九年级：数学教案-两圆的公切线
初中数学新课程标准教材数学教案( 2019 — 2020学年度第二学期 )学校：年级：任课教师：数学教案 / 初中数学 / 九年级数学教案编订：XX文讯教育机构数学教案－两圆的公切线教材简介:本教材主要用途为通过学习数学的内容，让学生可以提升判断能力、分析能力、理解能力，培养学生的逻辑、直觉判断等能力，本教学设计资料适用于初中九年级数学科目, 学习后学生能得到全面的发展和提高。
本内容是按照教材的内容进行的编写，可以放心修改调整或直接进行教学使用。
第一课时两圆的公切线（一）教学目标：（1）理解两圆相切长等有关概念，掌握两圆外公切线长的求法；（2）培养学生的归纳、总结能力；（3）通过两圆外公切线长的求法向学生渗透“转化”思想．教学重点：理解两圆相切长等有关概念，两圆外公切线的求法．教学难点：两圆外公切线和两圆外公切线长学生理解的不透，容易混淆．教学活动设计（一）实际问题（引入）很多机器上的传动带与主动轮、从动轮之间的位置关系，给我们以一条直线和两个同时相切的形象．（这里是一种简单的数学建模，了解数学产生与实践）（二）两圆的公切线概念1、概念：教师引导学生自学．给出两圆的外公切线、内公切线以及公切线长的定义：和两圆都相切的直线，叫做两圆的公切线．(1)外公切线：两个圆在公切线的同旁时，这样的公切线叫做外公切线．(2)内公切线：两个圆在公切线的两旁时，这样的公切线叫做内公切线．(3)公切线的长：公切线上两个切点的距离叫做公切线的长．2、理解概念：(1)公切线的长与切线的长有何区别与联系?(2)公切线的长与公切线又有何区别与联系?(1)公切线的长与切线的长的概念有类似的地方，即都是线段的长．但公切线的长是对两个圆来说的，且这条线段是以两切点为端点；切线长是对一个圆来说的，且这条线段的一个端点是切点，另一个端点是圆外一点．(2)公切线是直线，而公切线的长是两切点问线段的长，前者不能度量，后者可以度量．（三）两圆的位置与公切线条数的关系组织学生观察、概念、概括，培养学生的学习能力．添写教材p143练习第2题表．（四）应用、反思、总结例1、已知：⊙o₁、⊙o₂的半径分别为2cm和7cm，圆心距o₁o₂=13cm，ab是⊙o₁、⊙o₂的外公切线，切点分别是a、b．求：公切线的长ab．分析：首先想到切线性质，故连结o₁a、o₂b，得直角梯形ao₁o₂b．一般要把它分解成一个直角三角形和一个矩形，再用其性质．（组织学生分析，教师点拨，规范步骤）解：连结o₁a、o₂b，作o₁a⊥ab，o₂b⊥ab．过 o₁作o₁c⊥o₂b，垂足为c，则四边形o₁abc为矩形，于是有o₁c⊥c o₂，o₁c=ab，o₁a=cb．在rt△o₂co₁和．o₁o₂=13，o₂c=o₂b- o₁a=5ab=o₁c= (cm)．反思：（1）“转化”思想，构造三角形；（2）初步掌握添加辅助线的方法．例2*、如图，已知⊙o₁、⊙o₂外切于p，直线ab为两圆的公切线，a、b为切点，若pa=8cm，pb=6cm，求切线ab的长．分析：因为线段ab是△apb的一条边，在△apb中，已知pa和pb的长，只需先证明△pab是直角三角形，然后再根据勾股定理，使问题得解．证△pab是直角三角形，只需证△apb 中有一个角是90°(或证得有两角的和是90°)，这就需要沟通角的关系，故过p作两圆的公切线cd如图，因为ab是两圆的公切线，所以∠cpb=∠abp，∠cpa=∠bap．因为∠bap+∠cpa+∠cpb+∠abp=180°，所以2∠cpa+2∠cpb=180°，所以∠cpa+∠cpb=90°，即∠apb=90°，故△apb是直角三角形，此题得解．解：过点p作两圆的公切线cd∵ ab是⊙o₁和⊙o₂的切线，a、b为切点∴∠cpa=∠bap ∠cpb=∠abp又∵∠bap+∠cpa+∠cpb+∠abp=180°∴ 2∠cpa+2∠cpb=180°∴∠cpa+∠cpb=90°即∠apb=90°在 rt△apb中，ab²=ap²+bp²说明：两圆相切时，常过切点作两圆的公切线，沟通两圆中的角的关系．