矢量控制变频器应用
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
−1
sin ϕ iα i cos ϕ β
(5-10)
按转子磁链定向 现在d轴是沿着转子总磁链矢量的方向， 并称之为 M轴，而 q 轴再逆时针转90°， 即垂直于转子总磁链矢量，称之为 T轴。 这样的两相同步旋转坐标系就具体规定 为 M，T 坐标系，即按转子磁链定向的坐 标系。
i α i = β 3 2 1 2 0 i A iB 2
（5-6）
iA i = B −
2 3 1 6
0 i α 1 iβ 2
（5-7）
11.3 变频器容量的选择
额定输出电流： 额定输出电流：逆变器中半导体开关器件所能承受的电流耐 量，以连续运行总电流不超过变频器额定电流。 以连续运行总电流不超过变频器额定电流。 可用电动机的功率：以电动机的额定功率（ 可用电动机的功率：以电动机的额定功率（kW）表示。为原 ）表示。 有电动机选配变频器时，不可仅看 值是否一致。 有电动机选配变频器时，不可仅看kW值是否一致。选用时主要 值是否一致 应考察额定电流。 应考察额定电流。 额定容量：是指额定输出电流与电压下的三相视在功率。 额定容量：是指额定输出电流与电压下的三相视在功率。 通常等于电动机的工频额定电压。 变频器的输出电压 通常等于电动机的工频额定电压。 电流瞬时过载能力常设计成150％额定电流、 瞬时过载能力 电流瞬时过载能力常设计成 ％额定电流、 lmin或120％额定电流、lmin。与标准异步电动机相比较，变频 或 ％额定电流、 。与标准异步电动机相比较， 器的过载能力较小，允许过载时间亦很短。 器的过载能力较小，允许过载时间亦很短。
表6-1 直接转矩控制系统和矢量控制系统特点与性能比较
性能与特点 磁链控制 转矩控制 坐标变换 转子参数变化影响 调速范围 直接转矩控制系统 定子磁链 砰-砰控制，有转矩脉动 静止坐标变换，较简单 无[注] 不够宽 矢量控制系统 转子磁链 连续控制，比较平滑 旋转坐标变换，较复杂 有 比较宽
• 通用变频器的结构
β
q iβ iq
ϕ
ωs
Fs
ϕ id
iqcosϕ idsinϕ iqsinϕ
d
iα idcosϕ
α
图5-4 两相静止和旋转坐标系与磁动势（电流）空间矢量
• 2s/2r变换公式
iα = id cos ϕ − iq sin ϕ
iβ = id sin ϕ + iq cos ϕ
• 两相旋转—两相静止坐标系的变换矩阵 写成矩阵形式，得 iα cos ϕ − sin ϕ id id i = i = C2r / 2s i （5-8） β sin ϕ cos ϕ q q 式中
主要应用场合
一般的风机、 一般的风机、 泵类节能调速 或一台变频器 带多台电动机 场合
用于保持压力、 用于保持压力、 温度、流量、 温度、流量、 pH定值等过程 pH定值等过程 控制场合
要求精确控制 一般工业设备、 一般工业设备、 力矩和速度的 大多数调速场 高动态性能应 合 用场合
要求精确控制 力矩和速度的 高动态性能应 用场合，如起 用场合， 重机、电梯、 重机、电梯、 轧机等
直流传动和交流传动的比较—电机 直流传动和交流传动的比较 电机
直流电机
结构复杂 有电刷,维护困难 转子粗短，转矩惯量大 因为有电刷，所以在 环境恶劣的不适用 变流装置较便宜 功率注入转子，散热所需通 风机功率较大 效率０.７～０.７５
交流电机
结构简单 无电刷,维护简单 转子细长，转矩惯量小 无电刷，适用环境较广 变流装置较贵 功率注入定子子，散热所需 通风机功率较小 效率０.８５～０.９
按照所采用的条件，电流变换阵也就是 电压变换阵，同时还可证明，它们也是磁 链的变换阵。
3. 两相—两相旋转变换（2s/2r变换） 从图5-2等效的交流电机绕组和直流电机绕 组物理模型的图 b 和图 c 中从两相静止坐标 系到两相旋转坐标系 d、q 变换称作两相—两 相旋转变换，简称 2s/2r 变换，其中 s 表示静 止，r 表示旋转。 把两个坐标系画在一起，即得图5-4。
