论文二重极限计算方法
用极坐标变换计算二重极限
么
．
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趋 向于 ０也有 两层含 义 ： 意方 向和任意 路径 ． 任 从而 在极坐标 系 中判 断 函数极 限不 存在 的依 据为 ： １ 如 果存在 一 条路径 ， ） 函数 的极 限不 存在 ； ２ 如果存 在两 条路 径 ，函数 的极 限虽然 都存 ）
在 但不相 等． 下面， 我们利 用上 述思 想来 求解 例 １ ． 解 根据前 述 分析 ， 限 过程 （ ）一 （ ，） 极 ｚ， ０ Ｏ 等 价于 ｒ ０ 一 ．因此 ，
， ｏ） 一（． 百 。十 Ｖ ０Ｘ
，
可见 ， 这两个 路径 上 函数 的极 限虽然 都存 在但 不 在 相 等．因此 ，原二 重极 限不存 在．
参 考 文献
［ ］罗俊芝 ．能否 用极坐 标方法求 二重极 限［］ １ Ｊ．高等数学
研 究 ， ０ ７ ０ ２ ：８１ ． ２ ０ ，１ （ ）１ －９
在直角坐标 系下 ， 当 ，，一 （ｏ３） ， ３ ） Ｘ ，， 时 二元 函 ｏ
数 ｚ ｆ ｘ 的极 限定义为 ： ＝ （ ，） 当点 Ｐ ｘ，）以任意方 （ ３ ，
式趋 向于点 Ｐ （ｏｙ）时 ， ｏＸ ，ｏ 如果 函数 ｆ ｘ３ （ ，）的极 限 Ｊ
都是一 个 确 定 的常 数 Ａ， 么 Ａ 即 为 函数 ｆ ｘ， 那 （ ）
极 限存在 的两 种情 况 ； 还讨 论 了特殊 类型 函数
ｆ（ ）： ｆ（ｃｓ ，ｒｉＯ ｘ， ｒｏＯ ｓｎ ）一 （） ｒ （）
坐标变换 的特点 ， 从而造成 错误． ［－］ 出了一些 文 １３ 给 使 用极坐标变换 计算二重极 限 的方 法和技巧．
极 限不存 在 的三种 情形 ．
论文二重极限计算方法
论文二重极限计算方法二重极限是函数在二元自变量趋于特定点$(a,b)$的过程中的极限。
在求解二重极限时，可以使用两种常用方法：路径法和极限法。
下面将详述这两种方法。
1.路径法路径法是通过沿着不同路径逼近极限点，观察函数极限的行为。
常见的路径有$x=a$和$y=b$，以及通过以$(a,b)$为中心的射线等。
路径法的基本思想是，如果函数在不同路径下极限都存在，并且极限值相等，那么二重极限存在，并且等于这个共同的极限值。
举例说明，假设要求函数$f(x, y)=\frac{x^2y}{x^2+y^2}$在点$(0, 0)$处的二重极限。
可以沿着不同路径逼近这个点。
对于路径$x=0$，有$f(0, y)=0$；对于路径$y=0$，有$f(x, 0)=0$。
所以根据路径法，得到$\lim_{(x, y) \to (0, 0)} f(x, y) = 0$。
2.极限法极限法通过使用不等式，将二重极限的计算转化为一重极限的计算。
具体步骤如下：(1)假设要求函数$f(x,y)$在点$(a,b)$处的二重极限。
(2)令$x=a+h$，$y=b+k$，其中$h$和$k$表示趋于0的变量。
(3)将$f(x,y)$转化为一个关于$h$和$k$的函数$F(h,k)$。
(4) 计算一重极限$\lim_{(h, k) \to (0, 0)} F(h, k)$。
举例说明，求$f(x, y)=\frac{x^2y}{x^2+y^2}$在点$(0, 0)$处的二重极限。
可以将$x$和$y$表示为$x = h$和$y = k$。
代入函数$f(x,y)$得到$F(h, k) = \frac{h^2k}{h^2+k^2}$。
接下来计算一重极限$\lim_{(h, k) \to (0, 0)} F(h, k)$。
由于这是一重极限，可以使用一元极限的计算方法，比如夹逼定理或洛必达法则。
以上就是求解二重极限的路径法和极限法的详细介绍。
学术界对于二重极限的计算方法还有很多探索，包括利用极坐标、球坐标等多种数学工具。
二重极限的计算方法(学年论文)
二重极限的计算方法小结内容摘要本文在二元函数定义基础上通过求对数，变量代换等方式总结了解决二重极限问题的几种方法，并给出相关例题及解题步骤。
及二重极限不存在的几种证明方法。
