数系的扩充和复数概念和公式总结

数系的扩充和复数概念和公式总结

1.虚数单位i:

它的平方等于-1，即21

i=-

2. i与－1的关系: i就是－1的一个平方根，即方程x2=－1的一个根，方程x2=－1的另一个根是－i

i的周期性：i4n+1=i, i4n+2=-1, i4n+3=-i, i4n=1

3.

4.复数的定义：形如(,)

a bi a

b R

+∈的数叫复数，a叫复数的实部，b叫复数的虚部全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C表示复数通常用字母z表示，即(,)

=+∈

z a bi a b R

5. 复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系：对于复数(,)

+∈，当且仅当b=0时，复数a+bi(a、

a bi a

b R

b∈R)是实数a；当b≠0时，复数z=a+bi叫做虚数；当a=0且b≠0时，z=bi叫做纯虚数；a≠0且b ≠0时，z=bi叫做非纯虚数的纯虚数；当且仅当a=b=0时，z就是实数0.

5.复数集与其它数集之间的关系：N Z Q R C.

6. 两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等如果a，b，c，d∈R，那么a+bi=c+di⇔a=c，b=d

一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小.如果两个复数都是实数，就可以比较当两个复数不全是实数时不能比较大小

7. 复平面、实轴、虚轴：

点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z=a+bi(a、b∈R)可用点Z(a，b)表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面， x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴实轴上的点都表示实数

（1）实轴上的点都表示实数

（2）虚轴上的点都表示纯虚数

（3）原点对应的有序实数对为(0，0)

设z 1=a +bi ，z 2=c +di (a 、b 、c 、d ∈R )是任意两个复数，

8．复数z 1与z 2的加法运算律：z 1+z 2=(a +bi )+(c +di )=(a +c )+(b +d )i . 9.复数z 1与z 2的减法运算律：z 1-z 2=(a +bi )-(c +di )=(a -c )+(b -d )i . 10.复数z 1与z 2的乘法运算律：z 1·z 2= (a +bi )(c +di )=(ac －bd )+(bc +ad )i .

11.复数z 1与z 2的除法运算律：z 1÷z 2 =(a +bi )÷(c +di )=i d

c ad

bc d c bd ac 2

222

+-+++（分母实数化） 12.共轭复数：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数虚部不等

于0

通常记复数z 的共轭复数为z 。例如z =3＋5i 与z =3－5i 互为共轭复数 13. 共轭复数的性质

（1）实数的共轭复数仍然是它本身 （2）2

2

Z Z

Z Z ==⋅

（3）两个共轭复数对应的点关于实轴对称

14.复数的两种几何意义： 15几个常用结论

（1）()i i 212=+，（2）()i i 212

-=- （3）i i -=1

， （4）

i i

i

=-+11 16.复数的模： （5）

i i

i

-=+-11 复数bi a Z +=的模2

2b a Z += （6）()()22b a bi a bi a +=-+

2009－2014年高考文科数学试题分类汇编——复数

2.（2009浙江卷文）设z ＝1＋i （i 是虚数单位），则2z

＋z 2

＝ （ ）

（A ）1＋i （B ）－1＋i （C ） 1－i （D ）－1－i

3. （2009山东卷文）复数3－i 1－i

等于（ ）

（A ）1＋2i （B ）1－2i （C ）2＋i （D ）2－i

点),(b a Z

向量OZ

一一对应

一一对应

一一对应

复数()R b a bi a Z ∈+=,

4. （2009安徽卷文）i 是虚数单位，i （1＋i ）等于（ ） （A ）1＋i

（B ）－1－i

（C ）1－i

（D ）－1＋i

5.（2009天津卷文）i 是虚数单位，5i

2－i ＝（ ）

（A ）1＋2i

（B ）－1－2i

（C ）1－2i

（D ）－1＋2i

6. （2009宁夏海南卷文）复数3＋2i

2－3i

＝（ ）

（A ）1 （B ）－1 （C ）i

（D ）－i

7. （2009辽宁卷文）已知复数z ＝1－2i ，那么1

z

＝（ ）

（A ）

55＋ 255i （B ）55－255i （C ）15 ＋25 i （D ）15 －2

5

i

8.（2010湖南文数1）复数2

1－i

等于（ ）

（A ） 1＋i （B ） 1－i （C ） －1＋i （D ） －1－i

10．（2010全国卷2理数）复数（3－i 1＋i ）2

＝（ ）

（A ）－3－4i

（B ）－3＋4i （C ）3－4i

（D ）3＋4i

11.（2010陕西文数）复数z ＝i

1＋i 在复平面上对应的点位于（ ）

（A ）第一象限 （B ）第二象限

（C ）第三象限

（D ）第四象限

12.（2010辽宁理数（2））设a ，b 为实数，若复数1＋2i

a ＋

b i ＝1＋i ，则（ ）

（A ）a ＝32 ，b ＝1

2

（B ） a ＝3，b ＝1 （C ） a ＝12 ，b ＝3

2

（D ） a ＝1，b ＝3

16.（2010山东文数）已知a ＋2i

i

＝b ＋i （a ，b R ），其中i 为虚数单位，则a ＋b ＝（ ）

（A ）－1

（B ） 1 （C ）2

（D ） 3

17.（2010北京文数（2））在复平面内，复数6＋5i ， －2＋3i 对应的点分别为A ，B ，若C 为线段AB 的中点，则点C 对应的复数是（ ） （A ）4＋8i

（B ）8＋2i

（C ）2＋4i （D ）4＋i

18.（2010四川理数（1））i 是虚数单位，计算i ＋i 2

＋i 3

＝（ ） （A ）－1

（B ）1

（C ）－i （D ）i

19.（2010天津文数）i 是虚数单位，复数3＋i

1－i ＝（ ）

（A ）1＋2i

（B ）2＋4i （C ）－1－2i （D ）2－i