2 3
（5-2）
代入式（5-1），得
1 1 − 2 iα 2 i = 3 3 β 0 2
1 i − A 2 i B 3 − iC 2
（5-3）
• 三相—两相坐标系的变换矩阵
令 C3/2 表示从三相坐标系变换到两相坐标系的 变换矩阵，则
C
A
图5-2a 三相交流绕组
（2）等效的两相交流电机绕组
β
β ωs iβ α iα F
α
图5-2b 两相交流绕组
（3）旋转的直流绕组与等效直流电机模型
ωs
iq
q d
F d id
q
图5-2c 旋转的直流绕组
B N3iB
60o 60o
β
N2iβ N2iα N3iA
α
N3iC C
图5-3 三相和两相坐标系与绕组磁动势的空间矢量
写成矩阵形式，得
1 i α N 3 1 − 2 i = 3 β N 2 0 2
1 i − A 2 i B 3 − iC 2
（5-ຫໍສະໝຸດ Baidu）
考虑变换前后总功率不变，在此前提下， 可以证明匝数比应为
N3 = N2
优点 特 点
缺点
低速力矩难保 证，不能进行 力矩控制， 力矩控制，调 速范围小
低速力矩难保 证，不能力矩 控制， 控制，调速范 围小， 围小，要增加 速度传感器
需设定电动机 的参数， 的参数，需要 有自动测试功 能
需设定电动机 的参数， 的参数，需要 有自动测试功 能，需有高精 度速度传感器
需设定电动机 的参数， 的参数， 需要有自 动测试功能
设磁动势波形是正弦分布的，当三相总磁 动势与二相总磁动势相等时，两套绕组瞬时 磁动势在 α、β 轴上的投影都应相等，
1 1 N2iα = N3iA − N3iB cos60° − N3iC cos60° = N3 (iA − iB − iC ) 2 2
3 N 2iβ = N 3iB sin 60° − N 3iC sin 60° = N 3 (iB − iC ) 2
表11-1 变频器控制方式的性能特点
结构简单、 结构简单、调 节容易、 节容易、可用 于通用笼型异 步电动机 结构简单、 结构简单、调 速精度高、 速精度高、可 用于通用笼型 异步电动机 不需要速度传 感器、 感器、力矩的 响应好、 响应好、速度 控制范围广、 控制范围广、 结构较简单 力矩的控制性 能良好、 能良好、力矩 的响应好、 的响应好、调 速精度高、 速精度高、速 度控制范围广 不需要速度传 感器、 感器、力 矩的响应好、 矩的响应好、 速度控制范围 广、结构 较简单
1 1 − 2 2 = 3 3 0 2 1 − 2 3 − 2
C3 / 2
C2 / 3
1 2 1 = − 3 2 − 1 2
0 3 2 3 − 2
（5-4）
（5-5）
如果三相绕组是Y形联结不带零线， 则有 iA + iB + iC = 0，或 iC = − iA − iB 。 代入式（5-4）和（5-5）并整理后得
风机负载和泵类负载的负载特性
流量Q ∝ n 扬程H ∝ n2 功率P ∝ n3
变频器在潜水泵上的应用
潜水泵起动时的水锤现象往往容易造成管道松动或破裂甚至损坏； 电机起动/停止时需开启/关闭阀门来减小水锤的影响，如此操作一方面 工作强度大，且难以满足工艺的需要。 在潜水泵安装变频调速器以后，可以根据工艺的需要，使电机软启/软 停，从而使急扭及水锤现象得到解决。而且在流量不大的情况下，可以降低 泵的转速，一方面可以避免水泵长期工作在满负荷状态，造成电机过早的老 化，而且变频的软启动大大的减小水泵启动时对机械的冲击。并且具有明显 的节电效果。
表6-1 直接转矩控制系统和矢量控制系统特点与性能比较
性能与特点 磁链控制 转矩控制 坐标变换 转子参数变化影响 调速范围 直接转矩控制系统 定子磁链 砰-砰控制，有转矩脉动 静止坐标变换，较简单 无[注] 不够宽 矢量控制系统 转子磁链 连续控制，比较平滑 旋转坐标变换，较复杂 有 比较宽
