龙贝格积分
龙贝格求 积分
龙贝格(Romberg ）求积法1.算法理论Romberg 求积方法是以复化梯形公式为基础，应用Richardson 外推法导出的数值求积方法。
由复化梯形公式 )]()(2)([2222b f h a f a f h T +++=可以化为)]()]()([2[212112h a f h b f a f hT +++=＝)]([21211h a f h T ++一般地，把区间［a,b ］逐次分半k －1次，（k ＝1，2,……,n)区间长度（步长)为kk m a b h -=，其中mk ＝2k －1。
记k T ＝)1(k T由)1(k T ＝]))12(([21211)1(1∑=---++km j k k k h j a f h T 从而⎰badxx f )(＝)1(kT－)(''122k f h a b ξ- (1)按Richardson 外推思想，可将（1）看成关于k h ，误差为)(2k h O 的一个近似公式，因而，复化梯形公式的误差公式为⎰badxx f )(－)1(k T ＝......4221++kkh K h K ＝∑∞=12i i k i h K （2）取1+k h ＝k h 21有 ⎰ba dx x f )(－)1(1+k T ＝∑∞=+121221i ik ii hK （3）误差为)(2jh O 的误差公式 )(j kT＝)1(-j kT＋141)1(1)1(------j j k j k T T2。
误差及收敛性分析（1）误差，对复化梯形公式误差估计时，是估计出每个子区间上的误差,然后将n 个子区间上的误差相加作为整个积分区间上的误差。
(2）收敛性,记h x i =∆，由于∑=++=ni i i n x f x f h f T 01))]()([2)(＝))()((21101∑∑-==∆+∆n i ni i i i i x x f x x f上面两个累加式都是积分和，由于)(x f 在区间],[b a 上可积可知，只要],[b a 的分划的最大子区间的长度0→λ时,也即∞→n 时,它们的极限都等于积分值)(f I 。
梯形法的递推化和龙贝格算法
梯形法的递推化和龙贝格算法
梯形法（Trapezoid Rule）是一种数值积分的方法，用于计算函数在给定区间上的定积分。
梯形法的递推化可以通过将区间等分为若干个小梯形来实现。
具体步骤如下：
1. 将给定区间[a, b]分成n个等距的子区间，每个子区间的宽度为h = (b - a) / n。
2. 计算每个子区间的矩形面积（等于底边长度乘以高度），然后将所有子区间的矩形面积相加，得到梯形法的近似积分值。
梯形法的递推公式可以表示为：
I = h/2 * [f(a) + 2*f(a+h) + 2*f(a+2h) + ... + 2*f(a+(n-1)h) + f(b)] 其中，f(x)为要积分的函数。
龙贝格算法（Romberg Integration）是一种数值积分的方法，可以通过多次应用梯形法来逐步提高积分结果的精度。
龙贝格算法的具体步骤如下：
1. 利用梯形法计算区间[a, b]上的第一次近似积分值T(1,1)。
2. 利用递推公式T(m, 1) = 1/2 * [ T(m-1, 1) + h(m-1) *
Sigma(2^(m-2) * f(a + (2k-1) * h(m-1))), k=1 to 2^(m-2)]，计算T(m, 1)，其中h(m-1)为区间[a, b]的步长。
3. 计算T(m, n) = T(m, n-1) + 1 / (4^(n-1) - 1) * ( T(m, n-1) - T(m-1, n-1) )，其中n > 1，m > n。
4. 重复步骤3，直到达到所需的精度要求。
龙贝格算法通过递归和递推来不断提高积分结果的精度，可以较快地得到比较准确的近似积分值。
龙贝格算法
龙贝格积分1. 算法原理采用复化求积公式计算时，为使截断误差不超过ε，需要估计被积函数高阶导数的最大值，从而确定把积分区间[]b a ,分成等长子区间的个数n 。
首先在整个区间[]b a ,上应用梯形公式，算出积分近似值T1；然后将[]b a ,分半，对 应用复化梯形公式算出T2；再将每个小区间分半，一般地，每次总是在前一次的基础上再将小区间分半，然后利用递推公式进行计算，直至相邻两个值之差小于允许误差为止。
实际计算中，常用ε≤-n n T T 2作为判别计算终止的条件。
