2020年高考最后压轴卷高考数学模拟预测考试一 含解析
， 即为所作直线,证明四边形 为平行四边形即得证. （ii）先分别计算出两部分的体积，再
求它们的比.
详解：（1）证明：(1)取 中点 ,连接 ,
, 为 中点，
又
, 为 中点，
又
，
面
又 面，
(2)(i)取 中点 ,连接 , ,则
， 即为所作直线,
理由如下:
在 中 、 分别为 、 中点
,且
10页
又
,
且
13.已知
的内角 ， ， 的对边分别为 a，b，c，若
，，
，则
的面积
为____． 【答案】 【解析】
6页
，由正弦定理可得
，由余弦定理可得
，
，与
，联立解得
，
，
，则
的面积
，故答案为 .
14.已知四棱椎 _____．
中，底面 是边长为 2 的菱形，且
，则四棱锥
【答案】
【解析】
四棱锥的体积最大，则使得底面积和高均取得最大值即可，
A.
B.
C.
D.
【答案】C 【解析】 【分析】 根据几何概率的求法：一次飞镖扎在中间小正方形区域（含边线）的概率就是阴影区域的面积与总面积的 比值． 【详解】观察这个图可知：大正方形的边长为 2，总面积为 4，
而阴影区域的边长为 1，面积为 4﹣2
故飞镖落在阴影区域的概率为
1．
故选：C． 【点睛】本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求 事件（A）；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件（A）发生的概率；关键是得 到两个正方形的边长．
5
6
销售单价（元）
9
9.5
10
10.5 11
8
8页
销售量（件）
11
10
8
6
5
14.2
（1）根据 1 至 5 月份的数据，求出 y 关于 x 的回归直线方程； （2）若由回归直线方程得到的估计数据与剩下的检验数据的误差不超过 0.5 元，则认为所得到的回归直线 方程是理想的，试问（1）中所得到的回归直线方程是否理想？ （3）预计在今后的销售中，销售量与销售单价仍然服从（1）中的关系，若该种机器配件的成本是 2.5 元/ 件，那么该配件的销售单价应定为多少元才能获得最大利润？（注：利润=销售收入-成本）．
由 2kπ
2x
2kπ ，k∈Z，
得 kπ
x≤kπ ，k∈Z，
∵x∈[0，π]，
∴当 k＝0 时，
x，
即 0≤x ，
则函数 f（x）在[0，π]上的递增区间是[0， ]， 故选：A． 【点睛】本题主要考查三角函数单调区间的求解，根据函数的对称性求、求出对称轴和 ω 是解决本题 的关键．
6.若函数
的最小值为 ，则实数 的取值范围为（ ）
2.设复数
（是虚数单位），则在复平面内，复数 对应的点的坐标为（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】
，所以复数 对应的点为
，故选 A.
3.若向量
，
，则
（）
A.
B.
C. 3
D.
【答案】D
【解析】
【分析】
先求出 的坐标，再求模长即可.
【详解】
则
=
故选：D.
【点睛】本题考查空间向量的坐标运算，模长公式，熟记加减运算性质，准确计算是关键，是基础题.
，得
，
，因为
即
,由正弦定理得
【点睛】本题考查了诱导公式和倍角公式的应用，也考查了三角形的面积公式和正，余弦定理，属于中档 题. 17.某大学生参加社会实践活动，对某公司 1 月份至 6 月份销售某种配件的销售量及销售单价进行了调查， 销售单价 x 和销售量 y 之间的一组数据如下表所示：
月份
1
2
3
4
或 故选:D. 【点睛】本题考查函数的单调性，二次函数根的分布问题，熟练运用函数单调性，灵活转化为函数
3页
-2≥0 恒成立是本题关键，是难题. 7.“勾股定理”在西方被称为“毕达哥拉斯定理”，三国时期吴国的数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方 图”用数形结合的方法给出了勾股定理的详细证明．如图所示的“勾股圆方图”中，四个相同的直角三角 形与中间的小正方形拼成一个边长为 2 的大正方形，若直角三角形中较小的锐角 ，现在向该正方形区 域内随机地投掷一枚飞镖，飞镖落在小正方形内的概率是（ ）
， 四边形 为平行四边形.
(ii)
,
,
又在 中,
,
，
面
,
又
,
面
，
.
：（1）本题主要考查空间平行垂直位置关系的证明，考查空间几何体体积的计算，意在考查学生对这 些基础知识的掌握能力和空间想象转化能力.（2）对于空间平行垂直位置关系的证明有几何法和向量法两 种方法，空间几何体体积的计算有公式法、割补法和体积变换法三种方法. 19.已知函数 f(x)＝(3－x)ex，g(x)＝x＋a(a∈R)(e 是自然对数的底数，e≈2.718…)． (1)求函数 f(x)的极值； (2)若函数 y＝f(x)g(x)在区间[1，2]上单调递增，求实数 a 的取值范围；
详解：
（1）因为
，
所以
，则
，
于是 关于 的回归直线方程为
；
（2）当 时，
，则
所以可以认为所得到的回归直线方程是理想的；
（3）令销售利润为 ，则
因为
，
当且仅当
，即
时， 取最大值．
所以该产品的销售单价定为 7．5 元/件时，获得的利润最大．
点睛：本题考查了线性回归方程的求法与应用问题，属中档题．
9页
， ，
底面积最大时，ABCD 为正方形，此时底面积
，
高有最大值，首先要保证平面
平面 ，
由
可知，点 在平面内的轨迹是以 中点为圆心， 长度为直径的圆，
则高的最大值为：
，
体积的最大值为
综上可得：体积的最大值为：
.
三、解答题共 6 小题.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
15.已知数列 是等差数列，首项
且
则
故答案为：20． 点睛：在解决与抛物线有关的问题时，要注意抛物线的定义在解题中的应用。抛物线定义有两种用途：一 是当已知曲线是抛物线时，抛物线上的点 M 满足定义，它到准线的距离为 d，则|MF|＝d，可解决有关距离、 最值、弦长等问题；二是利用动点满足的几何条件符合抛物线的定义，从而得到动点的轨迹是抛物线．
5.若函数
与
的对称轴完全相同，则函数
在哪个区间上单调递增（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】A 【解析】 【分析】 求出函数 g（x）的对称轴，然后求出 ω 的值，利用三角函数的单调性进行求解即可．
【详解】由 2x
kπ 得 x
，
即函数 f（x）的对称轴为 x
由 ωx
kπ 得 x
则 ω＝2，
， ，
2页
即 f（x）＝2sin（2x ），
【详解】解：(1)设数列 的公差为 d， a1＝1，且
是
与
的等比中项．
，
或 d=-1
当
时，
，
是
与
的等比中项矛盾，舍去.
数列 的通项公式为
7页
(2)
【点睛】本题考查等差数列的通项公式和等比数列中项性质，考查数列的裂项相消求和，以及方程思想 和运算能力，属于中档题．
16.已知函数
．
（1）求 的最小正周期 ；
4.《九章算术》中有如下问题：“今有勾五步，股一十二步，问勾中容圆，径几何？”其大意：“已知直
角三角形两直角边分别为 5 步和 12 步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内随意投一粒豆子，
则豆子落在其内切圆外的概率是（ ）
A.
B.
C.
D.
1页
【答案】C 【解析】 【分析】 求出直角三角形内切圆半径，计算内切圆和三角形的面积，从而利用几何概型概率公式得出结论.
8.已知直线 y=2b 与双曲线
的斜率为正的渐近线交于点 A，曲线的左、右焦点分别为
,若
则双曲线的离心率为（ ）
A. 4 或
B.
C. 2
D. 4
【答案】D 【解析】 【分析】 由题意表示出点 的坐标，又
得到关于离心率的方程即可求出结果
【详解】由渐近线方程
与直线
求出点 A 的坐标为
4页
,过 A 点作
轴于点 B，则
由已知可得
当
时，
则
故舍去，综上
故选 D 【点睛】本题考查了求双曲线的离心率问题，在求解过程中一定依据题目已知条件，将其转化为关于离心 率的方程，继而求出结果，本题属于中档题
二、填空题共 6 小题。
9.已知函数 f(x-2)=
函数，则 f(2)=_______.
【答案】2 【解析】 【分析】 根据分段函数的表达式，进行转化求解即可． 【详解】由分段函数得 f（2）＝f（4﹣2）＝6﹣4＝2， 故答案为：2． 【点睛】本题主要考查分段函数函数值的计算，利用转化法是解决本题的关键，是基础题. 10.某校高三科创班共 48 人，班主任为了解学生高考前的心理状况，将学生按 1 至 48 的学号用系统抽样方 法抽取 8 人进行调查，若抽到的最大学号为 48，则抽到的最小学号为______． 【答案】6 【解析】 【分析】 抽到的最大学号为 48，由系统抽样等基础知识即可得最小学号. 【详解】由系统抽样方法从学号为 1 到 48 的 48 名学生中抽取 8 名学生进行调查，把 48 人分成 8 组， 抽到的最大学号为 48，它是第 8 组的最后一名，则抽到的最小学号为第一组的最后一名 6 号. 故答案为：6． 【点睛】本题考查了系统抽样等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．
2020年高考数学考前冲刺 最后押题试卷及解析
目录2020年高考数学（理）终极押题卷（试卷） (2)2020年高考数学（文）终极押题卷（试卷） (8)2020年高考数学（理）终极押题卷（全解全析） (14)2020年高考数学（文）终极押题卷（全解全析） (24)2020年高考数学（理）终极押题卷（试卷）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设3i12iz -=+，则z =A ．2B CD ．12．已知集合A ={（x ，y ）|x ，y 为实数，且x 2+y 2=1}，B =|（x ，y ）|x ，y 为实数，且x +y =1}，则A ∩B 的元素个数为 A ．4B ．3C ．2D ．13．已知命题2000:,10p x x x ∃∈-+≥R ；命题:q 若a b <，则11a b>，则下列为真命题的是 A ．p q ∧ B ．p q ∧⌝ C ．p q ⌝∧D ．p q ⌝∧⌝4．下图给出的是2000年至2016年我国实际利用外资情况，以下结论正确的是A ．2010年以来我国实际利用外资规模逐年增大B ．2000年以来我国实际利用外资规模与年份呈负相关C ．2010年我国实际利用外资同比增速最大D ．2008年我国实际利用外资同比增速最大5．等差数列{}n a 的首项为1，公差不为0，若2a ，3a ，6a 成等比数列，则数列{}n a 的前6项的和6S 为 A ．24-B ．3-C ．3D ．86．已知向量(3,2)a =-v，(,1)b x y =-v 且a v ∥b v ，若,x y 均为正数，则32x y+的最小值是A ．24B ．8C ．83D ．537．(x +y )(2x −y )5的展开式中x 3y 3的系数为 A ．-80 B ．-40C ．40D ．808．《九章算术》中有如下问题：“今有勾五步，股一十二步，问勾中容圆，径几何？”其大意：“已知直角三角形两直角边长分别为5步和12步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是 A ．215πB ．320π C ．2115π-D ．3120π-9．已知函数()f x 的图象如图所示，则函数()f x 的解析式可能是A ．()()=44xxf x x -+ B ．()()244log x x f x x -=-C ．()2()44log||x xf x x -=+D ．()12()44log x xf x x -=+ 10．已知函数sin()()xx f x a ωϕπ+=(0,0,)a ωϕπ><<∈R ，在[]3,3-的大致图象如图所示，则aω可取A ．2πB ．πC ．2πD ．4π11．如图，平面四边形ABCD 中，1AB AD CD ===，BD =，BD CD ⊥，将其沿对角线BD 折成四面体A BCD '-，使平面A BD '⊥平面BCD ，若四面体A BCD '-的顶点在同一个球面上，则该球的表面积为A ．3πB．2C ．4πD．412．若函数22(31)3,0()ln ,0x m x x f x mx x x x ⎧-++≤=⎨+>⎩恰有三个极值点，则m 的取值范围是 A ．11,23⎛⎫-- ⎪⎝⎭B ．1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．11,3⎛⎫-- ⎪⎝⎭D ．11,2⎛⎫--⎪⎝⎭二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020年高考数学(理)原创终极押题卷(新课标Ⅰ卷)(考试版)
数学试题 第 1页（共 6页）
数学试题 第 2页（共 6页）
A．7
B．20
C．22
D．54
7. 已知函数 f x 是定义在 R 上的偶函数，且在 0, 上单调递增，则（ ）
A． f 3 f log313 f 20.6 C． f 20.6 f log313 f 3
B． f 3 f 20.6 f log313 D． f 20.6 f 3 f log313
A. 这 天中有 天空气质量为一级 B. 从 日到 日 PM 2.5 日均值逐渐降低 C. 这 天中 PM 2.5 日均值的中位数是 D. 这 天中 PM 2.5 日均值最高的是 5 月 日 4. 如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）
A． (M P) S
数学试题 第 4页（共 6页）
关注公众号：初高中数学交流群，回复 PDF 获取答案
（Ⅱ）设直线 BD1 与动点 F 的轨迹所在平面所成的角记为 ，求 cos ．
D1 A1
E C1
B1
D C
A
B
19．（本小题满分 12 分） 为了迎接 2019 年高考，了解学生的成绩状况，在一次省质检中，某省教育部门随机抽取了 500 名学生的 数学考试成绩，统计如下表所示：
三、解答题（共 70 分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。第 17～21 题为必考题，每个 试题考生都必须作答，第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。）
（一）必考题：共 60 分。 17．（本小题满分 12 分） 已知数列 {an} 是等差数列， a2 3 ， a5 6 ，数列{bn} 的前 n 项和为 Sn ，且 2bn Sn 2 ．
2020年高考数学仿真押题试卷(Word版,含答案解析)
高考数学仿真押题试卷注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知a ，b R ∈，i 是虚数单位，若a i -与2bi +互为共轭复数，则2()(a bi += ) A ．54i -B ．54i +C ．34i -D ．34i +【解析】解：a i -与2bi +互为共轭复数，则2a =、1b =，，故选：D ．2．已知全集U R =，{|0}A x x =…，{|1}B x x =…，则集合()(U A B =ð )A ．{|0}x x …B ．{|1}x x …C ．{|01}x x 剟D ．{|01}x x <<【解析】解：或0}x …，，故选：D ．3．等差数列{}n a 中，1510a a +=，47a =，则数列{}n a 的公差为( ) A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】解：设数列{}n a 的公差为d ，则由1510a a +=，47a =，可得12410a d +=，137a d +=，解得2d =， 故选：B ．4．如图为一个圆柱中挖去两个完全相同的圆锥而形成的几何体的三视图，则该几何体的体积为( )A．13πB．23πC．43πD．53π【解析】解：圆柱的底面直径为2，高为2，圆锥的底面直径为2，高为1，该几何体的体积，故选：C．5．若变量x，y满足约束条件，则3z x y=+的最小值为()A．3 B．4 C．2 D．1【解析】解：由约束条件作出可行域如图，化目标函数3z x y=+为3y x z=-+，由图可知，当直线3y x z=-+过(0,1)A时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值为1．故选：D．6．某单位有7个连在一起的车位，现有3辆不同型号的车需停放，如果要求剩余的4个车位连在一起，则不同的停放方法的种数为()A．16 B．18 C．24 D．32【解析】解：由题意知本题是一个分类计数问题，首先安排三辆车的位置，假设车位是从左到右一共7个， 当三辆车都在最左边时，有车之间的一个排列33A ， 当左边两辆，最右边一辆时，有车之间的一个排列33A ， 当左边一辆，最右边两辆时，有车之间的一个排列33A ， 当最右边三辆时，有车之间的一个排列33A ，总上可知共有不同的排列法33424A ⨯=种结果， 故选：C ．7．部分与整体以某种相似的方式呈现称为分形．谢尔宾斯基三角形是一种分形，由波兰数学家谢尔宾斯基1915年提出．具体操作是取一个实心三角形，沿三角形的三边中点连线，将它分成4个小三角形，去掉中间的那一个小三角形后，对其余3个小三角形重复上述过程得到如图所示的图案，若向该图案随机投一点，则该点落在黑色部分的概率是( )A ．716B ．916 C ．35D ．12【解析】解：由图可知：黑色部分由9个小三角形组成，该图案由16个小三角形组成， 设“向该图案随机投一点，则该点落在黑色部分”为事件A ，由几何概型中的面积型可得：P （A ），故选：B ．8．在ABC ∆中，2AD DB =，2CE EA =，则( )A ．B ．C ．D ．【解析】解：，故选：A ．9．已知双曲线，O 为坐标原点，过C 的右顶点且垂直于x 轴的直线交C 的渐近线于A ，B ，过C 的右焦点且垂直于x 轴的直线交C 的渐近线于M ，N ，若O A B ∆与OMN ∆的面积之比为1:9，则双曲线C 的渐近线方程为( )A ．2y x =±B ．y =±C ．y =±D ．8y x =±【解析】解：由三角形的面积比等于相似比的平方，则2219a c =， ∴2229a b a +=，∴ba=C ∴的渐近线方程为y =±， 故选：B ．10．设0sin a xdx π=⎰，则8()ax x+展开式中的常数项为( )A ．560B ．