[注] 有时为了提高调速范围，在低速时改 用电流模型计算磁链，则转子参数变化对 DTC系统也有影响。 从上表可以看出，如果在现有的DTC系 统和VC系统之间取长补短，构成新的控制 系统，应该能够获得更为优越的控制性能， 这是一个很有意义的研究方向。
3/2 iβ
ϕ
im
VR 等效直流 电机模型
i*m
* 控制器 i t
ω
+
VR-1 i*
β
ωs
反馈信号
异步电动机
it
图5-9 矢量控制系统原理结构图
q
电枢绕组 励磁绕组
A
ia
F if
Φ d
补偿绕组
ic
C
图5-1 二极直流电机的物理模型
（1）交流电机绕组的等效物理模型
B iB
B A
F ωs
iA iC C
• 异步电机的坐标变换结构图
ϕ
iA A iB B i C C iα 3/2 iβ VR it 等效直流 im 电机模型
ω
异步电动机 图5-8 异步电动机的坐标变换结构图 3/2——三相/两相变换; VR——同步旋转变换; ϕ ——M轴与α轴（A轴）的夹角
• 矢量控制系统原理结构图
ϕ
给定 信号
~
i*α i*A i*B 2/3 * iC iA 电流控制 iB 变频器 iC iα
2、工艺调速： 工艺调速： 工艺调速
由于工艺的要求需要调速运行的机械，如金属加工，造纸等需要 稳态精度很高的领域，目前该领域正在向交流调速过渡。
直流传动和交流传动的比较--应用 直流传动和交流传动的比较 应用
3、牵引调速： 、牵引调速： 运输机械的电驱动，此类机械对设备的尺寸，重量和防护等级有有 严格的要求，所以交流调速比较占优势。如火车，轮船等系统。 4、 特殊调速： 、 特殊调速： 对调速有特殊要求的调速系统，如调速范围达到1：50000～ 1：100000的场合，只能由特殊的永磁交流电动机实现。如高精度磨床 ，车床等
交流电机的调速
调速方式汇总
直流传动和交流传动的比较—应用 直流传动和交流传动的比较 应用
传动按应用领域的分类： 传动按应用领域的分类：
1、 通用机械的节能调速： 、 通用机械的节能调速：
指风机，泵等机械，它们的用电量占全国发电总量的1/3，此类 机械在不调速交流电机调速时， 风量和流量使用挡板和阀门调节，调 速后可节电30％～ 40％，而且优化了工艺过程，减少了管道和阀门的 压力，提高了设备的寿命，减少了维修。
图5－2 变频器直接转矩控制系统框图
表11-1 变频器控制方式的性能特点
控制方式 比较项目 速度控制 范围 启动转矩 静态速度 精度 反馈装置 零速度运 行 控制响应 速度 开环 <1： <1：40 150％ 3HZ时150％ ±（2～3）％ 无 不可 慢 U/F控制 U/F控制 闭环 <1： <1：40 150％ 3HZ时150％ ±0.03％ 0.03％ 速度传感器 不可 慢 矢量控制 无速度传感器 1：100 150％ 1HZ时150％ ±0.2％ 0.2％ 无 不可 较快 带速度传感器 1：1000 150％ 0HZ时150％ ±0.2％ 0.2％ 速度传感器 可 快 1：100 150％ 0HZ时150％ ±（0.1～0.5） 0.1～0.5） ％ 无 可 快 直接转矩控制
整流滤波单元
(1)整流单元 三相桥式不可控整流电路。 (1)整流单元 三相桥式不可控整流电路。 (2)逆变单元 个大功率开关管组成的三相桥式电路。 (2)逆变单元 由6个大功率开关管组成的三相桥式电路。 大功率开关多为IGBT模块。 IGBT模块 大功率开关多为IGBT模块。 (3)滤波环节 电阻与电解电容器。 (3)滤波环节 电阻与电解电容器。
C2 r / 2s
cos ϕ = sin ϕ
− sin ϕ cos ϕ
（5-9）
是两相旋转坐标系变换到两相静止坐标系 的变换阵。
对式（5-8）两边都左乘以变换阵的逆矩 阵，即得
