空间直角坐标系向量的坐标表示
空间向量的正交分解及其坐标表示(上课用)
注意： 1.空间向量的基底可以为零向量吗？
基向量不能为零向量
2.空间向量的基底唯一吗？
任意三个不共面的向量都可作为空间向量的一个基底。
三、平面向量的坐标表示
y
正交单a位 xi +y j
基底
yj
a 我们把(x,y)叫做向量 a 的
j
(直角)坐标，记作
O
x
i xi
a (x, y)
其中，x叫做 a 在x轴上的坐标， y叫做 a在y轴上的坐标， (x,y)叫做向量的坐标表示.
记作.P=(x,y,z)
e3
e1
O e2
y
x
三、空间向量的正交分解及其坐标表示
由空间向量基本定理，对
z
于空间任一向量 p 存在唯
一的 有序实数组 (x,y, z)使 p xi yj zk
记作 p =(x,y,z)
PP k
i Oj
y
空间向量 p
i, j, k 为基底
P′
一一对应
x 有序实数组 (x, y, z)
1 2 OA MN
23
O M
1
OA
2
ON
OM
2 3
A
Q
P
C
1
OA
2
ON
1
OA
2 3 2
1
OA
2
1
OB
OC
6 3 2
N B
1
OA
1
OB
1
OC
633
例题：
已知空间四边形OABC，其对角线为OB，AC，M，N，分
别是对边OA，BC的中点，点P，Q是线段MN三等分点，用基向
量OA，OB，OC表示向量OP,OQ.
空间向量的坐标表示与计算
空间向量的坐标表示与计算空间向量是三维空间中的一个重要概念，可以用来表示空间中的一个点或者空间中的两个点之间的位移向量。
为了方便计算和表示，我们可以使用坐标表示来描述和计算空间向量。
一、空间向量的坐标表示在三维坐标系中，可以使用三个坐标轴（通常是x轴、y轴、z轴）来表示一个空间向量的坐标。
这三个坐标轴是相互垂直的，构成一个直角坐标系。
对于一个空间向量v，可以使用v的起点在坐标原点的坐标表示来表示该向量。
假设v的坐标表示为(x, y, z)，其中x、y、z分别表示v在x轴、y轴、z轴上的坐标值。
例如，对于一个空间向量v，如果它的起点在坐标原点，终点的坐标分别为(3, 4, 5)，那么可以表示为v = (3, 4, 5)。
二、空间向量的计算1. 向量的加法空间向量的加法是指将两个向量相加得到一个新的向量。
假设有两个向量a和b，它们的坐标表示分别为(a1, a2, a3)和(b1, b2, b3)。
那么它们的和向量c的坐标表示为(c1, c2, c3)，其中c1 = a1 + b1，c2 = a2 + b2，c3 = a3 + b3。
+ b的坐标表示为(c1, c2, c3) = (1 + 4, 2 + 5, 3 + 6) = (5, 7, 9)。
2. 向量的减法空间向量的减法是指将一个向量减去另一个向量得到一个新的向量。
假设有两个向量a和b，它们的坐标表示分别为(a1, a2, a3)和(b1, b2, b3)。
那么它们的差向量c的坐标表示为(c1, c2, c3)，其中c1 = a1 - b1，c2 =a2 - b2，c3 = a3 - b3。
例如，对于向量a = (1, 2, 3)和向量b = (4, 5, 6)，它们的差向量c = a - b的坐标表示为(c1, c2, c3) = (1 - 4, 2 - 5, 3 - 6) = (-3, -3, -3)。
3. 向量的数量积空间向量的数量积是指将两个向量相乘得到一个标量（即一个数）。
空间向量的坐标表示与数量积
空间向量的坐标表示与数量积空间向量是指具有大小和方向的量，可以用坐标表示。
在三维空间中，一个向量可以由其在坐标系中的坐标表示。
坐标表示的形式可以是直角坐标、柱坐标或球坐标等，而本文将主要讨论向量的直角坐标表示以及与数量积的关系。
一、直角坐标表示直角坐标系是三维空间中最常用的坐标系。
一个向量在直角坐标系中的坐标表示为(x, y, z)，其中x、y、z分别表示向量在X轴、Y轴和Z轴上的投影长度。
向量的坐标表示使我们能够方便地进行向量运算，比如向量的加减、数量积等。
下面以一个具体的向量为例进行说明。
假设有向量A，它的起始点在原点O(0, 0, 0)，终点在点P(x, y, z)。
根据直角坐标系的定义，我们可以得到向量A的坐标表示为A(x, y, z)。
这表示向量A在X轴上的投影长度为x，在Y轴上的投影长度为y，在Z轴上的投影长度为z。
二、数量积的计算数量积是一种向量运算，它可以衡量两个向量之间的相似程度。