关键词：二重极限变量代换等不存在的证明目录序言 (1)一、利用特殊路径猜得极限值再加以验证 (1)(一)利用特殊路径猜得极限值再加以确定 (1)(二)由累次极限猜想极限值再加以验证 (2)(三)采用对数法求极限 (2)(四)利用一元函数中重要的极限的推广求两个重要极限 (3)(五)等价无穷小代换 (3)(六)利用无穷小量与有界函数的积仍为无穷小量 (4)(七)多元函数收敛判别方法 (4)(八)变量代换将二重极限化为一元函数中的已知极限 (5)(九)极坐标代换法 (6)(十)用多元函数收敛判别的方法 (7)二、证明二重极限不存在的几种方法 (7)总结 (10)参考文献 (11)序言二元函数的极限是在一元函数极限的基础上发展起来的，二者之间既有联系又有区别。
对一元函数而言，自变量的变化只有左右两种方式，而二元函数可以有无数种沿曲线趋于某店的方式，这是两者最大的区别。
虽然二元函数的极限较为复杂，但若能在理解好概念，掌握解题方法和技巧就不难解决。
对于二元函数的二重极限，重点是极限的存在性及其求解方法。
二重极限实质上是包含任意方向的逼近过程，是一个较为复杂的极限，只要有两个方向的极限不相等，就能确定二重极限不存在，但要确定二重极限存在则需要判定沿任意方向的极限都存在且相等。
由于二重极限较为复杂，判定极限的存在及其求解，往往因题而异，依据变量),(y x 的不同变化趋势和函数),(y x f 的不同类型，探索得出一些计算方法，采用恰当的求解方法后，对复杂的二重极限计算，就能简便，快捷地获得结果，本文将对二重极限的几种计算方法做一下小结。
一、二重极限的计算方法小结(一) 利用特殊路径猜得极限值再加以验证利用二元函数极限定义求极限：根据定义解题时只需找出δ来。
二重极限的计算方法总结
239科技资讯 SCIENCE & TECHNOLOGY INFORMATION学 术 论 坛DOI：10.16661/ki.1672-3791.2019.08.239二重极限的计算方法总结①张敏(郑州商学院 河南巩义 451200)摘 要：函数的极限求解是高等数学中比较重要的一个问题，由于自变量个数的增加和极限趋近路径的任意性，二重极限的求解相较于一元函数的极限问题更加复杂。
一般情况下，高等数学教材中关于二重极限的求解都比较简单，对初学者来说比较抽象。
该文从不同角度介绍了6种不同的求解二重极限的方法，并给出了相应的例题及解析，拓宽了初学者的求解思路，给予了初学二重极限者一定的启发。
关键词：二元函数 二重极限 连续中图分类号：O172 文献标识码：A 文章编号：1672-3791(2019)03(b)-0239-02①作者简介：张敏（1988—），女，汉族，河南郑州人，研究生，助教，研究方向：数学教育，计算数学。
1 预备知识1.1 二元函数的定义定义1 设D 是平面上的一个非空点集，如果对于D 内的任一点(,)x y ，按照某种法则f ，都有唯一确定的实数Z 与之对应，则称f 是D 上的二元函数，它在点(,)x y 处的函数值记为f (,)x y ，即Z =f (,)x y ，其中(,)x y 称为自变量，Z 称为因变量。
点集D 称为该函数的定义域，数集{|(,),(,)}z z f x y x y D =∈称为该函数的值域。
1.2 二重极限的定义定义2 设函数Z =f (,)x y 的定义域为D ,000(,)P x y 是xOy 平面内的定点。
若存在常数A ，0ε∀>，0δ∃>，当点0(,)(,)P x y D U P δ∈时，恒有|()||(,)|f P A f x y A ε−=−<，则称常数A为二元函数f (,)x y 当00(,)(,)x y x y →时的极限（也称为二重极限），记作00(,)(,)lim(,)x y x y f x y A→=或00(,)((,)(,))f x y A x y x y →→，也可记作0lim ()P P f P A →=或0()()f P A P P →→。
一题多解探讨二重极限的计算
一题多解探讨二重极限的计算一题多解探讨二重极限的计算________________________________________许多数学问题可以利用极限的概念来解决，其中二重极限的计算是极限计算中一个重要的概念，它能够帮助我们在一定条件下，更加准确的确定函数的值。
在讨论二重极限的计算之前，先来看一下极限的概念。
