2014高考调研理科数学课时作业讲解_课时作业58
2014届高考数学文一轮复习(浙江省专用)作业手册58坐标系(附详细解析)
课时作业(五十八)A [第58讲 坐标系](时间：35分钟 分值：40分)1．(10分)[2012·湖南卷改编] 在极坐标系中，曲线C 1：ρ(2cos θ＋sin θ)＝1与曲线C 2：ρ＝a (a ＞0)的一个交点在极轴上，求a 的值．2．(10分)在极坐标系中，求直线ρsin θ＋π4＝2被圆ρ＝4截得的弦长．3．(10分)[2012·江苏卷] 在极坐标系中，已知圆C 经过点P ⎝⎛⎭⎫2，π4，圆心为直线ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝－32与极轴的交点，求圆C 的极坐标方程．4．(10分)[2012·东北四校一模] 在极坐标系中，曲线L ：ρsin 2θ＝2cos θ，过点A (5，α)α为锐角且tanα＝34作平行于θ＝π4(ρ∈R )的直线l ，且l 与曲线L 分别交于B ，C 两点． (1)以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴，取与极坐标相同单位长度，建立平面直角坐标系，写出曲线L 和直线l 的普通方程；(2)求|BC |的长．课时作业(五十八)B [第58讲 坐标系](时间：35分钟 分值：40分)1．(10分)[2012·陕西卷改编] 求直线2ρcos θ＝1与圆ρ＝2cos θ相交的弦长．2．(10分)[2012·肇庆二模] 在极坐标系中，求曲线ρ＝2与cos θ＋sin θ＝0(0≤θ≤π)的交点的极坐标．3．(10分)在直角坐标系中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ∈[0，π])．以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2在极坐标系中的方程为ρ＝b sin θ－cos θ.若曲线C 1与C 2有两个不同的交点，求实数b 的取值范围．4．(10分)在极坐标系中，已知圆C 的圆心C 3，π6，半径r ＝3. (1)求圆C 的极坐标方程；(2)若Q 点在圆C 上运动，P 在OQ 的延长线上，且|OQ |∶|QP |＝3∶2，求动点P 的轨迹方程．课时作业(五十八)A1．解：本题考查直线与圆的极坐标方程，具体的解题思路和过程：把直线与圆的极坐标方程转化为普通方程，求出直线与坐标轴的交点代入圆方程求解． 直线方程为2x ＋y －1＝0，与x 轴的交点为⎝⎛⎭⎫22，0，圆的方程为x 2＋y 2＝a 2，把交点⎝⎛⎭⎫22，0代入得⎝⎛⎭⎫222＋02＝a 2，又a >0，所以a ＝22. 2．解：直线ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝2可化为x ＋y －22＝0，圆ρ＝4可化为x 2＋y 2＝16， 由圆中的弦长公式得弦长为2r 2－d 2＝242－⎝ ⎛⎭⎪⎫2222＝4 3. 3．解：在ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝－32中令θ＝0，得ρ＝1， 所以圆C 的圆心坐标为(1，0)．因为圆C 经过点P ⎝⎛⎭⎫2，π4， 所以圆C 的半径PC ＝（2）2＋12－2×1×2cos π4＝1， 于是圆C 过极点，所以圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ.4．解：(1)由题意得点A 的直角坐标为(4，3)，曲线L 的直角坐标方程为y 2＝2x ，直线l 的直角坐标方程为y ＝x －1.(2)设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2x ，y ＝x －1， 消去y 得x 2－4x ＋1＝0，由韦达定理得x 1＋x 2＝4，x 1·x 2＝1，由弦长公式得|BC |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝2 6.课时作业(五十八)B1．解：本题考查了极坐标的相关知识，解题的突破口为把极坐标化为直角坐标．由2ρcos θ＝1得2x＝1①，由ρ＝2cos θ得ρ2＝2ρcos θ，即x 2＋y 2＝2x ②，联立①②得y ＝±32，所以弦长为 3. 2．解：方法一：将ρ＝2和cos θ＋sin θ＝0化为直角坐标方程为x 2＋y 2＝4和y ＝－x ，联立解得⎩⎨⎧x ＝2，y ＝－2(舍去)或⎩⎨⎧x ＝－2，y ＝2，所以点的直角坐标为(－2，2)，所以ρ＝2，因为点(－2，2)在第二象限，所以θ＝34π，得交点的极坐标为⎝⎛⎭⎫2，34π. 方法二：由cos θ＋sin θ＝0得tan θ＝－1，因为0≤θ≤π，所以θ＝34π，故交点的极坐标为⎝⎛⎭⎫2，34π. 3．解：曲线C 1为半圆x 2＋y 2＝1(0≤y ≤1)，曲线C 2的直角坐标方程为x －y ＋b ＝0.结合图形知，当直线与半圆相切时，|b |2＝1，即b ＝2(b ＝－2舍去)， 当直线经过点(－1，0)时，直线与半圆有两个交点，此时b ＝1，故当1≤b <2时，曲线C 1与C 2有两个不同的交点．4．解：(1)设M (ρ，θ)为圆C 上任一点，OM 的中点为N ，因为O 在圆C 上，∴△OCM 为等腰三角形．由垂径定理可得|ON |＝|OC |cos ⎝⎛⎭⎫θ－π6，所以|OM |＝2×3cos ⎝⎛⎭⎫θ－π6， 即ρ＝6cos ⎝⎛⎭⎫θ－π6为所求圆C 的极坐标方程． (2)设点P 的极坐标为(ρ，θ)，因为P 在OQ 的延长线上，且|OQ |∶|QP |＝3∶2，所以点Q 的坐标为⎝⎛⎭⎫35ρ，θ. 由于点Q 在圆上，所以35ρ＝6cos ⎝⎛⎭⎫θ－π6. 故点P 的轨迹方程为ρ＝10cos ⎝⎛⎭⎫θ－π6.。
2014高考调研理科数学课时作业讲解_课时作业68
课时作业(六十八)1．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 与双曲线x 212－y24＝1的一个焦点重合，直线y ＝x －4与抛物线交于A ，B 两点，则|AB |等于( )A ．28B ．32C ．20D ．40答案 B解析 双曲线x 212－y 24＝1的焦点坐标为(±4,0)，故抛物线的焦点F 的坐标为(4,0)，因此p ＝8，故抛物线方程为y 2＝16x ，易知直线y ＝x －4过抛物线的焦点．设A ，B 两点坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)．由⎩⎨⎧y 2＝16x ，y ＝x －4，可得x 2－24x ＋16＝0，故x 1＋x 2＝24. 故|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝24＋8＝32.2．已知AB 为半圆的直径，P 为半圆上一点，以A 、B 为焦点且过点P 做椭圆，当点P 在半圆上移动时，椭圆的离心率有( )A ．最大值12 B ．最小值12 C ．最大值22 D ．最小值22答案 D解析 椭圆的离心率e ＝|AB ||P A |＋|PB |≥|AB |2|P A |2＋|PB |22＝22，故选D. 3．(2012·武汉调研)设抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，过点M (－1,0)的直线在第一象限交抛物线于A 、B ，且满足AF →·BF →＝0，则直线AB 的斜率k ＝( )A. 2B.22 C. 3D.33答案 B解析 依题意，设直线AB 的方程为y ＝k (x ＋1)(k ≠0)，代入抛物线方程y 2＝4x 并整理得k 2x 2＋(2k 2－4)x ＋k 2＝0，因为直线与抛物线有两个不同的交点，所以Δ＝(2k 2－4)2－4k 4>0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝4－2k 2k 2，x 1x 2＝1.又因为AF →·BF →＝0，所以(x 1－1)(x 2－1)＋y 1y 2＝0，(x 1－1)(x 2－1)＋k 2(x 1＋1)(x 2＋1)＝0，(1＋k 2)x 1x 2＋(k 2－1)(x 1＋x 2)＋k 2＋1＝0，把⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝4－2k 2k 2x 1x 2＝1，代入并整理得k 2＝12，又k >0，所以k ＝22，选B.4．已知抛物线y ＝2x 2上的两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)关于直线y ＝x ＋m 对称，且x 1x 2＝－12，那么m 的值等于( )A.32B.52 C ．2 D ．3答案 A解析 因为点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)在抛物线y ＝2x 2上，所以y 1＝2x 21，y 2＝2x 22，两式相减得y 1－y 2＝2(x 1－x 2)(x 1＋x 2)，不妨设x 1<x 2.因为直线AB 与直线y＝x ＋m 互相垂直，所以y 1－y 2x 1－x 2＝－1，所以x 1＋x 2＝－12，而x 1x 2＝－12，解得x 1＝－1，x 2＝12，设线段AB 的中点为M (x 0，y 0)，则x 0＝x 1＋x 22＝－14，y 0＝y 1＋y 22＝2x 21＋2x 222＝54.因为中点M 在直线y ＝x ＋m 上，所以54＝－14＋m ，解得m ＝32.5．已知双曲线x 2－y 24＝1，过点A (1,1)的直线l 与双曲线只有一个公共点，则l 的条数为( )A ．4B ．3C ．2D ．1答案 A解析 ①斜率不存在时，方程为x ＝1符合． ②设斜率为k ，y －1＝k (x －1)，kx －y －k ＋1＝0.⎩⎨⎧4x 2－y 2＝4，y ＝kx －k ＋1，(4－k 2)x 2＋(2k 2－2k )x －k 2＋2k －5＝0. 当4－k 2＝0，k ＝±2时符合；当4－k 2≠0，Δ＝0，亦有一个答案，∴共4条．6．已知双曲线的顶点与焦点分别是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的焦点与顶点，若双曲线的两条渐近线与椭圆的交点构成的四边形恰为正方形，则椭圆的离心率为( )A.13 B.12 C.33D.22答案 D解析 根据题意可知双曲线的方程为x 2a 2－b 2－y 2b 2＝1.因为双曲线的两条渐近线与椭圆的交点构成的四边形恰为正方形，所以双曲线为等轴双曲线，所以a 2－b 2＝b 2，即a ＝2b ，故椭圆的离心率e ＝a 2－b 2a ＝b a ＝b 2b＝22，故选D.7．已知两点A (1,0)，B (b,0)，若抛物线y 2＝4x 上存在点C 使△ABC 为等边三角形，则b ＝________.答案 5或－13解析 A (1,0)，B (b,0)，且△ABC 为等边三角形，则C ⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋12，±32(b －1)，代入抛物线方程求得b ＝5或－13，故填5或－13.8．抛物线y ＝x 2与直线x －y －2＝0的最短距离________．答案728解析 设与抛物线相切且与直线x －y －2＝0平行的直线为x －y ＋t ＝0，∴⎩⎨⎧y ＝x 2，y ＝x ＋t ，消y 得x 2－x －t ＝0. Δ＝1＋4t ＝0，∴t ＝－14.∴问题转化为x －y －2＝0与x －y －14＝0的距离． ∴d ＝|－2－⎝ ⎛⎭⎪⎫－14|2＝728.9．椭圆ax 2＋by 2＝1与直线x ＋y ＝1相交于A ，B 两点，C 是AB 的中点，O 为坐标原点，OC 的斜率为22，则ba ＝________.答案 22解析 (点差法)令A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 0，y 0)，⎩⎨⎧ax 21＋by 21＝1，ax 22＋by 22＝1， 作差有 a (x 1－x 2)(x 1＋x 2)＝－b (y 1－y 2)(y 1＋y 2)， k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝a (x 1＋x 2)－b (y 1＋y 2)＝－1. 又x 1＋x 2＝2x 0，y 1＋y 2＝2y 0，k OC ＝y 0x 0， ∴ax 0by 0＝1，∴a b ＝y 0x 0＝22.10．若抛物线y ＝ax 2－1上恒有关于直线x ＋y ＝0对称的相异两点A 、B ，则a 的取值范围是________．答案 (34，＋∞)解析 设抛物线上的两点为A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，直线AB 的方程为y ＝x ＋b ，代入抛物线方程y ＝ax 2－1，得ax 2－x －(b ＋1)＝0，设直线AB 的中点为M (x 0，y 0)，则x 0＝12a ，y 0＝x 0＋b＝12a ＋b .由于M (x 0，y 0)在直线x ＋y ＝0上，故x 0＋y 0＝0，由此解得b ＝－1a ，此时ax 2－x －(b ＋1)＝0可变形为ax 2－x －(－1a ＋1)＝0，由Δ＝1＋4a (－1a ＋1)>0，解得a >34.11．如图所示，已知点H (－3,0)，点P 在y 轴上，点Q 在x 轴的正半轴上，点M 在直线PQ 上，且满足HP →·PM →＝0，PM →＝－32MQ →.(1)求点P 在y 轴上移动时，求点M 的轨迹F ；(2)已知圆E ：x 2＋y 2＝2x ，过圆心E 作直线l ，此直线与圆E 和(1)中的轨迹F 共有四个交点，自上而下依次记为A 、B 、C 、D ，如果线段AB 、BC 、CD 的长按此顺序构成一个等差数列，求直线l 的方程．解析 (1)设M (x ，y )，P (0，y ′)，Q (x ′，0)， ∵PM →＝－32MQ →，HP →·PM →＝0，∴(x ，y －y ′)＝－32(x ′－x ，－y )，(3，y ′)·(x ，y －y ′)＝0. ∴x ′＝13x ，y ′＝－12y,3x ＋yy ′－y ′2＝0.又∵点Q 在x 轴的正半轴上，∴x ′>0，x >0.将y ′＝－12y 代入3x ＋yy ′－y ′2＝0，得y 2＝4x (x >0)．∴动点M 的轨迹F 是以O (0,0)为顶点，以(1,0)为焦点的抛物线(除去原点)． (2)由题知，圆E 的方程为(x －1)2＋y 2＝1，则其直径为2，圆心为E (1,0)，如图所示．设l 的方程为my ＝x －1， 即x ＝my ＋1， ①将①式代入抛物线方程y 2＝4x ，得y 2－4my －4＝0. 设A (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，结合根与系数的关系，得⎩⎨⎧Δ>0，y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4.则(y 1－y 2)2＝(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝16(m 2＋1)，|AD |2＝(y 1－y 2)2＋(x 1－x 2)2＝(y 1－y 2)2＋(y 21－y 224)2＝(y 1－y 2)2[1＋(y 1＋y 24)2]＝16(m 2＋1)2.∴|AD |＝4(m 2＋1)．又线段AB 、BC 、CD 的长成等差数列， ∴2|BC |＝|AB |＋|CD |＝|AD |－|BC |.∴|AD |＝3|BC |＝6，∴4(m 2＋1)＝6，m ＝±22， 即直线l 的方程为2x －y －2＝0或2x ＋y －2＝0.12．已知直线x ＋y －1＝0与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)相交于A 、B 两点，M 是线段AB 上的一点，AM →＝－BM →，且点M 在直线l ：y ＝12x 上．(1)求椭圆的离心率；(2)若椭圆的焦点关于直线l 的对称点在单位圆x 2＋y 2＝1上，求椭圆的方程． 解析 (1)由AM →＝－BM →知M 是AB 的中点，设A 、B 两点的坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1＝0，x 2a 2＋y 2b2＝1，得(a 2＋b 2)x 2－2a 2x ＋a 2－a 2b 2＝0.x 1＋x 2＝2a 2a 2＋b 2，y 1＋y 2＝－(x 1＋x 2)＋2＝2b 2a 2＋b 2.∴M 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a2a 2＋b 2，b 2a 2＋b 2.又M 点在直线l 上， ∴a 2a 2＋b 2－2b 2a 2＋b 2＝0. ∴a 2＝2b 2＝2(a 2－c 2)，∴a 2＝2c 2. ∴e ＝c a ＝22.(2)由(1)知b ＝c ，不妨设椭圆的一个焦点坐标为F (b,0)，设F (b,0)关于直线l ：y ＝12x 的对称点为(x 0，y 0)，则有⎩⎪⎨⎪⎧y 0－0x 0－b ·12＝－1，x 0＋b 2－2×y 02＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝35b ，y 0＝45b .由已知x 20＋y 20＝1.∴⎝ ⎛⎭⎪⎫35b 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫45b 2＝1，∴b 2＝1. ∴所求的椭圆的方程为x 22＋y 2＝1.13．已知椭圆C ：x 2＋y24＝1，过点M (0,3)的直线l 与椭圆C 相交于不同的两点A 、B .(1)若l 与x 轴相交于点N ，且A 是MN 的中点，求直线l 的方程； (2)设P 为椭圆上一点，且OA →＋OB →＝λOP →(O 为坐标原点)．求当|AB |<3时，实数λ的取值范围．解析 (1)设A (x 1，y 1)，因为A 是MN 的中点，且M 的纵坐标为3，N 的纵坐标为0，所以y 1＝32.又因为点A (x 1，y 1)在椭圆C 上， 所以x 21＋y 214＝1，即x 21＋916＝1，解得x 1＝±74， 则点A 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫74，32或⎝ ⎛⎭⎪⎫－74，32.