数量积的计算公式为：A·B = |A||B|cosθ其中，A·B表示向量A和向量B的数量积，|A|和|B|分别表示向量A和向量B的长度，θ表示向量A与向量B之间的夹角。
具体地，我们可以通过向量的坐标来计算数量积。
设向量A的坐标表示为A(x1, y1, z1)，向量B的坐标表示为B(x2,y2, z2)。
根据数量积的计算公式，我们可以得到：A·B = x1x2 + y1y2 + z1z2三、应用举例假设有向量A(1, 2, 3)和向量B(4, 5, 6)，我们可以通过坐标表示计算它们的数量积。
首先，根据数量积的计算公式，我们可以得到：A·B = (1)(4) + (2)(5) + (3)(6)= 4 + 10 + 18= 32因此，向量A和向量B的数量积为32。
数量积的计算结果可以告诉我们这两个向量之间的相似程度。
如果数量积为正数，表示两个向量之间的夹角为锐角；如果数量积为负数，表示两个向量之间的夹角为钝角；如果数量积为零，表示两个向量垂直。
3.1.4 空间向量的坐标表示
与x轴、y轴、z轴方向相同的单位向量 i， rj， k
作为基向量，对于空间任意一个向量 a ，
根据空间向量基本定理，存在惟一的有序实数组
rrr r
（x,y,z ），使 a＝ xi＋ yj＋ zk. r 有序实数组（x,y,z ）叫做向量 r a 在空间直角
坐标系O-xyz中的坐标，记 作 ： a ＝ (x ， y ， z) u u u r u u u r
对于空间任意一点A（x，y，z ），向 量 O A 坐 标 为 O A ＝ ( x ， y ， z ) ．
3．空间向量的坐标运算法则．
r
r
（1r ）若ra ＝ ( a 1 ， a 2 ， a 3 ) ， b ＝ ( b 1 ， b 2 ， b 3 ) ，
则 a ＋ b ＝ ( a 1 ＋ b 1 ， a 2 ＋ b 2 ， a 3 ＋ b 3 ) ，
rr 解： a＋b＝(4， 7， 4) ，
rr a－b＝(－2， －13， 12) ，
r 3a＝(3， －9， 24)
例2 已知空间四点A(－2，3，1)，B(2，－5，3)，C(10，0， 10)和D(8，4，9)，求证：四边形ABCD是梯形．
uuur uuur uuur
解： AB＝OB－ OA＝(4， －8， 2) ，
rr a － b ＝ ( a 1 － b 1 ， a 2 － b 2 ， a 3 － b 3 ) ，
r a ＝ (a 1 ， a 2 ， a 3 ) (∈ R ) ，
r r
a b a 1 ＝ b 1 ， a 2 ＝ b 2 ， a 3 ＝ b 3 ( ∈ R ) ，
数学应用
已知 a r ＝ ( 1 ， － 3 ， 8 ) ， b r ＝ ( 3 ， 1 0 ， － 4 ) ， 求 a r＋ b r， a r＋ b r， 3 a r．
空间向量的坐标表示与几何应用
空间向量的坐标表示与几何应用在三维空间中，空间向量是研究物体运动和位置的重要工具。
为了准确地描述和计算空间向量，我们需要用坐标来表示它们。
本文将详细介绍空间向量的坐标表示方法，并探讨其在几何应用中的重要性。
一、坐标表示方法1. 直角坐标系直角坐标系是最常用的表示空间向量的方法。
在直角坐标系中，我们以三个相互垂直的坐标轴为基准，分别表示x、y、z三个方向。
一个空间向量可以通过三个坐标值(x,y,z)来表示，分别表示它在x轴、y 轴和z轴上的投影长度。
例如，对于一个空间向量v，在直角坐标系中，我们可以表示为v=(x,y,z)。
2. 球坐标系球坐标系是另一种表示空间向量的方法，它是通过一个原点、一个偏离原点的距离、一个与z轴的夹角和一个与x轴的投影角来确定一个空间向量的位置。
在球坐标系中，一个空间向量的坐标通常表示为(r,θ,φ)，其中r表示向量到原点的距离，θ表示向量与z轴的夹角，φ表示向量在x-y平面上的投影与x轴的夹角。
二、坐标表示的几何应用1. 向量的加法与减法通过坐标表示，我们可以方便地对空间向量进行加法与减法运算。
只需将对应坐标相加或相减即可得到结果。
例如，对于向量v=(x1,y1,z1)和向量w=(x2,y2,z2)，它们的和可以表示为v+w=(x1+x2,y1+y2,z1+z2)。
2. 向量的数量积与夹角坐标表示还可以用于计算向量的数量积和夹角。
向量的数量积可以通过坐标之间的乘积运算得到。
例如，对于向量v=(x1,y1,z1)和向量w=(x2,y2,z2)，它们的数量积可以表示为v·w=x1x2+y1y2+z1z2。