### 一、极限的概念极限是数学分析中重要的概念，它可以用来描述函数在某点处的行为，也可以用来表示某种不断变化的序列或者级数在某点处的行为。
它可以帮助我们解决一些数学问题，并可以用来描述实际问题中出现的现象。
极限是一个表示无穷大的数学概念，它可以用来表示一个数字序列或者函数在某一点处的行为。
当数字序列或者函数在某一点处的值趋近于一个无穷大的数字时，就说该数字序列或者函数在该点处有一个极限。
例如：当x趋近于0时，函数f(x)=2x^2+3x+1在x=0处有一个极限，即f(x)在x=0时趋近于1。
### 二、二重极限的计算当函数f(x)中含有两个未知量x和y时，如果我们想要计算f(x,y)在x、y同时趋近于特定值p、q 时的极限，就要使用二重极限。
二重极限是一种通过将变量依次趋近特定值来计算函数f(x,y)在特定值处的值的方法。
例如：当函数f(x,y)=2x^2+3xy+y^2时，我们想要计算f(x,y)在x、y同时趋近于1时的极限，就可以使用二重极限。
先将x趋近于1，此时f(x,y)=2+3y+y^2，再将y趋近于1，此时f(x,y)=2+3+1=6，因此f(x,y)在x、y同时趋近于1时，其极限为6。
### 三、二重极限的性质1. 函数f(x,y)在x、y同时趋近于p、q时，其极限必定是函数f(p,q)的值。
2. 二重极限可以看作是一个多元函数的单元函数的值，因此它也具有多元函数性质。
3. 二重极限可以看作是一个变量依次趋近特定值而得到的单元函数的值，因此它也具有单元函数性质。
4. 函数f(x,y)在x、y同时趋近于p、q时，其极限必定是函数f(p,q)在p、q处取得最大或者最小值时的值。
计算二重极限的几种方法00
lim f ( x , y ) 一定不存在。 x →x
0 y →y 0
例 8 求 lim
x - y + x + y 。 2 2 x →0 x + y y →0
2
2
3
3
解 由于 y ≠0 时恒有 lim f ( x , y ) = y - 1= Υ( y ) , 故 x →0
li m lim f ( x , y ) = - 1
(x , y →
li m ) (0,
x y
0) 2
2
2 2
x + y
= 0
4 利用无穷小量乘以有界量仍为无穷小量
定理 4 若 (
x , y ) → (x 0 , y 0 )
lim
f ( x , y ) = 0, 而 g ( x , y ) 于 ( x 0 , y 0 ) 的邻域内有界, 则
(x , y ) → (x 0 , y 0 )
lim
f (x , y ) = A ,
(x , y ) → (x 0 , y 0 )
lim
g (x , y ) = B
则 ( ( (
y →∞
x , y ) → (x 0 , y 0 ) x , y ) → (x 0 , y 0 )
lim lim lim
定理 3 若于点 P 0 ( x 0 , y 0 ) 的邻域内有 h ( x , y ) ≤f ( x , y ) ≤g ( x , y ) , 且
x →x 0 y →y 0
li m h ( x , y ) = lim g ( x , y ) = A
x →x 0 y →y 0 x →x 0 y →y 0
第二类重要极限的简易算法
第二类重要极限的简易算法作者：孙明岩来源：《教育教学论坛·上旬》2012年第08期摘要：两个重要极限的计算问题是极限这一章的重点和难点，本文通过证明推导出关于第二类重要极限计算的一种简易算法。
关键词：第二类重要极限；系数；指数中图分类号：O13；G642 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2012）08-0053-02一、第二类重要极限及其常规算法第二类重要极限是高等数学、微积分极限这部分内容的难点之一，学生在计算时很容易出错。
第二类重要极限的公式形式有两种：■（1+■）x=e，■（1+x）■=e。
对于第二类重要极限计算题可以用换元法来做。
例1 求■（1+■）x解令u=■，当x→∞时，u→0，于是有■（1+■）x=■（1+u）■=[■（1+u）■]2=e2。
例2 求■（1+2x）■解令u=2x，当x→0时，u→0，于是有■（1+2x）■=■（1+2x）■=[■（1+u）■]2=e2第二类重要极限的推广型：x→x0，g（x）→0，■（1+■）g(x)=e（参见[1]）。