所以直线l 的方程为67x －7y ＋21＝0或67x ＋7y －21＝0. (2)设直线AB 的方程为y ＝kx ＋3或x ＝0，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (x 3，y 3)，当AB 的方程为x ＝0时，|AB |＝4>3，与题意不符．当AB 的方程为y ＝kx ＋3时，由题设可得A 、B 的坐标是方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋3，x 2＋y 24＝1的解，消去y 得(4＋k 2)x 2＋6kx ＋5＝0. 所以Δ＝(6k )2－20(4＋k 2)>0，即k 2>5. 则x 1＋x 2＝－6k 4＋k 2，x 1·x 2＝54＋k 2， y 1＋y 2＝(kx 1＋3)＋(kx 2＋3)＝244＋k 2. 因为|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2<3， 所以1＋k 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－6k 4＋k 22－204＋k2<3， 解得－1613<k 2<8，所以5<k 2<8.因为OA →＋OB →＝λOP →，即(x 1，y 1)＋(x 2，y 2)＝λ(x 3，y 3)， 所以当λ＝0时，由OA →＋OB →＝0， 得x 1＋x 2＝－6k 4＋k 2＝0，y 1＋y 2＝244＋k 2＝0， 上述方程无解，所以此时符合条件的直线l 不存在；当λ≠0时，x 3＝x 1＋x 2λ＝－6kλ(4＋k 2)， y 3＝y 1＋y 2λ＝24λ(4＋k 2). 因为点P (x 3，y 3)在椭圆上， 所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤－6k λ(4＋k 2)2＋14⎣⎢⎡⎦⎥⎤24λ(4＋k 2)2＝1， 化简得λ2＝364＋k 2. 因为5<k 2<8，所以3<λ2<4. 则λ∈(－2，－3)∪(3，2)．综上，实数λ的取值范围为(－2，－3)∪(3，2)．1．已知抛物线y ＝ax 2(a ≠0)的焦点为F ，准线l 与对称轴交于R 点，过已知抛物线上一点P (1,2)作PQ ⊥l 于Q ，则(1)抛物线的焦点坐标是____________；(2)梯形PQRF 的面积是____________．答案 (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫0，18 (2)1916解析 抛物线上一点P (1,2)，求得a ＝2，焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，18；梯形PQRF 的面积是1916.故填(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫0，18；(2)1916.2．AB 弦过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的中心，F 为焦点，则S △ABF 的最大值是________．答案 b a 2－b 2解析 如图，S △ABF ＝S △AOF ＋S △BOF ＝12|OF |(|y A |＋|y B |)＝12|OF ||y A －y B | ＝12a 2－b 2|y A －y B |， 而|y A －y B |max ＝2b ， ∴(S △AOF )max ＝b a 2－b 2.3．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为12，以原点为圆心，以椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x －y ＋6＝0相切．(1)求椭圆C 的方程；(2)设P (4,0)，A ，B 是椭圆C 上关于x 轴对称的任意两个不同的点，连接PB 交椭圆C 于另一点E ，证明：直线AE 与x 轴相交于定点Q ；(3)在(2)的条件下，设过点Q 的直线与椭圆C 交于M ，N 两点，求OM →·ON →的取值范围．解析 (1)由题意知e ＝c a ＝12，所以e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝14，即a 2＝43b 2.因为以原点为圆心，以椭圆的短半轴长为半径的圆x 2＋y 2＝b 2，与直线x －y ＋6＝0相切，所以b ＝612＋(－1)2＝3，所以a 2＝4，b 3＝3，故椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)由题意知直线PB 的斜率存在且不为0，则可设直线PB 的方程为y ＝k (x －4)，k ≠0.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －4)，x 24＋y 23＝1，得(4k 2＋3)x 2－32k 2x ＋64k 2－12＝0. ①设点B (x 1，y 1)，E (x 2，y 2)，则A (x 1，－y 1)．由题意知直线AE 的斜率存在，则直线AE 的方程为y －y 2＝y 2＋y 1x 2－x 1(x －x 2)．令y ＝0，得x ＝x 2－y 2(x 2－x 1)y 2＋y 1，将y 1＝k (x 1－4)，y 2＝k (x 2－4)代入整理得x＝2x 1x 2－4(x 1＋x 2)x 1＋x 2－8. ②由①式利用根与系数的关系得x 1＋x 2＝32k 24k 2＋3，x 1x 2＝64k 2－124k 2＋3，代入②式整理得x ＝1.所以直线AE 与x 轴相交于定点Q (1,0)． (3)当过点Q 的直线MN 的斜率存在时，设直线MN 的方程为y ＝m (x －1)，M (x M ，y M )，N (x N ，y N )． 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝m (x －1)，x 24＋y 23＝1，得(4m 2＋3)x 2－8m 2x ＋4m 2－12＝0，易知Δ＝(－8m 2)2－4(4m 2＋3)(4m 2－12)＝144(m 2＋1)>0，由根与系数的关系知x M ＋x N ＝8m 24m 2＋3，x M x N ＝4m 2－124m 2＋3，则y M y N ＝m (x M －1)·m (x N －1)＝m 2[x M x N －(x M ＋x N )＋1]＝－9m 24m 2＋3.则OM →·ON →＝x M x N ＋y M y N ＝－5m 2＋124m 2＋3＝－54－334(4m 2＋3).因为m 2≥0，所以－114≤－334(4m 2＋3)<0.所以－4≤－54－334(4m 2＋3)<－54.所以OM →·ON →∈[－4，－54]．当过点Q 的直线MN 的斜率不存在时，其方程为x ＝1，代入椭圆方程得y ＝±32，不妨设M (1，32)，N (1，－32)，此时OM →·ON →＝－54.综上所述，OM →·ON →的取值范围是[－4，－54]．4．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与抛物线y 2＝4x 有共同的焦点F ，且两曲线在第一象限的交点为M ，满足|MF |＝53.(1)求椭圆C 的方程；(2)设直线y ＝kx －2与椭圆C 交于A ，B 两点，OP →＝13OA →，ON →＝23OB →，若原点O 在以PN 为直径的圆外，求实数k 的取值范围．解析 (1)由题意知，抛物线y 2＝4x 的焦点坐标为F (1,0)，准线方程为x ＝－1.设M (x M ，y N )(x M >0，y M >0)，因为点M 在抛物线上，且|MF |＝53，所以点M 的横坐标x M ＝53－1＝23，从而y 2M ＝4x M ＝83.又点M 也在椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1上，故有⎩⎪⎨⎪⎧49a 2＋83b 2＝1，c 2＝a 2－b 2＝1，解得a 2＝4，b 2＝3.所以所求椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1. (2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －2，x 24＋y 23＝1，消去y ，得(4k 2＋3)x 2－16kx ＋4＝0.因为直线与椭圆C 有两个交点A ，B ， 所以Δ＝(－16k )2－16(4k 2＋3)>0，即k 2>14.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝16k 4k 2＋3，x 1x 2＝44k 2＋3.因为原点O 在以PN 为直径的圆外，所以∠PON 为锐角．又因为OP →＝13OA →，ON →＝23OB →，所以∠PON 为锐角，所以OA →·OB →>0， 即OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋(kx 1－2)(kx 2－2)＝(k 2＋1)·x 1x 2－2k (x 1＋x 2)＋4＝(k 2＋1)·44k 2＋3－2k ·16k 4k 2＋3＋4＝－12k 2＋164k 2＋3>0.解得k 2<43.又k 2>14，所以14<k 2<43， 即－233<k <－12或12<k <233.故实数k 的取值范围是(－233，－12)∪(12，233)．5．(2012·长春调研)已知点A (－1,0)、B (1,0)，动点M 的轨迹曲线C 满足∠AMB ＝2θ，|AM →||BM →|cos 2θ＝3，过点B 的直线交曲线C 于P 、Q 两点．(1)求|AM →|＋|BM →|的值，并写出曲线C 的方程； (2)求△APQ 的面积和最大值．解析 (1)设M (x ，y )，在△MAB 中，|AB →|＝2，∠AMB ＝2θ，根据余弦定理得|AM →|2＋|BM →|2－2|AM →|·|BM →|cos2θ＝|AB →|2＝4，即(|AM →|＋|BM →|)2－2|AM →|·|BM →|(1＋cos2θ)＝4. 所以(|AM →|＋|BM →|)2－4|AM →|·|BM →|cos 2θ＝4.因为|AM →|·|BM →|cos 2θ＝3，所以(|AM →|＋|BM →|)2－4×3＝4， 所以|AM →|＋|BM →|＝4. 又|AM →|＋|BM →|＝4>2＝|AB →|，因此点M 的轨迹是以A 、B 为焦点的椭圆(点M 在x 轴上也符合题意)． 设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，则 a ＝2，c ＝1，所以b 2＝a 2－c 2＝3. 所以曲线C 的方程为x 24＋y 23＝1. (2)设直线PQ 的方程为x ＝my ＋1. 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋1，x 24＋y 23＝1，消去x 并整理得(3m 2＋4)y 2＋6my －9＝0. ① 显然方程①的判别式Δ＝36m 2＋36(3m 2＋4)>0. 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)， 则S △APQ ＝12×2×|y 1－y 2|＝|y 1－y 2|.由根与系数的关系得y 1＋y 2＝－6m 3m 2＋4，y 1y 2＝－93m 2＋4.所以(y 1－y 2)2＝(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝48×3m 2＋3(3m 2＋4)2.令t ＝3m 2＋3，则t ≥3，(y 1－y 2)2＝48t ＋1t ＋2，由于函数φ(t )＝t ＋1t 在[3，＋∞)上是增函数，所以t ＋1t ≥103，当且仅当t ＝3m 2＋3＝3，即m ＝0时取等号． 所以(y 1－y 2)2≤48103＋2＝9，即|y 1－y 2|的最大值为3.所以△APQ 的面积的最大值为3，此时直线PQ 的方程为x ＝1.6．设椭圆ax 2＋by 2＝1与直线x ＋y －1＝0相交于A 、B 两点，点C 是AB 的中点，若|AB |＝22，OC 的斜率为22，求椭圆的方程．解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，那么A 、B 的坐标是方程组⎩⎨⎧ax 2＋by 2＝1，x ＋y －1＝0的解．由ax 21＋by 21＝1，ax 22＋by 22＝1，两式相减，得a (x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋b (y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0. 因为y 1－y 2x 1－x 2＝－1，所以y 1＋y 2x 1＋x 2＝ab， 即2y C 2x C ＝a b ，y C x C＝a b ＝22，所以b ＝2a .①再由方程组消去y ，得(a ＋b )x 2－2bx ＋b －1＝0. 由|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2 ＝2(x 1－x 2)2＝2[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝22， 得(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝4， 即⎝ ⎛⎭⎪⎫2b a ＋b 2－4·b －1a ＋b ＝4.②由①、②解得a＝13，b＝23.故所求的椭圆方程为x23＋2y23＝1.。
2014高考调研理科数学课时作业讲解_课时作业18
课时作业(十八)1．已知函数f (x )＝x 2－8ln x ，g (x )＝－x 2＋14x . (1)求函数f (x )在点(1，f (1))处的切线方程；(2)若函数f (x )与g (x )在区间(a ，a ＋1)上均为增函数，求a 的取值范围； (3)若方程f (x )＝g (x )＋m 有唯一解，试求实数m 的值． 解析 (1)因为f ′(x )＝2x －8x ，所以切线的斜率k ＝f ′(1)＝－6. 又f (1)＝1，故所求的切线方程为y －1＝－6(x －1)．即y ＝－6x ＋7. (2)因为f ′(x )＝2(x ＋2)(x －2)x，又x >0，所以当x >2时，f ′(x )>0；当0<x <2时，f ′(x )<0. 即f (x )在(2，＋∞)上单调递增，在(0,2)上单调递减．又g (x )＝－(x －7)2＋49，所以g (x )在(－∞，7)上单调递增，在(7，＋∞)上单调递减．欲使函数f (x )与g (x )在区间(a ，a ＋1)上均为增函数，则⎩⎨⎧a ≥2，a ＋1≤7，解得2≤a ≤6.(3)原方程等价于2x 2－8ln x －14x ＝m ，令h (x )＝2x 2－8ln x －14x ，则原方程即为h (x )＝m .因为当x >0时原方程有唯一解，所以函数y ＝h (x )与y ＝m 的图像在y 轴右侧有唯一的交点．又h ′(x )＝4x －8x －14＝2(x －4)(2x ＋1)x ，且x >0，所以当x >4时，h ′(x )>0；当0<x <4时，h ′(x )<0.即h (x )在(4，＋∞)上单调递增，在(0,4)上单调递减，故h (x )在x ＝4处取得最小值，从而当x >0时原方程有唯一解的充要条件是m ＝h (4)＝－16ln2－24.2．(2013·衡水调研)设函数f (x )＝x 2＋2x －2ln(1＋x )． (1)求函数f (x )的单调区间；(2)当x ∈[1e －1，e －1]时，是否存在整数m ，使不等式m <f (x )≤－m 2＋2m ＋e 2恒成立？若存在，求整数m 的值；若不存在，则说明理由．解析 (1)由1＋x >0，得函数f (x )的定义域为(－1，＋∞)． f ′(x )＝2x ＋2－2x ＋1＝2x (x ＋2)x ＋1. 由f ′(x )>0，得x >0；由f ′(x )<0，得－1<x <0.∴函数f (x )的单调递增区间是(0，＋∞)，单调减区间是(－1,0)．(2)由(1)知，f (x )在[1e －1,0]上单调递减，在[0，e －1]上单调递增．∴f (x )min ＝f (0)＝0.又f (1e －1)＝1e 2＋1，f (e －1)＝e 2－e ，且e 2－3>1e 2＋1， ∴x ∈[1e －1，e －1]时，f (x )max ＝e 2－e. ∵不等式m <f (x )≤－m 2＋2m ＋e 2恒成立，∴⎩⎨⎧－m 2＋2m ＋e 2≥f (x )max ，m <f (x )min .即⎩⎨⎧－m 2＋2m ＋e 2≥e 2－3，m <0⇒⎩⎨⎧m 2－2m －3≤0，m <0⇒ ⎩⎨⎧－1≤m ≤3，m <0⇒－1≤m <0. ∵m 是整数，∴m ＝－1.∴存在整数m ＝－1，使不等式m <f (x )≤－m 2＋2m ＋e 2恒成立．3．已知函数f (x )＝ax －ln(－x )，x ∈[－e,0)，其中e 是自然对数的底数，a ∈R .(1)当a ＝－1时，确定f (x )的单调性和极值； (2)当a ＝－1时，证明：f (x )＋ln (－x )x >12；(3)是否存在实数a ，使f (x )的最小值为3，如果存在，求出a 的值；如果不存在，请说明理由．解析 (1)∵f (x )＝－x －ln(－x )，f ′(x )＝－1－1x ＝－x ＋1x ，∴当－e ≤x <－1时，f ′(x )<0，此时f (x )单调递减；当－1<x <0时，f ′(x )>0，此时f (x )单调递增．∴f (x )的极小值为f (－1)＝1.(2)由(1)知f(x)在区间[－e,0)上有唯一的极小值1，即f(x)在区间[－e,0)上的最小值为1，即f(x)min＝1.所证不等式即f(x)>12－ln(－x)x.令h(x)＝12－ln(－x)x，则h′(x)＝ln(－x)－1x2.当－e≤x<0时，h′(x)≤0，故h(x)在[－e,0)上单调递减．∴h(x)max＝h(－e)＝1e＋12<12＋12＝1＝f(x)min.∴当a＝－1时，f(x)＋ln(－x)x>12.(3)假设存在实数a，使f(x)＝ax－ln(－x)的最小值为3.f′(x)＝a－1x(x∈[－e,0))．①若a≥－1e，由于x∈[－e,0)，则f′(x)＝a－1x≥0.∴函数f(x)＝ax－ln(－x)在[－e,0)上是增函数．∴f(x)min＝f(－e)＝－a e－1＝3，解得a＝－4e<－1e，与a≥－1e矛盾，舍去．②若a<－1e，则当－e≤x<1a时，f′(x)＝a－1x<0，此时f(x)＝ax－ln(－x)是减函数．