一元一次方程的解法

3. 解下列方程：
（1） 2.5x+318 =1068；
（2） 2.4y + 2y+2.4 = 6.8.
解
（1） 原方程为2.5x+318 = 1068 移项，得 化简，得 2.5x= 1068-318 x = 300
检验：把x=300代入原方程的左边和右边，
左边= 2.5×300+318=1068，
根据等量关系，得
1 ( x +1)+ 1 ( x +4)=1 15 12
方程两边都乘60，得 1 ( x +1)+ 1 ( x +4) 60=160 15 12 即 去括号，得 移项，合并同类项得 方程两边都除以9，得 4(x+1)+5(x+4)=60． 4x+4+5x+20=60. 9x=36. x=4.
因此，设轮船在静水中的航行速度为x km/h， 则根据等量关系可得 4(x+2)= 5(x-2) . 去括号，得 4x + 8 = 5x - 10 . 移项，得 4x-5x= -8-10 . 合并同类项，得 -x =-18 . 两边都除以-1，得 x = 18 . 因此，轮船在静水中的航行速度为18 km/h.
解:
2 x 1 5 x 1 （3） 6 = 1. 8 2 x 1 × 24 - 5 x 1 × 24 =1 去分母，得
6 8
(2x-1)×4 - (5x+1)×3=1×24 去括号，得 移项，得 化简，得 8x -4 -15x – 3 =24 8x -15x = 4+3+24 -7x = 31 x=- 7
一艘轮船在A，B两个码头之间航行，顺水航 行需4h，逆水航行需5h. 已知水流速度为2km/h， 求轮船在静水中的航行速度.
轮船顺水的航行速度 = 轮船在静水中的速度+水流速度.
轮船逆水的航行速度= 轮 船在静水中的速度-水流 速度.
本问题涉及的等量关系有： 顺水航行的路程 = 逆水航行的路程.
左边=右边 所以 x=300 是原方程的解.
（2） 原方程为 2.4y + 2y+2.4 = 6.8 移项，得 化简，得 2.4y+2y = 6.8-2.4 y=1
检验：把y=1代入原方程的左边和右边，
左边= 2.4×1 + 2×1+2.4 = 6.8， 左边=右边
所以 y=1 是原方程的解.
动脑筋
中考 试题
例1
3 的倒数与 2a- 9 互为相反数，那么a的值为（ C a 3 A. 3 B. - 3 C.3 D.-3 2 2
分析
解
解方程即可求出a的值.
）.
3 因为 a 的倒数是 a ，根据“互为相反数之和等于0”可得a + 2a3 9 ， 3 3
由已知条件可得 a + 2a-9 =0 ，去分母，得a+2a-9=0， 3 3 合并同类项，得3a=9，系数化为1，得a=3. 故，应选择C.
即 12x=2784.
①
②
方程②两边都除以12，得x=232 .
因此，热气球在后12h飞行的平均速度为232 km/h.
我们把求方程的解的过程叫做解方程. 在上面的问题中，我们根据等式性质1，在方程① 两边都减去2345，相当于作了如下变形：
-2345 2345
+ 12x = 5129
从变形前后的两个方程可以看出，这种变形， 就是把方程中的某一项改变符号后，从方程的一边 移到另一边，我们把这种变形叫做移项. 必须牢记：移项要变号. 在解方程时，我们通过移项，把方程中含未知 数的项移到等号的一边，把不含未知数的项移到等 号的另一边．
（3） 原方程为13y+8=12y 移项，得 13y-12y = -8 化简，得 y = -8 检验：把y=-8代入原方程的左边和右边， 左边=13×(-8)+8=-96，右边= 12 ×(-8)=-96， 左边=右边 所以 y=-8 是原方程的解. （4） 原方程为7u-3=6u-4 移项，得 7u-6u = 3-4 化简，得 u = -1 检验：把u=-1代入原方程的左边和右边， 左边= 7×(-1)-3=-10，右边=6×(-1)-4=-10， 左边=右边 所以 u=-1 是原方程的解.
2. 解下列方程，并检验.