第二类重要极限的一些题目不换元，也可以直接计算：例3 求■（1-■）2x+1解■（1-■）2x+1=■（1-■）2x（1-■）=■（1-■）2x■（1-■）=■[（1-■）■]■■（1-■）=e■·1=e■二、第二类极限简易算法定理1：若a≠0，c≠0，则■（1+■）■=e■。
证明：■（1+■）■=■[（1+■）■]■■（1+■）■=e■·1=e■。
定理2：■（1+■）■=e■证明：■（1+■）■=■[（1+■）■]■■（1+■）■=e■·1=e■。
这类极限计算值里底数都是e，计算这类的极限值关键是计算e的指数。
根据上述证明的两个定理，我们可以得出一个重要的结论：推论1：第二类重要极限■（1+■）■极限值中的指数为x与■的系数乘积。
证明：易见■的系数为■，x的系数为■，根据定理1，■（1+■）■=e■，e的指数为■，恰为x与■的系数乘积。
数学学年论文毕业论文求极限的方法
在数学中，极限是一种重要的概念，能够帮助我们研究函数和序列的性质。
求解极限是数学学年论文或毕业论文中的一部分。
下面我将介绍几种常用的求极限的方法。
一、代入法代入法是求解极限最为简单的方法之一，其基本思想是将极限中的变量替换为一些特定的常数值，然后计算函数在该值处的函数值。
如果该函数在该点的函数值存在，则该值即为极限值。
二、夹逼定理夹逼定理是数学分析中常用的一种方法，可以用来求解一些函数在其中一点处的极限。
夹逼定理的原理是，如果一个函数f(x)在其中一点x0附近能够找到两个较为简单的函数g(x)和h(x)，并且满足g(x) ≤ f(x) ≤ h(x)，那么在x0处，这三个函数的极限也有相应的关系，即lim(g(x)) ≤ lim(f(x)) ≤ lim(h(x))。
三、无穷小量法无穷小量法是求解极限的一种重要方法，它的原理是当变量趋向无穷大或者趋向零时，一些函数的变化可以近似看作是一个无穷小量。
通过将待求极限中的变量作适当的变换，将其表示为无穷小量与一些已知极限之间的关系，然后求解已知极限，最后根据变换的关系得到待求极限。
四、洛必达法则洛必达法则是求解极限中常用的方法之一，其基本思想是用导数的求导法则来求解函数的极限。
具体来说，如果在其中一点x=a处，函数f(x)和g(x)都满足条件lim(f(x))=lim(g(x))=0或lim(f(x))=lim(g(x))=∞，且g'(x)≠0，则该极限lim(f(x)/g(x))存在。
通过求解lim(f'(x)/g'(x))，可以得到lim(f(x)/g(x))的值。
五、级数展开法级数展开法是一种将待求极限变换为级数求和的方法，它适用于一些函数无法直接求解极限的情况。
通过将函数f(x)在其中一点进行泰勒级数展开，然后利用级数的性质，可以得到该函数在该点处的极限。
在实际应用中，以上多种方法可以相互结合使用，根据具体问题的性质来选择合适的方法。
用定义证明二重极限（范文）
用定义证明二重极限用定义证明二重极限用定义证明二重极限利用极限存在准则证明：当x趋近于正无穷时，的极限为0;证明数列{Xn}，其中a0，Xo0,Xn=2,n=1,2,…收敛，并求其极限。
1)用夹逼准则:x大于1时,lnx0,x^20,故lnx x^20且ln x1),lnxx^2<x^2.而x^2极限为0故的极限为02)用单调有界数列收敛:分三种情况,x0=√a时,显然极限为√ax0√a时,Xn-X=2<0,单调递减且Xn=2√a,√a为数列下界,则极限存在.设数列极限为A,Xn和X极限都为A.对原始两边求极限得A=2.解得A=√a同理可求x0<√a时,极限亦为√a综上,数列极限存在,且为√时函数的极限：以时和为例引入.介绍符号: 的意义, 的直观意义.定义几何意义介绍邻域其中为充分大的正数.然后用这些邻域语言介绍几何意义.例1验证例2验证例3验证证……时函数的极限：由考虑时的极限引入.定义函数极限的“ ”定义.几何意义.用定义验证函数极限的基本思路.例4 验证例5验证例6验证证由 =为使需有为使需有于是, 倘限制 , 就有例7验证例8验证单侧极限:1.定义：单侧极限的定义及记法.几何意义: 介绍半邻域然后介绍等的几何意义.例9验证证考虑使的2.单侧极限与双侧极限的关系:T h类似有: 例10证明: 极限不存在.例11设函数在点的某邻域内单调.若存在, 则有= §2 函数极限的性质教学目的：使学生掌握函数极限的基本性质。