当1a<x<0时，f′(x)＝a－1x>0，此时f(x)＝ax－ln(－x)是增函数．∴f(x)min＝f(1a)＝1－ln(－1a)＝3，解得a＝－e2.由①②知，存在实数a＝－e2，使f(x)的最小值为3.4．(2013·山东济宁一模)已知函数f(x)＝x－ln x，g(x)＝ln x x.(1)求函数f(x)的单调区间；(2)求证：对任意的m，n∈(0，e]，都有f(m)－g(n)>12.(注：e≈2.718 28…是自然对数的底数．)解析 (1)∵f (x )＝x －ln x (x >0)，∴f ′(x )＝1－1x ＝x －1x (x >0)． 由f (x )>0，得x >1，由f (x )<0，得0<x <1.∴f (x )的单调递增区间是(1，＋∞)，单调递减区间是(0,1)．(2)由(1)知，当x ∈(0，e]时，f (x )在(0,1)上单调递减，在(1，e]上单调递增． ∴当x ＝1时，[f (x )]min ＝f (1)＝1.∵g (x )＝ln xx (x >0)，∴g ′(x )＝1－ln x x 2(x >0)．当x ∈(0，e]时，g (x )≥0，∴g (x )在(0，e]上单调递增． ∴当x ∈(0，e]时，[g (x )]max ＝g (e)＝1e .对任意的m ，n ∈(0，e]，f (m )－g (n )≥[f (m )]min －[g (n )]max ＝1－1e >12. 即证得，对任意的m ，n ∈(0，e]，都有f (m )－g (n )>12.5．(2013·汕头质量测评)设函数f (x )＝－13x 3＋x 2＋(a 2－1)x ，其中a >0. (1)若函数y ＝f (x )在x ＝－1处取得极值，求a 的值；(2)已知函数f (x )有3个不同的零点，分别为0、x 1、x 2，且x 1<x 2，若对任意的x ∈[x 1，x 2]，f (x )>f (1)恒成立，求a 的取值范围．解析 (1)f ′(x )＝－x 2＋2x ＋(a 2－1)，因为y ＝f (x )在x ＝－1处取得极值，所以f ′(－1)＝0. 即－(－1)2＋2(－1)＋(a 2－1)＝0. 解得a ＝±2.经检验得a ＝2.(2)由题意得f (x )＝x (－13x 2＋x ＋a 2－1)＝－13x (x －x 1)(x －x 2)． 所以方程－13x 2＋x ＋a 2－1＝0有两个相异的实根x 1，x 2. 故Δ＝1＋43(a 2－1)>0，解得a <－12(舍去)或a >12 且x 1＋x 2＝3.又因为x 1<x 2，所以2x 2>x 1＋x 2＝3，故x 2>32>1.①若x1≤1<x2，则f(1)＝－13(1－x1)(1－x2)≥0，而f(x1)＝0不符合题意．②若1<x1<x2，对任意的x∈[x1，x2]，有x－x1≥0，x－x2≤0，所以f(x)＝－13x(x－x1)(x－x2)≥0.又f(x1)＝0，所以f(x)在[x1，x2]上的最小值为0.于是对任意的x∈[x1，x2]，f(x)>f(1)恒成立的充要条件为f(1)＝a2－13<0，解得－33<a<33.综上得12<a<33，即a的取值范围为(12，33)．6．(2013·西安市质检)设函数f(x)＝－13x3＋x2＋(m2－1)x(x∈R)，其中m>0.(1)当m＝1时，求曲线y＝f(x)在(1，f(1))点处的切线的方程；(2)求函数f(x)的单调区间与极值；(3)已知函数g(x)＝f(x)＋13有三个互不相同的零点，求m的取值范围．解析(1)当m＝1时，f(x)＝－13x3＋x2，f′(x)＝－x2＋2x，故f′(1)＝1.所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率为1.切线方程为3x－3y－1＝0.(2)f′(x)＝－x2＋2x＋m2－1，令f′(x)＝0，得到x＝1－m或x＝1＋m. 因为m>0，所以1＋m>1－m.当x变化时，f(x)，f′(x)的变化情况如下表：函数f(x)在x＝1＋m处取得极大值f(1＋m)，且f(1＋m)＝23m3＋m2－13.函数f(x)在x＝1－m处取得极小值f(1－m)，且f(1－m)＝－23m3＋m2－13.(3)由(2)知，函数g (x )在x ＝1＋m 处取得极大值g (1＋m )＝f (1＋m )＋13， 且g (1＋m )＝23m 3＋m 2.函数g (x )在x ＝1－m 处取得极小值g (1－m )＝f (1－m )＋13， 且g (1－m )＝－23m 3＋m 2.根据三次函数的图像与性质，函数g (x )＝f (x )＋13有三个互不相同的零点，只需要⎩⎪⎨⎪⎧g (1＋m )＝23m 3＋m 2>0，g (1－m )＝－23m 3＋m 2<0，即⎩⎪⎨⎪⎧m >0，m >32.所以m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞.7．(2013·沧州七校联考)设a 为实数，函数f (x )＝e x －2x ＋2a ，x ∈R . (1)求f (x )的单调区间与极值；(2)求证：当a >ln2－1且x >0时，e x >x 2－2ax ＋1.解析 (1)由f (x )＝e x －2x ＋2a ，x ∈R ，知f ′(x )＝e x －2，x ∈R .令f ′(x )＝0，得x ＝ln2.于是当x 变化时f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：f (x故f f (x )在x ＝ln2处取得极小值，极小值为f (ln2)＝e ln2－2ln2＋2a ＝2(1－ln2＋a )． (2)设g (x )＝e x －x 2＋2ax －1，x ∈R . 于是g ′(x )＝e x －2x ＋2a ，x ∈R .由(1)知当a >ln2－1时，g ′(x )最小值g ′(ln2)＝2(1－ln2＋a )>0. 于是对任意x ∈R ，都有g ′(x )>0，所以g (x )在R 内单调递增． 于是当a >ln2－1时，对任意x ∈(0，＋∞)，都有g (x )>g (0)． 而g (0)＝0，从而对任意x ∈(0，＋∞)，g (x )>0. 即e x －x 2＋2ax －1>0，故e x >x 2－2ax ＋1.8．(2013·西北五校)已知函数f (x )＝12ax 2－(2a ＋1)x ＋2ln x (a ∈R )． (1)若曲线y ＝f (x )在x ＝1和x ＝3处的切线互相平行，求a 的值； (2)求f (x )的单调区间；(3)设g (x )＝x 2－2x ，若对任意x 1∈(0,2]，均存在x 2∈(0,2]，使得f (x 1)<g (x 2)，求a 的取值范围．解析 f ′(x )＝ax －(2a ＋1)＋2x (x >0)． (1)由f ′(1)＝f ′(3)，解得a ＝23. (2)f ′(x )＝(ax －1)(x －2)x(x >0)．①当a ≤0时，x >0，ax －1<0，在区间(0,2)上f ′(x )>0；在区间(2，＋∞)上f ′(x )<0. 故f (x )的单调递增区间(0,2)，单调递减区间是(2，＋∞)． ②当0<a <12时，1a >2，在区间(0,2)和⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞上f ′(x )>0；在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫2，1a 上f ′(x )<0，故f (x )的单调递增区间是(0,2)和(1a ，＋∞)，单调递减区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫2，1a .③当a ＝12时，f ′(x )＝(x －2)22x ， 故f (x )的单调递增区间是(0，＋∞)． ④当a >12时，0<1a <2，在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 和(2，＋∞)上f ′(x )>0；在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，2上f ′(x )<0，故f (x )的单调递增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 和(2，＋∞)，单调递减区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，2.(3)由已知，在(0,2]上有f (x )max <g (x )max . 由已知，g (x )max ＝0，由(2)可知， ①当a ≤12时，f (x )在(0,2]上单调递增，故f (x )max ＝f (2)＝2a －2(2a ＋1)＋2ln2＝－2a －2＋2ln2. 所以，－2a －2＋2ln2<0，解得a >ln2－1. 故ln2－1<a ≤12.②当a >12时，f (x )在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，1a 上单调递增，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a ，2上单调递减，故f (x )max ＝f (1a )＝－2－12a －2ln a .由a >12可知ln a >ln 12>ln 1e ＝－1,2ln a >－2，－2ln a <2. 所以，－2－2ln a <0，f (x )max <0. 综上所述，a >ln2－1.1．(2011·天津文)已知函数f (x )＝4x 3＋3tx 2－6t 2x ＋t －1，x ∈R ，其中t ∈R . (1)当t ＝1时，求曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程； (2)当t ≠0时，求f (x )的单调区间；(3)证明：对任意t ∈(0，＋∞)，f (x )在区间(0,1)内均存在零点．解析 (1)当t ＝1时，f (x )＝4x 3＋3x 2－6x ，f (0)＝0，f ′(x )＝12x 2＋6x －6，f ′(0)＝－6.所以曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝－6x .(2)f ′(x )＝12x 2＋6tx －6t 2.令f ′(x )＝0，解得x ＝－t 或x ＝t2.因为t ≠0，以下分两种情况讨论：①若t <0，则t2<－t .当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：所以，f (x )的单调递增区间是(－∞，t2)，(－t ，＋∞)；f (x )的单调递减区间是(t2，－t )．②若t >0，则－t <t2.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：所以，f (x )的单调递增区间是(－∞，－t )，(t2，＋∞)；f (x )的单调递减区间是(－t ，t 2)．(3)由(2)可知，当t >0时，f (x )在(0，t 2)内单调递减，在(t2，＋∞)内单调递增．以下分两种情况讨论：①当t2≥1，即t ≥2时，f (x )在(0,1)内单调递减．f (0)＝t －1>0， f (1)＝－6t 2＋4t ＋3≤－6×4＋4×2＋3<0.所以对任意t ∈[2，＋∞)，f (x )在区间(0,1)内均存在零点．②当0<t 2<1，即0<t <2时，f (x )在(0，t 2)内单调递减，在(t2，1)内单调递增．若t ∈(0,1]，f (t 2)＝－74t 3＋t －1≤－74t 3<0，f (1)＝－6t 2＋4t ＋3≥－6t ＋4t ＋3＝－2t ＋3>0. 所以f (x )在(t2，1)内存在零点．若t ∈(1,2)，f (t 2)＝－74t 3＋(t －1)<－74t 3＋1<0，f (0)＝t －1>0.所以f (x )在(0，t2)内存在零点．所以，对任意t ∈(0,2)，f (x )在区间(0,1)内均存在零点． 综上，对任意t ∈(0，＋∞)，f (x )在区间(0,1)内均存在零点． 2．(2011·江西文)设f (x )＝13x 3＋mx 2＋nx .(1)如果g (x )＝f ′(x )－2x －3在x ＝－2处取得最小值－5，求f (x )的解析式； (2)如果m ＋n <10(m ，n ∈N *)，f (x )的单调递减区间的长度是正整数，试求m 和n 的值．(注：区间(a ，b )的长度为b －a )．解析 (1)由题得g (x )＝x 2＋2(m －1)x ＋(n －3)＝(x ＋m －1)2＋(n －3)－(m －1)2，已知g (x )在x ＝－2处取得最小值－5，所以⎩⎨⎧m －1＝2，(n －3)－(m －1)2＝－5，即m ＝3，n ＝2. 即得所要求的解析式为f (x )＝13x 3＋3x 2＋2x .(2)因为f ′(x )＝x 2＋2mx ＋n ，且f (x )的单调递减区间的长度为正整数，故f ′(x )＝0一定有两个不同的根，从而Δ＝4m 2－4n >0，即m 2>n .不妨设为x 1，x 2，则|x 2－x 1|＝2m 2－n 为正整数． 故m ≥2时才可能有符合条件的m ，n ， 当m ＝2时，只有n ＝3符合要求， 当m ＝3时，只有n ＝5符合要求， 当m ≥4时，没有符合要求的n .综上所述，只有m ＝2，n ＝3或m ＝3，n ＝5满足上述要求． 3．已知函数f (x )＝e x ＋ax ，g (x )＝e x ln x .(e ≈2.718 28…)．(1)设曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线与直线x ＋(e －1)y ＝1垂直，求a 的值； (2)若对于任意实数x ≥0，f (x )>0恒成立，试确定实数a 的取值范围； (3)当a ＝－1时，是否存在实数x 0∈[1，e]，使曲线C ：y ＝g (x )－f (x )在点x ＝x 0处的切线与y 轴垂直？若存在，求出x 0的值；若不存在，请说明理由．解析 (1)由题知，f ′(x )＝e x ＋a .因此曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线l的斜率为e＋a，又直线x＋(e－1)y＝1的斜率为11－e，∴(e＋a)11－e＝－1.∴a＝－1.(2)∵当x≥0时，f(x)＝e x＋ax>0恒成立，∴若x＝0，a为任意实数，f(x)＝e x＋ax>0恒成立．若x>0，f(x)＝e x＋ax>0恒成立，即当x>0时，a>－e xx恒成立．设Q(x)＝－e xx.Q′(x)＝－e x x－e xx2＝(1－x)e xx2.当x∈(0,1)时，Q′(x)>0，则Q(x)在(0,1)上单调递增，当x∈(1，＋∞)时，Q′(x)<0，则Q(x)在(1，＋∞)上单调递减．∴当x＝1时，Q(x)取得最大值．Q(x)max＝Q(1)＝－e.∴要使x≥0时，f(x)>0恒成立，a的取值范围为(－e，＋∞)．(3)依题意，曲线C的方程为y＝e x ln x－e x＋x.令M(x)＝e x ln x－e x＋x，∴M′(x)＝e xx＋ex ln x－e x＋1＝(1x＋ln x－1)ex＋1.设h(x)＝1x＋ln x－1，则h′(x)＝－1x2＋1x＝x－1x2.当x∈[1，e]时，h′(x)≥0.故h(x)在[1，e]上为增函数，因此h(x)在区间[1，e]上的最小值为h(1)＝ln1＝0.所以h(x)＝1x＋ln x－1≥0.当x0∈[1，e]时，.∴.曲线y＝e x ln x－e x＋x在点x＝x0处的切线与y轴垂直等价于方程M′(x0)＝0在x∈[1，e]上有实数解．而M′(x0)>0，即方程M′(x0)＝0无实数解．故不存在实数x0∈[1，e]，使曲线y＝M(x)在点x＝x0处的切线与y轴垂直．4．已知x>12，函数f(x)＝x2，h(x)＝2eln x(e为自然常数)．(1)求证：f(x)≥h(x)；(2)若f(x)≥h(x)且g(x)≤h(x)恒成立，则称函数h(x)的图像为函数f(x)，g(x)的“边界”．已知函数g(x)＝－4x2＋px＋q(p，q∈R)，试判断“函数f(x)，g(x)以函数h(x)的图像为边界”和“函数f(x)，g(x)的图像有且仅有一个公共点”这两个条件能否同时成立？若能同时成立，请求出实数p、q的值；若不能同时成立，请说明理由．解析(1)证明：记u(x)＝f(x)－h(x)＝x2－2eln x，则u′(x)＝2x－2e x，令u′(x)>0，因为x>12，所以x> e.所以函数u(x)在(12，e)上单调递减，在(e，＋∞)上单调递增．u(x)min＝u(e)＝f(e)－h(e)＝e－e＝0，即u(x)≥0，所以f(x)≥h(x)．(2)由(1)知，f(x)≥h(x)对x>12恒成立，当且仅当x＝e时等号成立．记v(x)＝h(x)－g(x)＝2eln x＋4x2－px－q，则“v(x)≥0恒成立”与“函数f(x)，g(x)的图像有且仅有一个公共点”同时成立，即v(x)≥0对x>12恒成立，当且仅当x＝e时等号成立．所以函数v(x)在x＝e时取极小值．注意到v′(x)＝2ex＋8x－p＝8x2－px＋2ex，由v′(e)＝0，解得p＝10 e.此时v′(x)＝8(x－e)(x－e4)x，由x>12知，函数v(x)在(12，e)上单调递减，在(e，＋∞)上单调递增，即v(x)min＝v(e)＝h(e)－g(e)＝－5e－q＝0，q＝－5e，综上，两个条件能同时成立，此时p＝10e，q＝－5e.5．(2012·山东卷)已知函数f(x)＝ln x＋ke x(k为常数，e＝2.718 28…是自然对数的底数)，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与x轴平行．(1)求k的值；(2)求f(x)的单调区间；(3)设g(x)＝(x2＋x)f′(x)，其中f′(x)为f(x)的导函数，证明：对任意x>0，g(x)<1＋e－2.解析(1)由f(x)＝ln x＋k e x，得f′(x)＝1－kx－x ln xx e x，x∈(0，＋∞)．由于曲线y＝f(x)在(1，f(1))处的切线与x轴平行，所以f′(1)＝0，因此k＝1.(2)由(1)得f′(x)＝1x e x(1－x－x ln x)，x∈(0，＋∞)．令h(x)＝1－x－x ln x，x∈(0，＋∞)，当x∈(0,1)时，h(x)>0；当x∈(1，＋∞)时，h(x)<0.又e x>0，所以当x∈(0,1)时，f′(x)>0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)<0.因此f(x)的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1，＋∞)．