1120C ．2240D ．4480 【解析】解：设，则展开式中的通项公式为，令820r -=，求得4r =，可得展开式中的常数项为48161120C =， 故选：B ．11．在我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的棱柱称为堑堵．已知在堑堵中，90ABC ∠=︒，12AB AA ==，BC =1CA 与平面11ABB A 所成角的大小为( ) A ．30︒ B ．45︒C ．60︒D ．90︒【解析】解：在堑堵中，90ABC ∠=︒，12AB AA ==，BC =∴以B 为原点，BA 为x 轴，BC 为y 轴，1BB 为z 轴，建立空间直角坐标系，则(0C ，0)，1(2A ，0，2)，1(2A C =-，2)-，平面11ABB A 的法向量(0n =，1，0)，设1CA 与平面11ABB A 所成角的大小为θ，则，1CA ∴与平面11ABB A 所成角的大小为45︒．故选：B ．12．已知函数，若方程()1f x kx =+有四个不相等的实根，则实数k 的取值范围是()A ．1(,1)3B ．1(,2)3C ．14(,)25D ．1(,1)2【解析】解：方程()1f x kx =+有四个不相等的实根， 等价于函数()f x 的图象与直线1y kx =+有四个交点，易得：①当直线1y kx =+与函数相切时，12k =， ②当直线1y kx =+与函数相切时，利用导数的几何意义可得：1k =，即由图知函数()f x 的图象与直线1y kx =+有四个交点时， 实数k 的取值范围是112k <<， 故选：D ．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．10的展开式中含2x 项的系数为 5 ．【解析】解：10的展开式的通项公式为，令10223r-=，求得2r =， 故展开式中含2x 项的系数为210159C =， 故答案为：5．14．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ，b ，c 成等比数列，且3tan 4B =，则的值是53． 【解析】解：a ，b ，c 成等比数列，2b ac ∴=，，3tan 4B =，3sin 5B ∴=．则．故答案为：53．15．已知0x >，0y >，且121x y+=，则xy x y ++的最小值为 7+ 【解析】解：121x y+=， 2xy x y ∴=+，，当且仅当26y xx y=时，即y =时取等号， 故xy x y ++的最小值为7+故答案为：7+16．如图，已知过椭圆的左顶点(,0)A a -作直线1交y 轴于点P ，交椭圆于点Q ，若AOP ∆是等腰三角形，且2PQ QA =，则椭圆的离心率为．【解析】解：AOP ∆是等腰三角形，(A a -，0)(0P ∴，)a ． 设0(Q x ，0)y ，2PQ QA =，0(x ∴，，0)y -．∴，解得002313x a y a ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩．代入椭圆方程得，化为2215b a=．∴．． 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知函数．（1）求函数()y f x =的单调增区间；（2）ABC ∆的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知f （A ）0=，1a =，求b c +的取值范围．【解析】解：（1）函数，由，可得，可得函数的单调递增区间是(6k ππ-，)3k ππ+，k Z ∈．（2）ABC ∆中，已知f （A ），，3A π∴=．1a =，由正弦定理可得，．2(0,)3B π∈，(66B ππ∴+∈，5)6π，，2]．所以b c +的范围是(1，2]．18．椭圆的左右焦点分别为1(F 0)、2F 0)，点A 1)2在椭圆C 上．（1）求椭圆C 的方程；（2）直线:l y kx m =+与椭圆交于E 、F 两点，以EF 为直径的圆过坐标原点O ，求证：坐标原点O 到直线l 距离为定值．【解析】解：（1）由椭圆定义可知，，所以2a =，因为c =，所以1b =，椭圆C 的方程为：2214x y +=；（2）证明：由2214x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩可得，△，即2241k m +>，设1(E x ，1)y ，2(F x ，2)y ，又，，∴，，，所以坐标原点O 到直线l． 19．某校学业水平考试中，某两个班共100名学生，物理成绩的优秀率为20%，数学成绩的频率分布直方图如图所示，数学成绩大于90分的为优秀．（1）利用频率分布直方图估计数学成绩的众数和中位数（中位数保留小数点后两位）；（2）如果数学、物理都优秀的有12人，补全下列22⨯列联表，并根据列联表，判断是否有99.9%以上的把握认为数学优秀与物理优秀有关？（3）在物理优秀的20人中，随机抽取2人，记数学物理都优秀的人数为X ，求X 的概率分布列及数学期望．附：，其中．【解析】解：（1）由频率分布直方图估计数学成绩的众数是：8090852+=，由频率分布直方图得：[60，80)的频率为：，[80，90)的频率为：．估计数学成绩的中位数是：．⋯（2）列联表是：，所以有99.9%以上的把握认为数学优秀与物理优秀有关⋯（3）X的可能取值为0，1，2，，，，X 概率分布列为：数学期望．⋯20．如图①在四边形ABCD 中，//AD BC ，90BAD ∠=︒，AB =4BC =，6AD =，E 是AD 上的点，13AE AD =，P 为BE 的中点将ABE ∆沿BE 折起到△1A BE 的位置，使得14A C =，如图②． （1）求证：平面1A CP ⊥平面1A BE ；（2）点M 在线段CD 上，当直线1A M 与平面1A PD 1M A P D --的余弦值．【解析】证明：（1）BPC ∆中，2BP =，PC =，4BC =，所以BP PC ⊥，同理△1A PC 中，12A P =，PC =，14A C =， 所以1A P PC ⊥，因为1A P ⊂平面1A BE ，PB ⊂平面1A BE ，，所以PC ⊥平面1A BE ，又PC ⊂平面1A PC ， 所以平面1A CP ⊥平面1A BE ．⋯解：（2）以点P 为坐标原点，PE ，PC 所在直线为x ，y 轴正方向建立如图所示空间直角坐标系，1(0A ，1，C ，0，0)，D ，4，0)，(0E ，2，0)设M a ，0)，则1A M =1a -，，1(0PA =，1，PD =4，0)，设平面1A PD 的法向量为(m x =，y ，)z ，由100m PA m PD ⎧=⎪⎨=⎪⎩，得．令2x =，得(2m =，1)，直线1A M 与平面1A PD ，，解得2a =或8a =（舍)，∴1A M =1，， 设平面1A PD 的法向量为(n x =，y ，)z ，由，取1x =，得(1n =，1)，设二面角1M A P D --的平面角为θ，则，所以当直线1A M 与平面1A PD 1M A P D --．⋯21．某财团欲投资一新型产品的批量生产，预计该产品的每日生产总成本价格y （单位：万元）是每日产量x （单位：吨）的函数：．（1）求当日产量为3吨时的边际成本（即生产过程中一段时间的总成本对该段时间产量的导数）； （2）记每日生产平均成本yx为m ，求证：16m <； （3）若财团每日注入资金可按数列2241n na n =-（单位：亿元）递减，连续注入60天，求证：这60天的总投入资金大于111n 亿元．【解析】解：（1）因为22321x y lnx x =-，(1)x >，所以，当3x =时，；证明：（2）要证，只需证设，则所以()h x 在(1,)+∞上单调递减，所以()h x h <（1）0= 所以16yx<， 即16m <； 证明（3）因为，又由（2）知，当1x > 时，12x lnx x ->， 所以，所以，所以．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．曲线（其中t 为参数），以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，曲线关于1C 对称．（1）求曲线1C 的普通方程，曲线2C 直角坐标方程；（2）将2C 向左平移2个单位长度，按照12x x y y ⎧'=⎪⎪⎨⎪'=⎪⎩变换得到3C ，点P 为3C 上任意一点，求点P 到曲线1C 距离的最大值．【解析】解：（1）由2121x t y t =+⎧⎨=-⎩消去t 得20x y --=，由2c os a ρθ=得，得，依题意2C 的圆心2(,0)C a 在上，所以020a --=，解得2a =，故曲线1C 的普通方程为20x y --=，曲线2C 的直角坐标方程为．即．（2）2C 向左平移2各单位长度后得224x y +=，再按照12x x y y ⎧'=⎪⎪⎨⎪'⎪⎩变换得到，设P 点坐标为，P 点到1C 的距离为，当23πθ=时，点P 到1C的距离最大，最大值为 [选修4-5：不等式选讲] 23．已知．（1）解关于x 的不等式()4f x >；（2）对于任意正数m 、n ，求使得不等式恒成立的x 的取值集合M ．【解析】解：（1）函数，当0x …时，不等式()4f x >化为，解得1x <-；当01x <<时，不等式()4f x >化为，解得3x >，所以x ∈∅； 当1x …时，不等式()4f x >化为，解得53x >； 综上，不等式()4f x >的解集为{|1x x <-或5}3x >；⋯（2）对于任意正数m 、n ，，当且仅当1m n ==时“=”成立， 所以不等式恒成立，等价于，由（1）知，该不等式的解集为5{|1}3x x-剟， 所以x 的取值集合是[1M =-，5]3．⋯。
2020年全国高考数学临考押题试卷(文科)-含答案与解析
2020年全国高考数学临考押题试卷（文科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知z＝a+bi（i为虚数单位，a，b∈R），（1+ai）（2﹣i）＝3+bi，则|z|＝（）A2 B C D12已知集合A＝{x∈Z|x2﹣2x﹣3≤0}，B＝{x|y＝}，则A∩B＝（）A{0，1，2，3} B{1，2，3} C{﹣1，0，1} D{﹣1，0}32020年2月29日人民网发布了我国2019年国民经济和社会发展统计公报图表，根据报表中2015年至2019年三次产业增加值占国内生产总值比重等高图，判断下列说法不正确的是（）A2015年至2019年这五年内每年第二产业增加值占国内生产总值比重比较稳定B2015年至2019年每年第一产业产值持续下降C第三产业增加值占国内生产总值比重从2015年至2019年连续五年增加D第三产业增加值占国内生产总值比重在2015年至2019年这五年每年所占比例均超过半数4在等差数列{a n}中，a3＝5，S3＝12，则a10＝（）A10 B11 C12 D135已知sin2（）＝，则sin（）＝（）A B﹣C D﹣6若a＝5，b＝0.70.2，c＝0.30.5，则（）A a＞b＞cB c＞b＞aC b＞a＞cD b＞c＞a7“m＜4”是“∀x∈[3，+∞），x2﹣mx+4＞0恒成立”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件8过圆O；x2﹣2x+y2﹣15＝0内一点M（﹣1，3）作两条相互垂直的弦AB和CD，且AB＝CD，则四边形ACBD的面积为（）A16 B17 C18 D199将函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的图象向左平移个单位长度得到函数y＝g（x）的图象，函数y＝g（x）的周期为π，且函数y＝g（x）图象的一条对称轴为直线x＝，则函数y＝f（x）的单调递增区间为（）A，k∈Z B，k∈ZC，k∈Z D，k∈Z10已知P是椭圆＝1上第一象限内一点，F1，F2分别是该椭圆的左、右焦点，且满足＝0，若点P到直线y+m＝0的距离小于，则m的取值范围是（）A（﹣∞，7）∪（5，+∞）B（7，5）C（﹣10，0）D（﹣10，5）11在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥底面ABCD，菱形ABCD的两条对角线交于点O，又PA ＝PD＝3，AD＝2，则三棱锥P﹣AOD的外接球的体积为（）A B C D12已知函数f（x）＝lnx﹣x﹣有两个极值点，且x1＜x2，则下列选项错误的是（）A x1+lnx2＞0B x1+x2＝1C x2D m二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13已知定义在R上的函数y＝f（x）+3是奇函数，且满足f（1）＝﹣2，则f（﹣1）＝14已知非零向量，满足（+）⊥（﹣），且＝，则向量与的夹角为15已知双曲线（a＞0，b＞0），O为坐标原点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，过点F2的直线l交双曲线右支于A，B两点，若|OA|＝，|BF1|＝5a，则双曲线的离心率为16已知数列{a n}满足（a n﹣a n﹣l）•2n2+（5a n﹣1﹣a n）•n﹣a n﹣3a n﹣1＝0（n≥2），且a1＝，S n 为数列{a n}的前n项和，若S n＞，则正整数n的最小值为三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答.17（12分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＝b cos C+c （1）求角B（2）若b＝3，求△ABC面积的最大值18（12分）如图，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，四边形ABCD是直角梯形，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝5AB＝5，AD＝2（1）求证：BC⊥平面BDD1（2）若二面角A﹣BC﹣D1的平面角的正切值为，求四棱锥D1﹣ABCD的体积19（12分）区块链是分布式数据存储、点对点传输、共识机制、加密算法等计算机技术的新型应用模式某校为了了解学生对区块链的了解程度，对高三600名文科生进行了区块链相关知识的测试（百分制），如表是该600名文科生测试成绩在各分数段上的人数分数[40，50）[50，60）[60，70）[70，80）[80，90）[90，100）人数25 125 150 175 75 50 （1）根据表判断某文科生72分的成绩是否达到该校高三年级文科生的平均水平（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）（2）为了让学生重视区块链知识，该校高三年级也组织了800名理科学生进行测试，若学生取得80分及以上的成绩会被认为“对区块链知识有较好掌握”，且理科生中有75人取得了80分及以上的成绩，试完成下列2×2列联表，并判断是否有99.9%的把握认为“对区块链知识有较好掌握与学生分科情况有关”（3）用分层抽样的方式在“对区块链知识有较好掌握”的学生中抽取8人，再在8人中随机抽取2人，求2人中至少有1人学理科的概率文科理科总计较好掌握非较好掌握总计参考公式：，其中n＝a+b+c+dP（K2≥k0）0.050 0.010 0.001 k0 3.841 6.635 10.82820（12分）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0），P为C上任意一点，F为抛物线C的焦点，|PF|的最小值为1（1）求抛物线C的方程（2）过抛物线C的焦点F的直线l与抛物线C交于A，B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点D，求证：为定值21（12分）已知函数f（x）＝x﹣sin x（1）求曲线y＝f（x）在点（π，f（π））处的切线方程（2）证明：当x∈（0，π）时，6f（x）＜x3选考题:共10分,请考生在第22.23题中任选一题作答.