24.1.3 弧,弦,圆心角 市级公开课-.ppt
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九年级数学上册 24.1.3 弧,弦,圆心角市级公开课课件 人教新课标版
24.1.3 弧、弦、圆心角
第一页，编辑于星期五：十三点 三十五分。
第二页，编辑于星期五：十三点 三十五分。
船能过拱桥吗
解:如图,用 表示桥拱, 所在圆的圆心为O,半径为Rm,
经过圆心O作弦AB的垂线OD,D为垂足,与 相交于点C.根
据垂径定理,D是AB的中点,C是 的中点,CD就是拱高.
由题设得 A B 7 .2 ,C D 2 .4 ,H N 1M 1 N .5 .
相等
因为AB=CD ，所以∠AOB=∠COD.
又因为AO=CO，BO=DO，
A
E
B
所以△AOB ≌ △COD.
又因为OE 、OF是AB与CD对应边上的高，
O·
D
所以 OE = OF.
F
C
第十四页，编辑于星期五：十三点 三十五分。
2.如图，AB是⊙O的直径，
⌒
BC
=
⌒
CD
= ,⌒ D∠ECOD=35°，
N'
N
O
定理：把圆绕圆心旋转任意一个角度后，仍与原来的圆重合。
第九页，编辑于星期五：十三点 三十五分。
二、概念
圆心角：我们把顶点在圆心的角叫做圆心角.
A
O·
B 如图中所示， ∠AOB就是一个圆心角。
第十页，编辑于星期五：十三点 三十五分。
三、探究
如图，将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到∠A’OB’的位置，你能发现哪些
AB = A1B1 ABA'B'.
第十一页，编辑于星期五：十三点 三十五分。
四、定理
这样，我们就得到下面的定理：
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等， 所对的弦也相等．
同样，还可以得到：
第一页，编辑于星期五：十三点 三十五分。
第二页，编辑于星期五：十三点 三十五分。
船能过拱桥吗
解:如图,用 表示桥拱, 所在圆的圆心为O,半径为Rm,
经过圆心O作弦AB的垂线OD,D为垂足,与 相交于点C.根
据垂径定理,D是AB的中点,C是 的中点,CD就是拱高.
由题设得 A B 7 .2 ,C D 2 .4 ,H N 1M 1 N .5 .
相等
因为AB=CD ，所以∠AOB=∠COD.
又因为AO=CO，BO=DO，
A
E
B
所以△AOB ≌ △COD.
又因为OE 、OF是AB与CD对应边上的高，
O·
D
所以 OE = OF.
F
C
第十四页，编辑于星期五：十三点 三十五分。
2.如图，AB是⊙O的直径，
⌒
BC
=
⌒
CD
= ,⌒ D∠ECOD=35°，
N'
N
O
定理：把圆绕圆心旋转任意一个角度后，仍与原来的圆重合。
第九页，编辑于星期五：十三点 三十五分。
二、概念
圆心角：我们把顶点在圆心的角叫做圆心角.
A
O·
B 如图中所示， ∠AOB就是一个圆心角。
第十页，编辑于星期五：十三点 三十五分。
三、探究
如图，将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到∠A’OB’的位置，你能发现哪些
AB = A1B1 ABA'B'.
第十一页，编辑于星期五：十三点 三十五分。
四、定理
这样，我们就得到下面的定理：
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等， 所对的弦也相等．
同样，还可以得到：
人教版初中数学九年级上册 24.1.3弧、弦、圆心角 初中九年级数学教学课件PPT 人教版
六、练习
︵如图︵，A︵B是⊙O 的直径，
BC＝CD DE,∠COD=35°︵，求∠︵AOE︵的度数．
E
D
解： BC CD DE
C BOC=COD=DOE=35
A
·
O
B AOE 180 335
75
七、思考
如图，已知AB、CD为⊙O 的两条弦，
︵︵
C
AD BC.求证:AB＝CD.
︵︵
B′
·
O
A
·
O
A
︵
根据旋转的性质，将线段AB连同AB绕圆心O旋转，使点A与点 A ′重合，∵AB= A ′B′ ，∴线段 AB与A ′B′重合．∴点B与点B ′重
合
︵︵
AB A' B ',
∠AOB＝∠A′OB′
三、定理
弧、弦与圆心角的关系定理
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等， 所对的弦也相等．
1、 在︵⊙o中︵，AOB AOB， AB A' B ', AB AB。 ︵︵
2、 在⊙o中，AB A' B ',
AOB AOB, AB AB。
3、
在⊙o中，AB AB,
︵
︵
AOB AOB, AB A' B。'
A′ B
·
O A
四、练习
︵ ︵ 如图，AB、CD是⊙O的两条弦． ︵ ︵ （1）如果AB=CD，那么___A_B___C_D___，_____A_O_B_____C_O_D___． ︵ ︵ （2）如果 AB CD ，那么___A_B__=_C_D____，_____A_O_B_____C_O．D
O
A DB
圆心角有：
人教版初中数学九年级上册 24.1.3弧、弦、圆心角 初中九年级数学教学课件PPT 人教版
四边形OACB形状，并说明理由.