（五）巩固练习1、当两圆外离时，外公切线、圆心距、两半径之差一定组成( )(a)直角三角形 (b)等腰三角形 (c)等边三角形 (d)以上答案都不对．此题考察外公切线与外公切线长之间的差别，答案(d)2、外公切线是指(a)和两圆都祖切的直线 (b)两切点间的距离(c)两圆在公切线两旁时的公切线 (d)两圆在公切线同旁时的公切线直接运用外公切线的定义判断．答案：(d)3、教材p141练习（略）（六）小结（组织学生进行）知识：两圆的公切线、外公切线、内公切线及公切线的长概念；能力：归纳、概括能力和求外公切线长的能力；思想：“转化”思想．（七）作业：p151习题10，11．第二课时两圆的公切线（二）教学目标：（1）掌握两圆内公切线长的求法以及公切线与连心线的夹角或公切线的交角；（2）培养的迁移能力，进一步培养学生的归纳、总结能力；（3）通过两圆内公切线长的求法进一步向学生渗透“转化”思想．教学重点：两圆内公切线的长及公切线与连心线的夹角或公切线的交角求法．教学难点：两圆内公切线和两圆内公切线长学生理解的不透，容易混淆．教学活动设计（一）复习基础知识（1）两圆的公切线概念：公切线、内外公切线、内外公切线的长．（2）两圆的位置与公切线条数的关系．（构成数形对应，且一一对应）（二）应用、反思例1、（教材例2）已知：⊙o₁和⊙o₂的半径分别为4厘米和2厘米，圆心距为10厘米，ab是⊙o₁和⊙o₂的一条内公切线，切点分别是a，b．求：公切线的长ab。
组织学生分析，迁移外公切线长的求法，既培养学生解决问题的能力，同时也培养学生学习的迁移能力．解：连结o₁a、o₂b，作o₁a⊥ab，o₂b⊥ab．过 o₁作o₁c⊥o₂b，交o₂b的延长线于c，则o₁c=ab，o₁a=bc．在rt△o₂co₁和．o₁o₂=10，o₂c=o₂b+ o₁a=6∴o₁c=(cm)．∴ab=8（cm）反思：与外离两圆的内公切线有关的计算问题，常构造如此题的直角梯行及直角三角形，在rt△o₂co₁中，含有内公切线长、圆心距、两半径和重要数量．注意用解直角三角形的知识和几何知识综合去解构造后的直角三角形．例2 （教材例3）要做一个图那样的矿型架，将两个钢管托起，已知钢管的外径分别为200毫米和80毫米，求v形角α的度数．解：(略)反思：实际问题经过抽象、化简转化成数学问题，应用数学知识来解决，这是解决实际问题的重要方法．它属于简单的数学建模．组织学生进行，教师引导．归纳：（1）用解直角三角形的有关知识可得：当公切线长l、两圆的两半径和r+r、圆心距d、两圆公切线的夹角α四个量中已知两个量时，就可以求出其他两个量．，；（2）上述问题可以通过相似三角形和解三角形的知识解决．（三）巩固训练教材p142练习第1题，教材p145练习第1题．学生独立完成，教师巡视，发现问题及时纠正．（四）小结（1）求两圆的内公切线，“转化”为解直角三角形问题．公切线长、圆心距、两半径和三个量中已知任何两个量，都可以求第三个量；（2）如果两圆有两条外(或内)公切线，并且它们相交，那么交点一定在两圆的连心线上；（3）求两圆两外(或内)公切线的夹角．（五）作业教材p153中12、13、14．第三课时两圆的公切线（三）教学目标：（1）理解两圆公切线在解决有关两圆相切的问题中的作用, 辅助线规律，并会应用；（2）通过两圆公切线在证明题中的应用，培养学生的分析问题和解决问题的能力．教学重点：会在证明两圆相切问题时，辅助线的引法规律，并能应用于几何题证明中．教学难点：综合知识的灵活应用和综合能力培养．教学活动设计（一）复习基础知识（1）两圆的公切线概念．（2）切线的性质，弦切角等有关概念．（二）公切线在解题中的应用例1、如图，⊙o₁和⊙o₂外切于点a，bc是⊙o₁和⊙o₂的公切线，b，c为切点．若连结ab、ac会构成一个怎样的三角形呢？观察、度量实验（组织学生进行）猜想：（学生猜想）∠bac=90°证明：过点a作⊙o₁和⊙o₂的内切线交bc于点o．∵oa、ob是⊙o₁的切线，∴oa=ob．同理oa=oc．∴ oa=ob=oc．∴∠bac=90°．反思：（1）公切线是解决问题的桥梁，综合应用知识是解决问题的关键；（2）作两圆的公切线是常见的一种作辅助线的方法．