如果多做,那么按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22（10分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（φ为参数）直线l的参数方程为（t为参数）（1）以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系求曲线C的极坐标方程，并求曲线C上的点到原点的最大距离（2）已知直线l与曲线C交于A，B两点，若|OA|+|OB|＝2，O为坐标原点，求直线l的普通方程[选修4-5：不等式选讲]23已知函数f（x）＝|x+2|+|x﹣a|（1）当a＝3时，求f（x）≥6的解集（2）若f（x）≥2a恒成立，求实数a的取值范围参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知z＝a+bi（i为虚数单位，a，b∈R），（1+ai）（2﹣i）＝3+bi，则|z|＝（）A2 B C D1【分析】利用复数的运算法则、复数相等可得a，b，再利用模的计算公式即可得出【解答】解：（1+ai）（2﹣i）＝3+bi，化为：2+a+（2a﹣1）i＝3+bi，∴2+a＝3，2a﹣1＝b，解得a＝1，b＝1∴z＝1+i，则|z|＝＝，故选：C【点评】本题考查了复数的运算法则、复数相等、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题2已知集合A＝{x∈Z|x2﹣2x﹣3≤0}，B＝{x|y＝}，则A∩B＝（）A{0，1，2，3} B{1，2，3} C{﹣1，0，1} D{﹣1，0}【分析】求出集合A，B，再由交集的定义求出A∩B【解答】解：∵集合A＝{x∈Z|x2﹣2x﹣3≤0}＝{x∈Z|﹣1≤x≤3}＝{﹣1，0，1，2，3}，B＝{x|y＝}＝{x|x≤0}，∴A∩B＝{﹣1，0}故选：D【点评】本题考查交集的求法，交集定义等基础知识，考查运算能力，是基础题32020年2月29日人民网发布了我国2019年国民经济和社会发展统计公报图表，根据报表中2015年至2019年三次产业增加值占国内生产总值比重等高图，判断下列说法不正确的是（）A2015年至2019年这五年内每年第二产业增加值占国内生产总值比重比较稳定B2015年至2019年每年第一产业产值持续下降C第三产业增加值占国内生产总值比重从2015年至2019年连续五年增加D第三产业增加值占国内生产总值比重在2015年至2019年这五年每年所占比例均超过半数【分析】根据题中给出的图形中的数据，对四个选项逐一分析判断即可【解答】解：由题意，2015年至2019年这五年内每年第二产业增加值占国内生产总值比重都在39%～40.8%，故选项A正确；2015年至2019年每年第一产业增加值占国内生产总值比重先下降后上升，但无法据此判断第一产业产值是否在下降，故选项B错误；第三产业增加值占国内生产总值比重从2015年至2019年连续五年增加，第三产业增加值占国内生产总值比重在2015年至2019年这五年每年所占比例均超过半数，故选项C，D正确故选：B【点评】本题考查了条形图的应用，读懂统计图并能从统计图得到必要的信息是解决问题的关键，属于基础题4在等差数列{a n}中，a3＝5，S3＝12，则a10＝（）A10 B11 C12 D13【分析】根据等差数列的通项公式和前n项和公式列方程组求出首项a1和公差d，即可求出a10的值【解答】解：等差数列{a n}中，a3＝5，S3＝12，所以，解得a1＝3，d＝1，所以a n＝3+（n﹣1）×1＝n+2，a10＝10+2＝12故选：C【点评】本题考查了等差数列的通项公式和前n项和公式应用问题，是基础题5已知sin2（）＝，则sin（）＝（）A B﹣C D﹣【分析】利用二倍角公式化简已知等式可得cos（2α﹣）＝，进而根据诱导公式即可化简求解【解答】解：因为sin2（）＝＝，可得cos（2α﹣）＝，所以sin（）＝sin[+（2α﹣）]＝cos（2α﹣）＝故选：A【点评】本题主要考查了二倍角公式，诱导公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题6若a＝5，b＝0.70.2，c＝0.30.5，则（）A a＞b＞cB c＞b＞aC b＞a＞cD b＞c＞a【分析】判断a＜0，由幂函数y＝x0.2的单调性得出0.70.2＞0.30.2，由指数函数y＝0.3x 的单调性得出0.30.2＞0.30.5，判断b＞c＞0，即可得出结论【解答】解：因为a＝5＝﹣log35＜0，由幂函数y＝x0.2在（0，+∞）上是单调增函数，且0.7＞0.3，所以0.70.2＞0.30.2，又指数函数y＝0.3x是定义域R上的单调减函数，且0.2＜0.5，所以0.30.2＞0.30.5，所以0.70.2＞0.30.5＞0，即b＞c＞0所以b＞c＞a故选：D【点评】本题考查了根据函数的单调性判断函数值大小的应用问题，是基础题7“m＜4”是“∀x∈[3，+∞），x2﹣mx+4＞0恒成立”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【分析】x2﹣mx+4＞0对于∀x∈[3，+∞）恒成立，可得m＜x+，求出x+的最小值，可得m的取值范围，再根据充要条件的定义即可判断【解答】解：∵x∈[3，+∞），由x2﹣mx+4＞0x＞0，得m＜x+，∵当x∈[3，+∞）时，x+≥，当x＝3时，取得最小值∴m＜，∵{m|m＜4}⫋{m|m}∴“m＜4”是“∀x∈[3，+∞），x2﹣mx+4＞0恒成立”的充分不必要条件，故选：A【点评】本题考查了不等式恒成立问题和充要条件的判断，属于基础题8过圆O；x2﹣2x+y2﹣15＝0内一点M（﹣1，3）作两条相互垂直的弦AB和CD，且AB＝CD，则四边形ACBD的面积为（）A16 B17 C18 D19【分析】根据题意画出相应的图形，连接OM，OA，过O作OE⊥AB，OF⊥CD，利用垂径定理得到E、F分别为AB、CD的中点，由AB＝CD得到弦心距OE＝OF，可得出四边形EMFO 为正方形，由M与O的坐标，利用两点间的距离公式求出OM的长，即为正方形的对角线长，求出正方形的边长OE，由圆的方程找出半径r，得OA的长，在直角三角形AOE中，由OA与OE的长，利用勾股定理求出AE的长，进而求出AB与CD的长，再利用对角线互相垂直的四边形面积等于两对角线乘积的一半，即可求出四边形ACBD的面积【解答】解：由x2﹣2x+y2﹣15＝0，得（x﹣1）2+y2＝16，则圆心坐标为O（1，0），根据题意画出相应的图形，连接OM，OA，过O作OE⊥AB，OF⊥CD，∴E为AB的中点，F为CD的中点，又AB⊥CD，AB＝CD，∴四边形EMFO为正方形，又M（﹣1，3），∴|OM|＝，∴|OE|＝×＝，又|OA|＝4，∴根据勾股定理得：|AE|＝，∴|AB|＝|CD|＝2|AE|＝，则S四边形ACBD＝|AB|•|CD|＝19故选：D【点评】本题考查了直线与圆相交的性质，涉及的知识有：垂径定理，勾股定理，正方形的判定与性质，两点间的距离公式，以及对角线互相垂直的四边形面积求法，当直线与圆相交时，常常由垂径定理根据垂直得中点，然后由弦心距，弦长的一半及圆的半径构造直角三角形，利用勾股定理来解决问题，是中档题9将函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的图象向左平移个单位长度得到函数y＝g（x）的图象，函数y＝g（x）的周期为π，且函数y＝g（x）图象的一条对称轴为直线x＝，则函数y＝f（x）的单调递增区间为（）A，k∈Z B，k∈ZC，k∈Z D，k∈Z【分析】首先利用关系式的平移变换和伸缩变换的应用，求出函数的关系式，进一步利用正弦函数的性质的应用求出结果【解答】解：将函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的图象向左平移个单位长度得到函数g（x）＝sin（ωx+ω+φ）的图象，因为函数y＝g（x）的周期为π＝，可得ω＝2，所以g（x）＝sin（2x++φ），因为函数y＝g（x）图象的一条对称轴为直线x＝，且g（x）是由f（x）的图像向左平移个单位长度得到，所以f（x）的一条对称轴为x＝+＝，所以2×+φ＝kπ+，k∈Z，解得φ＝kπ﹣，k∈Z，因为|φ|＜，可得φ＝，可得f（x）＝sin（2x+），令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，k∈Z，解得kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z，函数y＝f（x）的单调递增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z故选：B【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于中档题10已知P是椭圆＝1上第一象限内一点，F1，F2分别是该椭圆的左、右焦点，且满足＝0，若点P到直线y+m＝0的距离小于，则m的取值范围是（）A（﹣∞，7）∪（5，+∞）B（7，5）C（﹣10，0）D（﹣10，5）【分析】设出点P的坐标，根据椭圆方程求出左右焦点的坐标，然后利用点P在椭圆上以及点P满足的向量关系联立求出点P的坐标，然后利用点到直线的距离公式建立不等关系，进而可以求解【解答】解：设点P的坐标为（x0，y0），则x0＞0，y0＞0，由椭圆的方程可得：a2＝30，b2＝5，则c＝，所以F1（﹣5，0），F2（5，0），则＝（﹣5﹣x0，﹣y0）•（5﹣x0，﹣y0）＝x…①又…②，联立①②解得：x（负值舍去），所以点P的坐标为（2，1），则点P到直线AB的距离为d＝＝，解得﹣10，即实数m的取值范围为（﹣10，0），故选：C【点评】本题考查了椭圆的性质以及向量的坐标运算性质，考查了学生的运算能力，属于中档题11在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥底面ABCD，菱形ABCD的两条对角线交于点O，又PA ＝PD＝3，AD＝2，则三棱锥P﹣AOD的外接球的体积为（）A B C D【分析】取AD中点M，连接PM，ON，MN，求解三角形证明OM＝MA＝MD＝MP，说明三棱锥P﹣AOD的外接球的球心O，在PM上，求出外接球的半径，然后求解外接球的体积【解答】解：如图，取AD中点M，连接PM，∵平面PAD⊥底面ABCD，菱形ABCD的两条对角线交于点O，又PA＝PD＝3，AD＝2，所以M为底面△AOD的外心，PM⊥平面AOD，所以三棱锥P﹣AOD的外接球的球心在PM上，球心为O，设球的半径为R，PM＝＝2，所以R2＝（2R）2+12，解得R＝，∴PD⊥AD，PD⊥ON，三棱锥P﹣AOD的外接球的体积：＝故选：D【点评】本题考查三棱锥的外接球的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题12已知函数f（x）＝lnx﹣x﹣有两个极值点，且x1＜x2，则下列选项错误的是（）A x1+lnx2＞0B x1+x2＝1C x2D m【分析】利用极值点的定义，结合题意得到方程f'（x）＝0有两个正解，从而求解得出正确结论【解答】解：∵函数的定义域为：x∈（0，+∞），∴函数有两个极值点，即得f'（x）＝0有两个正解，∵f'（x）＝∴方程x2﹣x﹣m＝0有两个正解x1，x2，故有x1+x2＝1，即得B正确；根据题意，可得△＝1+4m＞0⇒m＞，且有x1•x2＝﹣m＞0⇒m＜0所以可得＜m＜0，故D正确；又因为根据二次函数的性质可知，函数y＝x2﹣x﹣m的对称轴为x＝，由上可得0＜x1＜，＜x2＜1，故C正确；∴﹣ln2＜lnx2＜0，∴x1+lnx2∈（﹣ln2，），故A错误故选：A【点评】本题考查函数极值点的定义，以及函数零点与方程的根的关系属于基础题二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13已知定义在R上的函数y＝f（x）+3是奇函数，且满足f（1）＝﹣2，则f（﹣1）＝﹣4【分析】根据y＝f（x）+3是R上的奇函数，并且f（1）＝﹣2即可得出f（﹣1）+3＝﹣（﹣2+3），然后解出f（﹣1）即可【解答】解：∵y＝f（x）+3是R上的奇函数，且f（1）＝﹣2，∴f（﹣1）+3＝﹣[f（1）+3]，即f（﹣1）+3＝﹣（﹣2+3），解得f（﹣1）＝﹣4 故答案为：﹣4【点评】本题考查了奇函数的定义，考查了计算能力，属于基础题14已知非零向量，满足（+）⊥（﹣），且＝，则向量与的夹角为【分析】根据条件可得出，进而可求出的值，从而可得出与的夹角【解答】解：∵，∴，∴，且，∴，且，∴故答案为：【点评】本题考查了向量垂直的充要条件，向量数量积的运算，向量夹角的余弦公式，考查了计算能力，属于基础题15已知双曲线（a＞0，b＞0），O为坐标原点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，过点F2的直线l交双曲线右支于A，B两点，若|OA|＝，|BF1|＝5a，则双曲线的离心率为【分析】由|OA|＝c，得到AF1⊥AB，运用双曲线的定义和直角三角形的勾股定理，可得a，c的关系，进而得到离心率【解答】解：设双曲线的半焦距为c，由|OA|＝＝c＝|OF1|+|OF2|，可得AF1⊥AB，由|BF1|＝5a，可得|BF2|＝5a﹣2a＝3a，设|AF1|＝m，可得|AF2|＝m+2a，|AB|＝m+3a，由直角三角形ABF1，可得（m+3a）2+（m+2a）2＝（5a）2，化为m2+5ma﹣6a2＝0，解得m＝a，则|AF1|＝3a，|AF2|＝a，所以（3a）2+a2＝（2c）2，即为c＝a，则离心率e＝＝故答案为：【点评】本题考查双曲线的定义和性质，以及勾股定理法运用，考查方程思想和运算能力，属于中档题16已知数列{a n}满足（a n﹣a n﹣l）•2n2+（5a n﹣1﹣a n）•n﹣a n﹣3a n﹣1＝0（n≥2），且a1＝，S n 为数列{a n}的前n项和，若S n＞，则正整数n的最小值为1010【分析】根据已知关系式推出，然后利用累乘法求出a n，再利用裂项相消法求出S n，进而可以求解【解答】解：由已知（a n﹣a n﹣l）•2n2+（5a n﹣1﹣a n）•n﹣a n﹣3a n﹣1＝0（n≥2），则（2n2﹣n﹣1）a，即（2n+1）（n﹣1）a n＝（2n﹣3）（n﹣1）a n﹣1，所以，则a×＝＝，则S＝，因为S，则，解得n，所以n的最小值为1010，故答案为：1010【点评】本题考查了数列的递推式的应用，涉及到利用累乘法求解数列的通项公式以及裂项相消求和的应用，考查了学生的运算能力，属于中档题三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答.17（12分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＝b cos C+c （1）求角B（2）若b＝3，求△ABC面积的最大值【分析】（1）由已知结合正弦定理及和差角公式进行化简可求cos B，进而可求B；（2）由余弦定理可求bc的范围，然后结合三角形的面积公式可求【解答】解：（1）因为a＝b cos C+c，所以sin A＝sin B cos C+sin C＝sin（B+C）＝sin B cos C+sin C cos B，即sin C＝sin C cos B，因为sin C＞0，所以cos B＝，由B∈（0，π）得B＝；（2）由余弦定理得b2＝9＝a2+c2﹣ac≥ac，当且仅当a＝c时取等号，故ac≤9，△ABC面积S＝＝故面积的最大值【点评】本题主要考查了余弦定理，正弦定理，和差角公式在三角化简求值中的应用，还考查了三角形的面积公式的应用，属于中档题18（12分）如图，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，四边形ABCD是直角梯形，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝5AB＝5，AD＝2（1）求证：BC⊥平面BDD1（2）若二面角A﹣BC﹣D1的平面角的正切值为，求四棱锥D1﹣ABCD的体积【分析】（1）由已知可得D1D⊥平面ABCD，则D1D⊥BC，再证明BC⊥BD，由直线与平面垂直的判定可得BC⊥平面BDD1；（2）由（1）可知，∠D1BD为二面角A﹣BC﹣D1的平面角，求得DD1＝5，再由棱锥体积公式求四棱锥D1﹣ABCD的体积【解答】（1）证明：已知直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1，则D1D⊥平面ABCD，∵BC⊂平面ABCD，∴D1D⊥BC，在直角梯形ABCD中，过B作BE⊥CD，则BE＝AD＝2，CE＝DC﹣DE＝DC﹣AB＝4，∴BC＝，BD2＝AD2+AB2＝5，∴BC2+BD2＝CD2，即BC⊥BD，∵BD∩DD1＝D，∴BC⊥平面BDD1；（2）解：由（1）可知，∠D1BD为二面角A﹣BC﹣D1的平面角，且tan∠D1BD＝，则DD1＝5∴四棱锥D1﹣ABCD的体积V＝【点评】本题考查直线与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了多面体体积的求法，是中档题19（12分）区块链是分布式数据存储、点对点传输、共识机制、加密算法等计算机技术的新型应用模式某校为了了解学生对区块链的了解程度，对高三600名文科生进行了区块链相关知识的测试（百分制），如表是该600名文科生测试成绩在各分数段上的人数分数[40，50）[50，60）[60，70）[70，80）[80，90）[90，100）人数25 125 150 175 75 50 （1）根据表判断某文科生72分的成绩是否达到该校高三年级文科生的平均水平（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）（2）为了让学生重视区块链知识，该校高三年级也组织了800名理科学生进行测试，若学生取得80分及以上的成绩会被认为“对区块链知识有较好掌握”，且理科生中有75人取得了80分及以上的成绩，试完成下列2×2列联表，并判断是否有99.9%的把握认为“对区块链知识有较好掌握与学生分科情况有关”（3）用分层抽样的方式在“对区块链知识有较好掌握”的学生中抽取8人，再在8人中随机抽取2人，求2人中至少有1人学理科的概率文科理科总计较好掌握非较好掌握总计参考公式：，其中n＝a+b+c+dP（K2≥k0）0.050 0.010 0.001 k0 3.841 6.635 10.828【分析】（1）求出平均值，由72与平均值比较大小得结论；（2）由题意填写2×2列联表，再求出K2的观测值k，与临界值表比较得结论；（3）利用分层抽样求出8人中文理科所占人数，再由古典概型概率计算公式求解【解答】解：（1）由表可得高三600名文科生的成绩的平均值为：＝70，∴某文科生72分的成绩达到该校高三年级文科生的平均水平；（2）2×2列联表：文科理科总计较好掌握125 75 200非较好掌握475 725 1200 总计600 800 1400 K2的观测值k＝≈36.762＞10.828，故有99.9%的把握认为“对区块链知识有较好掌握与学生分科情况有关”；（3）由分层抽样方法从200名学生中抽取8名，文科所占人数为人，则理科有3人在8人中随机抽取2人，2人中至少有1人学理科的概率为P＝＝【点评】本题考查频率分布表，考查独立性检验，训练了古典概型概率的求法，是中档题20（12分）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0），P为C上任意一点，F为抛物线C的焦点，|PF|的最小值为1（1）求抛物线C的方程（2）过抛物线C的焦点F的直线l与抛物线C交于A，B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点D，求证：为定值【分析】（1）由抛物线的定义和范围，可得|PF|的最小值为，可得所求抛物线的方程；（2）设直线l的方程为x＝my+1，与抛物线的方程联立，运用韦达定理和弦长公式，以及中点坐标公式和两直线垂直的条件，求得|DF|，即可得到定值【解答】解：（1）抛物线C：y2＝2px（p＞0），焦点F（，0），准线方程为x＝﹣，设P（x0，y0），x0≥0，可得x0+的最小值为＝1，即p＝2，所以抛物线的方程为y2＝4x；（2）证明：设直线l的方程为x＝my+1，与抛物线的方程y2＝4x联立，可得y2﹣4my﹣4＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2＝4m，y1y2＝﹣4，所以AB的中点坐标为（1+2m2，2m），AB的垂直平分线方程为y﹣2m＝﹣m（x﹣1﹣2m2），令y＝0，解得x＝2+2m2，即D（3+2m2，0），|DF|＝2（1+m2），又|AB|＝x1+x2+2＝m（y1+y2）+4＝4m2+4，则为定值【点评】本题考查抛物线的定义、方程和性质，以及直线和抛物线的位置关系，考查方程思想和运算能力，属于中档题21（12分）已知函数f（x）＝x﹣sin x（1）求曲线y＝f（x）在点（π，f（π））处的切线方程（2）证明：当x∈（0，π）时，6f（x）＜x3【分析】（1）f′（x）＝1﹣cos x，可得f′（π），又f（π）＝π，利用点斜式即可得出曲线y＝f（x）在点（π，f（π））处的切线方程（2）令g（x）＝f（x）﹣x3＝x﹣sin x﹣x3，x∈（0，π），g（0）＝0多次利用导数研究函数的单调性极值与最值即可证明结论【解答】解：（1）f′（x）＝1﹣cos x，f′（π）＝1﹣cosπ＝2，又f（π）＝π﹣sinπ＝π，∴曲线y＝f（x）在点（π，f（π））处的切线方程为：y﹣π＝2（x﹣π），即y＝2x ﹣π（2）证明：令g（x）＝f（x）﹣x3＝x﹣sin x﹣x3，x∈（0，π），g（0）＝0 g′（x）＝1﹣cos x﹣x2＝h（x），h（0）＝0，x∈（0，π），h′（x）＝sin x﹣x＝u（x），u（0）＝0，x∈（0，π），u′（x）＝cos x﹣1＜0，x∈（0，π），∴u（x）在x∈（0，π）上单调递减，∴h′（x）＝u（x）＜u（0）＝0，∴h（x）在x∈（0，π）上单调递减，∴g′（x）＝h（x）＜h（0）＝0，∴函数g（x）在x∈（0，π）单调递减，∴g（x）＜g（0）＝0∴x﹣sin x﹣x3＜0，即当x∈（0，π）时，6f（x）＜x3【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值、证明不等式，考查了推理能力与计算能力，属于难题选考题:共10分,请考生在第22.23题中任选一题作答.