(3)因为g(x)＝(x2＋x)f′(x)，所以g(x)＝x＋1e x(1－x－x ln x)，x∈(0，＋∞)．因此，对任意x>0，g(x)<1＋e－2等价于1－x－x ln x<e xx＋1(1＋e－2)．由(2)中h(x)＝1－x－x ln x，x∈(0，＋∞)，所以h′(x)＝－ln x－2＝－(ln x－ln e－2)，x∈(0，＋∞)．因此，当x∈(0，e－2)时，h′(x)>0，h(x)单调递增；当x∈(e－2，＋∞)时，h′(x)<0，h(x)单调递减．所以h(x)的最大值为h(e－2)＝1＋e－2.故1－x－x ln x≤1＋e－2.设φ(x)＝e x－(x＋1)．因为φ′(x)＝e x－1＝e x－e0，所以当x∈(0，＋∞)时，φ′(x)>0，φ(x)单调递增，φ(x)>φ(0)＝0.故当x∈(0，＋∞)时，φ(x)＝e x－(x＋1)>0，即e xx＋1>1.所以1－x－x ln x≤1＋e－2<e xx＋1(1＋e－2)．因此，对任意x>0，g(x)<1＋e－2.6．(2011·山东文)某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度，长度单位：米)，其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的容积为80π3立方米，且l≥2r.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关．已知圆柱形部分每平方米建筑费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为c(c>3)千元．设该容器的建造费用为y千元．(1)写出y关于r的函数表达式，并求该函数的定义域；(2)求该容器的建造费用最小时的r.解析(1)设容器的容积为V，由题意知V＝πr2l＋43πr3，又V＝80π3，故l＝V－43πr3πr2＝803r2－43r＝43(20r2－r)．由于l≥2r，因此0<r≤2.所以建造费用y＝2πrl×3＋4πr2c＝2πr×43(20r2－r)×3＋4πr2c，因此y＝4π(c－2)r2＋160πr，0<r≤2.(2)由(1)得y′＝8π(c－2)r－160πr2＝8π(c－2)r2(r3－20c－2)，0<r<2.由于c>3，所以c－2>0.当r3－20c－2＝0时，r＝320c－2.令320c－2＝m，则m>0.所以y′＝8π(c－2)r2(r－m)(r2＋rm＋m2)．①当0<m<2即c>92时，当r＝m时，y′＝0；当r∈(0，m)时，y′<0；当r∈(m,2)时，y′>0.所以r＝m是函数y的极小值点，也是最小值点．②当m≥2即3<c≤92时，当r∈(0,2)时，y′<0，函数单调递减，所以r＝2是函数y的最小值点．综上所述，当3<c≤92时，建造费用最小时r＝2；当c>92时，建造费用最小时r＝320c－2.7．(2013·江南十校)设M是满足下列条件的函数f(x)构成的集合：“①方程f(x)－x＝0有实数根；②函数f(x)的导数f′(x)满足0<f′(x)<1.”(1)若函数f(x)为集合M中的任一元素，试证明方程f(x)－x＝0只有一个实根；(2)判断函数g(x)＝x2－ln x2＋3(x>1)是否是集合M中的元素，并说明理由；(3)“对于(2)中函数g(x)定义域内的任一区间[m，n]，都存在x0∈[m，n]，使得g(n)－g(m)＝(n－m)g′(x0)”，请利用函数y＝ln x的图像说明这一结论．解析(1)令h(x)＝f(x)－x，则h′(x)＝f′(x)－1<0，即h(x)在区间(1，＋∞)上单调递减．所以，使h(x)＝0，即f(x)－x＝0成立的x至多有一解．又由题设①知方程f(x)－x ＝0有实数根， 所以，方程f(x)－x ＝0只有一个实数根．(2)由题意知，g ′(x)＝12－12x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12⊂(0,1)，满足条件．令F(x)＝g(x)－x ＝－x 2－ln x2＋3(x>1)，则F(e )＝－e 2＋52>0，F(e 2)＝－e22＋2<0.又F(x)在区间[e ，e 2]上连续，所以F(x)在[e ，e 2]上存在零点x 0，即方程g(x)－x ＝0有实数根x 0∈[e ，e 2]，故g(x)满足条件①.综上可知，g(x)∈M.(3)由(1)知：g(n)－g(m)＝12(n －m)－12(ln n －ln m)， 而(n －m)g ′(x 0)＝(n －m)(12－12x 0)，所以原式等价于ln n －ln m n －m ＝1x 0.该等式说明函数y ＝ln x(x>1)上任意两点A(m ，ln m)和B(n ，ln n)的连线段AB(如图所示)，在曲线y ＝ln x(m ≤x ≤n)上都一定存在一点P(x 0，ln x 0)，使得该点处的切线平行于AB ，根据y ＝ln x(x>1)图像知该等式一定成立．8．(2013·郑州质检)已知函数f(x)＝x －ln (x ＋a)在x ＝1处取得极值． (1)求实数a 的值；(2)若关于x 的方程f(x)＋2x ＝x 2＋b 在[12，2]上恰有两个不相等的实数根，求实数b 的取值范围．答案 (1)0 (2)54＋ln 2≤b<2 解析 (1)对f(x)求导，得f ′(x)＝1－1x ＋a. 由题意，得f ′(1)＝0，即1－11＋a＝0，∴a ＝0. (2)由(1)得f(x)＝x －ln x.∴f(x)＋2x ＝x 2＋b ，即x 2－3x ＋ln x ＋b ＝0.设g(x)＝x 2－3x ＋ln x ＋b(x>0)，则g ′(x)＝2x －3＋1x ＝2x 2－3x ＋1x ＝(2x －1)(x －1)x.令g ′(x)＝0，得x 1＝12，x 2＝1.当x 变化时，g ′(x)、g(x)的变化情况如下表：又g(12)＝b －54－ln 2，g(2)＝b －2＋ln 2.∵方程f(x)＋2x ＝x 2＋b 在[12，2]上恰有两个不相等的实数根， ∴⎩⎪⎨⎪⎧g (12)≥0，g (1)<0，g (2)≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧b －54－ln 2≥0，b －2<0，b －2＋ln 2≥0，解得54＋ln 2≤b<2.9．已知函数f(x)＝ax 2－2x ＋1，g(x)＝ln (x ＋1)． (1)求函数y ＝g(x)－x 在[0,1]上的最小值；(2)当a ≥12时，函数t(x)＝f(x)＋g(x)的图像记为曲线C ，曲线C 在点(0,1)处的切线为l ，是否存在a 使l 与曲线C 有且仅有一个公共点？若存在，求出所有a 的值；否则，说明理由．(3)当x ≥0时，g(x)≥－12f(x)＋12恒成立，求a 的取值范围．解析 (1)y ′＝1x ＋1－1，因为0≤x ≤1，所以y ′≤0. 所以y ＝g(x)－x 在[0,1]上单调递减． 当x ＝1时，y 取最小值为ln 2－1. 故y ＝g(x)－x 在[0,1]的最小值为ln 2－1.(2)函数t(x)的定义域为(－1，＋∞)，t ′(x)＝2ax －2＋1x ＋1，t ′(0)＝－1.所以在切点P(0,1)处的切线l 的斜率为－1. 因此切线方程为y ＝－x ＋1.因此切线l 与曲线C 有唯一的公共点，所以，方程ax 2－x ＋ln (x ＋1)＝0有且只有一个实数解．显然，x ＝0是方程的一个解．令φ(x)＝ax 2－x ＋ln (x ＋1)，则φ′(x)＝2ax －1＋1x ＋1＝2ax ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12a －1x ＋1.当a ＝12时，φ′(x)＝x 2x ＋1≥0，于是，φ(x)在(－1，＋∞)上单调递增，即x＝0是方程唯一的实数解．当a>12时，由φ′(x)＝0，得x 1＝0，x 2＝12a －1∈(－1,0)． 在区间(－1，x 2)上，φ′(x)>0，在区间(x 2,0)上，φ′(x)<0. 所以，函数φ(x)在x 2处有极大值φ(x 2)，且φ(x 2)>φ(0)＝0.而当x →－1时，φ(x)→－∞，因此，φ(x)＝0在(－1，x 2)内也有一个解，矛盾．综上，得a ＝12.(3)令h(x)＝g(x)－⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12f (x )＋12＝ln (x ＋1)＋12ax 2－x ，h ′(x)＝1x ＋1＋ax －1＝ax 2＋(a －1)x x ＋1＝x[ax ＋(a －1)]x ＋1(x>－1)．若a ＝0，当x ∈[0，＋∞)时，h ′(x)≤0，则h(x)在[0，＋∞)上单调递减，故h(x)≤h(0)＝0，不合题意；若a ≥1，当x ∈[0，＋∞)时，h ′(x)≥0，则h(x)在[0，＋∞)上单调递增，故h(x)≥h(0)＝0，符合题意；若0<a<1，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，1－a a 时，h ′(x)≤0，则h(x)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，1－a a 单调递减，故h(1－aa )<h(0)＝0，不合题意；若a<0，当x ∈[0，＋∞)时，h ′(x)≤0，则h(x)在[0，＋∞)单调递减，故h(1)<h(0)＝0，不合题意．综上：a的取值范围是a≥1.。
2014高考调研理科数学课本讲解-3-2-导数的应用(一)——单调性
课前自助餐
授人以渔
自助餐
课时作业
高考调研
新课标版 ·数学（理）
【解析】 (1)f(x)的定义域为{x|x>0}． f′(x)＝ax－2xa22＋1(x>0)． 根据题意，有 f′(1)＝－2. 所以 2a2－a－3＝0， 解得 a＝－1 或 a＝32.
课前自助餐
授人以渔
自助餐
课时作业
高考调研
新课标版 ·数学（理）
课前自助餐
授人以渔
自助餐
课时作业
高考调研
新课标版 ·数学（理）
(3)f′(x)＝2＋cosxc2o＋sxc－ossxin2x－sinx＝22c＋oscxo＋sx12. 当 2kπ－23π<x<2kπ＋23π(k∈Z)时，cosx>－12，即 f′(x)>0. 当 2kπ＋23π<x<2kπ＋43π(k∈Z)时，cosx<－12，即 f′(x)<0. 因此 f(x)在区间(2kπ－23π，2kπ＋23π)(k∈Z)上是增函数， f(x)在区间(2kπ＋23π，2kπ＋43π)(k∈Z)上是减函数．
探究 2 求含参数的函数单调性关键在于解含参数不等式 时要合理分类讨论．
课前自助餐
授人以渔
自助餐
课时作业
高考调研
新课标版 ·数学（理）
思考题 2 已知函数 f(x)＝alnx＋2xa2＋x(a≠0)． (1)若曲线 y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与直线 x－2y＝0 垂 直，求实数 a 的值； (2)讨论函数 f(x)的单调性； (3)当 a∈(－∞，0)时，记函数 f(x)的最小值为 g(a)，求证： g(a)≤12e2.
课前自助餐
授人以渔
2014年高考数学总复习 几何证明选讲配套课时作业 理 新人教A版选修4-1
【与名师对话】2014年高考数学总复习 几何证明选讲配套课时作业 理 新人教A 版选修4-1一、选择题1．如图，E 是▱ABCD 边BC 上一点，BE EC ＝4，AE 交BD 于F ，BF FD等于 ( )A.45B.49C.59D.410解析：在AD 上取点G ，使AG ：GD ＝1：4，连接CG 交BD 于H ，则CG ∥AE ，∴BF FH ＝BE CE ＝4，DH FH ＝DG GA ＝4，∴BF FD ＝45. 答案：A2．如图，⊙O 与⊙O ′相交于A 和B ，PQ 切⊙O 于P ，交⊙O ′于Q 和M ，交AB 的延长线于N ，MN ＝3，NQ ＝15，则PN ＝( )A．3 B.15C．3 2 D．3 5解析：由切割线定理知：PN2＝NB·NA＝MN·NQ＝3×15＝45，∴PN＝3 5.答案：D3．AB是半圆O的直径，C、D是半圆上的两点，半圆O的切线PC交AB的延长线于点P，∠PCB＝25°，则∠ADC为( )A．105°B．115°C．120°D．125°解析：∵PC是⊙O的切线，∴∠BDC＝∠PCB，又∠ADB＝∠ACB，∴∠ADC＝∠ACB＋∠PCB＝115°.答案：B4．如图所示，已知圆O的直径AB＝6，C为圆O上一点，且BC＝2，过点B的圆O 的切线交AC延长线于点D，则DA等于( )A．1 B．2C. 6 D．3解析：∵AB为直径，∴∠ACB＝90°又AB＝6，BC＝2，得AC＝2.BD是圆O的切线，则AB⊥BD，由射影定理得BC2＝AC·CD.故CD＝1，所以AD＝2＋1＝3.故选D.答案：D5．如图，AB是⊙O的直径，P是AB延长线上的一点，过P作⊙O的切线，切点为C，PC＝23，若∠CAP＝30°，则⊙O的直径AB等于 ( )A．2 B．4C．6 D．2 3解析：连接OC，则由PC是切线知OC⊥PC.由∠CAP＝30°，知∠COP＝60°，故∠CPA＝30°.因为PC＝23，故PO＝4.设半径为r，则PB＝4－r，PA＝4＋r.由PC2＝PA·PB知12＝16－r2，∴r＝2，∴AB＝4.故选B.答案：B二、填空题6．(2012年广东)如图，圆O的半径为1，A、B、C是圆周上的三点，满足∠ABC＝30°，过点A作圆O的切线与OC的延长线交于点P，则PA＝________.解析：连接OA，由圆周角定理得∠AOC＝60°，又由切线的性质得OA⊥PA，在Rt△POA中，PA＝OA·tan∠AOC＝ 3.答案： 37．(2012年湖南)如图，过点P的直线与⊙O相交于A，B两点．若PA＝1，AB＝2，PO ＝3，则⊙O的半径等于________．解析：如图，取AB的中点C，连接OB、OC，则OC⊥AB，且CB＝1，CP＝2，OC＝OP2－CP2＝ 5.∴圆O的半径为OB＝OC2＋CB2＝ 6.答案： 68．如图，四边形ABCD 是圆O 的内接四边形，延长AB 和DC 相交于点P .若PB PA ＝12，PCPD＝13，则BCAD的值为________．解析：如图，作圆O 的切线PT ，令PB ＝t ，PA ＝2t ，PC ＝x ，PD ＝3x ，由切割线定理得：PB ·PA ＝PT 2，PC ·PD ＝PT 2，即2t 2＝3x 2，∴t 2x 2＝32，t x ＝62.又易知△PBC ∽△PDA ，∴BC AD ＝PB PD ＝t 3x ＝66. 答案：669．(2012年湖北)如图，点D 在⊙O 的弦AB 上移动，AB ＝4，连接OD ，过点D 作OD 的垂线交⊙O 于点C ，则CD 的最大值为______．解析：延长CD 交⊙O 于点E ， ∵OD ⊥CE ，∴CD ＝DE .由相交弦定理得CD 2＝AD ·BD ≤⎝⎛⎭⎪⎫AD ＋BD 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AB 22＝4，∴CD ≤2，当且仅当AD ＝BD 时，CD 取最大值2.答案：2 三、解答题10．(2013年宁夏银川月考)在△ABC 中，AB ＝AC ，过点A 的直线与其外接圆交于点P ，交BC 延长线于点D .(1)求证：PC AC ＝PD BD；(2)若AC ＝3，求AP ·AD 的值．解：(1)证明：∵∠CPD ＝∠ABC ，∠D ＝∠D ， ∴△DPC ～△DBA ，∴PC AB ＝PD BD又∵AB ＝AC ，∴PC AC ＝PD BD(2)∵∠ACD ＝∠APC ，∠CAP ＝∠CAP ，∴△APC ～△ACD ∴AP AC ＝AC AD， ∴AC 2＝AP ·AD ＝911．如图，△ABC 的角平分线AD 的延长线交它的外接圆于点E .(1)证明：△ABE ∽△ADC ；(2)若△ABC 的面积S ＝12AD ·AE ，求∠BAC 的大小．解：(1)证明：由已知条件，可得∠BAE ＝∠CAD .因为∠AEB 与∠ACB 是同弧上的圆周角，所以∠AEB ＝∠ACD ， 故△ABE ∽△ADC . (2)因为△ABE ∽△ADC ， 所以AB AE ＝AD AC， 即AB ·AC ＝AD ·AE ，又S ＝12AB ·AC sin ∠BAC ，且S ＝12AD ·AE ，故AB ·AC sin ∠BAC ＝AD ·AE ，则sin ∠BAC ＝1，又∠BAC 为三角形内角， 所以∠BAC ＝90°.12．(2012年哈三中高三月考)如图，CB 是⊙O 的直径，AP 是⊙O 的切线，AP 与CB 的延长线交于点P ，A 为切点．若PA ＝10，PB ＝5，∠BAC 的平分线AE 与BC 和⊙O 分别交于点D 、E ，求AD ·AE 的值．解：连接CE ，∵PA 2＝PB ·PC ，PA ＝10，PB ＝5， ∴PC ＝20，BC ＝15.∵PA 与⊙O 相切于点A ，∴∠PAB ＝∠ACP ，∴△PAB ∽△PCA ，∴AB AC ＝PB PA ＝12.∵BC 为⊙O 的直径，∴∠CAB ＝90°，AC 2＋AB 2＝BC 2＝225.可解得AC ＝65，AB ＝3 5.又∵AE 平分∠BAC ，∴∠CAE ＝∠EAB ， 又∵∠ABC ＝∠E ，∴△ACE ∽△ADB ， ∴AB AE ＝AD ACAD·AE＝AB·AC＝35×65＝90.[热点预测]13．如图，AB是⊙O的弦，C、F是⊙O上的点，OC垂直于弦AB，过F点作⊙O的切线交AB的延长线于D，连接CF交AB于E点．(1)求证：DE2＝DB·DA；(2)若BE＝1，DE＝2AE，求DF的长．解：(1)证明：连接OF，∵OC＝OF，∴∠OCF＝∠OFC.∵DF是⊙O的切线，∴OF⊥DF，又∵OC垂直于弦AB，∴∠AEC＝∠DFE，∴∠DEF＝∠DFE，∴DE＝DF.∵DF是⊙O的切线，∴DF2＝DB·DA，∴DE2＝DB·DA.(2)设AE＝x，则DE＝2x，DF＝2x. ∵DF2＝DB·DA，∴(2x)2＝3x(2x－1)，解得2x＝3，∴DF的长为3.。
第1 2014高考调研理科数学课本讲解_10-2_1_排列组合的综合应用_专题研究
4 个 点 的 不 同 取 法 数 为
(C2 6－
自助餐
课时作业
高考调研
新课标版 ·数学（理）
第 三 类 ， 恰 有 的 中 点 ， 这 时 的 中 点 ， 这 时
1个 点 在 α上 ， 可 分 两 种 情 形 ： 4个 点 的 不 同 取 法 数 为 4个 点 的 不 同 取 法 数 为
①该 点 是 棱
【解析】 依 题 意 ， 含 有 数 字
B．24 D．36
0 1 2 , ， 且 有 两 个 相 同 数 字 的
四位数， 含 有 如 下 三 种 情 形 ： 两 个 0， 或 两 个 1， 或 两 个 2.