（1）x +4 = 5； （3）13y+8=12y； （2）-5 + 2x = -4； （4）7u-3=6u-4 .
解
（1） 原方程为x +4 = 5 移项，得 x = 5-4 化简，得 x=1 检验：把x=1代入原方程的左边和右边， 左边= 1+4=5，右边= 5， 左边=右边 所以 x=1 是原方程的解. （2） 原方程为-5 + 2x = -4 移项，得 2x = 5-4 1 化简，得 x= 2 1 检验：把x= 2 代入原方程的左边和右边， 左边= -5+ 2 1 =-4，右边= -4， 2 左边=右边 所以 x= 1 是原方程的解. 2
去括号，得 3x -12 = 4x-1
移项，得 化简，得 3x -4x = 12-1 - x = 11
方程两边同除以 -11， x = -11
动脑筋
刺绣一件作品，甲单独绣需要15天完成，乙单 独绣需要12天完成. 现在甲先单独绣1天，接着乙又 单独绣4天，剩下的工作由甲、乙两人合绣. 问再合 绣多少天可以完成这件作品？
31
方程两边同除以 -7，
（4）50%(3x -1)-20%(2-x)=x .
解:
整理，得 去括号，得
0.5(3x-1)- 0.2(2-x) = x 1.5x-0.5-0.4+0.2x= x
移项，得
化简，得
1.5x+0.2x -x = 0.5+0.4
0.7x = 0.9 x= 9
7
方程两边同除以 0.7，
（4）50%(3x -1)-20%(2-x)=x .
（1） y 1 = 1 2 y 2 4 y 1 × 4 = 1 2 y× 4 去分母，得 解: 4 2 (y -1)×2 = 1-2y 去括号，得 移项，得 化简，得 2y-2 = 1-2y 2y +2y = 2+1 4y = 3 y= 3
练习
1. 下面方程的求解是否正确？如不正确，请改正.
应改为 4 x +6 =2+x 解方程 解 去括号，得 移项，得 化简，得 2(2x+3)=2+x 4x+3=2+x 4x +x = 2-3 5x = -1 应改为 3x =-4 方程两边都除以3，得 应改为 x = -4 3
应改为 4 x – x = 2-6
本问题涉及的等量关系有： 甲完成的工作量 + 乙完成的工作量 = 总工作量. 因此，设工作总量为1，则甲每天完成工作总量 1 1 的 15 ，乙每天完成工作总量的 12 . 如果剩下的工作两人合绣x天就可完成， 1 那么甲共绣了(x+1)天，完成的工作量为 15( x +1) ； 1 乙共绣了(x+4)天，完成的工作量为 12( x +4) .
说一说
上面解方程4(x+2 )= 5( x-2)的过程中， 包含哪些步骤？
例2 解方程： 3(2x -1) = 3x + 1.
解 去括号，得 6x-3 = 3x+1
移项，得 6x -3x = 1+3 合并同类项，得 3x = 4 4 两边都除以3，得 x = 3 4 因此，原方程的解是 x = 3 .
本节内容 3.3
一元一次方程的解法
动脑筋
某探险家在2002年乘热气球在24h内连续飞 行5129km. 已知热气球在前12h飞行了2345 km， 求热气球在后12h飞行的平均速度.
本问题涉及的等量关系有： 前12h飞行的路程 + 后12h飞行的路程 = 总路程.
因此，设后12h飞行的平均速度为x km/h， 则根据等量关系可得 2345 + 12x = 5129. 利用等式的性质，在方程①两边都减去2345， 得 2345+12x-2345= 5129-2345，
不对，应为 25x-3(2x-3)=30
（3） 3 x+1 + 5 x = 4，去分母，得4(3x+1)+25x= 80. 5 4
对
2. 解下列方程：
（1） y 1 = 1 2 y ； 2 4
（2） 5 +3 x = 3 5 x ； 2 3 （3） 2 x 15 x 1 =1 ； 6 8
2
计算结果 进行检验
检验：把x=-8分别代入原方程的左、右两边， 左边= (-8)-1= 7， 1 右边= 3- 2 ×(-8)=7， 左边=右边 所以 x=-8 是原方程的解.