如果多做,那么按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22（10分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（φ为参数）直线l的参数方程为（t为参数）（1）以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系求曲线C的极坐标方程，并求曲线C上的点到原点的最大距离（2）已知直线l与曲线C交于A，B两点，若|OA|+|OB|＝2，O为坐标原点，求直线l的普通方程【分析】（1）直接利用转换关系，在参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换，再利用三角函数的关系式的变换和三角函数的性质的应用求出结果（2）利用直线与圆的位置关系和一元二次方程根和系数关系式的应用求出直线的方程【解答】解：（1）曲线C的参数方程为（φ为参数），转换为直角坐标方程为x2+（y﹣1）2＝4，根据，转换为极坐标方程为ρ2﹣2ρsinθ﹣3＝设曲线上的点的坐标为P（2cosθ，1+2sinθ），原点的坐标为O（0，0），所以，当（k∈Z）时，|PO|max＝3（2）直线l的参数方程为（t为参数），转换为极坐标方程为θ＝α（ρ∈R），由于直线与圆相交，故，整理得ρ2﹣2ρsinα﹣3＝0，所以ρA+ρB＝2sinα，ρAρB＝﹣3，故|OA|+|OB|＝＝，整理得sinα＝0，所以直线与x轴平行，故直线的方程为y＝0【点评】本题考查的知识要点：参数方程，极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，三角函数关系式的变换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题[选修4-5：不等式选讲]23已知函数f（x）＝|x+2|+|x﹣a|（1）当a＝3时，求f（x）≥6的解集（2）若f（x）≥2a恒成立，求实数a的取值范围【分析】（1）把a＝3代入函数解析式，然后根据f（x）≥6，利用零点分段法解不等式即可；（2）根据绝对值不等式性质可得f（x）≥|a+2|，把不等式f（x）≥2a，对任意x∈R 恒成立转化为|a+2|≥2a恒成立，然后求出a的取值范围【解答】解：（1）把a＝3代入f（x）＝|x+2|+|x﹣a|，可得f（x）＝|x+2|+|x﹣3|＝，当x≤﹣2时，f（x）≥6等价于﹣2x+1≥6，解得x≤，则x≤﹣，当﹣2＜x＜3时，f（x）≥6等价于5≥6，此式不成立，当x≥3时，f（x）≥6等价于2x﹣1≥6，解得x，则x综上，不等式f（x）≥6的解集为：（﹣∞，]∪[，+∞）（2）∵f（x）＝|x+2|+|x﹣a|＝|x+2|+|a﹣x|≥|x+2+a﹣x|＝|a+2|，∴不等式f（x）≥2a，对任意x∈R恒成立转化为|a+2|≥2a恒成立，若2a＜0，即a＜0，则不等式|a+2|≥2a成立，若2a≥0，即a≥0，则a2+4a+4≥4a2，即3a2﹣4a﹣4≤0，解得≤a≤2，则0≤a≤2综上，实数a的取值范围是（﹣∞，2]【点评】本题考查绝对值不等式的解法和不等式恒成立问题，考查分类讨论思想和转化思想，属于中档题。
2020高考终极猜押最后一卷理科数学试题-含答案
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共150分,考试时间120分钟.第Ⅰ卷一㊁选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.若集合A ={x |x 2-5x +4<0},B ={x |(x -a )2<1},则 a ɪ(2,3) 是 B ⊆A的( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件2.已知复数z =2+3i i,则z 的共轭复数为( )A .3-2i B .3+2i C .-3-2i D .-3+2i3.向量a =(c o s α,s i n α),b =(c o s β,s i n β),其中0<α<β<π,若|2a +b |=|a -2b |,则α-β=( )A .π2B .-π2C .π4D .-π44.二项式a x +36æèçöø÷6的展开式的第二项的系数为-3,则ʏa-2x 2dx 的值为( )A .53B .73C .3D .1135.如图,在矩形A B C D 中,A B =8,B C =6,现沿A C 折起,使得平面A B C ʅ平面A D C ,连接B D ,得到三棱锥B -A C D,则其外接球的体积为( )A .500π9B .250π3C .1000π3D .500π36.下列函数中,为偶函数且在(0,+ɕ)上为增函数的是( )A .f (x )=c o s 2x B .f (x )=-x 2+3C .f (x )=x 14+x 2D .f (x )=x (3x -3-x)7.点P 是双曲线C 1:x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)与圆C 2:x 2+y 2=a 2+b 2的一个交点,且2øP F 1F 2=øP F 2F 1,其中F 1,F 2分别为双曲线C 1的左㊁右焦点,则双曲线C 1的离心率为( )A .3+1B .3+12C .5+12D .5-18.如图,在әA B C 中,D 是A B 边上的点,且满足A D =3B D ,A D +A C =B D +B C =2,C D =2,则c o s A =( )A .13B .24C .14D .09.已知函数f (x )=x c o s x -s i n x -13x 3,则不等式f (2x +3)+f (1)<0的解集为( )A .(-2,+ɕ)B .(-ɕ,-2)C .(-1,+ɕ)D .(-ɕ,-1)10.已知函数y =a +2l n x x ɪ1e,e []()的图象上存在点P ,函数y =-x 2-2的图象上存在点Q ,且点P ,Q 关于原点对称,则a 的取值范围是( )A .e 2,+ɕ[)B .3,4+1e[]C .4+1e2,e 2[]D .3,e 2[]11.某几何体的三视图如图所示,若图中小正方形的边长均为1,则该几何体的体积是( )A .283πB .323πC .523π D .563π12.若函数f (x )=s i n ωx -π6()(ω>0)的图象相邻两个对称中心之间的距离为π2,则f (x )的一个单调递减区间为( )A .-π6,π3()B .-π3,π6()C .π6,2π3()D .π3,5π6()第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13-21题为必考题,每个实体考生都必须作答.第22-23题为选考题,考生根据要求作答.二㊁填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中横线上)13.若实数x ,y 满足约束条件2x +y -4ɤ0,x -2y -2ɤ0,x -1ȡ0,{则y -1x的最小值为 .14.数列{a n }的前n 项和记为S n ,a 1=1,a n +1=2S n +1(n ȡ1,n ɪN *),则数列{a n }的通项公式是 .15.某框图所给的程序运行结果为S =35,那么判断框中应填入的关于k 的条件是 .16.某航模兴趣小组的同学,为了测定在湖面上航模航行的速度,采用如下办法:在岸边设置两个观察点A ,B ,且A B长为80米,当航模在C 处时,测得øA B C =105ʎ和øB A C =30ʎ,经过20秒后,航模直线航行到D 处,测得øBA D =90ʎ和øAB D =45ʎ,则航模的速度为 米/秒.(答案保留根号)12020高考终极猜押最后一卷理科数学试题三㊁解答题(解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤,17-21题每小题12分,22-23题每小题10分)17.已知公比不为1的等比数列{a n }的前3项积为27,且2a 2为3a 1和a 3的等差中项.(1)求数列{a n }的通项公式a n .(2)若数列{b n }满足b n =b n -1㊃l o g 3a n +1(n ȡ2,n ɪN *),且b 1=1,求数列b nb n +2{}的前n 项和S n.18.为了缓解城市交通压力和改善空气质量,有些城市出台了一些汽车限行政策,如单双号出行,外地车限行等措施,对城市交通拥堵的缓解和空气质量的改良起了一定的作用.某中部城市为了应对日益增长的交通压力,现组织调研,准备出台新的交通限行政策,为了了解群众对 汽车限行 的态度,在当地市民中随机抽取了100人进行了调查,调查情况如表:年龄段[15,25)[25,35)[35,45)[45,55)[55,65)[65,75]频数51520n 2010赞成人数3121718162(1)求出表格中n 的值,并完成被调查人员年龄的频率分布直方图(如图所示).(2)若从年龄在[45,55)的被调查者中按照是否赞成进行分层抽样,从中抽取10人参与某项调查,然后再从这10人中随机抽取3人参加座谈会,记赞成的人数记为ξ,求ξ的分布列.19.如图,在四棱锥P -A B C D 中,底面A B C D 是边长为2的菱形,øA B C =60ʎ,P A ʅP B ,P C =2.(1)求证:平面P A B ʅ平面A B C D .(2)若P A =P B ,求二面角A -P C -D 的余弦值.20.已知椭圆C :y 2a 2+x 2b 2=1(a >b >0)的上㊁下两个焦点分别为F 1,F 2,过F 1的直线交椭圆于M ,N 两点,且әMN F 2的周长为8,椭圆C 的离心率为32.(1)求椭圆C 的标准方程.(2)已知O 为坐标原点,直线:y =k x +m 与椭圆C 有且仅有一个公共点,点M ',N '是直线上的两点,且F 1M'ʅl ,F 2M 'ʅl ,求四边形F 1M 'N 'F 2面积S 的最大值.21.已知函数f (x )=l n x +a x .(1)讨论函数f (x )的单调性.(2)当a =1时,函数g (x )=f (x )-x +12x -m 有两个零点x 1,x 2,且x 1<x 2.求证:x 1+x 2>1.请考生在第22-23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.作答时请写清题号.22.在直角坐标系x O y 中,直线l 的参数方程为x =1+t c o s α,y =t s i n α{(t 为参数),以坐标原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 的极坐标方程为ρ2-2ρc o s θ-4ρs i n θ+4=0.(1)若直线l 与曲线C 相切,求直线l 的直角坐标方程.(2)若t a n α=2,设直线l 与曲线C 的交点为点A ,B ,求әO A B 的面积.23.已知函数f (x )=|2x -1|+|2x +1|,g (x )=|a -1|-a |x |.(1)当x <0时,求不等式f (x )<4的解集.(2)设函数f (x )的值域为M ,函数g (x )的值域为N ,若满足M ɘN ʂ⌀,求a 的取值范围.第Ⅰ卷一㊁选择题1.选A .A ={x |1<x <4},B ={x |a -1<x <a +1}.因为B ⊆A ,所以a -1ȡ1,a +1ɤ4,{即2ɤa ɤ3.因为(2,3)⊆[2,3],所以 a ɪ(2,3) 是 B ⊆A 的充分不必要条件.2.选B .z =2+3i i =3-2i ,因此z 的共轭复数为3+2i .3.选B .由|2a +b |=|a -2b |两边平方整理,得3|a |2-3|b |2+8a ㊃b =0.因为|a |=|b |=1,故a ㊃b =0,所以c o s αc o s β+s i n αs i n β=0,即c o s (α-β)=0,因为0<α<β<π,故-π<α-β<0,所以α-β=-π2.4.选B .因为T r +1=C r 6(a x )6-r 36æèçöø÷r =C r 6a 6-r ㊃36æèçöø÷r x 6-r ,所以第二项的系数为C 16a 5㊃36=-3,所以a =-1,所以ʏa-2x 2d x =ʏ-1-2x 2d x =13x 3|-1-2=-13()--83()=73.5.选D .结合几何体的特征可得,外接球的球心为A C 的中点,外接球半径为R =12A B 2+B C 2=1282+62=5,则外接球的体积:V =43πR 3=500π3.6.选D .观察各选项,其中选项A 中的函数不可能在(0,+ɕ)上为增函数;选项B 中的函数在(0,+ɕ)上为减函数;选项C 中的函数定义域不关于原点对称,不是偶函数;选项D 中的函数是偶函数,且当x >0时,y =x 单调递增且大于零,函数y =e x -e -x 单调递增也大于零,所以y =x (3x -3-x )在(0,+ɕ)上为增函数.7.选A .x 2+y 2=a 2+b 2=c 2,所以点P 在以F 1F 2为直径的圆上,所以P F 1ʅP F 2,又2øP F 1F 2=øP F 2F 1,所以P F 2=c ,P F 1=3c ,又P 在双曲线上,2所以3c -c =2a ,所以e =c a =23-1=3+1.8.选D .设B D =x ,则A D =3x ,A C =2-3x ,B C =2-x ,易知c o s øA D C =-c o s øB D C ,由余弦定理的推论可得9x 2+2-(2-3x )22ˑ2ˑ3x =-x 2+2-(2-x )22ˑ2ˑx,解得x =13,故A D =1,A C =1,所以c o s A =A D 2+A C 2-C D 22ˑA D ˑA C=0.9.选A .易证函数f (x )是奇函数.由题得f '(x )=c o s x -x s i n x -c o s x -x 2=-x s i n x -x 2=-x (s i n x +x ).所以当x >0时,f'(x )<0,函数在(0,+ɕ)上单调递减,因为函数是奇函数,所以函数在(-ɕ,0)上单调递减,因为f (2x +3)+f (1)<0,所以f (2x +3)<-f (1)=f (-1),所以2x +3>-1,所以x >-2.故解集为(-2,+ɕ).10.选D .函数y =-x 2-2的图象与函数y =x 2+2的图象关于原点对称,若函数y =a +2l n x x ɪ1e,e []()的图象上存在点P ,函数y =-x 2-2的图象上存在点Q ,且P ,Q 关于原点对称,则函数y =a +2l n x x ɪ1e,e[]()的图象与函数y =x 2+2的图象有交点,即方程a +2l n x =x 2+2x ɪ1e,e[]()有解,即a =x 2+2-2l n x x ɪ1e,e []()有解,令f (x )=x 2+2-2l n x ,则f '(x )=2(x 2-1)x,当x ɪ1e,1[]时,f '(x )<0,当x ɪ(1,e ]时,f'(x )>0,故当x =1时,f (x )取最小值3,由f 1e ()=1e2+4,f (e )=e 2,故当x =e 时,f (x )取最大值e 2,故a ɪ3,e 2[].11.选A .由三视图可知,该几何体是由半个圆柱与半个圆锥组合而成,其中圆柱的底面半径为2,高为4,圆锥的底面半径和高均为2,其体积为V =12ˑ4πˑ4+12ˑ13ˑ4πˑ2=28π3.12.选D .f (x )=s i n ωx -π6()的图象相邻两个对称中心之间的距离为π2,于是有T =2πω=2ˑπ2=π,ω=2,所以f (x )=s i n2x -π6().当2k π+π2ɤ2x -π6ɤ2k π+3π2,k ɪZ ,即k π+π3ɤx ɤk π+5π6,k ɪZ 时,f (x )=s i n2x -π6()单调递减.因此结合各选项知,f (x )=s i n2x -π6()的一个单调递减区间为π3,5π6().第Ⅱ卷二㊁填空题13.ʌ解析ɔ作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示,因为y -1x表示可行域内的点与定点P (0,1)连线的斜率.由图知,点P (0,1)与点A 1,-12()连线的斜率最小,所以y -1x ()m i n=k P A =-12-11-0=-32.答案:-3214.ʌ解析ɔ由a n +1=2S n +1可得a n =2S n -1+1(n ȡ2),两式相减得a n +1-a n =2a n ,即a n +1=3a n (nȡ2).又a 2=2S 1+1=3,所以a 2=3a 1,故{a n }是首项为1,公比为3的等比数列,所以a n =3n -1.答案:a n =3n -115.