教学要求：掌握函数极限的基本性质：唯一性、局部保号性、不等式性质以及有理运算性等。
教学重点：函数极限的性质及其计算。
教学难点：函数极限性质证明及其应用。
浅析二重极限的定义
浅析二重极限的定义
二重极限是统计学中的一种概念，它表示将一个随机变量在两个方向上取极限的过程。
具体来说，二重极限可以表示为：lim(a,b)f(x)=lim(b→∞)lim(a→∞)f(x)，其中f(x) 是一个函数，a 和 b 是两个参数。
二重极限的定义表明，在求取函数的极限时，要先将某一个参数取极限，再将另一个参数取极限。
这个过程可以用来求解一些复杂的数学问题。
例如，二重极限可以用来求解统计学中常见的L 极限定理。
这个定理表明，当n 趋近无穷时，样本平均数的分布满足正态分布，即：lim(n→∞)P(|X−μ|>ε)=0。
其中X为样本平均数，μ为总体平均数，ε为任意小的正数。
这个定理也称为中心极限定理，是统计学中很重要的定理之一。
总之，二重极限是一种常见的数学概念，在统计学中有
着广泛的应用。
它可以用来解决复杂的数学问题，是统计学中的一个重要工具。
例题：
求解函数f(x,y)=xy/(x^2+y^2) 的二重极限，即：lim(x →∞)lim(y→∞)f(x,y)。
解法：首先，将y 取极限，得到：lim(y→∞)f(x,y)=lim(y →∞)xy/(x^2+y^2)=x/(x^2/y^2+1)。
然后，将x 取极限，得到：lim(x→∞)f(x,y)=lim(x→∞)x/(x^2/y^2+1)=0。
所以，函数f(x,y) 的二重极限为0。
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师学院本科毕业论文题目：二重极限的计算方法学生：王伟学院：数学科学学院专业：数学与应用数学班级：应数一班指导教师：国明老师二〇一四年四月摘要函数极限是高等数学中非常重要的容。
关于一元函数的极限及求法，各种高等数学教材中都有详细的例题和说明。
二元函数极限是在一元函数极限的基础上发展起来的，二者之间既有联系又有区别。
本文在二元函数定义基础上通过求对数，变量代换等方式总结了解决二重极限问题的几种方法，并给出相关例题及解题步骤，及二重极限不存在的几种证明方法。
关键词：二重极限变量代换等不存在的证明二元函数连续性AbstractThe limit function is a very important contents of advanced mathematics. The limit of a function and method, all kinds of advanced mathematics textbooks are detailed examples and explanation. The limit function of two variables is the basis for the development in the limit of one variable function on it, there are both connections and differences in the two yuan on the basis of the definition of the logarithm function between the two, variable substitution, summarizes several methods to solve the problem of double limit, and gives some examples and solving steps. Several proof method and double limit does not exist.keywords: Double limit variable substitution, etc. There is no proof Dual function of continuity目录序言 (1)1二重极限的计算方法小结 (2)1.1利用特殊路径猜得极限值再加以确定 (2)1.2由累次极限猜想极限值再加以验证 (2)1.3采用对数法求极限 (3)1.4利用一元函数中重要的极限的推广求两个重要极限 (3)1.5等价无穷小代换 (4)1.6利用无穷小量与有界函数的积仍为无穷小量 (4)1.7多元函数收敛判别方法 (4)1.8变量代换将二重极限化为一元函数中的已知极限 (5)1.9极坐标代换法 (6)1.10用多元函数收敛判别的方法 (6)1.11利用连续性求极限 (6)1.12利用洛必达法则求极限 (7)1.13利用单调有界准则求极限 (7)1.14利用导数的定义求极限 (7)1.15变量代换法 (8)1.16复合函数求极限的方法 (8)1.17无穷大分除法( 或叫抓大头的方法) (8)1.18取倒数方法 (9)1.19利用微分中值定理求极限限求极限 (9)1.20利用定积分的定义及性质求极限 (9)1.21利用麦克劳林展开式求极限 (10)1.22利用级数收敛必要条件求极限 (10)1.23利用幂级数的和函数求极限 (11)1.24利用matlab求二重极限 (11)2、证明二重极限不存在的几种方法 (11)总结 (14)参考文献 (15)致 (16)序言二元函数的极限是在一元函数极限的基础上发展起来的，二者之间既有联系又有区别。
对一元函数而言，自变量的变化只有左右两种方式，而二元函数可以有无数种沿曲线趋于某店的方式，这是两者最大的区别。
虽然二元函数的极限较为复杂，但若能在理解好概念，掌握解题方法和技巧就不难解决。
对于二元函数的二重极限，重点是极限的存在性及其求解方法。
二重极限实质上是包含任意方向的逼近过程，是一个较为复杂的极限，只要有两个方向的极限不相等，就能确定二重极限不存在，但要确定二重极限存在则需要判定沿任意方向的极限都存在且相等。
由于二重极限较为复杂，判定极限的存在及其求解，往往因题而异，依据变量)xf的不同类型，探索,(y,(yx的不同变化趋势和函数)得出一些计算方法，采用恰当的求解方法后，对复杂的二重极限计算，就能简便，快捷地获得结果，本文将对二重极限的几种计算方法做一下小结。
1、二重极限的计算方法小结1.1 利用特殊路径猜得极限值再加以验证利用二元函数极限定义求极限：根据定义解题时只需找出δ来。
例1 、讨论223),(y x yx y x f +=，在点(0,0)的极限。
解： 令mx y = 01lim )1(lim lim 2202402230=+=+=+→→→→→mm x m mx y x y x x mx y x mx y x 应为此路径为特殊路径，故不能说明.0lim 22300=+→→y x y x y x 可以猜测值为0。
下面再利用定义法证明：0>∀ε，取εδ2=当δ<-+-<22)0()0(0y x 有ε2222<+≤y x x由于232232120x xy y x yx y x =≤-+ 即有ε<≤+222321x y x y x 故.0lim 22300=+→→y x yx y x 注意 （1）ε的任意性 （2）δ一般随而变化（3）若函数以A 为极限，则对函数在的某去心邻域有围（A+ε，A-ε）。
1.2 由累次极限猜想极限值再加以验证先求出一个累次极限，该类此极限是否为二重极限在用定义验证 例2 、 设)0(1sin)(),(222222≠+++=y x yx y x y x f 。
求),(lim 00y x f y x →→ 解： 0),(lim lim 00=→→y x f y x 可以猜测有极限值为0. 事实上对任意的)0,0(),(≠y x有222222221sin)(0),(y x y x yx y x y x f +≤+≤++=-， 0>∀ε 取2εδ=， 当δ<x ，δ<y ，)0,0(),(≠y x 时，就有ε<-++01sin)(2222y x y x ，即有0),(lim 00=→→y x f y x1.3 采用对数法求极限利用初等变形，特别是指数形式常常可以先求起对数的极限。
或极限是等未定型，往往通过取对数的办法求得结果。
