高等数学极限习题100道
高等数学极限习题500道汇总
．求证：存在，且，＝时，设当βα=β+βα+αβαβ=βαα→→→→000lim lim lim)()(11110x x x x x x o o x x 答（ ） ．． ． ． ．是等价无穷小，则与时，若当232123211cos )(1)1()(0312--=-=β-+=α→D C B A a x x ax x x（ ） 答 阶的是时，下述无穷小中最高当xx D x C x B x A x sin 11cos 1022----→[]之值．求)12ln()12ln(lim --+∞→n n n n ．求极限)2sin()1(lim 2+π-+∞→n n n n ．求极限)11ln()21(lim nn n ++∞→ _____________sin 1lim 3202=--→的值xx x e x x．及求证：，，设有数列n n n n n n n nn n a a a y a a a a b b a a a ∞→+∞→∞→++-=+=≠==lim )(lim lim 2)( 11221．及，求记：， ．，设n n n n nn n n n n n n x y x x y x x x x x a b b x a x ∞→∞→++++-=+=>>==lim lim 112)0(111221求极限之值．lim ()cos sin x x x xx →+-0212设，；且试证明：．lim ()lim ()lim ()()x x x x x x v x Bu x A A v x Bu x A →→→=>==0[] 答（ ） ． ． ． ．2ln 01)1ln(lim 2)1(11D C B A x x x ∞=+-→ 答（ ） ． ． ． ．21)21(lim 2sin 0D e C e B A x xx x =+→[]的结果．之值，并讨论及求：设1)(1)(lim )(lim 11)(lim )( .1sin1)(0012----=+=→→→x u x u f x u u u f u u f xx x u x x u_____________69lim 223的值等于---→x x x x．不存在 ． ． ．D C B A e e e e xx xx x 1231234lim =++--∞→答：（ ）lim ()()()....x x x x A B C D →∞-+-=-⨯2361112335853 不存在答：（ ）____________)61()31()21(lim 1522010=+++∞→x x x x ____________lim 0的值等于x x x e e x -→- ．求极限123lim 2331+--+-→x x x x x x 求之值．lim ()x x xx x →+--+03416125已知：，问？为什么？lim ()lim ()()lim ()x x x x x x u x u x v x A v x →→→=∞=≠=0关于极限结论是： 不存在 答（ ）limx xeA B C D →+015353054答（ ） ，则极限式成立的是，设 )(lim .)()(lim .)()(lim .0)()(lim.)(lim )(lim )(0000∞=∞=∞==∞==→→→→→→x g x x x x x x x x x x x x x f D x g x f C x f x g B x g x f A x g A x f是不是无穷大量．时，，问当)(cos )(x f x x e x f x +∞→= 答（ ） 不存在 2.2...0.1arctantan lim 0π-π=⋅→D C B A xx x答（ ） 2.1..0.)arctan(lim 2π∞=∞→D C B A xx x 答（ ） 不存在 .2.2.2.312lim2D C B A x x x ±-=++∞→___________)0(23)(1=-+=f ex f x，则设 答（ ） 不存在 2....0.1cotarc lim 0ππ=→D C B A xxlimcos ln ....x a xxa A B C D →--==0100123，则其中 答（ ）π____________cos 13lim 20的值等于xxe e x x x ----→lim(cos ).....x x xA B C D →-=-0212220 不存在 答：（）设，其中、为常数．问：、各取何值时，； 、各取何值时，； 、各取何值时，．f x px qx x p q p q f x p q f x p q f x x x x ()()lim ()()lim ()()lim ()=++-===→∞→∞→2555112031求极限．lim ()()()()x n n n n x x x x →∞+--++-2222222211 求极限．lim ()()x x x →∞++32232332[]之值．、、试确定已知C B A x x c x B A x x 0)1()1()1(3lim2241=--+-+-+→之值．，，，试确定常数．，，满足已知d c b a x f x f x x dcx bx ax x f x x 0)(lim )2(1)(lim )1(2)(1223==-++++=→∞→ 之值．，，试确定已知b a x x b x b a x 4313)(lim1=+-+++→为什么？