id cos ϕ i = q sin ϕ − sin ϕ iα cos ϕ i = − sin ϕ cos ϕ β
sin ϕ iα i cos ϕ β
(5-10)
按转子磁链定向 现在d轴是沿着转子总磁链矢量的方向， 并称之为 M轴，而 q 轴再逆时针转90°， 即垂直于转子总磁链矢量，称之为 T轴。 这样的两相同步旋转坐标系就具体规定 为 M，T 坐标系，即按转子磁链定向的坐 标系。
i α i = β 3 2 1 2 0 i A iB 2
（5-6）
iA i = B −
2 3 1 6
0 i α 1 iβ 2
（5-7）
11.3 变频器容量的选择
额定输出电流： 额定输出电流：逆变器中半导体开关器件所能承受的电流耐 量，以连续运行总电流不超过变频器额定电流。 以连续运行总电流不超过变频器额定电流。 可用电动机的功率：以电动机的额定功率（ 可用电动机的功率：以电动机的额定功率（kW）表示。为原 ）表示。 有电动机选配变频器时，不可仅看 值是否一致。 有电动机选配变频器时，不可仅看kW值是否一致。选用时主要 值是否一致 应考察额定电流。 应考察额定电流。 额定容量：是指额定输出电流与电压下的三相视在功率。 额定容量：是指额定输出电流与电压下的三相视在功率。 通常等于电动机的工频额定电压。 变频器的输出电压 通常等于电动机的工频额定电压。 电流瞬时过载能力常设计成150％额定电流、 瞬时过载能力 电流瞬时过载能力常设计成 ％额定电流、 lmin或120％额定电流、lmin。与标准异步电动机相比较，变频 或 ％额定电流、 。与标准异步电动机相比较， 器的过载能力较小，允许过载时间亦很短。 器的过载能力较小，允许过载时间亦很短。
表6-1 直接转矩控制系统和矢量控制系统特点与性能比较
性能与特点 磁链控制 转矩控制 坐标变换 转子参数变化影响 调速范围 直接转矩控制系统 定子磁链 砰-砰控制，有转矩脉动 静止坐标变换，较简单 无[注] 不够宽 矢量控制系统 转子磁链 连续控制，比较平滑 旋转坐标变换，较复杂 有 比较宽
• 通用变频器的结构
β
q iβ iq
ϕ
ωs
Fs
ϕ id
iqcosϕ idsinϕ iqsinϕ
d
iα idcosϕ
α
图5-4 两相静止和旋转坐标系与磁动势（电流）空间矢量
• 2s/2r变换公式
iα = id cos ϕ − iq sin ϕ
iβ = id sin ϕ + iq cos ϕ
• 两相旋转—两相静止坐标系的变换矩阵 写成矩阵形式，得 iα cos ϕ − sin ϕ id id i = i = C2r / 2s i （5-8） β sin ϕ cos ϕ q q 式中
主要应用场合
一般的风机、 一般的风机、 泵类节能调速 或一台变频器 带多台电动机 场合
用于保持压力、 用于保持压力、 温度、流量、 温度、流量、 pH定值等过程 pH定值等过程 控制场合
要求精确控制 一般工业设备、 一般工业设备、 力矩和速度的 大多数调速场 高动态性能应 合 用场合
要求精确控制 力矩和速度的 高动态性能应 用场合，如起 用场合， 重机、电梯、 重机、电梯、 轧机等
直流传动和交流传动的比较—电机 直流传动和交流传动的比较 电机
直流电机
结构复杂 有电刷,维护困难 转子粗短，转矩惯量大 因为有电刷，所以在 环境恶劣的不适用 变流装置较便宜 功率注入转子，散热所需通 风机功率较大 效率０.７～０.７５
交流电机
结构简单 无电刷,维护简单 转子细长，转矩惯量小 无电刷，适用环境较广 变流装置较贵 功率注入定子子，散热所需 通风机功率较小 效率０.８５～０.９
按照所采用的条件，电流变换阵也就是 电压变换阵，同时还可证明，它们也是磁 链的变换阵。
3. 两相—两相旋转变换（2s/2r变换） 从图5-2等效的交流电机绕组和直流电机绕 组物理模型的图 b 和图 c 中从两相静止坐标 系到两相旋转坐标系 d、q 变换称作两相—两 相旋转变换，简称 2s/2r 变换，其中 s 表示静 止，r 表示旋转。 把两个坐标系画在一起，即得图5-4。