一般地，从方程解得未知数的值以后，要代入 原方程进行检验，看这个值是否是原方程的解，但 这个检验过程除特别要求外，一般不写出来.
9
9 因此，原方程的解是 x = 7 .
7x = 9
说一说
解一元一次方程有哪些基本步骤？
一元一次方程
去分母，去括号， 移项，合并同类项得 ax=b(a，b是常数，a≠0)
两边都除以a得
b x=a
练习
1. 下面各题中的去分母对吗？如不对，请改正.
5x （1） 3 - 2 x- 3 = 2，去分母，得5x-2x+3 = 2； 5
化简，得
10y = 6
3 y= 5
方程两边同除以 10，
（2） 原方程为2(2x -1)-2(4x+3)= 7 去括号，得 4x-2-8x-6= 7 移项，得 化简，得 4x-8x = 2+6+7 -4x = 15 x = - 15 4
方程两边同除以 -4，
（3） 原方程为 3(x -4)= 4x-1
检验：把x=-5分别代入原方程的左、右两边， 左边= 4×(-5)+3=-17， 右边= 2×(-5)-7+3=-17， 左边=右边 所以 x=-5 是原方程的解.
将同类项放在一起
解 （2） 原方程为 -x -1= 3 - 1 x
移项，得 -x + 1 x = 3+1 2 1 合并同类项，得 -2 x = 4 两边都乘-2，得 x = -8
中考 试题
例2
3 4 1 x 1 8 3 x . 解方程 4 3 2 4 2
分析
解
本题如果按解一元一次方程的一般步骤去解，则比较复杂，观察 方程的特点，可以看出本题若采用由外及里的方法去括号，可使运算 较简单. 3 4 1 x 1 8 3 x 4 3 2 4 2 1 去中括号，得 x 1 6 3 x ，即 2 4 2 1 x 1 6 3 x 2 4 2 移项，得 3 x 1 x 1 6 . 2 2 4 ∴ x = 6 1 4
因此，两人再合绣4天，就可完成这件作品．
例3
解方程：
3 x 1 2 x x 5 2
3 x 1 2 x x 5 2
解 去分母，得
去括号，得
5(3x -1)-2(2-x)=10x 15x -5-4+2x= 10x
移项，合并同类项，得
方程两边都除以7，得 x= 7
wenku.baidu.com 练习
1. 下面的移项对吗？如不对，请改正.
（1）若x -4 = 8，则x = 8-4；
不对，移项没有变号，应为x = 8+4 （2）若3s = 2s+5，则-3s-2s = 5； 不对，应为3s-2s=5 （3）若5w-2 = 4w+1，则5w-4w = 1+2； 对 （4）若8+x= 2x，则8-2x = 2x-x. 不对，应为8=2x-x
方程两边都除以5 ，得 x = -1 5
2. 解下列方程.
（1） (4y+8)+2(3y-7)= 0 ； （2） 2(2x -1)-2(4x+3)= 7； （3） 3(x -4)= 4x-1.
解 （1） 原方程为(4y+8)+2(3y-7)= 0
去括号，得 4y+8+6y-14= 0 移项，得 4y+6y = 14-8
例1 解下列方程： （1）4x+3 = 2x-7 ；
（2）-x -1= 3 - 1 x .
2
4x
-3 +3
=
-2x 2x
-7
=
将同类项放在一起
解 （1） 原方程为4x+3 = 2x-7
移项，得 4x -2x = -7-3
2x = -10
计算结果
合并同类项，得
两边都除以2，得
x = -5
进行检验
4
方程两边同除以 4，
（2） 5 +3 x = 3 5 x 3 2
解:
去分母，得
5 +3 x 3 5 x × 6 ×6= 2 3
(5+3x)×3 = (3+5x)×2 去括号，得 移项，得 化简，得 15+9x = 6+10x 9x -10x = 6-15 -1x = -9 x=9
方程两边同除以 1，