ʌ解析ɔ由题意可知输出结果为S =35,第1次循环,S =11,k =9,第2次循环,S =20,k =8,第3次循环,S =28,k =7,第4次循环,S =35,k =6,此时S 满足输出结果,退出循环,所以判断框中的条件为:k >6或k ȡ7?答案:k >6?或k ȡ7?16.ʌ解析ɔ在әA B D 中,因为øB A D =90ʎ,øA B D =45ʎ,所以øA D B =45ʎ,所以A D =A B =80米,所以B D =802米,在әA B C 中B C s i n 30ʎ=A B s i n 45ʎ,所以B C =A B s i n 30ʎs i n 45ʎ=80ˑ1222=402(米).在әD B C 中,D C 2=D B 2+B C 2-2D B ㊃B C c o s 60ʎ=(802)2+(402)2-2ˑ802ˑ402ˑ12=9600,所以D C =406米,航模的速度v =40620=26米/秒.因此航模的速度为26米/秒.答案:26三㊁解答题17.ʌ解析ɔ(1)由前3项积为27,得a 2=3,设等比数列的公比为q ,由2a 2为3a 1和a 3的等差中项,得3㊃3q +3q =4ˑ3,由公比不为1,解得:q =3,所以a n =3n -1.(2)由b n =b n -1㊃l o g 3a n +1=b n -1㊃n ,得b n =b nb n -1㊃b n -1b n -2㊃ ㊃b 2b 1㊃b 1=n !.令c n =b nb n +2=n !(n +2)!=1(n +2)(n +1)=1n +1-1n +2,则S n =12-13()+13-14()+ +1n +1-1n +2()=12-1n +2=n2(n +2)318.ʌ解析ɔ(1)由题知被调查者一共有100人,所以有5+15+20+n+20+10=100,所以n=30.所以被调查人员年龄各组的频率组距为0.005,0.015,0.020,0.030,0.020,0.010.2分…………………………所以被调查人员年龄的频率分布直方图如图所示:4分………………………………………………………(2)由(1)知,年龄在[45,55)的共有30人,其中赞成的有18人,不赞成的有12人.由分层抽样赞成者应选10ˑ35=6人,6分……………不赞成有4人.则ξ=0,1,2,3.7分……………………P(ξ=0)=C34C310=4120=130,8分…………………………P(ξ=1)=C16C24C310=36120=310,9分…………………………P(ξ=2)=C26C14C310=60120=12,10分………………………P(ξ=3)=C36C310=20120=16,11分…………………………所以ξ的分布列为ξ0123P130310121612分………………………………………………………19.ʌ解析ɔ(1)取A B中点O,连接A C,C O,P O,因为四边形A B C D是边长为2的菱形,所以A B=B C=2.因为øA B C=60ʎ,所以әA B C是等边三角形.所以C OʅA B,O C=3.因为P AʅP B,所以P O=12A B=1.因为P C=2,所以O P2+O C2=P C2.所以C OʅP O.因为A BɘP O=O,所以C Oʅ平面P A B.因为C O⊂平面A B C D,所以平面P A Bʅ平面A B C D.(2)因为P A=P B,O为A B的中点由(1)知,平面P A Bʅ平面A B C D,所以P Oʅ平面A B C D,所以直线O C,O B,O P两两垂直.以O为原点建立空间直角坐标系O-x y z,如图,则O(0,0,0),A(0,-1,0),B(0,1,0),C(3,0,0),D(3,-2,0),P(0,0,1)所以A Pң=(0,1,1),P Cң=(3,0,-1),D Cң=(0,2,0).设平面A P C的法向量m=(x,y,z),由m㊃A Pң=0,m㊃P Cң=0,{得y+z=0,3x-z=0,{取x=1,得m=(1,-3,3),设平面P C D的法向量为n=(x,y,z),由n㊃P Cң=0,n㊃D Cң=0,{得3x-z=0,2y=0,{取x=1,得n=(1,0,3),所以c o s<m,n>=m㊃n|m||n|=277,由图可知二面角A-P C-D为锐二面角.所以二面角A-P C-D的余弦值为277.20.ʌ解析ɔ(1)因为әMN F2的周长为8,所以4a=8,所以a =2.又因为c a=32,所以c=3,所以b=a2-c2=1,所以椭圆C的标准方程为y24+x2=1.(2)将直线的方程y=k x+m代入到椭圆方程y24+x2=1中,得(4+k2)x2+2k m x+m2-4=0.由直线与椭圆仅有一个公共点,知Δ=4k2m2-4(4+k2)(m2-4)=0,化简得m2=4+k2.设d1=|F1M'|=|-3+m|k2+1,d2=|F2N'|=|3+m|k2+1,所以d21+d22=m-3k2+1æèçöø÷2+m+3k2+1æèçöø÷2=2(m2+3)k2+1=2(k2+7)k2+1,d1d2=|-3+m|k2+1㊃|3+m|k2+1=|m2-3|k2+1=1,所以|M'N'|=|F1F2|2-(d1-d2)2=12-(d21+d22-2d1d2)=12k2k2+1.因为四边形F1M'N'F2的面积S=12|M'N'|(d1+d2),所以S2=14ˑ12k2k2+1ˑ(d21+d22+2d1d2)=3k2(4k2+16)(k2+1)2.令k2+1=t(tȡ1),则S2=3(t-1)[4(t-1)+16]t2=12(t-1)(t+3)t2=12(t2+2t-3)t2=12+12-31t-13()2+13[],所以当1t=13时,S2取得最大值为16,故S m a x=4,即四边形F1M'N'F2面积的最大值为4.21.ʌ解析ɔ(1)f'(x)=1x+a,xɪ(0,+ɕ).①当aȡ0时,f(x)在(0,+ɕ)上单调递增;②当a<0时,f(x)在0,-1a()上单调递增,在-1a,+ɕ()上单调递减.4(2)当a =1时,g (x )=l n x +12x-m ,由已知,得l n x 1+12x 1=m ,l n x 2+12x 2=m ,两式相减,得l n x 1x 2+12x 1-12x 2=0⇒x 1㊃x 2=x 1-x 22l nx 1x 2,所以x 1=x 1x 2-12l n x 1x 2,x 2=1-x 2x 12l nx 1x 2所以x 1+x 2=x 1x 2-x 2x 12l nx 1x 2,令t =x 1x 2ɪ(0,1),设h (t )=t -1t-2l n t ,所以h '(t )=1+1t 2-2t =t 2-2t +1t2>0,所以h (t )在(0,1)上单调递增,所以h (t )<h (1)=0,即t -1t<2l n t .又因为l n t <0,所以t -1t 2l n t >1,所以x 1+x 2>1.22.ʌ解析ɔ(1)由x =ρc o s θ,y =ρs i n θ可得曲线C 的直角坐标方程为x 2+y 2-2x -4y +4=0,即(x -1)2+(y -2)2=1,x =1+t c o s α,y =t s i n α{消去参数t ,可得y =t a n α(x -1).设k =t a n α,则直线l 的方程为y =k (x -1),由题意,得圆心(1,2)到直线l 的距离d 1=|k -2-k |k 2+1=1,解得k =ʃ3,所以直线l 的直角坐标方程为y =ʃ3(x -1).(2)因为t a n α=2,所以直线l 的方程为2x -y -2=0,原点到直线l 的距离d 2=25,联立2x -y -2=0,(x -1)2+(y -2)2=1,{解得x =2,y =2{或x =85,y =65,ìîíïïïï所以|A B |=2-85()2+2-65()2=25,所以S =12ˑ25ˑ25=25.23.ʌ解析ɔ(1)当x <0时,2x -1<0,所以f (x )<4可化为|2x +1|-2x <3.①当x ɤ-12时,①化为-2x -1-2x <3,解得x >-1,此时-1<x ɤ-12.当-12<x <0时,①化为2x +1-2x <3,解得x ɪR ,此时-12<x <0.综上,原不等式的解集是{x |-1<x <0}.(2)因为f (x )=|2x -1|+|2x +1|ȡ|(2x -1)-(2x +1)|=2,所以f (x )的值域为[2,+ɕ).当a ȡ0时,因为|x |ȡ0,所以g (x )的值域为(-ɕ,|a -1|].若M ɘN ʂ⌀,则|a -1|ȡ2,解得a ɤ-1或a ȡ3.从而a ȡ3.当a <0时,因为|x |ȡ0,所以g (x )的值域为[|a -1|,+ɕ),此时一定满足M ɘN ʂ⌀.从而a <0.综上,a 的取值范围是(-ɕ,0)ɣ[3,+ɕ).5。
2019-2020年高考最后一卷(押题卷)数学(第一模拟)含解析
2019-2020年高考最后一卷（押题卷）数学（第一模拟）含解析一、填空题：共14题1．已知集合A={x|<0},B={x|y=lg(a-x)},若A∪B=B,则实数a的取值范围是 .【答案】[2,+∞）【解析】本题主要考查了不等式的解法及集合的运算.解题的突破口是正确解分式不等式得集合A,利用对数函数的真数大于0得集合B,再利用并集的性质求解.由题意可得A=(-∞,2), B=(-∞，a),A∪B=B?A?B,所以a≥2.2．已知一组数据x1,x2,x3,x4的平均数是3,方差是1,数据3x1+1,3x2+1,3x3+1,3x4+1的平均数为a,方差为b,则a+b= .【答案】19【解析】本题主要考查了平均数、方差等简单的统计知识.解题的突破口是熟悉数据n的平均数、方差之间的关系.由题意可得数据3x1+kx i+m,i=1,2,…，n与数据x i,i=1,2,…，1,3x2+1,3x3+1,3x4+1的平均数a=3×3+1=10,方差b=9,则a+b=19.3．已知复数z满足z+|z|=8+4i,其中i为虚数单位,则z的共轭复数的虚部是 .【答案】-4【解析】本题主要考查了复数的概念、运算.解题的突破口是利用复数的运算法则正确化简复数,再结合共轭复数、虚部等概念求解.设z=a+b i(a,b∈R),则由题意可得a+b i+=8+4i,则,解得,即z=3+4i,z的共轭复数=3-4i,虚部是-4.4．执行如图所示的算法流程图,则输出的S= .【答案】35【解析】本题主要考查了流程图.解题的突破口是读懂流程图.该流程图执行了4次循环体,输出的S=1+10+9+8+7=35.5．已知两张卡片的正反两个面上分别写有数字1,2和3,4,将这两张卡片排成一排,使其朝上的两个数字构成两位数,则该两位数的个位数字与十位数字相差1的概率是 .【答案】【解析】本题主要考查了古典概型.解题的突破口是正确计算基本事件的个数,利用古典概型的概率计算公式求解.由题意可得这样的两位数有13、31、14、41、23、32、24、42,共有8个,其中个位数字与十位数字相差1的两位数有23和32,共有2个,故所求概率为.6．已知两共线向量a=(2,1),b=(1-y,x)(x>0,y>0),则+的最小值为 .【答案】8【解析】本题主要考查了向量共线以及基本不等式的应用.解题的思路是正确运用向量共线计算得x和y的关系后,利用“1”的代换,结合基本不等式求解.通解由a∥b可得2x=1-y,即2x+y=1,所以+=(+)(2x+y)=4++≥４+2=8,当且仅当x=,y=时取等号,故+的最小值为8.优解由a ∥b可得2x=1-y,即2x+y=1≥2,所以0<xy≤，+≥2≥2=8,当且仅当2x=y=时取等号,故+的最小值为8.-),sin(-α)=,则tan 2α= .7．已知α∈(-π，【答案】【解析】本题主要考查了三角恒等变换.解题的突破口是正确应用三角公式求解.从本题的求解过程可见,易错点是诱导公式、二倍角公式应用错误,导致结果错误,诱导公式口诀是“奇变-),所以sinα=-,tanα=,则tan 2α=.偶不变,符号看象限”．由sin(-α)=-cosα=得cosα=-,又α∈(-π，8．已知函数f(x)=alnx-bx2的图象在x=1处与直线y=-相切,则函数f(x)在[1,e]上的最大值为 . 【答案】【解析】本题主要考查导数的几何意义及导数在研究函数最值中的应用.先根据函数图象的切线求出函数的解析式,再利用导数研究函数的单调性,进而可得函数的最值.由题意知,f'(x)=-2bx,因为函数f(x)=alnx-bx2的图象在x=1处与直线y=-相切,所以,解得,即函数f(x)=ln x-.又当x∈[1,e]时,f'(x)=-x≤0,所以函数f(x)在[1,e]上单调递减,其最大值为f(1)=.9．已知正数x,y满足,则z=4-x·()y的最小值为 .【答案】【解析】本题主要考查了指数的运算以及不等式组表示的平面区域.解题的突破口是正确化简目标函数,结合图形求解.本题的易错点是审题不认真导致区域错误,注意线性规划中目标函数的几何意义的应用.点(x,y)对应的平面区域是以点(0,0)、(0,)和(1,2)为顶点的三角形区域(不包含y轴上的点),平移直线2x+y=0,可知当经过点(1,2)时取得最大值4,此时z=4-x·()y=()2x+y取得最小值.10．如图,四棱锥P-ABCD中,PD⊥平面ABCD,且PD=2,底面是边长为2的菱形,M是CD的中点,平面PMB⊥平面PCD,则该四棱锥的体积为 .【答案】【解析】本题主要考查了空间直线与平面的位置关系、空间几何体的体积.解题的突破口是利用面面垂直的性质定理求解底面积.过点D在平面PCD内作DN⊥PM于点N,又平面PMB⊥平面PCD,平面PMB∩平面PCD=PM,所以DN⊥平面PMB,所以DN⊥BM.又由PD⊥平面ABCD,得PD⊥BM,又PD与DN是平面PDC内的两条相交直线,所以BM⊥平面PDC,则BM⊥CD.又点M是CD的中点,BC=CD,所以∠BCD=60°,所以底面菱形ABCD的面积为2×2×sin 60°=2,故该四棱锥的体积为×2×2=.11．已知过点P(m,1)的直线与圆C:x2+y2-4x-6y+8=0相交于点A、B,且|AB|=2的直线只有一条,则该直线的方程为 .【答案】y=1【解析】本题主要考查了直线与圆的位置关系.解题的突破口是正确应用圆的几何性质对问题进行等价转化.本题的难点是对条件“|AB|=2的直线只有一条”正确转化.圆C的标准方程为(x-2)2+(y-3)2=5,又|AB|=2的直线只有一条,所以该直线与直线CP垂直,|CP|2+1=5,解得|CP|=2,则(m-2)2+4=4,解得m=2,即P(2,1),直线CP:x=2,所以直线AB的方程为y=1.12．已知等比数列{a n}的前4项和为5,且4a1,a2,a2成等差数列,若b n=,则数列{b n b n+1}的前10项和为 .【答案】【解析】本题主要考查了等比数列的通项公式与求和.解题的思路是先正确求解数列{a n},{b n}的通项公式,再利用裂项相消法求和.由4a1,a2,a2成等差数列可得4a1+a2=3a2,则2a1=a2,则等比数列{a n}的公比q==2,则{a n}的前4项和为=5,解得a1=,所以a n=×2n-1,b n=,则b n b n+1=-,其前10项和为(1-)+(-)+…+(-)=.13．如图,已知点P在以F1,F2为焦点的双曲线-=1(a>0,b>0)上,过P作y轴的垂线,垂足为Q,若四边形F1F2PQ为菱形,则该双曲线的离心率为 .【答案】【解析】本题主要考查了双曲线的几何性质.解题的突破口是结合菱形的性质建立基本量的关系.由题意知四边形F1F2PQ的边长为2c,连接QF2,由对称性可知,|QF2|=|QF1|=2c,则三角形QPF2为等边三角形.过点P作PH⊥x轴于点H,则∠PF2H=60°,因为|PF2|=2c,所以在直角三角形PF2H中,|PH|=c,|HF2|=c,则P(2c,c),连接PF1,则|PF1|=2c.由双曲线的定义知,2a=|PF1|-|PF2|=2c-2c=2(-1)c,所以双曲线的离心率为.14．若函数f(x)=,函数g(x)=xf(x)-a,x∈(-∞,7]有7个零点,则实数a的取值范围是 .【答案】(,1)【解析】本题主要考查了函数与方程.解题的突破口是正确画出函数f(x)的图象,并将函数零点的个数转化为两个函数图象的交点个数,利用数形结合思想求解.由题意知当x=0是g(x)的零点时,a=0,此时f(x)需在(-∞,0)∪(0,7]上有6个零点,易知不满足,故当x≠０时,函数g(x)=xf(x)-a,x∈(-∞,7]有7个零点,即函数y=f(x),y=,x∈(-∞,7]的图象有7个交点,由图象可得当a≤０时不成立,则a>0.易知y=f(x),y=,x∈(0,7]有6个交点,则,解得<a<1.二、解答题：共12题。
全国I卷2020高三最后一模数学(理)试题及答案