＂上述说法是否正确？，则＂若∞=α=α→→)(1lim0)(lim 0x x x x x x当时，是无穷大，且，证明：当时，也为无穷大．x x f x g x A x x f x g x x x →=→+→000()lim ()()()．用无穷大定义证明：+∞=-+→112lim1x x x ．用无穷大定义证明：-∞=+→x x ln lim 0 +∞=-π→x x tan lim 02用无穷大定义证明： ．用无穷大定义证明：+∞=-+→11lim 01x x＂当时，是无穷小＂是＂＂的：充分但非必要条件必要但非充分条件充分必要条件既非充分条件，亦非必要条件 答（ ）x x f x A f x A A B C D x x →-=→00()lim ()()()()()若，，但．证明：的充分必要条件是 ．lim ()lim ()()lim()()lim ()()()x x x x x x x x f x g x g x f x g x b f x b g x g x →→→→==≠=-⋅=0000000．其中，：用数列极限的定义证明)10(0lim <<=∞→a a nn ． ：用数列极限的定义证明)10(1lim 1<<=∞→a a nn ．：用数列极限的定义证明2152)2(lim2=++∞→n n n n ___________)1ln(2)cos(sin 1lim 20的值等于x x x +-→ []之值．求极限3sin 01)(cos limx x xx -→设，试证明：对任意给定的，必存在正数，使得对适含不等式；的一切、，都有成立。
高等数学极限习题100道
设，求证：．lim ()lim ()x x x x f x A f x A →→==0)sin 1(sin lim n n n -+∞→求数列的极限[]Ax f Au f u x u x x x u u x x =ϕ=≠ϕ=ϕ→→→)(lim )(lim )()(lim 000试证：，又，且设设试确定实数，之值，使得：当时，为无穷小；当时，为无穷大。
f x x xa b x a f x x b f x ()ln ()()=-→→1设，问：当趋于何值时，为无穷小。
f x xx x f x ()tan ()=2．该邻域内 的某去心邻域，使得在证明：存在点，且，若)()()(lim )(lim 00x f x g x AB B x g A x f x x x x >>==→→设，试证明：对任意给定的，必存在正数，使得对适含不等式；的一切、，都有成立。
lim ()()()x x f x A x x x x x x f x f x →=><-<<-<-<000010201221εδδδε．，试用极限定义证明：已知：A x f A x f x x x x =>=→→)(lim0)(lim 0{}{}{}是否也必发散？同发散，试问数列与若数列n n n n y x y x +设 其中、为常数，，求的表达式；确定，之值，使，．f x x x a bx x a b a f x a b f x f f x f n n n x x ()limsincos()()()()()lim ()()lim ()()=+++<<==-→∞-→→-2121121021211ππ求的表达式f x x n n ()lim (ln )=+→∞+11221 的表达式．求n n n n n xx x x x f ---+∞→++=12lim )( ．，求，设)(lim )()()()(1)(33)(22x f x f x x x x f x x x n n n n ∞→=ϕ++ϕ+ϕ+=+-=ϕ 求的表达式．f x x x x x x xx n n ()lim ()()=+++++++⎡⎣⎢⎤⎦⎥→∞-11122221 ．，求，其中设n n k nk k n S k b b kS ∞→=+==∑lim )!1(1求的表达式。
极限练习(基础题)
极限练习(基础题) -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN第二章 极限与连续一、判断题1. 若)(lim )(lim 0x f x f x x x x -+→→=，则 )(x f 必在 0x 点连续； （ ）2. 当0x →时，2sin x x +与 x 相比是高阶无穷小； （ ）3. 设 )(x f 在点 0x 处连续，则 )(lim )(lim 00x f x f x x x x -+→→= ；（ ）4. 函数 21sin ,0()0,0x x f x xx ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩ 在 0x = 点连续； （ ） 5. 1=x 是函数 122--=x x y 的间断点； （ ） 6.()sin f x x = 是一个无穷小量； （ ）7. 当 0→x 时，x 与 )1ln(2x + 是等价的无穷小量； （ ） 8. 若 )(lim 0x f x x → 存在，则 )(x f 在 0x 处有定义； （ ）9. 若x 与y 是同一过程下两个无穷大量，则x y -在该过程下是无穷小量；（ ）10. 21sin lim0=+→x x x x ； （ ）11. 01lim sin 1x x x→= ； （ ）12. 22lim(1)x x e x-→∞+= ；（ ）13. 11,0,,0,,0,481数列收敛2；（ ）14. 当0x +→x ；（ ）15. 函数 1()cos f x x x= ，当 x →∞ 时为无穷大；（ ）16. sin lim 1x xx→∞= ；（ ）17. 无穷大量与无穷小量的乘积是无穷小量；（ ）18. ln(1)x +~x ； （ ） 19. 1lim sin1x x x→∞= ；（ ） 20. 0tan lim1x xx→= . （ ）二、单项选择题1、=+-+-→45127lim 224x x x x x （ ） A ．1 B ．0 C ．∞D ．312、 hx h x 220h )(lim -+→ =( )。
