F2＝1、41KN,F3＝2KN,试求这三个力得合力。
[解]用解析法求解。
显然,合力大小等于1kN,方向水平向右4、试求图示两外伸梁得约束反力F R A、F R B,其中(a)M = 60kN·m,F P = 20 kN;(b)F P = 10 kN,F P1 = 20 kN,q = 20kN/m,d = 0、8m。
解:,F Ax = 0,F RB = 40 kN(↑),kN(↓)5、由横杆AB与斜杆EC构成得支架,在横杆上D处作用一个集中力P,不计各杆得自重。
试画出斜杆EC、横梁AB及整个支架体系得受力。
解:对EC杆对AB杆6、求图示梁ABD得支反力。
XA=0 УA=32KN(↑) RB=74KN(↑) RD=16KN(↑) 7、求图示梁得支反力。
XA =10KN YA =14KN(↑) mA=14KN、m()8、求图示刚架得支座反力。
XA =10 KN(←) YA=40KN(↑) mA=90KN、m()9、求图示刚架得支反力。