自助餐
课时作业
高考调研
新课标版 ·数学（理）
含 两 个 0的 情 形 有 个 ； 含 两 个 含 两 个 1， 1的 情 形 有
自助餐
课时作业
高考调研
新课标版 ·数学（理）
【 解 析 】 线 ， 所 以 这
①确 定 一 条 直 线 需 要 两 个 点 ， 因 为 有 9个 点 所 确 定 直 线 的 条 数 为
4个 点 共
2 C2 － C 1 . 9 4＋1＝3
②确 定 一 个 三 角 形 定 三 角 形 的 个 数 为
需 要 三 个 不 共 线 的 点 ， 所 以 这
6 种取法；②4 个 点 所 在 的 不 共 面 的 棱 不 止 两 条 ， 这 时 ， 必 然 都 是 棱 的 中 点 ， 它 们 所 在 的 条 边 ， 故 有 －4 ( C 3种 不 同 取 法 ． 所 以 4条 棱 必 然 是 空 间 四 边 形 的 四 符 合 题 意 的 不 同 取 法 种 数 为
2本 ；
自助餐
课时作业
2014高考调研理科数学课时作业讲解_课时作业67
课时作业(六十七)1．与直线4x －y ＋3＝0平行的抛物线y ＝2x 2的切线方程是 ( )A ．4x －y ＋1＝0B ．4x －y －1＝0C ．4x －y －2＝0D ．4x －y ＋2＝0答案 C解析 ∵y ′＝4x ＝4，∴x ＝1，y ＝2，过(1,2)斜率为4的直线为y －2＝4(x －1)，即4x －y －2＝0.2．(2013·石家庄质检)已知抛物线y 2＝2px ，直线l 经过其焦点且与x 轴垂直，并交抛物线于A 、B 两点，若|AB |＝10，P 为抛物线的准线上一点，则△ABP 的面积为( )A ．20B ．25C ．30D ．50答案 B解析 本题主要考查直线与抛物线的位置关系、通径的概念、抛物线的简单几何性质．属于基础知识、基本运算的考查．抛物线y 2＝2px ，直线l 经过其焦点且与x 轴垂直，并交抛物线于A 、B 两点，则|AB |＝2p ，|AB |＝10，所以抛物线方程为y 2＝10x ，P 为抛物线的准线上一点，P 到直线AB 的距离为p ＝5，则△ABP 的面积为12×10×5＝25.3．设O 为坐标原点，F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，A 为抛物线上一点，若OA →·AF→＝－4，则点A 的坐标为( )A ．(2，±22)B ．(1，±2)C ．(1,2)D ．(2,22)答案 B解析 设A (x 0，y 0)，F (1,0)，OA →＝(x 0，y 0)， AF →＝(1－x 0，－y 0)，OA →·AF →＝x 0(1－x 0)－y 20＝－4.∵y 20＝4x 0，∴x 0－x 20－4x 0＋4＝0⇒x 20＋3x 0－4＝0，x 1＝1，x 2＝－4(舍)．∴x 0＝1，y 0＝±2.4．已知坐标原点为O ，A 、B 为抛物线y 2＝4x 上异于O 的两点，且OA →·OB →＝0，则|AB →|的最小值为( )A ．4B ．8C ．16D ．64答案 B解析 由于OA →·OB →＝0，设直线OA 、OB 的方程为y ＝kx 、y ＝－1k x ，分别与抛物线方程联立求得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫4k 2，4k ，B (4k 2，－4k )，|AB |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4k 2－4k 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫4k ＋4k 2＝4k 4＋1k 4＋k 2＋1k 2≥8，故选B.5．已知抛物线C 的方程为x 2＝12y ，过点A (0，－1)和点(t,3)的直线与抛物线C 没有公共点，则实数t 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)∪(1，＋∞) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－22∪⎝ ⎛⎭⎪⎫22，＋∞C ．(－∞，－22)∪(22，＋∞)D ．(－∞，－2)∪(2，＋∞) 答案 D解析 如下图，设过A 的直线方程为y ＝kx －1，与抛物线方程联立得x 2－12kx ＋12＝0，Δ＝14k 2－2＝0，k ＝±22，求得过点A 的抛物线的切线与y ＝3的交点为(±2，3)，则当过点A (0，－1)和点B (t,3)的直线与抛物线C 没有公共点，实数t 的取值范围是(－∞，－2)∪(2，＋∞)，故选D.6．长为l (l <1)的线段AB 的两个端点在抛物线y 2＝x 上滑动，则线段AB 中点M 到y 轴距离的最小值是( )A.l 2B.l 22C.l 4D.l 24答案 D解析 由l <2p ＝1，则当AB ⊥x 轴时，x 0取得最小值l 28p ，即l 24.故选D. 7．直线l 经过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F ，且与抛物线交于P 、Q 两点，由P 、Q 分别向准线引垂线PR 、QS ，垂足分别为R 、S .若|PF |＝a ，|QF |＝b ，M 为RS 的中点，则|MF |的值为( )A ．a ＋b B.12(a ＋b ) C ．ab D.ab答案D解析 根据抛物线的定义，有|PF |＝|PR |，|QF |＝|QS |.易知△RFS 为直角三角形，故要求的是直角三角形斜边上的中线长．在直角梯形PRSQ 中，容易求得 |RS |＝2ab . 故|FM |＝12|RS |＝ab .8．已知点P 在抛物线y 2＝4x 上，那么点P 到点Q (2，－1)的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，－1B.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，1 C ．(1, 2) D ．(1，－2)答案 A解析 焦点F (1,0)，准线为l ：x ＝－1.过Q 点作直线l 的垂线交抛物线于P 点，交准线l 于M 点，则|QP |＋|PF |＝|QP |＋|PM |＝|QM |＝3为所求的最小值，此时P ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，－1.9．设F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，A 、B 、C 为该抛物线上三点，若F A →＋FB →＋FC →＝0，则|F A →|＋|FB →|＋|FC →|＝( )A ．9B ．6C ．4D ．3答案 B解析 焦点F 坐标为(1,0)，设A 、B 、C 坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)．∴F A →＝(x 1－1，y 1)，FB →＝(x 2－1，y 2)，FC →＝(x 3－1，y 3)． ∵F A →＋FB →＋FC →＝0， ∴x 1－1＋x 2－1＋x 3－1＝0. ∴x 1＋x 2＋x 3＝3. ∴|F A →|＋|FB →|＋|FC →|＝(x 1－1)2＋y 21＋(x 2－1)2＋y 22＋(x 3－1)2＋y 23＝(x 1＋1)2＋(x 2＋1)2＋(x 3＋1)2 ＝x 1＋1＋x 2＋1＋x 3＋1＝6.10．设O 是坐标原点，F 是抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，A 是抛物线上的一点，F A →与x 轴正向的夹角为60°，则|OA →|为( )A.21p4 B.21p 2 C.236pD.13p 36答案 B解析 设A (x 0，y 0)(y 0>0)， 则过A 作AB ⊥x 轴于B . 则|BF |＝x 0－p 2，|AF |＝x 0＋p2. 又∵∠AFB ＝60°，∴|AF |＝2|BF |. ∴x 0＝32p ，y 0＝3p . ∴|OA |＝x 20＋y 20＝21p 2.11．(2012·陕西)右图是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2米，水面宽4米．水位下降1米后，水面宽________米．答案 2 6解析 设抛物线的方程为x 2＝－2py ，则点(2，－2)在抛物线上，代入可得p ＝1，所以x 2＝－2y .当y ＝－3时，x 2＝6.所以水面宽为26米．12．已知抛物线C ：y 2＝x ，过点A (x 0,0)(x 0≥18)作直线l 交抛物线于P ，Q (点P 在第一象限)．(1)当过抛物线C 的焦点，且弦长|PQ |＝2时，求直线l 的方程；(2)设点Q 关于x 轴的对称点为M ，直线PM 交x 轴于点B ，且BP ⊥BQ .求证：点B 的坐标是(－x 0,0)，并求点B 到直线l 的距离d 的取值范围．解析 (1)由抛物线C ：y 2＝x 得抛物线的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫14，0，设直线l 的方程为x ＝ny ＋14，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝x ，x ＝ny ＋14，得y 2－ny －14＝0.所以Δ＝n 2＋1>0，y 1＋y 2＝n . 因为x 1＝ny 1＋14，x 2＝ny 2＋14， 所以|PQ |＝x 1＋14＋x 2＋14＝x 1＋x 2＋12 ＝n (y 1＋y 2)＋1＝2. 所以n 2＝1，即n ＝±1.所以直线l 的方程为x －y －14＝0或x ＋y －14＝0.(2)设l ：x ＝my ＋x 0(m ≠1)，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则M (x 2，－y 2)． 由⎩⎨⎧x ＝my ＋x 0，y 2＝x ，得y 2－my －x 0＝0. 因为x 0≥18，所以Δ＝m 2＋4x 0>0，y 1＋y 2＝m ，y 1y 2＝－x 0. 设B (x B,0)，则BM →＝(x 2－x B ，－y 2)，BP →＝(x 1－x B ，y 1)． 由题意知，BM →∥BP →，∴x 2y 1－y 1x B ＝－x 1y 2＋x B y 2.即(y 1＋y 2)x B ＝x 1y 2＋x 2y 1＝y 21y 2＋y 22y 1＝(y 1＋y 2)·y 1y 2.显然y 1＋y 2＝m ≠0，∴x B ＝y 1y 2＝－x 0. ∴B (－x 0,0)．由题意知，△BMQ 为等腰直角三角形，∴k PB ＝1， 即y 1＋y 2x 1－x 2＝1，即y 1＋y 2y 21－y 22＝1. ∴y 1－y 2＝1.∴(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝1. ∴m 2＋4x 0＝1.∴m 2＝1－4x 0>0. ∴x 0<14.∵x 0≥18，∴18≤x 0<14.∴d ＝2x 0m 2＋1＝2x 02－4x 0＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 02－2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 0＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 0－12－1∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫612，12. 即d 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫612，12.13．在四边形ABCD 中，已知A (0,0)，D (0,4)，点B 在x 轴上，BC ∥AD ，且对角线AC ⊥BD .(1)求点C 的轨迹方程；(2)若点P 是直线y ＝2x －5上任意一点，过点P 作点C的轨迹的两切线PE 、PF ，E 、F 为切点，M 为EF 的中点．求证：PM ⊥x 轴；(3)在(2)的条件下，直线EF 是否恒过一定点？若是，请求出这个定点的坐标；若不是，请说明理由．解析 (1)如右图，设点C 的坐标为(x ，y )(x ≠0，y ≠0)，则B (x,0)，AC →＝(x ，y )，BD →＝(－x,4)，∵AC →⊥BD →，∴x ·(－x )＋y ·4＝0，即y ＝14x 2(x ≠0)．∴所求的轨迹是除去顶点的抛物线． (2)对函数y ＝14x 2求导，得y ′＝12x .设切点为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0，14x 20，则过该切点的切线的斜率是12x 0. 该切线方程是y －14x 20＝12x 0(x －x 0)． 又设点P 的坐标为(t,2t －5)，∵切线过点P ，∴有2t －5－14x 20＝12x 0(t －x 0)，化简得x 20－2tx 0＋8t －20＝0. 设E 、F 两点的坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1，14x 21，⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，14x 22，则x 1、x 2为方程x 2－2tx ＋8t －20＝0的两根，x 1＋x 2＝2t ，x 1x 2＝8t －20. ∴x M ＝x 1＋x 22＝t .因此，当t ＝0时，直线PM 与y 轴重合，当t ≠0时，直线PM 与y 轴平行．因此可证：PM ⊥x 轴．(3)∵y M ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫14x 21＋14x 22＝18[(x 1＋x 2)2－2x 1x 2]＝18[4t 2－2(8t －20)]＝12t 2－2t ＋5， ∴点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，12t 2－2t ＋5.又∵k EF ＝14x 21－14x 22x 1－x 2＝14(x 1＋x 2)＝14·2t ＝12t ，∴直线EF 的方程为y －⎝ ⎛⎭⎪⎫12t 2－2t ＋5＝12t (x －t )，即t (x －4)＋10－2y ＝0.(*)∵当x ＝4，y ＝5时，方程(*)恒成立．∴对任意实数t ，直线AB 恒过定点，定点坐标为(4,5)．14．(2013·江南十校联考)已知椭圆C 1：x 24＋y 2b 2＝1(0<b <2)的离心率为32，抛物线C 2：x 2＝2py (p >0)的焦点是椭圆的顶点．(1)求抛物线C 2的方程；(2)过点M (－1,0)的直线l 与抛物线C 2交于E ，F 两点，过E ，F 作抛物线C 2的切线l 1，l 2，当l 1⊥l 2时，求直线l 的方程．解析 (1)∵椭圆C 1的长半轴长a ＝2，半焦距c ＝4－b 2，由e ＝ca ＝4－b 22＝32，得b 2＝1.∴椭圆C 1的上顶点为(0,1)． ∴抛物线C 2的焦点为(0,1)． ∴抛物线C 2的方程为x 2＝4y .(2)由已知可得直线l 的斜率必存在，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)，E (x 1，y 1)，F (x 2，y 2)．由x 2＝4y ，得y ＝14x 2.∴y ′＝12x .∴切线l 1，l 2的斜率分别为12x 1，12x 2. 当l 1⊥l 2时，12x 1·12x 2＝－1，即x 1x 2＝－4. 由⎩⎨⎧y ＝k (x ＋1)，x 2＝4y ，得x 2－4kx －4k ＝0. ∴Δ＝(－4k )2－4×(－4k )>0，解得k <－1或k >0.① 由x 1x 2＝－4k ＝－4，得k ＝1，满足①式， ∴直线l 的方程为x －y ＋1＝0.1．过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线与抛物线交于A 、B 两点，抛物线准线与x 轴交于C 点，若∠CBF ＝90°，则|AF |－|BF |的值为( )A.p2 B ．p C.3p 2D ．2p答案 D解析 如图，设B (x 1，y B )在直角三角形CBF 中利用射影定理得y 2B ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋p 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2－x 1＝p 24－x 21＝2px 1，x 1＝5－22p ，|BF |＝5－12p ，又直角三角形CBF 与直角三角形ADF 相似，∴|AF |p ＝|DF ||BF |＝|AF |－p|BF |，|AF |＝5＋32p ，则|AF |－|BF |的值为2p ，故选D.2．(2013·衡水调研卷)设斜率为2的直线l 过抛物线y 2＝ax (a ≠0)的焦点F ，且和y 轴交于点A ，若△OAF (O 为坐标原点)的面积为4，则抛物线的方程为( )A ．y 2＝±4xB ．y 2＝±8xC ．y 2＝4xD ．y 2＝8x答案 B解析 由题可知抛物线焦点坐标为(a4，0)，于是过焦点且斜率为2的直线方程为y ＝2(x －a 4)，令x ＝0，可得A 点坐标为(0，－a 2)，所以S △OAF ＝12·|a |4·|a |2＝4.∴a ＝±8，故选B.3．(2013·粤西北九校联考)已知抛物线的一条过焦点F 的弦PQ ，点R 在直线PQ 上，且满足OR →＝12(OP →＋OQ →)，R 在抛物线准线上的射影为S ，设α、β是△PQS 中的两个锐角，则下列四个式子中不一定正确的是( )A ．tan αtan β＝1B ．sin α＋sin β≤ 2C ．cos α＋cos β>1D ．|tan(α－β)|>tan α＋β2 答案 D解析 由题意∠PSQ ＝π2，α＋β＝π2，所以 A.tan αtan β＝1.B.sin α＋sin β≤ 2.C.cos α＋cos β>1都正确．4．(2012·山东)在平面直角坐标系xOy 中，F 是抛物线C ：x 2＝2py (p >0)的焦点，M 是抛物线C 上位于第一象限内的任意一点，过M ，F ，O 三点的圆的圆心为Q ，点Q 到抛物线C 的准线的距离为34.(1)求抛物线C 的方程；(2)是否存在点M ，使得直线MQ 与抛物线C 相切于点M ？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由；(3)若点M 的横坐标为2，直线l ：y ＝kx ＋14与抛物线C 有两个不同的交点A ，B ，l 与圆Q 有两个不同的交点D ，E ，求当12≤k ≤2时，|AB |2＋|DE |2的最小值．解析 (1)依题意知F (0，p 2)，圆心Q 在线段OF 的垂直平分线y ＝p 4上，因抛物线C 的准线方程为y ＝－p 2，所以3p 4＝34，即p ＝1，因此抛物线C 的方程为x 2＝2y .