全国I卷2020高三最后一模数学(理)试题及答案work Information Technology Company.2020YEAR2020年高考理科数学押题密卷(全国新课标I卷)说明：一、本试卷分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷．第Ⅰ卷为选择题；第Ⅱ卷为非选择题，分为必考和选考两部分．二、答题前请仔细阅读答题卡上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题．三、做选择题时，每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的标号涂黑．如需改动，用橡皮将答案擦干净后，再涂其他答案．四、考试结束后，将本试卷与原答题卡一并交回．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求．（1）已知集合A={ (x，y)|x，y为实数，且x2＋y2=4}，集合B={(x，y) |x，y为实数，且y=x－2}，则A ∩ B的元素个数为（）（A）0 （B）1（C）2 （D）3（2）复数z＝1－3i1＋2i，则（A）|z|＝2 （B）z的实部为1（C）z的虚部为－i （D）z的共轭复数为－1＋i（3）已知随机变量X服从正态分布N(1，σ2)，若P(X≤2)＝0.72，则P(X≤0)＝（A）0.22 （B）0.28（C）0.36 （D）0.64（4）执行右面的程序框图，若输出的k＝2，则输入x的取值范围是（A）(21，41) （B）[21，41]（C）(21，41] （D）[21，41)（5）已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ， a 1＋a 3＝ 5 2，且a 2＋a 4＝ 5 4，则S na n ＝（A ）4n －1 （B ）4n －1 （C ）2n －1（D ）2n －1（6）过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的一个焦点F 作一条渐近线的垂线，若垂足恰在线段OF（O 为原点）的垂直平分线上，则双曲线的离心率为 （A ） 2（B ）2（C ） 5（D ） 3（7）已知函数f (x)＝cos (2x ＋π 3)，g (x)＝sin (2x ＋2π3)，将f (x)的图象经过下列哪种变换可以与g (x)的图象重合（A ）向左平移 π12（B ）向右平移π12（C ）向左平移π 6 （D ）向右平移 π6（8）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 （A ）1136（B ） 3 （C ）533（D ）433（9）已知向量a=（1, 2），b=（2,3）若（c+a ）∥b ，c⊥（b+a ），则c=（A ）（ 79 ， 73 ） （B ）（ 73，79） （C ）（ 73 ， 79 ） （D ）（－ 79 ，－ 73）（10）4名研究生到三家单位应聘，每名研究生至多被一家单位录用，则每家单位至少录用一名研究生的情况有 （A ）24种 （B ）36种 （C ）48种（D ）60种（11）函数，其图像的对称中心是俯视图正视图（A）（－1，1）（B）（1，－1）（C）（0，1）（D）（0，－1）（12）关于曲线C：x 12＋y12＝1，给出下列四个命题：①曲线C有且仅有一条对称轴；②曲线C的长度l满足l＞2；③曲线C上的点到原点距离的最小值为24；④曲线C与两坐标轴所围成图形的面积是 1 6上述命题中，真命题的个数是（A）4 （B）3（C）2 （D）1第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在题中横线上．（13）在(1＋x2)(1－ 2x)5的展开式中，常数项为__________．（14）四棱锥P-ABCD的底面是边长为42的正方形，侧棱长都等于45，则经过该棱锥五个顶点的球面面积为_________．（15）点P在△ABC内部（包含边界），|AC|=3，|AB|=4，|BC|=5，点P到三边的距离分别是d1, d2,d 3 ，则d1+d2+d3的取值范围是_________．（16）△ABC的顶点A在y2＝4x上，B，C两点在直线x－2y+5=0上，若|－AC |＝2 5 ，则△ABC面积的最小值为_____．三、解答题：本大题共70分，其中（17）—（21）题为必考题，（22），（23），（24）题为选考题．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．（17）（本小题满分12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a≥b，sin A＋3cos A＝2sin B．（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）求a＋bc的最大值．（18）（本小题满分12分）某篮球队甲、乙两名队员在本赛季已结束的8场比赛中得分统计的茎叶图如下：（Ⅰ）比较这两名队员在比赛中得分的均值和方差的大小；（Ⅱ）以上述数据统计甲、乙两名队员得分超过．．15分的频率作为概率，假设甲、乙两名队员在同一场比赛中得分多少互不影响，预测在本赛季剩余的2场比赛中甲、乙两名队员得分均超过．．．15分次数X的分布列和均值．（19）（本小题满分12分）如图，三棱柱ABC-A1B1C1的侧面ABB1A1为正方形，侧面BB1C1C为菱形，∠CBB1＝60 ，AB⊥B1C．（Ⅰ）求证：平面ABB1A1⊥BB1C1C；（Ⅱ）求二面角B-AC-A1的余弦值．BCB1BAC1A1A（20）（本小题满分12分）已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1（a ＞b ＞0）经过点M (－2，－1)，离心率为22．过点M 作倾斜角互补的两条直线分别与椭圆C 交于异于M 的另外两点P 、Q ． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）证明：直线PQ 的斜率为定值，并求这个定值； （Ⅲ）∠PMQ 能否为直角？证明你的结论．（21）（本小题满分12分）已知函数 x 轴是函数图象的一条切线．（Ⅰ）求a ； （Ⅱ）已知；（Ⅲ）已知：请考生在第（22），（23），（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑． （22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲 如图所示，AC 为⊙O 的直径，D 为BC ︵的中点，E 为BC 的中点．（Ⅰ）求证：DE∥AB ；（Ⅱ）求证：AC ·BC ＝2AD·CD ．（23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在极坐标系Ox 中，直线C 1的极坐标方程为ρsi n θ＝2，M 是C 1上任意一点，点P 在射线OM 上，且满足|OP|·|OM|＝4，记点P 的轨迹为C 2． （Ⅰ）求曲线C 2的极坐标方程；（Ⅱ）求曲线C 2上的点到直线ρcos (θ＋4)＝2距离的最大值．（24）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲设f (x)＝|x －3|＋|x －4|． （Ⅰ）解不等式f (x)≤2；（Ⅱ）若存在实数x满足f(x)≤ax－1，试求实数a的取值范围．2020年高考理科数学押题密卷(全国新课标I卷)一、选择题：CDBCD ABCDD BA二、填空题：（13）41；（14）100π；（15）[ 125，4]；（16）1．三、解答题：（17）解：（Ⅰ）sin A＋3cos A＝2sin B即2sin(A＋π3)＝2sin B，则sin(A＋π3)＝sin B．…3分因为0＜A，B＜π，又a≥b进而A≥B，所以A＋π3＝π－B，故A＋B＝2π3，C＝π3．……………………………6分（Ⅱ）由正弦定理及（Ⅰ）得a＋b c ＝sin A＋sin Bsin C＝23[sin A＋sin(A＋π3)]＝3sin A＋cos A＝2sin(A＋π6)．…10分当A＝π3时，a＋bc取最大值2．……………………………12分（18）解：（Ⅰ）x-甲＝ 18(7＋9＋11＋13＋13＋16＋23＋28)＝15，x-乙＝ 18(7＋8＋10＋15＋17＋19＋21＋23)＝15，s2甲＝ 18[(－8)2＋(－6)2＋(－4)2＋(－2)2＋(－2)2＋12＋82＋132]＝44.75，s2乙＝ 18[(－8)2＋(－7)2＋(－5)2＋02＋22＋42＋62＋82]＝32.25．甲、乙两名队员的得分均值相等；甲的方差较大（乙的方差较小）．…4分（Ⅱ）根据统计结果，在一场比赛中，甲、乙得分超过15分的概率分别为p 1＝ 3 8，p 2＝ 1 2，两人得分均超过15分的概率分别为p 1p 2＝316， 依题意，X ～B (2，316)，P (X ＝k)＝C k 2(316)k(1316)2－k ，k ＝0，1，2， …7分X 的分布列为…10分 X 的均值E (X)＝2×316＝8．……………………………12分（19）解：（Ⅰ）由侧面ABB 1A 1为正方形，知AB⊥BB 1．又AB⊥B 1C ，BB 1∩B 1C ＝B 1，所以AB⊥平面BB 1C 1C ，又AB ⊂平面ABB 1A 1，所以平面ABB 1A 1⊥BB 1C 1C ．…………………………4分（Ⅱ）建立如图所示的坐标系O-xyz ．其中O 是BB 1的中点，Ox∥AB ，OB 1为y 轴，OC 为z 轴．设AB ＝2，则A (2，－1，0)，B (0，－1，0)，C (0，0，3)，A 1(2，1，0)． AB →＝(－2，0，0)，AC →＝(－2，1，3)，AA 1→＝(0，2，0)．…6分设n 1＝(x 1，y 1，z 1)为面ABC 的法向量，则n 1·AB →＝0，n 1·AC →＝0， 即⎩⎨⎧－2x 1＝0，－2x 1＋y 1＋3z 1＝0．取z 1＝－1，得n 1＝(0，3，－1)．…8分设n 2＝(x 2，y 2，z 2)为面ACA 1的法向量，则n 2·AA 1→＝0，n 2·AC →＝0， 即⎩⎨⎧2y 2＝0，－2x 2＋y 2＋3z 2＝0．取x 2＝3，得n 2＝(3，0，2)．…………………10分所以cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1||n 2|＝－77．因此二面角B-AC-A 1的余弦值为－77．……………………………12分 （20）解：（Ⅰ）由题设，得4a 2＋1b2＝1，①且a 2－b 2a ＝22，②由①、②解得a 2＝6，b 2＝3，椭圆C 的方程为x 26＋y 23＝1． …………………………………………………3分（Ⅱ）记P (x 1，y 1)、Q (x 2，y 2)．设直线MP 的方程为y ＋1＝k(x ＋2)，与椭圆C 的方程联立，得 (1＋2k 2)x 2＋(8k 2－4k)x ＋8k 2－8k －4＝0，－2，x 1是该方程的两根，则－2x 1＝8k 2－8k －41＋2k 2，x 1＝－4k 2＋4k ＋21＋2k 2．设直线MQ 的方程为y ＋1＝－k(x ＋2)，同理得x 2＝－4k 2－4k ＋21＋2k 2． (6)分因y 1＋1＝k(x 1＋2)，y 2＋1＝－k(x 2＋2)，故k PQ ＝y 1－y 2x 1－x 2＝k(x 1＋2)＋k(x 2＋2)x 1－x 2＝k(x 1＋x 2＋4)x 1－x 2＝8k1＋2k28k1＋2k 2＝1，因此直线PQ 的斜率为定值． ……………………………………………………9分（Ⅲ）设直线MP 的斜率为k ，则直线MQ 的斜率为－k ， 假设∠PMQ 为直角，则k·(－k)＝－1，k ＝±1． 若k ＝1，则直线MQ 方程y ＋1＝－(x ＋2)， 与椭圆C 方程联立，得x 2＋4x ＋4＝0，该方程有两个相等的实数根－2，不合题意； 同理，若k ＝－1也不合题意． 故∠PMQ 不可能为直角．…………………………………………………………12分（21）解：（Ⅰ）f '(x) =当x∈(0，a)时，f '(x)＜0，f (x)单调递减， 当x∈(a ，＋∞)时，f '(x)＞0，f (x)单调递增． ∵ x 轴是函数图象的一条切线，∴切点为（a ，0）．f (a)=lna ＋1=0，可知a=1. ……………………………4分 （Ⅱ）令1＋，由x>0得知t>1，，于是原不等式等价于： .取，由（Ⅰ）知：当t∈(0，1)时，g '(t)＜0，g (t)单调递减， 当t∈(1，＋∞)时，g '(t)＞0，g (t)单调递增． ∴ g (t)> g (1)=0，也就是.∴ . ……………………………8分 （Ⅲ）由（Ⅱ）知：x 是正整数时，不等式也成立，可以令： x=1，2，3，…，n-1，将所得各不等式两边相加，得： 即. ……………………………12分（22）证明：（Ⅰ）连接OE ，因为D 为BC ︵的中点，E 为BC 的中点，所以OED 三点共线．因为E 为BC 的中点且O 为AC 的中点，所以OE∥AB ，故DE∥AB ． ………………………… …5分OA（Ⅱ）因为D 为BC ︵的中点，所以∠BAD ＝∠DAC ，又∠BAD ＝∠DCB ⇒∠DAC ＝∠DCB ． 又因为AD ⊥DC ，DE ⊥CE ⇒△DAC∽△ECD ． ⇒AC CD ＝AD CE ⇒AD ·CD ＝AC ·CE ⇒ 2AD ·CD ＝AC ·2CE ⇒ 2AD ·CD ＝AC ·BC ． ……………………………10分 （23）解： （Ⅰ）设P (ρ，θ)，M (ρ1，θ)，依题意有 ρ1sin θ＝2，ρρ1＝4．……………………………3分 消去ρ1，得曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ．……………………………5分 （Ⅱ）将C 2，C 3的极坐标方程化为直角坐标方程，得 C 2：x 2＋(y －1)2＝1，C 3：x －y ＝2．……………………………7分C 2是以点(0，1)为圆心，以1为半径的圆，圆心到直线C 3的距离d ＝322， 故曲线C 2上的点到直线C 3距离的最大值为1＋322． ……………………………10分（24）解： （Ⅰ）f (x)＝|x －3|＋|x －4|＝⎩⎨⎧7－2x ，x ＜3，1，3≤x≤4，2x －7，x ＞4． ……………………………2分作函数y ＝f (x)的图象，它与直线y ＝2交点的横坐标为 5 2和 9 2，由图象知 不等式f (x)≤2的解集为[ 5 2， 9 2]．……………………………5分（Ⅱ）函数y ＝ax －1的图象是过点(0，－1)的直线． 当且仅当函数y ＝f (x)与直线y ＝ax －1有公共点时，存在题设的x ． 由图象知，a 取值范围为(－∞，－2)∪[ 1 2，＋∞)． ………………………10分 ＝12。
2020年高考数学(理)终极押题卷(全解全析)
2020年高考数学（理）终极押题卷（全解全析）1．【答案】C 【解析】因为312iz i-=+，所以(3)(12)17(12)(12)55i i z i i i --==-+-，所以z ==C ．2．【答案】C【解析】由题得221,1,x y x y ⎧+=⎨+=⎩∴1,0,x y =⎧⎨=⎩或0,1,x y =⎧⎨=⎩则A ∩B ={(1,0),(0,1)}.故选C.3．【答案】B【解析】因为222131331()44244x x x x x -+=-++=-+≥，所以命题p 为真；1122,,22-<-<∴Q 命题q 为假，所以p q ∧⌝为真，故选B.4．【答案】D【解析】由图表可知：2012年我国实际利用外资规模较2011年下降，可知A 错误；2000年以来，我国实际利用外资规模总体呈现上升趋势，可知B 错误； 2008年我国实际利用外资同比增速最大，高于2010年，可知C 错误，D 正确.本题正确选项：D . 5．【答案】A【解析】Q 设等差数列{}n a 的公差为d ，()0d ≠，11a =，且2a ，3a ，6a 成等比数列，2326a a a ∴=⋅，()()()211125a d a d a d ∴+=++，解得2d =-，{}n a ∴前6项的和为616562S a d ⨯=+()65612242⨯=⨯+⨯-=-. 故选：A. 6．【答案】B【解析】由a r ∥b r得3(1)2233y x x y -=-⇒+=，因此3232231491()(12)(128333x y x y x y x y y x ++=+⋅=++≥+=，当且仅当49x y y x=时取等号，所以选B. 7．【答案】C【解析】()()()()555222x y x y x x y y x y +-=-+-，由()52x y -展开式的通项公式()()515C 2rrr r T x y -+=-可得：当3r =时，()52x x y -展开式中33x y 的系数为()3325C 2140⨯⨯-=-； 当2r =时，()52y x y -展开式中33x y 的系数为()2235C 2180⨯⨯-=，则33x y 的系数为804040-=.故选C. 8．【答案】C【解析】如图所示，直角三角形的斜边长为2251213+=， 设内切圆的半径为r ，则51213r r -+-=，解得2r =. 所以内切圆的面积为24r ππ=， 所以豆子落在内切圆外部的概率42P 111155122ππ=-=-⨯⨯，故选C ．9．【答案】C【解析】函数()f x 的图象如图所示，函数是偶函数，1x =时，函数值为0．()()44x x f x x -=+是偶函数，但是()10f ≠， ()()244log x x f x x -=-是奇函数，不满足题意． ()()244log x x f x x -=+是偶函数，()10f =满足题意；()()1244log x x f x x -=+是偶函数，()10f =，()0,1x ∈时，()0f x >，不满足题意．故选C 项． 10．【答案】B【解析】()f x 为[]3,3-上的偶函数，而xy a π=为[]3,3-上的偶函数，故()()sin g x x ωϕ=+为[]3,3-上的偶函数，所以,2k k πϕπ=+∈Z ．因为0ϕπ<<，故2ϕπ=，()()sin cos 2x xx x f x a a πωωππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭==． 因()10f =，故cos 0ω=，所以2k πωπ=+，k ∈N ．因()02f =，故0cos 012a a π==，所以12a =． 综上，()21k aωπ=+，k ∈N ，故选B ．11．【答案】A【解析】设BC 的中点是E ，连接DE ，A ′E ， 因为AB ＝AD ＝1，BD， 由勾股定理得：BA ⊥AD ，又因为BD ⊥CD ，即三角形BCD 为直角三角形， 所以DE为球体的半径，2DE =，2432S ππ==， 故选A . 12．【答案】A【解析】由题可知2(31),0()2ln 1,0x m x f x mx x x -+≤++'⎧=⎨>⎩，当0x >时，令()0f x '=，可化为ln 12x m x +-=，令()ln 1x g x x +=，则()2ln xg x x-='，则函数()g x 在()0,1上单调递增，在(1,)+∞上单调递减，()g x 的图象如图所示，所以当021m <-<，即12m -<<时，()0f x '=有两个不同的解；当0x ≤，令()0f x '=，3102m x +=<，解得13m <-，综上，11,23m ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭.13．【答案】22【解析】作出不等式组表示的平面区域如下图中阴影部分所示，由3z x y =-可得3y x z =-，观察可知，当直线3y x z =-过点B 时，z 取得最大值，由2402x y y --=⎧⎨=⎩，解得82x y =⎧⎨=⎩，即(8,2)B ，所以max 38222z =⨯-=.故答案为：22. 14．【答案】乙【解析】根据甲与团支书的年龄不同，团支书比乙年龄小，得到丙是团支书， 丙的年龄比学委的大，甲与团支书的年龄不同，团支书比乙年龄小， 得到年龄从大到小是乙>丙>学委， 由此得到乙不是学委，故乙是班长． 故答案为乙． 15．