2、如图所示，CD为⊙O的弦，在CD上取
CE=DF，连结OE、OF，并延长交⊙O于 点A、
B. （1）试判断△⌒OE⌒F的形状，并说明理由；
（2）求证：AC=BD
O
EБайду номын сангаасC
A
F D
B
谢谢
（1）如果AB=CD，那么 ， 。
（2）如果弧AB=弧CD，那么 ， 。
（3）如果∠AOB=∠COD，那么 ， 。
（4）如果AB=CD，OE⊥AB于E，
E
B
OF⊥CD于F，OE与OF相等A 吗？
为什么？
O
D
F
C
图3
2、如图，AB是⊙O的直径，BC=⌒CD⌒=DE⌒，
∠COD=35°，求∠AOE的度数。
如图，在⊙O中，当圆心角∠AOB=∠A1OB1时 ，它们所对的⌒弧A⌒B和A1B1 、弦AB和A1B1相等
吗？为什么？ A1 B
B1
证 明 ： 把 ∠AOB 连 同⌒AB 绕 圆 心 O
旋转，使射线OA与OA1重合.
· O
∵∠AOB=∠A1OB1，
A ∴射线OB与OB1重合.
同圆中，相等的 圆心角所对的弧 相等，所对的弦 也相等.
证明： ∵ B⌒C=C⌒D=⌒DE ∴∠COB=∠DOE=∠COD=35°A ∵AB是⊙O的直径.
ED
C
O
B
∴∠AOE=1800-∠COB-∠COD∠DOE
=750
3、如图，AD=BC，那么比较⌒AB与⌒CD的
大小.
A
C
D
O
B
课堂小结：
请你谈谈本节课的收获.
拓展延伸：
2、如图所示，CD为⊙O的弦，在CD上取
CE=DF，连结OE、OF，并延长交⊙O于 点A、
B. （1）试判断△⌒OE⌒F的形状，并说明理由；
（2）求证：AC=BD
O
EБайду номын сангаасC
A
F D
B
谢谢
（1）如果AB=CD，那么 ， 。
（2）如果弧AB=弧CD，那么 ， 。
（3）如果∠AOB=∠COD，那么 ， 。
（4）如果AB=CD，OE⊥AB于E，
E
B
OF⊥CD于F，OE与OF相等A 吗？
为什么？
O
D
F
C
图3
2、如图，AB是⊙O的直径，BC=⌒CD⌒=DE⌒，
∠COD=35°，求∠AOE的度数。
如图，在⊙O中，当圆心角∠AOB=∠A1OB1时 ，它们所对的⌒弧A⌒B和A1B1 、弦AB和A1B1相等
吗？为什么？ A1 B
B1
证 明 ： 把 ∠AOB 连 同⌒AB 绕 圆 心 O
旋转，使射线OA与OA1重合.
· O
∵∠AOB=∠A1OB1，
A ∴射线OB与OB1重合.
同圆中，相等的 圆心角所对的弧 相等，所对的弦 也相等.
证明： ∵ B⌒C=C⌒D=⌒DE ∴∠COB=∠DOE=∠COD=35°A ∵AB是⊙O的直径.
ED
C
O
B
∴∠AOE=1800-∠COB-∠COD∠DOE
=750
3、如图，AD=BC，那么比较⌒AB与⌒CD的
大小.
A
C
D
O
B
课堂小结：
请你谈谈本节课的收获.