(2)假设存在点M (x 0，x 202)(x 0>0)满足条件，抛物线C 在点M 处的切线斜率为y ′|x ＝x 0＝(x 22)′|x ＝x 0＝x 0，所以直线MQ 的方程为y －x 202＝x 0(x －x 0)．令y ＝14，得x Q ＝x 02＋14x 0. 所以Q (x 02＋14x 0，14)． 又|QM |＝|OQ |，故(14x 0－x 02)2＋(14－x 202)2＝(14x 0＋x 02)2＋116. 因此(14－x 202)2＝916，又x 0>0，所以x 0＝2，此时M (2，1)．故存在点M (2，1)，使得直线MQ 与抛物线C 相切于点M .(3)当x 0＝2时，由(2)得Q (528，14)，⊙Q 的半径为r ＝(528)2＋(14)2＝368，所以⊙Q 的方程为(x －528)2＋(y －14)2＝2732.由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝12x 2，y ＝kx ＋14，整理得2x 2－4kx －1＝0.设A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，由于Δ1＝16k 2＋8>0，x 1＋x 2＝2k ，x 1x 2＝－12， 所以|AB |2＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝(1＋k 2)(4k 2＋2)．由⎩⎪⎨⎪⎧ (x －528)2＋(y －14)2＝2732，y ＝kx ＋14，整理得(1＋k 2)x 2－524x －116＝0.设D ，E 两点的坐标分别为(x 3，y 3)，(x 4，y 4)，由于Δ2＝k 24＋278>0，x 3＋x 4＝524(1＋k 2)， x 3x 4＝－116(1＋k 2). 所以|DE |2＝(1＋k 2)[(x 3＋x 4)2－4x 3x 4]＝258(1＋k 2)＋14. 因此|AB |2＋|DE |2＝(1＋k 2)(4k 2＋2)＋258(1＋k 2)＋14. 令1＋k 2＝t ，由于12≤k ≤2，则54≤t ≤5，所以|AB |2＋|DE |2＝t (4t －2)＋258t ＋14＝4t 2－2t ＋258t ＋14. 设g (t )＝4t 2－2t ＋258t ＋14，t ∈[54，5]，因为g ′(t )＝8t －2－258t 2，所以当t ∈[54，5]时，g ′(t )≥g ′(54)＝6，即函数g (t )在t ∈[54，5]上是增函数，所以当t ＝54时，g (t )取到最小值132.因此当k ＝12时，|AB |2＋|DE |2取到最小值132.5．已知动圆C 过点A (1,0)，且与直线l 0：x ＝－1相切．(1)求动圆圆心C 的轨迹D 的方程；(2)设圆心C 的轨迹在x ≤4的部分为曲线E ，过点P (0,2)的直线l 与曲线E交于A ，B 两个不同的点，且P A →＝λPB →(λ>1)，试求λ的取值范围．解析 (1)设动圆圆心C 的坐标为(x ，y )，圆心C 到直线l 0的距离为d ，由题意可知|CA |＝d ，故由抛物线的定义可知动圆圆心C 的轨迹D 的方程为y 2＝4x .(2)易知曲线E 的方程为y 2＝4x (x ≤4)，显然当直线l 的斜率为零或不存在时不符合题意，故可设直线l 的方程为y ＝kx ＋2(k ≠0)．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由P A →＝λPB →(λ>1)知x 1＝λx 2，且0<x 2≤4,0<x 1≤4.由⎩⎨⎧y 2＝4x ，y ＝kx ＋2， 消去y ，得k 2x 2＋4(k －1)x ＋4＝0, (*)则方程(*)在[0,4]内有两个不相等的实数根．记f (x )＝k 2x 2＋4(k －1)x ＋4，则⎩⎪⎨⎪⎧ Δ＝16(k －1)2－16k 2>0，f (0)＝4>0，f (4)＝4(4k 2＋4k －3)>0，0<2(1－k )k 2<4，从而可得k <－32.由根与系数的关系可知x 1＋x 2＝4(1－k )k 2，x 1x 2＝4k 2.又x 1＝λx 2，所以(1＋λ)2λ＝4(1－k )2k 2＝4(1k －1)2.而k <－32，所以－23<1k <0，故可得1<(1k －1)2<259. 从而可得4<(1＋λ)2λ<1009，解得19<λ<1或1<λ<9.又λ>1，所以λ的取值范围是(1,9)．6．已知A 、B 两点在抛物线C ：x 2＝4y 上，点M (0,4)，满足MA →＝λBM →. (1)求证：OA →⊥OB →；(2)设抛物线C 过A 、B 两点的切线交于点N .(ⅰ)求证：点N 在一定直线上；(ⅱ)设4≤λ≤9，求直线MN 在x 轴上截距的取值范围．解析 (1)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，l AB ：y ＝kx ＋4，与x 2＝4y 联立得x 2－4kx －16＝0，Δ＝(－4k )2－4(－16)＝16k 2＋64>0，x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－16.OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋(kx 1＋4)(kx 2＋4)＝(1＋k 2)x 1x 2＋4k (x 1＋x 2)＋16＝(1＋k 2)(－16)＋4k (4k )＋16＝0，∴OA →⊥OB →.(2)(ⅰ)过点A 的切线y ＝12x 1(x －x 1)＋y 1＝12x 1x －14x 21，①过点B 的切线y ＝12x 2x －14x 22，②联立①②得点N ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，－4. 所以点N 在定直线y ＝－4上．(ⅱ)∵MA →＝λBM →，∴(x 1，y 1－4)＝λ(－x 2,4－y 2)．联立⎩⎨⎧ x 1＝－λx 2，x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－16.可得k 2＝(1－λ)2λ＝λ2－2λ＋1λ＝λ＋1λ－2,4≤λ≤9.∴94≤k 2≤649.直线MN ：y ＝－82k x ＋4在x 轴的截距为k ，∴直线MN 在x 轴上截距的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－83，－32∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，83.7．(2012·课标全国)设抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点为F，准线为l，A为C 上一点，已知以F为圆心，F A为半径的圆F交l于B，D两点．(1)若∠BFD＝90°，△ABD的面积为42，求p的值及圆F的方程；(2)若A，B，F三点在同一直线m上，直线n与m平行，且n与C只有一个公共点，求坐标原点到m，n距离的比值．解析(1)由已知可得△BFD为等腰直角三角形，|BD|＝2p，圆F的半径|F A|＝2p.由抛物线定义可知A到l的距离d＝|F A|＝2p.因为△ABD的面积为42，所以12|BD|·d＝42，即12·2p·2p＝42，解得p＝－2(舍去)或p＝2.所以F(0,1)，圆F的方程为x2＋(y－1)2＝8.(2)因为A，B，F三点在同一直线m上，所以AB为圆F的直径，∠ADB＝90°.由抛物线定义知|AD|＝|F A|＝12|AB|，所以∠ABD＝30°，m的斜率为33或－33.当m的斜率为33时，由已知可设n：y＝33x＋b，代入x2＝2py得x2－233px－2pb＝0.由于n与C只有一个公共点，故Δ＝43p2＋8pb＝0，解得b＝－p6.因为m的纵截距b1＝p2，|b1||b|＝3，所以坐标原点到m，n距离的比值为3.当m的斜率为－33时，由图形对称性可知，坐标原点到m，n距离的比值为3.8．(2013·孝感统考)如图，曲线E是以原点O为中心，F1，F2为焦点的椭圆的一部分．曲线W是以O为顶点，F2为焦点的抛物线的一部分，A是曲线E和W的交点且∠AF2F1为钝角，若|AF1|＝72，|AF2|＝52.(1)求曲线E和W的方程；(2)设点C是W上一点，若|CF1|＝2|CF2|，求△CF1F2的面积．解析(1)设曲线E的方程为x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)，则2a＝|AF1|＋|AF2|＝72＋52＝6，解得a＝3.设A(x0，y0)，F1(－c,0)，F2(c,0)，则(x0＋c)2＋y20＝(72)2，(x－c)2＋y20＝(52)2，两式相减得x0c＝3 2.由抛物线的定义可知|AF2|＝x0＋c＝5 2，则c＝1，x0＝32或x0＝1，c＝32.因为∠AF2F1为钝角，所以x0＝1，c＝32不合题意，舍去．当c＝1时，b＝22，所以曲线E的方程为x29＋y28＝1(－3≤x≤32)，曲线W的方程为y2＝4x(0≤x≤3 2)．(2)过点F1作直线l垂直于x轴，过点C作CC1⊥l于点C1，依题意知|CC1|＝|CF2|.在Rt△CC1F1中，|CF1|＝2|CF2|＝2|CC1|，所以∠C1CF1＝45°，所以∠CF1F2＝∠C1CF1＝45°.在△CF1F2中，设|CF2|＝r，则|CF1|＝2r，|F1F2|＝2.由余弦定理得22＋(2r)2－2×2×2r cos45°＝r2，解得r＝2，所以S △CF 1F 2＝12|F 1F 2|·|CF 1|sin45°＝12×2×22sin45°＝2.。
2014高考调研理科数学课时作业讲解_课时作业58
课时作业(五十八)1．过点M (－2，m )，N (m,4)的直线的斜率等于1，则m 的值为 ( )A ．1B ．4C ．1或3D ．1或4答案 A解析 ∵k MN ＝m －4－2－m＝1，∴m ＝1.2．直线l 1，l 2关于x 轴对称，l 1的斜率是－7，则l 2的斜率是 ( )A.7 B ．－77 C.77 D ．－7答案 A解析 画出图形，根据对称性分析两直线的倾斜角之间的关系，再判断其斜率之间的关系．如图所示，显然直线l 2的斜率为7.3．若ab <0，则过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－1b 与Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，0的直线PQ 的倾斜角的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π，－π2 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0 答案 B解析 k PQ ＝－1b －00－1a＝a b <0，又倾斜角的取值范围为[0，π)，故直线PQ 的倾斜角的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π.4．已知直线l 的倾斜角为α，且sin α＋cos α＝15，则直线l 的斜率是( ) A ．－43 B ．－34 C ．－43或－34D ．±43答案 A解析 ∵α为倾斜角，∴0≤α＜π. ∵sin α＋cos α＝15，∴sin α＝45，cos α＝－35. ∴tan α＝－43.5．两直线x m －y n ＝1与x n －ym ＝1的图像可能是图中的哪一个()答案 B6．若直线(2m 2＋m －3)x ＋(m 2－m )y ＝4m －1在x 轴上的截距为1，则实数m 是( )A ．1B ．2C ．－12D ．2或－12答案 D解析 当2m 2＋m －3≠0时，得m ≠1且m ≠－32. 在x 轴上截距为4m －12m 2＋m －3＝1，即2m 2－3m －2＝0.∴m ＝2或m ＝－12.7．若点A (a,0)，B (0，b )，C (1，－1)(a >0，b <0)三点共线，则a －b 的最小值等于( )A ．4B ．2C ．1D ．0答案 A解析 ∵A 、B 、C 三点共线，∴k AB ＝k AC ，即b －00－a ＝－1－01－a，∴1a －1b ＝1.∴a －b ＝(a －b )(1a －1b )＝2－b a －a b ＝2＋[(－b a )＋(－ab )]≥2＋2＝4.(当a ＝－b ＝2时取等号)．8．过点M (1，－2)的直线与x 轴、y 轴分别交于P 、Q 两点，若M 恰为线段PQ 的中点，则直线PQ 的方程为( )A ．2x ＋y ＝0B ．2x －y －4＝0C ．x ＋2y ＋3＝0D ．x －2y －5＝0答案 B解析 设P (x 0,0)，Q (0，y 0)，∵M (1，－2)为线段PQ 中点， ∴x 0＝2，y 0＝－4，∴直线PQ 的方程为x 2＋y－4＝1.即2x －y －4＝0.9．经过点P (1,4)的直线在两坐标轴上的截距都是正的，且截距之和最小，则直线的方程为( )A ．x ＋2y －6＝0B ．2x ＋y －6＝0C ．x －2y ＋7＝0D ．x －2y －7＝0答案 B解析 方法一 直线过P (1,4)，代入，排除A 、D ，又在两坐标轴上的截距为正，排除C ，故选B.方法二 设方程为x a ＋y b ＝1，将(1,4)代入得1a ＋4b ＝1. a ＋b ＝(a ＋b )(1a ＋4b )＝5＋(b a ＋4ab )≥9，当且仅当b＝2a，即a＝3，b＝6时，截距之和最小．∴直线方程为x3＋y6＝1，即2x＋y－6＝0.10.已知直线l1，l2的方程分别为x＋ay＋b＝0，x＋cy＋d＝0，其图像如图所示，则有() A．ac<0 B．a<cC．bd<0 D．b>d答案 C解析直线方程化为l1：y＝－xa－ba，l2：y＝－xc－dc.由图像知，－1c<－1a<0，－ba>0>－dc，a>c>0，b<0，d>0.11．直线l过二、三、四象限，l的倾斜角为α，斜率为k，则k cosα的取值范围为________．答案(0,1)解析由题意可得α∈(π2，π)，∴k·cosα＝tanα·cosα＝sinα∈(0,1)．12．直线x＋a2y－a＝0(a>0)，当此直线在x，y轴上的截距和最小时，a的值为________．答案 1解析方程可化为xa＋y1a＝1，因为a>0，所以截距之和t＝a＋1a≥2，当且仅当a＝1a，即a＝1时取等号，故a的值为1.13．已知点M是直线l：3x－y＋3＝0与x轴的交点，将直线l绕点M旋转30°，求所得到的直线l′的方程．答案x＋3＝0或x－3y＋3＝0解析在3x －y ＋3＝0中， 令y ＝0，得x ＝－3， 即M (－3，0)． ∵直线l 的斜率k ＝3， ∴其倾斜角θ＝60°.若直线l 绕点M 逆时针方向旋转30°，则直线l ′的倾斜角为60°＋30°＝90°，此时斜率不存在，故其方程为x ＝－ 3.若直线l 绕点M 顺时针方向旋转30°，则直线l ′的倾斜角为60°－30°＝30°，此时斜率为tan30°＝33.故其方程为y ＝33(x ＋3)，即x －3y ＋3＝0.综上所述，所求直线方程为x ＋3＝0或x －3y ＋3＝0.14．在△ABC 中，已知A (1,1)，AC 边上的高线所在直线方程为x －2y ＝0，AB 边上的高线所在直线方程为3x ＋2y －3＝0.求BC 边所在直线方程．答案 2x ＋5y ＋9＝0 解析 k AC ＝－2，k AB ＝23.∴AC ：y －1＝－2(x －1)，即2x ＋y －3＝0， AB ：y －1＝23(x －1)，即2x －3y ＋1＝0.由⎩⎨⎧ 2x ＋y －3＝0，3x ＋2y －3＝0，得C (3，－3)． 由⎩⎨⎧2x －3y ＋1＝0，x －2y ＝0，得B (－2，－1)． ∴BC ：2x ＋5y ＋9＝0.15．设直线l 的方程为(m 2－2m －3)x －(2m 2＋m －1)y ＝2m －6.根据下列条件分别确定实数m 的值． (1)在x 轴上的截距是－3； (2)斜率是－1.解析 (1)令y ＝0，依题意得⎩⎨⎧m 2－2m －3≠0， ①2m －6m 2－2m －3＝－3. ②由①式，得m ≠3且m ≠－1.由②式，得3m 2－4m －15＝0.解得m ＝3或m ＝－53. ∵m ≠3，∴m ＝－53.(2)由题意，得⎩⎨⎧2m 2＋m －1≠0， ③m 2－2m －32m 2＋m －1＝－1. ④由③式，得m ≠－1且m ≠12.由④式，得3m 2－m －4＝0.解得m ＝－1或m ＝43. ∵m ≠－1，∴m ＝43.16．如图，过点P (1,2)作直线l ，与x 轴、y 轴正半轴分别交于A 、B 两点，求△AOB 面积的最小值及此时直线l 的方程．解析 设直线l 的方程为y －2＝k (x －1)， 令y ＝0，得x ＝k －2k ，令x ＝0，得y ＝2－k . ∴A 、B 两点坐标分别为A (k －2k ，0)，B (0,2－k )． ∵A 、B 是l 与x 轴、y 轴正半轴的交点，∴⎩⎪⎨⎪⎧k <0，k －2k >0，2－k >0.∴k <0.S △AOB ＝12·|OA |·|OB |＝12·k －2k ·(2－k )＝12(4－4k －k )． 由－4k >0，－k >0，得 S △AOB ≥12(4＋2(－4k )(－k ))＝4.∴S △AOB 最小值为4，方程为2x＋y －4＝0.1．(2013·衡水调研卷)设s ，t 为正整数，直线l 1：t 2s x ＋y －t ＝0和l 2：t2s x －y ＝0的交点是(x 1，y 1)，对于正整数n (n >1)，过点(0，t )和(x n －1,0)的直线l 与直线l 2的交点记为(x n ，y n )，则数列{x n }的通项公式为x n ＝( )A.2sn ＋1B.s n ＋1C.3s n ＋1D.4s n ＋1答案 A解析 直线l 1：t 2s x ＋y －t ＝0和l 2：t 2s x －y ＝0的交点是(s ，12t )，过点(0，t )和(x n －1,0)的直线l 的方程为y ＝－t x n －1x ＋t ，与l 2的方程联立，得⎩⎪⎨⎪⎧t 2s x －y ＝0，y ＝－t x n －1x ＋t ，可得1x ＝12s ＋1x n －1，即1x n ＝12s ＋1x n －1，所以1x n－1x n －1＝12s .因此数列{1x n}是首项为1s ，公差为12s 的等差数列，则1x n＝1s ＋(n －1)12s ＝n ＋12s ，故x n ＝2s n ＋1.2．(2012·江西)在直角三角形ABC 中，点D 是斜边AB 的中点，点P 为线段CD 的中点，则|P A |2＋|PB |2|PC |2＝( )A ．2B ．4C ．5D ．10答案 D 解析如图，以C 为原点，CB ，AC 所在直线为x 轴，y 轴，建立平面直角坐标系．设A (0，a )，B (b,0)，则D (b 2，a 2)，P (b 4，a 4)，由两点间的距离公式可得|P A |2＝b 216＋9a 216，|PB |2＝9b 216＋a 216，|PC |2＝b 216＋a 216.所以|P A |2＋|PB |2|PC |2＝1016(a 2＋b 2)a 2＋b 216＝10.3．若直线l ：y ＝kx －1与直线x ＋y －1＝0的交点位于第一象限，则实数k 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)B ．(－∞，－1]C ．(1，＋∞)D ．[1，＋∞)答案 C解析 y ＝kx －1恒过C (0，－1)点．x ＋y －1＝0，令x ＝0，y ＝0，得A (0,1)，B (1,0)． 只需l 与线段AB 有交点即可(不含A 、B )， 而k CA 不存在，k 2＝k CB ＝1，∴k ∈(1，＋∞)．。