若满足，则取n T f I 2][≈；否则将区间再分半进行计算，知道满足精度要求为止。
又经过推导可知，∑=-++=ni i i n n x x f h T T 112)2(221，在实际计算中，取kn 2=，则k a b h 2-=，112)1*2(2++--+=+k i i ab i a x x 。
所以，上式可以写为∑=++--+-+=+kk i k k ab i a f a b T T 211122)2)12((2211k开始计算时，取())()(21b f a f ab T +-=龙贝格算法是由递推算法得来的。
由梯形公式得出辛普森公式得出柯特斯公式最后得到龙贝格公式。
根据梯形法的误差公式，积分值n T 的截断误差大致与2h 成正比，因此步长减半后误差将减至四分之一，即有21114n n T T -≈-将上式移项整理，知2211()3n n n T T T -≈-由此可见，只要二分前后两个积分值n T 和2n T 相当接近，就可以保证计算保证结果计算结果2n T 的误差很小，这种直接用计算结果来估计误差的方法称作误差的事后估计法。
按上式，积分值2n T 的误差大致等于21()3n n T T -，如果用这个误差值作为2n T 的一种补偿，可以期望，所得的()222141333n n n n n T T T T T T =+-=-应当是更好的结果。
龙贝格积分公式
龙贝格积分公式
龙贝格积分公式，是数学中常见的一种积分方法。
它通过分割区间，将被积函数转化为$Polynomial$（多项式）的形式，并通过加权平均的方式求出积分值。
这种方法被广泛应用于科学计算领域，如物理、化学等。
龙贝格积分公式是从重复使用$Simpson$和$Mid-point$公式推导而来的。
该公式基于分治思想，将整个区间分成若干个子区间，并对每个子区间进行逐层递推，最终得出整个区间的积分值。
在推导龙贝格积分公式时，需要利用“函数逼近”的思想，即将被积函数转化为多项式的形式。
这样可以大大简化计算，减小误差，并提高计算精度。
公式的具体计算过程如下：
假设被积函数为$f(x)$，积分区间为$[a,b]$，将积分区间均分成$2^n$个小区间，在每个小区间上做$Simpson$公式近似积分，得到$S_{2^n}$，即：
$$S_{2^n}=\frac{4^nS_{2^{n-1}}-S_{2^{n-1}}}{4^n-1}$$
其中，$S_{2^n}$为$n$级逼近值，$S_{2^{n-1}}$为$n-1$级逼近值。
根据上式，可得$S_{2^1}$，然后再计算$S_{2^2}$，$S_{2^3}$，以此类推，递归地计算$n$级逼近值，直到计算所得值与精确值的差别小于预先设定的精度要求为止。
龙贝格积分公式没有强制要求$f(x)$连续可微，又由于是基于函数逼近的方式进行积分，精度高且计算速度快，因此被广泛应用。
总之，龙贝格积分公式是一种有效的求解复杂积分问题的方法，在处理高维积分时，具有更大的优势。
4.4龙贝格求积公式
4 1 T1 ( k 1) T0 ( k ) T0 ( k 1) 3 3 16 1 T2 ( k 1) T1 ( k ) T1 ( k 1) 15 15 64 1 T3 ( k 1) T2 ( k ) T2 ( k 1) 63 63
k 1, 2 ,
1 h n1 Tn f ( x 1 ) j 2 2 j 0 2 1 b a n 1 1 Tn f (a ( j )h) 2 2n j 0 2 1 b a n 1 ba Tn f ( a ( 2 j 1) ) 2 2 n j 0 2n
Romberg算法的代 数精度为m的两倍 Romberg算法的收敛 阶高达m+1的两倍
T0 (0 ) T0 (1) T0 ( 2 ) T0 ( 3) T1 (0 ) T1 (1) T1 ( 2 ) T2 (0 ) T2 (1)
T3 (0 )
龙贝格积分
例：计算
I T2n 1 I Tn 4
令
--------(7)
即 当然
Cn C2 k 1 T2 (k 1) C 2 n T2 (k )
--------(8)
同样由复合Cotes公式的余项
I C2 n 1 (C2 n Cn ) 63
64 1 64 1 得 I C2 n Cn T2 ( k ) T2 ( k 1) 63 63 63 63
43 C 2n C n Rn 3 4 1
Romberg
T1 = T0( 0 )
T2 = T0( 1 )
<?