例2、己知：如图，⊙o₁和⊙o₂内切于p，大圆的弦ab交小圆于c，d．求证：∠apc＝∠bpd．分析：从条件来想，两圆内切，可能作出的辅助线是作连心线o₁o₂，或作外公切线．证明：过p点作两圆的公切线mn．∵∠mpc=∠pdc，∠mpn=∠b，∴∠mpc－∠mpn=∠pdc－∠b，即∠apc＝∠bpd．反思：（1）作了两圆公切线mn后，弦切角就把两个圆中的圆周角联系起来了．要重视mn的“桥梁”作用．（2）此例证角相等的方法是利用已知角的关系计算．拓展：（组织学生研究，培养学生深入研究问题的意识）己知：如图，⊙o₁和⊙o₂内切于p，大圆⊙o₁的弦ab与小圆⊙o₂相切于c点．是否有：∠apc＝∠bpc即pc平分∠apb．答案：有∠apc＝∠bpc即pc平分∠apb．如图作辅助线，证明方法步骤参看典型例题中例4．（三）练习练习1、教材145练习第2题．练习2、如图，已知两圆内切于p，大圆的弦ab切小圆于c，大圆的弦pd过c点．求证：pa·pb=pd·pc．证明：过点p作两圆的公切线ef∵ ab是小圆的切线，c为切点∴∠fpc=∠bcp，∠fpb=∠a又∵∠1=∠bcp-∠a ∠2=∠fpc-∠fpb∴∠1=∠2 ∵∠a=∠d，∴△pac∽△pdb∴pa·pb=pd·pc说明：此题在例2题的拓展的基础上解得非常容易．（三）总结学习了两圆的公切线，应该掌握以下几个方面1、由圆的轴对称性，两圆外(或内)公切线的交点(如果存在)在连心线上．2、公切线长的计算，都转化为解直角三角形，故解题思路主要是构造直角三角形．3、常用的辅助线：（1）两圆在各种情况下常考虑添连心线；（2）两圆外切时，常添内公切线；两圆内切时，常添外公切线．4、自己要有深入研究问题的意识，不断反思，不断归纳总结．（四）作业教材p151习题中15，b组2．探究活动问题：如图1，已知两圆相交于a、b，直线cd与两圆分别相交于c、e、f、d．(1)用量角器量出∠eaf与∠cbd的大小，根据量得结果，请你猜想∠eaf与∠cbd的大小之间存在怎样的关系，并证明你所得到的结论．(2)当直线cd的位置如图2时，上题的结论是否还能成立?并说明理由．(3)如果将已知中的“两圆相交”改为“两圆外切于点a”，其余条件不变（如图3），那么第（1）题所得的结论将变为什么？并作出证明．提示：（1）（2）（3）都有∠eaf+∠cbd=180°．证明略（如图作辅助线）．说明：问题从操作测量得到的实验数据入手，进行数据分析，归傻贸霾孪耄っ鞑孪氤闪ⅲ庖彩数学发现的一种方法．第(2)、(3)题是对第(1)题结论的推广和特殊化．第(3)题中若cd移动到与两圆相切于点c、d，那么结论又将变为∠cad＝90°．XX文讯教育机构WenXun Educational Institution。
2024版初三数学切线长定理教案[1]
![2024版初三数学切线长定理教案[1]](https://360docs-1393072327.cos.ap-beijing.myqcloud.com/af333ee7dc3383c4bb4cf7ec4afe04a1b071b0ca.webp)
初三数学切线长定理教案•引言•知识链接•探究学习•课堂练习目录•归纳小结•拓展延伸01引言使学生理解切线长定理的概念，掌握切线长定理的证明方法和应用技巧。
知识与技能过程与方法情感态度与价值观通过探究、观察、归纳等数学活动，培养学生的数学思维和解决问题的能力。
激发学生学习数学的兴趣，培养学生的数学素养和严谨的科学态度。
030201切线长定理的概念和性质切线长定理的证明方法切线长定理的应用举例教学重点与难点教学重点切线长定理的证明方法和应用技巧。
教学难点如何引导学生理解切线长定理的本质和应用，以及如何培养学生的数学思维和解决问题的能力。
02知识链接圆是平面上所有与定点（圆心）距离等于定长（半径）的点的集合。
圆的定义及基本性质C = 2πr，S = πr²，其中r 为半径。
圆的周长与面积公式在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。