高考数学大一轮复习 第八章 平面解析几何课时作业58
课时作业58 双曲线一、选择题1．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1的焦距为10，点P (2,1)在C 的渐近线上，则C 的方程为( )A.x 220－y 25＝1 B.x 25－y 220＝1 C.x 280－y 220＝1 D.x 220－y 280＝1 解析：因为双曲线的焦距为10，所以c ＝5. 又因为P (2,1)在渐近线上，且渐近线方程为y ＝b ax ， 所以1＝2ba，即a ＝2b .又因为c 2＝a 2＋b 2＝5b 2＝25，所以b 2＝5，a 2＝20. 即双曲线方程为x 220－y 25＝1.答案：A2．(2014·新课标全国卷Ⅰ)已知双曲线x 2a 2－y 23＝1(a >0)的离心率为2，则a ＝( )A ．2 B.62C.52D ．1解析：由题知a 2＋3a 2＝2，解得a ＝1. 答案：D3．(2014·天津卷)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线平行于直线l ：y ＝2x＋10，双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为( )A.x 25－y 220＝1 B.x 220－y 25＝1 C.3x 225－3y2100＝1 D.3x 2100－3y225＝1 解析：渐近线平行于l ，则b a＝2，又焦点为(－5,0)，则c ＝5，可得c 2＝a 2＋b 2＝5a 2＝25，得a 2＝5，b 2＝4a 2＝20，选A.答案：A4．已知双曲线的方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为53c (其中c 为双曲线的半焦距长)，则该双曲线的离心率为( ) A.32 B.52C.352D.52解析：不妨取双曲线的右焦点(c,0)，双曲线的渐近线为y ＝±b ax ，即bx ±ay ＝0.则焦点到渐近线的距离为|bc |b 2＋a2＝53c ，即b ＝53c ，从而b 2＝59c 2＝c 2－a 2，所以49c 2＝a 2，即e 2＝94，所以离心率e ＝32.答案：A5．(2014·新课标全国卷Ⅰ)已知F 为双曲线C ：x 2－my 2＝3m (m >0)的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为( )A. 3 B ．3 C.3m D ．3m解析：由题意，可得双曲线C 为x 23m －y 23＝1，则双曲线的半焦距c ＝3m ＋3.不妨取右焦点(3m ＋3，0)，其渐近线方程为y ＝±1mx ，即x ±my ＝0.所以由点到直线的距离公式得d ＝3m ＋31＋m＝ 3.故选A.答案：A6．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1与直线y ＝2x 有交点，则双曲线离心率的取值范围为( )A ．(1，5)B ．(1，5]C ．(5，＋∞)D ．[5，＋∞)解析：∵双曲线的一条渐近线方程为y ＝b ax ， 则由题意得b a>2. ∴e ＝c a＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a2>1＋4＝ 5.答案：C二、填空题7．(2014·北京卷)设双曲线C 经过点(2,2)，且与y 24－x 2＝1具有相同渐近线，则C 的方程为________；渐近线方程为________．解析：双曲线y 24－x 2＝1的渐近线为y ＝±2x ，故C 的渐近线为y ＝±2x ，设C ：y 24－x 2＝m ，并将点(2,2)代入C 的方程，解得m ＝－3，故C 的方程为y 24－x 2＝－3，即x 23－y 212＝1.答案：x 23－y 212＝1 y ＝±2x 8．已知双曲线x 2－y 2＝1，点F 1，F 2为其两个焦点，点P 为双曲线上一点，若PF 1⊥PF 2，则|PF 1|＋|PF 2|的值为________．解析：不妨设点P 在双曲线的右支上且F 1，F 2分别为左、右焦点，因为PF 1⊥PF 2，所以(22)2＝|PF 1|2＋|PF 2|2，又因为|PF 1|－|PF 2|＝2，所以(|PF 1|－|PF 2|)2＝4，可得2|PF 1|·|PF 2|＝4，则(|PF 1|＋|PF 2|)2＝|PF 1|2＋|PF 2|2＋2|PF 1|·|PF 2|＝12，所以|PF 1|＋|PF 2|＝2 3. 答案：2 39．(2014·浙江卷)设直线x －3y ＋m ＝0(m ≠0)与双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线分别交于点A ，B .若点P (m,0)满足|PA |＝|PB |，则该双曲线的离心率是________．解析：由双曲线的方程可知，它的渐近线方程为y ＝b a x 和y ＝－b ax ，分别与x －3y ＋m ＝0联立，解得A ⎝⎛⎭⎪⎫－am a －3b ，－bm a －3b ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－am a ＋3b ，bm a ＋3b ，由|PA |＝|PB |得，AB 中点Q 的坐标为Q ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－am a －3b ＋－am a ＋3b 2，－bm a －3b ＋bm a ＋3b 2，由PQ 与已知直线垂直，解得2a 2＝8b 2＝8(c 2－a 2)，即c 2a 2＝54，故e ＝c a ＝52. 答案：52三、解答题10．双曲线的中心为原点O ，焦点在x 轴上，两条渐近线分别为l 1，l 2，经过右焦点F 垂直于l 1的直线分别交l 1，l 2于A ，B 两点．已知|OA →|，|AB →|，|OB →|成等差数列，且BF →与FA →同向．(1)求双曲线的离心率．(2)设直线AB 被双曲线所截得的线段的长为4，求双曲线的方程． 解：(1)设|OA |＝m －d ，|AB |＝m ，|OB |＝m ＋d ， 由勾股定理可得(m －d )2＋m 2＝(m ＋d )2， 得d ＝14m ，tan ∠AOF ＝b a，tan ∠AOB ＝tan2∠AOF ＝AB OA ＝43，由倍角公式，得2×b a 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝43，解得b a ＝12，则离心率e ＝52. (2)不妨设过F 与l 1垂直的直线方程为y ＝－a b (x －c )，与双曲线方程x 2a 2－y 2b 2＝1联立，将a ＝2b ，c ＝5b 代入，化简有154b 2x 2－85bx ＋21＝0， 4＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a b2|x 1－x 2|＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a b 2[x 1＋x 22－4x 1x 2]，将数值代入，有4＝5⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫325b 152－4·28b 25， 解得b ＝3，故所求的双曲线方程为x 236－y 29＝1.11．设A ，B 分别为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左，右顶点，双曲线的实轴长为43，焦点到渐近线的距离为 3.(1)求双曲线的方程； (2)已知直线y ＝33x －2与双曲线的右支交于M 、N 两点，且在双曲线的右支上存在点D ，使OM →＋ON →＝tOD →，求t 的值及点D 的坐标．解：(1)由题意知a ＝23，∴一条渐近线为y ＝b23x .即bx －23y ＝0.∴|bc |b 2＋12＝ 3.∴b 2＝3，∴双曲线的方程为x 212－y 23＝1. (2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，D (x 0，y 0)， 则x 1＋x 2＝tx 0，y 1＋y 2＝ty 0.将直线方程代入双曲线方程得x 2－163x ＋84＝0， 是x 1＋x 2＝163，y 1＋y 2＝12.∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0y 0＝433，x 212－y 203＝1.∴⎩⎨⎧x 0＝43，y 0＝3.∴t ＝4，点D 的坐标为(43，3)．1．已知双曲线x 22－y 2b2＝1(b >0)的左，右焦点分别是F 1，F 2，其一条渐近线方程为y ＝x ，点P (3，y 0)在双曲线上．则PF 1→·PF 2→＝( )A ．－12B ．－2C ．0D ．4解析：由渐近线方程为y ＝x 知双曲线是等轴双曲线，不妨设双曲线方程是x 2－y 2＝2，于是F 1，F 2坐标分别是(－2,0)和(2,0)，且P (3，1)或P (3，－1)．由双曲线的对称性，不妨取P (3，1)，则PF 1→＝(－2－3，－1)，PF 2→＝(2－3，－1)．所以PF 1→·PF 2→＝(－2－3，－1)·(2－3，－1)＝－(2＋3)·(2－3)＋1＝0.答案：C2．已知点F 是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左焦点，点E 是该双曲线的右顶点，过点F且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点，若△ABE 是锐角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围是( )A ．(1,2)B ．(2，2)C ．(3，2)D ．(2,3)解析：由题意知，△ABE 为等腰三角形．若△ABE 是锐角三角形，则只需要∠AEB 为锐角．根据对称性，只要∠AEF <π4即可．直线AB 的方程为x ＝－c ，代入双曲线方程得y 2＝b 4a2，取点A ⎝⎛⎭⎪⎫－c ，b 2a ，则|AF |＝b 2a ，|EF |＝a ＋c ，只要|AF |<|EF |就能使∠AEF <π4，即b 2a <a ＋c ，即b 2<a 2＋ac ，即c 2－ac －2a 2<0，即e 2－e －2<0，即－1<e <2.又e >1，故1<e <2.答案：A3．设F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P ，使(OP →＋OF 2→)·F 2P →＝0(O 为坐标原点)，且|PF 1→|＝3|PF 2→|，则该双曲线的离心率为________．解析：∵(OP →＋OF 2→)·F 2P →＝0，∴OB ⊥PF 2，且B 为PF 2的中点．又O 是F 1F 2的中点，∴OB ∥PF 1，∴PF 1⊥PF 2，∴|PF 1|－|PF 2|＝2a ，又∵|PF 1→|＝3|PF 2→|，∴|PF 2|＝(3＋1)a ，|PF 1|＝(3＋3)a ，∴由|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2，得(12＋63)a 2＋(4＋23)a 2＝4c 2，∴e 2＝4＋23，∴e ＝3＋1.答案：3＋14．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，离心率为3，直线y ＝2与C 的两个交点间的距离为 6.(1)求a 、b ；(2)设过F 2的直线l 与C 的左、右两支分别交于A 、B 两点，且|AF 1|＝|BF 1|，证明：|AF 2|、|AB |、|BF 2|成等比数列．解：(1)由题设知c a ＝3，即a 2＋b 2a2＝9，故b 2＝8a 2.所以C 的方程为8x 2－y 2＝8a 2. 将y ＝2代入上式，并求得x ＝± a 2＋12.由题设知，2a 2＋12＝6，解得a 2＝1.所以a ＝1，b ＝2 2.(2)证明：由(1)知，F 1(－3,0)，F 2(3,0)，C 的方程为8x 2－y 2＝8. ①由题意可设l 的方程为y ＝k (x －3)，|k |<22，代入①并化简得(k 2－8)x 2－6k 2x ＋9k 2＋8＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1≤－1，x 2≥1，x 1＋x 2＝6k 2k 2－8，x 1·x 2＝9k 2＋8k 2－8.于是|AF 1|＝x 1＋32＋y 21＝x 1＋32＋8x 21－8＝－(3x 1＋1)， |BF 1|＝x 2＋32＋y 22＝x 2＋32＋8x 22－8＝3x 2＋1.由|AF 1|＝|BF 1|得－(3x 1＋1)＝3x 2＋1， 即x 1＋x 2＝－23.故6k 2k 2－8＝－23，解得k 2＝45，从而x 1·x 2＝－199. 由于|AF 2|＝x 1－32＋y 21＝x 1－32＋8x 21－8＝1－3x 1，|BF 2|＝x 2－32＋y 22＝x 2－32＋8x 22－8＝3x 2－1.故|AB |＝|AF 2|－|BF 2|＝2－3(x 1＋x 2)＝4， |AF 2|·|BF 2|＝3(x 1＋x 2)－9x 1x 2－1＝16.因而|AF 2|·|BF 2|＝|AB |2，所以|AF 2|、|AB |、|BF 2|成等比数列．。
2014高考调研理科数学课时作业讲解_课时作业51
课时作业(五十一)1．已知两条不同直线l1和l2及平面α，则直线l1∥l2的一个充分条件是() A．l1∥α且l2∥αB．l1⊥α且l2⊥αC．l1∥α且l2⊄αD．l1∥α且l2⊂α答案 B解析l1⊥α且l2⊥α⇒l1∥l2.2．(2012·四川)下列命题正确的是() A．若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D．若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行答案 C解析若两条直线和同一平面所成的角相等，则这两条直线可平行、可异面、可相交，A项不正确；如果到一个平面距离相等的三个点在同一条直线上或在这个平面的两侧，那么经过这三个点的平面与这个平面相交，B项不正确．3．设α，β表示平面，m，n表示直线，则m∥α的一个充分不必要条件是() A．α⊥β且m⊥βB．α∩β＝n且m∥nC．m∥n且n∥αD．α∥β且m⊂β答案 D解析若两个平面平行，其中一个面内的任一直线均平行于另一个平面，故选D.4．若空间四边形ABCD的两条对角线AC、BD的长分别是8、12，过AB 的中点E且平行于BD、AC的截面四边形的周长为() A．10 B．20C．8 D．4答案 B解析设截面四边形为EFGH，F、G、H分别是BC、CD、DA的中点，∴EF＝GH＝4，FG＝HE＝6.∴周长为2×(4＋6)＝20.5．(2013·衡水调研卷)已知直线l ∥平面α，P ∈α，那么过点P 且平行于直线l 的直线( )A ．只有一条，不在平面α内B ．有无数条，不一定在平面α内C ．只有一条，且在平面α内D ．有无数条，一定在平面α内 答案 C解析 由直线l 与点P 可确定一个平面β，则平面α，β有公共点，因此它们有一条公共直线，设该公共直线为m ，因为l ∥α，所以l ∥m ，故过点P 且平行于直线l 的直线只有一条，且在平面α内，选C.6．下列命题中，是假命题的是( )A ．三角形的两条边平行于一个平面，则第三边也平行于这个平面B ．平面α∥平面β，a ⊂α，过β内的一点B 有唯一的一条直线b ，使b ∥aC ．α∥β，γ∥δ，α、β分别与γ、δ的交线为a 、b 、c 、d ，则a ∥b ∥c ∥dD ．一条直线与两个平面成等角是这两个平面平行的充要条件 答案 D解析 D 错误．当两个平面平行时，则该直线与两个平面成等角；反之，如果一条直线与两个平面成等角，这两个平面可能是相交平面．如下图，α⊥β，直线AB 与α、β都成45°角，但α∩β＝l .7．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，棱长为a ，M 、N 分别为A 1B 和AC 上的点，A 1M ＝AN ＝2a3，则MN 与平面BB 1C 1C 的位置关系是( )A ．相交B ．平行C ．垂直D ．不能确定答案 B解析 连接CD 1，在CD 1上取点P ，使D 1P ＝2a3，∴MP ∥BC ，PN ∥AD 1. ∴MP ∥面BB 1C 1C ，PN ∥面AA 1D 1D . ∴面MNP ∥面BB 1C 1C ，∴MN ∥面BB 1C 1C .8．设α、β、γ为两两不重合的平面，l 、m 、n 为两两不重合的直线．给出下列四个命题：①若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；②若m ⊂α，n ⊂α，m ∥β，n ∥β，则α∥β； ③若α∥β，l ⊂α，则l ∥β；④若α∩β＝l ，β∩γ＝m ，γ∩α＝n ，l ∥γ，则m ∥n . 其中真命题的是________． 答案 ③④解析 ①∵垂直于同一个平面的两个平面也可以相交，如墙角，∴该命题不对；②m 、n 相交时才有α∥β，此命题不对；③由面面平行的性质定理可知该命题正确；④∵l ∥γ，β∩γ＝m ，l ⊂β，∴l ∥m .又α∩β＝l ，且m ⊂β，∴m ∥α.又m ⊂γ且γ∩α＝n ，∴m ∥n ，故④对．9．如图所示，四个正方体图形中，A 、B 为正方体的两个顶点，M 、N 、P 分别为其所在棱的中点，能得出AB ∥面MNP 的图形的序号是________(写出所有符合要求的图形序号)．答案 ①③10. 棱锥P －ABCD 的底面是一直角梯形，AB ∥CD ，BA ⊥AD ，CD ＝2AB ，P A ⊥底面ABCD ，E 为PC 的中点，则BE 与平面P AD 的位置关系为________．答案 平行解析 取PD 的中点F ，连接EF .在△PCD 中，EF 綊12CD .又∵AB ∥CD 且CD ＝2AB ，∴EF ＝12CD 且CD ＝2AB . ∴EF 綊AB ，∴四边形ABEF 是平行四边形，∴EB ∥AF . 又∵EB ⊄平面P AD ，AF ⊂平面P AD ， ∴BE ∥平面P AD .11. 如图所示，ABCD －A 1B 1C 1D 1是棱长为a 的正方体，M 、N 分别是下底面的棱A 1B 1、B 1C 1的中点，P 是上底面的棱AD 上的一点，AP ＝a3，过P ，M ，N 的平面交上底面于PQ ，Q 在CD 上，则PQ ＝________.