夹角可以通过向量的数量积公式求解：cosθ = (v·w) / (|v| |w|)其中，|v|和|w|分别表示向量v和w的模长。
3. 点与直线的相对位置通过点和直线的坐标表示，我们可以判断一个点与直线的相对位置关系。
以直线的方程和点的坐标为基础，我们可以计算点到直线的距离，从而判断点在直线上方、下方还是与直线相交。
空间向量的坐标和运算
空间向量的坐标和运算一、空间向量的坐标和运算1.空间直角坐标系在单位正方体$oabc$-$d$′$a$′$b$′$c$′中，以$o$点为原点，分别以射线$oa$，$oc$，$od$′的方向为正方向，以线段$oa$，$oc$，$od$′的长为单位长，建立三条数轴：$x$轴、$y$轴、$z$轴。
这时我们说建立了一个空间直角坐标系$oxyz$，其中点$o$叫做坐标原点，$x$轴、$y$轴、$z$轴叫做坐标轴。
通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为$xoy$平面、$yoz$平面、$xoz$平面。
2.空间矢量的坐标一个向量在空间直角坐标系中的坐标等于表示向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标。
如果$a（x_1，y_1，z_1）$，$B（x_2，y_2，z_2）$，那么$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{ob}-\overrightarrow{OA}$=$（x_2-x_1$，$y_2-y_1$，$z_2-z_1）$。
3、空间向量的坐标运算设置$\boldsymbol（x_1，y_1，z_1）$，$\boldsymbol B（x_2，y_2，z_2）$，然后（1）$\boldsymbola+\boldsymbolb$=$(x_1+x_2,y_1+y_2,z_1+z_2)$。
（2） $\boldsymbola-\boldsymbolb$=$（x_1-x_2，y_1-y_2，z_1-z_2）$（3）$\boldsymbola·\boldsymbolb$=$x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2$。
（4） $|\boldsymbola |=\sqrt{x^2_1+y^2_1+z^2_1}$（5）$λ\boldsymbola=（λx_1,λy_1,λz_1）$。
4.平行（共线）和垂直空间向量的充要条件设非零向量$\boldsymbola(x_1,y_1,z_1)$，$\boldsymbolb(x_2,y_2,z_2)$，则$\boldsymbola∥\boldsymbolb\leftrightarrow\frac{x_1}{x_2}=\frac{y_1}{y_2}=\frac{z_1}{z_2}=λ（λ∈\mathbf{r}）$$\boldsymbola⊥\boldsymbolb\leftrightarrow\boldsymbola·\boldsymbolb=0\leftrig htarrow$$x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2=0$。
课件2：1.1.3 空间向量的坐标与空间直角坐标系
cos〈a，b〉＝
a1b1＋a2b2＋a3b3 a21＋a22＋a23 b21＋b22＋b23
知识点四 空间直角坐标系
1．空间直角坐标系
以空间中两两__垂__直____且相交于一点 O 的三条直线分别
定义
为 x 轴、y 轴、z 轴，这时就说建立了空间直角坐标系 Oxyz，其中点 O 叫做坐标__原__点____，x 轴、y 轴、z 轴叫
【基础自测】
1．已知向量 a＝(－3,2,5)，b＝(1，x，－1)，且 a·b＝2，
则 x 的值为( )
A．3
B．4
C．5
D．6
解析：∵a·b＝－3×1＋2x＋5×(－1)＝2，∴x＝5. 答案：C
2．已知向量 a＝(3，－2,1)，b＝(－2,4,0)，则 4a＋2b 等于( )
A．(16,0,4)
方法归纳 解决空间向量垂直、平行问题的思路 1．若有关向量已知时，通常需要设出向量的坐标，例如， 设向量 a＝(x，y，z)． 2．在有关平行的问题中，通常需要引入参数，例如，已 知 a∥b，则引入参数 λ，有 a＝λb，再转化为方程组求解． 3．选择向量的坐标形式，可以达到简化运算的目的．
跟踪训练 3 (1)(变条件)若将本例(1)中“c∥B→C”改为 “c⊥a 且 c⊥b”，求 c.