例3 、求xyy x xy sin 10)1(lim +++→→解：xyxy xyxy y x xyxyy x xyy x xy exy exy )1ln(lim )1ln(lim)1(lim sin 001sin 100sin 100+=+=+++++++→→→→→→因为1sin lim00=++→→xyxyy x 而且1ln )1ln(lim 100==+++→→e xy xy y x 所以e xy xyy x =+++→→sin 10)1(lim1.4 利用一元函数中重要极限的推广求两个重要极限e x x x x xx =+=⎪⎭⎫⎝⎛+→∞→1)1(lim 11lim 1sin lim0=→xxx 类似于一元函数，我们可以充分利用所熟知的结论。
通过构造变形我们能够化不熟悉为熟悉，进而利用已有的结论而求之例4 、求（1）)(120)1(lim y x x y x x +→→+ （2）x xya y x sin lim0→→解：（1）因为e x xx =+→10)1(lim ，211lim20=+→→y x y x所以211120)(120)1(lim )1(lim e x x yx xy x y x x y x =⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=++→→+→→（2） 由于0,sin sin ≠•=y y xyxyx xy , 又因为)0,(1sin sin lim00≠===→→→x t xy ttlin xy xy t a y x所以a y lin t tlin xxy a y t a y x ==→→→→sin sin lim001.5 等价无穷小代换利用一元函数中已有的结论对式子进行必要的代换以达到简化的目的，进而求出所要求的极限例5 、求yx y x y x ++→→)sin(lim 330解：因为,0,0→→y x 故有033→+y x所以)sin(33y x +等价于33y x +故原式为0)(lim lim )sin(lim 220033003300=+-=++=++→→→→→→y xy x yx y x y x y x y x y x y x注 无穷小替代求极限时要理解替换过程的本质，不可随意替换。
利用等价无穷小替代求极限其实质就是在极限运算中同时乘一个或是除一个等价无穷小，也就是我们通常所说的“乘除时可以替换，加减时不可随意替换”1.6 利用无穷小量与有界函数的积仍为无穷小量充分利用无穷小的性质，与一元函数类似，在求极限过程中，以零为极限的量称为无穷小量，有关无穷小量的运算性质也可以推广到多元函数中。
例6 、求 ()()()()2222,32323lim -+---→→y x y x y x解： 因为()()()()()()()()()32323lim2323lim 222,32222,3--+---=-+---→→→→x y x y x y x y x y x y x 而()()()()21232322≤-+---y x y x 为有界变量又()03lim2,3=-→→x y x 故有 原式=01.7 多元函数收敛判别方法当一个二重极限不易直接求出时，可以考虑通过放缩法使二元函数夹在两个已知极限的函数之间，且两端的极限值相等，则原函数的极限值存在且等于它们的公共值。
例7 、求22limx y x y yx →→++解：由)(2220x yx yx yx y yx +≤≤=++++ 而()00,0x y x y +→→→ ，故可知 22lim0x y x yy x →→+=+1.8 变量代换将二重极限化为一元函数中的已知极限有时为了将所求的极限化简，转化为已知的极限，可以根据极限式子的特点，适当引入新变量，以替换原有的变量，使原来较复杂的极限过程转化为更简化的极限过程。
1、讨论当0,0→→y x ，二元函数),(y x f 的极限，利用变量代换把二重极限化为一元函数中已知的极限转化，相应有0→t 从而求得结果。
例8 、求 22220,0)1ln(lim yx y x y x +++→→ 解；令,22μ=+y x 则当0,0→→y x 时 0→μ，于是1)1ln(lim )1ln(lim 022220,0=+=+++→→→μμμyx y x y x 2、讨论当()常数0,≠→∞→a a y x 时，二元函数),(y x f 的极限，作变量代换，相应有∞→t ，利用已知一元函数的极限公式。