算法： T4 = T0( 2 )
T8 = T0
(3)
S1 = T1( 0 ) S2 = T1
龙贝格算法求数值积分程序说明及流程图
In(k,2)=4*In(k+1,1)/3-In(k,1)/3;
end
flag(2)=i+3;
for k=flag(3)+1:i+2
In(k,3)=16*In(k+1,2)/15-In(k,2)/15;
end
flag(3)=i+2;
for k=flag(4)+1:i+1
end
In(i+5,1)=In(i+5,1)/2^(i+5)+In(i+4,1)/2;
In(i+4,2)=4*In(i+5,1)/3-In(i+4,1)/3;
In(i+3,3)=16*In(i+4,2)/15-In(i+3,2)/15;
In(i+2,4)=64*In(i+3,3)/63-In(i+2,3)/63;
陆韶琦 3110000441
程序说明：本程序计算
数值积分值。
b sinx
a x
dx，程序初始要求输出需要得到的精度，最后输出得到
输入精度 eps，积分上下限 b,a
流程图：
定义函数 f(x)=
1
x=0;
sin(x)/x 其他。
计算 Ti(0<i<5)
T2^(i+1)=T2^i/2+
2j−1 b−a
2^i
j=1 f(
2 i +1
+ )
计算 Si（0<i<4）
Si=4Ti+1/3-Ti/3
计算 Ci(0<i<3)
龙贝格算法
龙贝格算法一、问题分析1、1龙贝格积分题目要求学生运用龙贝格算法解决实际问题（塑料雨篷曲线满足函数y（x)=l sin （tx），则给定雨篷得长度后，求所需要平板材料得长度）.二、方法原理2、１龙贝格积分原理龙贝格算法就是由递推算法得来得。
由梯形公式得出辛普生公式得出柯特斯公式最后得到龙贝格公式.在变步长得过程中探讨梯形法得计算规律.设将求积区间［ａ，b]分为ｎ个等分，则一共有n+1个等分点，n.这里用表示复化梯形法求得得积分值，其下标n 表示等分数。
先考察下一个字段[]，其中点,在该子段上二分前后两个积分值显然有下列关系将这一关系式关于k从０到n－１累加求与，即可导出下列递推公式需要强调指出得就是,上式中得代表二分前得步长，而梯形法得算法简单，但精度低,收敛速度缓慢,如何提高收敛速度以节省计算量，自然式人们极为关心得.根据梯形法得误差公式，积分值得截断误差大致与成正比，因此步长减半后误差将减至四分之一,既有将上式移项整理,知由此可见，只要二分前后两个积分值与相当接近，就可以保证计算保证结果计算结果得误差很小，这种直接用计算结果来估计误差得方法称作误差得事后估计法。
ﻩ按上式,积分值得误差大致等于，如果用这个误差值作为得一种补偿，可以期望,所得得应当就是更好得结果。
ﻩ按上式，组合得到得近似值直接验证，用梯形二分前后得两个积分值与按式组合，结果得到辛普生法得积分值。
再考察辛普生法。
其截断误差与成正比.因此,若将步长折半,则误差相应得减至十六分之一。
既有由此得不难验证,上式右端得值其实就等于,就就是说,用辛普生法二分前后得两个积分值与，在按上式再做线性组合,结果得到柯特斯法得积分值，既有重复同样得手续，依据斯科特法得误差公式可进一步导出龙贝格公式应当注意龙贝格公式已经不属于牛顿—柯特斯公式得范畴.在步长二分得过程中运用公式加工三次，就能将粗糙得积分值逐步加工成精度较高得龙贝格,或者说,将收敛缓慢得梯形值序列加工成熟练迅速得龙贝格值序列，这种加速方法称龙贝格算法。
龙贝格求积公式
Romberg积分公式正是由此思想产生 积分公式正是由此思想产生
类似于梯形加速公式的处理方法，得到： 类似于梯形加速公式的处理方法，得到： 加速公式的处理方法
2 1 4 S2 n − Sn I ≈ S2 n + 2 ( S2 n − Sn ) = 2 4 −1 4 −1 2 4 S2 n − Sn Simpson加速公式： C n = 加速公式 加速公式： 2 4 −1 3 1 4 C2n − Cn I ≈ C 2 n + 3 (C 2 n − C n ) = 3 4 −1 4 −1
求出f(1/4)
f(3/4) 进而求得
T4=1/2{T2+1/2[f(1/4)+f(3/4)]} =3.131176471 S2=1/3(4T4-T2)=3.141568628 C1=1/15(16S2-S1)=3.142117648 计算f(1/8) f(3/8) f(5/8) f(7/8)进而求得 T8=1/2{T4+1/4[f(1/8)+f(3/8)+f(5/8)+f(7/8)]} =3.138988495 S4=1/3(4T3-T4)=3.141592503 C2=1/15(16S4-S2)=3.141594095 R1=1/63(64C2-C1)=3.141585784
梯形值序列
4个积分值序列： 个积分值序列： 个积分值序列
T2k
S 2k =
C 2k =
4T2k +1 − T2k 4 −1 2 4 S2k +1 − S2k
4 −1
2
2k
2k 2k
R2k =
4 C 2k +1 − C 2k
3
4 −1
3
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在等距基点的情况下，用计算机计算积分值通常都采用把区间逐次分半的方法进行。这样，前一次分割得到的函数值在分半以后仍可被利用,且易于编程。
一．程序框图
二．源码
1.