拓展延伸：
人教版数学九年级上册第24章圆24.弧、弦、圆心角课件
OE与OF相等． 证明:
∵ OE⊥AB ， OF⊥CD ，
∴∠AEO=∠CFO=90°，
AE= 1 AB ， CF= 1 CD ．
2
2
∵AB=CD ， ∴AE=CF．
∵OA=OC ，
∴Rt△AOE≌ Rt △COF．
∴OE=OF．
探究 如图，AB，CD是 O的两条弦，OE⊥AB 于E，OF⊥CD于F． （2）如果OE=OF， AB与CD相等吗？为什么？ 分析：
证法一： ∵AD=BC， AD BC ．
AD+BD BC BD , AB CD ．
∴AB=CD．
例2 已知：如图所示，在 O中， AD=BC ． 求证：AB=CD．
证法二：连接OA，OD，OB，OC．
∵AD=BC， ∴∠AOD=∠BOC． ∴∠AOD+∠BOD=∠BOC+ ∠BOD, ∴∠AOB=∠DOC． ∴AB=CD．
OA =OB， A、B两点关于点O对称， 圆是中心对称图形， 它的对称中心是圆心．
思考2．把 O绕圆心O旋转任意一个角度后， 还能和本来的图形重合吗？
圆具有旋转不变性．
圆心角：我们把顶点在圆心的角叫做圆心角．
∠AOB为 O的圆心角， 圆心角∠AOB所对的弦为AB， 所对的弧为AB ．
思考：如图，在 O中，当圆心角∠AOB=∠A1OB1 时，它们所对的AB 和 A1B1 、弦AB和A1B1相等吗？为 什么？
∵AB、CD是⊙O的两条直径，
∴∠AOC=∠BOD, ∵BE=BD，∴∠BOE=∠BOD, ∴∠AOC=∠BOE, ∴ AC BE．
探究 如图，AB，CD是 O的两条弦，OE⊥AB 于E，OF⊥CD于F． （1）如果AB=CD， OE与OF相等吗？为什么？ （2）如果OE=OF， AB与CD相等吗？为什么？
24.1.3弧、弦、圆心角(2)(数学人教版九年级上册)PPT课件
变式 如图， A ， B ， C 为 O 上的三个点，如果 AOB 2AOC ，
的三个点，如变 变果式 式： ：AB 如 如 2图 图A， ，C ，OO那中 中么， ，如 如果 果 AABB 22AACC ， ，那 那么 么
AA.. AABB 22AACC BB.. AABB 22AACC
3
4
A1D=BC2
， ，
∴ 1 2 .
12
A
O
B
∴ ∵ O1D=OC2 ，，
∴ 3 4. ∵ ∴ OD3 =OC4， ，
初中数学
已知 AB 是 O 的弦， C ， D 是 O 上位于弦 AB
例3 已知 AB 是 O 的弦， C ， D 是 O 上位于弦 AB
顺同 顺序侧序排的排两列同 列个，侧，点若的若，两AADD且个==点ABBCC，，，，且B根根，A据据，C题题，B意意，D作作四C图图，点，，在D∵探探圆四究究A上点B按在AA为BB逆圆，，直时上CC径针按DD,逆时针
O
B
A
B
O
O
A
B
过点 O 作 OE AB 于点 E ，交 DC 于点 F ,
交 AB 于点 G ，
初中数学
已知 AB 是 O 的弦， C ， D 是 O 上位于弦 AB
例3 已知 AB 是 O 的弦， C ， D 是 O 上位于弦 AB
顺同 顺序侧序排的排两列同 列个，侧，点若的若，两AADD且个==点ABBCC，，，，且B根根，A（据据，C1题题，）B意意，D当作作四CA图图，点B，，在 为D探探圆四直究究上点径按在AA时BB逆圆，，，时上连CC针按DD接逆O时C针， OD ，
∵ 3+4+COD 180 ,
24.1.3_弧、弦、圆心角_课件1
⌒ ⌒ ⌒
D
C
∴∠COB=∠COD=∠DOE=35°
A
O
B
∴∠AOE=1800-∠COB-∠COD-∠DOE
=750
4、如图，AD=BC，那么比较AB与CD的大小.
A C
⌒ ⌒
D
O
B
5、如图所示，CD为⊙O的弦，在CD上取
CE=DF，连结OE、OF，并延长交⊙O于点A、
B.
（1）试判断△OEF的形状，并说明理由；
⌒
AB=CD （3）如果∠AOB=∠COD，那么_____________，____________． AB = CD （4）如果AB=CD，OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，OE与OF相等吗？为什么？
AB
=
⌒
⌒ AB
CD
AOB COD AB=CD ，那么____________，______________．
则每一份这样的弧叫做1º 的弧. 这样,1º 的圆心角对着1º 的弧, 1º 的弧对着1º 的圆心角.
n°弧
n°
1°
1°弧
n º 的圆心角对着nº 的弧,
n º 的弧对着nº 的圆心角.
性质:弧的度数和它所对圆心角的度数相等.
小结
B
1、三个元素：
圆心角、弦、弧
α
Oα A1 B1
A
2、三个相等关系：
人教版九年级上册
圆心角：我们把顶点在圆心的角
叫做圆心角.
A
O·
∠AOB为圆心角 圆心角∠AOB所对
B
的弦为AB，所对的弧
⌒ 为AB。
1、判别下列各图中的角是不是圆心角，并
说明理由。
①
②
③
24.1.3 弧、弦、圆心角(公开课)PPT教学课件
.
28
∵∠AOB＝∠AO'B'
∴AB＝A'B'
⌒ ⌒ AB ＝ A'B'
11Biblioteka .定理“在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧 相等，所对的弦也相等．”中，可否把条件“在同圆 或等圆中”去掉？为什么？ B' A'
B
·
.