圆心角、弧、弦之间的关系垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。
垂径定理及其推论圆的性质与定理直线与圆有唯一公共点时，这条直线叫做圆的切线。
切线的定义经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
切线的判定定理圆的切线垂直于经过切点的半径。
切线的性质定理切线的性质与定理相似三角形的性质与判定•相似三角形的定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。
相似三角形的判定方法两角对应相等，两三角形相似。
两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。
三边对应成比例，两三角形相似。
相似三角形的性质对应角相等。
对应边成比例。
面积比等于相似比的平方。
03探究学习利用实际生活中的例子，如切割圆形蛋糕、圆形纸片等，让学生直观感受切线长定理的应用。
通过比较不同切线长度的变化，引导学生发现切线长与半径之间的关系，从而引入切线长定理。
通过回顾圆的性质，引出切线长定理的概念。
通过严格的数学推导，证明切线长定理的正确性。
利用相似三角形或全等三角形的性质，推导切线长与半径之间的等式关系。
九年级数学上册《切线的判定》教案、教学设计
4.设计丰富的例题和练习题，让学生在解答过程中，巩固所学知识，提高学生的解题技巧和应变能力。
（三）情感态度与价值观
1.培养学生对数学学科的兴趣，激发学生学习数学的积极性，使其形成良好的学习习惯。
2.培养学生勇于探索、克服困难的意志品质，增强学生的自信心和自我成就感。
3.引导学生认识到数学知识在实际生活中的应用价值，培养学生运用数学知识解决实际问题的意识。
4.培养学生的审美观念，让学生感受几何图形的和谐美，提高学生的审美情趣。
二、学情分析
九年级的学生已经具备了一定的几何知识和逻辑思维能力，能够理解和运用基本的几何概念和定理。在本章节学习之前，学生已经掌握了圆的基本性质、圆的方程以及点与圆的位置关系等基础知识，这为学习切线的判定打下了良好的基础。然而，学生在面对几何问题的解决策略上，可能还存在一定的局限性，需要教师在教学过程中给予适当的引导和启发。此外，学生的空间想象能力和抽象思维能力的发展水平不一，教学中应关注个体差异，因材施教，激发学生的学习潜能。通过本章节的学习，旨在进一步提高学生的几何推理能力，培养他们运用数学知识解决实际问题的能力，增强学生对数学学科的兴趣和信心。
（二）过程与方法
1.通过观察、分析、归纳，培养学生发现问题和解决问题的能力。
2.采用问题驱动的教学方法，引导学生从特殊到一般，从具体到抽象地理解切线的判定定理。
3.创设合作学习情境，让学生在小组讨论、交流中共同探究，提高团队协作能力和沟通表达能力。
4.设计丰富的例题和练习题，巩固所学知识，提高解题技巧和应变能力。
4.让学生尝试编写一道关于切线的原创题目，并给出解题过程和答案。此举旨在激发学生的创新思维，提高学生对知识点的深入理解。
数学教案-两圆的公切线
数学教案－两圆的公切线引言数学中，圆是一种基本的几何形状，而公切线是指两个圆之间的切线。
研究两个圆的公切线对于培养学生的几何思维、分析问题的能力以及解决实际问题有着重要的作用。
本教案将引导学生通过探究两个圆的公切线的性质，加深对圆形和切线的理解。
教学目标1.了解切线的定义和性质。
2.探究两个圆的公切线的存在条件。
3.理解和应用两个圆的公切线的性质。
教学重点1.公切线的定义和性质。
2.两个圆的公切线的存在条件。
3.两个圆的公切线的性质。
教学内容1. 切线的定义和性质切线的定义在平面几何中，给定一个圆和其上的一个点，过这个点可以作出无数条切线。
切线是与圆仅有一个交点的直线。
切线的性质1.切线与半径的垂直关系：切线与过切点的半径垂直。
2.切线与圆弧的夹角：切线和过切点的切线与圆弧之间的夹角为直角。
2. 两个圆的公切线的存在条件外公切线当两个圆半径之和大于两圆心之间的距离时，两圆存在两条外公切线。