【答案】985987【解析】由题1n a +＝n a +n +2，∴12n n a a n +-=+，所以213a a -=，324a a -=，435a a -=，…，()112n n a a n n --=+≥，上式1n -个式子左右两边分别相加得()()1412n n n a a +--=，即()()122nn n a ++=，当n =1时，满足题意，所以111212n a n n ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭，从而12985111111111985 (22334986987987)a a a L +++=-+-++-=. 故答案为985987. 16．【答案】y x =±【解析】设12,PF m PF n == ,可得2m n a -= ,可得22224m mn n a -+=（1）, 在12PF F △中，由余弦定理可得2222242cos3c m n mn m n mn π=+-=+-（2），因为2PO b =，所以在1PFO △，2POF V 中分别利用余弦定理可得， ()2222221144cos ,44cos m c b b POF n c b b POF π=+-∠=+--∠,两式相加可得222228m n c b +=+ ,分别与（1）、（2）联立得22222222222284102,28462mn c b a b a mn c b c b a =+-=-=+-=-，消去mn 可得22a b =，a b = 所以双曲线的渐近线方程为by x a=±，即y x =±，故答案为y x =±.17．（12分）【解析】（1）因为sin sin sin sin sin B C b B c C a A A ⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭，由正弦定理可得：22b c a a ⎫+=⎪⎭，即222b c a +-=，再由余弦定理可得2cos bc A =，即cos A =所以4A π=.（6分）（2）因为3B π=，所以()sin sin C A B =+=由正弦定理sin sin a b A B=，可得b =13sin 24ABC S ab C ∆+==.（12分） 18．（12分）【解析】（1）证明：连接AC ，因为PB PC =，E 为线段BC 的中点， 所以PE BC ⊥.又AB BC =，60ABC ∠=︒，所以ABC ∆为等边三角形，BC AE ⊥. 因为AE PE E ⋂=，所以BC ⊥平面PAE ，又BC ⊂平面BCP ，所以平面PAE ⊥平面BCP .（5分） （2）解：设AB PA a ==，则PB PC ==，因为222PA AB PB +=，所以PA AB ⊥，同理可证PA AC ⊥，所以PA ⊥平面ABCD .如图，设AC BD O ⋂=，以O 为坐标原点，OB uuu v的方向为x 轴正方向，建立空间直角坐标系O xyz -.易知FOA ∠为二面角A BD F --的平面角，所以3cos 5FOA ∠=，从而4tan 3FOA ∠=.由432AFa=，得23AF a=.又由20,,23a a F⎛⎫-⎪⎝⎭，3,0,02B a⎛⎫⎪⎪⎝⎭，知32,,223a a aBF⎛⎫=--⎪⎪⎝⎭u u u v，20,,23a aOF⎛⎫=-⎪⎝⎭u u u v.设平面BDF的法向量为(),,n x y z=v，由n BF⊥u u u vv，n OFu u u vv⊥，得3223223a a ax y za ay z⎧--+=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩，不妨设3z=，得()0,4,3n=v.又0,,2aP a⎛⎫-⎪⎝⎭，3,0,0D a⎛⎫-⎪⎪⎝⎭，所以3,,2a aPD a⎛⎫=--⎪⎪⎝⎭u u u v.设PD与平面BDF所成角为θ，则222232sin1031544n PD a an PDa a aθ⋅-===++u u u vvu u u vv.所以PD与平面BDF所成角的正弦值为210.（12分）19．（12分）【解析】（1）依题意得33,2cc aa==⇒=，又2231a b b-=⇒=∴椭圆C的方程为2214xy+=.（4分）（2）设直线l 的方程为()0y kx m m =+≠，()()1122,,,M x y N x y由2214y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()()222148410k x kmx m +++-=， ∴()2121222418,1414m km x x x x k k--+==++. 由题设知()()12212121212kx m kx m y y k k k x x x x ++=== ()212212km x x m k x x ++=+， ∴()2120km x x m ++=，∴22228014k m m k-+=+， ∵0m ≠，∴214k =. 此时()()()222221212224184,211414m km x x m x x m k k --⎛⎫+====- ⎪++⎝⎭则2222222222121122121144x x OM ON x y x y x x +=+++=+-++-()()2221212123322244x x x x x x ⎡⎤=⨯++=+-+⎣⎦()223441254m m ⎡⎤=--+=⎣⎦ 故直线l 的斜率为221,52k OM ON =±+=.（12分）20．（12分）【解析】（1）由频率分布直方图可知一台电脑使用时间在(]4,8上的概率为：()20.140.0620.45p =+⨯==， 设“任选3台电脑，至少有两台使用时间在(]4,8”为事件A ，则 ()23233323244·555125P A C C ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.（4分） （2）（ⅰ）由a bxy e +=得ln y a bx =+，即t a bx =+，10110221110ˆ0i i i ii x t xtbx x =-=-=-∑∑279.7510 5.5 1.90.338510 5.5-⨯⨯==--⨯()1.90.3 5.53ˆ.55a=--⨯=，即0.3 3.55t x =-+，所以0.3 3.55ˆx y e -+=.（8分） （ⅱ）根据频率分布直方图对成交的二手折旧电脑使用时间在(]0,2，(]2,4，(]4,6，(]6,8，(]8,10上的频率依次为：0.2，0.36，0.28，0，12，0.04：根据（1）中的回归方程，在区间(]0,2上折旧电脑价格的预测值为 3.550.31 3.2526e e -⨯=≈， 在区间(]2,4上折旧电脑价格的预测值为 3.550.33 2.6514e e -⨯=≈， 在区间(]4,6上折旧电脑价格的预测值为 3.550.35 2.057.8e e -⨯=≈， 在区间(]6,8上折旧电脑价格的预测值为 3.550.37 1.45 4.3e e -⨯=≈， 在区间(]8,10上折旧电脑价格的预测值为 3.550.390.85 2.3e e -⨯=≈， 于是，可以预测该交易市场一台折旧电脑交易的平均价格为：0.2260.36140.287.80.12 4.30.04 2.313.032⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（百元）故该交易市场收购1000台折旧电脑所需的的费用为： 100013.0321303200⨯=（元）（12分） 21．（12分）【解析】（1）函数()f x 的定义域为(0,)+∞， 又221(1)[(1)]()1a a x x a f x x x x '----=-++=， 由()0f x '=，得1x =或1x a =-.当2a >即11a ->时，由()0f x '<得11x a <<-，由()0f x '>得01x <<或1x a >-；当2a =即11a -=时，当0x >时都有()0f x '≥；∴当2a >时，单调减区间是()1,1a -，单调增区间是()0,1，()1,a -+∞；当2a =时，单调增区间是()0,+?，没有单调减区间；（5分） （2）当21a e =+时，由（1）知()f x 在()21,e 单调递减，在()2,e +∞单调递增.从而()f x 在[)1,+∞上的最小值为22()3f e e =--. 对任意[)11,x ∈+∞，存在[)21,x ∈+∞，使()()2212g x f x e ≤+，即存在[)21,x ∈+∞，使的值不超过()22f x e +在区间[)1,+∞上的最小值23e -.由222e 32e e 3xmx --+≥+-得22xmx e e +≤，22xe e m x-∴≤. 令22()xe e h x x-=，则当[)1,x ∈+∞时，max ()m h x ≤. ()()()22223222()x x x x e x e e xxe e e h x x x ---+-'==-Q ，当[1,2]x ∈时()0h x '<；当[2,)x ∈+∞时，()22e 20xxxx xe exee +->-≥，()0h x '<.故()h x 在[1,)+∞上单调递减，从而2max ()(1)h x h e e ==-,从而实数2m e e ≤-得证.（12分） 22．[选修4−4：坐标系与参数方程]（10分）【解析】（1）1C 的普通方程为2213x y +=，2C 的直角坐标方程为40x y +-=.（4分）（2）由题意，可设点P的直角坐标为,sin )αα，因为2C 是直线，所以||PQ 的最小值即为P 到2C 的距离()d α的最小值，π()sin()2|3d αα==+-.当且仅当π2π()6k k α=+∈Z 时，()d αP 的直角坐标为31(,)22.（10分）23．[选修4−5：不等式选讲]（10分）【解析】（1）由题意， ()2,12,112,1x f x x x x -≤-⎧⎪=-⎨⎪≥⎩＜＜，①当1x ≤-时，()21f x =-＜，不等式()1f x ≥无解； ②当11x -＜＜时，()21f x x =≥，解得12x ≥，所以112x ≤＜． ③当1x ≥时，()21f x =≥恒成立，所以()1f x ≥的解集为1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．（5分）（2）当x ∈R 时，()()11112f x x x x x =+--≤++-=； ()()222222g x x a x b x a x b a b =++-≥+--=+．而()()()22222222222a b a b a b a b ab a b ++⎛⎫+=+-≥+-⨯== ⎪⎝⎭， 当且仅当1a b ==时，等号成立，即222a b +≥，因此，当x ∈R 时， ()()222f x a b g x ≤≤+≤，所以，当x R ∈时， ()()f x g x ≤．（10分）。
2020年高考(理科)数学预测押题密卷最后一卷 参考答案
理科数学答案全解全析一、选择题1. 【答案】D【解析】集合 A 满足 x2 2x 3 0 ，(x 3)(x 1) 0 ，解得x3或x 1 ，则C UA {x|1 x3}，集合B满足1 2x 20，2x 2x 2 20 0，解得x1，可知(CUA)B {x |1 x 3} .故选 D.2. 【答案】B【解析】由题可得 z i i2020 1 i (1 2i)(1 i) 3 1 i ，可知1 2i 1 2i555| z | (3)2 ( 1)2 10 .故选 B.5553. 【答案】A【解析】由偶函数定义可知，函数 f (x) x2 (a 1)x a 满足f (x) f (x) ，所以 x2 (a 1)x a x2 (a 1)x a 在 [2，2] 上恒成立，解得 a 1 ，所以 f (x) x2 1 ，当 f (x) 2 时，即 x2 1 2 ，解得 1 x 1，可知所求的概率为 P 1 .故选 A. 24. 【答案】B【解析】已知数列 an2n 1 ，其前 n项的和 Sn(2 11 22n 1)n n(n 2) ，则 1 1 1 ( 1 1 ) ，所以 1 1 1Sn n(n 2) 2 n n 2S1 S2Sn 1 (1 1 1 1 1 1 ) 1 (1 1 1 1 ) .故选 B.2 324n n 2 2 2 n 1 n 25. 【答案】D【解析】第一次执行， c 4，a 5，b 4，k 2 ；第二次执行，c 1，a 4，b 1，k 3 ；第三次执行， c 5，a 1，b 5，k 4 ；第四次执行， c 4，a 5，b 4，k 5 ；第五次执行，c 1，a 4，b 1，k 6 ；第六次执行， c 5，a 1，b 5，k 7 ；第七次执行， c 4，a 5，b 4，k 8 ；….故该循环具有周期性，且周期为 6，则输出的 c 的值为 4 .故选 D.6. 【答案】B【解析】设圆心到双曲线的渐近线的距离为 d ，由弦长公式可得，函数 f (x) 的最小值为 2 3 3 ，最大值为 2 3 3 .故选 D.449. 【答案】A【解析】解法一：设 D 是 ABC 的边 BC 的中点，连接GD ，因为G 是 ABC 的重心，所以 A，G，D 三点共线， AG 2 AD 2 331 (AB AC) 1 (AB AC) .又 H 是 BG 的中点，所以 AH 1 ( AB232 AG) 1 [ AB 1 (AB AC)] 1 (4AB AC)，236则 AG·AH 1 (AB AC)·1 (4AB AC)36 1 (4 | AB |2 5 | AB |·| AC | cos BAC | AC |2) 18 1 (4 22 5 2 3 1 32) 20 .故选 A.1829解法二：以点 A 为原点建立平面直角坐标系如图，由已知可得 A(0，0)，B(1， 3)，C(3，0)，G( 4 ， 3 )，H (7 ，2 3 )3363 AG ( 4 ， 3 ) ， AH (7 ，2 3 ) ，3363 AG·AH 4 7 3 2 3 20 .故选 A. 36 3 3 910.【答案】A【解析】如图所示，2 2 d 2 2 ，解得 d 1，又双曲线 C 的渐近线方程为 bx ay 0 ，圆心坐标为 (0，2) ，故 | 0 2a | 1 ，即 2a 1 ，所以双曲线 C 的离a2 b2c心率 e c 2 .故选 B. a7. 【答案】A【解析】在 (2 x3)(x a)5 中，令 x 1 ，得展开式的各项系数和为(1 a)5 32 ，解得 a 1 ，故 (x 1)5 的展开式的通项 Tr1 C5r x5r .当 r 1 时 ， 得 T2 C15x4 5x4 ， 当 r 4 时 ， 得 T5 C54x 5x ， 故 (2 x3)(x 1)5 的展开式中 x4 的系数为 25 5 5 .故选 A.8. 【答案】D【解析】由 f (x) 3 cos(x )cos x 的图象过点 (0， 3) ， 2得 cos 3 .0 π， 5π ， f (x) 3 cos(x 5π)cos x266 3( 3 cos x 1 sin x) cos x 3 cos2 x 3 sin x cos x2222 3(1 cos 2x) 3 sin 2x 3 3 sin 2x 3cos 2x443 2 3 sin(2x π ) 3 3 sin(2x π ) 3 .点 ( π ，0) 不是函数42343f (x) 图象的对称中心，直线 x π 也不是函数 f (x) 图象的对称轴， 3由图知 tan NMF b ，tan FNO c ， MFN NMF 90°，abMFN FNO 90°，NMF FNO ， b c ， ab则 b2 a2 c2 ac ，e2 e 1 0 ，得 e 5 1 .故选 A. 211.【答案】B【解析】由 a2 4ab 16b2 c 0 ，得 a2 4ab 16b2 c ，所以a2 4ab 16b2 12 a2·16b2 4ab 4ab ，可得 ab 的最大值cc ccc c cc为 1 ，当且仅当 a 4b 时取等号，且 c 16b2 ，则 c 4a 3244b 416b2 16b 32 4(b2 b 2) 4[(b 1)2 3(b 1) 4]4b 4b 1b 1 4[(b 1) 4 3] 4(2 (b 1)· 4 3) 4 ，当且仅当 b 1时b 1b 1取得最小值为 4.故选 B.理科数学答案第 1 页（共 3 页）12.【答案】B【解析】易知 f (0) 1 ，故函数 f (x) 有三个不同的零点，可以转化为 | 2x m | 1 有三个不同的非零实数根，即函数 y | 2x m | 与xy 1 (x 0) 的图象有三个不同的交点.易知，当 x m 时，直线x2y 2x m 与曲线 y 1 (x 0) 有且仅有一个交点，当 0 x m 时，x2直线 y 2x m 与曲线 y 1 (x 0) 必须有两个不同的交点.而当x直线y 2x m 与曲线y1 (x 0) x相切时，1 x22 ，解得x 2 ，此时 m 2 2 ，结合图象可知 m 2 2 .故选 B. 2二、填空题13.【答案】 26【解析】由题可得 23 3k 0 ，可得 k 2 ，则 a b (5，1) ， a b 52 1 26 .14.【答案】 234【解析】由题得 x 3 4 a 6 ， y 2.5 3 4 4.5 3.5 ，这组44数据的样本中心点是 (x，3.5) ，代入回归直线方程可得 3.5 0.7（2）由 b 2 ， A π ，S 3ABC1 bc sin A 3 223，得 c 1 3 .-------------------------------------------------------------8 分M 是 AB 的中点， AB c 1 3， AM 1 3 ，-------------------------------------------------------10 分 2在 AMC 中，由余弦定理得， CM 2 b2 AM 2 2b AM cos A 4 (1 3 )2 2 2 1 3 1 4 3 .------------------------12 分222218.【解析】（1） 四边形 ABCD 是矩形， AB CD .CD 平面 DCFE，AB 平面 DCFE ， AB 平面 DCFE .----------------------------------------------------2 分又 AB 平面 ABFE ，平面 ABFE 平面 DCFE EF ， AB EF ，又 AB 平面 ABCD，EF 平面 ABCD ，EF 平面 ABCD .----------------------------------------------------5 分（2）过点 E 作 EO CD 于点 O ，平面 ABCD 平面 DCFE ，EO 平面 ABCD .