答案223a解析 如图，连接AC ，易知MN ∥平面ABCD .∴MN ∥PQ .又∵MN ∥AC ，∴PQ ∥AC .又∵AP ＝a 3，∴PD AD ＝DQ CD ＝PQ AC ＝23. ∴PQ ＝23AC ＝232a ＝223a .12．考察下列三个命题，在“________”处都缺少同一个条件，补上这个条件使其构成真命题(其中l 、m 为直线，α、β为平面)，则此条件为________．①⎭⎬⎫m ⊂αl ∥m⇒l ∥α；②⎭⎬⎫l ∥m m ∥α⇒l ∥α；③⎭⎬⎫l ⊥βα⊥β⇒l ∥α. 答案 l ⊄α解析 ①体现的是线面平行的判定定理，缺的条件是“l 为平面α外的直线”，即“l ⊄α”，它也同样适合②③，故填l ⊄α.13．在四面体ABCD 中，M 、N 分别是面△ACD 、△BCD 的重心，则四面体的四个面中与MN 平行的是________．答案 平面ABC 和平面ABD解析 连接AM 并延长交CD 于E ，连接BN 并延长交CD 于F .由重心的性质可知，E 、F 重合为一点，且该点为CD 的中点E .由EM MA ＝EN NB ＝12，得MN ∥AB .因此，MN ∥平面ABC 且MN ∥平面ABD .14．过三棱柱ABC —A 1B 1C 1的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB 1A 1平行的直线共有________条．答案 6解析 过三棱柱ABC —A 1B 1C 1的任意两条棱的中点作直线，记AC ，BC ，A 1C 1，B 1C 1的中点分别为E ，F ，E 1，F 1，则直线EF ，EF 1，EE 1，FF 1，E 1F ，E 1F 1均与平面ABB 1A 1平行，故符合题意的直线共6条．15. 如图所示，已知ABCD －A 1B 1C 1D 1是棱长为3的正方体，点E 在AA 1上，点F 在CC 1上，G 在BB 1上，且AE ＝FC 1＝B 1G ＝1，H是B 1C 1的中点．(1)求证：E 、B 、F 、D 1四点共面； (2)求证：平面A 1GH ∥平面BED 1F . 解析 (1)连接FG .∵AE ＝B 1G ＝1，∴BG ＝A 1E ＝2. ∴BG 綊A 1E ，∴A 1G ∥BE . 又∵C 1F 綊B 1G ，∴四边形C 1FGB 1是平行四边形，∴FG 綊C 1B 1綊D 1A 1.∴四边形A 1GFD 1是平行四边形． ∴A 1G 綊D 1F ，∴D 1F 綊EB . 故E 、B 、F 、D 1四点共面． (2)∵H 是B 1C 1的中点， ∴B 1H ＝32.又B 1G ＝1， ∴B 1G B 1H ＝23.又FC BC ＝23，且∠FCB ＝∠GB 1H ＝90°， ∴△B 1HG ∽△CBF .∴∠B 1GH ＝∠CFB ＝∠FBG ，∴HG ∥FB . 又由(1)知，A 1G ∥BE ，且HG ∩A 1G ＝G ，FB ∩BE ＝B ， ∴平面A 1GH ∥平面BED 1F . 16.如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1，底面为正三角形，侧棱A 1A ⊥底面ABC ，点E 、F 分别是棱CC 1、BB 1上的点，点M 是线段AC 上的动点，EC ＝2FB .当点M 在何位置时，BM ∥平面AEF?解析 方法一 如图，取AE 的中点O ，连接OF ，过点O 作OM ⊥AC 于点M .∵侧棱A 1A ⊥底面ABC ， ∴侧面A 1ACC 1⊥底面ABC . ∴OM ⊥底面ABC . 又∵EC ＝2FB ， ∴OM ∥FB 綊12EC . ∴四边形OMBF 为矩形． ∴BM ∥OF .又∵OF ⊂面AEF ，BM ⊄面AEF ，故BM ∥平面AEF ，此时点M 为AC 的中点．方法二 如图，取EC 的中点P ，AC 的中点Q ，连接PQ 、PB 、BQ . ∴PQ ∥AE .∵EC ＝2FB ， ∴PE 綊BF ，PB ∥EF .∴PQ ∥平面AEF ，PB ∥平面AEF . 又PQ ∩PB ＝P ， ∴平面PBQ ∥平面AEF . 又∵BQ ⊂面PQB ， ∴BQ ∥平面AEF .故点Q 即为所求的点M ，此时点M 为AC 的中点． 17.如图，在底面是平行四边形的四棱锥P —ABCD 中，点E 在PD 上，且PE ∶ED ＝2∶1，在棱PC 上是否存在一点F ，使BF ∥平面AEC ？证明你的结论．解析 当F 是棱PC 的中点时，BF ∥平面AEC . 证明：取PE 的中点M ，连接FM ，则FM ∥CE .①由EM ＝12PE ＝ED ，知E 是MD 的中点． 连接BM ，BD ，设BD ∩AC ＝O ， 则O 为BD 的中点，连接OE ， 所以BM ∥OE .②由①，②知，平面BFM ∥平面AEC . 又BF ⊂平面BFM ，所以BF ∥平面AEC . 18.(2012·山东)如图，几何体E —ABCD 是四棱锥，△ABD 为正三角形，CB ＝CD ，EC ⊥BD .(1)求证：BE＝DE；(2)若∠BCD＝120°，M为线段AE的中点，求证：DM∥平面BEC. 解析(1)如图，取BD的中点O，连接CO，EO.由于CB＝CD，所以CO⊥BD.又EC⊥BD，EC∩CO＝C，CO，EC⊂平面EOC，所以BD⊥平面EOC.因此BD⊥EO.又O为BD的中点，所以BE＝DE.(2)方法一如图，取AB的中点N，连接DM，DN，MN.因为M是AE的中点，所以MN∥BE.又MN⊄平面BEC，BE⊂平面BEC，所以MN∥平面BEC.又因为△ABD为正三角形，所以∠BDN＝30°.又CB＝CD，∠BCD＝120°，因此∠CBD＝30°.所以DN∥BC.又DN⊄平面BEC，BC⊂平面BEC，所以DN∥平面BEC.又MN∩DN＝N，故平面DMN ∥平面BEC . 又DM ⊂平面DMN ， 所以DM ∥平面BEC .方法二 如图，延长AD ，BC 交于点F ，连接EF .因为CB ＝CD ，∠BCD ＝120°， 所以∠CBD ＝30°. 因为△ABD 为正三角形， 所以∠BAD ＝60°，∠ABC ＝90°. 因此∠AFB ＝30°. 所以AB ＝12AF . 又AB ＝AD ，所以D 为线段AF 的中点．连接DM ，由于点M 是线段AE 的中点， 因此DM ∥EF .又DM ⊄平面BEC ，EF ⊂平面BEC ， 所以DM ∥平面BEC .1．设x ，y ，z 为空间不同的直线或不同的平面，且直线不在平面内，下列说法中能保证“若x ⊥z ，y ⊥z ，则x ∥y ”为真命题的序号有________．(把所有的真命题全填上)①x 为直线，y ，z 为平面；②x ，y ，z 都为平面；③x ，y 为直线，z 为平面；④x ，y ，z 都为直线，⑤x ，y 为平面，z 为直线．答案 ③⑤解析 ①直线x 可能在平面y 内；②平面x 与y 可能相交；④直线x 与y 可能相交，也可能异面，故③⑤正确．2．如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，ABCD 是平行四边形，M 、N 分别是AB 、PC 的中点，求证：MN ∥平面P AD .证明 方法一 取CD 中点E ，连接NE 、ME .∵M 、N 分别是AB 、PC 的中点，∴NE ∥PD ，ME ∥AD .∴NE ∥平面P AD ，ME ∥平面P AD .又NE ∩ME ＝E ，∴平面MNE ∥平面P AD .又MN ⊂平面MNE ，∴MN ∥平面P AD .方法二 取PD 中点F ，连接AF 、NF .∵M 、N 分别为AB 、PC 的中点，∴NF 綊12CD ，AM 綊12CD .∴AM 綊NF .∴四边形AMNF 为平行四边形．∴MN ∥AF .又AF ⊂平面P AD ，MN ⊄平面P AD ，∴MN ∥平面P AD . 3.如图，在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，点D 在边BC 上，AD ⊥C 1D .(1)求证：AD ⊥平面BCC 1B 1；(2)设E 是B 1C 1上的一点，当B 1E EC 1的值为多少时，A 1E ∥平面ADC 1？请给出证明．解析 (1)在正三棱柱中，CC 1⊥平面ABC ，AD ⊂平面ABC ，∴AD ⊥CC 1. 又AD ⊥C 1D ，CC 1交C 1D 于C 1，且CC 1和C 1D 都在平面BCC 1B 1内，∴AD ⊥平面BCC 1B 1.(2)由(1)得AD ⊥BC .在正三角形ABC 中，D 是BC 的中点． 当B 1E EC 1＝1，即E 为B 1C 1的中点时，A 1E ∥平面ADC 1. 在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，四边形BCC 1B 1是矩形，且D 、E 分别是BC 、B 1C 1的中点，∴B 1B ∥DE ，B 1B ＝DE .又B 1B ∥AA 1，且B 1B ＝AA 1，∴DE ∥AA 1，且DE ＝AA 1.∴四边形ADEA 1为平行四边形，∴A 1E ∥AD .而A 1E ⊄平面ADC 1，故A 1E ∥平面ADC 1.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
课时作业(五十八)1．过点M (－2，m )，N (m,4)的直线的斜率等于1，则m 的值为 ( )A ．1B ．4C ．1或3D ．1或4答案 A解析 ∵k MN ＝m －4－2－m＝1，∴m ＝1.2．直线l 1，l 2关于x 轴对称，l 1的斜率是－7，则l 2的斜率是 ( )A.7 B ．－77 C.77 D ．－7答案 A解析 画出图形，根据对称性分析两直线的倾斜角之间的关系，再判断其斜率之间的关系．如图所示，显然直线l 2的斜率为7.3．若ab <0，则过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－1b 与Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，0的直线PQ 的倾斜角的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π，－π2 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0 答案 B解析 k PQ ＝－1b －00－1a＝a b <0，又倾斜角的取值范围为[0，π)，故直线PQ 的倾斜角的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π.4．已知直线l 的倾斜角为α，且sin α＋cos α＝15，则直线l 的斜率是( ) A ．－43 B ．－34 C ．－43或－34D ．±43答案 A解析 ∵α为倾斜角，∴0≤α＜π. ∵sin α＋cos α＝15，∴sin α＝45，cos α＝－35. ∴tan α＝－43.5．两直线x m －y n ＝1与x n －ym ＝1的图像可能是图中的哪一个()答案 B6．若直线(2m 2＋m －3)x ＋(m 2－m )y ＝4m －1在x 轴上的截距为1，则实数m 是( )A ．1B ．2C ．－12D ．2或－12答案 D解析 当2m 2＋m －3≠0时，得m ≠1且m ≠－32. 在x 轴上截距为4m －12m 2＋m －3＝1，即2m 2－3m －2＝0.∴m ＝2或m ＝－12.7．若点A (a,0)，B (0，b )，C (1，－1)(a >0，b <0)三点共线，则a －b 的最小值等于( )A ．4B ．2C ．1D ．0答案 A解析 ∵A 、B 、C 三点共线，∴k AB ＝k AC ，即b －00－a ＝－1－01－a，∴1a －1b ＝1.∴a －b ＝(a －b )(1a －1b )＝2－b a －a b ＝2＋[(－b a )＋(－ab )]≥2＋2＝4.(当a ＝－b ＝2时取等号)．8．过点M (1，－2)的直线与x 轴、y 轴分别交于P 、Q 两点，若M 恰为线段PQ 的中点，则直线PQ 的方程为( )A ．2x ＋y ＝0B ．2x －y －4＝0C ．x ＋2y ＋3＝0D ．x －2y －5＝0答案 B解析 设P (x 0,0)，Q (0，y 0)，∵M (1，－2)为线段PQ 中点， ∴x 0＝2，y 0＝－4，∴直线PQ 的方程为x 2＋y－4＝1.即2x －y －4＝0.9．经过点P (1,4)的直线在两坐标轴上的截距都是正的，且截距之和最小，则直线的方程为( )A ．x ＋2y －6＝0B ．2x ＋y －6＝0C ．x －2y ＋7＝0D ．x －2y －7＝0答案 B解析 方法一 直线过P (1,4)，代入，排除A 、D ，又在两坐标轴上的截距为正，排除C ，故选B.方法二 设方程为x a ＋y b ＝1，将(1,4)代入得1a ＋4b ＝1. a ＋b ＝(a ＋b )(1a ＋4b )＝5＋(b a ＋4ab )≥9，当且仅当b＝2a，即a＝3，b＝6时，截距之和最小．∴直线方程为x3＋y6＝1，即2x＋y－6＝0.10.已知直线l1，l2的方程分别为x＋ay＋b＝0，x＋cy＋d＝0，其图像如图所示，则有() A．ac<0 B．a<cC．bd<0 D．b>d答案 C解析直线方程化为l1：y＝－xa－ba，l2：y＝－xc－dc.由图像知，－1c<－1a<0，－ba>0>－dc，a>c>0，b<0，d>0.11．直线l过二、三、四象限，l的倾斜角为α，斜率为k，则k cosα的取值范围为________．答案(0,1)解析由题意可得α∈(π2，π)，∴k·cosα＝tanα·cosα＝sinα∈(0,1)．12．直线x＋a2y－a＝0(a>0)，当此直线在x，y轴上的截距和最小时，a的值为________．答案 1解析方程可化为xa＋y1a＝1，因为a>0，所以截距之和t＝a＋1a≥2，当且仅当a＝1a，即a＝1时取等号，故a的值为1.13．已知点M是直线l：3x－y＋3＝0与x轴的交点，将直线l绕点M旋转30°，求所得到的直线l′的方程．答案x＋3＝0或x－3y＋3＝0解析在3x －y ＋3＝0中， 令y ＝0，得x ＝－3， 即M (－3，0)． ∵直线l 的斜率k ＝3， ∴其倾斜角θ＝60°.若直线l 绕点M 逆时针方向旋转30°，则直线l ′的倾斜角为60°＋30°＝90°，此时斜率不存在，故其方程为x ＝－ 3.若直线l 绕点M 顺时针方向旋转30°，则直线l ′的倾斜角为60°－30°＝30°，此时斜率为tan30°＝33.故其方程为y ＝33(x ＋3)，即x －3y ＋3＝0.综上所述，所求直线方程为x ＋3＝0或x －3y ＋3＝0.14．在△ABC 中，已知A (1,1)，AC 边上的高线所在直线方程为x －2y ＝0，AB 边上的高线所在直线方程为3x ＋2y －3＝0.求BC 边所在直线方程．答案 2x ＋5y ＋9＝0 解析 k AC ＝－2，k AB ＝23.∴AC ：y －1＝－2(x －1)，即2x ＋y －3＝0， AB ：y －1＝23(x －1)，即2x －3y ＋1＝0.由⎩⎨⎧ 2x ＋y －3＝0，3x ＋2y －3＝0，得C (3，－3)． 由⎩⎨⎧2x －3y ＋1＝0，x －2y ＝0，得B (－2，－1)． ∴BC ：2x ＋5y ＋9＝0.15．设直线l 的方程为(m 2－2m －3)x －(2m 2＋m －1)y ＝2m －6.根据下列条件分别确定实数m 的值． (1)在x 轴上的截距是－3； (2)斜率是－1.解析 (1)令y ＝0，依题意得⎩⎨⎧m 2－2m －3≠0， ①2m －6m 2－2m －3＝－3. ②由①式，得m ≠3且m ≠－1.由②式，得3m 2－4m －15＝0.解得m ＝3或m ＝－53. ∵m ≠3，∴m ＝－53.(2)由题意，得⎩⎨⎧2m 2＋m －1≠0， ③m 2－2m －32m 2＋m －1＝－1. ④由③式，得m ≠－1且m ≠12.由④式，得3m 2－m －4＝0.解得m ＝－1或m ＝43. ∵m ≠－1，∴m ＝43.16．如图，过点P (1,2)作直线l ，与x 轴、y 轴正半轴分别交于A 、B 两点，求△AOB 面积的最小值及此时直线l 的方程．解析 设直线l 的方程为y －2＝k (x －1)， 令y ＝0，得x ＝k －2k ，令x ＝0，得y ＝2－k . ∴A 、B 两点坐标分别为A (k －2k ，0)，B (0,2－k )． ∵A 、B 是l 与x 轴、y 轴正半轴的交点，∴⎩⎪⎨⎪⎧k <0，k －2k >0，2－k >0.∴k <0.S △AOB ＝12·|OA |·|OB |＝12·k －2k ·(2－k )＝12(4－4k －k )． 由－4k >0，－k >0，得 S △AOB ≥12(4＋2(－4k )(－k ))＝4.∴S △AOB 最小值为4，方程为2x＋y －4＝0.1．(2013·衡水调研卷)设s ，t 为正整数，直线l 1：t 2s x ＋y －t ＝0和l 2：t2s x －y ＝0的交点是(x 1，y 1)，对于正整数n (n >1)，过点(0，t )和(x n －1,0)的直线l 与直线l 2的交点记为(x n ，y n )，则数列{x n }的通项公式为x n ＝( )A.2sn ＋1B.s n ＋1C.3s n ＋1D.4s n ＋1答案 A解析 直线l 1：t 2s x ＋y －t ＝0和l 2：t 2s x －y ＝0的交点是(s ，12t )，过点(0，t )和(x n －1,0)的直线l 的方程为y ＝－t x n －1x ＋t ，与l 2的方程联立，得⎩⎪⎨⎪⎧t 2s x －y ＝0，y ＝－t x n －1x ＋t ，可得1x ＝12s ＋1x n －1，即1x n ＝12s ＋1x n －1，所以1x n－1x n －1＝12s .因此数列{1x n}是首项为1s ，公差为12s 的等差数列，则1x n＝1s ＋(n －1)12s ＝n ＋12s ，故x n ＝2s n ＋1.2．(2012·江西)在直角三角形ABC 中，点D 是斜边AB 的中点，点P 为线段CD 的中点，则|P A |2＋|PB |2|PC |2＝( )A ．2B ．4C ．5D ．10答案 D 解析如图，以C 为原点，CB ，AC 所在直线为x 轴，y 轴，建立平面直角坐标系．设A (0，a )，B (b,0)，则D (b 2，a 2)，P (b 4，a 4)，由两点间的距离公式可得|P A |2＝b 216＋9a 216，|PB |2＝9b 216＋a 216，|PC |2＝b 216＋a 216.所以|P A |2＋|PB |2|PC |2＝1016(a 2＋b 2)a 2＋b 216＝10.3．若直线l ：y ＝kx －1与直线x ＋y －1＝0的交点位于第一象限，则实数k 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)B ．(－∞，－1]C ．(1，＋∞)D ．[1，＋∞)答案 C解析 y ＝kx －1恒过C (0，－1)点．x ＋y －1＝0，令x ＝0，y ＝0，得A (0,1)，B (1,0)． 只需l 与线段AB 有交点即可(不含A 、B )， 而k CA 不存在，k 2＝k CB ＝1，∴k ∈(1，＋∞)．。