#### 内公切线当两个圆半径之差大于两圆心之间的距离时，两圆存在两条内公切线。
3. 两个圆的公切线的性质1.公切线与两个圆心的关系：两个圆的公切线与两个圆心的连线垂直。
2.公切线的切点：两个圆的公切线与两个圆的切点在一条直线上。
3.外公切线和内公切线的夹角：两个圆的外公切线和内公切线的夹角为直角。
教学步骤1.导入知识：回顾切线的定义和性质。
2.提出问题：给定两个圆，请确定它们的公切线是否存在。
3.探究实践：让学生自主探究两个圆的公切线的存在条件。
4.总结归纳：让学生总结并提出存在条件和性质。
5.拓展应用：将所学的知识运用到解决实际问题中。
6.小结复习：对所学知识进行小结和复习。
教学资源•教材：数学教材•演示工具：黑板和粉笔思考题1.两个圆的半径分别为r1和r2，它们的圆心距离为d。
请推导出两个圆的外公切线的长度的表达式。
2.两个圆的半径分别为r1和r2，它们的圆心距离为d。
请推导出两个圆的内公切线的长度的表达式。
两圆的公切线教案
两圆的公切线教案第一章：引言1.1 教学目标让学生了解两圆的公切线的概念。
让学生掌握如何画出两圆的公切线。
让学生理解两圆公切线与两圆位置关系之间的联系。
1.2 教学内容介绍两圆的定义和基本性质。
引出两圆的公切线的概念。
讲解两圆公切线与两圆位置关系之间的联系。
1.3 教学方法通过图形和实例来引导学生直观地理解两圆公切线的概念。
利用几何证明来帮助学生理解两圆公切线与两圆位置关系之间的联系。
第二章：外公切线2.1 教学目标让学生掌握如何画出两圆的外公切线。
让学生理解两圆外公切线的性质。
2.2 教学内容讲解两圆外公切线的定义和性质。
介绍画出两圆外公切线的方法。
2.3 教学方法通过图形和实例来引导学生直观地理解两圆外公切线的性质。
利用几何证明来帮助学生理解两圆外公切线的性质。
第三章：内公切线3.1 教学目标让学生掌握如何画出两圆的内公切线。
让学生理解两圆内公切线的性质。
3.2 教学内容讲解两圆内公切线的定义和性质。
介绍画出两圆内公切线的方法。
3.3 教学方法通过图形和实例来引导学生直观地理解两圆内公切线的性质。
利用几何证明来帮助学生理解两圆内公切线的性质。
第四章：特殊情况4.1 教学目标让学生了解两圆外公切线和内公切线的特殊情况。
让学生掌握如何画出特殊情况的公切线。
4.2 教学内容讲解两圆外公切线和内公切线的特殊情况。
介绍画出特殊情况公切线的方法。
4.3 教学方法通过图形和实例来引导学生直观地理解特殊情况公切线的性质。
利用几何证明来帮助学生理解特殊情况公切线与两圆位置关系之间的联系。
5.1 教学目标让学生巩固对两圆公切线的理解和掌握。
提高学生解决实际问题的能力。
5.2 教学内容提供练习题，让学生巩固所学知识，并能够灵活运用。
5.3 教学方法通过练习题，培养学生的解题能力和思维能力。
第六章：公切线的判定6.1 教学目标让学生掌握判断两圆公切线的方法。
让学生理解不同情况下公切线判定定理的应用。
6.2 教学内容介绍公切线判定定理。
九年级数学上册22.2.2圆的切线课件新版北京课改版
预习反馈
1.如图，已知以直角梯形ABCD的腰CD为直径的半圆O与梯形上
底AD、下底BC以及腰AB均相切，切点分别是D，C，E．若半
圆O的半径为2，梯形的腰AB为5，则该梯形的周长是（ A ）
A.14B.9Fra bibliotekC.10
D.12
预习反馈
2.如图，PA、PB分别是⊙O的切线，A、B为切点，AC是⊙O的直 径，已知∠BAC=35°，∠P的度数为（ D ）
典例精析
典例精析
典例精析
典例精析
例2、如图所示， ⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为E， F，C，AB = 9，BC = 13，AC=10。求AE、BF和CG的长。
典例精析
分析：∵⊙ O是△ABC的内切圆，切点分别为E， F，G， ∴AE=AG，BE=BF，CG=CF 设AE=x，BF=y，CG=z。 ∴ x + y =9，y + z = 13，z + x = 10。 解这个方程组，得 x =3，y = 6，z = 7。 ∴AE = 3，BF = 6， CG = 7。