f=inline('1/(x+1)');%输入函数
a=0;b=1;%取值边界
eps=10^(-7);
h=b-a;
R(1,1)=h*(f(a)+f(b))/2;
j=0;
err=1;
m=1;
while err>eps
j=j+1;
h=h/2;
S=0;
for i=1:m
x=a+h*(2*i-1);
a=0;b=pi/2;%取值边界
eps=10^(-7);
h=b-a;
R(1,1)=h*(2/pi)/2;
j=0;
err=1;
m=1;
while err>eps
j=j+1;
h=h/2;
S=0;
for i=1:m
x=a+h*(2*i-1);
S=S+f(x);
end
m=2*m;
R(j+1,1)=R(j,1)/2+h*S;
龙贝格方法是在积分区间逐次二分的过程中，通过对梯形之值进行加速处理，从而获得高精度的积分值。
准备初值 和 ，用梯形计算公式计算出积分近似值
按区间逐次分半计算梯形公式的积分近似值,令
，
计算
，
按下面的公式积分（为便于编程，写下列形式）
梯形公式：
辛普生公式：
龙贝格公式：
步骤4 精度控制
当 ，（ 为精度）时，终止计算，并取 为近似值
3.
f=inline('log(x+1)/x');%输入函数
a=0;b=1;%取值边界
eps=10^(-7);
h=b-a;
R(1,1)=h*(1+log(2))/2;
j=0;
err=1;
m=1;
while err>eps
j=j+1;
h=h/2;
S=0;
for i=1:m
x=a+h*(2*i-1);
S=S+f(x);
S=S+f(x);
end
m=2*m;
R(j+1,1)=R(j,1)/2+h*S;
for i=1:j
R(j+1,i+1)=R(j+1,i)+(R(j+1,i)-R(j,i))/(4^i-1);
end
err=abs(R(j+1,j)-R(j+1,j+1));
end
ans=vpa(R(j+1,j+1),7)
for i=1:j
R(j+1,i+1)=R(j+1,i)+(R(j+1,i)-R(j,i))/(4^i-1);
end
err=abs(R(j+1,j)-R(j+1,j+1));
end
ans=vpa(R(j+1,j+1),8)
三．结果
S=S+f(x);
end
m=2*m;
R(j+1,1)=R(j,1)/2+h*S;
for i=1:j
R(j+1,i+1)=R(j+1,i)+(R(j+1,i)-R(j,i))/(4^i-1);
end
err=abs(R(j+1,j)-R(j+1,j+1));
end
ans=vpa(R(j+1,j+1),7)
2.
f=inline('log(x+1)/(x^2+1)');%输入函数
a=0;b=1;%取值边界
eps=10^(-7);
h=b-a;
R(1,1)=h*(f(a)+f(b))/2;
j=0;
err=1;
m=1;
while err>eps
j=j+1;
h=h/2;
S=0;
for i=1:m
x=a+h*(2*i-1);
end
m=2*m;
R(j+1,1)=R(j,1)/2+h*S;
for i=1:j
R(j+1,i+1)=R(j+1,i)+(R(j+1,i)-R(j,i))/(4^i-1);
end
err=abs(R(j+1,j)-R(j+1,j+1));
end
ans=vpa(R(j+1,j+1),7)
4.
f=inline('sin(x)/x');%输入函数