极限计算练习题
极限计算练习题极限计算是高等数学中的一个重要概念，它涉及到函数在某一点或无穷远处的行为。
以下是一些极限计算的练习题，供学习者练习和检验自己的极限计算能力。
1. 计算极限 \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}\)。
2. 求函数 \( f(x) = x^2 - 1 \) 在 \( x = 2 \) 处的左极限和右极限，并判断极限是否存在。
3. 计算 \(\lim_{x \to \infty} \frac{3x^2 + 2x - 5}{x^2 + 4}\)。
4. 求 \(\lim_{x \to 1} (x^3 - 3x^2 + 2x - 1)\)。
5. 判断函数 \( f(x) = \frac{1}{x - 1} \) 在 \( x = 1 \) 处是否有极限，并说明理由。
6. 计算 \(\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x}\)。
7. 求 \(\lim_{x \to 0} \frac{\tan x - \sin x}{x^3}\)。
8. 计算 \(\lim_{x \to \infty} \frac{\ln x}{x}\)。
9. 求 \(\lim_{x \to 1} \frac{1}{x - 1}\)。
10. 计算 \(\lim_{n \to \infty} \frac{n^2}{n^2 + 1}\)。
11. 求 \(\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2}\)。
12. 计算 \(\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + x)}{x}\)。
13. 判断函数 \( f(x) = x^3 \sin \left(\frac{1}{x}\right) \)在 \( x = 0 \) 处是否有极限。
14. 求 \(\lim_{x \to \infty} \frac{\sin x}{x}\)。
15. 计算 \(\lim_{x \to 0} \frac{1}{1 + x^2}\)。
极限练习题含答案
极限练习题含答案极限是数学分析中的一个重要概念，它描述了当自变量趋近于某个值时，函数值的行为。
下面是一些极限练习题及其答案，供同学们学习和练习。
练习题1：求极限\[ \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} \]答案1：根据洛必达法则或者直接使用三角函数的性质，我们可以知道：\[ \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 \]练习题2：求极限\[ \lim_{x \to \infty} \frac{3x^2 + 2x + 1}{x^2 - 3x + 2} \]答案2：分子和分母同时除以\( x^2 \)，得到：\[ \lim_{x \to \infty} \frac{3 + \frac{2}{x} +\frac{1}{x^2}}{1 - \frac{3}{x} + \frac{2}{x^2}} = 3 \]练习题3：求极限\[ \lim_{x \to 0} (1 + x)^{1/x} \]答案3：这是e的极限定义，即：\[ \lim_{x \to 0} (1 + x)^{1/x} = e \]练习题4：求极限\[ \lim_{x \to 1} \frac{1}{x - 1} \]答案4：这是一个无穷小量的倒数，当\( x \)趋近于1时，\( x - 1 \)趋近于0，所以：\[ \lim_{x \to 1} \frac{1}{x - 1} \text{ 不存在} \]练习题5：求极限\[ \lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{\sin 3x} \]答案5：分子分母同时除以\( \sin x \)，得到：\[ \lim_{x \to 0} \frac{2}{3} \cdot \frac{\sin x}{x} \cdot\frac{\sin 2x}{\sin 3x} = \frac{2}{3} \cdot 1 \cdot 1 =\frac{2}{3} \]练习题6：求极限\[ \lim_{x \to 0} x \cdot \tan x \]答案6：使用洛必达法则或者直接利用三角函数的性质，我们可以得到：\[ \lim_{x \to 0} x \cdot \tan x = \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{\cos x} = 0 \]练习题7：求极限\[ \lim_{x \to \infty} \frac{\sin x}{x} \]答案7：当\( x \)趋近于无穷大时，\( \sin x \)的值在-1和1之间波动，但相对于\( x \)来说，它趋近于0，所以：\[ \lim_{x \to \infty} \frac{\sin x}{x} = 0 \]练习题8：求极限\[ \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} \]答案8：这是e的导数的极限定义，即：\[ \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1 \]以上练习题和答案可以帮助同学们更好地理解和掌握极限的概念和求解方法。
（完整版）函数极限习题与解析
函数与极限习题与解析（同济大学第六版高等数学）一、填空题1、设x x x f lg lg 2)(+-=，其定义域为。
2、设)1ln()(+=x x f ，其定义域为。
3、设)3arcsin()(-=x x f ，其定义域为。
4、设)(x f 的定义域是的定义域是[0[0[0，，1]1]，则，则)(sin x f 的定义域为。
5、设)(x f y =的定义域是的定义域是[0[0[0，，2] ，则)(2x f y =的定义域为。
6、432lim 23=-+-→x k x x x ，则k= 。
7、函数xx y sin =有间断点，其中为其可去间断点。
8、若当0≠x 时，xxx f 2sin )(=，且0)(=x x f 在处连续，则=)0(f 。
9、=++++++∞→)21(lim 222n n nn nn n n Λ。
1010、函数、函数)(x f 在0x 处连续是)(x f 在0x 连续的条件。
1111、、=++++∞→352352)23)(1(lim x x x x x x 。
1212、、3)21(lim -∞→=+e n kn n ，则k= 。
1313、函数、函数23122+--=x x x y 的间断点是。
1414、当、当+∞→x 时，x 1是比13+-+x x 的无穷小。
1515、当、当0→x 时，无穷小x --11与x 相比较是 无穷小。
1616、函数、函数x e y 1=在x=0处是第 类间断点。
1717、设、设113--=x x y，则x=1为y 的 间断点。
1818、已知、已知33=⎪⎭⎫ ⎝⎛πf ，则当a 为 时，函数x x a x f 3sin 31sin )(+=在3π=x 处连续。
1919、设、设⎪⎩⎪⎨⎧>+<=0)1(02sin )(1x ax x x x x f x 若)(lim 0x f x →存在 ，则a= 。
2020、曲线、曲线2sin 2-+=xx x y 水平渐近线方程是 。
高数极限习题及答案
练习题1. 极限xx x x x x x x xx x x x x x 1lim)4(11lim)3(15865lim )2(31lim )1(2312232---+-+-+++-∞→→→∞→(5) 已知011lim 2=⎪⎪⎭⎫⎝⎛--++∞→b ax x x x , 求常数a , b .(6) x x x x sin 1sin lim 20→ (7) 211lim 22x x x x ⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-∞→(8) xx x21lim 0-→ (9)x x x sin )31ln(lim 0-→(10)⎪⎪⎭⎫⎝⎛-∞→1lim 1xx e x2. 函数的连续性(1) 确定b 的值, 使函数⎩⎨⎧<≥+==-002)(1x e x b x x f y x 在x =0点连续.(2) 确定a , b 的值, 使函数1lim)(2212+-+==-∞→nn n x bxax xx f y 在整个实数轴上连续.(3) 讨论下列函数的连续性, 并判断其间断点的类型.①x xx f sin )(=② ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=≠+-=0001212)(11x x x f xx3. 连续函数的性质 (1) 设1)(1-+++=-x xx x f n n ,证明：)(x f 有一个不大于1的正根.(2) 若),()(∞+-∞∈C x f , 且A x f x =∞→)(lim , 证明: ),()(∞+-∞在x f 内有界.提高1º),()(∞+-∞在x f 内至少有一个最值存在. 2º 对于最值与A 间的任意值C , 存在21,ξξ, 使得C f f ==)()(21ξξ.2. 函数的连续性(1) 确定b 的值, 使函数⎩⎨⎧<≥+==-002)(1x ex b x x f y x在x =0点连续.解:1)(lim )(lim )0(-→→====-+e x f b x f f x x(2) 确定a , b 的值, 使函数1lim)(2212+-+==-∞→nn n x bxax xx f y 在整个实数轴上连续.解:⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧-=++-=-+<->==121121111)(2x b a x ba x bx ax x x x f yb a x f x f b a f x x -====-+=-+→→)(lim 1)(lim 21)1(11 b a x f x f b a f x x +==-==++-=--→-→-)(lim 1)(lim 21)1(_111,0-==b a(3) 讨论下列函数的连续性, 并判断其间断点的类型.①x x x f sin )(=解: x =0为可去间断点.②⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=≠+-=0001212)(11x x x f xx解:1)(lim 1)(lim 0-=≠=-+→→x f x f x x , x =0为跳跃间断点.3. 连续函数的性质 (1) 设1)(1-+++=-x xx x f n n ,证明：)(x f 有一个不大于1的正根.解: 若n=1, 则显然有解x =1. 若n>1, 则01)1(,01)0(>-=<-=n f f , 由零点定理可知在(0, 1)内至少有一个根..(2) 若),()(∞+-∞∈C x f , 且A x f x =∞→)(lim , 证明: ),()(∞+-∞在x f 内有界.解: 由A x f x =∞→)(lim 可知: 0>∃X , 当X x >时, 1)(<-A x f , 故1)(+<A x f由),()(∞+-∞∈C x f 可知]1,1[)(+--∈X X C x f , 故01>∃M ,当1+<X x 时, 1)(M x f <取}1,max{1+=A M M 即可.提高1º),()(∞+-∞在x f 内至少有一个最值存在. 2º 对于最值与A 间的任意值C , 存在21,ξξ, 使得C f f ==)()(21ξξ.证明: 若A x f ≡)(, 则显然结论成立.设存在A x f >)(0, 则存在X >0, 当X x ≥时, 有2)()(0Ax f A x f -<- 于是: )(2)()(00x f A x f x f <+< 由],[)(X X C x f -∈, 可知存在],[X X -∈ξ{})(],[:)(max )(0x f X X x x f f ≥-∈=ξ从而),()(∞+-∞在x f 内有最大值)(ξf .对于任意的C , )(ξf C A <<, 存在X 1>0, 当1X x ≥时, 有 C AC x f <+<2)( 于是有CAC X f <+<±2)(1. 分别在闭区间],[],,[11X X ξξ-上使用介值定理即可得结论2º.。
高数 上 习题及答案 极限
x +1
⎞ ⎟ ⎟ ⎟
⎝ 2x ⎠
3
=
lim
x→∞
⎛⎜1 ⎝ ⎛⎜⎝1
+ +
3 2x 1 2x
x +1
⎞ ⎟ ⎠
x +1
⎞ ⎟⎠
3
⎡
⎤ 2x 2
=
lim
⎢⎢⎢⎣⎛⎜⎝ 1 +
3 2x
⎞ ⎟ ⎠
3
⎥
⎥ ⎥⎦
⎛⎜ 1 + ⎝
3 2x
⎞ ⎟ ⎠
x→∞
1
⎡⎢⎢⎣⎛⎜⎝1
+
1 2x
2
⎞ ⎟ ⎠
x
⎤ ⎥ ⎥⎦
ln lim y = ln e0 , lim y = 1
x→π
x→π
2
2
5
解： lim sin xln x
lim xsin x = lim esin xln x = ex→0+
x→0+
x→0+
ln x
lim sin xln x = lim
x→0+
1 x→0+
sin x
1
= lim
x→0+
x⋅
−cos x sin2 x
⎛⎜1
+
⎠⎝
3 n
⎞ ⎟ ⎠
=1
（18） lim sin 5x = （ ）
x→π sin 3x
（a） − 4 （b）-1 （c）1
3 分析：lim sin 5x = lim 5cos5x = 5
x→π sin 3x x→π 3cos 3x 3
（d） 5
3
（22） lim x2 +1 − 3x = （ ）
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设，求证：．lim ()lim ()x x x x f x A f x A →→==00 求极限lim sinsin x x x x →021[]求极限lim cosln()cosln x x x →+∞+-1 求极限．lim sin x x x→+011求极限．limarctan x xx x →∞+2112 求极限lim ()x x x e →∞+11 求极限limarctan arcsin x x x→∞⋅1 求极限．lim x x x →-+012122 )sin 1(sin lim n n n -+∞→求数列的极限[]Ax f Au f u x u x x x u u x x =ϕ=≠ϕ=ϕ→→→)(lim )(lim )()(lim 000试证：，又，且设设试确定实数，之值，使得：当时，为无穷小；当时，为无穷大。
f x x xa b x a f x x b f x ()ln ()()=-→→1设，问：当趋于何值时，为无穷小。
f x xx x f x ()tan ()=2．该邻域内 的某去心邻域，使得在证明：存在点，且，若)()()(lim )(lim 00x f x g x AB B x g A x f x x x x >>==→→设，试证明：对任意给定的，必存在正数，使得对适含不等式；的一切、，都有成立。