A. 35° C. 60°
B. 45° D. 70°
预习反馈
3.如图，AB、CD分别为两圆的弦，AC、BD为两圆的公切线且
相交于P点．若PC=2，CD=3，DB=6，则△PAB的周长为何
（ D）
A. 6
B. 9
C. 12
D. 14
预习反馈
4.如图，AB、AC是⊙O的两条切线，B、C是切点，若
∠A=70°，则∠BOC的度数为（ C ）
本课小结
（4）切线长定理包含着一些隐含结论： ①垂直关系三处； ②全等关系三对； ③弧相等关系两对，在一些证明求解问题中经常用到。
京改版九年级上册22.2圆的切线教学设计
（1）关注学生的课堂参与程度，鼓励学生积极发言，培养学生的表达能力和思维能力。
（2）关注学生的作业完成情况，对学生的掌握程度进行评估，及时发现问题并进行针对性指导。
（3）通过阶段测试，了解学生对圆的切线知识点的掌握情况，调整教学策略。
4.教学拓展：
（1）鼓励学生课后自主探究圆的切线在其他几何问题中的应用，提高学生的自主学习能力。
（三）情感态度与价值观
1.培养学生对圆的几何性质的好奇心，激发学生学习圆的切线知识的兴趣。
2.培养学生勇于探究、善于思考的精神，使学生在解决问题的过程中体验到成就感。
3.培养学生严谨、踏实的科学态度，让学生认识到几何知识在实际生活中的重要性。
4.通过对圆的切线知识的探究，引导学生感悟几何美，培养学生的审美情趣。
三、教学重难点和教学设想
（一）教学重难点
1.重点：圆的切线判定定理的理解与应用；圆的切线方程的求解方法；切线在实际问题中的运用。
2.难点：对圆的切线判定定理的深入理解；切线方程求解过程中涉及的计算技巧；几何作图中切线的准确运用。
（二）教学设想
1.教学方法：
（1）采用情境导入法，通过实际问题引入圆的切线概念，激发学生兴趣。
（2）运用启发式教学法，引导学生发现圆的切线判定定理，培养学生的观察能力和逻辑思维能力。
（3）采用的实际应用能力。
（4）小组合作学习，让学生在讨论和交流中加深对知识点的理解，培养合作精神。
2.教学过程：
（1）导入：以生活中的实例（如汽车行驶轨迹）引入圆的切线概念，引发学生的好奇心。
（二）过程与方法
1.通过观察和实际操作，让学生发现圆的切线与半径的关系，培养学生的观察能力和动手能力。
2.引导学生运用数形结合的思想，分析圆的切线性质，培养学生的逻辑思维能力。
两圆的公切线(2)
82 6 2 ＝10(cm)
例3 如图5，已知⊙O1和⊙O2的内公切线CD和外公切 线AB分别与连心线O1O2相交于P、Q， A 求证： 分析：
O 1P
O2P
＝OQ
2
O 1Q
.
Q
B
C O2 D
直接证明这个比例式较困难，
为此先看比 O 1P ，
2
O1 P
OP
注意CD为内公切线， 连O1C、O2D可得O1C∥O2D， O 1C 1P 因此可得 O ＝ ， OP OD
4．已知：如图(7)，⊙O1与⊙O2外切于点A，BC是⊙O1和 ⊙O2的外公切线，B、C为切点，过A作直线EF交⊙O1于E， 交⊙O2于F，连结EB、FC并延长交于G， 求证：GB2＋GC2＝BC2。
(7)
5．如图(8)，⊙O1与⊙O2外切于E点，AF是外公切线，直线 AB、CD过点E，分别与⊙O1、⊙O2交于点A、C、B、D，若 AF＝2AE，3AE＝2CE， AF＝4， 求DE的长。
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疯了!"天仙尔心忠大惊,赶紧将宝剑给丢到了壹旁,怒斥道："你不要命了吗!"只见根汉の手不断の在流血,天仙尔赶紧取出了壹小瓶药粉,亲自为根汉扳开手掌,将药粉洒在上面,立即凝住伤口丶"这么多年了,咱心里壹直不好受丶"根汉壹副哽咽の语气,看着替自己包扎の天仙尔,温柔の笑 道："能再见到你,已是咱这壹生最大の幸运了,今天咱来到这里,可能也是见你の最后壹面了丶""什么最后壹面?"天仙尔心忠壹惊,问道："你来这里所为何事?别以为咱会被你の花言巧语所蒙骗,咱不会任由你胡来の!"听根汉这壹说,天仙尔反倒是缓过了壹会尔神来,对啊,这家伙来这里干 吗,他就算要见自己,也是去