过点 O 作 OH AD ，交 AB 于点 H ，四边形 ABCD 是矩形，OH CD .以 O 为坐标原点， OH ，OC，OE 所在直线分别为 x，y，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系.3 4 a 6 0.35 ，解得 a 5 ，所以样本的中位数为 4 5 4.5 ，42方差为 1 [(3 4.5)2 (4 4.5)2 (5 4.5)2 (6 4.5)2] 5 ，故样本44x 的方差与中位数的和为 23 . 415.【答案】 2【解析】由 S3 ，S9 ，S6 成等差数列，得 2S9 S3 S6 .设等比数列{ an }的公比 q 1 ，则 Sn na1 .由 2 9a1 3a1 6a1 ，解得 a1 0 .又因为a2a540，所以 q 1 .所以Sna1(1 qn ) 1 q，所以 2a1(1 q9) 1 qa1(1 q3) 1 qa1(1 q6) 1 q，解得q31（ 2q3 1 舍去）.又因为a2a5 4 ，即 a1q(1 q3) 4 ，所以 a1q 8 ，则 a8 a1q7 (a1q)·(q3)2 8 ( 1)2 2 .216.【答案】 21 3【解析】如图过等边三角形 ABD 的中心 F 作平面 ABD 的垂线 l ，取 BD 的中点 E ，过点 E 作平面 CBD 的垂线 l .设 l l G ，则点G 为四面体 ABCD 的外接球的球心.因为 ABD 是边长为 2 的等边三角形，所以 EF 3 .因为二面角 A BD C 的大小为150°，所 3以 GEF 60°.所以在 Rt EFG 中， GF EF·tan60°1 .所以四面体 ABCD 的外接球的半径为 GA GF 2 AF 2 1 4 21 .33设 BC 1，则 EF ED FC BC 1 ，AB 2BC 2 ，由（1）知， EF CD .在梯形 CDEF 中， EF ED FC 1， DC 2 ， DO 1 ，EO 3 ，--------------------------------------------------7 分22于是 E(0，0， 3 ) ， A(1， 1 ，0) ， C(0，3 ，0) ， F (0，1， 3 )2222则 AE (1，1 ， 3 ) ，CF (0， 1 ， 3 ) .-------------------------10 分2222设异面直线 AE 与 CF 所成的角为 ，则 cos AE·CF1 3 4 42.| AE || CF |24故异面直线 AE 与 CF 所成角的余弦值为 2 .-------------------12 分 419.【解析】（1）完成 2 2 列联表如下：前 20 名后 30 名总计男生82028女生121022总计203050三、解答题 17.【解析】（1） 4a cos2 B 2a b 2c ，2 2c b 2acosB ，--------------------------------------------------2 分 由正弦定理得， 2sinC sin B 2cos Bsin A ，又 C π A B ， 2sin(A B) sin B 2cos Bsin A ，------------------------------4 分2sin Bcos A sin B . sin B 0 ，cos A 1 ，A π .-----------------------------------6 分 23--------------------------------------------------------------------------------2 分由列联表得 K 2 50 (8 10 20 12)2 3.463 . 28 22 20 303.463 2.706 ， 在犯错误的概率不超过 0.1 的前提下，可以认为该班“成绩是否优等与性别有关”.--------------------------------5 分（2） 的可能取值为 0，1，2， P( 0) C36 5 ， C83 14P( 1)C12C62 C8315 28，P(2)C22C16 C833 28.----------------------8分 的分布列为0125153P142828-------------------------------------------------------------------------------10 分理科数学答案第 2 页（共 3 页）E( ) 1 15 2 3 3 .-------------------------------------------12 分 28 28 420.【解析】（1） 抛物线 ：x2 2 py( p 0) 的焦点为 F(0，1) ，抛物线 的方程为 x2 4y .-----------------------------------------2 分由直线 l1 的斜率为 k1 ，且过 F(0，1) ，得 l1 的方程为 y k1x 1 ，代 入 x2 4y ，化简得 x2 4k1x 4 0 ， 设 A(x1 ，y1)，B(x2 ，y2) ，则 x1 x2 4k1 ， y1 y2 k1(x1 x2) 2 4k12 2 ，-------------------------------------4 分 | AB | y1 y2 2 4k12 4 .又 k1 3 ，| AB |16 .-------------------------------------------------6 分（2）设P( x0，x02 4)，将的方程x2 4y 化为yx2 4，求导得 y x ，------------------------------------------------------------8 分 2斜率为 k2 的直线 l2 与 相切于点 P ， k2x0 2，则P(2k2 ，k22 ) ，由（1）知 x1 x2 4k1 ，且 Q 为 AB 的中点，易得 Q(2k1 ，2k12 1) ，∵直线 PQ 过 (0，2) ， k22 2 2k12 1 ，------------------------10 分2k22k1整理得 (k1k2 1)(k2 2k1) 0 ，l2 与 l1 不垂直，k1k2 1 0 ，则k2 2k1 0 ，即k1 k21 2.---------------------------------------------12分21.【解析】（1）由题可得 f (x) ex b ，当 b 0 时， f (x) 0 ，f (x) 在 (∞， ∞) 上单调递增；------------------------------------2 分 当 b 0 时，若 x ln(b) ，则 f (x) 0 ， f (x) 在 (ln(b)， ∞) 上单调递增，若 x ln(b) ，则 f (x) 0， f (x) 在 (∞，ln(b)) 上单调递减.------------------------------------------------------------------------4 分（2）令 g(x) ex bx 1 ln x(x 0) ，则 g(x) ex b 1 ，易知 xg(x) 单调递增且一定有大于 0 的零点，不妨设为 x0 ，则 g(x0) 0 ，即 ex0b1 x00，b1 x0 ex0，故若g(x)有两个零点，则g(x0) 0 ，即 ex0 bx0 1 ln x0e x0( 1 x0 ex0 ) x0 1 ln x0 ex0 ex0 x0 ln x0 0 ，--------------------------------------------------6 分令 h(x) ex exx ln x(x 0) ，则 h(x) ex x 1 0 ， xh(x) 在 (0， ∞) 上单调递减.又 h(1) 0 ，ex0 ex0 x0 ln x0 0 的解集为 (1， ∞) ， --------------------------------------------------------------------------------8 分b 1 ex0 ，b 1 e . x0当 b 1 e 时，有 ex bx 1 ln x x bx ln x ，则 g(eb) eb beb lneb (b 1)eb b ，----------------------------10 分令 m(x) (x 1)ex x (x 1)(ex 1) 1 ，由于 x 1 e ，x 1 2 e 0 ， ex 1 ，故 m(x) (x 1)ex x 0 ， g(eb) 0 ，故 g(eb)g(x0) 0，g(x) 在 (0，x0) 上有唯一零点， 另一方面，当 x ∞ 时， g(x) ∞ ，b 1 e .-----------12 分22.【解析】（1）曲线 C：(x 2)2 ( y 1)2 9 ，-----------------------2 分故 x2 y2 4x 2y 4 0 ，即曲线 C 的极坐标方程为 2 4 cos 2 sin 4 0 .-------4 分（2）由题可知直线 l 的斜率存在，否则无交点.设直线 l 的方程为 y 1 k(x 2) ，即 kx y 2k 1 0 .--------6 分而| AB | 2 ，则圆心到直线 l 的距离 d r2 AB 2 2 91 2 2 .--------------------------------------------------------------------------------8 分又 d | 4k | ， | 4k | 2 2 ，解得 k 1 .k2 1k2 1直线 l 的方程为 x y 1 0 或 x y 3 0 .-------------------10 分23.【解析】（1）当 a 2 时，3，x 2 f (x) | x 2 | | x 1| 1 2x，1 x 2 .3，x 1 f (x) 1，当 x 2 时，不等式无解；--------------------------2 分当 1 x 2 时，令1 2x 1，解得 x 0 ，不等式的解集为1 x 0 ；当 x 1时， 3 1 ，符合题意. 综上可得，不等式 f (x) 1 的解集为 (∞，0] .---------------------5 分 （2） f (x) a2 1 0 恒成立等价于 f (x)max a2 1.| x a | | x 1| | (x a) (x 1) | | a 1| ， | a 1| | x a | | x 1| | a 1| .---------------------------------8 分 | a 1| a2 1 ，a2 1 a 1 a2 1(a2 1 0) ，解得 a 1或 a 2 . 实数 a 的取值范围为 (∞，1] [2， ∞) .---------------------10 分理科数学答案第 3 页（共 3 页）。
2020年高考数学临考押题卷(北京天津山东等)1(解析word版)
2020年高考临考押题卷（一）数学（北京卷）（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单选题1．已知集合{}20A x x =-≥，{}1,2,3B =，则A B =I ( ) A ．{}1 B ．{}2C ．{}2,3D ．{}1,2,3【答案】C【解析】由题意，{}2A x x =≥，{}1,2,3B =，则{}2,3A B =I . 故选：C.2．已知复数z 满足3z z i +=+，则z =（ ） A ．1i - B ．1i +C ．43i - D ．43i + 【答案】D【解析】设(,)z a bi a b R =+∈，则z =3a bi i +=+，所以31a b ⎧⎪=⎨=⎪⎩ ，解得431a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩，即43z i =+，选D. 3．若向量,a b v v的夹角为3π，且||2a =v ，||1b =v ，则向量2a b +v v 与向量a v 的夹角为（ ） A ．3πB ．6πC ．23π D ．56π【答案】B【解析】设向量2a b +r r 与a r 的夹角为α，因为,a b v v 的夹角为3π，且2a =v ，1b =v ，所以221(2)()22cos 4221632a ab a a b a a b π+=+=+=+⨯⨯⨯=r r r r r r r r r gg g ，2a b +==r r==，所以(2)cos 2a a b a a b α+===+r r r g r r r ，又因为[0,]απ∈ 所以6πα=，故选B4．已知定义在R 上的函数||()21x m f x -=-（m 为实数）为偶函数，记()0.5log 3a f =，()2log 5b f =，(2)c f m =+则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．c b a <<【答案】B【解析】∵f （x ）为偶函数； ∴f （﹣x ）＝f （x ）； ∴2x m --﹣1＝2x m -﹣1； ∴|﹣x ﹣m |＝|x ﹣m |； （﹣x ﹣m ）2＝（x ﹣m ）2； ∴mx ＝0； ∴m ＝0；∴f （x ）＝2x ﹣1；∴f （x ）在[0，+∞）上单调递增，并且a ＝f （|0.5log 3|）＝f （2log 3）， b ＝f （2log 5），c ＝f （2）； ∵0＜2log 3＜2＜2log 5； ∴a<c<b ． 故选B ．5．科赫曲线是一种外形像雪花的几何曲线，一段科赫曲线可以通过下列操作步骤构造得到，任画一条线段，然后把它均分成三等分，以中间一段为边向外作正三角形，并把中间一段去掉，这样，原来的一条线段就变成了4条小线段构成的折线，称为“一次构造”；用同样的方法把每条小线段重复上述步骤，得到16条更小的线段构成的折线，称为“二次构造”，…，如此进行“n 次构造”，就可以得到一条科赫曲线.若要在构造过程中使得到的折线的长度达到初始线段的1000倍，则至少需要通过构造的次数是（ ）.（取lg30.4771≈，lg 20.3010≈）A ．16B ．17C ．24D ．25【答案】D【解析】记初始线段长度为a ，则“一次构造”后的折线长度为43a ，“二次构造”后的折线长度为243a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，以此类推，“n 次构造”后的折线长度为43na ⎛⎫ ⎪⎝⎭，若得到的折线长度为初始线段长度的1000倍，则410003na a ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，即410003n⎛⎫≥ ⎪⎝⎭， ()()44lg lg lg 4lg32lg 2lg3lg1000333nn n n ⎛⎫∴==-=-≥= ⎪⎝⎭，即324.0220.30100.4771n ≥≈⨯-，∴至少需要25次构造.故选：D .6．天干地支，简称为干支，源自中国远古时代对天象的观测.“甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸”称为十天干，“子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥”称为十二地支.干支纪年法是天干和地支依次按固定的顺序相互配合组成，以此往复，60年为一个轮回.现从农历2000年至2019年共20个年份中任取2个年份，则这2个年份的天干或地支相同的概率为（ ） A ．219B ．995C ．4895D ．519【答案】B【解析】20个年份中天干相同的有10组（每组2个），地支相同的年份有8组（每组2个），从这20个年份中任取2个年份，则这2个年份的天干或地支相同的概率2201089C 95P +==. 故选:B.7．已知实数0x >,0y >，则“224x y +≤”是“1xy ≤”的（ ） A ．充要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】22x y +≥Q 且224x y +≤ ，422x y ∴≤≤⇒+≤ ，等号成立的条件是x y =，又x y +≥Q ，0,0x y >>21xy ∴⇒≤ ，等号成立的条件是x y =,2241x y xy ∴+≤⇒≤，反过来，当12,3x y ==时，此时1xy ≤，但224x y +> ，不成立， ∴ “224x y +≤”是“1xy ≤”的充分不必要条件.故选:C8．在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，且ABC ∆为等边三角形，2AP AB ==，则三棱锥P ABC -的外接球的表面积为（ ） A ．272π B ．283π C ．263π D ．252π 【答案】B【解析】ABC ∆的外接圆半径为32sin3AB r π==，PA ⊥Q 底面ABC ，所以，三棱锥P ABC -的外接球半径为3R ===， 因此，三棱锥P ABC -的外接球的表面积为22284433R πππ⎛=⨯= ⎝⎭. 故选：B.9．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，右顶点为A ，上顶点为B ，以线段1F A为直径的圆交线段1F B 的延长线于点P ，若2//F B AP 且线段AP的长为2+，则该椭圆方程为（ ）A ．22142x y +=B ．22183x y +=C ．22154x y +=D ．22184x y +=【答案】D【解析】设椭圆的半焦距为c ，因为点P 在以线段1F A 为直径的圆上，所以1AP PF ⊥. 又因为2//F B AP ，所以21F B BF ⊥.又因为21F B BF =，所以12F F B △是等腰直角三角形，于是1F AP △也是等腰直角三角形，21F B BF a ==，222cos 452OF c BF a ===o ，12F A =， 得222a c +=，解得22a =2c =2224b a c =-=，所以椭圆方程为22184x y +=.故选：D.10．“干支纪年法”是中国历法上自古以来使用的纪年方法，甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸被称为“十天干”，子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥叫做“十二地支”。