lim ()()()x x f x A x x x x x x f x f x →=><-<<-<-<000010201221εδδδε．，试用极限定义证明：已知：A x f A x f x x x x =>=→→)(lim0)(lim 0{}{}{}是否也必发散？同发散，试问数列与若数列n n n n y x y x +求的表达式f x x x x n n n ()lim =-+→∞+2121设 其中、为常数，，求的表达式；确定，之值，使，．f x x x a bx x a b a f x a b f x f f x f n n n x x ()lim sincos()()()()()lim ()()lim ()()=+++<<==-→∞-→→-2121121021211ππ求的表达式f x x n n ()lim(ln )=+→∞+11221 的表达式．求n n n n n xx x x x f ---+∞→++=12lim )( ．，求，设)(lim )()()()(1)(33)(22x f x f x x x x f x x x n n n n ∞→=ϕ++ϕ+ϕ+=+-=ϕ 求的表达式．f x x x xx x xx n n ()lim ()()=+++++++⎡⎣⎢⎤⎦⎥→∞-11122221 求的表达式．f x x x n nn ()lim =+→∞1 ．，求，其中设n n k nk k n S k b b k S ∞→=+==∑lim )!1(1求的表达式。
f x x x x x x x n n n n ()lim ()()()=+-+-++-⎡⎣⎢⎤⎦⎥→∞1121212222 ．的表达式，其中求01)1(1)1(lim)(≥+++++=∞→x x x x x x f nn n ．其中．求数列的极限)0( )(23)(23lim 11>>-+-+++∞→b a b a b a n n n n n求数列的极限．lim ()n n n n →∞⨯+⨯-53323 求数列的极限．lim()n n n →ℵ++++-123453212．，其中求数列的极限1)321(lim 12<++++-∞→q nq q q n n求数列的极限其中．lim ()()()()()()()()n a a a a a a a n a n a n a →∞+++++++++-+++⎡⎣⎢⎤⎦⎥>11211231110 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-++⋅+⋅∞→)12)(12(1531311lim n n n 求数列的极限 ．求数列的极限⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++⋅+⋅+⋅∞→)1(1431321211lim n n n [])0( )1(321lim 222232>-++++∞→a n na n 其中求数列的极限．求数列的极限⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+++++∞→2)1(321(21lim 2n n n n 求数列的极限．lim ()n n n n →∞+-+21[]求数列的极限．lim ()n n n n →∞++--2451．求数列的极限nn n n n n )1)(1(63lim 34+---+∞→．其中．求数列的极限)1( 2lim ≠+∞→a a a nnn ．求数列的极限)11()311)(211(lim 222nn ---∞→ 求数列的极限．lim n n n →∞+1000012求数列的极限．lim n n n n n →∞++-+2243351 求数列的极限．lim()n n n →∞+-1求数列的极限．lim n n n n →∞++123)200( 2122lim≠>>+-+--+∞→b b a n b n n a n n 且，．求数列的极限求数列的极限．lim ()n n n n →∞--1212 求数列的极限． lim ()n n n n →∞-+-1213求极限．lim n n nn n →∞--⨯-⨯⨯+⨯2103103102102121．，，且的某邻域内若在B x g A x f x g x f x x x x x ==>→→)(lim )(lim )()(00．试判定是否可得：B A >是否成立？为什么？，则，若0)()(lim 0)(1lim 0)(lim 000=βα≠=β=α→→→x x b x x x x x x x x[][]确定，之值，使，并在确定好，后求极限a b x x ax b a b x x x ax b x x lim()lim ()→+∞→+∞++-+=++-+347034722求极限．lim()x xx x x →∞+--11求极限．lim cos sin x x xx x →∞+-23求极限lim ()()()()()()x x x x x x x →∞++++++++--121311011011112222[]求极限．lim ()x xx x x →+∞++-+2251 求极限．lim ()x x x x →-∞-+++485212讨论极限．lim x x xx x e e e e→∞---+2343232 求极限．lim ()()()()()()()x x x x x x x x →∞-----++121314151233232 求极限．