两圆的公切线(3)
8．如图(3)，△ABC中，AB＝5，AC＝4，BC＝3，⊙O1是 △ABC的内切圆，⊙O1与⊙O2相外切，且与边AB、AC相切， 则⊙O2的半径长为：
B
O2 O1 A
(3)
C
9．如图(4)，⊙O1与⊙O2外切于E点，AF是外公切线，直线 AB、CD过点E，分别与⊙O1、⊙O2交于点A、C、B、D， 若AF＝2AE，3AE＝2CE，AE＝4，求DE的长。
4．下列说法错误的是( ) A．相切两圆的连心线必过切点 B．若两圆没有公共点，则两圆相外离 C．相交两圆的连心线垂直平分公共弦 D．外切两圆的内公切线平分外公切线 5．两圆半径分别是12和4，外公切线长是15，则两圆位置关 系是( ) A．相离 B．外切 C．相交 D．不能确定 6．如果两圆共有四条公切线，那么这两圆的位置关系为： A．外离 B．外切 C．相交 D．内切 7．已知两圆的半径分别为4和3，这两个圆的圆心距的长是 方程x2－8x－20＝0的一个根，则这两个圆的公切线条数是。
B
O1 A
分析
O
C O2
例2 如图，⊙O1与⊙O2外切于A，BC切⊙O1于B，切⊙O2 于C，O1O2的延长线交BC的延长线于P。
求证：(1)PA2＝PC· PB
(2)若⊙O1与⊙O2的半径分别是方程x2－4x＋3＝0的两根， 求△ABC的周长。 B M
分析
C
O1
A
O2 D
P
分析： (1)要证PA2＝PC· PB， 只要证 PB ＝ PA ，
8．已知：如图(7)，⊙O和⊙O′外切于P点，⊙O的弦AB 的延长线切⊙O′于C点，AP的延长线交⊙O′于D点，BD交 PC于E点。 求证：PB:PD＝BE:ED。
9．已知：如图(8)，⊙O2的圆心在⊙O1上，P在O1O2的 延长线上，PAB、 PCD是两圆的公切线，A、B、C、D是 切点，PO1与BD交于M。 求证：BD是⊙O2的切线。
中考数学 几何复习 第七章 圆 第30课时 两圆的公切线(二)教案(2021年整理)
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第七章：圆第30课时：两圆的公切线（二)教学目标:1、使学生学会两圆内公切线长的求法．2．使学生会求出公切线与连心线的夹角或公切线的夹角．2、使学生在学会求两圆内公切线长的过程中，探索规律，培养学生的总结、归纳能力．3、培养学生会根据图形分析问题，培养学生的数形结合能力．教学重点：使学生进一步掌握两圆公切线等有关概念,会求两圆内公切线长及切线夹角．教学难点：两圆内公切线和内公切线长容易搞混．教学过程:一、新课引入：上一节我们学会了求两圆的外公切线长，这一节我们将学习两圆内公切线长的求法及两圆公切线夹角的求法．实际上，我们首先要清楚，什么样的两圆的位置关系存在两圆内公切线?有几条？什么样的两圆位置关系有内公切线长?请同学们打开练习本，动手画一画，结合图形，考虑上面的问题．学生动手画图,教师巡视，当所有学生都画完图后,教师打开计算机或幻灯作演示，演示过程由学生回答上述三个问题，并认定只有两圆外离时，存在内公切线长．二、新课讲解:有了上一节求两圆外公切线长的基础，学生不难想到求两圆的内公切线长也要在一个直角三角形中完成，只要稍加提示，学生便会作出直角三角形，同时教师要提醒学生注意两种公切线长的求法中，三角形的边有所不同．例2 如图7-106，P．142已知⊙O1、⊙O2的半径分别为4cm和2cm，圆心距为10cm，AB 是⊙O1、⊙O2的内公切线，切点分别为A、B．求:公切线的长AB．分析：仿照上节的辅助线方法作辅助线，我们会发现,不论从O1或O2向另一条半径作垂线，垂足都落在半径的延长线上,因此O2C是两圆半径之和．例题解法参照教材P．142例2．结论:由于圆是轴对称图形,1．两圆的两条外公切线长相等,两条内公切线长相等．2．如果两圆有两条外(或内)公切线，并且它们相交，那么交点一定在连心线上．练习一,如图7-107，已知⊙O1、⊙O2的半径分别为1.5cm和2.5cm，O1O2=6cm．求内公切线的长．