A
12
等对等定理
同样，还可以得到：
同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两
条弦中有一组量相等，它们所对应的其余各组 在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它 们所对的圆心角 _____， 所对的弦________； 量也相等．
24.1 24.1.3
圆的有关性质 弧、弦、圆心角
R· 九年级上册
.
1
重点：弧、弦、圆心角关系定理. 难点：探究并证明弧、弦、圆心角关系定理.
.
4
推进新课
知识点 1 圆的旋转不变性
圆是中心对称图形吗?它的对称中心在哪里? 圆是中心对称图形
·
.
它的对称中心是圆心
5
知识点 2 圆心角
圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角 A
• 则∠COD=
60°
.
. 17
• 3.如图，在⊙O中，点C是AB的中点，∠A=50°，则∠BOC= 40° ．
⌒
.
18
• • • • • •
4.如图，在⊙O中，AB=AC，∠C=75°，求∠A的度数. 解： ∵AB=AC， ⌒ ⌒ ∴AB=AC. ∴∠B=∠C=75°， ∴∠A=180°-∠B -∠C=30°.
A
显然∠AOB＝∠A'OB' AB＝A'B'
初中数学人教版九年级上册24.1.3 弧、弦、圆心角课件(27张PPT)
解：∵ = ,∴ 一
即 =,
∴∠2=∠1=45°.
2.如图，D,E 分别是⊙O 的半径OA,OB 上的点，CD⊥OA于点D,
CE⊥OB于点E,CD=CE, 则 与 的大小关系是 相等
3 . 已知⊙0中， = , 且 与
∠AOC=144°.
的度数之比为3:4,则
性质：弧的度数和它所对圆心角的度数相等.
.
=
AB=BC=CD=DA (圆心角定理) .
小结
圆的旋转不变性； 圆心角的定义；
圆心角定理； 圆心角定理的应用； 弧的度数.
谢心的角叫做圆心角.
∠AOB为圆心角.
练习：判别下列各图中的角是不是圆心角，并说明理由.
①
②
③
答：根据圆心角定义，①是圆心角，②③④不是圆心角.
二、探究 如图，将圆心角∠AOB绕圆心O 旋转到∠A'OB'的位置，你能 发现哪些等量关系?为什么?
∠AOB=∠A'OB'
4.在⊙0中， 的长是 的两倍，则(C )
A.AB>2CD C.AB<2CD
B.AB=2CD
D.AB 与 2CD 大小不能确定
知识延伸 如 图 ，AC 与 BD 为⊙O 的两条互相垂直的直径.
求证：
二
AB=BC=CD=DA.
证明：∵AC 与 BD 为⊙0的两条互相垂直的直径，Bk
∴∠AOB=∠BOC=∠COD=∠DOA=90°,
三、例题 如 图 在 ⊙ 0 中 ， =,∠ 证明：连接AB 、AC 、BC,
ACB=60°, 求证：∠AOB=∠BOC=∠AOC.
=
∴AB=AC, △ABC 等腰三角形， 又∠ACB=60°,
∴△ABC 是等边三角形，AB=BC=CA,
即 =,
∴∠2=∠1=45°.
2.如图，D,E 分别是⊙O 的半径OA,OB 上的点，CD⊥OA于点D,
CE⊥OB于点E,CD=CE, 则 与 的大小关系是 相等
3 . 已知⊙0中， = , 且 与
∠AOC=144°.
的度数之比为3:4,则
性质：弧的度数和它所对圆心角的度数相等.
.
=
AB=BC=CD=DA (圆心角定理) .
小结
圆的旋转不变性； 圆心角的定义；
圆心角定理； 圆心角定理的应用； 弧的度数.
谢心的角叫做圆心角.
∠AOB为圆心角.
练习：判别下列各图中的角是不是圆心角，并说明理由.
①
②
③
答：根据圆心角定义，①是圆心角，②③④不是圆心角.
二、探究 如图，将圆心角∠AOB绕圆心O 旋转到∠A'OB'的位置，你能 发现哪些等量关系?为什么?
∠AOB=∠A'OB'
4.在⊙0中， 的长是 的两倍，则(C )
A.AB>2CD C.AB<2CD
B.AB=2CD
D.AB 与 2CD 大小不能确定
知识延伸 如 图 ，AC 与 BD 为⊙O 的两条互相垂直的直径.
求证：
二
AB=BC=CD=DA.
证明：∵AC 与 BD 为⊙0的两条互相垂直的直径，Bk
∴∠AOB=∠BOC=∠COD=∠DOA=90°,
三、例题 如 图 在 ⊙ 0 中 ， =,∠ 证明：连接AB 、AC 、BC,
ACB=60°, 求证：∠AOB=∠BOC=∠AOC.
=
∴AB=AC, △ABC 等腰三角形， 又∠ACB=60°,
∴△ABC 是等边三角形，AB=BC=CA,