2 3
（5-2）
代入式（5-1），得
1 1 − 2 iα 2 i = 3 3 β 0 2
1 i − A 2 i B 3 − iC 2
（5-3）
• 三相—两相坐标系的变换矩阵
令 C3/2 表示从三相坐标系变换到两相坐标系的 变换矩阵，则
C
A
图5-2a 三相交流绕组
（2）等效的两相交流电机绕组
β
β ωs iβ α iα F
α
图5-2b 两相交流绕组
（3）旋转的直流绕组与等效直流电机模型
ωs
iq
q d
F d id
q
图5-2c 旋转的直流绕组
B N3iB
60o 60o
β
N2iβ N2iα N3iA
α
N3iC C
图5-3 三相和两相坐标系与绕组磁动势的空间矢量
写成矩阵形式，得
1 i α N 3 1 − 2 i = 3 β N 2 0 2
1 i − A 2 i B 3 − iC 2
（5-ຫໍສະໝຸດ Baidu）
考虑变换前后总功率不变，在此前提下， 可以证明匝数比应为
N3 = N2
优点 特 点
缺点
低速力矩难保 证，不能进行 力矩控制， 力矩控制，调 速范围小
低速力矩难保 证，不能力矩 控制， 控制，调速范 围小， 围小，要增加 速度传感器
需设定电动机 的参数， 的参数，需要 有自动测试功 能
需设定电动机 的参数， 的参数，需要 有自动测试功 能，需有高精 度速度传感器
需设定电动机 的参数， 的参数， 需要有自 动测试功能
设磁动势波形是正弦分布的，当三相总磁 动势与二相总磁动势相等时，两套绕组瞬时 磁动势在 α、β 轴上的投影都应相等，
1 1 N2iα = N3iA − N3iB cos60° − N3iC cos60° = N3 (iA − iB − iC ) 2 2
3 N 2iβ = N 3iB sin 60° − N 3iC sin 60° = N 3 (iB − iC ) 2
表11-1 变频器控制方式的性能特点
结构简单、 结构简单、调 节容易、 节容易、可用 于通用笼型异 步电动机 结构简单、 结构简单、调 速精度高、 速精度高、可 用于通用笼型 异步电动机 不需要速度传 感器、 感器、力矩的 响应好、 响应好、速度 控制范围广、 控制范围广、 结构较简单 力矩的控制性 能良好、 能良好、力矩 的响应好、 的响应好、调 速精度高、 速精度高、速 度控制范围广 不需要速度传 感器、 感器、力 矩的响应好、 矩的响应好、 速度控制范围 广、结构 较简单
1 1 − 2 2 = 3 3 0 2 1 − 2 3 − 2
C3 / 2
C2 / 3
1 2 1 = − 3 2 − 1 2
0 3 2 3 − 2
（5-4）
（5-5）
如果三相绕组是Y形联结不带零线， 则有 iA + iB + iC = 0，或 iC = − iA − iB 。 代入式（5-4）和（5-5）并整理后得
风机负载和泵类负载的负载特性
流量Q ∝ n 扬程H ∝ n2 功率P ∝ n3
变频器在潜水泵上的应用
潜水泵起动时的水锤现象往往容易造成管道松动或破裂甚至损坏； 电机起动/停止时需开启/关闭阀门来减小水锤的影响，如此操作一方面 工作强度大，且难以满足工艺的需要。 在潜水泵安装变频调速器以后，可以根据工艺的需要，使电机软启/软 停，从而使急扭及水锤现象得到解决。而且在流量不大的情况下，可以降低 泵的转速，一方面可以避免水泵长期工作在满负荷状态，造成电机过早的老 化，而且变频的软启动大大的减小水泵启动时对机械的冲击。并且具有明显 的节电效果。
表6-1 直接转矩控制系统和矢量控制系统特点与性能比较
性能与特点 磁链控制 转矩控制 坐标变换 转子参数变化影响 调速范围 直接转矩控制系统 定子磁链 砰-砰控制，有转矩脉动 静止坐标变换，较简单 无[注] 不够宽 矢量控制系统 转子磁链 连续控制，比较平滑 旋转坐标变换，较复杂 有 比较宽