此题分析类同于例题．解：连结O2A、O1B，过点O2作O2C⊥O1B交O1B的延长线于C．在Rt△O2CO1中：∵O1O2=6，O1C=O1B+BC=4，结论：在由公切线长、圆心距、两圆半径的和或差构成的Rt△中，已知任意两量,都可以求出第三量来,同时，我们也可以求出所需角来．例3 P．143要做一个如图7—108．那样的V形架，将两个钢管托起,已知钢管的外径分别为20mm和80mm，求V形角α的度数．分析：首先指导学生将实际问题转化为两圆外公切线问题，V形角α实际上就是求两圆公切线的夹角．由矩形、外公切线的基本图形知，矩形A BO2C的边O2C∥AB，则Rt△O1CO2中的锐角∠CO2O1=∠解:设两圆管的圆心分别为O1、O2，它们与V形架切于点A、B，AB与O1O2交于点P，连结O1A，O2B，过点O2作O2C⊥O1A，垂足为C．∴∠CO2O1=25°23′．∴∠α=50°46′练习二，P．145中1．如图7—109，⊙A、⊙B外切于点C，它们的半径分别为5cm，2cm，直线l与⊙A、⊙B都相切．求直线AB与l所成的角．分析：这是两圆外公切线与两圆连心线夹角问题，属于两圆外公切线的基本图形，只要在Rt△ADB中求出∠ABD的度数即可．解：设l与⊙A、⊙B分别切于点M、N,连结AM、BN，过点B作BD⊥AM,垂足为D．∴∠ABD=25°23′．∴∠1=25°23′．答：直线AB与l所成的角为25°23′．三、课堂小结：为培养学生阅读教材的习惯，让学生看教材P．142—P．145，从中总结出本课主要内容：1．求两圆的内公切线，仍然归结为解直角三角形问题，注意基本图形中的直角三角形，圆心距仍然为斜边,内公切线长、两半径之和作直角边，三个量中已知任何两个量,都可以求出第三个量来．2．如果两圆有两条外（或内)公切线，并且它们相交，那么交点一定在两圆的连心线上．3．求两圆两外(或内）公切线的夹角．要根据基本图形,归结为求Rt△中的锐角．从而根据平行线的同位角相等，进而求出两公切线的夹角．四、布置作业教材P．153中12、13、14．。
两圆的公切线(三)数学教案
两圆的公切线(三)数学教案标题：《两圆的公切线（三）》数学教案一、教学目标：1. 知识与技能：使学生掌握两圆的公切线的性质和求法，能运用所学知识解决实际问题。
2. 过程与方法：通过观察、分析、归纳、总结，提高学生的逻辑思维能力和抽象思维能力。
3. 情感态度价值观：激发学生对数学的兴趣，培养他们探索精神和团队合作精神。
二、教学重点难点：1. 教学重点：理解和掌握两圆的公切线的性质和求法。
2. 教学难点：如何利用已知条件，灵活运用公式求解公切线。
三、教学过程：1. 导入新课：以生活中的实例引入，如“车轮为什么是圆形？”、“地球仪上的经线是什么线？”等问题，引导学生思考并引出课题——两圆的公切线。
2. 新课讲解：(1) 公切线的概念：在平面内，如果一条直线同时与两个圆相切，那么这条直线就叫做这两个圆的公切线。
(2) 公切线的性质：两个圆最多有三条公切线，且这三条公切线可能相等也可能不等。
若两圆半径分别为r1和r2，圆心距为d，则当d>r1+r2时，无公切线；当d=r1+r2时，有一条公切线；当|r1-r2|<d<r1+r2时，有两条公切线；当d=|r1-r2|时，有三条公切线。
(3) 公切线的求法：首先根据题意画出图形，确定两个圆的位置关系，然后根据位置关系判断公切线的数量，最后用几何方法或代数方法求解。
3. 实例解析：分别给出几个具有代表性的例子，让学生独立完成，并在黑板上进行演示，教师在一旁指导，解答疑问。
4. 巩固练习：设计一些习题供学生练习，检查他们是否真正掌握了公切线的知识点。
5. 小结：引导学生回顾本节课的主要内容，强调重点和难点，帮助他们理清思路。
6. 布置作业：根据本节课的内容，布置适当的作业，以便学生巩固所学知识。
四、教学反思：在教学过程中，要注重引导学生主动参与，积极思考，培养他们的创新意识和实践能力。
对于难以理解的知识点，要耐心解释，确保每个学生都能掌握。
同时，也要注意激发学生的学习兴趣，让他们在快乐中学习，在学习中成长。