做_坐__标__轴___．通过每两个坐标轴的平面叫做_坐__标__平__面_，
分别称为 xOy 平面、yOz 平面、___x_O_z___平面
画法
在平面上画空间直角坐标系 Oxyz 时，一般使∠xOy＝ __1_3_5_°___，∠yOz＝90°
图示
说明
本书建立的坐标系都是___右__手___直角坐标系，即在空间 直角坐标系中，让右手拇指指向____x____轴的正方向， 食指指向____y____轴的正方向，中指指向____z____轴的 正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系
1.2空间直角坐标系-向量的坐标表示
例 8 设P 在x 轴上，它到P1(0, 2,3) 的距离为到 点 P2 (0,1,1)的距离的两倍，求点 P 的坐标.
解 因为P 在x 轴上，设P点坐标为 ( x,0,0),
PP1 x2 2 2 32 x2 11,
PP2 x2 12 12 x2 2,
B(0, y, z)
• M(x, y, z)
y
Q(0, y,0) A( x, y,0)
设空间两点A(x1, y1, z1), B(x2 , y2 , z2 ), 则点A与点B之间的距离| AB | 就是 向量AB (x2 x1, y2 y1, z2 z1)的模. 即:| AB || AB |
定点 o •
y 纵轴
横轴 x 空间直角坐标系
Ⅲ
yoz面
Ⅳ
xoy面
Ⅶ
x
Ⅷ
z zox 面
Ⅱ
o
yⅠ
Ⅵ Ⅴ
空间直角坐标系共有八个卦限
例4 在空间直角坐标系中，指出下列各
点在哪个卦限？
A(1,2,3), B(2,3,4), C(2,3,4), D(2,3,1) .
解答： A:Ⅳ; B:Ⅴ; C:Ⅷ; D:Ⅲ;
例 6 设 A( x1 , y1 , z1 )和B( x2 , y2 , z2 )为两已知 点，而在AB 直线上的点M 分有向线段AB 为
两部分AM 、MB，使它们的值的比等于某数
( 1)，即 AM ，求分点的坐标.
MB
解 设 M( x, y, z)为直线上的点， z
B
AM {x x1, y y1, z z1} A M
非零向量
a
的方向角： 、
、
z
a M1M2 (ax , ay , az )
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
空间任给两个点M1 ,M2的坐标,可 得空间向量M1M2的坐标形式.
例5 : M1(1,2,3), M2 (10,1,3)
则OM 1
i
2
j 3k
(1,2,3),
• M2
OM 2 10i j 3k (10,1,3) M1•
M1M
2
OM
2
OM1
(10i j 3k ) (i 2 j 3k )
1.向量的模:
设向量 (x, y, z),作OM z
R(0,0, z)
C( x,o, z)
o
x P( x,0,0) 由右图知:向量的模为
| | x2 y2 z2
B(0, y, z)
• M(x, y, z)
y
Q(0, y,0) A( x, y,0)
设空间两点A(x1, y1, z1), B(x2 , y2 , z2 ), 则点A与点B之间的距离| AB | 就是 向量AB (x2 x1, y2 y1, z2 z1)的模. 即:| AB || AB |
6
k,)
11 11 11
2. 空间两向量的夹角的概念：
定义2.1.15
设有两个非零向量
a
0,
b 0,
规定不超过 的 AOB(设 AOB,0 )
称为向量a与向量b 的夹角,记作
b
(a,
b)
(b,
a)
a
类似地，可定义向量与一轴或空间两轴的夹角.
特殊地，当两个向量中有一个零向量时，规定 它们的夹角可在0与 之间任意取值.
(x2 x1)2 ( y2 y1)2 (z2 z1)2
空间两点间距离公式
例 7 求证以M1(4,3,1)、M 2 (7,1,2)、M 3 (5,2,3)
三点为顶点的三角形是一个等腰三角形.
