第五章抽样与抽样分布

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F-分布 (F distribution)
• 设X~2(m), Y~2(n), 且X与Y相互独立，
则称
Xm
F
•
Yn
• 服从自由度m和n的F分布，记为
F ~ F(m, n)
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不同自由度的F分布
(1,10)
(5,10) (10,10)
右偏分布
F
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第四节 常用的抽样方法
通常有以下几种抽样方法： 简单随机抽样 分层抽样 系统抽样 整群抽样 多阶段抽样
仅适用于规模不大、内部各单位标志值差异 较小的总体
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二、分层抽样
先将总体按某一标志分层，然后从各 层中按随机原则抽取样本单位组成样本。
实质上是分组法与随机原则的结合。
例如，在居民生活水平调查中，先按职业 分类，然后每种职业分别随机抽取部分居 民进行调查。
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样本在各层间的分配方法：
n，
X i ~ N (n, n 2 ) 或X ~ N (, 2 n)
i 1
中心极限定理为均值的抽样推断奠定了理论 基础。不论总体服从何种分布，只要期 望和方差存在，对这一总体进行重复抽 样，当样本量充分大，样本均值就趋于 正态分布。
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棣莫佛—拉普拉斯中心极限定理
定理表明，当n很大，np和n(1-p) (n 是试验的次数，p是试验中事件A发生 的概率)也都不太小时，二项分布可以 用正态分布去近似。
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第三节 由正态分布导出的几个重要分布
由样本统计量对未知总体分布进行 推断，必须知道统计量所服从的分布。
本节介绍几个重要的常用统计量分布： 2分布，t分布， F分布。
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一、分位数
设X为随机变量，对给定的概率(1>>0)， 若实数F满足不等式
P{ X F }
则称F为随机变量X分布概率为的上侧分 位数。
t 分布
标准正态分布
t (df = 20) t (df = 10)
0
t 分布与标准正态分布的比较
z
t
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t分布的性质：
（1）与正态分布一样，是对称的，但比正 态分布要平一些。
（2）自由度充分大时，t分布近似于正态分 布。自由度趋向无穷大时，t分布就是标准正 态分布。
（3）t分布的均值为0，其方差为n/(n-2)。
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第五章 抽样与抽样分布
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第一节 统计量
统计量（statistic）：描述样本特征的概 括性数字度量,根据样本数据计算的一个 随机变量，是对总体分布特征推断的工 具。
设X1, X2, …Xn为总体X的样本，如果 样本的函数g(X1, X2, …Xn)是一个随机 变量，并且不包含任何未知参数，则 称g(X1, X2, …Xn)为统计量。
排序和所研究标志数值大小无关。 如调查居民生活水平时，按姓氏笔 划排队。
按有关标 排序和所研究标志数值大小有密切 志排队 关系。如居民收入调查，按银行存 款多少排序。
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根据样本抽选的方法不同，可分为：
随机起点系统抽样
······
（总体单位按某一标志排序）
半距起点系统抽样
······
（总体单位按某一标志排序）
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辛钦大数定理
设随机变量X1, X2, …Xn相互独立，服 从同一分布，且具有数学期望 EXi=(i=1,2，…n) 则对任意0，有
lim P n
1 n
n i 1
Xi
1
定律表明：只要随机变量独立同分布，即 使不存在有限方差，其数学期望仍可由n 个随机变量的算术平均值作为其近似值。
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几个常用的统计量：
1. 样本均值：
1n X n i1 X i
2. 样本方差：
S2
1 n1
n i 1
(Xi

X )2
3.样本标准差：
S
1
n1
n i 1
(Xi
X )2
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第二节 大数定律与中心极限定理
一、大数定律 大数定律（laws of large numbers）
也称大数法则，它是阐述大量同类随机现 象的平均结果稳定性的规律。
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一、简单随机抽样
对总体未作任何处理，按随机原则直接从总 体中抽出若干单位构成样本.
抽取样本的具体方法： 直接抽选法
抽签法:将总体中每个单位的编号写在外形完全 一致的签上，将其搅拌均匀，从中任意抽选， 签上的号码所对应的单位就是样本单位。
随机数表法:将总体中每个单位编上号码，然 后使用随机数表，查出所要抽取的调查单位。
4.可加性：若U和V为两个独立的2分布随机 变量，U~2(n1)，V~2(n2),
则U+V服从自由度为n1+n2的2分布
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t-分布 (t-distribution)
设X~N(0,1),Y~ 2(n), 且X与Y相互独立，
则称 t
X
Y /n
服从自由度为n的t分布，记为 t~t(n)
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体的样本 ，则随机变量
n
2
X
2 i
i 1
服从具有n个自由度的2分布，记为
~ 2(n)
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不同自由度的2-分布
n=1 n=4
n=10
2
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2-分布性质和特点
1. 变量值始终为正
2. 通常为不对称的右偏分布，随着自由度的 增大逐渐趋于对称
3.期望E(2)=n，方差D(2)=2n(n为自由度)
对称起点系统抽样
······
（总体单位按某一标志排序）
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系统抽样的好处： 1. 可以使抽样过程大大简化，减轻抽 样的工作量； 2. 如果用有关标志排队，还可以缩小 抽样误差，提高抽样推断效果。
若实数T/2满足不等式 P{| X | T 2 }
则称T/2为随机变量X分布概率为的双侧 分位数。
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标准正态分布的上侧分位数
0
Z
Z
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标准正态分布的双侧分位数
/ 2
-Z/2
0
/ 2
Z/2
Z
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2-分布 (2-distribution)
设X1，X2，……Xn是取自标准正态总
二、中心极限定理
在统计学中，论证随机变量和的极限分 布是正态分布的一系列定理统称为中心 极限定理（central limit theorem）。
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独立同分布中心极限定理
设X1, X2, …Xn是独立同分布的随机变量序 列，且存在有限的数学期望EXi=和方 差DXi=2 (i=1,2，…n) ，那么当n时
等比例分配法：按各层单位的比例分配样 本单位。
类型抽样的优点：
能提高样本的代表性； 组织起来较为方便；
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三、系统抽样
先将总体各单位按某一标志排队，然后按固 定的顺序和间隔抽取样本单位。又称机械抽 样或等距抽样。
系统抽样是不重复抽样，适合于对单位数不 多且能进行排序的总体抽样。
按无关标 志排队