带状态观测器的控制系统综合设计与仿真

带状态观测器的控制系统综合设计与仿真

一、主要技术参数：

1.受控系统如图所示：

图1 受控系统方框图

2.性能指标要求： （1）动态性能指标： 超调量 5%p σ≤； 超调时间 0.5p t ≤秒； 系统频宽 10b ≤ω； （2）稳态性能指标：

静态位置误差0=p e （阶跃信号） 静态速度误差2.0≤v e （速度信号） 二、设计思路

1、按图中选定的状态变量建立系统的状态空间数学模型。

2、对原系统在Simulink 下进行仿真分析，对所得的性能指标与要求的性能指标进行比较。

3、根据要求的性能指标确定系统综合的一组期望极点。

4、假定系统状态均不可测，通过设计系统的全维状态观测器进行系统状态重构。

5、通过状态反馈法对系统进行极点配置，使系统满足要求的动态性

能指标。

6、合理增加比例增益，使系统满足要求的稳态性能指标。

7、在Simulink 下对综合后的系统进行仿真分析，验证是否达到要求的性能指标的要求。 三、实验设计步骤

I 、按照极点配置法确定系统综合的方案

1、按图1中选定的状态变量建立系统的状态空间数学模型 ① 列写每一个环节的传递函数 由图1有：

112235()()510()()10()()U s x s s x s x s s x s x s s ⎧=⎪+⎪

⎪

=

⎨+⎪

⎪

=⎪⎩

②叉乘拉式反变换得一阶微分方程组 由上方程可得

1213

2(5)()5()(10)()10()

()()

s x s U s s x s x s sx s x s +=⎧⎪

+=⎨⎪=⎩

即

112123

2()5()5()()10()10()

()()

sx s x s U s sx s x s x s sx s x s =-+⎧⎪

=-⎨⎪=⎩ 拉式反变换为

1121232551010x x U x x x x x ⎧=-+⎪⎪=-⎨⎪⎪=⎩

g

g

g 输出由图1可知为

3y x =

③用向量矩阵形式表示

11223350051010000100x x x x u x x ⎡⎤

⎢⎥-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥

⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣

⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦

g g g []001y x =

2、对原系统在Simulink 下进行仿真分析，对所得的性能指标与要求的性能指标进行比较

原受控系统仿真图如下：

图2 原受控系统仿真图

原受控系统的阶跃响应如下图：

图3 原受控系统的阶跃响应曲线

很显然，原系统是不稳定的。

3、根据要求的性能指标确定系统综合的一组期望极点

由于原系统为三阶系统，系统有3个极点，选其中一对为主导极点1s和s，另一个为远极点，并且认为系统的性能主要是由主导极点决定的，远2

极点对系统的影响很小。

根据二阶系统的关系式，先定出主导极点。

p t =e

p n b ωωσ=

=

式中，ξ和n ω为此二阶系统的阻尼比和自振频率。 可以导出：

①由p 5%=e σ≤

2.996≥，从而有0.69ξ≥，于

是选0.707ξ=

=。 ②由0.5p t s ≤

0.5

1n

πω=≤ 90.50.707

n π

ω≥

≈⨯

③由10b ω≤

和已选的ξ=

得10n ω≤，与②的结果比较，取

10n ω=

。这样，便定出了主导极点1,2n s j ξωω=-±

远极点应选择使它和原点的距离远大于15s 的点，现取317s s =，因此确定的希望极点为

123

7.077.077.077.0750s j s j s =-+⎧⎪

=--⎨⎪=-⎩ 4、确定状态反馈矩阵K

由步骤1所得状态空间方程知，受控系统的特征多项式为

325

00()det()10100

1

(5)(10)1550s f s sI A s s

s s s s s s

+=-=-+-=++=++

12315,50,0a a a ∴===

而由希望的极点构成的特征多项式为

*3

2

()(7.077.07)(7.077.07)(50)64.148075000

f s s j s j s s s s =+++-+=+++

***12364.14,807,5000a a a ∴=== 于是状态反馈矩阵K ∧

为

[]

***33221

1500075749.14K a a a a a a ∧

⎡⎤=---⎣⎦

=

根据系统的能控性判据判断系统的能控性

[]2

c c Q b Ab A b rank Q n

⎡⎤=⎣⎦

=

则

5251250507500050c Q -⎡⎤

⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦

[]3c rank Q n ==

由上式知，原系统是完全能控的。

若做变换X P X ∧

=，那么就可建立起给定的（A,B,C ）和能控规范型

(,,)A B C ∧

∧

∧

之间的关系式1

A P AP ∧-=,1

B P B ∧-=,

C C P ∧

=。

32500

det()10100

1

(5)(10)1550s sI A s s s s s s s s

+-=-+-=++=++

12315,50,0a a a ∴===

2

1211001011252551007505001510500050151050505005000P A b Ab b a a a ⎡⎤⎢⎥⎡⎤∴=⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦

-⎡⎤⎡⎤

⎢⎥⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎡⎤

⎢⎥=⎢⎥

⎢⎥⎣⎦

1

*10

00.0200.0200.20.20P P

P

-∴=⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦

[]1ˆ9.8 5.3100K KP

-== 极点配置的Matlab 程序如下：

A=[-5 0 0;10 -10 0;0 1 0];b=[5;0;0];c=[0 0 1];