解 M1M2 2 (7 4)2 (1 3)2 (2 1)2 14, M2M3 2 (5 7)2 (2 1)2 (3 2)2 6, M3M1 2 (4 5)2 (3 2)2 (1 3)2 6,
x
x1 ( x2
x)
x
x1 x2 1
,
y
y1 ( y2
y)
y
y1 y2 , 1
z z1 (z2 z)
z z1 z2 , 1
M 为有向线段AB 的定比分点. M 为中点时，
x x1 x2 , y y1 y2 , z z1 z2 .
2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2
2
1.2.3 向量的模与方向余弦
点在哪个卦限？
A(1,2,3), B(2,3,4), C(2,3,4), D(2,3,1) .
解答： A:Ⅳ; B:Ⅴ; C:Ⅷ; D:Ⅲ;
空间的点 11 有序数组( x, y, z)
特殊点的表示: 坐标轴上的点 P, Q, R,
坐标面上的点 A, B, C, O(0,0,0)
注意 : 借助空间直角
z
坐标系可表示向量
R(0,0, z)
C( x,o, z)
o x P( x,0,0)
B(0, y, z)
• M(x, y, z)
y
Q(0, y,0) A( x, y,0)
如:
OP
xi ,
OQ PA yj,
OR zk
2.向量 的坐标分解式 任给向量 ，对应点M，使 OM
以OM为对角线，三条坐标轴为棱作长方体
三个坐标轴的正方向 符合右手系.
z 竖轴
即以右手握住z 轴，
当右手的四个手指
从正向x 轴以 角
2
度转向正向y 轴
时，大拇指的指向
就是z 轴的正向.
定点 o •
y 纵轴
横轴 x 空间直角坐标系
Ⅲ
yoz面
Ⅳ
xoy面
Ⅶ
x
Ⅷ
z zox 面
Ⅱ
o
yⅠ
Ⅵ Ⅴ
空间直角坐标系共有八个卦限
例4 在空间直角坐标系中，指出下列各
OPAQ——RCMB，
z
有：
R(0,0, z)
C( x,o, z)
OM OP PA AM
o
xi yj zk
x P( x,0,0)
B(0, y, z)
• M(x, y, z)
y
Q(0, y,0) A( x, y,0)
定义1.13
若向量r的坐标分解式为r
r xi
r yj
r zk ,
则称xir
,
r yj
,
r zk
为向量r
沿三个坐标轴方向的分向量,
三元有序数组(x, y, z)称为向量r的坐标,记作
r
(x,
y,
z ); 若r
uuuur OM , (x,
y,
z )也称为点M 的坐标,
记作M (x, y, z).
结论: 在给定的空间直角坐标系下,空间的向量 (或点)与三元有序数组之间有一一对应的关系.
两部分AM 、MB，使它们的值的比等于某数
( 1)，即 AM ，求分点的坐标.
MB
解 设 M( x, y, z)为直线上的点， z
B
AM {x x1, y y1, z z1} A M
o
y
MB {x2 x, y2 y, z2 z} x
由题意知： AM MB
{ x x1, y y1, z z1} { x2 x, y2 y, z2 z},
j
(az
b
{ax
bx
,
a
y
by ,
az
bz
}
bz
)k;
(ax bx )i (ay by ) j (az bz )k;
a
{a
x
, a
y
,
az }
(ax )i (ay ) j (az )k.
例 6 设 A( x1 , y1 , z1 )和B( x2 , y2 , z2 )为两已知 点，而在AB 直线上的点M 分有向线段AB 为
M2M3 M3M1 , 原结论成立.
例 8 设P 在x 轴上，它到P1(0, 2,3) 的距离为到 点 P2 (0,1,1)的距离的两倍，求点 P 的坐标.
解 因为P 在x 轴上，设P点坐标为 ( x,0,0),
PP1 x2 2 2 32 x2 11,
PP2 x2 12 12 x2 2,
11i 3 j 6k (11,3,6)
说明 : 借助向量的坐标分解式 ,可用代数的方法讨论
向量的运算
1.2.2 利用坐标作向量的线性运算
则
a设ab{a{xa,
x
ay
, az
bx,
},
a
y
b {bx , by , by , az bz }
bz
},
a
(ax
bx )i
(a y
by )
PP1 2 PP2 , x2 11 2 x2 2
x 1, 所求点为 (1,0,0), (1,0,0).
例9
求平行于向量a
6i
7
j
6k 的单位向
量的分解式.
解 所求向量有两个，一个与 a同向，一个反向
| a| 62 72 (6)2 11,
a0
|
a a|
( 6
i
7
j