lim ()()()()()()x x x x x x x →∞+++++-⋅12131415153222222222335 求极限．lim ()()()x x x x →∞--+43326723425 求极限 ，．lim ()x x x a a a a →+∞+>≠1012 求极限．lim tan tan()x x x →⋅-ππ424为无穷小．时，之值，使当，确定)(54)(2b ax x x x f x b a +-+-=-∞→求极限．lim x x x x x →-+-+1343243 求极限．lim x x x x →-+-222564求极限．lim x x x →+--233222求极限．lim x x x x →--+-2251254求极限．lim x x x →+-0255 求极限lim ()()()()x x x x x →---++--0352312114132 求极限．lim ()()x x x x →+--02324211 ．为自然数，求极限)( )2(lim n m ax a a x n n mm a x ---→ 求极限lim ()()x x x x →+-+0531214 求极限．lim ()x x x→+-04131设f x ax a x ax a x a()()()=------2211222问：当为何值时，； 当为何值时，； 当为何值时，，并求出此极限值。
()lim ()()lim ()()lim ()1212301112a f x a f x a f x x x x →→→=∞=>求极限．limcsc cot x x x x →-0 求极限．lim cos x axx →-021求极限．lim tan sin x x x x →+-+0311 )20(tan tan lim π<α<α-α-α→ 求极限x x x 求极限 为常数，．lim sin cos sin cos ()x x xpx px p p →+-+-≠0110 讨论极限．lim cos x x x→-022．求极限x x x x x x tan cos sin 1lim 0-+→求极限．lim ln()x x x→+013．求数列的极限1)41(arctan lim 2+π-+∞→n n n n 求数列的极限．lim sin n n e n →∞．求数列的极限12sin 2lim -∞→πn n n 求数列的极限．lim (cos )n n n →∞-21π[] 答（ ） 存在不一定存在都存在，而，不一定存在存在，但不一定存在存在，但，则，上的单调增函数，，是定义在设)(lim )()(lim )0()0()()0()0()()0()0()()()(00000000x f D x f x f x f C x f x f B x f x f A b a x b a x f x x x x →→+--++-∈．存在，并求出此极限值，证明：，且设n n n n x ax x a x ∞→+=>>lim 011 。
存在，并求出此极限值，证明，且设n n n n x x x x ∞→++==lim 2211设，且其中，证明极限存在，并求出此极限值．x x x ax a x n n n n n 110120>=+>+→∞()()lim设，，，．证明极限存在，并求出此极限值。
x x x x x x x x n nnn n 010*******==++=+++→∞lim存在．求证：为正整数，设n n n x n n x ∞→++++=lim )(131211222 .lim 1311311311112存在，求证：设n n n n x x ∞→++++++++=设，，，，证明：；求极限．x x x n n x n x n n n n 1212132413521246211212==⋅⋅=⋅⋅-⋅⋅<+→∞()()()()lim求极限．lim ...x x x x x x →∞+++++100101010010001232 {}．为定数）证明：适合设数列0lim ( ,11=<≤∞→+n n nn n x r r x xx求极限．limtan tan cos()x x xx →-+ππ3336求数列的极限．lim !n n n →∞2 ．则＂证明数列的极限用极限存在的＂夹逼准02lim =∞→n n n．求数列的极限)12111(lim 222nn n n n +++++∞→ ．求数列的极限1!sin lim32+∞→n n n n．求数列的极限⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++++∞→222)2(1)2(1)1(1lim n n n n 求极限．lim ln()ln()x x x e e →+∞++233223 求极限．lim ln()ln()x x x x x →∞++-+6325734 求极限．lim x x x x xx→+∞+++[]设，，当，当讨论及．f x xg x x x x x g x f g x x x ()sin ()lim ()lim ()==-≤+>⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪→→220200ππ [])()(lim , )()(lim )(lim 0000u f x f u f u f u x x x u u x x =ϕ==ϕ→→→证明：，设。