[注] 有时为了提高调速范围，在低速时改 用电流模型计算磁链，则转子参数变化对 DTC系统也有影响。 从上表可以看出，如果在现有的DTC系 统和VC系统之间取长补短，构成新的控制 系统，应该能够获得更为优越的控制性能， 这是一个很有意义的研究方向。
3/2 iβ
ϕ
im
VR 等效直流 电机模型
i*m
* 控制器 i t
ω
+
VR-1 i*
β
ωs
反馈信号
异步电动机
it
图5-9 矢量控制系统原理结构图
q
电枢绕组 励磁绕组
A
ia
F if
Φ d
补偿绕组
ic
C
图5-1 二极直流电机的物理模型
（1）交流电机绕组的等效物理模型
B iB
B A
F ωs
iA iC C
• 异步电机的坐标变换结构图
ϕ
iA A iB B i C C iα 3/2 iβ VR it 等效直流 im 电机模型
ω
异步电动机 图5-8 异步电动机的坐标变换结构图 3/2——三相/两相变换; VR——同步旋转变换; ϕ ——M轴与α轴（A轴）的夹角
• 矢量控制系统原理结构图
ϕ
给定 信号
~
i*α i*A i*B 2/3 * iC iA 电流控制 iB 变频器 iC iα
2、工艺调速： 工艺调速： 工艺调速
由于工艺的要求需要调速运行的机械，如金属加工，造纸等需要 稳态精度很高的领域，目前该领域正在向交流调速过渡。
直流传动和交流传动的比较--应用 直流传动和交流传动的比较 应用
3、牵引调速： 、牵引调速： 运输机械的电驱动，此类机械对设备的尺寸，重量和防护等级有有 严格的要求，所以交流调速比较占优势。如火车，轮船等系统。 4、 特殊调速： 、 特殊调速： 对调速有特殊要求的调速系统，如调速范围达到1：50000～ 1：100000的场合，只能由特殊的永磁交流电动机实现。如高精度磨床 ，车床等
交流电机的调速
调速方式汇总
直流传动和交流传动的比较—应用 直流传动和交流传动的比较 应用
传动按应用领域的分类： 传动按应用领域的分类：
1、 通用机械的节能调速： 、 通用机械的节能调速：
指风机，泵等机械，它们的用电量占全国发电总量的1/3，此类 机械在不调速交流电机调速时， 风量和流量使用挡板和阀门调节，调 速后可节电30％～ 40％，而且优化了工艺过程，减少了管道和阀门的 压力，提高了设备的寿命，减少了维修。
图5－2 变频器直接转矩控制系统框图
表11-1 变频器控制方式的性能特点
控制方式 比较项目 速度控制 范围 启动转矩 静态速度 精度 反馈装置 零速度运 行 控制响应 速度 开环 <1： <1：40 150％ 3HZ时150％ ±（2～3）％ 无 不可 慢 U/F控制 U/F控制 闭环 <1： <1：40 150％ 3HZ时150％ ±0.03％ 0.03％ 速度传感器 不可 慢 矢量控制 无速度传感器 1：100 150％ 1HZ时150％ ±0.2％ 0.2％ 无 不可 较快 带速度传感器 1：1000 150％ 0HZ时150％ ±0.2％ 0.2％ 速度传感器 可 快 1：100 150％ 0HZ时150％ ±（0.1～0.5） 0.1～0.5） ％ 无 可 快 直接转矩控制
整流滤波单元
(1)整流单元 三相桥式不可控整流电路。 (1)整流单元 三相桥式不可控整流电路。 (2)逆变单元 个大功率开关管组成的三相桥式电路。 (2)逆变单元 由6个大功率开关管组成的三相桥式电路。 大功率开关多为IGBT模块。 IGBT模块 大功率开关多为IGBT模块。 (3)滤波环节 电阻与电解电容器。 (3)滤波环节 电阻与电解电容器。
C2 r / 2s
cos ϕ = sin ϕ
− sin ϕ cos ϕ
（5-9）
是两相旋转坐标系变换到两相静止坐标系 的变换阵。
对式（5-8）两边都左乘以变换阵的逆矩 阵，即得
id cos ϕ i = q sin ϕ − sin ϕ iα cos ϕ i = − sin ϕ cos ϕ β